第七章不等式第3讲基本不等式及其应用试题理新人教版 2018版高考数学大一轮复习

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2018版高考数学文人教A版大一轮复习配套讲义：第七章

第1讲不等式的性质与一元二次不等式最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.知识梳理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎨⎧a －b ＞0⇔a ＞b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b ＜0⇔a ＜b ；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab ＞1⇔a ＞b （a ∈R ，b ＞0），ab ＝1⇔a ＝b （a ∈R ，b ＞0），a b ＜1⇔a ＜b （a ∈R ，b ＞0）.2.不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0n ∈N ，n ≥2). 3.三个“二次”间的关系诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)a ＞b ⇔ac 2＞bc 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R .( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) 解析 (1)由不等式的性质，ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；反之，c ＝0时，a ＞bac 2＞bc 2.(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根.则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为∅. (4)当a ＝b ＝0，c ≤0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0也在R 上恒成立. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞bcB.a d ＜b cC.a c ＞b dD.a c ＜b d解析因为c ＜d ＜0，所以0＞1c ＞1d ，两边同乘－1，得－1d ＞－1c ＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式的性质可知－a d ＞－b c ＞0.两边同乘－1，得a d ＜bc .故选B. 答案 B3.设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N 等于( ) A.(0，4]B.[0，4)C.[－1，0)D.(－1，0]解析 ∵M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}，∴M ∩N ＝[0，4). 答案 B4.当x ＞0时，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则a 的最小值为( ) A.－2B.－3C.－1D.－32解析当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立，当Δ＝a 2－4＞0，则需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＞0，－a 2＜0，解得a ＞2，所以使不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立的实数a 的最小值是－2. 答案 A5.(必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________.解析由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0，解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2.答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)考点一比较大小及不等式的性质的应用【例1】 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c ≥b >a B.a >c ≥b C.c >b >aD.a >c >b(2)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) A.①④B.②③C.①③D.②④解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)法一因为1a ＜1b ＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b＜0，1ab＞0.故有1a ＋b ＜1ab ，即①正确；②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误； ③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b ＞0，所以a －1a ＞b －1b ，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确. 答案 (1)A (2)C规律方法 (1)比较大小常用的方法： ①作差法；②作商法；③函数的单调性法.(2)判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除.【训练1】 (1)(2017·松滋市校级期中)已知p ＝a ＋1a －2，q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2，其中a >2，x ∈R ，则p ，q 的大小关系是( ) A.p ≥qB.p >qC.p <qD.p ≤q(2)设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞cb ；②ac ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b－c ).其中所有的正确结论的序号是( ) A.①B.①②C.②③D.①②③解析 (1)由a ＞2，故p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时取等号.因为x 2－2≥－2，所以q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4，当且仅当x ＝0时取等号，所以p ≥q .(2)由不等式性质及a ＞b ＞1知1a ＜1b ，又c ＜0，所以c a ＞cb ，①正确；构造函数y ＝xc ，∵c ＜0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a ＞b ＞1，∴a c ＜b c ，知②正确；∵a ＞b ＞1，c ＜0，∴a －c ＞b －c ＞1，∴log b (a －c )＞log a (a －c )＞log a (b －c )，知③正确. 答案 (1)A (2)D考点二一元二次不等式的解法(多维探究) 命题角度一不含参的不等式【例2－1】求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集. 解化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0，解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.命题角度二含参不等式【例2－2】解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (x ∈R ). 解原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a 或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；当2a ＜－1，即－2＜a ＜0，解得2a ≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a ，或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a . 规律方法含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.【训练2】 (1)已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( ) A.－3B.1C.－1D.3(2)不等式2x 2－x ＜4的解集为________.解析 (1)由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由题意知，－1，2为方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.(2)因为4＝22且y ＝2x 在R 上单调递增，所以2x 2－x ＜4可化为x 2－x ＜2，解得－1＜x ＜2，所以2x 2－x ＜4的解集是{x |－1＜x ＜2}. 答案 (1)A (2){x |－1＜x ＜2}考点三一元二次不等式的恒成立问题(多维探究) 命题角度一在R 上恒成立【例3－1】若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( ) A.(－3，0]B.[－3，0)C.[－3，0]D.(－3，0)解析 2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0，解之得－3＜k ＜0.答案 D命题角度二在给定区间上恒成立【例3－2】设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________. 解析要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立.有以下两种方法：法一令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3].当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0. 综上所述，m的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 法二因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可.因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 . 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 命题角度三给定参数范围的恒成立问题【例3－3】已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( ) A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)解析把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎨⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.答案 C规律方法恒成立问题求解思路(1)一元二次不等式在R 上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解.(2)一元二次不等式在x ∈[a ，b ]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围.(3)一元二次不等式对于参数m ∈[a ，b ]恒成立确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，4]B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)C.(－∞，－1]∪[4，＋∞)D.[－2，5](2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是______.解析 (1)由于x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4. (2)二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则⎩⎨⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0，解得－22＜m ＜0.答案 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0[思想方法]1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.3.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.4.(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数. [易错防范]1.对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形.2.当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.3.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( ) A.f (x )＝g (x ) B.f (x )＞g (x )C.f (x )＜g (x )D.随x 的值变化而变化解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x ).答案 B2.已知下列四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1b 成立的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个解析运用倒数性质，由a ＞b ，ab ＞0可得1a ＜1b ，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C. 答案 C3.(2017·河北省三市联考)若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x |2x <2}，则A ∩B 等于( ) A.(1，3) B.(－∞，－1) C.(－1，1)D.(－3，1)解析依题意，可求得A ＝(－1，3)，B ＝(－∞，1)，∴A ∩B ＝(－1，1). 答案 C4.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A.{a |0＜a ＜4} B.{a |0≤a ＜4} C.{a |0＜a ≤4}D.{a |0≤a ≤4}解析由题意知a ＝0时，满足条件.a ≠0时，由⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4. 答案 D5.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( ) A.(－1，0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定解析由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2. 又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1，1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2. 答案 C 二、填空题6.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集为________.解析由题意知⎩⎨⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎨⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x＞1}.答案 {x |x ＞1}7.(2016·重庆模拟)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________.解析由已知ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx－45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45 8.不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________.解析因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4. 答案 [－8，4] 三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值.解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}. (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.即a 的值为3±3，b 的值为－3.10.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围. 解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0，2].(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( )A.a ＞b ＋1B.a ＞b －1C.a 2＞b 2D.a 3＞b 3解析 A 项：若a ＞b ＋1，则必有a ＞b ，反之，当a ＝2，b ＝1时，满足a ＞b ，但不能推出a ＞b ＋1，故a ＞b ＋1是a ＞b 成立的充分而不必要条件；B 项：当a ＝b ＝1时，满足a ＞b －1，反之，由a ＞b －1不能推出a ＞b ；C 项：当a ＝－2，b ＝1时，满足a 2＞b 2，但a ＞b 不成立；D 项：a ＞b 是a 3＞b 3的充要条件，综上所述答案选A. 答案 A12.(2017·湛江调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是( )A.{x |x <－ln 2或x >ln 3}B.{x |ln 2<x <ln 3}C.{x |x <ln 3}D.{x |－ln 2<x <ln 3}解析法一依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0，可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3，故选D.法二由题知，f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <3，令12<e x <3，得－ln 2<x <ln 3，故选D.答案 D13.若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围是________. 解析设f (x )＝x 2＋ax －2，由题知：Δ＝a 2＋8＞0，所以方程x 2＋ax －2＝0恒有一正一负两根，于是不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)＞0，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞14.解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R ). 解原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.因为方程(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2. (2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2，即原不等式的解集是{x |x ＞2}.(3)当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，由于1a ＜2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜1a 或x ＞2.综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞2；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2. 第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知识梳理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.(2)对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，使得Ax ＋By ＋C 的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax ＋By ＋C >0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax ＋By ＋C <0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的有关概念诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.()(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.()(5)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域.()解析(1)不等式x－y＋1>0表示的平面区域在直线x－y＋1＝0的下方.(4)直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距是z b.答案(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√2.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是()A.(0，0)B.(－1，1)C.(－1，3)D.(2，－3) 解析把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C.答案 C3.(必修5P86T3)不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B. 答案 B4.(2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________.解析画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5. 答案－55.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z .易知当直线y ＝－2x ＋z 过点A (k ，k )时，z ＝2x ＋y 取得最小值，即3k ＝－6，所以k ＝－2.答案－2考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)(2017·郑州预测)若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________.(2)(2015·重庆卷)若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A.－3B.1C.43D.3解析 (1)作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24. (2)如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m ＜2，则m ＞－1，由⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m ，1＋m).由⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－43m ，23＋23m ，所围成的区域为△ABC ，则S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )(1＋m )－12(2＋2m )·23(1＋m )＝13(1＋m )2＝43，解得m ＝－3(舍去)或m ＝1.故选B. 答案 (1)π24 (2)B规律方法二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.【训练1】若不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( ) A.73 B.37 C.43 D.34解析不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域.因为A (1，1)，B (0，4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. 答案 A考点二线性规划相关问题(多维探究) 命题角度一求目标函数的最值【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x＋3y －5的最小值为________.(2)(2015·全国Ⅰ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx 的最大值为________.解析 (1)画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.(2)作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y x 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1，3)与原点连线的斜率最大，故yx 的最大值为3. 答案 (1)－10 (2)3命题角度二求参数的值或范围【例2－2】 (2015·福建卷)变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y的最大值为2，则实数m 等于( ) A.－2B.－1C.1D.2解析如图所示，目标函数z ＝2x －y 取最大值2，即y ＝2x －2时，画出⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0表示的区域，由于mx－y ≤0过定点(0，0)，要使z ＝2x －y 取最大值2，则目标函数必过两直线x －2y ＋2＝0与y ＝2x －2的交点A (2，2)，因此直线mx －y ＝0过点A (2，2)，故有2m －2＝0，解得m ＝1. 答案 C规律方法线性规划两类问题的解决方法(1)求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有：①截距型：形如z ＝ax ＋by ；②距离型：形如z ＝（x －a ）2＋（y －b ）2.③斜率型：形如z ＝y －bx －a.(2)求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中.求解步骤为：①注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解.【训练2】 (1)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( ) A.－5 B.3 C.－5或3D.5或－3(2)(2017·西安检测)已知变量x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________.解析 (1)二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12.由z＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za .由图可知当－1≤－1a ≤1时，z 可取得最小值，此时a ≥1或a ≤－1.又直线y ＝－1a x ＋za 过A 点时，z 取得最小值，因此a －12＋a ×a ＋12＝7，化简得a 2＋2a －15＝0，解得a ＝3或a ＝－5，当a ＝3时，经检验知满足题意；当a ＝－5时，目标函数z ＝x ＋ay 过点A 时取得最大值，不满足题意，故选B. (2)作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋m 的纵截距最大，此时m 最大，故z 最大.由⎩⎨⎧2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即A (1，2).代入目标函数z ＝(2)2x ＋y 得，z ＝(2)2×1＋2＝4. 答案 (1)B (2)4考点三实际生活中的线性规划问题【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.解析设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元). 答案 216 000规律方法解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答.【训练3】 (2015·陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元解析设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎨⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值. 由⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2，3). 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元). 答案 D[思想方法]1.求最值：求二元一次目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值.最优解在顶点或边界取得.2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题.3.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题. [易错防范]1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.2.在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距z b 取最小值时，z 取最大值.基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )解析法一不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0等价于⎩⎨⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0或⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，画出对应的平面区域，可知C 正确. 法二结合图形，由于点(0，0)和(0，4)都适合原不等式，所以点(0，0)和(0，4)必在区域内，故选C. 答案 C2.(2016·泰安模拟)不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为()A.1B.12C.13D.14解析作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎨⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14. 答案 D3.(2017·广州二测)不等式组⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ≥－2，x －2y ≥－2的解集记为D ，若(a ，b )∈D ，则z ＝2a－3b 的最小值是( ) A.－4B.－1C.1D.4解析画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当a ＝－2，b ＝0，z ＝2a －3b 取得最小值－4. 答案 A4.(2017·长春质量监测)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤－x ＋1，y ≤x ＋1，y ≥0，则3x ＋5y 的取值范围是( ) A.[－5，3]B.[3，5]C.[－3，3]D.[－3，5]解析作出如图所示的可行域及l 0：3x ＋5y ＝0，平行移动l 0到l 1过点A (0，1)时，3x ＋5y 有最大值5，平行移动l 0至l 2过点B (－1，0)时，3x ＋5y 有最小值－3，故选D.答案 D5.x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A.12或－1B.2或12C.2或1D.2或－1解析如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a ＞0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a ＜0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 答案 D6.若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎨x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( ) A.12B.1C.32D.2解析在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示.由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1. 答案 B7.(2017·石家庄质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m >0)的最大值为1，则m 的值是( ) A.－209B.1C.2D.5解析作出可行域，如图所示的阴影部分.化目标函数z ＝y －mx (m ＞0)为y ＝mx ＋z ，由图可知，当直线y ＝mx ＋z 过A 点时，直线在y 轴的截距最大，由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即A (1，2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B. 答案B8.(2016·贵州黔东南模拟)若变量x 、y 满足约束条件⎩⎨y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( ) A.322B. 5C.92D.5解析作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方，由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小.由⎩⎨⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，故选D. 答案 D 二、填空题9.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________.解析由线性约束条件画出可行域(如图所示).由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距，要使z 最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1，1)时，z 最小，最小值为3. 答案 310.(2017·滕州模拟)已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2，1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x 上的一个动点，则OM →·ON →的最大值是________.解析依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (1，1).设z ＝OM →·ON →＝2x ＋y ，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1，1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值3. 答案 311.已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示).解析法一设2x －3y ＝a (x ＋y )＋b (x －y )，则由待定系数法可得⎩⎨⎧a ＋b ＝2，a －b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝52，所以z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y ).又⎩⎪⎨⎪⎧－2＜－12（x ＋y ）＜12，5＜52（x －y ）＜152，所以两式相加可得z ∈(3，8).法二作出不等式组⎩⎨⎧－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3表示的可行域，如图中阴影部分所示.平移直线2x －3y ＝0，当相应直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3，1)时，z 取得最小值，z min ＝2×3－3×1＝3；当相应直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈(3，8). 答案 (3，8)12.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为________.解析作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.作出直线l 0：x －2y ＝0，∵y ＝x 2－b2，∴当l 0平移至A 点处时b 有最小值，b min ＝－a ，又b min ＝－2，∴a ＝2，当l 0平移至B (a ，－2a )时， b 有最大值b max ＝a －2×(－2a )＝5a ＝10. 答案 10能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( ) A.1 800元 B.2 400元 C.2 800元D.3 100元解析设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x 、y 的约束条件为⎩⎨⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元，则z ＝300x ＋400y .画出可行域如图.画直线l ：300x ＋400y ＝0，即3x ＋4y ＝0. 平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时，目标函数取得最大值. 由⎩⎨⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4，4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)，故选C. 答案 C14.(2017·许昌监测)设实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是()A.－5B.－12C.12D.5解析作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示，则w ＝y －1x －1的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (1，1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43时，直线AP 的斜率最小，此时w ＝y －1x －1的最小值为43－113－1＝－12，故选B.答案 B15.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是________. 解析画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3，0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞16.(2015·浙江卷)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________.解析 ∵x 2＋y 2≤1，∴2x ＋y －4＜0，6－x －3y ＞0，∴|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝10－3x －4y . 令z ＝10－3x －4y ，如图，设OA 与直线－3x －4y ＝0垂直，∴直线OA 的方程为y ＝43x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x ，x 2＋y 2＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，∴当z ＝10－3x －4y 过点A 时，z 取最大值， z max ＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝15. 答案 15第3讲基本不等式及其应用最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识梳理1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数. 2.几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.。

