【新必修2··复数】复数导学案(教师版)

第1节数系的扩充和复数的概念

※知识要点

教材整理1 复数的有关概念及复数相等的充要条件 1．复数

(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，且i 2＝－1，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部． (2)表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式． 2．复数集

(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集． (2)表示：通常用大写字母C 表示． 3．复数相等的充要条件

设a ，b ，c ，d 都是实数，则? a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d ， ? a ＋b i ＝0?a ＝b ＝0.

即时训练1：1．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( )

A ．－2 B.23 C ．－2

D ．2

【答案】 D

2．若(2m －5n )＋3i ＝3n －(m ＋5)i ，m ，n ∈R ，则m ＋n ＝_____. 【答案】－10

教材整理2 复数的分类 1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ?

实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)??? 纯虚数a ＝0，b ≠0，非纯虚数a ≠0，b ≠0.

2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：

即时训练2：判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数．( ) (3)两个虚数不能比较大小．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√

※题型讲练

考点一复数的有关概念

【例1】(1)下列命题中，正确命题的个数是( )

①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 (2)给出下列三个命题： ①若z ∈C ，则z 2≥0； ②2i －1虚部是2i ； ③2i 的实部是0. 其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】 (1)A (2)B

[再练一题]

1．(1)给出下列复数：2＋3，0.618，i 2,5i ＋4，2i ，其中为实数的是________． (2)给出下列几个命题： ①若x 是实数，则x 可能不是复数；

②若z 是虚数，则z 不是实数；

③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根．则其中正确命题的个数为________．【答案】 (1)2＋3，0.618，i 2 (2)1 考点二复数的分类

【例2】已知复数z ＝a 2－7a ＋6

a 2－1

＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实

数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【解答】

(1) ??

a 2－5a －6＝0，

a 2－1≠0，

∴当a ＝6时，z 为实数．

(2)??

a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，

∴当a ≠±1且a ≠6时，z 为虚数．

(3)???

a 2－5a －6≠0，

a 2－1≠0，a 2

－7a ＋6＝0，

∴不存在实数a 使z 为纯虚数．

[再练一题]

2．已知m ∈R ，复数z ＝

m (m ＋2)

m －1

＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？(2)z 为虚数？(3)z 为纯虚数？【解】 (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且

m (m ＋2)

m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.

(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)

m －1有意义，

即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.

(3)要使z 为纯虚数，需满足m (m ＋2)

m －1

＝0，且m 2＋2m －3≠0，

解得m ＝0或m ＝－2.

考点三复数相等的条件

【例3】(1)设复数z 1＝(x －y )＋(x ＋3)i ，z 2＝(3x ＋2y )－y i ，若z 1＝z 2，实数x ＝________，y ＝________.

(2)已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________．

【答案】 (1)－9 6 (2)112 －1

[再练一题]

3．(1)适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x ，y 的值为( ) A ．x ＝0，且y ＝3 B ．x ＝0，且y ＝－3 C ．x ＝5，且y ＝3 D ．x ＝3，且y ＝0

(2)关于x 的方程3x 2－a

x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a

的值为________．

【答案】 (1)A (2)11或－71

考点四复数的不相等关系

探究1 若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i 成立吗？【提示】不成立．如果两个复数不全是实数，那么它们就不

能比较大小．探究2 若(a －2)＋b i>0，则实数a ，b 满足什么条件？【提示】 b ＝0，a >2.

【例4】已知复数x 2－1＋(y ＋1)i 大于复数2x ＋3＋(y 2－1)i ，试求实数x ，y 的取值范围．

【解答】因为x 2－1＋(y ＋1)i>2x ＋3＋(y 2－1)i ，

所以???

y ＋1＝0，y 2－1＝0，

x 2

－1>2x ＋3，

即{x |x <1－5或x >1＋5}，{y |y ＝－

1}．

[再练一题]

4．已知复数z ＝3x －1－x ＋(x 2－4x ＋3)i>0，求实数x 的值．【解】 ∵z >0，∴z ∈R .

∴x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3. ∵z >0，∴3x －1－x >0.

对于不等式

3x －1－x >0，x ＝1适合，x ＝3不适合．

∴x ＝1.

※课堂反馈

1．复数????

