聚类分析-模糊聚类分析解析

为A 与B 的合成，其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s} .
模糊方阵的幂
定义：若A为 n 阶方阵，定义A2 = A ° A，A3 = A2 ° A，…，Ak = Ak-1 ° A.
0.1 0.4
0.3
3
0.3
0.7 0.4
0.3 0.7
0.1 0.4
00..73
0.3 0.4
模糊矩阵间的关系及并、交、余运算
设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩阵，定义 相等：A = B aij = bij； 包含：A≤B aij≤bij； 并：A∪B = (aij∨bij)m×n； 交：A∩B = (aij∧bij)m×n； 余：Ac = (1- aij)m×n.
模糊关系的矩阵表示
对于有限论域 X = {x1, x2, … , xm}和Y = { y1, y2, … , yn}，则X 到Y 模糊关系R可用m×n 阶模糊 矩阵表示，即
R = (rij)m×n， 其中rij = R (xi , yj )∈[0, 1]表示(xi , yj )关于模糊关 系R 的相关程度.
R2≤R ( ∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} ≤ rij) .
当＜时, R的分类是R分类的加细.当由1变
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ到0时, R的分类由细变粗,由模糊等价关系R确定 的分类所含元素由少变多,逐步归并,最后成一类, 这个过程形成一个动态聚类图,称之为模糊分类．
00..73
模糊矩阵的转置
定义 设A = (aij)m×n, 称AT = (aijT )n×m为A的转置 矩阵，其中aijT = aji.
转置运算的性质：
性质1：( AT )T = A； 性质2：( A∪B )T = AT∪BT，
( A∩B )T = AT∩BT； 性质3：( A ° B )T = BT ° AT；( An )T =( AT )n ； 性质4：( Ac )T = ( AT )c ； 性质5：A≤B AT ≤BT .
例
设A
0.1 0.2
0.3 0.1
,
B
0.2 0.3
00..21，则
A
0.2
B
0.3
0.3
0.2
,
A
0.1
B
0.2
0.1 0.1 ,
Ac
0.9
0.8
0.7
0.9
模糊矩阵的合成
设A = (aik)m×s，B = (bkj)s×n，称模糊矩阵 A ° B = (cij)m×n，
设R，R1，R2均为从 X 到 Y 的模糊关系. 相等：R1= R2 R1(x, y) = R2(x, y)； 包含： R1 R2 R1(x, y)≤R2(x, y)； 并： R1∪R2 的隶属函数为
(R1∪R2 )(x, y) = R1(x, y)∨R2(x, y)； 交： R1∩R2 的隶属函数为
模糊矩阵的λ－截矩阵
设A = (aij)m×n,对任意的∈[0, 1]，称 A= (aij())m×n,为模糊矩阵A的 - 截矩阵, 其中
当aij≥ 时，aij() =1； 当aij＜ 时，aij() =0. 显然，A的 - 截矩阵为布尔矩阵.
1 0.5 0.2 0
1 1 0 0
A
0.5 0.2 0
矩阵的合成.
设X = {x1, x2, …, xm},Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z= {z1, z2, … , zn},且X 到Y 的模糊关系R1 = (aik)m×s ， Y 到Z 的模糊关系R2 = (bkj)s×n ，则X 到Z 的模糊 关系可表示为模糊矩阵的合成：
R1 ° R2 = (cij)m×n 其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}.
模糊等价矩阵
若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且 满足：
(1)自反性：R(x, x) (2)对称性：R(x, y) (3)传递性：R2R,
=1； =R(y,
x)；
I
≤R ( rii =1 ) RT=R( rij= R2≤R.
rji)
则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.
当论域X = {x1, x2, …, xn}为有限时, X 上的一个 模糊等价关系R就是模糊等价矩阵, 即R满足：
1 0.1 0.3
0.1 1 0.8
001..83,
A0.3
1
0 0
1 0 1
0 1 1
1 11
模糊聚类分析
模糊关系 模糊等价矩阵 模糊相似矩阵 模糊聚类分析的一般步骤
模糊关系
与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关 系是普通关系的推广.
设有论域X，Y，X Y 的一个模糊子集 R 称 为从 X 到 Y 的模糊关系.
模糊聚类分析
模糊矩阵
模糊矩阵 模糊矩阵间的关系及并、交、余运算 模糊矩阵的合成 模糊矩阵的转置
模糊矩阵的λ－截矩阵
模糊矩阵
设R = (rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模糊矩阵. 当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵. 当模糊 方阵R = (rij)n×n的对角线上的元素rii都为1时，称 R为模糊自反矩阵.
又若R为布尔矩阵时,则关系R为普通关系,即xi 与 yj 之间要么有关系(rij = 1),要么没有关系( rij = 0 ).
模糊关系的合成
设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系.
(R1 ° R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y } 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊
(R1∩R2 )(x, y) = R1(x, y)∧R2(x, y)； 余：Rc 的隶属函数为Rc (x, y) = 1- R(x, y).
(R1∪R2 )(x, y)表示(x, y)对模糊关系“R1或者 R2”的相关程度， (R1∩R2 )(x, y)表示(x, y)对模糊 关系“R1且R2”的相关程度，Rc (x, y)表示(x, y)对 模糊关系“非R”的相关程度.
模糊子集 R 的隶属函数为映射
R : X Y [0,1]. 并称隶属度R (x , y ) 为 (x , y )关于模糊关系 R 的 相关程度.
特别地，当 X =Y 时，称之为 X 上各元素之 间的模糊关系.
模糊关系的运算
由于模糊关系 R就是X Y 的一个模糊子集， 因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质.