【新必修2··复数】复数导学案(教师版)

第1节 数系的扩充和复数的概念※知识要点教材整理1 复数的有关概念及复数相等的充要条件 1．复数(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，且i 2＝－1，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部． (2)表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式． 2．复数集(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集． (2)表示：通常用大写字母C 表示． 3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，则➀ a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ， ➁ a ＋b i ＝0⇔a ＝b ＝0.即时训练1：1．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( )A ．－2 B.23 C ．－23D ．2【答案】 D2．若(2m －5n )＋3i ＝3n －(m ＋5)i ，m ，n ∈R ，则m ＋n ＝_____. 【答案】 －10教材整理2 复数的分类 1． 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)⎩⎨⎧ 纯虚数a ＝0，b ≠0，非纯虚数a ≠0，b ≠0.2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：即时训练2：判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数．( ) (3)两个虚数不能比较大小．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√※题型讲练考点一 复数的有关概念【例1】(1)下列命题中，正确命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 (2)给出下列三个命题： ①若z ∈C ，则z 2≥0； ②2i －1虚部是2i ； ③2i 的实部是0. 其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】 (1)A (2)B[再练一题]1．(1)给出下列复数：2＋3，0.618，i 2,5i ＋4，2i ，其中为实数的是________． (2)给出下列几个命题： ①若x 是实数，则x 可能不是复数；②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根．则其中正确命题的个数为________． 【答案】 (1)2＋3，0.618，i 2 (2)1 考点二 复数的分类【例2】已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 【解答】(1) ⎩⎨⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴当a ＝6时，z 为实数．(2)⎩⎨⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，∴当a ≠±1且a ≠6时，z 为虚数．(3)⎩⎨⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，a 2－7a ＋6＝0，∴不存在实数a 使z 为纯虚数．[再练一题]2．已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？(2)z 为虚数？(3)z 为纯虚数？ 【解】 (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m (m ＋2)m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.考点三 复数相等的条件【例3】(1)设复数z 1＝(x －y )＋(x ＋3)i ，z 2＝(3x ＋2y )－y i ，若z 1＝z 2，实数x ＝________，y ＝________.(2)已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________．【答案】 (1)－9 6 (2)112 －12[再练一题]3．(1)适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x ，y 的值为( ) A ．x ＝0，且y ＝3 B ．x ＝0，且y ＝－3 C ．x ＝5，且y ＝3 D ．x ＝3，且y ＝0(2)关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a的值为________．【答案】 (1)A (2)11或－715考点四 复数的不相等关系探究1 若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i 成立吗？ 【提示】 不成立．如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小． 探究2 若(a －2)＋b i>0，则实数a ，b 满足什么条件？ 【提示】 b ＝0，a >2.【例4】已知复数x 2－1＋(y ＋1)i 大于复数2x ＋3＋(y 2－1)i ，试求实数x ，y 的取值范围．【解答】 因为x 2－1＋(y ＋1)i>2x ＋3＋(y 2－1)i ，所以⎩⎨⎧y ＋1＝0，y 2－1＝0，x 2－1>2x ＋3，即{x |x <1－5或x >1＋5}，{y |y ＝－1}．[再练一题]4．已知复数z ＝3x －1－x ＋(x 2－4x ＋3)i>0，求实数x 的值． 【解】 ∵z >0，∴z ∈R .∴x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3. ∵z >0，∴3x －1－x >0.对于不等式3x －1－x >0，x ＝1适合，x ＝3不适合．∴x ＝1.※课堂反馈1．复数⎝⎛⎭⎫2－32i 的虚部为( )A ．2B ．－32C ．2－32D ．0【答案】 C2．设集合A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，C ＝{复数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是( ) A ．A ∪B ＝C B ．A ＝B C ．A ∩(∁S B )＝∅ D ．(∁S A )∪(∁S B )＝C 【答案】 D 3．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4 D ．0或－4 【答案】 C4．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞0，求实数m 的值为________． 【答案】 25．若x ∈R ，试确定实数a 的值，使等式3x 2－a2x ＋(2x 2＋x )i ＝1＋10i 成立．【解】 由复数相等的充要条件，得 ⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－a 2x ＝1， ①2x 2＋x ＝10. ②由②得x ＝2或x ＝－52，分别代入①得a ＝11或a ＝－715.※课后分层练习(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．复数－2i 的实部与虚部分别是( ) A ．0,2 B ．0,0 C ．0，－2 D ．－2,0 【答案】 C 2．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1或－2 D ．