高一数学教案：1.8充分条件与必要条件(一)
数学教案-充分条件与必要条件
数学教案－充分条件与必要条件一、教学目标1.理解充分条件与必要条件的概念，能够判断两个条件之间的逻辑关系。
2.掌握充分条件与必要条件的判断方法，能够运用这些方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
二、教学内容1.充分条件与必要条件的概念2.充分条件与必要条件的判断方法3.充分条件与必要条件在实际问题中的应用三、教学过程1.导入向学生简要介绍充分条件与必要条件的概念，激发学生的学习兴趣。
2.讲解概念通过实例解释充分条件与必要条件的含义，让学生理解两者之间的区别与联系。
例如：假设A表示“今天下雨”，B表示“地面湿”。
充分条件：如果A成立，那么B一定成立，即A是B的充分条件。
必要条件：如果B成立，那么A不一定成立，但A是B的必要条件。
3.判断方法介绍判断充分条件与必要条件的方法，让学生掌握判断技巧。
方法一：通过定义判断。
根据充分条件与必要条件的定义，判断两个条件之间的关系。
方法二：通过集合关系判断。
利用集合的包含关系，判断两个条件之间的充分性与必要性。
4.实例讲解选取一些典型实例，引导学生运用所学知识进行判断。
实例1：如果小明成绩优秀，那么他一定会考上重点大学。
判断“小明成绩优秀”与“考上重点大学”之间的充分条件与必要条件。
实例2：如果地球是圆的，那么地球上的物体总是往地上掉。
判断“地球是圆的”与“物体总是往地上掉”之间的充分条件与必要条件。
5.练习给学生发放练习题，要求学生在规定时间内完成，巩固所学知识。
练习题包括填空题、选择题、判断题和应用题。
7.作业布置布置课后作业，要求学生独立完成，培养学生的自主学习能力。
四、教学反思1.教学效果评估本节课的教学效果，了解学生对充分条件与必要条件的掌握程度。
2.教学改进根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。
3.学生反馈收集学生对本节课的意见和建议，了解学生的学习需求，为下一节课的教学做好准备。
通过本节课的教学，希望学生能够掌握充分条件与必要条件的概念和判断方法，提高逻辑思维能力，为解决实际问题奠定基础。
高一数学《充分条件与必要条件》教学设计
高一数学《充分条件与必要条件》教学设计高一数学《充分条件与必要条件》教学设计范文教学目标：知识目标：1、理解充分、必要条件的概念；2、初步掌握充分、必要条件的判断方法。
能力目标：培养学生的阅读理解能力、逻辑推理能力和归纳总结的能力。
情感目标：让学生感受“在生活中数学地思维”，增加对学习逻辑知识的兴趣和信心，激发求知欲。
教学重点：充分、必要条件的概念和判断方法。
教学难点：理解必要条件的概念。
教学方法：老师引导,小组讨论、自主探究等多种方式循序渐进教具：多媒体教学过程：教学过程分为6个环节，其中，第4、5环节交叉进行，体现学习螺旋式上升的规律。
（一）创设情境、导入新课。
（二）归纳推理、总结概念。
（三）循序渐进、螺旋上升。
（四）合作探究、把握内涵。
（五）演绎推理、拓展提升。
（六）归纳小结、课后延伸。
（1）创设情境、导入新课。
思考1：林州人是不是安阳人？林州人是安阳人的什么条件？思考2：《三国演义》“万事俱备，只欠东风”东风是火烧赤壁成功的什么条件？设计意图：这样生活化的问题让学生感到亲切,集中了注意力,学生不一定回答对，只是让学会对充分条件和必要条件有个感性的认识,为后继教学埋下伏笔.（2）归纳推理、总结概念引例1：“已知条件p：a=0，条件q：ab=0。
将其写成若p则q的形式，并判断命题的真假。
”如果命题“若p则q”为真，则记作pq，我们就说p是q的充分条件，也可以说q是p的必要条件。
设计意图：作为概念的引例，没有选用课本中的“若x>a2+b2,则x>2ab。
”我选用了这样一道题的是因为概念教学时尽量避开学生不熟悉的知识，学生掌握相等关系要比不等关系熟练。
老师点拨：1、推出的含义。
2、充分必要的相对性。
引例2：“已知条件p：a=0，条件q：ab=0。
写出若p则q的逆命题，并判断其真假。
”如果命题“若p则q”为假，则记作pq，我们就说p不是q的充分条件，也可以说q不是p的必要条件。
设计意图：用同一个例子来引入推不出的含义，减少了知识上的难度，也是对上节课逆命题的`一个复习，有利用学生对概念的理解。
高中高一数学上册《充分条件必要条件》教案、教学设计
3.小组合作：各小组选择一个实际问题，分析其中的充分必要条件，并撰写一份分析报告，报告内容应包括问题背景、分析过程、结论及解题方法。
4.拓展阅读：阅读与充分条件和必要条件相关的数学故事或数学家传记，了解充分必要条件在数学发展史上的重要作用，下节课与同学们分享你的阅读心得。
（二）教学设想
1.采用情境教学法，引入生活中的实例，让学生在具体情境中感受充分条件和必要条件的概念。例如，通过分析“下雨”和“地面湿润”之间的关系，引导学生理解充分必要条件的内涵。
2.利用问题驱动法，设计具有挑战性的问题，激发学生的探究欲望。在教学过程中，教师可以设置一系列由浅入深的问题，引导学生逐步掌握充分必要条件的判断和应用。
（二）过程与方法
1.掌握从特殊到一般、从具体到抽象的思考方法，提高逻辑思维能力。
2.学会运用逻辑推理，分析问题中的因果关系，培养解决问题的能力。
3.学会与同伴合作，倾听他人意见，提高沟通与协作能力。
4.能够运用数学语言准确表达自己的思考，提高数学表达能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的学习热情。
6.培养学生的自主学习能力，鼓励学生在课后进行拓展学习。教师可以推荐相关资料和习题，让学生在课后进行自我巩固和提升。
7.关注学生的个体差异，实施差异化教学。针对不同学生的学习需求，教师可以设置不同难度的题目，使每个学生都能在课堂上得到有效的提升。