2018年版高考数学第1轮复习第七章不等式、推理与证明7.2基本不等式及应用课件文新人教A版

-17-
;
考点1
考点2
考点3
解析: (1)因为 x<54,所以 5-4x>0. 所以 f(x)=4x-2+4��1��-5
=-
5-4��
+
1 5-4��
+3≤-2+3=1,
当且仅当 5-4x=5-14��,即 x=1 时,等号成立.
(2)因为 x>2,所以 x-2>0.
7.2 基本不等式及其应用
知识梳理
双基自测
自测点评
123
-2-
1.基本不等式:
��
≤
��+�� 2
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号.
(3)其中��+2 ��称为正数 a,b 的算术平均数, ��称为正数 a,b 的几何平均数.
∴ab≤
��+�� 2
2
= 14,当且仅当 a=b=12时,等号成立.
于是��1��≥4,��2��≥8,当且仅当 a=b=12时,等号成立.
∴
1
+
1 ��
1
+
1 ��
≥1+8=9,
当且仅当 a=b=12时,等号成立.
-16-
考点1
考点2
考点1
考点2
考点3
考点 1 利用基本不等式证明不等式
例
1(1)设
a,b,c
都是正数,求证:��

2018版高考数学(全国人教B版理)大一轮复习讲义：第七章不等式第3讲含解析

基础巩固题组(建议用时:30分钟)一、选择题1.（2016·北京卷)若x，y满足错误!则2x＋y的最大值为(）A.0 B。

3 C.4 D。

5解析画出可行域，如图中阴影部分所示,令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，当直线y＝－2x＋z过点A（1，2)时，z最大，z max＝4。

答案 C2.(2016·泰安模拟）不等式组错误!所表示的平面区域的面积为(）A。

1 B.错误! C.错误!D。

错误!解析作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知x B＝1，x C＝2.由错误!得y D＝错误!，所以S△BCD＝错误!×(x C－x B)×错误!＝错误!。

答案 D3。

（2017·广州二测）不等式组错误!的解集记为D，若(a，b）∈D，则z＝2a－3b的最小值是(）A。

－4 B.－1 C.1 D。

4解析画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当a＝－2，b＝0,z＝2a－3b取得最小值－4.答案 A4。

(2016·山东卷）若变量x,y满足错误!则x2＋y2的最大值是(）A.4B.9 C。

10 D。

12解析作出不等式组所表示的平面区域，如图（阴影部分）所示,x2＋y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易知平面区域内的点A （3，－1)到原点的距离最大。

所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1）2＝10.答案 C5。

x ,y 满足约束条件｛x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ）A 。

12或－1B 。

2或错误! C.2或1 D 。

2或－1解析如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a ＞0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a ＜0时，要使z＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一,则a ＝－1.答案 D6。

福建专用2018年高考数学总复习第七章不等式推理与证明7.2基本不等式及其应用课件理新人教A版

5.(2017江苏,10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .
关闭
一年的总运费与总存储费用之和为 4x+
900 ��
600 ��
×6=4 �� +
≥4×2 900=240,当且仅当 x=
(4)�� + �� ≥2(a,b∈R,且 a,b 同号),当且仅当 a=b 时取等号.
-4知识梳理考点自测
1
2
3
4
5
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”. (1)当 a≥0,b≥0 时, 2 ≥ ��. ( ) ��+�� (2)两个不等式 a2+b2≥2ab 与 2 ≥ ��成立的条件是相同的. ( (3)函数 y=x+��的最小值是 2.
1 1 1 1 �� +�� 1
1
1
1
1 ��
+
1 ��
.
�� 1 2
∵a+b=1,a>0,b>0,
+
�� +��
=2+ + ≥2+2=4,当且仅当 a=b= 时,等号成立.
�� 1
900 ��
,即 x=30 时等号成立.
关闭
30
解析答案
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2018版高考数学理人教大一轮复习讲义教师版文档第七章

