对称性在微积分中的应用
微积分III对称性的应用
z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
dxdydz
0.
轮换对称性 定义1 设对任意的点P1(x1, x2 ,L xn-1, xn ) Rn, P2 (x2 , x3,L xn , x1) Rn ,L L Pn (xn , x1,L xn-2 , xn1) Rn成立，则称区域关于变量x1, x2 ,L xn-1, xn具有 轮换对称性.
对称性在积分中的应用
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性； ２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的
奇偶性．
定理1
若积分区域D关于y轴(x 0)对称，则
(i) 若f (x, y) f (x, y),即f (x, y)关于x为奇函数，
则 f (x, y)d 0. D
(ii) 若f (x, y) f (x, y),即f (x, y)关于x为偶函数，
例如；u x2 y2 z2关于x, y, z具有轮换对称性.
定理3 (1)设积分区域D关于x, y具有轮换对称性，则有
D
f
(x,
y)d
D
f
( y,
x)d
1 2
D
f
(x,
y)
f
( y,
x)d .
(2)设积分区域关于x, y, z具有轮换对称性，则有
f (x, y, z)dv f ( y, z, x)dv f (z, x, y)dv
则 f (x, y)d 2 f (x, y)d，
D
D右
其中D右为区域D的右半部分.
若积分区域D关于x轴( y 0)对称，则
(i) 若f (x, y) f (x, y),即f (x, y)关于y为奇函数，
对称性在定积分的应用原理有哪些
对称性在定积分的应用原理有哪些1. 引言定积分是微积分的一个重要概念，用于计算曲线下方面积、体积等问题。
在定积分的计算过程中，对称性是一个非常有用的工具，可以简化计算，并提供更加直观的解释。
本文将介绍对称性在定积分中的应用原理。
2. 对称性的定义对称性是指某种规律或性质在变量改变时保持不变的特性。
在定积分中，常见的对称形式包括奇偶对称和周期性对称。
2.1 奇偶对称函数f(x)在区间[-a,a]上的奇偶对称性定义如下：•若f(-x)=-f(x)，则函数f(x)在区间[-a,a]上具有奇对称性；•若f(-x)=f(x)，则函数f(x)在区间[-a,a]上具有偶对称性。
2.2 周期性对称函数f(x)在区间[a,b]上的周期性对称性定义如下：•若存在正整数T，使得f(x+T)=f(x)，则函数f(x)在区间[a,b]上具有周期性对称性。
3. 对称性在定积分中的应用原理对称性在定积分中有许多应用原理，主要包括减少计算量、简化积分表达式和提供直观解释。
3.1 减少计算量利用对称性可以将积分区间减半，从而减少计算量。
例如，若函数f(x)在区间[-a,a]上具有奇对称性，则可以利用对称性将积分区间变为[0,a]，计算结果乘以2即可得到在[-a,a]上的定积分值。
3.2 简化积分表达式对称性还可以帮助我们简化积分表达式。
例如，若函数f(x)在区间[-a,a]上具有偶对称性，则可以将定积分转化为对区间[0,a]上的函数进行积分。
这样做的好处是，可以利用积分函数在对称轴上的值和性质简化计算步骤。
3.3 提供直观解释对称性在定积分中还可以提供直观的解释。
例如，考虑函数f(x)在区间[0,a]上具有周期性对称性，可以将函数的周期范围内的积分结果乘以周期次数，得到整个区间的定积分值。
这样做的好处是，可以将定积分问题转化为周期性函数的积分问题，从而更容易理解和解决。
4. 实例分析为了更好地理解对称性在定积分中的应用原理，我们以一个具体的实例进行分析。
二重积分计算技巧总结
二重积分计算技巧总结二重积分是微积分中的一个重要概念，是对二元函数在特定区域上的面积进行求解，也可以理解为一个函数在一个平面区域上的平均值。
