空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量及其运算的坐标表示
答案：B
解析：设 O 是坐标原点，∴E→F＝O→F－O→E，又O→F＝12(O→A＋O→D)， O→E＝12(O→B＋O→C)，∴E→F＝12(O→A＋O→D)－12(O→B＋O→C)＝12(B→A＋C→D)＝12
点O x 轴、y 轴、z 轴
通过每两个 坐标轴的平面
(2)空间一点 M 的坐标： ①空间一点 M 的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，记作 M(x，y，z)，其中 x 叫做点 M 的 横坐标 ，y 叫做点 M 的 纵坐标 ， z 叫做点 M 的 竖坐标 ；
②建立了空间直角坐标系，空间中的点 M 与有序实数组(x，y， z)可建立 一一对应 的关系．
x＝x1＋2 x2， 则y＝y1＋2 y2，
z＝z1＋2 z2.
3．空间向量的有关概念
名称
概念
零向量
模为 0 的向量
单位向量 长度(模)为 1 的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量
表示空间向量的有向线段所在 的直线互相 平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面 的向量
题型二 共线向量定理、共面向量定理及其应用[微点探究] 微点 1 共线向量定理及应用 [例 1] (1)已知向量 a＝(2m＋1,3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且 a∥b，则实数 m 的值等于( ) A．32 B．－2 C．0 D．32或－2
答案：B 解析： 易知 m≠0，∵a∥b，∴2m2＋1＝m3 ＝m－－m1，解得 m＝－2.
－2＝λk
(2)设 O 为空间任意一点，O→P＝34O→A＋18O→B＋18O→C，则 A，B，C，
P 四点( ) A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断
答案：B
解析：∵点 O 为空间任意一点，O→P＝34O→A＋18O→B＋18O→C，且34＋
18＋18＝1，∴由共面向量基本定理得 A、B、C、P 四点一定共面．
－A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点．若A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝ c，则下列向量中与B→M相等的向量是( )
A．－12a＋12b＋c B.12a＋12b＋c C．－12a－12b＋c D.12a－12b＋c
答案：A
解析：B→M＝B→B1＋B→1M＝A→A1＋12(A→D－A→B)
(2)若 A(－1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则 m＋n＝ ________.
答案：－3
解析：∵A，B，C 三点共线，∴A→B∥B→C，∴A→B＝(3，－1，1)， B→C＝(m－2，n－1，－3)∴m－3 2＝n－－11＝－3，解得 m＝－7，n＝4.∴m
＋n＝－3.
第6节 空间向量及其运算、 空间向量基本定理、
空间向量及其运算的坐标表示
【教材回扣】
1．空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系：
以空间一点 O 为原点， 坐标原点 具有相同的单位长度，给 坐标轴 定 定正方向，建立两两垂直
义 的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，建立了一个空间直角 坐标平面 坐标系 O－xyz
所以E→G·B→D＝－12a＋12b＋12c·(c－a)
＝12a2－12a·b＋12b·c＋12c2－a·c＝12－14＋14＋12－12＝12.
[变式探究] 本例条件不变，求证：EG⊥AB.
证明：由例 3 知E→G＝12(A→C＋A→D－A→B)＝12(b＋c－a)， 所以E→G·A→B＝12(a·b＋a·c－a2)
＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.
2．[选修一·P98 复习参考题 T3]正四面体 ABCD 的棱长为 2，E， F 分别为 BC，AD 的中点，则 EF 的长为________．
答案： 2
解 析 ： | E→F |2 ＝ E→F 2 ＝ ( E→C ＋ C→D ＋ D→F )2 ＝E→C 2 ＋ C→D 2 ＋ D→F 2 ＋ 2(E→C·C→D＋E→C·D→F＋C→D·D→F)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋ 2×1×cos 120°)＝2，∴|E→F|＝ 2，∴EF 的长为 2.
a＝λb(b≠0，λ∈R) a·b＝0
(a≠0，b≠0)
|a|
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 a21＋a22＋a23
夹角
〈a，b〉 (a≠0，b≠0)
cos〈a，a1bb〉1＋＝a2b2＋a3b3
a12＋a22＋a23· b21＋b22＋b23
一、教材改编 1．[选修一·P97 复习参考题 T2]如图所示，在平行六面体 ABCD
类题通法
证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，①如证明 A，
B，C 三点共线，即证明A→B，A→C共线，亦即证明A→B＝λA→C(λ≠0)；②A， B，C 三点共线，对空间内任意一点 O，有O→A＝(1－t) O→B＋tO→C.
微点 2 共面向量定理及应用 [例 2] (1)已知 a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)， 若向量 a，b，c 共面，则实数 λ 等于( ) A.672 B.673 C.674 D.675
【跟踪训练 2】 如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的 三条棱长度都为 1，且两两夹角为 60°.
(1)求A→C1的长；
(2)求B→D1与A→C夹角的余弦值．
解析：
(1)记A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(2)空间向量数量积的运算律 ①(λa)·b＝ λ(a·b) ； ②交换律：a·b＝ b·a ； ③分配律：a·(b＋c)＝ a·b＋a·c .
6．空间向量的坐标表示及其应用
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 垂直 模
＝121×1×12＋1×1×12－1＝0.
故E→G⊥A→B，即 EG⊥AB.
类题通法 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直 关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．
(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角． (3)可以通过|a|＝ a2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问 题求解.
题型一 空间向量的线性运算[自主练透]
1．如图，在三棱锥 O－ABC 中，M，N 分别是 AB，OC 的中点，
设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，用 a，b，c 表示N→M，则N→M等于( )
A.12(－a＋b＋c) C.12(a－b＋c)
B.12(a＋b－c) D.12(－a－b＋c)
答案：B
(1) E→F＝12B→D＝12c－21a，B→A＝－a，
所以E→F·B→A＝12c－12a·(－a)＝－12a·c＋12a2＝－14＋12＝14. (2) E→G＝E→B＋B→C＋C→G＝12A→B＋(A→C－A→B)＋12(A→D－A→C) ＝－12A→B＋12A→C＋12A→D＝－12a＋12b＋12c，B→D＝A→D－A→B＝c－a.