8.融入数学文化，提高学生的数学素养。在教学过程中，教师可以适时介绍充分必要条件在数学发展史上的地位和作用，激发学生对数学的兴趣。
4.学生在合作学习方面，可能存在沟通不畅、分工不明确的问题。教师需引导学生学会倾听、表达和协作，使学生在合作中共同进步。
充分条件和必要条件教案(教师
充分条件和必要条件教案(教师版)第一章：引言教学目标：1. 让学生理解充分条件和必要条件的概念。
2. 让学生掌握如何判断充分条件和必要条件。
教学内容：1. 引入充分条件和必要条件的概念。
2. 通过实例让学生理解充分条件和必要条件的区别。
教学步骤：1. 向学生介绍充分条件和必要条件的概念。
2. 通过举例说明充分条件和必要条件的区别。
3. 让学生进行练习，判断给出的条件是充分条件还是必要条件。
教学评估：1. 通过课堂提问检查学生对充分条件和必要条件的理解程度。
2. 通过练习题检查学生判断充分条件和必要条件的能力。
第二章：充分条件教学目标：1. 让学生理解充分条件的意思。
2. 让学生掌握如何判断一个条件是充分条件。
教学内容：1. 定义充分条件的概念。
2. 讲解如何判断一个条件是充分条件。
1. 向学生解释充分条件的概念。
2. 通过举例让学生理解如何判断一个条件是充分条件。
3. 让学生进行练习，判断给出的条件是否是充分条件。
教学评估：1. 通过课堂提问检查学生对充分条件的理解程度。
2. 通过练习题检查学生判断充分条件的能力。
第三章：必要条件教学目标：1. 让学生理解必要条件的概念。
2. 让学生掌握如何判断一个条件是必要条件。
教学内容：1. 定义必要条件的概念。
2. 讲解如何判断一个条件是必要条件。
教学步骤：1. 向学生解释必要条件的概念。
2. 通过举例让学生理解如何判断一个条件是必要条件。
3. 让学生进行练习，判断给出的条件是否是必要条件。
教学评估：1. 通过课堂提问检查学生对必要条件的理解程度。
2. 通过练习题检查学生判断必要条件的能力。
第四章：充分条件和必要条件的区别1. 让学生理解充分条件和必要条件的区别。
2. 让学生掌握如何判断一个条件是充分条件还是必要条件。
教学内容：1. 讲解充分条件和必要条件的区别。
2. 讲解如何判断一个条件是充分条件还是必要条件。
教学步骤：1. 向学生讲解充分条件和必要条件的区别。
充分条件与必要条件教案
充分条件与必要条件教案一、教学目标1、知识与技能目标理解充分条件、必要条件的概念。
能够准确判断给定命题中条件与结论之间的充分性和必要性关系。
掌握充分条件和必要条件的判定方法，并能进行简单的应用。
2、过程与方法目标通过实例引入，培养学生观察、分析和归纳的能力。
引导学生进行逻辑推理，提高学生的思维能力和逻辑表达能力。
3、情感态度与价值观目标让学生感受数学逻辑的严谨性，培养学生严谨治学的态度。
激发学生对数学的兴趣，体会数学在实际生活中的应用价值。
二、教学重难点1、教学重点充分条件和必要条件的概念。
充分条件和必要条件的判定方法。
2、教学难点理解充分条件和必要条件的本质含义。
准确判断条件与结论之间的充分性和必要性关系。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程（一）导入新课通过生活中的例子引入，比如：“如果今天下雨，那么地面会湿”，提问学生：“今天下雨”和“地面会湿”之间有着怎样的关系？从而引出本节课的主题——充分条件与必要条件。
（二）讲解新课1、充分条件的概念给出命题“若 p，则q”，如果由 p 可以推出 q，那么就说 p 是 q 的充分条件。
例如：“若 x ＞ 5，则 x ＞3”，因为当 x ＞ 5 时，一定有 x ＞ 3，所以“x ＞5”是“x ＞3”的充分条件。
通过多个实例，让学生理解充分条件的概念。
2、必要条件的概念同样对于命题“若 p，则q”，如果由 q 可以推出 p，那么就说 p 是 q 的必要条件。
比如：“若 x 是整数，则 x 是有理数”，因为如果 x 是整数，那么 x 一定是有理数，所以“x 是有理数”是“x 是整数”的必要条件。
用丰富的例子帮助学生领会必要条件的含义。
3、充分不必要条件如果 p 是 q 的充分条件，但 p 不是 q 的必要条件，那么称 p 是 q 的充分不必要条件。
例如：“若 x ＝ 2，则 x²＝4”，由 x ＝ 2 可以推出 x²＝ 4，但由 x²＝ 4 不一定能推出 x ＝ 2，还可能 x ＝－2，所以“x ＝2”是“x² ＝4”的充分不必要条件。
充分条件和必要条件教案
充分条件和必要条件教案教案：充分条件和必要条件目标：了解充分条件和必要条件的概念，学会判断充分条件和必要条件的方法。
一、导入（5分钟）1.引入话题：“如果你希望参加篮球队，必须会打篮球。
”你认为这句话是什么意思呢？2.听听同学的回答，引导他们思考充分条件和必要条件的概念。
二、概念讲解（15分钟）1.充分条件：在一个条件语句中，如果假设的条件成立，那么结果就一定成立。
也即A是B的充分条件，表示如果A成立，那么B一定成立。
如：“会打篮球”是“参加篮球队”的充分条件。
2.必要条件：在一个条件语句中，如果结果成立，那么假设的条件也一定成立。
也即A是B的必要条件，表示如果B成立，那么A一定成立。
如：“参加篮球队”是“会打篮球”的必要条件。
3.举例说明：“如果一个人是中国公民，那么他一定会说中文。
”这句话中，“是中国公民”是“会说中文”的充分条件，“会说中文”是“是中国公民”的必要条件。
4.提问互动：“如果对于一个人来说，会说中文，那么他一定是中国公民吗？”同学们思考一下。
可以请同学们举例来说明。
三、判断方法（20分钟）1.以实例为基础，引导学生进行判断。
2.举例1：“如果昨天下雨，那么今天会打雷。
”请同学们判断这个条件语句中充分条件和必要条件是什么？3.举例2：“如果一个图形是四边形，那么它的内角和一定是360度。