在实际计算中，可以通过一些技巧来简化计算过程，提高计算效率。
本文将总结一些常用的二重积分计算技巧，帮助读者更加灵活地应用二重积分。
1.利用对称性在计算二重积分时，如果被积函数具有对称性，可以通过利用对称性简化计算过程。
常见的对称性有x轴对称、y轴对称、原点对称等。
对称性可以减少计算量，提高计算效率。
2.变量替换变量替换是处理二重积分的常用方法。
通过合适的变量替换，可以将原来的二重积分转化为更简单的形式。
常见的变量替换包括极坐标变换、矩形坐标变换等。
极坐标变换是将矩形坐标转化为极坐标的过程，从而转化为极坐标上的二重积分。
极坐标变换的公式如下：x = r*cosθy = r*sinθ其中，r是极径，θ是极角。
矩形坐标变换则是将原来的矩形区域映射为一个更简单的区域，从而简化计算过程。
常见的矩形坐标变换包括矩形到正方形的变换、矩形到单位圆的变换等。
3.积分次序交换对于一些特定的被积函数，可以通过交换积分次序来简化计算过程。
一般来说，交换积分次序需要满足一些条件，比如被积函数在给定的积分区域上连续可微。
需要注意的是，交换积分次序可能会改变积分的范围，因此在交换积分次序时需要注意积分区域的变化。
4.多次积分的简化二重积分常常需要进行多次积分，这时可以使用多次积分的简化方式来提高计算效率。
常见的多次积分简化方式包括积分区域分割、积分区域的对称性利用、积分范围的变量替换等。
通过适当地选择简化方式，可以大大减少计算量，提高计算效率。
5.划分区域的选择在计算二重积分时，划分区域的选择对于计算结果具有一定的影响。
对于一些特定的区域，可以选择合适的划分方式来简化计算过程。
常见的划分区域的选择方式包括将区域分为两个相互重叠的子区域、将区域分为若干个均匀分布的子区域等。
通过合适的划分方式，可以简化计算过程，提高计算效率。
对称性在积分计算中的应用【文献综述】
文献综述信息与计算科学对称性在积分计算中的应用在数学计算中, 积分计算是一个非常重要的部分. 早在古希腊时期数学家阿基米德在《抛物线图形求积法》和《论螺线》中, 利用穷竭法, 借助于几何直观, 求出了抛物线弓形的面积及阿基米德螺线第一周围成的区域的面积, 其思想方法是分割求和,逐次逼近. 虽然当时还没有极限的概念, 不承认无限, 但他的求积方法已具有了定积分思想的萌芽.[1] 17 世纪中叶, 法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了“分割求和”及无穷小的性质的观点求积, 更加接近现代的求定积分的方法. 可见, 利用“分割求和”及无穷小的方法, 已被当时的数学家普遍采用.[2]17世纪下半叶牛顿和莱布尼兹创造了微积分的基本方法. 但是, 他们留下了大量的事情要后人去解决, 首先是微积分的主要内容的扩展,其次是微积分还缺少逻辑基础. 创立于17 世纪的微积分, 主要应用于天文学、力学、几何学中的计算.[3] 而到19 世纪下半叶微积分已经发展成为一门系统、严密、完整的学科. 积分概念也趋于逻辑化、严密化,形成我们现在使用的概念. 定积分的概念中体现了分割、近似、求和的极限思想. 其中分割既是将[,]a b 任意地分成n 个小间,12,,,,,i n x x x x ∆∆∆∆L L ,其中i x ∆ 表示第I 个小区间的长度, 在每个小区间上任取一点i ξ做()i i f x ξ∆并求和()i if x ξ∆∑,这体现了求和的思想, 当区间的最大长度趋于零时, 和式的极限若存在即为()f x 在[,]a b 上的定积分. 利用定积分可以解决很多实际问题,例如求由曲线围成的平面图形的面积;求由曲线绕坐标轴旋转所得旋转体的体积;平行截面面积为已知的立体的体积;求曲线的弧长以及物理中的功、水压力等等时,()ba f x dx ⎰的积分形式也可以推广: (1) 可以把积分区间[,]ab 推广到无限区间上,如[,)a +∞ 等,或者把函数推广到无界函数,也就是广义积分. (2) 可以把积分区间[,]a b 推广到一个平面区域,被积函数为二元函数, 那么积分就是二重积分; 同样当被积函数成为三元函数、积分区域变成空间区域时就是三重积分. (3) 还可以将积分范围推广为一段曲线弧或一片曲面, 即曲线积分和曲面积分. 