【跟踪训练 1】 (1)设平面 α 的一个法向量为 n1＝(1,2，－2)，平面 β 的一个法向 量为 n2＝(－2，－4，k)，若 α∥β，则 k＝( ) A．2 B．4 C．－2 D．－4
答案：B 解析：∵α∥β，∴n1∥n2，∴存在实数 λ 使得 n1＝λn2，
1＝－2λ ∴2＝－4λ ，解得 k＝4.
表示 0
a＝b a 的相反向量
为－a
a∥b
4．空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量 a 与 b(b≠0)共线的充要条件是存在实数 λ，使得 a ＝λb. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝ xa＋yb ，其中 x，y∈R， a，b 为不共线向量． (3)空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有 序实数组{x，y，z}，使得 p＝ xa＋yb＋zc ，{a，b，c}叫做空 间的一个基底．
类题通法 用已知向量表示某一向量的方法 (1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指 导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相 接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的 向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则． (3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边 形法则在空间中仍然成立.
2．空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式： ①设点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则|AB|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22
②设点 P(x，y，z)，则与坐标原点 O 之间的距离为
|OP|＝
x2＋y2－z2
(2)中点公式： 设点 P(x，y，z)为 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，
答案：D 解析：若 a、b、c 共面，∴c＝ma＋nb，∴(7,5，λ)＝m(2，－1，
3)＋n(－1,4，－2)，即75＝ ＝－ 2mm－＋n， 4n， λ＝3m－2n，
解得 m＝373，n＝177，λ＝675.
(2)O 为空间中任意一点，A，B，C 三点不共线，且O→P＝34O→A＋18 O→B＋tO→C，若 P，A，B，C 四点共面，则实数 t＝________.
答案：18 解析： ∵P，A，B，C 四点共面， ∴34＋18＋t＝1，∴t＝18.
类题通法
证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明 P，A，
B，C 四点共面，只要能证明P→A＝xP→B＋yP→C或对空间任一点 O，有O→A ＝O→P＋xP→B＋yP→C或O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C(x＋y＋z＝1)即可.
空间向量及其运算
空间向量及其运算引言空间向量是三维空间中的一种重要的数学概念，用于描述具有大小和方向的物理量。
本文将介绍空间向量的基本概念、表示方法和运算规则。
基本概念空间向量是由三个实数组成的有序三元组，分别表示向量在三个坐标轴上的分量。
通常用箭头在字母上方表示向量，如向量A表示为$\vec{A}$。
表示方法空间向量可以用坐标表示或者用一个点表示。
坐标表示法将向量的三个分量写成一个有序三元组$(x。
y。
z)$，表示向量在$x$轴上的分量为$x$，在$y$轴上的分量为$y$，在$z$轴上的分量为$z$。
点表示法将向量的起点放在坐标原点，然后将向量的终点绘制在空间中，用一条箭头连接起来。
运算规则空间向量的运算包括加法、减法和数量乘法。
加法：两个向量相加，就是将它们的对应分量相加得到一个新的向量。
例如，$\vec{A} = (x_1.y_1.z_1)$，$\vec{B} =(x_2.y_2.z_2)$，则$\vec{A} + \vec{B} = (x_1 + x_2.y_1 + y_2.z_1 + z_2)$。
减法：两个向量相减，就是将它们的对应分量相减得到一个新的向量。
例如，$\vec{A} = (x_1.y_1.z_1)$，$\vec{B} =(x_2.y_2.z_2)$，则$\vec{A} - \vec{B} = (x_1 - x_2.y_1 - y_2.z_1 - z_2)$。
数量乘法：一个向量与一个实数相乘，就是将向量的每个分量都乘以这个实数。
例如，$\vec{A} = (x。
y。
z)$，$k$为实数，则$k\vec{A} = (kx。
ky。
kz)$。
总结空间向量是三维空间中描述大小和方向的数学概念。
它可以用坐标表示法或者点表示法来表示。
空间向量的运算包括加法、减法和数量乘法。
以上是关于空间向量及其运算的简要介绍，希望能对您有所帮助。
空间向量基本定理(PPT)
（二）空间向量基本定理
【探究1】空间中怎样的向量能构成基底？
1.不同基底下,同一向量的表达式也
【提示】空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．
有可能不同.
2.由于零向量与任意一个非零向量
【探究2】基底与基向量的概念有什么不同？
【提示】一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，
)
(3)已知A,B,M,N是空间四点,若 , , 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.(
(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.(
)
)
答案: (1)× (2)√ (3)√ (4)√
【做一做1】(教材P12练习1改编)已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，
(2)正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
（三）典型例题
1.基底的判断
例1.设 Ԧ = Ԧ + , Ԧ = + ,
Ԧ = Ԧ + ，且
Ԧ
,
Ԧ , Ԧ 是空间的一个基底，给出下列向量组：① ,
Ԧ , Ԧ ，②
,
Ԧ ,
Ԧ Ԧ ，③ ,
（2）∵ ’ = −Ԧ + ，∴
Ԧ
’ = 2 Ԧ ， =
∵’ ∙ = −Ԧ + Ԧ ∙ +
1
Ԧ
2
1
=2 Ԧ2
=
1
2
Ԧ
5
2
2，∴cos
Ԧ ，
’, =
1
2
2
空间向量的坐标表示
e3 Oe 2
分别为x,y,z轴正方向上的单位向量，由空间向量 ( x, y, z) 基本定理，存在唯一的有序实数组
给定一个空间直角坐标系和向量 p 且设 ，
i、 k j、
A(x,y,z) y
e1
(1)设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )
即对应坐标成比例.
4.判断下列各组中的两个向量是否共线.
9 (1)a (2,3, 4, ), b (3, , 6) 2 (2)a (2,0, 4,), b (4,1, 8) (3)a (2,0, 4,), b (4,0, 8)
5.已知m (8,3, a), n (2b, 6,5) ,若m n 则a=_____,b=______.
