电磁学部分习题解答

第7章 静电场7-10在边长为a 的正六角形的六个顶点都放有电荷，如图7-68（a ）所示，则六角形中心O 处的电场强度为多少？分析：在图7-68（a ）中标注各顶点名称后如图7-68（b ）所示，由对称性可知，C 点与F 点的点电荷，B 点与E 点的点电荷在O 点产生的电场相互抵消。

因此O 点的电场仅由A 点和D 点的点电荷产生。

解： 根据点电荷在空间某点产生的电场公式304q rπε=E r 可得： 222000442O A D q q q E E aaaπεπεπε=+=+=E i i i i i7-11一半径为R 的半圆细环上均匀地分布电荷Q ，求环心处的电场强度，如图7－69（a ）所示。

分析：在带电半圆环上任取一线元dl Rd θ=，其电荷为：Qdq dl Rπ=，此电荷元可视为点电荷，它在O 点产生的电场强度大小为：2014dqdE rπε=，方向沿径向，如图7－69（b ）所示，。

因圆环上电荷对y 轴呈对称性分布，所以电场分布也是轴对称的，即在x 轴上的电场强度0x x LE dE ==⎰，只有y 轴上有电场强度。

解：222001sin 42y y LL Q QE dE Rd R R R θθπεππε===⎰⎰2202x y Q E E R πε∴=-=-E i j j“-”表示电场强度的方向沿y 轴负向。

7-12设均匀电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的轴平行，试计算通过此半球面S 1的电通量；若以半球面的边线为边线，另作一个任意形状的曲面S 2，则通过S 2面的电通量又是多少？如图7－70所示。

分析：选半径为R 的大圆面0s 与1s 或2s 和组成一个封闭曲面s ，由高斯定理可方便求得该闭合曲面的电通量为零，再由积分知识可知，通过曲面1s 或2s 的电通量大小即为通过大圆面0s 的电通量大小。

解：由高斯定理知：0isqd ε==∑⎰E s而10ss s d d d =+=⎰⎰⎰E s E s E s ，所以：112eS s s d d ES E R πΦ==-==⎰⎰E s E s同理，由2s 和以R 为半径的大圆面0s 。

组成一个封闭曲面`s ，则可得：202eS s d ES E R πΦ=-==⎰E s7-13如图7-71（a ）所示，电荷线密度为1λ的无限长均匀带电直线，其旁垂直放置电荷线密度为2λ的有限长均匀带电直线AB ，两者位于同一平面内。

则AB 所受静电作用力的大小为多少？分析一： 由题意可知，两直线均匀带电。

由于库仑定律只适用于点电荷系统。

因此，需将两带电直线分成许多电荷元；建立如图7-71 (b)所示的直角坐标系，有11dq dy λ=，22dq dx λ=，根据库仑定律可得1dq ，施加给2dq 的作用力为：122014dq dq dF r πε=r 为两电荷元之间的距离。

将dF 沿x、y 轴投影，得：cos x dF dF θ=，sin y dF dF θ=；根据对称性分析可知：y y F dF =⎰为零。

因此，F 只沿x 轴正向。

解一：223cos 4a b x axdxdyF dF dF r λλθπε++∞-∞===⎰⎰⎰⎰1212223202ln 4()2a badya b xdx x y aλλλλπεπε+∞+==+⎰⎰分析二： 由电场强度定义求解。

如图7-71 (b)所示，带电直线AB 处于无限长带电直线产生的电场中，若把带电直线AB 视为许多电荷元2dq 的集合，则电场对每个电荷元的作用力为2dF Edq =；各电荷元的dF 的矢量和，即为带电直线AB 所受的电场力。

解二：在距无限长带电直线x 处任取一电荷元22dq dx λ=，由无限长带电直线的场强公式可知2dq 处的场强为：102E xλπε=方向沿x 袖正向。

于是有122012dF Edq dx xλλπε==由于各电荷元所受力的方向均沿x 轴正向，所以：222200ln 22a bx adx a bF F dF x aλλλλπεπε++====⎰⎰若问题中的1λ和2λ异号，则F 沿x 轴负向。

根据作用力与反作用力的关系可知，无限长带电直线所受的作用力`F ，其大小与F 相等，其方向与F 相反。

7-14 求无限长均匀带电圆柱面内、外场强E的空间分布。

设圆柱面半径为R 。

电荷面密度为σ。

分析：由题可知，无限长均匀带电圆柱体的电荷分布具有柱对称性，因而其产生的电电场强度也具有柱对称分布，由高斯定理求解较为方便。

解：如习题7-14图解所示，过圆柱面内、外任一点作高为l的圆柱形高斯面，根据高斯定理习题7-14图解iSqd ε=∑⎰E S ，有：当r R <时，20E r l π⋅⋅=，0E =； 当r R >时，022R l E r l σππε⋅⋅=，20Rrσε=E r ； 7-15求均匀带电球体内、外的场强分布，已知球体半径为R ，所带总电荷为q 。

分析：由题可知，电荷分布是球对称的，所以电场强度的分布也是球对称的。

因此，在电场强度的空间中任意点的电场强度的方向沿径矢，大小则依赖于从球心到场点的距离。

即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的。

解：以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为：24 e sE dS r E πΦ=⋅=⎰根据高斯定理，有：204 e sQd r E πεΦ=⋅==⎰E S (1)当场点在球体外，即r R >时，Q q =，由(1)式可得电场强度为：204q E r πε球外＝当场点在球体内时 即r R <时，33334433qqr Q r R R ππ==，由(1)式可得电场强度为： 304qr E Rπε球内＝其E r -曲线如习题7-15图解所示。