无论积分推广到何种形式, 它始终体现了这种分割的极限思想, 比如二重积分的概念:设(,)f x y 在有界闭区域D 上有界,(1) 分割: 将D 任意分成n 个小区域i σ∆并表示面积;(2) 近似: 在每个i σ∆上任取一点(,)i i ξη作乘积;(3) 求和取极限:若各区域直径的最大值趋于零时, 和式(,)i i if ξησ∆∑的极限存在, 即为 (,)f x y 在D 上的二重积分. 由此我们发现定积分与重积分在概念的本质上是一致的, 同样三重积分亦是如此.[4]此外,不定积分与定积分之间关系为:如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[,]a b 上的一个原函数,则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰, 这是牛顿—莱布尼兹公式. 这个公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系. 它表明: 一个连续函数在区间[,]a b 上的定积分等于它的任一原函数在区间[,]a b 上的增量. 这就给求解定积分提供了一个简便而有效的计算方法. [5]积分在数学分析中有很重要的地位; 积分的计算方法有许多种, 相关文献都对其有探讨,但是对对称性的研究却很少涉及. 对称性在积分运算中有着很重要的意义, 通常可以简化计算. 本文研究了对称性在积分运算中的应用. 积分在数学分析中是相当重要的一项内容，而在计算积分的过程中，我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的题型.[6] 那么, 如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性, 并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去, 往往可以简化计算过程, 收到意想不到的效果, 引起感情激荡, 造成感情上的共鸣, 更好地感知、理解数学美. 特别是对于有些题目, 我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果. 在积分计算中利用对称性来解题这种方法, 是一种探索性的发现方法, 它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能.[7] 下面我们举出几个对称性在积分计算中的例子, 张振强他的一篇对称性在二重积分中的应用论文中介绍如何利用对称性来计算二重积分, 并提出了通过适当改造被积函数和积分区城以利用对称性来简化计算的方法. 在一般情况下, 不仅要求积分区域D 具有对称性, 而且被积分函数对于区域D 也要具有对称性. 但在特殊情况下, 即使积分区域D 不对称, 或者关于对称区域D 被积函数不具备对称性, 也可以经过一些技巧性的处理, 使之化为能用对称性来简化计算的积分.[8]常见对称形式的二重积分的简化运算有三种, 一: 积分区域D关于坐标轴对称; 二: 分区域D关于=±对称. 在进行二重积分计算时, 善于观察被积原点对称; 三: 积分区域D关于直线y x函数和积分区域的特点, 注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性, 恰当地利用对称性方法解题, 可以避免繁琐计算, 使二重积分问题的解答大大简化. 