则:
2、空间向量的直角坐标运算律：
a (a1 , a2 , a3 )
(2)若A(a1 , b1 , c1 ), B(a2 , b2 , c2 )则 AB (a2 a1 , b2 b1 , c2 c1 )
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a b
a (a1, a2 )( R),
(a1 b1 , a2 b2 ),
(2)若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
则AB ( x2 x1 , y2 y1 )
1、空间向量的坐标表示：
使得 p xi y j zk 则有序实数组 ( x, y, z ) 叫做 p 在空间直角坐标系 O-xyz中的坐标，上式可简记作 p ( x, y, z) z
高中数学第三章空间向量与立体几何3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示3-1空间向量基本定理北师
答案：3a＋3b－5c
解析：如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则
1
1
1
1
1
EF＝GF − GE＝ CD − BA＝ CD + AB＝ (5a＋6b－
2
2
1
8c)＋ (a－2c)＝3a＋3b－5c.
2
2
2
2
易错辨析 对基理解不清致误
例3 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M为AC与BD的交点．若
的值分别是(
)
1
1
1
1
1
1
A．x＝ ，y＝ ，z＝ B．z＝ ，y＝ ，z＝
3
3
3
1
1
1
C．x＝ ，y＝ ，z＝
3
6
3
答案：D
3
3
6
1
1
1
D．x＝ ，y＝ ，z＝
6
3
3
(2)在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，设AB＝a，AD＝b，AA′ ＝c，P是
CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且
A1 B1 ＝a，A1 D1 ＝b，A1 ＝c，试用基{a，b，c}表示向量C1 ．
解析：如图，连接A1M，A1C1 ，则C1 ＝A1 －
1
A1 C1 ＝A1 ＋AM－(A1 B1 ＋A1 D1 )＝A1 ＋ (A1 B1
1
＋A1 D1 )－(A1 B1 ＋A1 D1 )＝A1A－
2
1
1
b构成基的向量是(
)
A．a
B．b
C．a＋2b
D．a＋2c
空间向量的坐标运算
3.1 空间向量及其运算3.1.3 空间向量的正交分解及其坐标表示【基础知识在线】知识点一 空间向量基本定理★★★考点： 寻找合适的基底来表示题目中的向量 知识点二 单位正交基底★★★ 考点： 用坐标表示向量知识点三 空间直角坐标系★★★★ 考点： 选择合适的位置建系知识点四 空间向量的坐标表示★★★★★ 考点： 能在坐标系下用坐标表示空间向量 能够进行坐标运算【解密重点·难点·疑点】 问题一：空间向量基本定理若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．推论：设C B A O ,,,是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的一个有序实数组(z y x ,,}，使OC z OB y OA x OP ++=．注意：（1） 由定理可知，作为基底的三个向量不共面，因此，基底中不存在零向量. (2)一个基底是一组向量，一个基向量是说基底中的某一向量.(3)空间中三个向量只要不共面，即可作为基底，即空间中的基底是不唯一的；当选定一组基底后，空间中任一向量的表示却是唯一的.问题二:空间直角坐标系的建立和坐标表示空间直角坐标系的建立：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k }，如图，以点O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴．O —x y z 为空间直角坐标系，O 为坐标原点，向量i ，j ，k 为单位坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．在空间直角坐标系中，坐标平面xOy 上的点的竖坐标为0；坐标平面xOz 上的点的纵坐标为0；坐标平面yOz 上点的横坐标为0．x 轴上的点纵坐标、竖坐标为0，y 轴上的点横坐标、竖坐标为0，z 轴上的点横坐标、竖坐标为0．注意：（1）空间直角坐标系的建立，必须寻求两两垂直且交于一点的直线.（2）表示坐标的三个数据的位置是不能改变的.如若顺序变了，则对应的向量也随之改变.【点拨思维·方法技巧】 一.基底的概念例1已知向量{}c b a ,,是空间的一个基底，那么向量,,-+能构成空间的一个基底吗？为什么？【思维分析】解答该题适用反证法.假设不能构成基底，则共面，利用共面基本定理推出矛盾，从而假设不成立.【解析】 能构成空间一个基底．图3-1-28假设,,-+共面，则存在y x ,,使()()y x -++=,()()y x y x -++=∴.从而由共面向量定理知，c 与b a ,共面． 这与向量{},,是空间的一个基底矛盾． ∴c b a b a ,,-+不共面．【评析】 判断三个向量能否作为基底，关键是正确理解概念，只有空间中三个向量不共面才能构成空间向量的一个基底，常用反证法.变式训练１.有以下命题：①如果向量b a ,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底.其中正确的命题是（ ）.A.①②B.①③C.②③D.①②③ 答案：C.【解析】对于①“如果向量,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,的关系一定共线”；所以①错误.②③正确二.用基底表示向量例2如图，在三棱柱111C B A ABC -中，设===,,1，M 是B A 1的中点，点N 在CM 上，且4:1:=CM CN ，试用基底},,{表示N C 1.【思维分析】结合图形，利用空间向量的加减和数乘运算，把相关的向量均用基底表示. [解析]M 是B A 1的中点，点N 在CM 上，且4:1:=CM CN ，图3-1-29∴)(21)(21)(11AA BA b c BA AB CA BM CB CM +++-=++=+= .2121)(21c b a a b b c -+=+-++-=418187)2121(4141111-+-=+-+-=+=+=∴A C C .c【评析】(1)空间中的一组基底可以表示任意的向量，在选定的基底下，某一向量的表达形式是唯一的.(2)注意结合图形，灵活应用向量的基本运算和三角形、平行四边形法则. (3)用基底表示向量要彻底，不可在有其他向量，只含基底中的向量. 变式训练2．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，=a ，=b ，1=c ，P 是1CA 的中点，M 是1CD 的中点，N 是11D C 的中点，点Q 在1CA 上，且1:4:1=QA CQ用基底{、、}表示以下向量：（1），（2），（3）．[解析]（１）()()c b a AD AB AA AC AA AP ++=++=+=21)(212111； （２）C D AA D D A AA ++=++=++=21211111111； （３）)(51511111AA A A AA -+=+=+= AA 545151515151)(511++=-++=-++=三.求点和向量的坐标例3如下图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标．图3-1-30【思维分析】分别以 AB 、AD 、AA 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，找出各顶点到x,y,z 轴的距离．[解析]分别以 A B 、AD 、AA 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，找出各顶点到x,y,z 轴的距离,这个距离恰是正方体的棱长，所以各顶点的坐标是：A （0,0,0），B （2,0,0），C （2,2,0），D （0,2,0），A 1（0,0,2），B 1（2,02，）C 1（2,2,2），D 1（0,2,2）．