1或2 【答案】 B3．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且b ＋(a －2)i ＝1＋i ，则a ＋b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 D4．在下列命题中，正确命题的个数是( ) ①两个复数不能比较大小；②若z 1和z 2都是虚数，且它们的虚部相等，则z 1＝z 2； ③若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 必为纯虚数．A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】 A5．已知复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ，b ∈R )，则“a ＝2”是“z 为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】 A 二、填空题6．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是________． 【答案】 3－3i7．若x 是实数，y 是纯虚数，且(2x －1)＋2i ＝y ，则x ，y 的值为________.【答案】 x ＝12，y ＝2i8．给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成； ②满足x 2＝－1的数x 只有i ；③形如b i(b ∈R )的数不一定是纯虚数； ④复数m ＋n i 的实部一定是m . 其中正确说法的个数为________． 【答案】 1 三、解答题9．已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i ，当实数m 取什么值时：(1)复数z 是零；(2)复数z 是纯虚数． 【解】(1)∵z 是零，∴⎩⎨⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3＝0，解得m ＝1.(2)∵z 是纯虚数，∴⎩⎨⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0.综上，当m ＝1时，z 是零；当m ＝0时，z 是纯虚数． 10．已知集合M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值． 【解】 因为M ∪P ＝P ，所以M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎨⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1；由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.综上可知，m ＝1或m ＝2.[能力提升]1．已知复数z ＝a 2＋(2a ＋3)i(a ∈R )的实部大于虚部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1或3 B ．{a |a >3或a <－1} C ．{a |a >－3或a <1} D ．{a |a >3或a ＝－1} 【答案】 B2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( ) A.π4 B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z ) D ．k π＋π4(k ∈Z )【答案】 D3．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x=_____．【答案】 －24．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根x 0，求x 0以及实数k 的值.【解】 x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理，得 (x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0. 由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝2，k ＝－22或⎩⎨⎧x 0＝－2，k ＝2 2.∴方程的实根为x 0＝2或x 0＝－2，相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2第2节 复数的几何意义※知识要点教材整理 复数的几何意义及复数的模1．复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴；注意：实轴上的点都表示实数，虚轴上的点，除了原点外都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 一一对应．为方便起见，我们常把复数z ＝a ＋b i 说成点Z 或说成向量→OZ ，并且规定，相等的向量表示同一个复数． 3．复数的模向量→OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|， 即：r ＝|z |＝|a ＋b i|＝r ≥0，且r ∈R )．即时训练1：判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( ) (2)复数的模一定是正实数．( )(3)复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)×※题型讲练考点一 复数与复平面内点的关系【例1】已知复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点满足下列条件时，求a 的值(或取值范围)． (1)在实轴上； (2)在第三象限； 【解答】 复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i 的实部为a 2－1，虚部为2a －1，在复平面内对应的点为(a 2－1,2a －1)． (1)若z 对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12.(2)若z 对应的点在第三象限，则有⎩⎨⎧a 2－1<0，2a －1<0，解得－1<a <12.[再练一题]1．在复平面内，当复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应点满足下列条件时，分别求实数m 的取值范围： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线y ＝x 上.【解】 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2.(1)由题意得m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得⎩⎨⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎨⎧－1<m <2，m >2或m <1，∴－1<m <1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，∴m ＝2.考点二 复数与向量的对应关系【例2】(1)已知复数z 1＝－3＋4i ，z 2＝2a ＋i(a ∈R )对应的点分别为Z 1和Z 2，且→OZ 1⊥→OZ 2，则a 的值为________．(2)已知向量→OA 对应的复数是4＋3i ，点A 关于实轴的对称点为A 1，将向量→OA 1平移，使其起点移动到A 点，这时终点为A 2.①求向量→OA 1对应的复数； ②求点A 2对应的复数．【解答】 (1) 23(2)①→OA 1对应的复数是4－3i. ②点A 2对应的复数是8.[再练一题]2．