第二章1一阶逻辑基本概念

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*③符号∃!称为存在唯一量词符，用来表达 符号∃ 称为存在唯一量词符， 存在唯一”等词语； “恰有一个”、“存在唯一”等词语；∃!x称 恰有一个” 为存在唯一量词， 为指导变项。 为存在唯一量词，称x为指导变项。 全称量词、存在量词、存在唯一量词统称量词。 全称量词、存在量词、存在唯一量词统称量词。 量词记号是由逻辑学家Fray引入的，有了量词 引入的， 之后，用逻辑符号表示命题的能力大大加强了。 之后，用逻辑符号表示命题的能力大大加强了。
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个体域：个体变项的取值范围。 个体域：个体变项的取值范围。 （分有限集合和无限集合） 分有限集合和无限集合） 全总个体域：由宇宙间的一切事物组成。 全总个体域：由宇宙间的一切事物组成。
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谓词，当与一个个体相联系时，它刻划了个体 谓词，当与一个个体相联系时， 性质；当与两个或两个以上个体相联系时，它 性质；当与两个或两个以上个体相联系时， 刻划了个体之间的关系。 刻划了个体之间的关系。 表示具体性质或关系的谓词 ，称为谓词常元； 称为谓词常元； 表示抽象或泛指的性质或关系的谓词 ，称为谓 词变元，都用大写英文字母，如P，Q，R，…， 词变元，都用大写英文字母， 或其带上、下标来表示。 或其带上、下标来表示。
在命题逻辑中， 把命题分解到原子命题为止， 在命题逻辑中 ， 把命题分解到原子命题为止 ， 认 为原子命题是不能再分解的， 为原子命题是不能再分解的 ， 仅仅研究以原子命 题为基本单位的复合命题之间的逻辑关系和推理。 题为基本单位的复合命题之间的逻辑关系和推理 。 这样， 这样 ， 有些推理用命题逻辑就难以确切地表示出 来 。 例如 ， 著名的亚里士多德三段论苏格拉底推 例如， 理：
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所有的人都是要死的， 所有的人都是要死的， 苏格拉底是人， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。 所以苏格拉底是要死的。 根据常识，认为这个推理是正确的。但是，若 根据常识，认为这个推理是正确的。但是， 用命题逻辑来表示，设P、Q和R分别表示这三 用命题逻辑来表示， 个原子命题， 个原子命题，则有 P，Q⇒R
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然而， 然而 ， (P∧Q)→R并不是永真式 ， 故上述推理形 并不是永真式， 式又是错误的。 一个推理， 得出矛盾的结论， 式又是错误的 。 一个推理 ， 得出矛盾的结论 ， 问题在哪里呢? 问题在哪里呢? 问题就在于这类推理中， 问题就在于这类推理中 ， 各命题之间的逻辑关 系不是体现在原子命题之间， 而是体现在构成 系不是体现在原子命题之间 ， 而是体现在 构成 原子命题的内部成分之间 之间， 原子命题的内部成分 之间 ， 即体现在命题结构 的更深层次上。 对此， 命题逻辑是无能为力的 是无能为力的。 的更深层次上 。 对此 ， 命题逻辑 是无能为力的 。
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例如：吴华是大学生，用P表示， 表示， 例如：吴华是大学生， 李明是大学生，用Q表示。 李明是大学生， 表示。 ……是大学生 是大学生” 表示： 是大学生， “……是大学生”用A（x）表示：x是大学生， 命题符号含有个体词变量。 命题符号含有个体词变量。 a表示吴华，A（a）表示吴华是大学生。 表示吴华， 表示吴华是大学生。 b表示李明，A（b）表示李明是大学生。 表示李明， 表示李明是大学生。 相当于“……是大学生 是大学生” 来表示， 相当于“……是大学生”，用A（）来表示， 这就是谓词。 这就是谓词。