【评析】（1）建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量寻找三条互相垂直且交于一点的直线，如果找不到，要想办法构造．（2）找出各点在坐标轴上的射影，便于得到该点的坐标，但要注意符号． 变式训练3．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB ，PC 的三等分点且PN ＝2NC ，AM ＝2MB ，PA ＝AB ＝1，求 MN 的坐标．[解析] ∵PA=AB=AD=1，且PA 垂直于平面ABCD ，AD ⊥AB ， ∴可设 ,,,=== 建立如图所示的空间直角坐标系． ∵MN ＝MA →＋AP →＋PN ＝－23 AB ＋AP →＋23PC →图3-1-31图3-1-32＝－23AB ＋AP →＋23(－AP →＋AD →＋AB )=13AP ＋23AD → 3132+= .31,0,32⎪⎭⎫⎝⎛=∴【课后习题答案】 练习（第94页）1.答案：向量c 一定可以与q p ,一起构成空间的另一个基底. 解析：-=+=, 与,共面，只有c 不与,共面.2. 答案：点,,,O A B C 四点共面.解析：,, 不构成空间的一个基底，,,∴共面，C B A O ,,,∴四点共面.3.(1)答案：C B B O +-='-='++=',,; 解析： （2）答案：1122OG a b c =++ 解析：()B B 212121++='++=+=.【自主探究提升】夯实基础1.若向量{},,是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ） A.3,2, B.+++,, C.93,32,2-++ D.,,++ 答案：C.提示：在C 选项中()(),3232393c b b a c a +-+=-由共面定理知，此三个向量共面. 2.以下四个命题中正确的是( )A ．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B ．若{}c b a ,,为空间向量的一组基底，则c b a ,,全不是零向量 C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是0=⋅AC ABD ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 答案 B提示： 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是0=⋅AC AB ，可能是0=⋅BA BC ，也可能是0=⋅CB CA ，故C 不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D 不正确，故选B.3.已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G在线段MN 上，且2=，现用基组{},,表示向量，有=x z y ++，则= ．答案 :313161++.提示：313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 4. 设O-ABC 是四面体，1G 是ABC ∆的重心，G 是1OG 上的一点，且13GG OG =，若OG ＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则()z y x ,,为( ) A ．(14，14，14) B ．(34，34，34)C ．(13，13，13)D ．(23，23，23)答案 A 提示：()114343AG OG +==()()()[]-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+=414321324343OC OB OA 414141++=.＝14OA →＋14OB →＋14OC →.故选A. 5．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，设===1,,，F E ,分别是BD AD ,1的中点．（1）用向量 c b a ,,，表示1,D B EF；（2）若c z b y a x F D ++=1，求实数.,,z y x解 （1）1D B =1D D +DB = - 1AA +EF =EA +AF =121D A +12AC ()()()AA +=+++-=2121211.(2) 1D F = 111()2AA AB AD -+-111()2AA AB D D =-+-c b a --=2121,.1,21,21-=-==∴z y x拓展延伸6．在以下3个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量,,不能构成空间的一个基底，则,,共面；②若两个非零向量b a ,与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则b a ,共线； ③若,是两个不共线向量，而()0,≠∈+=λμμλμλ且R ，则{},,构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C 提示：命题①，②是真命题，命题③是假命题．7．若{}c b a ,,是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是( ) A ．3,2,a,2b,3c B ．+++,, C ．93,32,2-++ D ．,,++AC1A1C图3-1-33答案 C提示：()()()09332323=-++++-c a c b b a 即三向量c a c b b a 93,32,2-++共面. ∴选C.8. 已知正方体1111D C B A ABCD -中，点O 为1AC 与1BD 的交点，1CC z y x ++=，则x ＋y ＋z ＝________.答案 32,提示：()12121CC ++==． 9. 从空间一点P 引出三条射线PC PB PA ,,，在PC PB PA ,,上分别取,,,===，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝__________________. 答案: ().2132c b a ++-10.（2009.四川卷理）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧 棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是 .解析：不妨设棱长为2，选择基向量{},,1，则11121,BB BC BM BA BB AB -=-=()5222111-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=BB BB05220220=--+-=，故填写o 90.11.已知三棱锥A —BCD.1BAB 1AC1CM图3-1-34(1)化简()AD AC AB -+21并标出化简结果的向量； (2)设G 为△BCD 的重心，试用AD AC AB ,,表示向量.解析：设AB ，AC ，AD 中点为E ，F ，H ，BC 中点为P. (1)1(2AB ＋AC →－AD →)＝AE → ＋AF = AP －AH →＝HP →. （2）AG ＝AP →＋PG → = AP →＋13PD →= AP →＋13(AD →－AP →)＝23AP →＋13AD →＝()312132++⨯ ＝13( AB ＋AC →＋AD →)．12.在直三棱柱111O B A ABO -中，∠AOB=2π424===|，D 为11B A 的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求1,DO A B的坐标.解析：∵11(),DO OD OO O D =-=-+11111[()]222OO OA OB OO OA OB =-++=--- 又1||OO = 4，|OA →|＝4，|OA →|＝4，|OB →|＝2， ∴DO →＝(－2，－1，－4)， ∴1A B ＝ (－4,2，－4)．13. 在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：异面直线BA 1与AC 所成的角. 解析：因为BC AB AC BB BA BA +=+=,11, 所以)()(11+∙+=∙ =BC BB AB BB BC BA AB BA ∙+∙+∙+∙11ABO1A1OD图3-1-35 图3-1-36因为AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， 所以BB ∙=∙1,0=0, AB BA BC BB ∙=∙,01=-a 2. 所以AC BA ∙1=-a 2.又,,cos 11><=∙BA .2122,cos 21-=⨯->=<a a a AC BA 所以〈AC BA ,1〉=120°. 所以异面直线BA 1与AC 所成的角为60°．图3-1-37。