在复平面内，O 是原点，若向量→OA 对应的复数z 的实部为3，且|→OA |＝3，如果点A 关于原点的对称点为点B ，求向量→OB 对应的复数．【解】 根据题意设复数z ＝3＋b i(b ∈R )，由复数与复平面内的点、向量的对应关系得→OA ＝(3，b )，已知|→OA |＝3，即32＋b 2＝3，解得b ＝0，故z ＝3，点A 的坐标为(3,0)．因此，点A 关于原点的对称点为B (－3,0)，所以向量→OB 对应的复数为z ′＝－3.考点三 复数模的几何意义及应用探究1 若z ∈C ，则满足|z |＝2的点Z 的集合是什么图形？【提示】 (1)因为|z |＝2，即|→OZ |＝2，所以满足|z |＝2的点Z 的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图所示．探究2 若z ∈C ，则满足2<|z |<3的点Z 的集合是什么图形？ 【提示】 是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图所示．【例3】已知复数z 1＝－3＋i ，z 2＝－12－32i.(1)求|z 1|与|z 2|的值，并比较它们的大小；(2)设复平面内，复数z 满足|z 2|≤|z |≤|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？ 【解答】 (1)|z 1|＝(－3)2＋12＝2.|z 2|＝()－122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1. ∵2＞1，∴|z 1|＞|z 2|.(2)由(1)知|z 2|≤|z |≤|z 1|，则1≤|z |≤2.所以是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，且包括圆环的边界．[再练一题]3．若复数z ＝1＋a i 满足条件|z |<2，则a 的取值范围是_____． 【答案】 (－3， 3)※课堂反馈 1．在复平面内，若→OZ ＝(0，－5)，则→OZ 对应的复数为( ) A ．0 B ．－5 C ．－5i D ．5 【答案】 C2．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】 D3．已知复数z ＝2－3i ，则复数的模|z |是( ) A ．5 B ．8 C ．6 D.11 【答案】 D4．已知复数z ＝x －2＋y i(x ，y ∈R )的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________．【答案】 (x －2)2＋y 2＝85．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z . 【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得，a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.※课后分层练习(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋8i B ．8＋2i C ．2＋4i D ．4＋i 【答案】 C 2．复数z ＝1＋3i 的模等于( ) A ．2 B ．4 C.10 D ．2 2 【答案】 C3．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(1，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【答案】 A4．在复平面内，O 为原点，向量→OA 对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量→OB 对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋IC ．1＋2iD ．－1＋2i 【答案】 B 5．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部为－5，则z 为( )A ．－5＋2iB ．－5－2iC ．－5＋3iD ．－5－3i 【答案】 A 二、填空题6．在复平面内，复数z 与向量(－3,4)相对应，则|z |＝________. 【答案】 57．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数x 的取值范围是________． 【答案】 (1,2)8．已知△ABC 中，→AB ，→AC 对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则→BC 对应的复数为________． 【答案】 －1－5i三、解答题9．若复数z ＝x ＋3＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝2，则点(x ，y )的轨迹是什么图形？ 【解】 ∵|z |＝2， ∴(x ＋3)2＋(y －2)2＝2， 即(x ＋3)2＋(y －2)2＝4.∴点(x ，y )的轨迹是以(－3,2)为圆心，2为半径的圆．10．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝(m －3)＋(m 2－5m －14)i 的点： (1)位于第四象限；(2)位于第一、三象限； (3)位于直线y ＝x 上．【解】 (1)由题意得⎩⎨⎧m －3>0，m 2－5m －14<0，得3<m <7，此时复数z 对应的点位于第四象限．(2)由题意得⎩⎨⎧m －3>0，m 2－5m －14>0或⎩⎨⎧m －3<0，m 2－5m －14<0，∴m >7或－2<m <3，此时复数z 对应的点位于第一、三象限． (3)要使复数z 对应的点在直线y ＝x 上，只需 m 2－5m －14＝m －3， ∴m 2－6m －11＝0， ∴m ＝3±25，此时，复数z 对应的点位于直线y ＝x 上．[能力提升]1．已知a ∈R ，且0<a <1，i 为虚数单位，则复数z ＝a ＋(a －1)i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】 D 2．已知实数a ，x ，y 满足a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，则点(x ，y )的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆心在原点的圆 C ．圆心不在原点的圆 D ．椭圆 【答案】 C3．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝________.【答案】 1＋2i 或－1－2i4．在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32i 对应的向量→OZ 1，→OZ 2，→OZ 3，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．【解】 根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z 1，Z 2，Z 3的坐标分别为⎝⎛⎭⎫12，32，(－1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32，则向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→如图所示． |z 1|＝()122＋⎝⎛⎭⎫322＝1， |z 2|＝|－1|＝1，|z 3|＝()122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1.如图，在复平面xOy 内，点Z 1，Z 3关于实轴对称，且Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．