2－

32i 的虚部为( )

A ．2

B ．－32

C ．2－3

D ．0

【答案】 C

2．设集合A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，C ＝{复数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是( ) A ．A ∪B ＝C B ．A ＝B C ．A ∩(?S B )＝? D ．(?S A )∪(?S B )＝C 【答案】 D 3．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4 D ．0或－4 【答案】 C

4．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞0，求实数m 的值为________．【答案】 2

5．若x ∈R ，试确定实数a 的值，使等式3x 2－a

x ＋(2x 2＋x )i ＝1

＋10i 成立．

【解】由复数相等的充要条件，得 ?

3x 2－a 2x ＝1， ①

2x 2＋x ＝10. ②

由②得x ＝2或x ＝－5

，

分别代入①得a ＝11或a ＝－71

※课后分层练习(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．复数－2i 的实部与虚部分别是( ) A ．0,2 B ．0,0 C ．0，－2 D ．－2,0 【答案】 C 2．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1或－2 D ．1或2 【答案】 B

3．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且b ＋(a －2)i ＝1＋i ，则a ＋b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 D

4．在下列命题中，正确命题的个数是( ) ①两个复数不能比较大小；

②若z 1和z 2都是虚数，且它们的虚部相等，则z 1＝z 2； ③若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 必为纯虚数．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 【答案】 A

5．已知复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ，b ∈R )，则“a ＝2”是“z 为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】 A 二、填空题

6．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是________．【答案】 3－3i

7．若x 是实数，y 是纯虚数，且(2x －1)＋2i ＝y ，则x ，y 的值为________.

【答案】 x ＝1

，y ＝2i

8．给出下列说法：

①复数由实数、虚数、纯虚数构成； ②满足x 2＝－1的数x 只有i ；

③形如b i(b ∈R )的数不一定是纯虚数； ④复数m ＋n i 的实部一定是m . 其中正确说法的个数为________．【答案】 1 三、解答题

9．已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i ，当实数m 取什么值时：(1)复数z 是零；(2)复数z 是纯虚数．【解】

(1)∵z 是零，∴??

m (m －1)＝0，

m 2＋2m －3＝0，

解得m ＝1.

(2)∵z 是纯虚数，∴??

m (m －1)＝0，

m 2＋2m －3≠0，

解得m ＝0.

综上，当m ＝1时，z 是零；当m ＝0时，z 是纯虚数． 10．已知集合M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．【解】因为M ∪P ＝P ，所以M ?P ，

即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得

??? m 2－2m ＝－1，m 2

＋m －2＝0，解得m ＝1；

由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得

???

m 2－2m ＝0，m 2

＋m －2＝4，

解得m ＝2.

综上可知，m ＝1或m ＝2.

[能力提升]

1．已知复数z ＝a 2＋(2a ＋3)i(a ∈R )的实部大于虚部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1或3 B ．{a |a >3或a <－1} C ．{a |a >－3或a <1} D ．{a |a >3或a ＝－1} 【答案】 B

2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( ) A.π4 B.π4或54

π C ．2k π＋π4(k ∈Z ) D ．k π＋π

(k ∈Z )

【答案】 D

3．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x=_____．

【答案】－2

4．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根x 0，求x 0以及实数k 的值.

【解】 x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理，得 (x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0. 由复数相等的充要条件，得

x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0，

解得??

x 0＝2，k ＝－22

或??

x 0＝－2，k ＝2 2.

∴方程的实根为x 0＝2或x 0＝－2，相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2

第2节复数的几何意义

※知识要点

教材整理复数的几何意义及复数的模

1．复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴；

注意：实轴上的点都表示实数，虚轴上的点，除了原点外都表示纯虚数．

2．复数的几何意义

(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )

(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 一一对应．

为方便起见，我们常把复数z ＝a ＋b i 说成点Z 或说成向量→

OZ ，并且规定，相等的向量表示同一个复数． 3．复数的模

向量→

OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即：r ＝|z |＝|a ＋b i|＝r ≥0，且r ∈R )．

即时训练1：判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( ) (2)复数的模一定是正实数．( )

(3)复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)×

※题型讲练

考点一复数与复平面内点的关系

【例1】已知复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点满足下列条件时，求a 的值(或取值范围)． (1)在实轴上； (2)在第三象限；【解答】复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i 的实部为a 2－1，虚部为2a －1，在复平面内对应的点为(a 2－1,2a －1)． (1)若z 对应的点在实轴上，则有

2a －1＝0，解得a ＝1

(2)若z 对应的点在第三象限，则有

a 2－1<0，2a －1<0，

解得－1

[再练一题]

1．在复平面内，当复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应点满足下列条件时，分别求实数m 的取值范围： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线y ＝x 上.

【解】复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2.

(1)由题意得m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.