人教A版(新教材)高二数学选择性必修第一册重点题型n1(含答案)
人教A版（新教材）高二选择性必修第一册重点题型N1第一章空间向量与立体几何考试范围：1.1空间向量及其运算；1.2空间向量基本定理；1.3空间向量及其运算的坐标表示；考试时间：100分钟；命题人：LEOG学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题型1、利用向量方法解决立体几何的证明问题1．已知向量＝（1，x2，2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），若，，共面，则x 等于（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．1或0【考点】共线向量与共面向量．【分析】利用共面向量定理直接求解．【解答】解：∵向量＝（1，x2，2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），，，共面，∴，m≠0，n≠0，∴（1，x2，2）＝（n，m，2m），∴，解得x2＝m＝1，∴x＝±1．故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，考查共面向量定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．如果向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，2），＝（1，﹣1，m）共面，则实数m的值是（）A．﹣1B．1C．﹣5D．5【考点】共线向量与共面向量．【分析】由各量共面，可知存在x，y，使得，列出方程组，求出实数m的值．【解答】解：∵向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，2），＝（1，﹣1，m）共面，∴存在x，y，使得，∴（2，﹣1，3）＝（﹣x+y，4x﹣y，2x+my），∴，解得x＝，y＝，m＝1．∴实数m的值是1．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，共面向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．已知，﹣1，3），，4，﹣2），，3，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（）A．1B．2C．3D．4【考点】共线向量与共面向量．【分析】由向量、、共面得出＝x+y，列方程组可求得λ的值．【解答】解：向量、、共面，则＝x+y，其中x，y∈R；则（1，3，λ）＝（2x，﹣x，3x）+（﹣y，4y，﹣2y）＝（2x﹣y，﹣x+4y，3x﹣2y），∴，解得x＝1，y＝1，λ＝1．故选：A．【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与共面定理的应用问题，是基础题．4．已知，，若与共线，则（）A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝10C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝9【考点】共线向量与共面向量．【分析】利用向量平行的性质直接求解．【解答】解：∵，，与共线，∴，解得x＝6，y＝9．故选：D．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．已知＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（）A．B．C．D．【考点】共线向量与共面向量．【分析】由已知中＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（7，5，λ），若、、三向量共面，我们可以用向量、作基底表示向量，进而构造关于λ的方程，解方程即可求出实数λ的值．【解答】解：∵＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2）∴与不平行，又∵、、三向量共面，则存在实数X，Y使＝X+Y即解得λ＝故选：D．【点评】本题考查的知识点是共线向量与共面向量及平面向量基本定理，其中根据、、三向量共面，与不共线，则可用向量、作基底表示向量，造关于λ的方程，是解答本题的关键题型2、空间向量平行和垂直坐标表示1．若向量＝（0，1，﹣1），＝（1，1，0），且（+λ）⊥，则实数λ的值是（）A．﹣1B．0C．﹣2D．1【考点】空间向量的数量积运算．【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵（+λ）⊥，∴（+λ）•＝+＝+λ×（0+1+0）＝0，解得λ＝﹣2．故选：C．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．2．已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，1）且k与互相垂直，则k＝（）A．B．C．D．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】根据与互相垂直，（k+）•＝0，列出方程求出k的值．【解答】解：∵向量，，∴k+＝（k﹣1，k，1）；又与互相垂直，∴（k+）•＝0，即（k﹣1）×1+k＝0，解得k＝．故选：B．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与数量积的应用问题，是基础题目．3．已知＝（﹣1，﹣2，1），＝（1，x，﹣2）且•＝﹣13，则x的值为（）A．3B．4C．5D．6【考点】空间向量的数量积运算．【分析】根据空间向量数量积的坐标运算，列方程求出x的值．【解答】解：＝（﹣1，﹣2，1），＝（1，x，﹣2），所以•＝﹣1﹣2x﹣2＝﹣13，解得x＝5．故选：C．【点评】本题考查了空间向量数量积的坐标运算问题，是基础题．4．已知，且，则x•y＝（）A．B．2C．D．﹣1【考点】空间向量的数量积运算．【分析】由，可得存在实数k使得＝k（），利用向量相等即可得出．【解答】解：＝（1+2x，4，4+y），＝（2﹣x，3，2y﹣2），∵，∴存在实数k使得＝k（），∴，解得x＝，y＝4．∴x•y＝2．故选：B．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．已知向量＝（﹣1，2，3），＝（2，y，0），且，那么y等于（）A．﹣1B．4C．﹣4D．1【考点】空间向量的数量积运算．【分析】，可得＝0，解得y．【解答】解：∵，∴＝﹣2+2y+0＝0，解得y＝1．故选：D．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知向量＝（2m+1，3，m﹣1），＝（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2C．0D．或﹣2【考点】共线向量与共面向量．【分析】根据两向量平行的充要条件建立等式关系，然后解二元一次方程组即可求出m 的值．【解答】解：∵空间平面向量＝（2m+1，3，m﹣1），＝（2，m，﹣m），且∥，∴（2m+1，3，m﹣1）＝λ（2，m，﹣m）＝（2λ，λm，﹣λm），∴，解得m＝﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了平空间向量共线（平行）的坐标表示，以及解二元一次方程组，属于基础题．