曲线运动题型总结

题型一．运动的合成与分解：

例1：一人骑自行车向东行驶，当车速为4m ／s 时，他感到风从正南方向吹来，当车速增加到7m ／s 时。他感到风从东南方向（东偏南45o）吹来，则风对地的速度大小为（ ） A. 7m/s B. 6m ／s C. 5m ／s D. 4 m ／s

解析：“他感到风从正南方向（东南方向）吹来” ，即风相对车的方向是正南方向（东南方向）。而风相对地的速度方向不变，由此可联立求解。 解：∵θ=45°∴V 风对车=7— 4=3 m ／s ∵风对地车对地风对车V V V =+ ∴V 风对地=53422=+ m ／s 答案：C

变式1.匀速上升的载人气球中，有人水平向右抛出一物体，取竖直向上为y 轴正方向，水平向右为x 轴正方向，取抛出点为坐标原点，则地面上的人看到的物体运动轨迹是下图中的：

A B C D

解析：物体具有竖直向上的初速度，在空中只受重力作用，所以做斜上抛运动（水平方向作匀速运动、竖直方向做竖直上抛运动。）答案：B

变式2. 一个劈形物体M ，各面都光滑，放在固定的斜面上，上表面水平，在上表面放一个光滑小球m ，劈形物体由静止开始释放，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是（ ）

A 、 沿斜面向下的直线

B 、竖直向下的直线

C 、无规则的曲线

D 、抛物线

解析：由于小球初速度为零，所以不可能做曲线运动；又因为小球水平方向不受力，水平方向运动状态不变，所以只能向下运动。答案：C

练习1. 如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O 点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度( )

A.大小和方向均不变

B.大小不变，方向改变

V 风对V 风对

V 车对

m

C.大小改变，方向不变

D.大小和方向均改变

练习2、如图所示为一空间探测器的示意图，P 1 、P 2 、P 3 、P 4是四个喷气发动机， P 1 、P 2的连线与空间一固定坐标系的x 轴平行，P 3 、P 4的连线与y 轴平行．每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动．开始时，探测器以恒定的速率v o 向正x 方向平动．要使探测器改为向正x 偏负y 60° 的方向以原来的速率v o 平动，则可( ) A ．先开动P 1 适当时间，再开动P 4 适当时间 B. 先开动P 3 适当时间，再开动P 2 适当时间 C. 开动P 4 适当时间

D. 先开动P 3 适当时间，再开动P 4 适当时间

解析:火箭、喷气飞机等是由燃料的反作用力提供动力，所以 P 1 、P 2 、P 3 、P 4分别受到向左、上、右、下的作用力。使探测器改为向正x 偏负y 60° 的方向以原来的速率v o 平动，所以水平方向上要减速、竖直方向上要加速。答案：A

题型二． （牵连速度）绳（杆）拉物类问题 1.绳（杆）上各点在绳（杆）方向．．．．．．

上的速度相等 2.合速度方向：物体实际运动方向

3.分速度方向：沿绳（杆）伸（缩）方向：使绳（杆）伸（缩）

4.垂直于绳（杆）方向：使绳（杆）转动

例2：如图所示，重物M 沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m 沿斜面升高．问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v 时，小车的速度为多少？ 解：方法一：虚拟重物M 在Δt 时间内从A 移过Δh 到达Ｃ的运动，如图（1）所示，这个运动可设想为两个分运动所合成，即先随绳绕滑轮的中心轴O 点做圆周运动到B ，位移为Δs 1，然后将绳拉过Δs 2到C ．若Δt 很小趋近于0，

那么Δφ→0，则Δs 1＝0，又OA ＝OB ，∠OBA ＝β＝（180°－Δφ)→90°．

亦即Δs 1近似⊥Δs 2，故应有：Δs 2＝Δh ·cos θ

因为

·cos θ，所以v ′＝v ·cos θ 21

t h

t s ??=??

2

方法二：重物M 的速度v 的方向是合运动的速度方向，这个v 产生两个效果：一是使绳的这一端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动；二是使绳系着重物的一端沿绳拉力的方向以速率v ′运动，如图（2）所示，由图可知，v ′＝v ·cos θ．

（1） （2）

变式3：一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B ，如图所示，设汽车和重物的速度的大小分别为

B A v v ,，则（ ）

A 、

B A v v = B 、B A v v ?

C 、B A v v ?

