《初等数论》课程标准
初等数论课程设计
初等数论课程设计一、教学目标本课程旨在通过数论的学习，使学生掌握数论的基本概念、性质和定理，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维和数学素养。
具体的教学目标如下：1.知识目标：（1）了解数论的基本概念，如整数、素数、最大公约数等。
（2）掌握数论的基本性质和定理，如素数的分布、费马小定理等。
（3）学会运用数论知识解决实际问题，如密码学、计算机科学中的问题。
2.技能目标：（1）能够运用数论知识进行计算和证明。
（2）培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
（3）提高学生的数学写作和表达能力。
3.情感态度价值观目标：（1）培养学生对数学的兴趣和热情，提高学生的数学素养。
（2）培养学生团队合作和自主学习的能力。
（3）培养学生的创新精神和批判性思维。
二、教学内容本课程的教学内容主要包括数论的基本概念、性质和定理。
具体安排如下：1.第一章：数论基础（1）整数和分数（2）素数和合数（3）最大公约数和最小公倍数2.第二章：素数的分布（1）素数定理（2）素数的计算（3）素数的存在性3.第三章：同余理论（1）同余的基本概念（2）费马小定理（3）欧拉定理4.第四章：数论应用（1）密码学中的应用（2）计算机科学中的应用（3）实际问题中的应用三、教学方法为了提高教学效果，本课程将采用多种教学方法相结合的方式进行教学。
具体方法如下：1.讲授法：通过教师的讲解，使学生掌握数论的基本概念和定理。
2.讨论法：引导学生进行分组讨论，培养学生的团队合作和分析问题的能力。
3.案例分析法：通过分析实际问题，使学生学会将数论知识应用于解决实际问题。
4.实验法：引导学生进行数学实验，培养学生的动手能力和创新精神。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本课程将采用以下教学资源：1.教材：选用国内权威的数论教材，为学生提供系统的数论知识。
2.参考书：提供相关的数论参考书，丰富学生的学习资料。
3.多媒体资料：制作多媒体课件，提高课堂教学效果。
初等数论教学大纲
《初等数论》课程教学大纲课程编号：总学时： 36 总学分： 2 开课学期：第6学期适用专业小学教育（理）一、课程性质、目的与任务本课程是针对小学教育（理）专业在第六学期开设的专业选修课，通过这门课的学习，使学生可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程，并通过掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，可以他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。
二、课程教学的基本要求有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。
三、课程的主要内容、重点和难点一、整数的整除性理论（一）教学内容1、整除性、公因数、公倍数：两个整数整除的概念、剩余定理；最大公因子的概念、性质及求最大公因子的方法；最小公倍数的概念、性质及最小公倍数的求法。
2、素数与整数的素因子分解：素数与合数的概念、素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数的求法（筛法）。
3、函数[x]、{x}及其应用：函数[x]与{x}的概念、性质、n!的素数分解、组合数为整数的性质。
4、抽屉原理：抽屉原理的简单与一般形式、抽屉原理在构造具有特殊性质整数方面的应用。
重点：整除、公因子、素数的概念及性质，剩余定理，求最大公因子的方法，整数的素数分解定理。
难点：函数[x]、{x}的概念及其应用。
（二）教学基本要求1、理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，理解剩余定理，熟练掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍数的方法。
2、理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用筛法求素数。
