三角函数求值问题
三角函数的求值练习题
三角函数的求值练习题1. 求解以下三角函数的值：a) sin 30° = ?b) cos 45° = ?c) tan 60° = ?d) cot 45° = ?e) sec 30° = ?f) csc 60° = ?解答：a) sin 30° = 0.5b) cos 45° = 0.7071c) tan 60° = √3d) cot 45° = 1e) sec 30° = 2f) csc 60° = 22. 求解以下三角函数的值：a) sin 150° = ?b) cos 210° = ?c) tan 300° = ?d) cot 240° = ?e) sec 120° = ?f) csc 225° = ?解答：a) sin 150° = 0.5b) cos 210° = -0.866c) tan 300° = -√3d) cot 240° = -√3e) sec 120° = -2f) csc 225° = -√23. 求解以下三角函数的值：a) sin π = ?b) cos 0 = ?c) tan π/2 = ?d) cot 3π/4 = ?e) sec 3π/2 = ?f) csc π/4 = ?解答：a) sin π = 0b) cos 0 = 1c) tan π/2 = undefinedd) cot 3π/4 = -1e) sec 3π/2 = undefinedf) csc π/4 = √24. 求解以下三角函数的值：a) sin (π/6)rad = ?b) cos (7π/4)rad = ?c) tan (11π/6)rad = ?d) cot (5π/4)rad = ?e) sec (5π/6)rad = ?f) csc (4π/3)rad = ?解答：a) sin (π/6)rad = 0.5b) cos (7π/4)rad = -0.7071c) tan (11π/6)rad = -√3d) cot (5π/4)rad = -1e) sec (5π/6)rad = -2f) csc (4π/3)rad = -2/√35. 求解以下三角函数的值：a) sin (-45°) = ?b) cos (-π/3) = ?c) tan (-60°) = ?d) cot (-π/4) = ?e) sec (-30°) = ?f) csc (-π/6) = ?解答：a) sin (-45°) = -0.7071b) cos (-π/3) = 0.5c) tan (-60°) = -√3d) cot (-π/4) = -1e) sec (-30°) = 2f) csc (-π/6) = -26. 求解以下三角函数的值：a) sin 75° + cos 75° = ?b) sin 30° * csc 60° = ?c) tan 45° - cos 45° = ?d) cot 180° + sec 0° = ?解答：a) sin 75° + cos 75° = 1 + 0.7071 = 1.7071b) sin 30° * csc 60° = 0.5 * 2 = 1c) tan 45° - cos 45° = 1 - 0.7071 = 0.2929d) cot 180° + sec 0° = -1 + 1 = 0通过以上练习题，我们可以更好地理解三角函数的求值。
三角函数的求值
问题7.已知 问题 已知 0 < α < 4 ,0 < β < 4 ,且3 sin β = sin(2α + β )， α 2α 的值. 4tan = 1− tan , 求 α + β 的值. 2 2
π
π
若a ⋅ b = 0, 求 tanθ .
问题5.已知 问题 已知
1 11 π π cosα = ， (α + β ) = − ，α ∈ 0， ，α + β ∈ ，π 式)求角 ①求角的某一三角函数值； 求角的某一三角函数值； ②确定角的范围； 确定角的范围； 写出角的值。 ③写出角的值。 π π 问题6.已知 已知0＜ ＜ 问题 已知 ＜α＜ 2 ，＜β＜0， ＜ ， 2 1 11 cos(α-β)= ,cos2α= - ,求α+β的值 求 的值. 的值 14 7
三角函数的求值
三种类型的求值问题
问题1.⑴ 的值. 问题 ⑴求tan(-1995°)的值 的值 ⑵求sin10°sin30°sin50°sin70° 的值. 的值 问题2.求 的值. 问题 求tan20°+4sin20°的值 一.给角求值 采用①诱导公式变形; 化为锐角; 求值 ⑴采用①诱导公式变形 ②化为锐角 ③求值. ⑵采用三角恒等变换 化特殊角 或抵消的项 采用三角恒等变换,化特殊角 或抵消的项, 三角恒等变换 化特殊角,或抵消的项 或约分等. 或约分等
问题3.已知 问题 已知6sin α +sinα cos − 2cos α = 0,α ∈[ ,π ), α 2 π 的值. 求 sin( 2α + )的值
2 2
π
3
二.给值(式)求值 给值( ①从角上分析 ②从函数名上分析 ③从式子结构上分析
三角函数“给值求值”的求解策略
Ｓｎ 十ｎ Ｊ十 牟ｔ 口』 口 ａ
一
ｎ
ＣＯＳ