1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b >0)．2．不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x b >0，m >0，则①b a b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( × ) (5)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc .( √ )(6)若ab >0，则a >b ⇔1a <1b.( √ )1．设a 1b B.1a －b >1a C ．|a |>－b D.－a >－b答案 B解析由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a 成立，即1a －b >1a不成立．2．(教材改编)若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析a －b >0⇒a >b⇒a >b ⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0⇏a －b >0.3．若a ，b ∈R ，且a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( ) A ．a －b >0 B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0 D ．a ＋b <0答案 D解析由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |，当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0.故选D.4．如果a ∈R ，且a 2＋a <0，则a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是________________．答案 a <－a 2<a 2<－a 解析由a 2＋a <0得a <－a 2， ∴a <0且a >－1，∴－a 2<a 2<－a .5．(教材改编)若0<a 1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12. 即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)，又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2N C ．M ＝ND ．不确定(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a 0，即M －N >0. ∴M >N .(2)方法一易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1，所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1，所以b >c .即c e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .思维升华比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系．(1)设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( )A ．A ≤B B ．A ≥BC ．A <BD ．A >B(2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________．答案 (1)B (2)a 0,1618>0， ∴1816<1618.即a ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0(2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 0. 由b >c 得ab >ac 一定成立．(2)因为1a <1b <0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，因为b <0，所以ab 0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc<0；③a －c >b －d ；④a (d－c )>b (d －c )中成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析方法一 ∵a >0>b ，c <d <0， ∴ad <0，bc >0， ∴ad <bc ，故①错误． ∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )，∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd <0，故②正确．∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )， ∴a －c >b －d ，故③正确．∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )，故④正确，故选C. 方法二取特殊值．题型三不等式性质的应用命题点1 应用性质判断不等式是否成立例3 已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④D ．②③④答案 A解析方法一由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立；∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2 ＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36， a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立．故选A.方法二令a ＝3，b ＝2，可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立，故选A.命题点2 求代数式的取值范围例4 已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．答案 (－4,2) (1,18)解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18. 引申探究1．若将例4条件改为－1<x <y <3，求x －y 的取值范围．解 ∵－1<x <3，－1<y <3， ∴－3<－y <1，∴－4<x －y <4. 又∵x <y ，∴x －y <0，∴－4<x －y <0，故x －y 的取值范围为(－4,0)．2．若将例4条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围．解设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为(－32，232)．思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等． (2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．(1)若a 1b B ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1D ．a n >b n(2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac log a (b －c )．其中所有正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③答案 (1)C (2)D解析 (1)(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确； C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a b >1知1a <1b，又c <0，∴c a >cb ，①正确；构造函数y ＝x c ，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a >b >1，∴a c b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，③正确．7．利用不等式变形求范围典例设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．错解展示解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2， ①2≤a ＋b ≤4， ②①＋②得3≤2a ≤6，∴6≤4a ≤12，又由①可得－2≤－a ＋b ≤－1，③ ②＋③得0≤2b ≤3，∴－3≤－2b ≤0，又f (－2)＝4a －2b ，∴3≤4a －2b ≤12， ∴f (－2)的取值范围是[3,12]．答案 [3,12] 现场纠错解析方法一由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法二由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5,10]纠错心得在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( ) A ．ad >bc B ．ac >bd C ．a －c >b －d D ．a ＋c >b ＋d答案 D解析由不等式的同向可加性得a ＋c >b ＋d .2．(2016·包头模拟)若6<a <10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是( )A ．9≤c ≤18B ．15<c <30C ．9≤c ≤30D ．9<c <30 答案 D解析 ∵c ＝a ＋b ≤3a 且c ＝a ＋b ≥3a2，∴9<3a2≤a ＋b ≤3a <30.3．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xz D ．x |y |>z |y | 答案 C解析 ∵x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0，∴x >0，z <0，又y >z ，∴xy >xz .4．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由(a －b )·a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >b c，则a >b C ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b答案 C解析当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0，知a >0且b <0，所以1a >1b成立，C 正确；当a <0且b <0时，可知D 不正确．7．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b >b －1aD.2a ＋b a ＋2b >a b答案 A 解析取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立，故选A. 8．若a >b >0，则下列不等式一定不成立的是( )A.1a <1bB ．log 2a >log 2bC ．a 2＋b 2≤2a ＋2b －2D ．b <ab <a ＋b 2<a 答案 C解析 ∵(a －1)2＋(b －1)2>0(由a >b >0，a ，b 不能同时为1)，∴a 2＋b 2－2a －2b ＋2>0，∴a 2＋b 2>2a ＋2b －2，∴C 项一定不成立．9．若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n <0对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，43 B.⎝⎛⎭⎫12，43 C.⎝⎛⎭⎫1，74 D.⎝⎛⎭⎫12，74 答案 D解析当n 为奇数时，2n (1－a )<3n －1,1－a <13×⎝⎛⎭⎫32n 恒成立，只需1－a <13×⎝⎛⎭⎫321，∴a >12.当n 为偶数时，2n (a －1)<3n －1，a －1<13×⎝⎛⎭⎫32n 恒成立，只需a －1<13×⎝⎛⎭⎫322，∴a <74. 综上，12<a <74，故选D. 10．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．11．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 a ＝b >c解析 ∵a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，∴a ＝b ，又a ＝log 233>1，c ＝log 32<1，∴a >c ，故a ＝b >c .12．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 z >y >x解析方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .*13.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元/人，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1) ＝14x ＋34nx ， y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx＝14x(1－n5)．当n＝5时，y1＝y2；当n>5时，y1<y2；当n<5时，y1>y2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠；当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠；当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．。