第3节 复数代数形式的加减运算及其几何意义※知识要点教材整理1 复数代数形式的加法运算及几何意义1．运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则：z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i.2．加法运算律 交换律 z 1＋z 2＝z 2＋z 1 结合律 (z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3) 3.复数加法的几何意义如图1，设复数z 1，z 2对应向量分别为→OZ 1，→OZ 2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是 →OZ .即时训练2：在复平面内，向量→OZ 1对应的复数为－1－i ，向量 →OZ 2对应的复数为1－i ，则→OZ 1＋→OZ 2对应的复数为________． 【答案】 －2i图1 图2教材整理2 复数代数形式的减法运算及几何意义1．运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则：z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.2．复数减法的几何意义 如图2所示，设→OZ 1，→OZ 2分别与复数z 1，z 2对应，则z 1－z 2与向量→OZ 1－→OZ 2 (即→Z 1Z 2)对应，这就是复数减法的几何意义．即时训练2：已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 1－z 2对应的点位于第________象限． 【答案】 四※题型讲练考点一 复数的加减运算 【例1】计算：(1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)； (2)(2－i)－(－1＋5i)＋(3＋4i)； (3)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (4)(a ＋b i)－(3a －4b i)＋5i ． 【解答】 (1)原式＝(－1＋4i)＋(2－3i)＝1＋i. (2)原式＝(3－6i)＋(3＋4i)＝6－2i. (3)原式＝5i －(4＋i)＝－4＋4i.(4)原式＝(－2a ＋5b i)＋5i ＝－2a ＋(5b ＋5)i.[再练一题] 1．计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)； (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ．【解】 (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i ＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i ＝22i. (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝－a ＋(4b －3)i.考点二 复数加减运算的几何意义【例2】在复平面内，A 、B 、C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i ，以AB 、AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长．【解答】由复数加减运算的几何意义得AD →＝AB →＋AC →， ∴z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)， ∴z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i ，∴AD 的长为|AD →|＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.[再练一题]2．复平面内三点A ，B ，C ，A 点对应的复数为2＋i ，向量→BA 对应的复数为1＋2i ，向量→BC 对应的复数为3－i ，求点C 对应的复数．【解】 ∵→BA 对应的复数为1＋2i ，→BC 对应的复数为3－i ， ∴→AC ＝→BC －→BA 对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又∵→OC ＝→OA ＋→AC ，∴C 点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.考点三复数加减法几何意义的综合应用探究1|z1－z2|的几何意义是什么？【提示】|z1－z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1与Z2间的距离．探究2满足条件|z＋2－2i|＝1的复数z在复平面上对应点的轨迹是什么？【提示】设z＝x＋y i(x，y∈R)，则|(x＋y i)＋2－2i|＝1，即|(x＋2)＋(y－2)i|＝1，∴(x＋2)2＋(y－2)2＝1.∴(x＋2)2＋(y－2)2＝1，即复数z对应复平面上的点Z的轨迹为以(－2,2)为圆心，1为半径的圆．【例3】已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．【解答】由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，所以|z－3＋4i|max＝41＋1，|z－3＋4i|min＝41－1.[再练一题]3．已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最大值与最小值．【解】由复数及其模的几何意义知：满足|z＋2－2i|＝1，即|z－(－2＋2i)|＝1.复数z所对应的点是以C(－2,2)为圆心，r＝1为半径的圆．而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是复数z对应的点与点A(3,2)的距离．∴|z－3－2i|min＝(3＋2)2＋(2－2)2－1＝4.|z－3－2i|max＝(3＋2)2＋(2－2)2＋1＝6.※课堂反馈1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于()A．－1＋i B．1－I C．i D．－i【答案】 A2．已知z1＝3＋i，z2＝1＋5i，则复数z＝z2－z1对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】 B3．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z在()A．实轴上B．虚轴上C．第一象限D．第二象限【答案】 B4．在复平面内，O是原点，→OA，→OC，→AB对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么→BC对应的复数为________.【答案】4－4i5．如图3所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：(1) →AO表示的复数；(2)→CA表示的复数；(3)→OB表示的复数．【解】(1)因为AO→＝－→OA图3所以AO→表示的复数为－3－2i.(2)因为CA→＝→OA－OC→，所以CA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为OB→＝OA→＋OC→，所以OB→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.※课后分层练习(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的结果为()A．5－3i B．3＋5i C．7－8i D．7－2i【答案】 C2．在复平面内，复数1＋i和1＋3i分别对应向量→OA和→OB，其中O为坐标原点，则|→AB|＝()A. 2 B．