２ 亏 （ 一
１ 一百 ＋（ ２）
ｃ ｚ 。ｓ ｎ一
１ ２
１ ３
口＋ ， ） ：（＋÷） 一÷ 等． 视题 目要求 ， 有时化
‘ ｆ
Ｓ 十Ｓ＝十ｎ ≤ｎ 异ｔａ Ｉ Ｃａ１ ｎ ａ Ｏ
一
单 角 为 复 角 ， 时化 复 角 为单 角． 有
４ 切 弦 互 化 ， 异 为 同 ． 变
１（号 一一
１ （ ２） ＋ 一
・
５
切 弦 互化 就 是 正 切 、 切 与 正 切 、 弦 之 间 的 余 余 互 相 转化 ， 常用 的是 “ 化 弦 ” 但 有 时候 如 果 所 最 切 ， 求 式 子 的分 子 、 母 都 是 关 于 正 弦 ， 弦 的 一 次 或 分 余 二 次 齐次 式 时 我们 也可 采 用 用 “ 化 切 ”两 种 变 名 弦 ． 的 目的都 是 使 函数 名称 “ 多为 少 ”“ 异为 同” 化 ，化 ．
・ ． ．
ｃ ２ ＝ Ｃ － ｓ ｎ 一 ——ｚ ｓ ｎ ２ 。ｓ ０ ＯＳ ０－ ｉ ａ ｃｓ０ ｏ － ｉ
— —
＿
Ｉ ￣ 答 题 键 之 ，察到 手 ｉ ｌ解 本 关 点 一 观 （ ｇ ＋ｎ （ ２ 一 然 利 诱 公 进 ２ ＋手一ｎ 号，后 用 导 式 行 ） ）
化简． 如果 没 有 利 用 诱 导 公 式 结 合 ２倍 角 公 式 求 出 ｎ 运 算 过 程 会 变得 复 杂 ． 此 化 简 时 要 特 别 注 ， 因 意 观 察 角 之 间 的特 殊 关 系 ， 能 否 利 用 诱 导 公 式 ． 看
‘ ． ．
ｃｓａ ｏＥａ ） （ －ｐ ］ ｏ （ ＋ ｐ ｏＺ —ｃｓ （ ＋ｐ ＋ Ⅱ ） 一ｃｓ ａ ）
三角函数中的求值问题
2 12 。 继续 1.已知t anα = 2， t an( α－β) = － ， 那么t anβ = _____ 5 3 12 2. 已知 ，cos( - ) ， 2 4 13 3 sin( ) － ，求 sin2的值。 5
小结： 给值求角问题
实质上可转化为给值求值 问题,即先求出该角的某一 三角函数的值,然后讨论角 的范围,判断该角的大小.
基础训练三： 1 1、已知 ,- 0, tan = - , 2 3 1 tan = - , 求2 + 的值. 7
tan 2 tan 解：∵ tan(2 ) , 1 tan 2 tan
3 1.sin660的值为______. 2
2.化简sin50 (1 + 3t an10 ) .
基础训练一：
继续
1 3 2( cos10 sin10 ) 3sin10 2 2 解:原式= sin50 (1 ) = sin50 cos10 cos10 sin 30 cos10 cos30 sin10 = 2sin 50 cos10 化切为弦
2 2 2
② 注意三角公式的“活用”；
③ 重视角的范围对三角函数值所起的影响，注意角的
范围的讨论。
2 5 3 10 在ABC中， cos A ， cos B , 5 10 求A B的值。 1 10 变式：在ABC中， tan A , sin B , 2 10 求角C的值。
归纳与总结：
三角函数的求值要注意以下几点：
2 ( ) ( ) ① 注意“变角”如， ( ) ( ) 等 ；
三角函数求值问题
则 cosβ ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)， 1 13 4 3 3 3 ＝ × ＋ × 7 14 7 14 1 ＝ . 2 π π 而 β∈(0， )，则 β＝ . 2 3
1 π π 练习：已知 tanα＝ ，tanβ＝－2，其中 0<α< ， <β<π. 3 2 2 求：(1)tan(α－β)；(2)α＋β 的值．
2．角的变换常见途径有： ( ) ， ( ) ( )， 2
2 等．对公式会“正用”“逆用”“变形用”．
2
3.“给值求角”问题，一般都需先求出待求角的某一个三 角函数值，再根据角的范围确定角的值；一般地，若 α∈ π π (－ ， )，则求 sinα 或 tanα；若 α∈(0，π)，则求 cosα 2 2 或 tanα，避免增角．
1.对于 “给角求值”问题：在不查表前提下，求三角 函数值，其一般方法是： （1）非特殊角三角函数化为特殊角的三角函数； （2）将非特殊角的三角函数消去.
2.对于“给值求值”问题，即由给出的某些角的三角 函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于 “变角”使“所求角”变为“已知角”；若角所在 象限没有确定，则应分类讨论.
【点评】 对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊 角，基本思路有： (1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正、负相消的项，消去求值； (3)化分子，分母出现公约数进行约分求值．
二、给值求值问题 给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的 三角函数式的值,解题关键在于“变角”及活用公式.