【K12高考数学】2018高考数学理(13-17高考题)分类汇编：第7章不等式

第七章不等式第一节不等式的性质与不等式的解法题型75不等式的性质1.（2014四川理4）若0a b >>，0c d <<，则一定有（）. A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c< 2.（2015浙江理3）已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（）．A.140,0a d dS >>B.140,0a d dS <<C.140,0a d dS ><D.140,0a d dS <> 2.解析因为348,,a a a 成等比数列，所以2438a a a =⋅，即()()()2111327a d a d a d +=+⋅+，所以21350a d d +=．因为0d ≠，所以135a d =-，所以21503a d d =-<．又414320246233S a d d d d ⨯=+=-+=-，所以24203dS d =-<．故选B ．3.（2015全国2理24）设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+.证明：(1)若ab cd >>>||||a b c d -<-的充要条件.3.解析（1）因为2a b =++2c d =++由题设a b c d +=+，ab cd >，得22>，>（2）(i)若a b c d -<-，则()()22a b c d -<-，即()()2244a b ab c d cd +-<+-.因为a b c d +=+，所以ab cd >>(ii)>22>，即a b ++c d >++因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是()()()()222244a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-，因此a b c d -<-.>a b c d-<-的充要条件.题型76比较数（式）的大小1.(2013全国新课标卷理8）设357log 6log 10log 14a b c ===，，则（）. A.>>c b a B.>>b c a C.>>a c b D.>>a b c2.（2014辽宁理3）已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（）. A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >> 3.（2014山东理5）已知实数y x ,满足()01xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（）.A.111122+>+y x B.()()22ln 1ln 1x y +>+ C.y x sin sin > D.33y x > 4.（2015安徽理3）设:1<<2p x ，:21xq >，则p 是q 成立的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.解析由0212x >=得0x >，所以p q ⇒，但q p ⇒/，所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ．5.（2015湖北理8）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（）． A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >5.解析2222221222()()()()()()a b a m b m b b m m b a e e a a m a a m a a m +++++--=-=++++，当a b >时，22120e e -<，12e e <；当a b <时，22120e e ->，12e e >.故选D.6.（2015陕西理9）设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a bq f +=， 1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（）． A ．q r p =C ．p r q =<D ．p r q => 6.解析解法一：依题意，()()()()111ln ln ln 222p ab a b f a f b r ===+=+=，ln ln 2a b q p +=>=，所以p r q =<.故选C.解法二：令1,9a b ==，ln ln 3p ==，19ln ln 52q +==，()1ln1ln 9ln 32r =+=，所以p r q =<.故选C.7.（2015天津理7）已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()2c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（）. A.a b c <<B ．a c b <<C ．c a b << D.c b a << 7.解析因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 21213123a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭，()()2log 502log 52142(0)210b f c f m f ==-====-=，.所以c a b <<.故选C.8.（2016全国丙理6）已知432a =，233b =，1325c =，则（）. A.b a c << B.a b c << C.b c a << D.c a b <<8.A 解析由423324a ==，233b =，得a b >，由1223332554c ==>，则c a >因此c a b >>.故选A.9.（2016全国乙理8）若101a b c >><<，，则（）. A.cca b < B.ccab ba < C.log log b a a c b c < D.log log a b c c <9.C 解析对于选项A ，由于01c <<，所以函数cy x =在()0,+∞上单调递增.由1a b >>，得cc ab >.故A 错误；对于选项B ，要比较cab 与cba 的大小，只需比较a b 与ca b ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小.构造函数xa yb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为1a b >>，所以1a b >，因此函数xa yb ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递增.又01c <<，所以ca ab b⎛⎫< ⎪⎝⎭，即c c ba ab <.故B 错误；对于选项C ，要比较log b a c 与log a b c 的大小关系，只需比较ln ln c b b 与ln ln ca a的大小，即比较ln b b 与ln a a 的大小.构造辅助函数()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+.令()0f x '=，得1e x =.函数()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因此，若1a b >>，得ln ln a a b b >，故11ln ln a a b b<. 又ln 0c <，所以ln ln ln ln c c a a b b >，即ln ln ln ln b c a ca b>，得log log a b b c a c >.故选项C 正确；对于选项D ，比较log a c 与log b c 的大小，只需比较ln ln c a 与ln ln cb 的大小，即比较ln a 与ln b的大小.又1a b >>，得ln ln 0a b >>，所以11ln ln a b <.又ln 0c <，得ln ln ln ln c ca b>，即log log a b c c >.故选项D 不正确.综上可得，故选C.10.（2016浙江理8）已知实数,,a b c （）.A.若221a b c a b c +++++≤，则222100a b c ++<B.若221a b c a b c ++++-≤，则222100a b c ++<C.若221a b c a b c ++++-≤，则222100a b c ++<D.若221a b c a b c ++++-≤，则222100a b c ++<10.D 解析举反例排除法:对于选项A ，可以令()222,a b a b c a b +=+=-+，例如令10,110a b c ===-，则22101011010101101+-++-≤=0，但是()2221010110100++->，所以选项A 不正确；对于选项B ，可以令20,0c a b =+=，例如令10,100,0a b c ==-=，则221010*********-++--≤，但是()222101000100+-+>，所以选项B 不正确；对于选项C ，可以令20,0a b c +==，例如令100,100,0a b c ==-=，则22100100010010001-++--≤=0，但是()2221001000100+-+>，所以选项C 不正确，故选D.11.(2017北京理13)能够说明“设a b c ，，是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a b c ，，的值依次为__________________．11.解析由题知，取一组特殊值且,,a b c 为整数，如1a =-，2b =-，3c =-. 12.（2017山东理7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（）. A.()21log 2a b a a b b +<<+ B.()21log 2a b a b a b <+<+ C.()21log 2a ba ab b +<+< D.()21log 2a b a b a b +<+<12.解析由题意知1a >，01b <<，所以12ab<，()22log log 1a b +>=， 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+.故选B. 评注本题也可采用特殊值法，如13,3a b ==，易得结论. 题型77一元一次不等式与一元二次不等式的解法13．(2013天津理8）已知函数()()1||f x x a x =+．设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围是（）.A ．1,02⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭B ．12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎫⎪⎪⎝⎭⎭U D．⎛- ⎝⎭∞ 14(2013安徽6）已知一元二次不等式()<0f x 的解集为1<1>2x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或，则()10>0x f 的解集为（）.A.{}<1>lg2x x x --或 B.{}1<<lg2x x -- C.{}>lg2x x - D.{}<lg2x x -15.（2013广东9）不等式220x x +-<的解集为． 16.（2014广东理9）不等式125x x -++…的解集为.17.（2016上海理1）设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_____________. 17.()2,4解析由题意131x -<-<，即24x <<，则解集为()2,4.故填()2,4. 题型78分式不等式的解法——暂无第二节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题题型79二元一次不等式组表示的平面区域1.（2014湖北理7）由不等式0020x y y x ⎧⎪⎨⎪--⎩„…„确定的平面区域记为1Ω，不等式组12x y x y +⎧⎨+-⎩„…确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（）. A.18B.14C.34D.782.（2016浙江理3）在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影.由区域200340x x y x y -⎧⎪+⎨⎪-+⎩„……中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则AB =（）.A.4C.62.C 解析如图所示，PQR △的边界及内部为约束条件的可行域，区域内的点在直线20x y +-=上的投影构成了线段R Q ''，也就是线段AB .因为四边形''RQQ R 为矩形，所以R Q =RQ''，由3400x y x y -+=⎧⎨+=⎩，得(1,1)Q -.由20x x y =⎧⎨+=⎩，得(2,2)R -.AB QR ===.故选C.题型80求解目标函数的取值范围或最值1．(2013天津理2）设变量x ，y 满足约束条件0230063x x y y y +-⎧⎪⎨⎪⎩---…„„，则目标函数2z y x=-的最小值为（）. A ．7-B ．4-C ．1D ．22.(2013全国新课标卷理9）已知>0a ，x y ，满足约束条件()133x x y y a x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，若2z x y =+的最小值为1，则a =（）. A.14B.12C.1D.2 3.（2013山东理6）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210380x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪+-⎩……„，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为（）. A.2B.1C.13- D.12-4.（2013山东理12）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（）. A.0B.1C.94D.35.(2013湖南理4）若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩„„…，则2x y +的最大值是（）.A ．52-B ．0C ．53D ．526．（2013广东13）给定区域D :4440x y x y x +⎧⎪+⎨⎪⎩…„…，令点集()(){}000000,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定条不同的直线．7.(2013陕西理13）若点()x y ，位于曲线1y x =-与2y =所围成的封闭区域，则2x y -的最小值为.8.(2013陕西理15A ）A.（不等式选做题）已知a b m n ，，，均为正数，且12a b mn +==，，则()()am bn bm an ++的最小值为.9.（2014广东理3）若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ⎧⎪+=+⎨⎪-⎩且„„…的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=（）.A ．5 B.6 C.7 D.810.（2014山东理9）已知,x y 满足的约束条件10,230,x y x y --⎧⎨--⎩„…当目标函数()0,0z ax by a b =+>>在该约束条件下取得最小值22ab +的最小值为().A.5B.4211.（2014天津理2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧⎪⎩-⎪-⎨…„…则目标函数2z x y =+的最小值为（）.A.2B.3C.4D.512.（2014新课标1理9）不等式组124x y x y +⎧⎨-⎩…„的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(),x y D ∀∈，22x y +-…；2p ：(),x y D ∃∈，22x y +…； 3p ：(),x y D ∀∈，23x y +„；4p ：(),x y D ∃∈，21x y +-„.其中真命题是（）.A.2p ，3pB.1p ，2pC.1p ，4pD.1p ，3p13.（2014新课标2理9）设,x y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩„„…，则2z x y =-的最大值为（）.A.10B.8C.3D.214.（2014大纲理14）设x ，y 满足约束条件02321x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪-⎩…„„，则4z x y =+的最大值为.15.（2014福建理11）若变量y x ,满足约束条件102800x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩„„…，则y x z +=3的最小值为.16.（2014辽宁理16）对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为.17.（2014四川理14）设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是.18.（2015浙江理14）若实数,x y 满足221x y +„，则2263x y x y +-+--的最小值是．18.解析依题意可得：2263x y x y +-+--…()()2263x y x y +----=348x y +-.由cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩[)()01,0,2πr θ∈剟得，原式()3cos 4sin 8r θθ=+-=()85sin r θϕ-+（3tan 4ϕ=）. 所以22633x y x y +-+--….当34,55x y ==时取等号. 所以()min22633x y x y +-+--=.19.（2015四川理9）如果函数()()()()212810,02f x m x n x m n =-+-+厖在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，那么mn 的最大值为（）. A.16B.18C.25D.81219.解析当2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--；当2m >时，822n m ---…，即212m n +„.262m n+剟，所以18mn „.由2m n =且212m n +=，得3,6m n ==；当2m <时，抛物线开口向下，根据题意可得，8122n m ---„，即218m n +„.292m n +剟，所以812mn „. 由2n m =且218m n +=，得92m =>，故应舍去. 要使得mn 取得最大值，应有()2182,8m n m n +=<>.所以()()1821828816mn n n =-<-⨯⨯=.所以最大值为18.故选B.20.（2015天津理2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-⎩……„，则目标函数6z x y =+的最大值为（）.A.3B.4C.18D.4020.解析不等式2030230x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-⎩……„所表示的平面区域如图所示，当6z x y =+所表示直线经过点()03B ，时，z 有最大值18.故选C. 21.（2015湖南理4）若变量x ，y 满足约束条件1211x y x y y +-⎧⎪-⎨⎪⎩…„„，则3z x y =-的最小值为（）.A.7-B.1-C.1D.221.解析画出满足线性约束条件的可行域如图所示，由图可知，当直线3y x z =-过点A 时，纵截距最大，即此时z 有最小值.联立11x y y +=-⎧⎨=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，即()2,1A -.所以()min 3217z =⨯--=-.故选A. 22.（2015北京理2）若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩„„…，则2z x y =+的最大值为（）.A.0B.1C.32D.2 22.解析不等式组表示的可行域如图所示.因此，可知目标函数在()0,1处取得最大值2. 故选D.23.（2015福建理5）若变量,x y 满足约束条件200220x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩…„…，则2z x y =-的最小值等于（）. A ．52-B ．2-C ．32-D ．2 23.解析画出可行域，如图所示．目标函数变形为2y x z =-，当z 最小时，直线2y x z =-的纵截距最大，故将直线2y x =经过可行域，尽可能向上移到过点11,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，z 取到最小值，最小值为()152122z =⨯--=-．故选A ．24.（2015广东理6）若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩…剟剟，则32z x y =+的最小值为（）. A ．4B ．235C ．6D ．31524.解析不等式所表示的可行域如下图所示，由32z x y =+得322zy x =-+，依题当目标函数直线3:22z l y x =-+经过点41,5A ⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取得最小值，即min 42331255z =⨯+⨯=．故选B ． 25.（2015全国1理15）若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，则y x 的最大值为.25.解析作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y x是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点()1,3A 与原点连线的斜率最大，故y x的最大值为3.26.（2015全国2理14）若x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，则z x y =+的最大值为______．26.解析根据题意，画出可行域，如图所示，将目标函数z x y =+变形为y x z =-+，当z 取到最大值时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到点1(1,)2D 处，则z x y =+有最大值32．27.（2016全国丙理13）若x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„则z x y =+的最大值为_____________.27.32解析可行域如图所示.当直线z x y =+经过11,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，z 取最大值为32.28.(2016北京理2)若,x y 满足2030x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩„„…，则2x y +的最大值为（）.A.0B.3C.4D.528.C 解析如图所示，先作出可行域，为 OAB △的内部及其边界，其中(0,0)O ，(1,2)A ，(0,3)B .把初始直线20x y +=向上平移时，2x y +的值越来越大，所以当且仅当直线2x y z+=经过点(1,2)A 时，max (2)2124x y +=⨯+=，即2x y +的最大值为4.故选C.29.(2016天津理2)设变量x ，y 满足约束条件2023603290x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩……„.则目标函数25z x y=+的最小值为（）. A.4-B.6 C .10D.1729.B 解析满足不等式组的可行域，如图所示.可行域为一个ABC △及其内部，其中()3,0A ，()1,3B ，()0,2C ，直线25z x y =+过点A 时取最小值.故选B.30.(2016山东理4)变量,x y 满足22390x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩„„…，则22x y +的最大值是（）.A.4B.9C.10D.1230.C 解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由22x y +是点),(y x 到原点距离的平方，故只需求出三条直线的交点(3,1),(0,2),(0,3)A B C --到原点距离的平方，然后再进行比较.经计算，A(3,1)-是最优解，22x y +的最大值是10.故选C.31．（2016江苏12）已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩……„，则22x y +的取值范围是．31.4135⎡⎤⎢⎥⎣⎦，解析在平面直角坐标系中作出可行域如图所示.22x y +的含义为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中A 点距离原点最近，此时为原点A 到直线220x y +-=的距离d ==则()22min45x y +=；图中B 点距离原点最远， B 点为240x y -+=与330x y --=交点，即()2,3B .则()22max13x y+=．32.（2017天津理2）设变量,x y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩……„„，则目标函数z x y =+的最大值为（）. A.23B.1C.32D.3 32.解析变量,x y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩……„„的可行域如图所示，目标函数z x y =+经过可行域的点A 时，目标函数取得最大值，由03x y =⎧⎨=⎩，可得(0,3)A ，目标函数z x y=+的最大值为3.故选D.33.(2017北京理4)若x ，y 满足32x x y y x ⎧⎪+⎨⎪⎩„…„，则2x y +的最大值为（）. A.1B.3C.5D.933.解析作出不等式组的可行区域，如图所示，令2z x y =+，则22x zy -=+.当过A 点时z 取最大值，由()3,3A ，故max 369z =+=.故选D.34.（2017全国1理14）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩„…„，则32z x y =-的最小值为.34.解析不等式组21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩„…„表示的平面区域如图所示，由32z x y =-，得322zy x =-，求z 的最小值，即求直线322z y x =-的纵截距的最大值，当直线322zy x =-过图中点A 时，纵截距最大，由2121x y x y +=-⎧⎨+=⎩，解得点A 的坐标为(1,1)-，此时3(1)215z =⨯--⨯=-.35.（2017全国2理5）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩„……，则2z x y =+的最小值是（）.A ．15-B ．9-C ．1D ．935.解析目标区域如图所示，当直线2y =x+z -过点()63--，时，所求z 取到最小值为15-．故选A.36.（2017全国3理12）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩…„…，则34z x y =-的最小值为__________．36.解析由题意，作出可行域如图所示.目标函数为34z x y =-，则直线344zy x =-的纵截距越大，z 值越小．由图可知z 在()1,1A 处取得最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-．37.（2017山东理4）已知x ，y 满足3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩„„…，则2z x y =+的最大值是（）.A.0B.2C.5D.637.解析由303+5030x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪+⎩„„…，作出可行域及直线20x y +=，如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线350x y ++=与3x =-的交点(3,4)-时，2z x y =+取最大值为max 3245z =-+⨯=.故选C.38.(2017浙江理4)若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩……„，则2z x y =+的取值范围是（）.A.[]0,6B.[]0,4C.[)6,+∞D.[)4,+∞ 38.解析如图所示，22x zy =-+在点()2,1取到z 的最小值为2214z =+⨯=，没有最大值，故[)4,z ∈+∞．故选D ．题型81求解目标函数中参数的取值范围1.（2013浙江13）设y kx z +=，其中实数y x ,满足20240240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩……„，若z 的最大值为12，则实数=k ________.2.(2013重庆理16）（若关于实数x 的不等式53x x a -++<无解，则实数a 的取值范围是.3.（2014安徽理5）x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩„„…，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）. A.12或1- B.2或12C.2或1D.2或1-4.（2014北京理6）若,x y 满足20200x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩………且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（）. A.2B.2- C.12D.12- 5.（2014湖南理14）变量y x ,满足约束条件4y xx y y k⎧⎪+⎨⎪⎩„„…，且2z x y =+的最小值为6-，则k =________.6.（2014浙江理13）当实数,x y 满足240101x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩„„…时，14ax y +剟恒成立，则实数a 的取值范围是________.7.(2015山东理6)已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，若z ax y =+的最大值为4，则a =(). A ．3B ．2C ．2-D ．3-7.解析作出不等式组020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩…„…所表示的平面区域，如图所示．依题意，z ax y =+的最大值必在()1,1A 或()2,0B 处取得．①当在()1,1A 处取得时，14a +=，则3a =，经检验，不合题意；②当在()2,0B 处取得时，204a +=，则2a =，经检验，符合题意．故选B ．题型82简单线性规划问题的实际运用8.（2014湖南理8）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）.A.2p q + B.()()1112p q ++-19.（2016全国乙理16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元，该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A ，产品B 的利润之和的最大值为元.9.216000解析设生产产品A ，B 的件数分别为,x y ，获得利润为z 元，则,x y 满足约束条件为：,1.50.51500.39053600x y x y x y x y ∈⎧⎪+⎪⎨+⎪⎪+⎩N„„„，目标函数为()210090030073z x y x y =+=+，画出满足不等式组的可行域，如图所示.联立536000.390x y x y +=⎧⎨+=⎩，得60100x y =⎧⎨=⎩，即()60,100A .移动目标函数73900zy x =-+，可得到当其经过点()60,100A 时，z 有最大值216000.故填216000. 第三节基本不等式及其应用题型83利用基本不等式求函数的最值1.(2013天津理14）设a +b =2，0b >，则当a =时，1||2||a a b+取得最小值. 2.（2016上海理10）设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是．2.()2,+∞解析解法一：即线性方程组表示两条平行的直线，故由条件1ab =，且1a b ≠≠，所以2a b +>=．故填()2,+∞．解法二：将方程组中的①式化简得1y ax =-，代入②式整理得()11ab x b -=-，方程组无解应该满足10ab -=且10b -≠，所以1ab =且1b ≠，所以由基本不等式得2a b +>=．故填()2,+∞．评注或12a b a a+=+>()01a a >≠且． 3.（2017江苏10）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是． 3.解析一年的总运费与总存储费用之和为6003600644x x x x ⨯+=+240=…，当且仅当36004x x=，即30x =时取等号．故填30．4.(2017浙江理17)已知a ∈R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是. 4.解析设4t x x=+，则()f t t a a =-+，[]4,5t ∈. 解法一：可知()f t 的最大值为{}max (4),(5)f f ，即(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+=⎪⎨=-+⎪⎩„或(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+⎪⎨=-+=⎪⎩„，解得 4.55a a =⎧⎨⎩„或 4.55a a ⎧⎨⎩„„，所以 4.5a „．则a 的取值范围是(],4.5-∞. 解法二：如图所示，当0a <时，()5f t t a a t =-+=„成立；当0a t <„时，()05f t a t a t =-+-=„成立；当a t >时，()5f t t a a a t a =-+=-+„成立，即 4.5a „. 则a 的取值范围是(],4.5-∞.a题型84利用基本不等式证明不等式1.（2015湖南理16-3）设0a >，0b >，且11a b a b+=+. （1）2a b +…；（2）22a a +<与22b b +<不可能同时成立. 1.解析证明：由abba b a b a +=+=+11，0,0>>b a 得1=ab（1）由基本不等式及1=ab ，有2a b +=…，即2a b +….（2）假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 得10<<a ；同理，10<<b ，从而10<<ab ，这与1=ab 相矛盾. 故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.。