刘渭川, 在他的利用对称性计算曲线积分和曲面积分, 论文中提到, 借助于(平面)空间曲线及空间曲面的直观几何意义, 利用曲线, 曲面关于坐标轴及坐标面的对称性, 探讨了对于定义在具有对称性的曲线、曲面上的奇(偶)函数, 如何利用对称性计算曲线积分及曲面积分这种积分方法使得曲线(面)积分更为简便、快捷, 同时, 也有利于避免因符号处理不当而导致的积分错误. [9]因此, 在积分计算中, 可以利用对称性来帮助求解, 不过我们在应用对称性求积分时还必须注意: 必须兼顾被积函数与积分区域两个方面, 只有当两个方面的对称性相匹配时才能利用; 对于第二型曲线积分与曲面积分, 在利用对称性时, 还需考虑路线的方向和曲面的侧, 应慎重; 合理利用轮换对称性以求简便计算. [10]参考文献[1] 王仲春等编著. 数学思维与数学方法论[M]. 北京: 高等教育出版社, 1991.[2] 王寿生等编. 130 所高校研究生高等数学入学试题选解及分析[M]. 沈阳: 辽宁科技出版社, 1988.[3] 陈仲、洪祖德编. 高等数学·研究生入学试题与典型例题选解[M]. 南京: 南京大学出版社, 1986.[4] 同济大学数学教研室主编. 高等数学[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.[5] 林源渠. 高等数学复习指导与典型例题分析[M]. 北京: 机械工业出版社, 2002.[6] 张云艳. 轮换对称性在积分计算中的应用[J]. 毕节师范高等专科学校学报(综合版),2002, 20(3): 90～92.[7] 龚冬保. 数学考研典型题[M]. 西安: 西安交通大学出版社, 2000.[8] 陈增政, 徐进明. 利用对称性简化被积函数是线性函数解的计算[J]. 工科数学, 1994,(10): 181.[9] D. Bennis, N. Mahdou . Strongly gornstein p rojective [J], injective, and flat modules1J PureApp l Algebra, 2007; 210: 437~445.[10] I.M , Gelfand, G.E.Shilov. Generalized functions vol. I [M]. New York: Academic Press1964.。
对称性在第一型曲线积分中的应用
对称性在第一型曲线积分中的应用1对称性在第一型曲线积分中的应用对称性是几何学中重要的概念，也是微积分中重要的概念。
一般来说，利用对称性可以简化求解某些微积分问题的难度，特别是第一型曲线积分的求解，解决这种问题时特别利用对称性的优势，有效的完成求解。
1.1对称性的基本定义```对称性(Symmetry)指一个图形或系统能够通过某种转换（如旋转、镜像等）保持不变，换而言之，它指的是一种图形或系统的对称性。
```对称性存在于自然界的几何结构，特别是物理系统的结构。
它可在数学的曲线、抛物线、多面体等几何图形中观察到。
根据这些形状在不同的位置上可以表示出来，可以形成一个个带有对称性的图形。
1.2对称性的应用第一型曲线积分是利用曲线的对称性进行积分。
具体来说，如果一条曲线能够对折，则该曲线拥有对称性，即曲线两端所有特征都是对称的，存在自反特性。
例如，抛物线具有翻转对称性，可将其翻转180度;函数椭圆具有绕椭圆中心0度旋转后仍然保持不变的空间变换;函数双曲线具有绕双曲线中心旋转180度后仍然保持不变的变换。
从直观上看，这类曲线的总积分为0，因为其两端的面积是对称的，可以用一条曲线的积分为另一条曲线的积分的负值来表示，即可以用只进行一次实现曲线的积分。
1.3典型的第一型曲线积分的例子第一型曲线积分是求函数及其导函数存在对称性的情况下关于自变量的积分，比如抛物线，它是给定一条抛物线关于x轴正负相等的积分。
又例如，当函数y=sin(ax+b)有它的对称性时，积分可以转换成求零点来计算；此外，第一型曲线积分还可以用于求解月牙形的面积等问题。
1.4总结综上所述，对称性对于求解第一型曲线积分十分重要，它能够有效减少计算量，使求解问题更加简便，从而提高计算效率。
二重积分的对称性-二重积分对称性
偶函数的定义