”请同学们判断这个条件语句中充分条件和必要条件是什么？4.理清判断方法：-充分条件要求条件在成立时结果一定成立。
-必要条件要求结果在成立时条件一定成立。
五、练习（30分钟）1.在小组中进行讨论，找出以下条件语句中的充分条件和必要条件。
-如果天气很好，那么我们就去野餐。
-如果水温超过100摄氏度，那么水会沸腾。
-如果一个数是偶数，那么它可以被2整除。
2.举报练习：“如果一个人有继续深造的愿望，那么他必须考取研究生。
”请同学们判断这个条件语句中充分条件和必要条件是什么？对于其他同学提出的条件语句也进行判断。
高一数学 1.8 充分条件与必要条件(1)教案
1.8 充分条件与必要条件（1）教学目的：1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用2.在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断教学难点：充分性与必要性的推导顺序授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：这一大节通过若干实例，讲述充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．这一大节的重点是充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．关于充分条件、必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜．教学过程：一、复习引入：同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件.二、讲解新课：⒈符号“⇒”的含义前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假.“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作p⇒q，或者q⇐p；如果由p推不出q，命题为假，记作p q.简单地说，“若p则q”为真，记作p⇒q（或q⇐p）；“若p则q”为假，记作p q（或q p）.符号“⇒”叫做推断符号.例如，“若x>0，则x2>0”是一个真命题，可写成：x>0 ⇒x2>0；又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成：两三角形全等⇒两三角形面积相等.说明：⑴“p⇒q”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”.⑵“p⇒q”也可写为“q⇐p”，有时也用“p→q”.练习：课本P35练习：1⑴⑵⑶⑷.答案：⑴⇒；⑵⇒；⑶；⑷.⒉什么是充分条件？什么是必要条件？如果已知p⇒q，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.在上面是两个例子中，“x>0”是“x2>0”的充分条件，“x2>0”是“x>0”的必要条件；“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件.⒊充分条件与必要条件的判断1.直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p 的必要条件”.（条件与结论是相对的）三、范例例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：⑴ p：x=y；q：x2=y2.⑵ p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等.分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.解：⑴由p⇒q，即x=y⇒x2=y2，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.⑵由p⇒q，即三角形的三条边相等⇒三角形的三个角相等，知p是q 的充分条件，q是p的必要条件；又由q⇒p，即三角形的三个角相等⇒三角形的三条边相等，知q也是p 的充分条件，p也是q的必要条件.练习：课本P35练习：2⑴⑵⑶⑷.答案：⑴∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；⑵∵q⇒p，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件；⑶∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵q⇒p，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.⑷∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵q⇒p，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.2.利用逆否命题判断：即“若┐q⇒┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.例2(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件.⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色⇒B为绿色”是真的，∴由定义知，“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.