2018版高考数学(人教A版理科)大一轮复习配套(讲义)第七章不等式第3讲含解析

基础巩固题组(建议用时:30分钟)一、选择题1。

下列不等式一定成立的是（）A。

lg错误!〉lg x(x>0) B。

sin x＋错误!≥2(x≠kπ，k∈Z)C.x2＋1≥2｜x｜(x∈R) D。

错误!＜1(x∈R)解析当x＞0时，x2＋错误!≥2·x·错误!＝x，所以lg错误!≥lg x(x＞0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x≠kπ，k∈Z时,sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有错误!＝1,故选项D 不正确.答案C2。

若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是（）A。

［0，2］B。

[－2，0]C。

[－2，＋∞) D.(－∞,－2］解析2错误!≤2x＋2y＝1，所以2x＋y≤错误!，即2x＋y≤2－2，所以x＋y≤－2.答案D3。

（2016·合肥二模）若a，b都是正数，则错误!·错误!的最小值为（）A.7 B。

8 C.9 D。

10解析∵a，b都是正数，∴错误!错误!＝5＋错误!＋错误!≥5＋2错误!＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号。

故选C。

答案C4。

若a>0,b〉0,且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )A。

错误!≤错误! B.错误!＋错误!≤1C。

错误!≥2 D。

a2＋b2≥8解析4＝a＋b≥2错误!（当且仅当a＝b时,等号成立)，即错误!≤2，ab≤4,错误!≥错误!，选项A，C不成立;错误!＋错误!＝错误!＝错误!≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立.答案D5.（2015·湖南卷）若实数a,b满足错误!＋错误!＝错误!，则ab的最小值为（）A。

错误!B。

2 C.2错误! D.4解析依题意知a＞0，b＞0，则错误!＋错误!≥2错误!＝错误!，当且仅当错误!＝错误!,即b＝2a时，“＝”成立。

2018版高考数学全国人教B版理大一轮复习课件：第七章

2．线性规划相关概念名称约束条件线性约束条件目标函数意义目标函数中的变量所要满足的不等式组一次不等式(或方程)组成的不等由x，y的______ 式组最小值的函数最大值或_______ 欲求______ 一次解析式关于x，y的______
线性目标函数
可行解可行域最优解线性规划问题
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标 (x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都_____ 相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点 (x0 ， y0) 作为测试点，由 Ax0 ＋ By0 ＋ C 的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧 ______ 的平面区域．
x＋y－2＝0， x＝1－m，由解得即 x－y＋2m＝0， y＝1＋m，
A(1－m， 1＋m).
2 4 x＝3－3m， x＋2y－2＝0，由解得 x－y＋2m＝0， y＝2＋2m， 3 3
即
2 4 2 2 B3－3m，3＋3m，所围成的区域为△ABC，
无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可
以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常
)
解析把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C. 答案 C
x－3y＋6≥0， 3.(教材改编)不等式组表示的平面区域是( x － y ＋ 2<0
)
解析
x － 3y ＋ 6≥0 表示直线 x － 3y ＋ 6 ＝ 0 及其右下方部
分， x － y ＋2 ＜ 0 表示直线 x － y ＋ 2 ＝ 0 左上方部分，故不
标函数z＝x－2y得到－5. 答案－5