偶函数是满足条件f(x) = f(-x)的函数。偶函数具有关于y轴对称的特点，图形 在y轴上是对称的。
偶函数的性质
偶函数具有一些特殊的性质，比如在定义域内关于y轴对称、在定义域内积分结果为偶数等。
奇函数的定义
奇函数是满足条件f(x) = -f(-x)的函数。奇函数具有关于坐标原点对称的特点， 图形在原点对称。
图形的面积计算
图形的面积计算是一个重要的数学问题。通过利用对称性，我们可以简化面 积计算，并减少计算错误的可能性。
区域的对称性
区域的对称性主要体现在区域的形状和面积上。通过利用区域的对称性，我 们可以计算出相等大小的对称区域的面积。
矩形区域的对称性
矩形区域是最基本的平面图形之一。矩形具有上下对称、左右对称和中心对称的特点，面积相等。
三角形区域的对称性
三角形是常见的平面图形之一。三角形具有一些特殊的对称性，比如高线对 称、中位线对称等。
大小相等的对称区域的面积相等
如果两个对称区域的大小相等，则它们的面积也相等。这是对称积分的一个重要性质。
对称积分的定义
对称积分是指在具有对称性的图形上进行的积分计算。通过利用对称性，我 们可以简化对称函数的积分计算。
对称积分的计算方法
对称积分的计算方法包括变量代换、分部积分和对称性的性质等。这些方法可以帮助我们简化计算过程，提高 效率。
对称函数的性质
对称函数具有一些特殊的性质，比如偶函数和奇函数。这些性质对于理解对 称积分和解析图形具有重要的作用。
矩形对称性的例子
1 上下对称
矩形图形关于x轴对称， 面积相等。
2 左右对称
矩形图形关于y轴对称， 面积相等。
，面积相等。
线性对称性的例子
数学中的对称性与变换的性质与应用
电磁波：对称性在电磁波的传播和散射中的应用
相对论：对称性与时空结构的关系
对称性与化学分子的关系
对称性在化学分子中具有重要应用，可以预测分子的性质和行为。
对称性可以用于描述化学反应的过程和机制，帮助理解反应机理。
对称性在化学合成中具有指导作用，可以预测化合物的合成路线和产物结构。
对称性在化学分析中也有应用，可以通过对称性分析确定化合物的晶体结构和分子结构。
拉普拉斯变换：将时域函数转换为复平面上的函数，用于求解微分方程、控制系统等领域
Z变换：将离散信号转换为连续信号，用于数字信号处理、离散控制系统等领域
小波变换：用于多尺度分析、信号处理和图像压缩等领域
变换在几何学中的应用：刚体变换、仿射变换等
投影变换：将三维图形投影到二维平面上，包括正投影、斜投影和透视投影等。
对称性在几何学中的其他应用：除了对称空间和对称流形外，对称性在几何学中还有许多其他应用，如对称函数、对称群等。这些应用在数学和物理学等领域有广泛的应用。
对称性在数学中的重要性：对称性是数学中的重要概念之一，它在数学各个分支中都有广泛的应用。通过对称性的研究，可以深入了解数学对象和数学结构的基本性质和特点，为数学的发展和应用提供重要的理论支持和实践指导。
对称性在分析学中的应用：对称函数、对称级数等
对称函数：具有对称性质的函数，如正弦函数、余弦函数等
对称积分：利用对称性简化积分的计算，如奇偶函数积分性质等
对称微分：利用对称性简化微分方程的求解，如对称变换求解微分方程等
对称级数：具有对称性质的级数，如正项级数、交错级数等
对称性在几何学中的应用：对称空间、对称流形等
常见的变换包括平移、旋转、缩放、镜像反射等，这些变换在几何、代数和微积分等领域有着广泛的应用。
二重积分对称公式
二重积分对称公式二重积分对称公式是微积分中的重要概念，它在解决对称区域上的积分问题时起到了关键作用。
本文将对二重积分对称公式进行详细介绍，并探讨其应用。
一、二重积分简介在微积分中，二重积分是对二元函数在某个有界区域上的积分。
它可以看作是对二元函数在该区域上的所有小面积的累加。
二重积分可以用来求解面积、质量、重心等问题，具有广泛的应用。
二、二重积分的对称公式二重积分的对称公式是指当被积函数具有一定的对称性时，可以通过对称性简化积分计算的公式。
