第六章 模糊聚类分析
模糊聚类分析
模糊聚类分析模糊聚类分析，也被称为模糊聚类或者软聚类，是一种数据分析的方法。
与传统的硬聚类不同，模糊聚类可以将每个观测对象划分到不同的聚类中心，从而更好地反映对象与聚类中心之间的相似性。
模糊聚类的思想源于模糊集理论，该理论引入了概率的概念，使得划定边界变得模糊化。
在传统的硬聚类方法中，每个对象只能属于一个聚类，而在模糊聚类中，每个对象的隶属度被划分为一个实数，表示对象属于每个聚类的程度。
模糊聚类的基本原理是通过最小化目标函数来优化聚类结果。
常见的目标函数包括模糊熵和模糊轮廓系数。
模糊熵用于衡量聚类的混乱程度，值越小表示聚类更好。
模糊轮廓系数则用于评价每个对象的聚类紧密度和分离度，系数范围为[-1, 1]，越接近1表示聚类结果越好。
模糊聚类的算法有多种，其中最常用的是模糊C均值（FCM）算法。
FCM算法首先随机初始化聚类中心，然后迭代更新对象的隶属度和聚类中心，直到满足终止条件。
在更新过程中，对象的隶属度和聚类中心根据距离度量进行调整。
模糊聚类在各个应用领域都有广泛的应用。
例如，在市场细分中，模糊聚类可以根据消费者的购买偏好将其划分为不同的细分市场，有助于制定更准确的营销策略。
在医学影像分析中，模糊聚类可以帮助医生根据患者的病情将其归类为不同的疾病类型，有助于做出更准确的诊断。
当然，模糊聚类也存在一些问题和挑战。
首先，模糊聚类的计算复杂度高，特别是在处理大规模数据时。
其次，模糊聚类对初始参数的敏感性较高，不同的初始化可能导致不同的聚类结果。
此外，模糊聚类的结果通常难以解释和理解，需要结合领域知识进行进一步分析。
为了克服这些问题，研究者们一直在不断改进模糊聚类算法。
例如，一些研究探索了基于深度学习的模糊聚类方法，利用神经网络来提高聚类的准确性和效率。
此外，还有一些研究致力于开发新的目标函数和距离度量方法，以更好地满足实际问题的需求。
综上所述，模糊聚类是一种基于模糊集理论的数据分析方法，可以更好地刻画对象之间的相似性。
模糊聚类的分析
模糊聚类的分析模糊聚类分析是一种在统计分析领域中的方法。
它的主要思想是将客观数据更好地分类和分析。
模糊聚类是一种简单的数据挖掘技术，它可以从客观数据中挖掘出有价值的信息，以帮助我们分析和探索数据。
模糊聚类分析的本质是根据相似度度量算法来确定数据点之间的相似性，并将它们聚类为一个或多个类别。
它可以用于更好地加深对数据挖掘结果的理解，分析和发现数据中的结构和关系。
模糊聚类的优点1、可以更好地发现数据挖掘的结果和有价值的信息。
2、可以用于分析和发现客观数据中的结构和关系。
3、可以很好地分析大数据集。
4、可以使数据分类更有效率。
模糊聚类的应用1、金融领域：模糊聚类可用于金融分析，如风险识别、客户分析、金融监管等，可以显著提高对金融市场的了解，并帮助金融市场制定更有效的策略。
2、医学领域：模糊聚类可以更好地理解大量的临床资料，并为医生提供更有效的诊断建议。
它还可以应用于医疗和病理图像分析，以有效管理和指导患者的治疗过程。
3、气象领域：模糊聚类可以有效地识别气象 sensor卫星数据中的关键结构和特征，并用于气象研究和气象预报中。
4、人工智能：模糊聚类可以作为机器学习算法的基础，用于建模不同环境和情景。
它还可以用于自然语言处理，提供更有意义的信息，例如情感分析。
模糊聚类的局限性1、模糊聚类的结果很大程度上取决于人为干预，且模糊聚类的结果可能会受到相似度测量的影响，这可能会导致结果的不稳定性。
2、除此之外，由于模糊聚类是基于数据预处理后的假设来实施的，所以对数据预处理的要求较高，对数据准备质量和格式有较高的要求，这也是模糊聚类的一大局限性。
模糊聚类的发展前景模糊聚类分析技术在各个领域的应用及其发展前景均越来越广泛。
模糊聚类技术在人工智能、机器学习、大数据和自动化领域等方面都有广泛的应用，而且随着 AI 、Bigdata术的发展，模糊聚类在预测建模、数据挖掘和自然语言处理等方面也都有了重要的应用。