2018届高考数学(理)大一轮复习教师用书第七章第三节基本不等式Word版含解析

第三节基本不等式突破点(一) 利用基本不等式求最值1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式⎭⎪⎬⎪⎫(1)a 2＋b 2≥2ab ，a ，b ∈R ；(2)b a ＋ab≥2，ab >0；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ，b ∈R ；(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ，b ∈R 当且仅当a ＝b 时等号成立.3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)[例1] (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13 B.12 C.34 D.23(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．[解析] (1)∵0<x <1，∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎡⎦⎤x ＋(1－x )22＝34. 当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. [答案] (1)B (2)1[方法技巧]通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．通过常数代换法利用基本不等式求最值[例2] 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________． [解析] ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋bb ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．[答案] 4[方法技巧]常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值．通过消元法利用基本不等式求最值[例3] 已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________． [解析] 因为xy ＋2x ＋y ＝4，所以x ＝4－y y ＋2.由x ＝4－yy ＋2>0，得－2<y <4，又y >0，则0<y <4，所以x ＋y ＝4－y y ＋2＋y ＝6y ＋2＋(y ＋2)－3≥26－3，当且仅当6y ＋2＝y ＋2(0<y <4)，即y ＝6－2时取等号．[答案] 26－3[方法技巧]通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二](2016·海口调研)已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A ．1B.14C.12D.22解析：选B ∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．2.[考点一]已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x ＞－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．2C ．3D ．8 解析：选C y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，因为x ＞－1，所以x ＋1＞0，9x ＋1＞0.所以由基本不等式，得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2 (x ＋1)·9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，即x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.3.[考点三]已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 由已知得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，令x ＋3y ＝t ，则t ＞0，且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6.即x ＋3y ≥6.4.[考点二]已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________．解析：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b b ＝2＋b a ·⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．答案：95.[考点二]实数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则3x ＋9y 的最小值是________．解析：利用基本不等式可得3x ＋9y ＝3x ＋32y ≥23x ·32y ＝23x＋2y.∵x ＋2y ＝2，∴3x ＋9y ≥232＝6，当且仅当3x ＝32y ，即x ＝1，y ＝12时取等号．答案：6突破点(二) 基本不等式的综合问题关于基本不等式的考题，涉及的知识点较多，常融合于函数、数列、解析几何及实际问题中，此类问题一般难度较大，需要较强的分析问题、解决问题的能力.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”基本不等式的实际应用[例1] 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件[解析] 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x 8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号． [答案] B [方法技巧]利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．基本不等式与其他知识的交汇问题[例2] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则3a ＋2b 的最小值为( )A.256B.83C.113D ．4 [解析] 不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由z ＝ax ＋by 得y ＝－a b x ＋z b ，当z 变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－ab ，在y 轴上的截距为zb ，由图可知当直线经过点A (4,6)时，在y 轴上的截距最大，从而z 也最大，所以4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，所以3a ＋2b ＝2a ＋3b 6·⎝⎛⎭⎫3a ＋2b ＝16⎝⎛⎭⎫6＋6＋4a b ＋9b a ≥4，当且仅当a ＝32，b ＝1时等号成立．[答案] D[方法技巧]求与其他知识交汇的最值问题的类型及策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．与基本不等式有关的参数问题[例3] (1)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)设x >y >z ，且1x －y ＋1y －z ≥n x －z(n ∈N)恒成立，则n 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5[解析] (1)(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9恒成立，所以a ≥4，故选B.(2)因为x >y >z ，所以x －y >0，y －z >0，x －z >0，不等式1x －y ＋1y －z ≥n x －z 恒成立等价于n ≤(x －z )1x －y ＋1y －z 恒成立．因为x －z ＝(x －y )＋(y －z )≥2(x －y )(y －z )，1x －y ＋1y －z≥21x －y ×1y －z ，所以(x －z )·1x －y ＋1y －z≥2(x －y )(y －z )×21x －y ×1y －z＝4(当且仅当x －y ＝y －z 时等号成立)，则要使n ≤(x －z )1x －y ＋1y －z 恒成立，只需使n ≤4(n ∈N)，故n 的最大值为4.[答案] (1)B (2)C[方法技巧]求参数的值或取值范围的方法观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二](2016·银川模拟)若直线2ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是( )A ．2－ 2 B.2－1 C ．3＋2 2D ．3－2 2解析：选C ∵圆心为(1,2)在直线2ax ＋by －2＝0上，∴a ＋b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b (a ＋b )＝3＋2b a ＋a b ≥3＋2 2.当且仅当2b a ＝ab ，即a ＝2－2，b ＝2－1时等号成立．2.[考点二](2016·东北育才学校模拟)设＝(1，－2)，＝(a ，－1)，＝(－b,0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b的最小值是( )A ．4B.92C ．8D ．9 解析：选D ∵＝－＝(a －1，1)，＝－＝(－b －1,2)，若A ，B ，C 三点共线，则有∥，∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又a >0，b >0，∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2ab≥5＋2 2b a ·2a b ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立． 3.[考点三]已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)解析：选B 由32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，得k ＋1<3x ＋23x .∵3x ＋23x ≥22，当且仅当3x ＝23x ，即x ＝12log 32时，等号成立，∴k ＋1<22，即k <22－1.4.[考点一]某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x >0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：85.[考点三]已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________．解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xyx ＋y≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2.又λ≥x ＋22xyx ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.答案：2[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b ＞1ab C.b a ＋ab≥2 D ．a 2＋b 2＞2ab解析：选C 因为ab ＞0，所以b a ＞0，a b ＞0，所以b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时取等号．2．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2＋1>1(x ∈R) 解析：选C 对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0，∴lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ，故不成立；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1，故不成立．3．当x >0时，函数f (x )＝2xx 2＋1有( ) A ．最小值1 B ．最大值1 C ．最小值2 D ．最大值2解析：选B f (x )＝2x ＋1x ≤22 x ·1x＝1.当且仅当x ＝1x ，x >0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.4．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为________．解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2 a 3b ·4b 3a＝83.当且仅当a ＝2b ＝32时取等号．答案：835．已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.解析：f (x )＝4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知a ＝4×32＝36.答案：36[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9B.92C ．3 D.322解析：选B 因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，(3－a )(a ＋6)≤(3－a )＋(a ＋6)2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立．2．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选D ∵1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y 当且仅当2x ＝2y ＝12，即x ＝y ＝－1时等号成立，∴2x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2.3．若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 将(1,1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b 时等号成立，故a ＋b 的最小值为4.4．(2016·铜陵二模)已知a >－1，b >－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选B 因为a >－1，b >－2，所以a ＋1>0，b ＋2>0，又(a ＋1)(b ＋2)≤⎝⎛⎭⎫a ＋1＋b ＋222，即16≤⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋322，整理得a ＋b ≥5，当且仅当a ＋1＝b ＋2＝4，即a ＝3，b ＝2时等号成立，故选B.5．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选B ∵不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，∴x ＋y 4min ＜m 2－3m ，∵x ＞0，y ＞0，且1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝⎝⎛⎭⎫x ＋y 4⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝4x y ＋y 4x ＋2≥24x y ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y4x ，即x ＝2，y ＝8时取等号，∴⎝⎛⎭⎫x ＋y4min ＝4，∴m 2－3m ＞4，即(m ＋1)(m －4)＞0，解得m ＜－1或m ＞4，故实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．6．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1 C.94 D ．3解析：选Bxy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x －3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y ＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1.二、填空题7．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是________．解析：由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4.当且仅当a ＝b ＝1时取等号．答案：48．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________．解析：由1a ＋2b ＝ab ，知a ＞0，b ＞0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取等号，所以ab 的最小值为2 2.答案：2 29．(2017·青岛模拟)已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为________．解析：因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 2⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22－1＝2－1＝1，当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2，y ＝1时等号成立，所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1.答案：110．已知不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：不等式2x ＋m ＋8x －1>0可化为2(x －1)＋8x －1>－m －2， ∵x >1，∴2(x －1)＋8x －1≥22(x －1)·8x －1＝8，当且仅当x ＝3时取等号．∵不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立， ∴－m －2<8，解得m >－10.答案：(－10，＋∞)三、解答题11．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y ≥2 8x ·2y ＝8xy ，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由(1)知8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋2 2x y ·8y x＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立，∴x ＋y 的最小值为18.12．(2017·常州调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值．解：(1)由题设，得S ＝(x －8)⎝⎛⎭⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450)．(2)因为8<x <450，所以2x ＋7 200x ≥2 2x ×7 200x＝240，当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，为676 m 2.。