常见的二重积分对称公式有以下几种：1. 关于x轴对称：当被积函数f(x, y)关于x轴对称时，即f(x, y) = f(x, -y)，则有以下对称公式：∬_Df(x,y)dxdy = 2∬_Df(x,y)dx dy其中D为对称区域。
2. 关于y轴对称：当被积函数f(x, y)关于y轴对称时，即f(x, y) = f(-x, y)，则有以下对称公式：∬_Df(x,y)dxdy = 2∬_Df(x,y)dx dy其中D为对称区域。
3. 关于原点对称：当被积函数f(x, y)关于原点对称时，即f(x, y) = f(-x, -y)，则有以下对称公式：∬_Df(x,y)dxdy = 4∬_Df(x,y)dx dy其中D为对称区域。
二重积分对称公式在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 求对称区域上的面积：对称区域的面积可以通过使用二重积分对称公式来简化计算。
根据对称性，我们可以将对称区域划分为两个相同的部分，然后只计算其中一个部分的面积，最后乘以对称系数得到整个对称区域的面积。
2. 求对称区域上的重心：对称区域的重心可以通过使用二重积分对称公式来简化计算。
根据对称性，我们可以先求出对称区域上的一部分的重心，然后根据对称公式乘以对称系数得到整个对称区域的重心。
3. 求对称区域上的质量：对称区域上的质量可以通过使用二重积分对称公式来简化计算。
根据对称性，我们可以将对称区域划分为两个相同的部分，然后只计算其中一个部分的质量，最后乘以对称系数得到整个对称区域的质量。
轮换对称性在多元微分学中的应用
轮换对称性在多元微分学中的应用重积分是多元微积分中的一个重点模块，经常会出现在一些较为困难的计算题与证明题中。
此外，在物理学中也经常能见到重积分的身影。
在各大高校的研究生入学试题以及期末测试题中，重积分往往也是不可忽视的一部分。
本文在默认读者有着熟练计算二重积分的基础上，旨在通过几个例题来介绍一类典型的重积分问题：“具有轮换对称性的重积分”。
希望可以帮助到各位微积分学习者！我们首先先关注区域 D 的轮换对称性。
这里直接给出它的定义“若区域 D 关于直线y=x 对称，那么对于区域内的任意一点P1(x,y) ,都有P2(y,x)∈D,我们称这样的区域 D 具有轮换对称性。
”那么什么是二重积分的轮换对称性呢？这里有一个定理：“若 D 有轮换对称性，则∬Df(x,y)dxdy=∬Df(y,x)dxdy .”通过这个定理，我们可以解决很多关于二重积分的计算与证明题。
【例.1】求积分I=∬D(x2a2+y2b2)dxdy 的值，其中D:x2+y2≤R2. 解：注意到区域 D 具有轮换对称性，故I=∬D(x2a2+y2b2)dxdy=∬D(y2a2+x2b2)dxdy考虑求和，等式变为I=12[∬D(x2a2+y2b2)dxdy+∬D(y2a2+x2b2)dxdy]化简提出公因式，则变成I=12(1a2+1b2)∬D(x2+y2)dxdy此时后面的二重积分已经可以计算出，最终结果为I=πR44(1a2+1b2)【例.2】设f(x) 在[0,1] 上连续，且∫01f(x)dx=A,求积分I=∫01dx∫x1f(x)f(y)dy的值.解：遇见二次积分，第一反应先把它转化为二重积分，I=∬Df(x,y)dxdy ，其中 D 为直线x=0 ,直线y=x ,直线y=1 围成的区域。
显然，区域 D 是正方形：0≤x≤1, 0≤y≤1的对角线上半部分，我们将这个正方形区域补齐,考虑到正方形区域具有轮换对称性，所以有等式I=∫01dx∫1xf(x)f(y)dy所以这个二次积分满足I=12∫01dy∫01f(x)f(y)dx=12∫01f(y)dy∫01f(x)dx=12A2。
导数与函数的对称性质解析
导数与函数的对称性质解析导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在研究导数的性质时，我们常常会遇到函数的对称性质。
本文将对导数与函数的对称性质进行解析，详细讨论它们之间的关系以及应用。
1. 导数的对称性质首先，我们来探讨一阶导数的对称性质。