此外，模糊聚类技术还可以应用于声学识别、计算机视觉和实时处理等领域，进一步拓展模糊聚类技术的应用前景。
模糊聚类分析
模糊聚类分析是一种数学方法，它使用模糊数学语言根据某些要求对事物进行描述和分类。
模糊聚类分析通常是指根据研究对象的属性构造模糊矩阵，并在此基础上根据一定隶属度确定聚类关系，即样本之间的模糊关系由样本的数量来确定。
模糊数学方法，以客观，准确地聚类。
聚类是将数据集划分为多个类或群集，以便每个类之间的数据差异应尽可能大，并且该类内的数据差异应尽可能小基本覆盖当涉及事物之间的模糊边界时，模糊聚类分析是一种根据某些要求对事物进行分类的数学方法。
聚类分析是数学统计中的一种多元分析方法是利用数学方法定量确定样品之间的关系，从而客观地分类类型。
事物之间的某些界限是精确的，而其他界限则是模糊的。
人群中人脸的相似度之间的界限是模糊的，多云和晴天之间的界限也是模糊的。
当聚类涉及事物之间的模糊界限时，应使用模糊聚类分析方法。
模糊聚类分析广泛应用于气象预报，地质，农业，林业等领域。
通常，聚类的事物称为样本，一组事物称为样本集。
模糊聚类分析有两种基本方法：系统聚类和逐步聚类。
基本方法基本流程（1）通过计算样本或变量之间的相似系数，建立模糊相似矩阵；（2）通过对模糊矩阵进行一系列综合变换，生成模糊等效矩阵。
（3）最后，根据不同的截获水平λ对模糊等效矩阵进行分类系统聚类方法系统聚类方法是一种基于模糊等价关系的模糊聚类分析方法。
在经典聚类分析方法中，经典等价关系可用于对样本集X进行聚类。
令R为X上的经典等价关系。
对于X中的两个元素x和Y，如果XRY或（x，y）∈R ，然后x和y，否则X和y不属于同一类。
[3]使用这种方法，分类的结果与α的值有关。
α的值越大，划分的类别越多。
当α小于某个值时，X中的所有样本将被归为一类。
该方法的优点是可以根据实际需要选择α值，以获得正确的分类。
系统聚类的步骤如下：①用数字描述样品的特性。
设要聚类的样本为x = {x1，xn}。
每个样本具有p个特征，记录为Xi =（Xi1，xip）；i = 1，2，…，N；XIP是描述样本Xi的第p个特征的编号。
模糊聚类的分析
模糊聚类的分析
模糊聚类是一种聚类分析的算法，它采用模糊的方法将数据点归类到不同的类别中，以减少聚类的误差。
模糊聚类是机器学习领域的一种流行的算法，它利用每个数据点的模糊属性来衡量其分布在不同类别中的相似度，使得它能够更加准确的进行聚类分析。
模糊聚类的基本原理是把数据点归类到不同的类别中，每个类别都有一系列模糊属性，每个数据点在不同类别中的分布由它们在每个属性上的值来决定。
模糊聚类的最终目标是找到类别与数据点之间的最佳拟合，从而得到最佳聚类结果。
模糊聚类的实现是通过计算每个数据点与每个类别的模糊相似
度来完成的，模糊相似度是基于数据点和每个类别的模糊属性，通过计算每个数据点与每个类别的模糊相似度，可以找到一个最佳的类别，把每个数据点归入该类别，这样就可以得到最优聚类结果。
模糊聚类方法可以用来解决多维数据集聚类分析的问题，它能够更准确的表示多维数据的特征，这使得它能够更准确的对数据进行聚类分析。
此外，模糊聚类方法还能够处理非均匀分布的数据，它能够有效的处理因类别数量和混乱的环境而难以聚类的数据。
模糊聚类的缺点主要在于它的计算速度较慢，因为它需要计算每个数据点与每个类别的模糊相似度，而这需要大量的计算，模糊聚类也无法用于对超大型数据集进行聚类分析，因为它的计算效率较低。
因此，模糊聚类是一种聚类分析算法，它利用模糊性来更准确的表示数据的特征，能够有效的处理多维和复杂的数据。
但是它的计算
效率较低，也不能用于对超大型数据集进行聚类分析，因此，在使用模糊聚类进行聚类分析时，需要考虑其效率和应用限制。
模糊聚类分析
模糊聚类分析壹、何谓聚类分析聚类分析是研究事物分类的一种多元分析方法。