⑵如图2⑴，∵“红点在B内⇒红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A 不为绿色”. ∵“B不为绿色⇒ A不为绿色”为真，∴“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.⑵它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”. 如图2⑵，∵“红点不在A内⇒红点一定不在B内”为真，∴“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明.先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.它符合上述的“若p则q”为真（即p⇒q）的形式.再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q⇒┐p）的形式.总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据.例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想.四、练习：（补充题）用“充分”或“必要”填空，并说明理由：⒈“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的充分条件；⒉“四边相等”是“四边形是正方形”的必要条件；⒊“x≠3”是“|x|≠3”的充分条件；⒋“x-1=0”是“x2-1=0”的充分条件；⒌“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分条件；⒍“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的必要条件；⒎对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b2-4ac≥0”是“这个方程有两个正根”的必要条件；⒏“a=2，b=3”是“a+b=5”的充分条件；⒐“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件；⒑“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分条件.五、小结：本节主要学习了推断符号“⇒”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法.判断充分条件与必要条件的依据是：若p⇒q（或若┐q⇒┐p），则p是q的充分条件；若q⇒p（或若┐p⇒┐q），则p是q的必要条件.六、作业：1．课本P34-35内容，熟悉巩固有关内容.2．设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B 的充分条件，那么，D是A的什么条件？A是B的什么条件？解：由题意作出逻辑图（右图），便知，D是A的必要条件；A是B的充分条件.3．预习：课本P35-36内容.七、板书设计（略）八、课后记：。
充分条件、必要条件教学设计
《充分条件与必要条件》教学设计一、教学目标1•知识与技能：⑴正确理解充分条件、必要条件和充要条件；⑵能正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件。
2•过程与方法：通过对充分条件、必要条件和充要条件概念的理解及运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力。
3•情感、态度和价值观：先由一段审判视频进行导课，给学生渗透知法、守法的法律意识。
再通过主动探究、合作学习、感受探索的乐趣与成功的喜悦，从中体会数学的理性与严谨性。
二、教学重点与难点重点：充分条件、必要条件和充要条件的定义。
难点：（1）充分条件、必要条件和充要条件三个概念在论证中的正确运用；（2）“q的什么条件是p"转化为“p是q的什么条件”。
三、教学方法与手段采用探究式教学方法。
通过多媒体辅助教学，充分调动学生的参与课堂的主动性与积极性。
四、教学基本流程五•教学情境设计（一）创设情境，渗透法律意识1•教师借助多媒体播放一段关于抢劫罪”的审判视频。
2.师生活动教师提出问题：(1)同学们，看完这段视频，你们有何感想？⑵视频中审判长先陈述一系列的“理由依据”，才得出审判的结果，请问理由依据”与审判结果”之间有什么关系？学生经过思考回答老师提出的上述问题，问题1的回答主要围绕不要触犯法律方面。
老师可以引导学生回答问题⑵，理由依据”必须是充分的，审判结果”才能让人信服，说明理由依据”对于审判结果”来说必须是充分的；若没有审判结果”，则这一系列的理由依据”毫无实际意义，说明审判结果”对理由依据”来说是必要的。
3.设计意图问题⑴的提出是向学生渗透法律意识，让学生知法、守法，不要去触犯法律。
问题⑵让学生理解理由依据”与审判结果”是充分必要的关系，从而引入新课《充分条件与必要条件》，既激起了学生的兴趣，又激发了学生的求知欲。
(二)提出问题，引入充分条件、必要条件和充要条件的定义1.思考：判断下列命题的真假(1)若a>b>0,则a2>b2；⑵若x>5,贝Ux>10;(3)若ac>bc,则a>b;(4)若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数。
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课题：1.8 充分条件与必要条件（一）
教学目的：
1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用
2.在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.