3、了解函数[x]与{x}的概念、性质，n!的素数分解、组合数为整数的性质。
4、了解抽屉原理的简单与一般形式、会用抽屉原理构造一些具有特殊性质整数。
二、不定方程（一）教学内容1、二元一次不定方程：二元一次不定方程的形式，二元一次不定方程解的形式，二元一次不定方程有整数解的条件，利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的解。
《初等数论》教学大纲2024
引言概述：初等数论是数学的一个重要分支，它研究整数的性质和关系，是一门基础性的课程。
本文旨在为《初等数论》课程的教学制定一份详细的大纲，以帮助教师合理安排教学内容，提高教学效果。
正文内容：一、素数与合数1.素数的定义与性质素数的定义：只能被1和自身整除的正整数。
2.合数的定义与性质合数的定义：不是素数的正整数。
二、因数与倍数1.因数的概念因数的定义：能整除一个数的整数。
因子的分类：负因数、正因数、真因数。
2.最大公因数与最小公倍数最大公因数的定义与性质：两个数公共因子中最大的一个。
最小公倍数的定义与性质：两个数公共倍数中最小的一个。
三、整数的整除性与除法算法1.整除的概念与性质整除的定义：一个数能够被另一个数整除。
整除的性质：整数除法原则、整数的对称性。
2.整数的除法算法除法算法的步骤与原理：用减法、用乘法、整数除法算法的应用。
四、余数与模运算1.余数的概念与性质余数的定义：做除法时除不尽的部分。
余数的性质：余数的范围、余数的基本性质。
2.模运算的概念与性质模运算的定义：对于整数a和正整数n，a与n的商所得的余数。
模运算的性质：模运算的加法、减法和乘法规则。
五、同余与模运算应用1.同余的定义与性质同余的定义：对于整数a、b和正整数n，当a与b对n取余相等时，称a与b模n同余。
同余的性质：同余的传递性、同余的运算性质。
2.模运算的应用模运算在代数方程中的应用：线性同余方程、模运算的性质在方程求解中的应用。
总结：本文从素数与合数、因数与倍数、整除性与除法算法、余数与模运算以及同余与模运算应用等五个大点进行阐述。
通过这些内容的学习，学生将能够了解整数的性质和关系，理解数论的基本原理，为后续数学学习打下坚实的基础。
教师在教学过程中，应注重拓展学生的数学思维、培养其解决问题的能力，并结合实际生活和其他数学知识进行应用。
通过系统的教学大纲指导，教师能够更好地组织教学内容，提高学生的学习效果。
《初等数论》课程教学标准
《初等数论》课程教学标准第一部分：课程性质、课程目标与教学要求《初等数论》是数学与应用数学本科专业的一门专业选修课，该课程是综合应用近现代数学的工具，来处理与整数相关的问题。
在计算方法、代数编码、组合论、信息安全与密码学等方面有着广泛的应用。
同时由于数论问题的丰富性、多样性及解题所具有的高度技巧，对培养灵活创新的思维品质，逻辑思维、发散思维能力，系统地掌握各种数学思维方法都是不可缺少的。
本课程对培养中学数学教师和从事数学研究都具有特殊重要的作用。
通过对《初等数论》的学习，使学生了解数论中的一些著名问题，比如哥德巴赫猜想、费尔马大定理等；了解数论在计算方法、代数编码、组合论、信息安全与密码学等方面的广泛应用；熟练掌握初等数论的基本内容、基本思想与基本方法；加深对整数的理解，更深入地理解某些相邻学科；培养学生的数学思维，从而提高分析问题解、决问题的能力。
第二部分：关于教材与学习参考书的建议本课程拟采用高等教育出版社2003年7月第三版、由闵嗣鹤,严士健主编的《初等数论》一书，作为本课程的主教材。
为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：1、《初等数论》潘承洞，潘承彪，北京大学出版社1992。
2、《初等数论》周显，华东师大出版社1984。
3、《初等数论》冯克勤，余红兵，合肥、中国科学技术出版社4、《数论基础》王杰官，福建科学技术出版社。
第三部分：课程教学内容纲要《初等数论》主要内容有：整数整除性理论、不定方程、同余、同余式、平方剩余与二次同余式等内容。
其中整除性理论、同余式理论是初等数论课程的基本内容，解不定方程、解同余式是这些理论的最基本的应用。
其各章各章的重点与难点第一章整数的整除性理论重点：整除的基本性整数质及其应用，最大公约数与最小公倍数、素数、算术基本定理。