2 C.10 D．4【答案】 B3．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋b i，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为()A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4【答案】 A4．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】 B5．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】 C二、填空题6．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝_________.【答案】16i7．z为纯虚数且|z－1－i|＝1，则z＝________.【解析】设z＝b i(b∈R且b≠0)，|z－1－i|＝|－1＋(b－1)i|＝【答案】i8．已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________．【答案】22＋1三、解答题9．已知z1＝32a＋(a＋1)i，z2＝－33b＋(b＋2)i(a，b∈R)，且z1－z2＝43，求复数z＝a＋b i.【解】z1－z2＝⎣⎡⎦⎤32a＋(a＋1)i－[－33b＋(b＋2)i]＝⎝⎛⎭⎫32a＋33b＋(a－b－1)i，∴⎩⎪⎨⎪⎧32a＋33b＝43，a－b－1＝0，解得⎩⎨⎧a＝2，b＝1，∴z＝2＋i.10．如图4，已知复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形ABCD的三个顶点A，B，C ，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．【解】设正方形的第四个点D 对应的复数为 x ＋y i(x ，y ∈R )， ∴AD →＝OD →－OA →对应的复数为 (x ＋y i)－(1＋2i)＝(x －1)＋(y －2)i ， BC →＝OC →－OB →对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i. ∵AD →＝BC →， 图4 ∴(x －1)＋(y －2)i ＝1－3i ，即⎩⎨⎧x －1＝1，y －2＝－3，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1.故点D 对应的复数为2－i.[能力提升]1．实数x ，y 满足z 1＝y ＋x i ，z 2＝y i －x ，且z 1－z 2＝2，则xy 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－1 【答案】 A2．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( ) A ．内心 B ．垂心 C ．重心 D ．外心 【答案】 D3．已知z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx最大值为_____．【答案】 34．在复平面内，A ，B ，C 三点分别对应复数1,2＋i ，－1＋2i.(1)求→AB ，→AC ，→BC 对应的复数； (2)判断△ABC 的形状．【解】 (1)∵A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. ∴OA →，OB →，OC →对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i(O 为坐标原点)， ∴OA →＝(1,0)，OB →＝(2,1)，OC →＝(－1,2)． ∴AB →＝OB →－OA →＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2,2)， BC →＝OC →－OB →＝(－3,1)． 即AB →对应的复数为1＋i ，AC →对应的复数为－2＋2i ，BC →对应的复数为－3＋i.(2)∵|AB →|＝1＋1＝2，|AC →|＝(－2)2＋22＝8， |BC →|＝(－3)2＋1＝10， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝10＝|BC →|2.又∵|AB →|≠|AC →|， ∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形.第4节 复数代数形式的乘除运算※知识要点教材整理1 复数的乘法法则及运算律 1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则：z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2．复数乘法的运算律 对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 (1)交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1. (2)结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)． (3)乘法对加法的分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3. 即时训练1：已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 【答案】 1＋2i教材整理2 共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数，z 的共轭复数用 −z 表示，即： 若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则−z ＝ a －b i .即时训练2：若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝________，y ＝________. 【答案】 －1 1教材整理3 复数的除法法则设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0 且c ，d ∈R )，则：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c ＋d ＋bc －ad c ＋d i(c ＋d i ≠0)．即时训练3：i 是虚数单位，复数7－i3＋i＝________.【答案】 2－i※题型讲练考点一 复数代数形式的乘除法运算【例1】(1)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，则实数a ＝( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3 (2)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋I C ．2－i D ．2＋i(3)计算：(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i＝________.【答案】 (1)A (2)C (3)－1＋i[再练一题]1．(1)复数1＋3i3－i等于( )A ．iB ．－I C.3＋i D.3－i(2)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________．(3)计算：(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i＝________.【答案】 (1)A (2)21 (3)15＋25i考点二 共轭复数及其应用【例2】已知z －−z ＝－4i ，z ·−z ＝13，试求z−z . 