D 、重物B 的速度逐渐增大

解析：（微元法）设经过t ，物体前进1s ，绳子伸长2s ：t v s A =1，t v s B =2?θcos A B v v =?

↓θ ，↑B v ,θcos 12s s =. ∵1cos ?θ， ∴A B v v ?

变式4：如图所示，一轻杆两端分别固定质量为m A 和m B 的两个小球A 和B （可视为质点）。将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成α角时，A 球沿槽下滑的速度为V A ，求此时B 球的速度V B ？

解：A 球以V A 的速度沿斜槽滑下时，可分解为：一个使杆压缩的分运动，设其速度为V A1；一个使杆绕B 点转动的分运动，设其速度为V A2。而B 球沿斜槽上滑的运动为合运动，设其速度为V B ，可分解为：一个使杆伸长的分运动，设其速度为V B1，V B1=V A1；一个使杆摆动的分运动设其速度为V B2；

由图可知：ααcos sin 11A A B B V V V V === αcot ?=A B V V

5. 在水平面上有A 、B 两个物体，通过一根跨过定滑轮的不可伸长的轻绳相连接，现A 物体以

v A 的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别为α、β时，B 物体的运动速度vB

为

V

（绳始终有拉力）（ ） A.

A v sin sin βα B. A v sin cos βα C. A v cos sin βα D. A v cos cos β

α

6.如图所示，纤绳以恒定速率v 0沿水平方向通过定滑轮牵引小船靠岸，当纤绳与水面夹角为θ时，船靠岸的速度是 ，若使船匀速靠岸，则纤绳的速度是 。（填：匀速、加速、减速）

题型三．渡河问题

（1）以时间为限制条件：①时间最短：使船头垂直于河岸航行.船

短v d t =（d 为河宽） αsin d

s =

（α为合速度与水流速度的夹角） ②普通情况：β

sin 船v d

t =

（β为船头与河岸的夹角）

（2）以位移为限制条件：

①船水v v ? d S =短 （d 为河宽） θsin 船v d

t =

（θ为船头与河岸的夹角）

②船水v v ? 2

2船水合v v v -= 船

水

短v dv S =

船的真实方向指的是船的航行方向；船的划行方向指的是船头指向。

例1：在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2,战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为(

)

解析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为v 2，到达江岸所用时间

t=

2

v d

；沿江岸方向的运动速度是水速v 1在相同的时间内，被水冲下的距离，即为登陆点距离0点距离2

1

1v dv t v s ==。 答案：C

例2：某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T 1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T 2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ）

(A) (B) (C) (D)

解析：设船速为1v ，水速为2v ，河宽为d ，则由题意可知 ： 1

1v d

T = ①

当此人用最短位移过河时，即合速度v 方向应垂直于河岸，如图所示，则22

21

2v

v d T -=

②

联立①②式可得：12

22121v v v T T -= ，进一步得21

22221T T T v v -= 答案：A

3、如图所示，A 、B 为两游泳运动员隔着水流湍急的河流站在两岸边，A 在较下游的位置，且A 的游泳成绩比B 好，现让两人同时下水游泳，要求两人尽快在河中相遇，试问应采用下列哪种方法才能实现？（ ）

A. A 、B 均向对方游（即沿虚线方向）而不考虑水流作用

B. B 沿虚线向A 游且A 沿虚线偏向上游方向游

C. A 沿虚线向B 游且B 沿虚线偏向上游方向游

D. 都应沿虚线偏向下游方向，且B 比A 更偏向下游

解析:游泳运动员在河里游泳时同时参与两种运动，一是被水冲向下游，二是沿自己划行方向的划

行运动。游泳的方向是人相对于水的方向。选水为参考系，A 、B 两运动员只有一种运动，由于两点之间直线最短，所以选A 。

二、平抛运动

【题型总结】 题型一．斜面问题： 1.分解速度：

例1：如图所示，以水平初速度0v 抛出的物体，飞行一段时间后，垂直撞在倾角为θ的斜面上，求物体完成这段飞行的时间和位移。 解：gt

v v v y x 0tan ==

θ ， ∴θtan 0

?=

g v t θ

θθθ2

22

002

tan 2)1tan 2(tan 21tan g v t v gt S S S x y +=?+=?+= 变式1：如图所示，在倾角为370的斜面底端的正上方H 处，平抛一小球，该小球垂直打在斜面上的一点，求小球抛出时的初速度。