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例如，在命题“张明是位大学生” 例如，在命题“张明是位大学生”中，“张明”是个 张明” 是位大学生”是谓词，它刻划了“张明” 体，“是位大学生”是谓词，它刻划了“张明”的性 质。 设S(x)：x是位大学生，c：张明，则“张明是位大学 是位大学生， 张明， 张明是位大学生。 生”可表示为S(c)，或者写成S(c)：张明是位大学生。 又如，在命题“武汉位于北京和广州之间”中，武汉、 武汉、 又如，在命题“武汉位于北京和广州之间” 北京和广州是三个个体， 位于… 之间” 北京和广州是三个个体，而“…位于…和…之间”是 谓词，它刻划了武汉、北京和广州之间的关系。 谓词，它刻划了武汉、北京和广州之间的关系。 设P(x,y,z)：x位于y和z之间，a：武汉，b：北京，c： 位于y 之间， 武汉， 北京， 广州， 武汉位于北京和广州之间。 广州，则P(a，b，c)：武汉位于北京和广州之间。
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例 试用量词、谓词表示下列命题： 试用量词、谓词表示下列命题： ① 所有大学生都热爱祖国； 所有大学生都热爱祖国； ② 每个自然数都是实数； 每个自然数都是实数； ③ 一些大学生有远大理想； 一些大学生有远大理想； ④ 有的自然数是素数。 有的自然数是素数。
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注：区分：谓词与运算。 区分：谓词与运算。 虽都是自变量取自个体域上的函数， 虽都是自变量取自个体域上的函数，但函数值不 运算的函数值是个体，谓词的函数值是真值。 同，运算的函数值是个体，谓词的函数值是真值。
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定义2.1.2 一个原子命题用一个谓词( 定义2.1.2 一个原子命题用一个谓词(如P)和n个 有次序的个体常项( 有次序的个体常项(如a1，a2，…，an)表示成
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第二章 一阶(谓词)逻辑 一阶(谓词)
2.1一阶逻辑基本概念 2.2一阶逻辑合式公式及解释 2.3一阶逻辑等值式
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2.1一阶逻辑基本概念 2.1一阶逻辑基本概念 个体词、谓词和量词） （个体词、谓词和量词）
在命题逻辑中，命题是具有真假意义的陈述句。 在命题逻辑中 ， 命题是具有真假意义的陈述句 。 从语法上分析， 从语法上分析 ， 一个陈述句由主语和谓语两部分 组成。在一阶逻辑中， 组成 。 在一阶逻辑中 ， 为揭示命题内部结构及其 不同命题的内部结构关系， 不同命题的内部结构关系 ， 就按照这两部分对命 题进行分析，并且把主语称为个体词或客体 题进行分析 ， 并且把主语称为 个体词或客体 ， 把 个体词或客体， 谓语称为谓词 谓语称为谓词。 谓词。
通常，把一个n元谓词中的每个个体的论域综 通常， 合在一起作为它的论域， 合在一起作为它的论域，称为n元谓词的全总 论域。定义了全总论域，为深入研究命题提供 论域。定义了全总论域， 了方便。当一个命题没有指明论域时，一般都 了方便。当一个命题没有指明论域时， 从全总论域作为其论域。而这时又常常要采用 从全总论域作为其论域。 的取值范围， 一个谓词如P(x)来限制个体变项x的取值范围， 并把P(x)称为特性谓词。 称为特性谓词 特性谓词。
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张三比李四高， 例：张三比李四高， 用H（x,y）表示x比y高。 x,y）表示x a:张三b:李四 a:张三 李四 张三b: H（a,b）：张三比李四高 a,b）： ）：张三比李四高 H（b,a）：李四比张三高 b,a）： ）：李四比张三高 x,y,a,b表示个体 x,y,a,b表示个体，H（ ,）是谓词，这个谓 表示个体， ,）是谓词， 词涉及了两个个体，是二元谓词。 词涉及了两个个体，是二元谓词。