【解答】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )⎩⎨⎧(x ＋y i )－(x －y i )＝－4i ，(x ＋y i )(x －y i )＝13，即⎩⎨⎧2y i ＝－4i ，x 2＋y 2＝13，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－2.因此z ＝3－2i 或z ＝－3－2i.＝3－2i 3＋2i ＝(3－2i )2(3＋2i )(3－2i )＝5－12i 13＝513－1213i ，＝－3－2i－3＋2i ＝－3－2i )2(－3＋2i )(－3－2i )＝5＋12i 13＝513＋1213i.[再练一题]2．已知复数z 满足z ·−z ＋2i·z ＝4＋2i ，求复数z . 【解】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ， 由题意，得(x ＋y i)(x －y i)＋2(x ＋y i)i ＝(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝4＋2i ，∴⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝4，2x ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1，∴z ＝1＋3i 或z ＝1－i.考点三 i n 的值的周期性及其应用探究1 i 4n ，i 4n ＋1，i 4n ＋2，i 4n ＋3(n ∈N )的结果分别是什么？ 【提示】 1，i ，－1，－i.探究2 i n (n ∈N )有几种不同的结果？【提示】 四种：1，i ，－1，－i.探究3 i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3(n ∈N )结果是多少？【提示】 i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝i(1＋i －1＋i)＝0.【例3】(1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝⎛⎭⎫21－i 2 016；(2)若复数z ＝1＋i1－i ，求1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016的值．【解答】 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008 ＝i ＋⎝⎛⎭⎫2－2i 1 008＝i ＋i 1 008＝i ＋i 4×252＝i ＋1.(2)1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016＝1－z 2 0171－z， 而z ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i 2＝i ，所以1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016＝1－i 2 0171－i ＝1－i1－i＝1.[再练一题]3．在上例(2)中，若z ＝1－i1＋i ，求1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016的值．【解】 ∵z ＝1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝－2i2＝－i.∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016＝1－z 2 0171－z ＝1－(－i )2 0171－(－i )＝1＋i 2 0171－(－i )＝1＋i 2 0171＋i ＝1＋i1＋i＝1.※课堂反馈1．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i 【答案】 A 2．复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】 B3．复数z ＝－3＋i2＋i的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－IC ．－1＋iD ．－1－i 【答案】 D4．已知a 为实数，a －i1＋i是纯虚数，则a ＝________.【答案】 15．计算：3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i .【解】3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝i (2－3i )2－3i －－i (2＋3i )2＋3i＝i ＋i ＝2i.※课后分层练习(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知复数z ＝2－i ，则z ·−z 的值为( )A ．5 B. 5 C ．3 D. 3 【答案】 A2．i 是虚数单位，复数7＋i3＋4i＝( )A ．1－iB ．－1＋I C.1725＋3125i D ．－177＋257i【答案】 A3．z 1，z 2是复数，且z 21＋z 22<0，则正确的是( )A ．z 21<－z 22B ．z 1，z 2中至少有一个是虚数C ．z 1，z 2中至少有一个是实数D ．z 1，z 2都不是实数 【答案】 B 4．若复数z 满足2z ＋−z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i【答案】 B5．已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，−z 是z 的共轭复数，则z ·−z ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2 【答案】 A 二、填空题6．若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 【答案】 27．复数52－i的共轭复数是________．【答案】 2－i8．复数2－2a ia ＋2i的模为2，则实数a 的值是________．【答案】 ± 3 三、解答题9．若z 满足z －1＝3(1＋z )i ，求z ＋z 2的值. 【解】 ∵z －1＝3(1＋z )i ，∴z ＝1＋3i1－3i ＝(1＋3i )2(1－3i )(1＋3i )＝－12＋32i ，∴z ＋z 2＝－12＋32i ＋⎝⎛⎭⎫－12＋32i 2＝－12＋32i ＋⎝⎛⎭⎫－12－32i ＝－1.10．已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)·(1－i)－4. (1)求复数z 的共轭复数； (2)若w ＝z ＋a i ，且复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．【解】 (1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ， 所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)w ＝－2＋(4＋a )i ，复数w 对应的向量为(－2,4＋a )，其模为4＋(4＋a )2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2,4)，其模为2 5.由复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，得20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，所以，实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.[能力提升] 1．若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i【答案】 C2．