难点：有关素数问题的探讨及整除性理论在中学数学竞赛问题中的应用。
第二章不定方程重点：二元一次不定方程、多元一次不定方程的有整数解的条件、解法、解结构，了解勾股数及费尔马问题。
初等数论教学大纲
初等数论教学大纲一、课程简介初等数论是数学中的重要分支之一，研究的是自然数的性质与关系。
本课程旨在培养学生的数论思维能力和逻辑思维能力，提高他们的问题解决能力和数学推理能力。
二、教学目标1. 掌握初等数论的基本概念，如素数、合数、互质等。
2. 熟悉常见数论问题的解决方法，如质因数分解、最大公因数与最小公倍数的求法等。
3. 理解和运用模运算的概念和性质，解决相关数论问题。
4. 掌握费马小定理和欧拉定理的应用，解决与其相关的数论问题。
5. 培养学生的数论证明能力，培养其逻辑思维和数学推理能力。
三、教学内容1. 自然数的性质与关系- 质数与合数- 整除性与约数- 互质关系与最大公因数2. 质因数与分解定理- 质因数分解- 最大公因数与最小公倍数 - 公因数与公倍数3. 模运算- 同余等价关系- 同余方程- 中国剩余定理4. 费马小定理与欧拉定理- 费马小定理的证明与应用 - 欧拉函数的定义与性质- 欧拉定理的证明与应用5. 整数的奇妙性质- 数字根与数位- 数字平方舞蹈- 数字阶梯问题- 尼科彻斯定理四、教学方法1. 讲述法：结合实例，详细解释数论概念和原理，引导学生理解与掌握。
2. 分组讨论：将学生分成小组，互相讨论和解决数论问题，促进合作学习和思维碰撞。
3. 课堂练习：布置一些基础练习题和拓展题，提高学生的问题解决能力和应用能力。
4. 数论证明：鼓励学生进行数论定理的证明，培养其逻辑思维和数学推理能力。
五、评估方式1. 平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况等。
2. 期中考试：针对课程的基础知识进行测试。
3. 期末考试：综合考察学生对数论概念、原理和问题解决方法的理解与应用能力。
六、教材与参考书主教材：《初等数论》辅助教材：《数论引论》、《数论简史》七、教学进度安排根据教学计划，完成课程内容的讲解和练习，及时反馈学生学习情况，根据实际情况进行调整。
八、教学辅助手段使用黑板、白板等教学工具进行讲解和演示，辅助教学工具包括投影仪、计算器等。
《初等数论》课程标准
《初等数论》课程标准1.课程说明《初等数论》课程标准课程编码〔14060051〕承担单位〔师范学院〕制定〔〕制定日期〔2022年11月12日〕审核〔专业指导委员会〕审核日期〔〕批准〔二级学院（部）院长〕批准日期〔〕（1）课程性质：本门课程是小学教育专业的核心课程，是专业选修课程。
（2）课程任务：本课程主要针对小学教育专业数学方向学生开设，主要任务是培养学生在小学数学教师，教育培训机构数学辅导员等岗位所必需的理性思维能力和创新实践能力，要求学生掌握熟练应用理论知识解决实际问题、课堂教学中动手操作等方面的基本技能。
（3）课程衔接：在课程设置上，前导课程有《大学数学》，后续课程有《概率论》、《数学实践》。
2.学习目标通过对本课程的学习，提高的数学素养与数学能力。
通过引领的项目活动，使学生成为具备从事小学教育职业的高素质劳动者和小学教育专业的高级技术人才，同时培养学生敬业爱岗思想、团结协作精神。
在数论学习过程中，能熟练使用数论的基本概念、公式、定理、法则以及其它基础知识。
能熟练应用初等数论的数学方法与数学思想。
能熟练运用数论中的逻辑推理、演绎等方法。
同时要求有独立研究学习，查阅资料，重视交流等能力。
会熟练使用数论知识解决相关的初等数学问题。
3.课程设计按照“以能力为本位，以职业实践为主线，以项目课程为主体的模块化专业课程体系”的总体设计要求，以工作任务模块为中心构建的教学项目课程体系。
彻底打破学科课程的设计思路，紧紧围绕项目任务完成的需要来选择和组织课程内容，突出工作任务与知识的联系，让学生在职业实践活动的基础上掌握知识，增强课程内容与职业岗位能力要求的相关性，提高学生的就业能力。
项目一数的整除性参考学时26项目二同余参考学时14项目三数论函数参考学时8项目四不定方程参考学时64.教学设计项目一数的整除性学习目标能够熟练使用奇偶分析法，质因数分解定理。
会正确使用求最大公约数方法及裴蜀恒等式。