在日常生活中，我们时常要把所接触到的事物（样本），按其性质、用途等进行分类，这种分类过程我们称为聚类分析。
（阙颂廉，民83）贰、聚类分析的应用模糊聚类分析是当前在模糊数学中应用最多的几个方法之一，可以将研究的样本进行合理的分类，如产品的分类就常常用聚类分析来进行，另聚类分析也可用来进行判别分析和预测（林杰斌等。
民76）。
所以，也被广泛地应用于天气预报、地震预测、地质探勘、运动员心理素质分类、河川水质污染程度等方面。
参、普通的等价关系在谈聚类分析之前，应先介绍相似关系和等价关系：一.自反性对任意Uu∈，都有Ru,u(∈，即集合中任一个元素u都)与自身有某相同性质的关系，则称R是自反关系，相对应的矩阵称为自反矩阵。
另数学表示意义为：A中的元素关于R具有”自反性”，即。
例：若U 为同一种族的集合，而集合中每一个人u ，皆与自身有同一种族之关系，这种性质则称为自反性。
二. 对称性如果ji ,R )u ,u (,R )u ,u(i j j i≠∈∈必有。
即u i 与u j 有存在某种关系，若将两个元素之位置对调，则即u j 与u i 也必有符合这层关系，则称R 有对称关系，相对应的矩阵为对称矩阵。
另数学表示意义为：A 中的元素关于R 具有”对称性”，即yRx xRy ,A y ,x 且若∈∀。
例：若甲和乙是同学关系，则乙和甲必也是同学关系，这种关系则称为对称性。
三. 传递性如果能由R)w u (R )w v (R )v u (∈∈∈，，推導出，及，。
即u与v 有存在某一关系，而v 与w 也有这同一种关系存在，则即u 与w 也必有符合这层关系存在，则称R 有传递关系，相对应的矩阵为传递矩阵。
另数学表示意义为：A 中的元素关于R 具有”传递性”，即。
例：若甲和乙是同一种族关系，而乙和丙也是同一种族关系，则甲和丙必有同一种族关系，这种则称为具有传递性关系。
模糊聚类分析
1 2 m
x11 x21 xm1
x12 x22 xm 2
x1n x2 n xmn
2 ．模糊聚类分析的一般步骤
实际问题中，不同的数据可能有不同的量 纲。为了使不同量纲的数据也能进行比较，需 要对数据进行适当的变换。根据模糊矩阵的要 求将数据压缩到区间 【0,1】。通常使用平移极差标准化： xik min{xik } 1im xik (k 1,2,, n) max{xik } min{xik }
取=0.8，得 ：
~ R0.8 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
X分为4类：｛X1,，X3｝，｛X2｝，｛X4 ｝， ｛ X5 ｝。
2 ．模糊聚类分析的一般步骤
取=0.5，得 ：
~ R0.5 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1
3 ．应用实例
通过聚类分析，该矿决定在房柱法的基础 上增加采矿费用的投入，采用无底柱上向干式 充填采矿法。
谢
谢！
模糊聚类分析步骤可以分为：数据标准化、建立 模糊相似矩阵、聚类
2 ．模糊聚类分析的一般步骤
2.1 数据标准化 设论域 X {x , x ,, x } 为被分类的对象，每个对像 又由n个指标表示其性状，即：xi (xi1, xi2 ,, xin ) (i 1,2,, m) 于是，得到原始数据矩阵为：
rij
m in (x
k 1
n
ik
, x jk )
1 2
(x
k 1
n
ik
模糊聚类分析
模糊聚类分析是根据客观事物的特征、亲和度和相似度建立模糊相似关系，对客观事物进行聚类的一种分析方法。
当涉及到事物之间的模糊边界时，根据一定的要求对事物进行分类的一种数学方法。
聚类分析是数理统计中的一种多元分析方法，它利用数学方法定量地确定样本之间的亲和力，从而客观地对类型进行分类。
一些事物之间的界限是精确的，而另一些则是模糊的。