设z 的共轭复数为−z ，z ＝1＋i ，z 1＝z ·−z ，则1z ＋1i z 1等于( ) A.12＋i B.12－I C.12 D.32 【答案】 C3．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是________． ①|z －−z |＝2y ；②z 2＝x 2＋y 2；③|z －−z |≥2x ；④|z |≤|x |＋|y |. 【答案】 ④4．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2. 【解】 ∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1－2＝1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝1－2i －12＝－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R )， 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. 又∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4. ∴z 2＝4＋2i.*第5节 复数的三角表示※知识要点教材整理1 复数的三角表示相关概念1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成r (cos θ＋isin θ)的形式，其中，r 是复数z 的 模 ；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量→OZ 所在射线(射线OZ )为终边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ．注意：r (cos θ＋isin θ)叫做复数z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式．a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．即时训练1：1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)复数的辐角是唯一的． ( )(2)z ＝cos θ－isin θ是复数的三角形式． ( ) (3)z ＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式． ( )(4)复数z ＝cos π＋isin π的模是1，辐角的主值是π. ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．复数z ＝1＋i 的三角形式为z ＝____2()cos π4＋isin π4 ____.3．复数6()cos π2＋isin π2的代数形式为__6i ______．2．复数三角形式的乘、除运算若z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则 (1)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2) ＝ r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] ． (2)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)r 2(cos θ2＋isin θ2)＝ r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)] ． 注意：(1)两复数相乘，积的模等于 各复数的模的积 ，积的辐角等于各复数的辐角的 和 ．(2)两复数相除，商的模等于 被除数的模除以除数 的模所得的商，商的辐角等于被除数 的辐角减去除数 的辐角所得的差．即时训练2：1．计算：(1)6()cos π3＋isin π3×4()cos π6＋isin π6＝____24i ____；(2)6()cos π3＋isin π3÷4()cos π6＋isin π6＝____334＋34i ____.※题型讲练考点一 复数的代数形式与三角形式的互化 角度一 代数形式化为三角形式【例1】把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)3＋i ； (2)2－2i. [解] (1)r ＝3＋1＝2，因为3＋i 对应的点在第一象限， 所以cos θ＝32，即θ＝π6，所以3＋i ＝2()cos π6＋isin π6. (2)r ＝2＋2＝2，cos θ＝22，又因为2－2i 对应的点位于第四象限，所以θ＝7π4.所以2－2i ＝2()cos 7π4＋isin 7π4.角度二 三角形式化为代数形式【例2】分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．(1)4()cos π6＋isin π6 (2)32(cos 60°＋isin 60°) (3)2()cos π3－isin π3[解] (1) r ＝4，辐角的主值为θ＝π6.＝4cos π6＋4isin π6＝23＋2i.(2) r ＝32，辐角的主值为θ＝60°.＝34＋34i.(3) r ＝2，辐角的主值为53π.＝2cos 53π＋2isin 53π＝1－3i.[再练一题]1．下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．(1)12()cos π4－isin π4； (2)－12()cos π3＋isin π3； (3)12()sin 3π4＋icos 3π4； (4)cos 7π5＋isin 7π5； [解] 根据复数三角形式的定义可知，(1)、(2)、(3)不是，(4)是复数的三角形式．(1)原式＝12⎣⎡⎦⎤cos ()－π4＋isin ()－π4.(2)原式＝12⎣⎡⎦⎤cos ()π＋π3＋isin ()π＋π3＝12()cos 4π3＋isin 4π3.(3)原式＝12⎣⎡⎦⎤cos ()－π4＋isin ()－π4.考点二 复数三角形式的乘、除运算 【例3】计算：(1)8()cos 43π＋isin 43π×4()cos 56π＋isin 56π；(2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]；(3)4÷()cos π4＋isin π4.[解] (1)＝32⎣⎡⎦⎤cos ()43π＋56π＋isin ()43π＋56π＝32()cos 136π＋isin 136π＝32()cos π6＋isin π6＝163＋16i.(2)＝32[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)] ＝62(cos 75°＋isin 75°)＝3－34＋3＋34i. (3)＝4(cos 0＋isin 0)÷()cos π4＋isin π4＝4⎣⎡⎦⎤cos ()－π4＋isin ()－π4＝22－22i.[再练一题] 2．计算：(1)⎣⎡⎦⎤2()cos π3＋isin π32； (2)2(cos 75°＋isin 75°)×()12－12i ；(3)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ÷⎣⎡⎦⎤2()cos π3＋isin π3.[解] (1)＝(2)2()cos 23π＋isin 23π＝2⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝－1＋3i.(2)＝2()cos 512π＋isin 512π×⎣⎡⎦⎤22()cos 74π＋isin 74π＝2×22⎣⎡⎦⎤cos ()512π＋74π＋isin ()512π＋74π＝cos 2612π＋isin 2612π＝cos π6＋isin π6＝32＋12i.