7．已知＝（λ+1，0，1），＝（3，2μ﹣1，2），其中λ，μ∈R，若∥，则λ+μ＝（）A．0B．1C．2D．3【考点】共线向量与共面向量；向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】根据可得出，然后即可得出，从而解出λ，μ即可．【解答】解：∵∥，∴设，∴（3，2μ﹣1，2）＝（kλ+k，0，k），∴，解得，∴λ+μ＝1．故选：B．【点评】本题考查了共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算，相等向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．8．已知向量＝（2，1，﹣5），＝（4，y，z），且∥，则y+z＝（）A．﹣8B．﹣12C．8D．12【考点】共线向量与共面向量；向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】直接利用向量共线定理得到，再利用向量相等的坐标表示求出y和z，即可得到答案．【解答】解：因为向量＝（2，1，﹣5），＝（4，y，z），且∥，所以，则有，解得y＝2，z＝﹣10，所以y+z＝﹣8．故选：A．【点评】本题考查了空间向量共线定理的应用，涉及了空间向量的坐标表示以及空间向量相等的充要条件的应用，属于基础题．9．已知向量，且，则x+y的值为（）A．11B．6C．7D．15【考点】共线向量与共面向量；向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】由向量平行的充要条件可得答案，【解答】解：向量，且，则＝λ，即（x，3，4）＝（6，y，12），解得x＝2，y＝9，则x+y＝2+9＝11，故选：A．【点评】本题考查向量平行的充要条件，属于基础题．10．已知空间向量＝（3，1，3），＝（﹣1，λ，﹣1），且∥，则实数λ＝（）A．﹣B．﹣3C．D．6【考点】共线向量与共面向量．【分析】由∥，可设k＝，可得，解出即可得出．【解答】解：∵∥，∴可设k＝，∴，解得λ＝k＝﹣．故选：A．【点评】本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．题型3、空间向量的夹角应用1．已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），O是坐标原点，+与的夹角为120°，则λ的值为（）A．±B．C．﹣D．±【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】首先求出空间向量的坐标，及向量的模，进一步利用向量的夹角求出结果．【解答】解：因为+λ＝（1，0，0）+λ（0，﹣1，1）＝（1，﹣λ，λ），所以＝，＝，（+λ）•＝2λ，所以cos 120°＝＝﹣，所以λ＜0，且4λ＝﹣解得：λ＝﹣．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：空间向量的数量积，空间向量的模及夹角的运算．属于基础题型．2．已知：＝（x，4，1），＝（﹣2，y，﹣1），＝（3，﹣2，z），∥，⊥，求：（1），，；（2）（+）与（+）所成角的余弦值．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】（1）由向量的平行和垂直可得关于xyz的关系式，解之即可得向量坐标；（2）由（1）可得向量与的坐标，进而由夹角公式可得结论．【解答】解：（1）∵，∴，解得x＝2，y＝﹣4，故＝（2，4，1），＝（﹣2，﹣4，﹣1），又因为，所以＝0，即﹣6+8﹣z＝0，解得z＝2，故＝（3，﹣2，2）（2）由（1）可得＝（5，2，3），＝（1，﹣6，1），设向量与所成的角为θ，则cosθ＝＝【点评】本题考查空间向量平行和垂直的判断，涉及向量的夹角公式，属基础题．3．已知＝（3，﹣2，﹣3），＝（﹣1，x﹣1，1），且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，）∪（，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（，+∞）【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】根据两个向量的夹角是钝角，则两个向量的夹角的余弦小于零，从而得到两个向量的数量积小于零，用坐标形式表示向量的数量积，解不等式，得到变量的范围．【解答】解：∵与的夹角为钝角，∴cos＜，＞＜0．且与不共线∴•＜0．且（3，﹣2，﹣3）≠λ（﹣1，x﹣1，1）∴﹣3﹣2（x﹣1）﹣3＜0．且x≠∴x的取值范围是（﹣2，）∪（，+∞）．故选：B．【点评】两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．4．已知＝（1，1，1），＝（0，y，1）（0≤y≤1），则cos＜，＞最大值为（）A．B．C．D．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】【解法一】利用作图法，构造正方体，考虑极端情况，可快速得出答案；【解法二】根据两向量的数量积求出夹角的余弦值cos＜，＞，再利用换元法求出它的最大值即可．【解答】解：【解法一】利用作图法，构造正方体，设正方体的棱长为1，如图所示；则＝＝（1，1，1），＝＝（0，y，1），且E在线段D′C′上移动，当E在D′位置时，cos＜，＞＝＝＝；当E在C′位置时，cos＜，＞＝＝＝为最大值．【解法二】∵＝（1，1，1），＝（0，y，1）（0≤y≤1），∴•＝y+1，||＝，||＝，∴cos＜，＞＝＝；设t＝，则t2﹣1＝y2，∴y＝（1≤t≤），∴f（t）＝•＝（+）；设sinα＝，则1≥sinα≥，即≤α≤，∴g（α）＝（+sinα）＝（cosα+sinα）＝sin（α+），∴当α＝时，g（α）取得最大值为＝．故选：D．【点评】本题考查了利用向量的数量积求夹角的应用问题，也考查了函数在闭区间上的最值问题，是基础题目．5．已知空间三点A（﹣1，2，1），B（0，1，﹣2），C（﹣3，0，2）（1）求向量的夹角的余弦值，（2）若向量垂直，求实数k的值．【考点】空间向量运算的坐标表示．【分析】（1）＝（1，﹣1，﹣3），＝（﹣2，﹣2，1），计算可得＝．（2）∵向量垂直，可得•＝3+（3k ﹣1）﹣k＝0，即可得出．【解答】解：（1）＝（1，﹣1，﹣3），＝（﹣2，﹣2，1），||＝＝，＝3．＝﹣2+2﹣3＝﹣3．∴＝＝＝﹣．（2）∵向量垂直，∴•＝3+（3k﹣1）﹣k＝0，3×11+（3k﹣1）×（﹣3）﹣9k＝0，解得k＝2．【点评】本题考查了向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．题型4、空间向量模的坐标表示1．已知＝（1﹣t，2t﹣1，0），＝（3，t，t），则|﹣|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】空间向量运算的坐标表示．【分析】根据空间向量的坐标表示与数量积定义，利用二次函数的性质求出|﹣|的最小值．【解答】解：＝（1﹣t，2t﹣1，0），＝（3，t，t），则﹣＝（2+t，1﹣t，t），∴＝（2+t）2+（1﹣t）2+t2＝3t2+2t+5＝3+，∴t＝﹣时|﹣|取得最小值为＝．故选：B．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与模长的计算问题，是基础题．2．若向量，，则＝（）A．B．C．3D．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】利用向量坐标运算法则求解＝（3，0，﹣1），由此能求出的值．【解答】解：∵向量，，∴＝（3，0，﹣1），∴＝＝．故选：D．【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是基础题．3．已知＝（1﹣t，1，0），＝（2，t，t），则|﹣|的最小值是（）A．1B．C．D．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】利用向量的坐标运算法则得到＝（1+t，t﹣1，t），从而||＝＝，由此能求出当t＝0时，|﹣|取最小值．