7-16求均匀带电细棒中垂面上的电场和电势。

设棒长2l ，带电量为q 。

分析：由于电势是标量，可由电势叠加原理先求出带电直线在P 点的电势，再由场强与电势的微分关系求P 点的场强。

解：建立如习题7-16图解所示的直角坐标系，并取带电直线中心为坐标原点O 。

则在带电直线上任取一电荷元2qdq dy dy lλ==，在P 点产生的电势为：p dV =因此，整个带电系统在P 点产生的电势为4l p l q dy q V dV l πε+-====⎰⎰⎰则该点的场强为：x y E E =+E i j ，其中：x V E x ∂=-=∂，0y V E y ∂=-=∂ 所以，P 点的场强为：x E ==E i7-17求均匀带电球体的电势。

已知电荷q 均匀地分布在半径为R 的球体上，求空间个各点的电势。

分析：由题可知，均匀带电球体的电荷分布具有球对称性，其电场分布也具有球对称性。

因而可由高斯定理方便地求得其电场分布，再由电势的定义求得其电势分布。

解：由高斯定理可求出电场强度的分布⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>R r Rqr R r rqE 4 43020πεπε＝ 方向沿径向。

由电势的定义式rV d ∞=⋅⎰E l ，可得：当r R >时，有： 20044q q V dr r rπεπε∞=⎰球外r＝当r R ≤时，有：223230000()4484RrR qr q q R r qV dr dr R r R Rπεπεπεπε∞-+=+⎰⎰球内＝7-18 如图7-72所示，2AB l =，OCD 是以B 为中心、l 为半径的半圆，A 点有点电荷q +，B 点有点电荷q -。

求（1）把单位正电荷从O 点沿OCD 移到D 点，电场力对它做了多少功? （2）单位负电荷从D 点沿AB 延长线移到无穷远处，电场力对它做了多少功? 分析：由()ab a b W q U U =-可知，要求在电场中移动电荷时电场力所做的功，应先求出始末位置的电势大小。

解：由点电荷在空间某点产生的电势公式04q V rπε=可得：000043460O D V q q q V l l l V πεπεπε∞⎫=⎪⎪=-=-⎬⎪⎪=⎭由()ab a b W q U U =-可得： (1)01()6OD O D q W V V lπε=⨯-=(2)0(1)()6D D q W V V lπε∞∞=-⨯-=7-19 在玻尔的氢原子模型中，电子沿半径为100.5310m -⨯的圆周绕原子核旋转。

求：(1)若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作多少功?(2)电子的电离能为多少?分析：由ab p W E =-∆可知，克服电场力所做的功等于电势能的增量，电子的电离能等于外界把电子从原子中拉出来需要的最低能量，其能量应等于动能和势能之和。

解：(1)电子在玻尔轨道上作圆周运动时，它的电势能为：2014p e E rπε=-因此，若把电子从原子中拉出来需克服电场力作功为：2027.2eV 4p e W E rπε===(2)电子在玻尔轨道上作圆周运动所需向心力为静电力，即：22014e m r rυπε=电子的动能为：220128k e E m rυπε==总能量为：2013.68k p e E E E eV rπε=+=-=-根据电离能的定义：电子的电离能等于外界把电子从原子中拉出来需要的最低能量，即：013.6E E eV ==7-20 如图7－73（a ）所示，半径为1R 的导体球，带有电量q +，球外是一个内、外半径分别为2R 、3R 的同心导体球壳，球壳上的带电量为Q +。

试求：（1）求场强和电势分布；（2）若用导线连接两球后，电势分布如何? （3）若外球接地，两球电势各为多少? （4）若内球接地，内外两球的电势差为多少?(1) 分析：根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布规律，导体球壳内表面所带的电荷q -，外表面所带的电荷为q Q +，电荷在表面均匀分布，具有球对称性，可由高斯定理求得电场强度分布，再由电势的定义求得电势分布。

解法一：由于场的分布具有对称性，由高斯定理可得各区域的场强分布为：110 )E R =<（r ， 2220 )4q E R rπε=<1（R <r330 )E R =<2（R <r ， 4320 )4q QE R rπε+=（r > E 的方向均沿径向向外。

导体为有限带电体，选无限远处为电势零点。

由电势定义可分别求得电势分布为： 当1R <r 时1231232131123422000123441 ()4R R R rR R R R R R V d d d d q q Qdr drr r q q q Q R R R πεπεπε∞∞=++++=++=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰E r E r E r E r当12R R <<r 时23232322342200023441()4R R rR R R rR V d d d q q Qdr drr r q q q Q r R R πεπεπε∞∞=+++=++=-+⎰⎰⎰⎰⎰E r E r E r当23R r R <<)时33332003 44R rR R V d d q Q q Q dr r R πεπε∞∞=+++==⎰⎰⎰34E r E r当3r R >时40 4rV d q Qrπε∞=+=⎰4E r（2）分析：当用导线把球和球壳连接在一起后，由静平衡条件可知，电荷q Q +全部分布在球壳的外表面上，如图7-73 (b)所示，此时，电场只分布在3r R >的空间中，即2014q QE r πε+=。