能用所学知识解决相关习题。
初等数论教学大纲
初等数论教学大纲一、课程简介初等数论是数学的一门重要分支，主要研究整数的性质和结构。
通过对初等数论的学习，学生可以更深入地理解整数及其关系，培养数学逻辑思维和问题解决能力。
本教学大纲旨在提供一份全面的教学计划，帮助学生掌握初等数论的基本概念和方法。
二、教学目标1、理解整数的概念、性质和运算；2、掌握因数分解和质数判断的方法；3、理解最大公约数和最小公倍数的概念及其计算方法；4、掌握分数及其性质，了解分数分解的方法；5、理解代数方程及其解法，掌握二次方程的解法；6、培养学生对数学的兴趣和解决问题的能力。
三、教学内容1、整数的概念和性质a.整数的定义和分类b.整数的运算规则c.数的表示方法2、因数分解和质数判断a.因数分解的方法b.质数判断的方法3、最大公约数和最小公倍数a.最大公约数的定义和计算方法b.最小公倍数的定义和计算方法4、分数及其性质a.分数的定义和分类b.分数的运算规则c.分数的约分和通分5、二次方程及其解法a.二次方程的定义和分类b.二次方程的解法6、其他代数方程的解法介绍a.一元一次方程的解法b.一元二次方程的解法c.高次方程的解法简介7、数论在密码学中的应用介绍a. RSA算法简介b.其他密码学应用简介8、数论在其他领域的应用介绍a.数论在计算机科学中的应用b.数论在物理学中的应用等9、数论的历史和发展简介a.数论的起源和发展历程b.数论在现代数学中的应用及发展前景10、初等数论与中学数学的与区别分析。
在数学的学习中，数论是一个非常重要的分支，它研究的是数的性质和规律。
在大学数学中，初等数论是数论的基础课程，它主要包括了以下几个方面的内容：整除性理论：整除性理论是数论的基础，它主要研究的是整数之间的除法性质。
通过研究素数和分解定理，我们可以更好地理解整数的内部结构和性质。
同余理论：同余理论是数论的核心内容之一，它主要研究的是整数之间的同余关系。
通过研究同余方程和模逆元，我们可以解决许多与整数相关的问题。
初等数论大纲新新
《初等数论》教学大纲课程名称：初等数论课程编号： 0641011课程类别：专业必修课适用对象：数学与应用数学专业（4年制普通本科）总学时数： 54学分： 3一、课程性质和教学目标1．课程性质：“初等数论”课程是数学与应用数学专业必修的学科专业课课程，是近世代数等后续课程的基础，也为将来从事数论，代数学，组合数学及信息安全等方面研究的同学打下必要的数论基础。
它是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
数学与应用数学专业的学生学习一些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程。
2．教学目标：通过本课程的学习使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、原根与指数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。
通过本课程的学习，还能使学生加深对整数的性质的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系。
二、教学要求和教学内容第一章基础知识 12学时[教学要求]熟练掌握整除的性质及带余除法，熟练地计算最大公约数，最小公倍数，掌握素数的性质及唯一分解定理；熟练掌握一次不定方程的性质及其解法，掌握方程的解法，初步掌握一些不定方程的特殊解法；掌握连分数与有理数、无理数之间的关系，会求连分数的渐近分数，熟悉连分数的简单应用；理解抽屉原理与容斥原理，能用来解决某些简单问题。
[教学内容]● 讲授内容1．整数的整除性2．简单的不定方程3．简单连分数4．抽屉原理和容斥原理第二章同余 12课时[教学要求]熟练掌握同余的概念及其基本性质，熟悉同余的简单应用，掌握完全剩余系与缩系的性质；掌握欧拉定理、费马定理与威尔逊定理，并能熟练地运用；熟练掌握一元一次同余式、二元一次同余式和一元一次同余式组有解的充要条件及其解法、熟练掌握孙子定理；了解高次同余式解数的有关性质，掌握素数模与合数模的高次同余式的解法。
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《初等数论》课程标准