人与人之间脸部相似的界限是模糊的，天气之间的界限也是模糊的。
当聚类涉及到事物之间的模糊边界时，应使用模糊聚类分析方法。
模糊聚类分析在天气预报、地质、农业、林业等领域有着广泛的应用。
通常，聚类物称为样本，一组聚类物称为样本集。
模糊聚类分析的基本方法有两种：系统聚类法和逐步聚类法。
概述。
在数据分类中，常用的分类方法包括多元统计中的系统聚类、模糊聚类分析等；在模糊聚类分析中，首先要计算模糊相似矩阵，不同的模糊相似矩阵会产生不同的分类结果；即使使用相同的模糊相似矩阵，不同的阈值也会产生不同的分类结果。
“如何确定这些分类的有效性”成为模糊聚类的关键点。
这是识别研究中的一个重要问题。
在文献中，不能令人满意的有效性归因于数据集的几何结构不令人满意。
但笔者认为，不同的几何结构反映了实际需要。
我们不能排除实际需要，追求所谓的“理想几何结构”。
分类不理想不能归因于数据集的几何结构。
对于相同的模糊相似矩阵，文献建立了一种判断模糊聚类有效性的方法。
在有固定显著性水平的情况下，在不同分类中选择F统一测量临界值与F检验临界值之间的最大差值是一种有效的分类方法。
但是，当显著性水平发生变化时，该方法的结果也会发生变化。
文献引入模糊划分办公室来评价模糊聚类的有效性，并人为规定当两个类别的办公室大于1时，两个类别可以合并，最终通过逐次合并得到有效的分类。
这种方法有较多的人为干预，当指定的数量不同时，会得到不同的结果。
系统聚类法。
系统聚类法是一种基于模糊等价关系的模糊聚类分析方法。
在经典的聚类分析方法中，样本集可以通过经典的等价关系进行聚类。
模糊聚类分析
模糊聚类。
FCM(Fuzzy C-Means)算法是一种模糊聚类算法，属于软聚类，即一个样本点可以属于多个类。
与层次聚类、均值聚类和密度聚类不同，一个样本只能属于一个类，也可以不属于一个类。
模糊聚类引入了隶属度值的概念，即每个样本使用[0，1](相似概率或概率值)的隶属度值来确定其对每个聚类的隶属程度。
当您的成员资格值仅设置为0或1时，它实际上是K均值聚类。
同时，模糊聚类有一个约束条件，即每个聚类样本的隶属度值之和等于1。
聚类的思想是，一个簇中样本点之间的差异越小，簇之间的差异就越大。
模糊聚类中的C与K-Means中的K的含义相同，K指的是聚类的数量。
除了这个C之外，在模糊聚类中还有一个参数M。
其中，C用来控制聚类数，参数M用来控制算法的灵活性，这会影响聚类的准确性。
如果M太小，采样点的分布会分散，会产生很大的噪声(离群值)影响。
如果取值过大，样本点会密集分布，对主流偏斜度的样本点控制程度较弱。
通常，m的值是2(r中的默认值是2)。
模糊聚类算法通过迭代计算目标函数的最小值来判断算法的运行情况。
算法大致如下：1.随机生成c个聚类中心(或随机生成一些隶属度值)；
2.计算隶属度矩阵(或计算聚类中心)；
3.利用隶属度矩阵(或聚类中心)重新计算聚类中心(或隶属度矩阵)；
4.计算目标函数；
5.如果判断目标函数达到最小值或趋于不再有较大波动，则停止操作，确定最终聚类结果；否则，将重新计算隶属度矩阵(或聚类中心)。
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二、模糊聚类分析在环境分类中的应用
设每个环境单元要考虑四个因素：空气、水分、 土壤、作物。环境单元的污染状况有污染物在四因 素中含量的超限度来描述。现在有五个环境单元， 它们的污染数据如下： 污染 环境1 环境2 环境3 环境4 环境5 在空气中 在水分中 在土壤中 在作物中 5 5 3 2 2 3 4 5 5 5 2 3 1 5 3 1 2 4 5 1
定理2 设R是U上n阶模糊相似矩阵，则 存在一个最小自然数k（k<=n),使得传递 闭包t(R) =Rk,对于一切大于k 的自然数l， 恒有Rl=Rk.此时， t(R) 为模糊等价矩阵。
例3：设
求传递闭包t( R ).