【解答】解：∵＝（1﹣t，1，0），＝（2，t，t），∴＝（1+t，t﹣1，t），∴||＝＝，∴当t＝0时，|﹣|取最小值．故选：B．【点评】本题考查向量的模的最小值的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知空间向量＝（t，1，t），＝（t﹣2，t，1），则|﹣|的最小值为（）A．B．C．2D．4【考点】空间向量及其线性运算；空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】由已知求得，再由向量模的计算公式求||，利用配方法求最值．【解答】解：∵＝（t，1，t），＝（t﹣2，t，1），∴＝（2，1﹣t，t﹣1），则|﹣|＝，∴当t＝1时，|﹣|取最小值为2．故选：C．【点评】本题考查向量的坐标运算与向量模的求法，训练了利用配方法求最值，是基础题．5．已知空间三点A（0，2，3），B（2，5，2），C（﹣2，3，6），则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为6．【考点】空间向量运算的坐标表示．【分析】＝（2，3，﹣1），＝（﹣2，1，3）．可得＝﹣4，，．可得cos∠BAC＝．可得sin∠BAC＝．以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S＝••sin∠BAC．【解答】解：＝（2，3，﹣1），＝（﹣2，1，3）．∴＝﹣4+3﹣3＝﹣4，＝＝，＝＝．∴cos∠BAC＝＝＝﹣．∴sin∠BAC＝＝．∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S＝••sin∠BAC＝×＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．题型5、平面的法向量的求法与应用1．若两个向量＝（1，2，3），＝（3，2，1），则平面ABC的一个法向量为（）A．（﹣1，2，﹣1）B．（1，2，1）C．（1，2，﹣1）D．（﹣1，2，1）【考点】平面的法向量．【分析】设平面ABC的一个法向量＝（x，y，z），则，由此能求出平面ABC的一个法向量．【解答】解：两个向量，设平面ABC的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝﹣1，得平面ABC的一个法向量为（﹣1，2，﹣1）．故选：A．【点评】本题考查平面的法向量的求法，考查平面的法向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．平面α经过三点O（0，0，0），A（2，2，0），B（0，0，2），则平面α的法向量可以是（）A．（1，0，1）B．（1，0，﹣1）C．（0，1，1）D．（﹣1，1，0）【考点】平面的法向量．【分析】求出＝（2，2，0），＝（0，0，2），设平面α的法向量＝（x，y，z），由，能求出平面α的法向量．【解答】解：∵平面α经过三点O（0，0，0），A（2，2，0），B（0，0，2），∴＝（2，2，0），＝（0，0，2），设平面α的法向量＝（x，y，z），则，取x＝﹣1，得＝（﹣1，1，0），∴平面α的法向量可以是（﹣1，1，0）．故选：D．【点评】本题考查平面的法向量的求法，考查平面的法向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．已知A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）（1）求平面ABC的一个法向量；（2）证明：向量与平面ABC平行．【考点】平面的法向量．【分析】（1）设＝（x，y，z）为平面ABC的一个法向量，则有•＝0且•＝0，由此求出平面ABC的一个法向量；（2）假设存在实数m、n，使＝m+n，利用向量相等列出方程组求出m、n的值，即可证明结论成立．【解答】解：（1）∵A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），∴＝（﹣2，﹣1，3），＝（1，﹣3，2），设＝（x，y，z）为平面ABC的一个法向量，则有•＝（x，y，z）•（﹣2，﹣1，3）＝﹣2x﹣y+3z＝0，•＝（x，y，z）•（1，﹣3，2）＝x﹣3y+2z＝0；由，解得，令x＝y＝z＝1，得平面ABC的一个法向量为（1，1，1）；（2）证明：若存在实数m、n，使＝m+n，即（3，﹣4，1）＝m（﹣2，﹣1，3）+n（1，﹣3，2），则，解得，所以＝﹣+，即向量∥平面ABC．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算问题，也考查了求平面法向量的应用问题，是基础题．4．已知向量＝（1，2，1），＝（0，1，﹣2），则平面ABC的一个法向量可以是（）A．（5，﹣2，﹣1）B．（﹣6，2，2）C．（3，1，﹣2）D．（4，﹣3，1）【考点】平面的法向量．【分析】平面ABC的一个法向量与向量，的数量积都为0．【解答】解：由＝（1，2，1），＝（0，1，﹣2），知：在A中，∵，∴平面ABC的一个法向量可以是（5，﹣2，﹣1），故A正确；在B中，，故B错误；在C中，，故C错误；在D中，，故D错误．故选：A．【点评】本题考查平面的法向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意法向量的性质的合理运用．5．设平面α内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（﹣1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（）A．（﹣1，﹣2，5）B．（﹣1，1，﹣1）C．（1，1，1）D．（1，﹣1，﹣1）【考点】平面的法向量．【分析】利用非零向量⇔即可找出平面的法向量．【解答】解：∵（﹣1，1，﹣1）•（1，2，1）＝﹣1+2﹣1＝0，（﹣1，1，﹣1）•（﹣1，1，2）＝1+1﹣2＝0，∴向量（﹣1，1﹣1）是此平面的法向量．故选：B．【点评】正确理解平面的法向量是解题的关键．6．在三角形ABC中，A（1，﹣2，﹣1），B（0，﹣3，1），C（2，﹣2，1），若向量与平面ABC垂直，且||＝，则的坐标为（2，﹣4，﹣1）或（﹣2，4，1）．【考点】空间两点间的距离公式；平面的法向量．【分析】根据条件求出平面的法向量，结合向量的长度公式即可得到结论．【解答】解：设平面ABC的法向量为＝（x，y，z），则＝0，且•＝0，∵＝（﹣1，﹣1，2），＝（1，0，2），∴，即，令z＝1，则x＝﹣2，y＝4，即＝（﹣2，4，1），若向量与平面ABC垂直，∴向量∥，设＝λ＝（﹣2λ，4λ，λ），∵||＝，∴•|λ|＝，即|λ|＝1，解得λ＝±1，∴的坐标为（2，﹣4，﹣1）或（﹣2，4，1），故答案为：（2，﹣4，﹣1）或（﹣2，4，1）【点评】本题主要考查空间向量坐标的计算，根据直线和平面垂直求出平面的法向量是解决本题的关键．7．已知点A（1，0，0），B（0，，0），C（0，0，1）求平面ABC的一个法向量．【考点】平面的法向量．【分析】由已知中A，B，C三点的坐标，我们可以求出向量，的坐标，进而根据平面的法向量与平面内任一向量都垂直，其数量积均为0，可以构造法向量坐标的方程组，解方程组可得答案．【解答】解：∵点A（1，0，0），B（0，，0），C（0，0，1）∴＝（﹣1，，0），＝（﹣1，0，1），设平面ABC的一个法向量为则，即令x＝1，则即为平面ABC的一个法向量【点评】本题考查的知识点是用向量语言表述线面垂直关系，其中根据平面的法向量与平面内任一向量都垂直，数量积均为0，构造关于法向量坐标的方程组是解答的关键．8．若和分别为平面α和平面β的一个法向量，且α⊥β，则实数λ＝3．【考点】平面的法向量．【分析】由于α⊥β，可得＝0，解出即可得出．【解答】解：∵α⊥β，∴，∴＝λ﹣6+3＝0，解得λ＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、面面垂直的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知平面α的法向量为＝（3，﹣1，2），＝（﹣3，1，﹣2），则直线AB与平面α的位置关系为（）A．AB∥αB．AB⊂αC．AB与α相交D．AB⊂α或AB∥α【考点】平面的法向量．【分析】由＝﹣，即可判断出位置关系．【解答】解：∵＝﹣，∴∥，∴直线AB与平面α的位置关系为相交．故选：C．【点评】本题考查了线面位置关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．若，，是平面α内的三点，设平面α的法向量，则x：y：z＝2：3：（﹣4）．【考点】平面的法向量．【分析】求出、的坐标，由•＝0，及•＝0，用y表示出x和z的值，即得法向量的坐标之比．【解答】解：，∴．故答案为2：3：﹣4．【点评】本题考查平面的法向量的性质以及两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用．。