练习：
1 ＋2 tanα－tanβ 3 解:(1)tan(α－β)＝ ＝ ＝7. 1 1＋tanαtanβ 1＋ · －2 3 1 －2 tanα＋tanβ 3 (2)tan(α＋β)＝ ＝ ＝－1， 1 1－tanαtanβ 1－ · －2 3 π π π 3 又 0<α< ， <β<π，所以 <α＋β< π， 2 2 2 2 3 所以 α＋β＝ π. 4
三角函数求值问题的解题思维策略
１
一
ｔｎ ｔｎ ０一 ） ‘‘ ａ０ａ（ 一
１ ． ∈ （ ， ，ａ 声＜ ．． ． ０ ） ｔｎ
、 “ ”、 ’ ’
０ ． ∈（ ， ）又 ｏ ０ 丌）ｔｎ ＜１０ ’． ． － 丌 ． ， ， ０ ， ｙ Ｅ（ ａ Ｅ
：
０
＝ ３．ｔｎ（ ０ 一 声）＝ ａ ２
‘ “ “ 一
差 、倍 角关 系 ，或 者 题 目中 的 角存 在 着 和 、 差关 系 ，或 者题 目中的各角 的和 或差是 特殊 角 ，或者 已知条 件 中角轮换 后地 位平 等不影 响结果 等 等 ．解 题时要 善 于观察 、把握 和捕
２０ ０ ９年 第 ４期
河 北理科教 学研 究
问题 讨论
ｌ
三 角 函数 求值 问题 的解题 思维 策 略
广 东省佛 山市顺德 区容桂 职业技 术 学校 陈华安 ５ ８ ０ ２ ３３
＼ ／
—
＋ ＿ ｙ ０
三 角 函数 求值 问题是 三角 函数 中的基 本
问题 ，也是各 种考 试 中的常见 问题 ．一般 来 说 ，解 决这些 问题 可 以从 角 的关 系 、函数 特 征 、差 异分析 、退 到特殊 化等 方面 思考解 题 策 略 ，找 出解 题 的切 入 点 ．
（ ｊ） ０ 声 一 ，） ２ 一 ＝ ０ ， 一 ∈（ 丌０， ０ 声 ， ２ 故
３丌
４ ’
用适 当的推理运 算 ，优化 解题思 路 ，使 问题
迎 刃而解 ． １ １ 找 结论 式 与 条件 式 中角 的 和 、 、 角 ． 差 倍
三角函数中的给值求值及给值求角问题的常见技巧
三角函数中的给值求值及给值求角问题的常见技巧1.三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示。
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示两个“已知角”的和或差的形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”。
（3）常见的配角技巧22()()1[()()]21[()()]2()424ααααββαββαααβαββαβαβπππαα=⋅=+-=--=++-=+--+=-- 〖例〗已知33350,cos(),sin()4445413ππβαπαπβ<<<<-=+=，求sin()αβ+的值。
思路解析：比较题设中的角与待求式中的角，不难发现3()()()442πππβααβ+--=++或将cos()4πα-变化为sin()4πα+，再由()3()44ππαβπαβ⎛⎫+++=++ ⎪⎝⎭求解。
解答：方法一：∵344ππα<<，3,0.4424ππππαα∴-<-<--<-<又34cos ,sin()4545ππαα⎛⎫-=∴-=-⎪⎝⎭。
又330,.444πππββπ<<∴<+<又35sin()413πβ+=3sin()cos[()]cos[()()]24433cos()cos()sin()sin()444412354362056()()135135656565πππαβαββαππππβαβα∴+=-++=-+--=-+--+-=--⨯-⨯-=+=方法二：3cos()sin()445ππαα-=+= 4,cos()24453533sin(),,41344312cos().4133sin()sin()4433[sin()cos()sin()cos ]44445665πππαπαπππββππβππαβαβππππαββα<+<∴+=-+=<+<∴+=-∴+=-+++=-+++++=2、三角函数的给值求角问题（1）通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数。
配凑法解决三角函数的求值问题
因为 = ( + ) − ，所以 cos = cos[( + ) − ] = cos( + ) cos + sin( + ) sin
=−4 5 +32 5 = 2 5 5 5 5 5 25
例4、已知 为锐角，若 cos( + ) = 4 ，则 sin(2 + ) = ________ .
5
5
答案： 2 5 25
解析：因为 为锐角，且 cos = 5 1 ，所以 (0, ) ，且 sin = 2 5
52
3
5
又因为 sin( + ) = 3 3 ，所以 2 + （舍去 0 + ，因为 (0, ) 而 为锐角）
52
3
3
3
所以 cos( + ) = − 4 5
25
sin(2 + ) = sin[(2 + ) − ] = sin(2 + ) cos − cos(2 + ) sin = 24 3 − 7 1 = 24 3 − 7
6
36
36
3 6 25 2 25 2 50
2/6
题型二：化简求值处理技巧
例5、求 (tan10 − 3) sin 80 = _______ . cos 40
11、已知 sin = 5 ， sin( − ) = − 10 ，若 ， 都是锐角，求 = ______ .
5
10
12、已知 sin 2 = 5 ， sin( − ) = 10 ，且 [ , ] ， [ , 3 ] ，求 + = _____ .
5
10
4
2
13、已知 tan( − ) = 1 ， tan = − 1 ，且 、 (0, ) ，求 2 − = ______ .