2018年高考数学专题71不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用理

专题7.1不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用【三年咼考】xf(x) I- a|在R 上恒成立，则a 的取值范围是2 (A) [47,2] ( B )[ 47,39] (C ) [ 2 3,2]16 16 16【答案】AxI 解析】不等式f(x ) 2 a 为f(x)f (x) (*)，当x 1时,(*)式即为2小x 22 x亠 23 c 口x x 3 — ax x 3,x3 a xx 3，乂2222X小,1、2 47 4712 3 门3、2 39 39x 3 (x -)2(x -时取等号) ,x x 3 (x -)22 4 16 16 4 24 16 16 .3 ... 47 392 x 2(x时取等号)，所以 a 当x 1时， (*)式为 x -a x 4 16 16 x 2xx 2 3 2 a，又 x2 x 2x47a160 ,且ab 1，则下列不等式成立的是(A ) a 1 b b 歹 log 2a b (C ) a 1 b log 2 a b 2 2a【答案】B【解析】因为 a b 0 ,且 ab a 1,0 b 1, 2a 1,lo g 2(a 1 a - 2 ba 1 ab a 1b) log 22 . ab 1,log 2(a b)，所以选 B.b b1所以1.【2017山东，理7】若a b (B )(D )2. 【2017天津，理8】已知函数2xf(x)x x 3,x2,x 1. xlog 2 a1,设a R ，若关于x 的不等式—39(D )[ 2憑祁(t x-) x2 .故选A.x 2 2 x2，综上—个等号腿療件®斗两个等号可以同时取得,则当且仅当比拿宀半时取需-【答案】C【答案】D【答案】(2,4)【答案】(1,2).[t 2] 2，…，[t n] n 同时成立，则正整数的最大值是( A. 3【答案】八前一亍等号成立条件是》=加)后4.【2016咼考新课标1卷】 b 1, c 1,则()(A ) a c b c(B ) ab c ba c(C ) alog b C blOg a c ( D ) lOg a c log b C【解析】用特殊值法，令a3, b 2, c1 12至，选项A 错误，3吩13",选项B11错误，3log 22log 32,选项 C 正确，Iog 3二 2ilOg 2 -,选项D 错误，故选C.2 5.【2016高考浙江理数】已知实数 a , b , c22222A.若 | a +b +c |+| a +b +c | < 1,则 a +b +c <100n.若 | a +b +c |+|2 2 2a +b +c <10022222C.若 | a +b +c |+| a +b — c | w 1,则 a +b +c <100 2.若 | a2a +b -c | w 1,则 2 2 2a +b +c <100【解析】举反例排除法：A.令ab 10,c 110，排除此选项, B.令 a 10,b 100,c 0,排除此选项，C.令 a 100,b 100,c 0, 排除此选项，故选 D.6.【2016高考上海理数】设 xR ,则不等式 x 31的解集为【解析】由题意得:1，即 2 x4，故解集为(2,4)7.【2015高考江苏,不等式4的解集为【解析】由题意得:1 x 2，解集为(1,2).8.【2015高考湖北，理10】设x R , [x]表示不超过的最大整数.若存在实数，使得[t]1 ,的最小值为3.【2017天津，理12】若a, b【解析】畔△诂卉] ab【答案】B【解析】因为［町表示不超过兀的最大整数•由”］=1得卍由= 由［门=3得4<r 4<5,所所以2 玉Ft 亦，由［?］=3W3<?< + ,所吵4“ <4A /5 ,由［卢］=31间丄，2上单调递减，则 mn 的最大值为(2(A ) 16(B) 18 (C) 25【答案】当m 2时，抛物线开口向下，据题意得,mn (18 2n)n (18 2 8) 816，所以最大值为 18.选 B..【2017考试大纲】1. 不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景2. 一元二次不等式；(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2) 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 .(3) 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 3. 基本不等式：a b 2. ab ( a 0, b 0)(1) 了解基本不等式的证明过程• (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地咼考试题，对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查，主要考查不等式性质、不等关系、二次不等式解法、基本不等式及其应用，高考中一般会以小题形式形式考查，个别省市在大题中考查不等式的应用.【2018年咼考复习建议与咼考命题预测】得与6""佔矛盾’故正整数x 的最大值是氛1 29.【2015高考四川，理9】如果函数f x2 x 2n 8 x 1 m 0, n 0在区【解析】 m 2时，抛物线的对称轴为.据题意，当mm 22时,2m n12.Q 、亦心26, mn 18 .由 2m n 且 2m n12得m 3,n 6.m 2n 18.Q 「乔口 9,2mn81 .由 2n m 且 m 2n218得m故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有 m2n 18 (m 2,n 8).所以由前三年的高考命题形式可以看出, 不等式是中学数学的主体内容之一, 是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具, 因而是数学高考命制能力题的重要版块. 在近年来的高考数学中, 有关不等式的试题都占有较大的比重. 不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法, 而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的能力. 在题型上, 选择题、填空题主要考查不等式的性质、解简单不等式、绝对值不等式、简单转化求参数范围、比较大小等; 解答题主要考查基本不等式的应用、含参不等式的解法、求恒成立中的参数范围、证明不等式、最值型综合题以及实际应用题等. 试题常常是不等式的证明、解不等式、求参数范围于函数、数列、复数、三角、解析几何、立体几何、实际应用等问题之中, 知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高, 是高考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地. 从近几年数学试题得到启示：涉及不等式解法的题目，往往较为容易；对基本不等式的考查，较多的寓于综合题目之中.因此，在2017 年复习备考中，要注意不等式性质运用的条件，以及与函数交汇考查单调性，对不等关系，要培养将实际问题抽象为不等关系的能力，从而利用数学的方法解决，对不等式解法主要是二次不等式的解法，往往与集合知识交汇考查，注意含参数的二次不等式的解法. 对基本不等式及其应用，会涉及求函数的最值问题，或者将实际问题抽象出数学最优化问题，利用基本不等式求解．不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以导数或向量为背景的不等式，函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题，问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识，方法与技巧要求较高．预测2018 年可能有一道选择或者填空出现，考查不等式的解法，或不等式的性质，或基本不等式，可能与导数结合出一道解答题．【2018 年高考考点定位】高考对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查有以下几种主要形式：一是考查不等式的性质；二是不等式关系；三是不等式解法；四是基本不等式及应用，其中经常与函数、方程等知识的相联系．【考点1】不等式性质【备考知识梳理】1．不等式的基本性质：（1）a b b a （2）a b,b c a c （3）- 4 -c 0 ac be a b c a c b, a b i a c b c(4) a b c 0ac bcc 0ac bc2.不等式的运算性质: (1)加法法则：a b,c d a c b d(2)减法法则：a b,c d a d b c, (3) 乘法法则：a b 0,c dac bd 0(4)除法法则：a b 0,c d0adbc0, (5)乘方法则：a b 0 a nbn0(n N,n2)(6)开方法则：a b 0 n a n b0(n N ,n2)【规律方法技巧】1 •判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识, 比如对数函数、指数函数的性质.2 •特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题.【考点针对训练】1 1已知0,给出下列四个结论:a ba b ab③a b④ab b2其中正确结论的序号是( )A.①② B .②③ C .②④ D .③④【答案】C1 1 2【解析】0 b a 0 |a||b|,a b 0 ab,b ab，因此选 C.a b2.【重庆市第八中学2017届高三第二次适应性考试】已知下列四个关系：①2 2 1 1小a b 一■丄a b ac bc :② a b—；③a b 0, c d0:④ a b 1a b d cc 0 c a b .其中正确的有( )A. 1个B. 2个 c.3个 D. 4个【答案】B【解析】c0时，①错误• a 0b时②错误•根据不等式的性质知③正确.根据指数函数的1.【贵州省遵义市2017届高三第一次联考】3 3log 2 3log 5 43 3,b1logs ：3 4,c3ln3 ,Q log i 23log-, 5,3log23lOgs3单调性可知④正确•故有两个正确【考点2】不等关系【备考知识梳理】在日常生产生活中，不等关系更为普遍，利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系, 再比如几何中的两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等，用数学中的不等式表示这些不等关系，建立数学模型，利用数学知识解决现实生活的不等关系•【规律方法技巧】区分不等关系与不等式的异同，不等关系强调的是关系，可用符号等式则是表现两者的不等关系，可用 a b,a b , a b,a b,a是通过不等式表现. 【考点针对训练】1. 【福建省2017届高三毕业班总复习过关测试】若7,Q> a 3 a 4 a 0，则P,Q 的大小关系为（【答案】C的大小关系是（ A. cabD. a c b【答案】【解析】In3 0 log 21 log 51, 3ln3 0 3109243也3, c b a ,故选 C.4 3【考点3】一元二次不等式解法【备考知识梳理】A. . P QB. P QC. P QD.由的取值确定【解析】假设P<Q •••要证 P<Q 只要证 p 2<&,只要证：2a + 7 + 2 J a a 7<2a + 7 +••• 0<12 成立，••• P<Q 成立. 2.【河南省郑州市第一中学2017届高三期中】,b,c 3ln3 ,则 a,b,c, 表示，而不b 等式子表示，不等关系_ 2对于一元二次方程ax bx c 0( a 0)的两根为为、X2且X i X2，设图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式2 2ax bx c 0 (a 0)或ax bx c 0 (a 0)的解集.【规律方法技巧】1 •解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2 •若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3•写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4•根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5•若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数【考点针对训练】1.【安徽师范大学附属中学2017届高三期中】已知不等式ax25x b0的解集为{x| 3x 2},则不等式bx2 5x a0的解集为【答案】{x|x 1或X312}2b 4ac，它的解按照00可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c (a 0)的【解析】5根据题意可得一a1,b a6, a 5,b 30 ,所以bx2 5x a0可化为26x x 1 0 3x 12x 10，所以不等式的解集为{x|x 1或3x弓■2.【江苏省苏北三市2017届三模】已知对于任意的X ,1 5, ，都有2X 2 a 2 X a 0，则实数的取值范围是 _______________ .【答案】1,5 （或1 a 5）【解析】利用一元二次方程根的分布去解决，设fx x22 a 2 x a，当24 a 2 4a 0时，即1 a 4时，f x 0对x R恒成立；当a 1时，1 a2 5f 1 0，不合题意；当a 4时，f 2 0符合题意；当0时，上，门f 1 0f 5 0a 1 或a 4即2 a 7，即：4 a 5，综上所述：实数的取值范围是1,5 .a 5a 5【考点4】基本不等式及应用【备考知识梳理】1、如果a,b R，那么a2 b2 2ab （当且仅当a b时取等号“=”）2 b2推论：ab a一（a, b R）22、如果a 0，b 0,则a b 2.ab，（当且仅当a b时取等号“=”）.2 2ab\2 a b z ab、2推论：ab ^—）（a 0，b 0）； -^―^—）2 2 2【规律方法技巧】1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等.2. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值小值是【答案】【答案】2 ； 3a 0且V 4 4ab 0,即ab 1,又存在x 0 R ，使2ax ° 2x 0 b 0成立，可得V 0,所以ab 1 , a 1 .可得3、(a 0,b 0)若使用基本不等式时, 【考点针对训练】 1.【山东省滨州市 2016-2017学年高三期中】设正实数,y 满足4x y xy ，贝U x y 的最【解析】4x xy1，所以(x 4 y)(- y4x4x 9，当且仅当xy—时，取最小值9.x2.【天津市耀华中学 2017届高•模】已知b ，二次三项式 2ax 2x b 0对于一切实数恒成立，又沧2R ，使 ax ° 2x ° b 0,2 ,2a b 则 -------a b的最小值为【解析】不等式恒成立，则2a ab 2ba 4 1 3 a a0,所以4x y y8 2 2 •故本题应填2 2 .【应试技巧点拨】1 •使用均值不等式求最值时，注意在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑” 等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 2 •基本不等式及其变式中的条件要准确把握. 如 a 2 b 2 2ab ( a,b R ) , a b 2 ab ( a,b R )等.3. 利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时，注意观察其是否具有“和为定值”“积为定值”的结构特点•在具体题目中，一般很少直接考查基本不等式的应用，而是需要将式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式得出最值•即应用基本不等式，应注意“一正、二定、三相等”，缺一不可 .灵活的通过“拆、凑、代(换)”，创造应用不等式的条件，是解答此类问题的技巧；忽视等号成立的条件，是常见错误之一.3. 求解含参不等式恒成立问题的关键是过好双关：第一关是转化关，即通过分离参数，先转化为 f (a ) > g (x )(或 f (a ) < g (x ))对？ x € D 恒成立，再转化为 f (a ) > g (x )ma 乂或 f (a ) < g (x )min )；第二关是求最值关，即求函数g (x )在区间D 上的最大值(或最小值)问题.4. 应用导数证明不等式，解题格式明确、规范，基本思路清晰，能使问题解决的领域更宽广 .解题过程中，注意处处应用转化与化归思想，化生为熟、化难为易、化繁为简，是解决问题的基本方法.5•对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法•解答本题时能够对四个选项逐个利a 41 3a a2 1一 24a1a3a aa 4 0^ 2 12 2 a21 2 a孑1^2a 2 ； 24 a 2 12 4aa1■^2a 2b 2•令的最小值为a2用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式.1.【重庆市第八中学2017届高三第二次适应性考试】已知a 0, b 0且2ab a 2b ,则a 8b 的最小值为（D.27 2【答案】 B【解析】 2ab a 2b 1 1两边除以2ab 得丄 —1，所以a 2b118b aa 8b —5 5 4 9. a 2ba 2bA. 4 2 B .c. 10a n 满足 ■..n a m a n 4a 1，且 a 6 a 5 2a 4，则 14的最小值是（）m n A 3 B .2 C. 7 D25 A. —2 36【答案】A【解析】由 a 6 a 5 2a 4 得 q 5 4 q 2q 3解得q 2，再由■，-m a? 4-得 q mn 2 16 24 , 所以m n 6，所以丄4 1 1 4 m 1 l n 4m n 5 - -9 3 m n 6 i m n 6 m n 6 22.【河南省豫北名校联盟 2017届高三精英对抗赛】已知在正项等比数列a n 中，存在两项a m ，3.【贵州省遵义市2017届高三第一次联考】 1 1 已知 0,给出下列四个结论：①a b ② a bA.①② B .②③ C . ②④ D •③④ 【答案】 C 【解析】 1 丄0 b a 0 2| a | |b |, a b 0 ab,b ab ，因此选 C a b4.【河北省武邑2017届高三三调】已知 2 a b ab ③a b ④ab b 其中正确结论的序号是（）b 1 1 1 1 a b 0,a b 1,x ,y lOg ab ,z log b —，则（） a a b aA. x z y B - x y z C. z y x D. x y z【答案】B 【解析】（丄）01,y lOg ab 丄 1 lOg a b （a -7b ）1,Z log b _a b abab alog b a log b b 1 x y z，故选B.5. 【贵州省遵义市第四中学2016届高三第四次月考】已知直线|：x丄1 a 0,b 0在a b两坐标轴上的截距之和为4,则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是（）A. 2^2B.C.D. 2【答案】DX y【解析】直线丨：一Z 1 a 0,b 0在两坐标轴上的截距之和为4,所以a b 4，即a bA4 2巫ab 4 -ab 2，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是.26. 【福建省莆田2017届高三二模】若实数、、c R，且ab ac bc 2>/5 6 a2，则2a b c的最小值为（）A. 45 1B. 45 1C. 2药2D. 2 弱2【答案】D【解析】因为冋十皿十阮十2>污二6—/.所以血十/十皿十比=讥口十时十十4）二（口十匚）（□十=6-亦=逆-斗｝所以\2农=（口+亡）+（应十乃）上2/应+亡）（&十= 2击一2,当且fl?当 @ +芒）二（d + b）时，等号成立-故选乩7.【湖南省岳阳2018届高三第一次月考】如右图所示，已知点y f x是m J§,2的重心，过点C一作直线与S J3 1两边分别交于62 3sinAsinBsinC sin2A sin2B sin2C【答案】C两点，且2^3absinC a2 b2 c2，则2ab的2 ,2 2a b cA. 2B. . 3sinC -----------------2ab C..3sinC cosC D. tanC最小值为（【解析】因为甌工G 三点共线，所以 ^=A （^,AG-An = A[AX-AG]，因为G 是A.2忑B.4 C.42D.25523【答案】C【解析】宙题盍可得：+ 结合不等式的性质有：/ +尸+尸之占（网+以）「当且仅当兀三二老y 时等号成立，即弓理学p 玉冬，异'铲工 2H 十 y+z 2 x + y +z的最小值为—■本题选择C 选项.29.【陕西省黄陵中学 2017届考前模拟】两圆 X y 2 2ax a 2 4 0和2 2 21 1x y 4by 1 4b 0恰有三条公切线，若 a R ， b R ，且ab 0，则一2- —2的a b最小值为（） 4 10 A. B.C. D.99【答案】C【解析】因为两圆的圆心和半径分别为C 1 a,0 ,H 2,C 2 0,2b ,r 2 1，所以由题设可知重心，所以- fs3L] * ----- --------------'I ------,亍（用? +且C ）一扎毎=X —r lr — — yAC--\^^AC\ ,由基本不等式得解得题目所给图像可知二—- ' _"，即..- - ■二^当且仅当3x-l = 6y-2,即工二廻+1」=亚F'时，等号成立，故最小值为3+275T8.【天津市耀华中学2017届高三二模】已知x,y,z 为正实数，则2Xy严2的最大值为（x y z所以，化简得1【答案】1 1，则的最小值为a bA. 6 2 .3 B 【答案】f g x 0对x 0,1恒成立，则实数的取值范围是1a 2 4b 21 11 4 4b2 a 2 5 4b 29 9一 _2 ab 2 9 9 9a 29b 29 9【湖南省长沙市 2017届高三5月模拟】设正实数x,y,z 满足 xy取得最大值时，z2 x1 2 yz 的最大值为( )r i1，应选答案Co 10. 当 A. 0 B. 1 C.D. 31 2' a D ，故 a2 4b 22 2x 3xy 4y z 0 ,则两圆相外切，贝y GC 2【解析】据已知不等式得 2小x 3xy 4y 2xy11xy z 3xy z 4yx2，据均值不等式得即x 2y 时取得最大值，此时z 2y 2 且— x 2 2y 2，当y1时取得最大值1.11.【2016届河南省新乡卫辉一中高考押题一】若一组数据2, 4, 6，8的中位数、方差分别【解析】由题意得 1 m 5,n (9 4 1 9)5，所以(丄 \(5a 5b)10 5aa bb5b10 2 a■ b5a5b20, a当且仅当a b 时取等号,D.12.【2016年福建厦门一中高三质量检测】函数x 2 3x a, g x2 29，即a 4b 1，所以9 9为m, n ，且manb 1 a 0,b解得x 2且x 0 ,故选D.2x 2x, x 0,，右ln(x 1),x 0f (x) ax 1,则a 的取值范围是 _____________【答案】4,0【解析】由题意得，作出函数f x 的图象，如图所示，此时当 x 0时，f xx 2 2x ,要使得f (x) ax 1成立，当x 0时，直线y ax 1与f x x 2 2x 相切，联立方程组y x 2x + 2 i，得x 2 (a 2)x1 0，由 0，解得a 4，所以要使得f (x) ax 1y ax 1A.e, B 【答案】CIn 2,1C . 2，D . 2，0【解析】令 t g(x ), x [0,1],则 g(x ) 2x |n2 2x 设 g(x 0)0,则函数g(x )在[0, x o ]上单调递增，在上［沧,1］单调递减，g(x )在x 0,1的值域[1, g(x )],( g X 。