设函数f(x)在区间I上可导，若存在常数a，使得f(a+x) = f(a-x)对于任意的x∈I成立，则称f(x)在点a处具有轴对称性。
这意味着函数在点a关于y轴对称，即函数的图像左右对称。
根据导数的定义，我们可以得出如下结论：(1) 若f(x)在点a处具有轴对称性，则f'(a) = 0。
也就是说，函数在轴对称点的导数为0。
这一结论的证明可以通过导数的极限定义来完成，略去不表。
举例来说，对于函数f(x) = x^2在点x=0处具有轴对称性，因此f'(0) = 0。
(2) 若f(x)在点a处具有轴对称性，且f''(a)存在，那么f''(a) = 0。
也就是说，函数在轴对称点的二阶导数为0。
这一结论的证明需要使用泰勒展开式，并利用导数的运算法则，推导过程较为繁琐，这里不再详述。
举例来说，对于函数f(x) = x^3在点x=0处具有轴对称性，因此f''(0) = 0。
2. 函数的对称性与导数的关系接下来，我们将讨论函数的对称性与导数之间的关系。
一般而言，函数的对称性并不一定意味着对应点的导数为零，但在一些特殊情况下，函数的对称性与导数之间存在着一定的联系。
(1) 奇函数与导数的关系首先，我们来看奇函数的情况。
如果函数f(x)满足条件f(x) = -f(-x)对于任意的x∈I成立，那么我们称f(x)为奇函数。
此时，如果f(x)在某一点a可导，那么有如下结论：f'(-a) = -f'(a)也就是说，奇函数在对称点的导数与原点的导数具有相反的符号。
举例来说，对于函数f(x) = x^3而言，在原点可导且函数为奇函数，因此f'(0) = 0，并且f'(-a) = -f'(a)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 0 1 2. 0 6 （ 下 旬 刊）
中图分类号：G642.0
对称性在微积分中的应用
凌明伟
（浙江传媒学院电子信息学院 浙江·杭州 ３１００１８）
文献标识码：A
文章编号：1672- 7894（2012）18- 0106- 02
摘 要 对称性是数学美的一个基本形式。 在微积分计算 中充分利用数学对象所蕴含的对称因素，挖掘其对称性，往 往可以简化运算，提高解题效率，达到事半功倍的效果。 关键词 对称性 高等数学 应用
（f x）dx；（2）
b a
x（f x）dx=
a+b 2
b
f
a
（x）dx。
类似地，可以得到二重积分、三重积分、曲线积分和曲
面积分相应的对称性结论。
3 利用对称原理解考研试题
例 1：（2006 年考研数学试题）[4]
乙乙 设区域 D= （乙x,y） x2+y2≤1,x≥0 乙 ，计算二重积分 I=
D
1 + xy 1+x2+y2
是数学美的一个基本形式，并且将圆和球看做是最完美的
图形，因为这两种形体在各个方向都是对称的。几何图形的
对称性、数学形式和结构的对称性、数学命题关系中的对偶
性都是对称美在数学上的表示。
数学上的和谐对称，启发科学家们揭示和发现了很多
自然界的奥秘。例如，英国物理学家麦克斯韦经过实验获得
了电磁方程：rotE=-
它去解答问题，对于学好高等数学十分重要。对称性方法也
１０６
是硕士研究生入学考试题、大学数学竞赛题的重要内容。
2 关于对称性的几个结论
乙a
定理 1 ：若 （f x）在[- a,a]上连续且为偶函数，则 （f x） -a 乙a
dx=2 （f x）dx。 -a 乙a 若 （f x）在[- a,a]上连续且为奇函数，则 （f x）dx=0[3]。 -a 这是众所周知的结论，它要求积分区间是对称的，并且
1 c
鄣H 鄣t
，divH=0。在此基础上，由电磁波
的对称性及方程结构形式上的对称性，猜想出：rotH=-
1 c
鄣H 鄣t
，divE=0。其中 E、H、C 分别为电场强度、磁场强度与光
速，从而得到电场与磁场的统一性。重要的物理定律体现在
和谐对称的数学方程中。诺贝尔奖获得者、物理学家杨振宁
教授指出：麦克斯韦方程式里面最重要的现象是它的两个