(3)＝()cos 23π＋isin 23π÷⎣⎡⎦⎤2()cos π3＋isin π3 ＝12⎣⎡⎦⎤cos ()23π－π3＋isin ()23π－π3 ＝12()cos π3＋isin π3＝14＋34i.- 11 -考点三 复数三角形式乘、除运算的几何意义【例4】在复平面内，把复数3－3i 对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数．[解] 因为3－3i ＝23()cos 116π＋isin 116π，所以逆时针23()cos 116π＋isin 116π×()cos π3＋isin π3＝3＋3i ，逆时针23()cos 116π＋isin 116π×⎣⎡⎦⎤cos ()－π3＋isin ()－π3＝－23i.故把复数3－3i 对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i ，按顺时针旋转π3得到的复数为－23i.[再练一题]3．在复平面内，把与复数334＋34i 对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转π3，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数．(用代数形式表示)[解] 334＋34i ＝32()cos π6＋isin π6，由题意得32()cos π6＋isin π6×⎣⎡⎦⎤2()cos π3＋isin π3＝3i ，即与所得向量对应的复数为3i.※课堂反馈1．arg(1－3i)=( A )A ．53πB ．23πC ．56πD ．π32．复数9(cos π＋isin π)的模是____9____． 3．(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)＝____ i ____.4．2(cos 300°＋isin 300°)÷⎣⎡⎦⎤2()cos 34π＋isin 34π＝____－1＋32＋3－12i ____. 5．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为____2____．※课后分层练习(建议用时：45分钟)[学业达标]1．若a <0，则a 的三角形式为( C )A ．a (cos 0＋isin 0)B ．a (cos π＋isin π)C ．－a (cos π＋isin π)D ．－a (cos π－isin π) 2．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)三角形式是( B ) A ．sin 30°＋icos 30° B ．cos 160°＋isin 160° C ．cos 30°＋isin 30° D ．sin 160°＋icos 160°3．若|z |＝2，arg z ＝π3，则复数z ＝___1＋3i _____.4．复数cos 15π7＋isin 15π7的辐角主值是____π7____．5．复数10()cos 7π6＋isin 7π6表示成代数形式为___－53－5i ．6．在复平面内，将复数3＋i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得向量对应的复数为___－1＋3i _____．7．计算(cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝___32＋12i __.8．把下列复数表示成代数形式：(1)4()cos 5π3＋isin 5π3； (2)23()cos 7π4＋isin 7π4.解：(1)4()cos 5π3＋isin 5π3＝4⎝⎛⎭⎫12－32i ＝2－23i.(2)23()cos 7π4＋isin 7π4＝23⎝⎛⎭⎫22－22i ＝6－6i.- 12 -9．将下列复数表示成三角形式(1)tan θ＋i ，θ∈()0，π2； (2)1＋cos α＋isin α，α∈[0,2π)．解：(1)tan θ＋i ＝sin θcos θ＋i ＝1cos θ(sin θ＋icos θ)，∵θ∈()0，π2，∴cos θ>0，∴tan θ＋i ＝1cos θ⎣⎡⎦⎤cos ()π2－θ＋isin ()π2－θ.(2)1＋cos α＋isin α＝2cos 2α2＋i·2sin α2cos α2＝2cos α2()cos α2＋isin α2.∵当0≤α<π时，0≤α2<π2，cos α2>0，∴1＋cos α＋isin α＝2cos α2()cos α2＋isin α2， 当π≤α<2π时，π2≤α2<π，cos α2≤0，∴1＋cos α＋isin α＝－2cos α2()－cos α2－isin α2＝－2cos α2⎣⎡⎦⎤cos ()π＋α2＋isin ()π＋α2.[能力提升]1．向量→OZ 1，→OZ 2，分别对应非零复数z 1，z 2，若→OZ 1⊥→OZ 2，则z 1z 2是( ) A ．负实数 B ．纯虚数 C ．正实数 D ．虚数a ＋b i(a ，b ∈R ，a ≠0)解析：选B 设复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，由于OZ 1―→⊥OZ 2―→，所以z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[]cos (θ1－θ2)＋isin (θ1－θ2)＝r 1r 2[cos(±90°)＋isin(±90°)]＝±r 1r 2i ，即z 1z 2为纯虚数．故选B.2．复数z ＝(a ＋i)2的辐角主值为3π2，则实数a ＝________.解析：由于复数z 的辐角主值为3π2，故z ＝r cos 3π2＋isin 3π2＝－i r ，又z ＝(a ＋i)2＝a 2－1＋2a i ，所以a 2－1＋2a i ＝－i r ，所以a 2－1＝0,2a ＝－r ，故a ＝－1.答案：－1 3．已知z ＝4()cos π12＋isin π12，则1z 的辐角主值为________．解析：1z ＝14()cos π12＋isin π12＝cos 0＋isin 04()cos π12＋isin π12＝14⎣⎡⎦⎤cos ()－π12＋isin ()－π12 ＝14()cos 23π12＋isin 23π12. ∴1z 的辐角主值为23π12. 答案：23π124．已知复数z 1，z 2，满足|z 1|＝|z 2|＝1，且z 1＋z 2＝1＋3i2，则z 1z 2＝________.解析：设z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β，因为z 1＋z 2＝1＋3i2，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝12， ①sin α＋sin β＝32， ②和差化积，②①得tanα＋β2＝3， 所以sin(α＋β)＝32，cos(α＋β)＝－12， 所以z 1z 2＝(cos α＋isin α)(cos β＋isin β)＝cos(α＋β)＋isin(α＋β)＝－12＋32i.答案：－12＋32i5．若复平面内单位圆上三点所对应的复数z 1，z 2，z 3，满足z 22＝z 1z 3且z 2＋i z 3－i ＝0，求复数z 1，z 2，z 3.解：设z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β，z 3＝cos γ＋isin γ，则由z 2＋i z 3－i ＝0，可得⎩⎨⎧cos β－sin γ＝0，sin β＋cos γ－1＝0.利用cos 2β＋sin 2β＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos γ＝12，sin γ＝±32.所以，z 3＝1±3i2. 当z 3＝1＋3i 2时，z 2＝－i(z 3－1)＝3＋i 2，z 1＝z 22z 3＝1；当z 3＝1－3i2时， z 2＝－i(z 3－1)＝－3＋i 2，z 1＝z 22z 3＝1.- 13 -。