解：小球水平位移为0x v t =，竖直位移为2

12

y gt =

,由图可知，20012tan 37H gt v t -

=

，又00tan 37v gt

=

，解之得：0v =①

解位移：

例2：如图，在倾角为θ的斜面顶端A 处以速度0v 水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B 处，设空气阻力不计，求小球从A 运动到B 处所需的时间和位移。

解：设小球从A 处运动到B 处所需的时间为t ，则水平位移t v x 0= ，竖直位移2

2

1gt y =

。θtan )(2102t v gt = ，∴g

v t θtan 20= θθθθsin tan 2sin 21sin 2

202g v gt S S y ===

练习1：（求平抛物体的落点）如图，斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，ab =bc =cd 。从a 点正上方的O 点以速度v 0水平抛出一个小球，它落在斜面上b 点。若小球从O 点以速度2v 0水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的

A ．b 与c 之间某一点

B ．c 点

C ．c 与d 之间某一点

D ．d 点

解析：当水平速度变为2v 0时，如果作过b 点的直线be ，小球将落在c 的正下方的直线上一点，连接O 点和e 点的曲线，和斜面相交于bc 间的一点，故A 对。

答案：A

练习2：（证明某一夹角为定值）从倾角为θ的足够长的A 点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v 1，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为，第二次初速度

，球落在斜面

上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为

，若

，试比较

的大小。

解析：

，

所以。

即以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点的速度是互相平行的。

练习3：（求时间或位移之比）如图所示，AB 为斜面，BC 为水平面，从A 点以水平初速度v 向右抛出一小球，其落点与A 的水平距离为s 1，从A 点以水平初速度2v 向右抛出一小球，其落点与A 的水平距离为s 2，不计空气阻力，可能为：

A. 1：2

B. 1：3

C. 1：4

D. 1：5

解析：若两物体都落在水平面上，则运动时间相等，有，A 是可能的。

若两物体都落在斜面上，由公式

得，运动时间分别为

，

。水平位移

，C 是可能。

若第一球落在斜面上，第二球落在水平面上（如图所示），不会小于1：4，但一定小于1：2。故1：3是可能的，1：5不可能。

答案：ABC

练习4：（斜面上的最值问题）在倾角为θ的斜面上以初速度v 0平抛一物

体，

经多长时间物体离斜面最远，离斜面的最大距离是多少？ 解：方法一：如图所示，速度方向平行斜面时，离斜面最远,由

，则运动时间为，此时横坐标为

。又此时速度方向反向延长线交横轴于处：

。

方法二：建立如图所示坐标系

,

,

,

把运动看成是沿x 方向初速度为

，加速度为的匀加速运动和沿y 方向的初速度为

，加速度为

的匀减速运动的合运动。

最远处

，

所以，

2．类平抛运动：

例1：如图所示，光滑斜面长为a ，宽为b ，倾角为θ ，一物体从斜面右上方P 点水平射入，而从斜面左下方顶点Q 离开斜面，求入射初速度。

解：物体在光滑斜面上只受重力和斜面对物体的支持力，因此物体所受到的合力大小为F ＝θsin mg ，方向沿斜面向下；根据牛顿第二定律，则物体沿斜面方向的加速度应为a 加＝

θsin g m

F

=，又由于物体的初速度与a 加垂直，所以物体的运动可分解为两个方向的运动，即水平方向是速度为v 0的匀速直线运动，沿斜面向下的是初速度为零的匀加速直线运动。 在水平方向上有 b= v 0 t ，沿斜面向下的方向上有a ＝

2

1

a 加t 2。 ∴a

g b t b v 2sin 0θ==

。 练习1：如图所示，有一个很深的竖直井，井的横截面为一个圆，半径为R ，且井壁光滑，有一个小球从井口的一侧以水平速度0v 抛出与井壁发生碰撞，撞后以原速率被反弹，求小球与井壁发生第

n 次碰撞处的深度。

解：由于小球与井壁相碰时，小球的速率不变，因此在水平方向上小球一直是匀速率运动，当小球与井壁相碰n 次时，小球在水平方向上通过的路程：nR S x 2= ，所以用的时间0

2v nR

v S t x =

=

，由于小球在竖直方向上做的是自由落体运动，因此

小球在竖直方向上的位移2

0222022)2(2121v g

R n v nR g gt S y === 即小球与井壁发生第n 次碰撞时的深度为2

222v g

R n