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2018版高考数学大一轮复习第七章不等式第3讲基本不等式及其应用试题理新人教版基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.下列不等式一定成立的是( ) A.lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0)B.sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1＜1(x ∈R ) 解析当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确. 答案 C2.若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A.[0，2]B.[－2，0]C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析 22x ＋y≤2x ＋2y＝1，所以2x ＋y≤14，即2x ＋y ≤2－2，所以x ＋y ≤－2. 答案 D3.(2016·合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ·⎝⎛⎭⎫1＋4a b 的最小值为( )A.7B.8C.9D.10解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号.故选C. 答案 C4.若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ≤14 B.1a ＋1b≤1C.ab ≥2D.a 2＋b 2≥8解析 4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项A ，C 不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项D成立. 答案 D5.(2015·湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4解析依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab＝22ab，当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，“＝”成立.因为1a ＋2b＝ab ，所以ab ≥22ab，即ab ≥22，所以ab 的最小值为22，故选C. 答案 C6.若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43B.53C.2D.54解析由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2. 答案 C7.(2017·安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A.4B.22C.8D.16解析由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，得ab ＝1，则1a ＋2b≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立.故选B. 答案 B8.(2017·福州六校联考)已知函数f (x )＝x ＋a x＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( ) A.12B.32C.1D.2解析由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋a x＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号.所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1.答案 C 二、填空题9.正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________. 解析 ∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，解得ab ≥3，即ab ≥9. 答案 [9，＋∞)10.(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n的最大值为________.解析 ∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0， ∴1m ＋1n＝－(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝－⎝⎛⎭⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·m n ＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m＋1n取得最大值－4.答案－4 11.若对于任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________.解析xx 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x，因为x ＞0，所以x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，则13＋x ＋1x≤13＋2＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案⎣⎡⎭⎫15，＋∞12.(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元.解析设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x(k 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， ∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝⎛⎭⎫5x ＋20x 万元，∵5x ＋20x≥25x ×20x＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元.答案 2 20能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b恒成立，则m 的最大值为( )A.9B.12C.18D.24解析因为a >0，b >0，不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，所以m ≤⎣⎡⎦⎤（a ＋3b ）⎝⎛⎭⎫3a ＋1b min ，因为(a＋3b )·⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝6＋9b a ＋ab≥6＋29b a ·ab＝12，当且仅当a ＝3b 时取等号，所以m 的最大值为12. 答案 B14.(2017·石家庄调研)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92B.72C.22＋12D.22－12解析易知a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n （n ＋1）2.∴S n ＋8a n＝n （n ＋1）2＋8n＝12⎝⎛⎭⎫n ＋16n ＋1≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号，因此S n ＋8a n 的最小值为92. 答案 A15.(2017·辽宁五校协作体联考)点(a ，b )为第一象限内的点，且在圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8上，则ab 的最大值为________.解析由题意知a >0，b >0，且(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝8，化简得a 2＋b 2＋2(a ＋b )＝6，则6≥2ab ＋4ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，令t ＝ab (t >0)，则t 2＋2t －3≤0，解得0<t ≤1，则0<ab ≤1，所以ab 的最大值为1. 答案 116.正数a，b满足1a＋9b＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________.解析因为a＞0，b＞0，1a＋9b＝1，所以a＋b＝(a＋b)⎝⎛⎭⎫1a＋9b＝10＋ba＋9ab≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立.又x2－4x－2＝(x－2)2－6，所以x2－4x－2的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6.答案[6，＋∞)。