例4：设甲、乙、丙、丁、戊5人面貌“彼此 相象”的Fuzzy关系如下：
试对他们进行分类，并做聚类图。
例5:设U={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7},给出模糊相似 矩阵
请做模糊聚类分析。
6.3 模糊聚类分析的应用
一、模糊聚类分析的一般步骤 1. 列出数据矩阵 2. 数据标准化 3. 建立模糊相似矩阵(标定) 4. 求传递闭包 5. 聚类
5、几何平均最小法 rij
min( x ，x
k 1 ik
m
jk
)
k 1
m k 1
m
xik x jk
6、绝对值指数法 rij e
| xik x jk |
7、绝对值减数法 1 i j m rij 1 c | xik x jk | i j k 1 其中选择合适的c，使得0 rij 1
建立相似关系的常用方法
建立相似关系的常用方法
3、最大最小法 rij
min( x ，x max( x ，x
k 1 ik k 1 m ik
m
jk
) )
jk
4、算术平均最小法 rij
min( x ，x
k 1 ik
m
jk
)
1 m ( xik x jk ) 2 k 1
三、模糊聚类在农村能源区划中的应用。 能源是国民经济发展的物质基础，农 村能源又是国家能源体系的重要组成部 分。研究农村能源区域规划将为今后有 重点、有步骤地开发利用农村能源提供 依据，为农村能源的建设提供科学决策。
设论域U={x1,x2…x15}为平潭县的15个乡镇，每个乡镇 用四个区划指标来表示，即xi=(xi1,xi2,xi3,xi4) Xi1---能源资源丰富度，即人均年占有能源资源量（标 准煤，kg/(人.年） Xi2---能源资源丰富度，即以资源量和需求量的比值百 分比数表示（%） Xi3---人均年薪柴资源量（kg/(人.年)) Xi4---人均年沼气资源量(m3/(人.年)) 对15个乡镇的薪柴、沼气等资源量以及需求量进行实 地调查，将15个区划单元的区划指标列于表中。
例2 ： 设甲、乙、丙、丁、戊五人相像 的模糊关系如下：
试对他们进行分类，并做聚类图。
6.2 模糊相似矩阵 定义1 设论域U={x1,x2…xn},R为U上的n 阶模糊矩阵，I为单位阵，若R满足 1. 自反性：I<=R(rii=1) 2. 对称性： RT=R（rij=rji) 则称R为模糊相似矩阵。
例1：请问
是否为模糊相似矩阵？
定义2 设论域U={x1,x2…xn},R为U上的模 糊矩阵，I为单位阵，若R满足
则称R为模糊传递矩阵。
例2：请问
是否为模糊传递矩阵？
定理1 设模糊矩阵A是n阶自反矩阵，则 有
定义3 设Q、S、A 是U上的n阶模糊矩阵， 满足
总有 Q>=S，则称S为A 的传递闭包。记为t(A),即S=t(A)。
192.2
95.7 258.6 105.5 110.9 90.3
84
32.8 113 36.1 57.2 28.8
124.1
-31.6 118.9 35.2 34.9 27.5
33.1
-30.6 71.9 34.5 49.7 31
12
13 14 15
芦洋
白青 屿头 潭城
472.9
84.2 127.2 200.0
201
28.8 43.6 68.5
265.4
39.8 22.9 59.9
116.1
18.4 54.6 75.2
四、模糊聚类分析在市场划分中的应用 在市场经济条件下，市场划分是一项重要 的战略措施。它有许多显著的特点：1.使企业 的产品经销有针对性，可以更好满足顾客的 需求；2.在市场经营上便于专业化，从而销售 人员可以集中力量对一些特定顾客进行宣传和 推销，从而提高市场经营的效果。因此，将市 场动态地划分为各个层次的若干种类是很有意 义的。
例1：设U={x1,x2},试问
是否为模糊等价矩阵？
定理1 R是模糊等价矩阵 Rλ是等价的Boole矩阵。 注：集合X上的任一等价关系可以确定X 的一个分类；反过来，集合X的任一分类 可以确定X上的一个等价关系。
[0,1] 定理2 设R是n阶模糊矩阵，则对λ，μ 且λ<μ, 有Rμ所决定的类是Rλ决定的类的子类。
样本号
1 2
乡镇
大练 平原
xi1
310.6 180.2
xi2
136 78.7
xi3
216.6 86.8
xi4
47 45.3
3
4 5
流水
岚城 北惜
168.8
267.1 289.6
54
91.5 126.5
82.8
114.9 186.3
43.8
80.1 52.6
6
7 8 9 10 11
南海
苏沃 中楼 潭东 敖东 东痒