元素的构形在其自同构变换群作用下所具有的不变性。对
于对称美的追求，在数学研究中发挥了重要的作用。对称的
图形很美，对称性方法很有用，在高等数学中，尤其是微积
分计算方面，对称性方法往往使问题解决的过程简捷明快。
在微积分运算中，充分地利用问题涉及的数学对象本身具
ห้องสมุดไป่ตู้
有的某种对称因素，或揭示其蕴含的对称性，并巧妙地利用
对称性，这两个对称性对麦克斯韦方程式在宇宙结构的意
义有着深远的影响[2]。
什么是对称？从原始的意义上，对称性是指组成某一事
物或对象的两部分比例的和谐性。对称性的形式有：双侧对
称性、平移对称性、旋转对称性、装饰对称性和结晶对称性
等。随着数学的发展，对称性概念也得到了不断地发展，最
后上升到作为所有这些特殊形式基础的一般现代概念，即
对称，从而
（f x）+（f a+b-x）关于直线
x=
a+b 2
对称，因此称定
理 3 为积分区间对称原理。特别地，当 （f x）=（f a+b-x）时，可
得下面的推论。
推论：若 （f x）在[a,b]上连续，且 （f x）=（f a+b-x），则
a+b
乙 乙 乙 乙 b
（1） （f x）dx=2 a
2 a
有对称性。若将定理 2 中的积分区间改成一般区间，还可以
得到更为一般性的结论。
定理 3 ：若 （f x）在[a,b]上连续，则
乙 乙 b a
（f x）dx=（f a+b-x）dx=
1 2
b
[（f x）+（f a+b-x）]dx。
a
关系式的几何意义是
（f x）与
（f a+b-x）关于直线
x=
a+b 2
The Application of Symmetry in Calculus // Ling Ming－ wei Abstract Symmetry is a fundamental mathematical form of be－ auty at the state of art.While utilizing the symmetry embedded within certain mathematical objects, and through exposing its particular property of symmetry in calculus,it is often definite to simplify calculation procedures,thus increase efficiency of problem-solving. Key words symmetric properties;higher mathematics;application Author's address Department of Electronics & Information,Zhejiang College of Communication and Media,310018,Hangzhou, Zhejiang,China
被积函数具有奇偶性。积分受制于积分区间和被积函数这两
个条件，若减弱命题的条件，我们可以得到一般性的结论。
定理 2 ：若 （f x）在[- a,a]上连续，则
乙 乙 乙 a -a
（f x）dx=
1 2
a
a
[（f x）+（f -x）]dx= [（f x）+（f -x）]dx。
-a
0
这个定理只要求积分区间对称，而被积函数不要求具
1 为什么对称是重要的
“为什么对称是重要的？”这曾是当年毛泽东主席在北
京会见诺贝尔奖获得者、物理学家李政道教授时问的一个
问题。无论从宏观还是微观看，自然界中充满了对称，从基
本粒子、分子的结构，到动物躯体以至于天体的外观；从简
单的机械运动，到电磁波辐射以至天体的运动等等，无不显
示出优美和谐的对称[1]。从古希腊时代起，对称性就被认为
dxdy 。
解：因为积分区域 D 关于 x 轴对称，根据积分区域对称
乙乙 原理有
xy 1+x2+y2
dxdy=0。
D
乙乙 从而 I=
1 1+x2+y2
dxdy ，对于这个积分，利用极坐标计