教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断
教学难点：充分性与必要性的推导顺序
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
这一大节通过若干实例，讲述充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．
这一大节的重点是充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．
关于充分条件、必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜．
教学过程：
一、复习引入：
同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件.
二、讲解新课：
⒈符号“⇒”的含义
前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假.“若p 则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作p⇒q，或者q⇐p；如果由p推不出q，命题为假，记作p q.
简单地说，“若p则q”为真，记作p⇒q（或q⇐p）；
“若p则q”为假，记作p q（或q p）.
符号“⇒”叫做推断符号.
例如，“若x>0，则x2>0”是一个真命题，可写成：x>0 ⇒x2>0；
又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成：两三角形全等⇒两三角形面积相等.
说明：⑴“p⇒q”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”.
⑵“p⇒q”也可写为“q⇐p”，有时也用“p→q”.
练习：课本P35练习：1⑴⑵⑶⑷.
答案：⑴⇒；⑵⇒；⑶；⑷.
⒉什么是充分条件？什么是必要条件？
如果已知p⇒q，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.
在上面是两个例子中，“x>0”是“x2>0”的充分条件，“x2>0”是“x>0”的必要条件；“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件.
⒊充分条件与必要条件的判断
1.直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.（条件与结论是相对的）
三、范例
例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：
⑴ p：x=y；q：x2=y2.
⑵ p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等.
分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.
解：⑴由p⇒q，即x=y⇒x2=y2，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.
⑵由p⇒q，即三角形的三条边相等⇒三角形的三个角相等，知p是q的充分条件，q是p的必要条件；
又由q⇒p，即三角形的三个角相等⇒三角形的三条边相等，知q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.
练习：课本P35练习：2⑴⑵⑶⑷.
答案：⑴∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；
⑵∵q⇒p，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件；
⑶∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵q⇒p，∴q也是p
的充分条件，p也是q的必要条件.
⑷∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵q⇒p，∴q也是p
的充分条件，p也是q的必要条件.
以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.
2.利用逆否命题判断：即“若┐q⇒┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条
件”.
例2(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：
⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件.
⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.
解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色⇒B为绿色”是真的，∴由定义知，“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿
色”的必要条件.
⑵如图2⑴，∵“红点在B内⇒红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.
解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A不为绿色”. ∵“B不为绿色⇒ A不为绿色”为真，∴“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.
⑵它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”. 如图2⑵，∵“红点不在A内⇒红点一定不在B内”为真，∴“红点在B 内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.
如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明.
先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.它符合上述的“若p则q”为真（即p⇒q）的形式.
再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q⇒┐p）的形式.
总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据.
例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想.
四、练习：
（补充题）用“充分”或“必要”填空，并说明理由：
⒈“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的充分条件；
⒉“四边相等”是“四边形是正方形”的必要条件；
⒊“x≠3”是“|x|≠3”的充分条件；
⒋“x-1=0”是“x2-1=0”的充分条件；
⒌“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分条件；
⒍“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的必要条件；
⒎对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b2-4ac≥0”是“这个方程有两个正根”的必要条件；
⒏“a=2，b=3”是“a+b=5”的充分条件；
⒐“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件；
⒑“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的
充分条件.
五、小结：
本节主要学习了推断符号“⇒”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法.
判断充分条件与必要条件的依据是：
若p⇒q（或若┐q⇒┐p），则p是q的充分条件；
若q⇒p（或若┐p⇒┐q），则p是q的必要条件.
六、作业：
1．课本P34-35内容，熟悉巩固有关内容.
2．设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B的充分条件，那么，D是A的什么条件？A是B的什么条件？
解：由题意作出逻辑图（右图），便知，
D是A的必要条件；A是B的充分条件.
3．预习：课本P35-36内容.
七、板书设计（略）
八、课后记：。