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命题逻辑的局限性
单用一个字母表示一个命题，描述不深刻，揭示 单用一个字母表示一个命题，描述不深刻， 不出原子命题内部的含义； 不出原子命题内部的含义； 命题演算对命题中量的概念无法表示。 命题演算对命题中量的概念无法表示。 有些简单的推理问题，在命题逻辑中无法解决； 有些简单的推理问题，在命题逻辑中无法解决； 问题出在各命题之间的逻辑关系不是体现在简单 命题之间， 命题之间，而是体现在构成简单命题的内部成分 之间，所以在必要对简单命题作进一步细分。 之间，所以在必要对简单命题作进一步细分。 在研究某些推理时， 在研究某些推理时，对原子命题进一步分析出其 中的个体词，谓词和量词， 中的个体词，谓词和量词，研究它们的形式结构 的逻辑关系、正确的推理形式和规则， 的逻辑关系、正确的推理形式和规则，这些正是 谓词逻辑（或称为一阶逻辑）的基本内容。 谓词逻辑（或称为一阶逻辑）的基 个体词、 定义2.1.1 在原子命题中， 定义2.1.1 在原子命题中，所描述的对象称为个 体词； 体词；用以描述个体词的性质或个体词间关系 的部分，称为谓词。 的部分，称为谓词。 个体词，是指可以独立存在的事物，它可以是 个体词，是指可以独立存在的事物， 具体的，也可以是抽象的，如张明，计算机， 具体的，也可以是抽象的，如张明，计算机， 精神等。表示具体或特定的客体的个体词， 精神等。表示具体或特定的客体的个体词，称 为个体常元， 为个体常元，以a，b，c…或带下标的ai，bi， ci…表示；表示抽象或泛指的个体词，称为个 表示；表示抽象或泛指的个体词， 体变元， 表示。 体变元，以x，y，z…或xi，yi，zi…表示。
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当n=1时，称一元谓词；当n=2时，称为二元 =1时 称一元谓词； =2时 谓词， 特别地， =0，称为零元谓词。 谓词，…。特别地，当n=0，称为零元谓词。 零元谓词是命题，这样命题与谓词就得到了统 零元谓词是命题， 一。
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n元谓词不是命题，只有其中的个体变项用特定 元谓词不是命题，
个体或个体常项替代时，才能成为一个命题。 个体或个体常项替代时，才能成为一个命题。但 个体变项在哪些论域取特定的值， 个体变项在哪些论域取特定的值，对命题的真值 极有影响。 极有影响。 例如，令S(x)：x是大学生。 例如， 是大学生。 若x的论域为某大学的计算机系中的全体同学， 的论域为某大学的计算机系中的全体同学， 是真的； 则S(x)是真的； 若x的论域是某中学的全体学生，则S(x)是假的； 的论域是某中学的全体学生， 是假的； 若x的论域是某剧场中的观众，且观众中有大学 的论域是某剧场中的观众， 生也有非大学生的其它观众， 生也有非大学生的其它观众，则S(x)是真值是不 确定的。 确定的。 17
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２.原子谓词公式 原子命题的谓词形式还可以进一步加以抽象， 原子命题的谓词形式还可以进一步加以抽象，比 如在谓词右侧的圆括号内的n个个体常项被替换 成个体变项， 成个体变项，如x1,x2,,xn，这样便得了一种关 于命题结构的新表达形式， 元原子谓词。 于命题结构的新表达形式，称之为n元原子谓词。 定义2.1.3 由一个谓词( 定义2.1.3 由一个谓词(如P)和n个体变项(如x1， 个体变项( x2，…，xn)组成的P(x1，x2，…，xn)，称它为n 元命题函数， 元谓词。 元原子谓词或n元命题函数，简称n元谓词。而个 体变项的论述范围，称为个体域或论域。 体变项的论述范围，称为个体域或论域。