1.课程说明
《初等数论》课程标准
课程编码〔34970〕承担单位〔师范学院〕
制定〔〕制定日期〔〕
审核〔〕审核日期〔〕
批准〔〕批准日期〔〕
（1）课程性质：本门课程是数学教育专业的核心课、必修课课程。
通过本课程的教学，介绍初等数论的基础知识，使学生掌握整除理论的基础，其基本内容是算术基本理论和最大公约数理论；掌握初等数论的核心，即同余理论的基本知识；并能运用整除理论和同余理论来求解几类最基本的不定方程；掌握连分数等有关概念、性质及其应用，为学生以后继续学习数论或从事教学工作打下基础。
（2）课程任务：本课程主要针对中小学数学教育教师及相关等岗位开设，主要任务是培养学生在中小学数学教育教师岗位的数学课程教学能力，要求学生掌握中小学数学教师在代数方面的专业理论基础知识、基本技能及思想方法和解决相关问题的能力。
（3）课程衔接：在课程设置上，前导课程有高等代数，后续课程有数学解题研究等。
2.学习目标
通过本课程的教学，学习初等数论的基础知识，使学生掌握初等数论的基本内容和方法。
能培养学生的逻辑思维能力，为学习其它的数学课程打下良好的基础1．知识目标
通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、原根与指标及简单连分数的基本知识。
(1)掌握带余除法定理及证明，掌握余数的概念；
(2)掌握公因数、最大公因数的概念及相关的性质；掌握素数与合数的概念, 掌握算术基本定理；
(3)掌握同余关系的概念及等价的另外两定义；熟练掌握同余关系的基本性质；掌握完全剩余系、简化剩余系的概念；
(4)掌握欧拉定理及其证明；掌握费尔马定理；利用它们解决求余数、判断整除性等问题；
(5)掌握平方剩余平方非剩余的概念，了解欧拉判别条件；
(6)掌握指数及其基本性质
(7)判定原根存在性
(8)掌握连分数的定义及其基本性质；
2．能力目标
通过本课程的学习，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强学生的理解和解决数学问题的能力，为今后的继续学习、深造奠定必要的基础，具体包括：
(1)熟悉整除概念，能解决简单的整除性判定问题。
(2)掌握辗转相除法，并用它求最大公因数以及一次不定方程的特解。
(2)熟悉一次不定方程有整数解的条件, 在有解的情况下, 及一些简单方程组的解(整数解，正整数解等), 能用无穷递降法解决一些简单的命题.
(3) 掌握中国剩余定理（孙子定理）的应用；解一次同余方程、方程组，高次同余方程的解的个数、解法。
(4)熟悉勒让德符号、雅可比符号的定义、意义、基本性质及反转定律，并计算其值；利用勒让德符号、雅可比符号的计算来解决不定方程、整除性等问题。
(5)会计算指数和原根，并解决某些整除、同余问题。
(6)掌握实数表成连分数计算方法。
3．态度目标
(1)使学生具备基本的数学教师素养和职业判断能力，能够熟练用数论知识解决中小学教学、辅导中的相关问题；
(2)培养学生具有实事求是、兢兢业业、勤奋敬业、谨慎细致、团结协作的职业态度，使学生具有合作意识和协作精神；
(3)培养学生自主学习能力，使学生具有继续学习和可持续发展能力；
(4)锻炼学生，使之具有强烈的工作责任心和竞争意识、创新意识。
3.课程设计
表1学习领域的内容与学时分配
表2课程总体设计
4.教学设计
指对某一个具体学习情境的实施设计。
根据课程目标和涵盖的工作任务要求，按学习领域（或任务或工作项目等）顺序描述课程内容及具体要求，说明学生获得的知识、培养的能力与素质。
表3学习情境设计
5.课程考核
考核方式：考试由平时考核和期末考试组成。
平时考核：听课出勤、平时作业、课堂练习、小测验、课堂提问题等，占30%，期末考试：卷面成绩占70%。
6.课程资源
（1）硬件要求：多媒体教室
（2）师资队伍:数学教育专业团队师资力量雄厚，现有教授2人，副教授9人，讲师5人，其中具有硕士以上学历4人。
（3）本课程教学使用的教材与教学参考资料，包括主教材，主要参考书及参考资料以及信息化教学资源。
《初等数论》（第3版），闵嗣鹤、严士健，高等教育出版社,2003。
《初等数论》赵继源主编，广西师范大学出版社出版
7.编写依据
该课程标准是依据数学教育专业调研报告和2018级人才培养方案而编写的。