空间向量的坐标表示
A B = ( a2 − a1 , b2 − b1 , c2 − c1 )
空间向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标. 空间向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标.
例1、已知 a = (2, −3, 5), b = ( −3,1, − 4) 求 a + b, a − b, 8a
解:
a + b = (2, −3,5) + (−3,1, −4) = (−1, −2,1) a − b = (2, −3,5) − (−3,1, −4) = (5, −4,9) 8a = 8× (2, −3,5) = (16, −24, 40)
5.已知m = (8,3, a), n = (2b, −6,5) ,若m n 已知 若 则a=_____,b=______.
例题3: 例题 (1)已知 已知A(1,0,2),B(0,1,-2),C(0,0,3),若四边 若四边 已知 是平行四边形,求点 的坐标. 形ABCD是平行四边形 求点 的坐标 是平行四边形 求点D的坐标 (2)已知 已知A(1,0,1),B(2,4,1),C(2,2,3), 已知 D(10,14,17),试判断 试判断A,B,C,D四点是否共面 四点是否共面. 试判断 四点是否共面 已知A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10), 变:已知 已知 D(8,4,9),试证明 四边形 试证明:四边形 是梯形. 试证明 四边形ABCD是梯形 是梯形
空间向量的坐标表示
1、空间向量基本定理： 空间向量基本定理： 如果三个向量 a、、不共面， 那么对空间任一 b c 不共面， 向量 p ， 存在唯一的有序实数组{x,y,z} {x,y,z}， 存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使得
p = x a + yb + z c
空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。
本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。
有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。
用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。
1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。
相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。
例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。
1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。
空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。
例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。
二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。
在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。
空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解1---空间向量及其运算(解析版)
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解 01空间向量及其运算+空间向量基本定理+空间向量及其运算的坐标表示一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 回路法求模与夹角知识点2 共线与共面知识点3 空间向量基本定理知识点4 建系设点二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 回路法求模与夹角例1．（2021·湖北省直辖县级单位·高二阶段练习）如图，平行六面体ABCD A B C D ''''-，其中4AB =，3AD =，3AA '=，90BAD ∠=︒，60BAA '∠=︒，60DAA '∠=︒，则AC '的长为________【详解】根据题意，''AC AC CC AB BC AA =+='++'AC AB BC AA ∴=++'根据题中的数据可知，()()()()2'22'2'2222'2?··433243cos9033cos 6043cos 6055AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA AC AB BC AA ++=+++++=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒=∴=++=名师点评：回路法求模，比如AD AB BC CD =++,则有22||()AD AB BC CD =++。
也如本例中：AC AB BC CC '=+'+，特别提醒：找向量夹角时，注意共起点才能找夹角，当两个向量不共起点时，需平移成共起点条件下找夹角.例2．（2021·重庆南开中学高二阶段练习）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60︒，则AC 与1BD 所成角的余弦值___________.【详解】 因为111,AC AB AD BD AD AB AA AD AB =+=-=+-，所以()()()()111AC BD AB AD AA AD AB AB AD AA AD AB ⋅=+⋅+-=+⋅+-，2211AB AA AB AD AA AD =⋅-+⋅+， 2222cos60222cos6024=⨯⨯-+⨯⨯+=， ()22222AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+， 222222cos60212=+⨯⨯⨯+=，所以23AC =()2211BD AA AD AB =+-，222111222AA AD AB AA AD AA AB AD AB =+++⋅-⋅-⋅，222222222cos60222cos60222cos60=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯， 8= 所以122BD =设AC 与1BD 所成的角为θ,所以111cos cos ,2AC BD AC BD AC BD θ⋅====⋅. 名师点评：利用向量求异面直线所成角时注意：①0,a b π≤<>≤，利用公式cos ,||||a b a b a b ⋅<>=，求出的cos ,a b <>可正可负可为零；②异面直线a ，b 所成角02πθ<≤，在利用向量求异面直线所成角时注意转化cos |cos ,|a b θ=<>. 知识点2 共线与共面例1．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC=+，则41m n+的最小值为______． 【答案】9【详解】 D 是线段BC 上一点，B ∴，C ，D 三点共线，AD mAB nAC =+，1m n ∴+=，且0m >，0n >，∴14()()52459441n m n m n m n m n m+=++=+++=， 当且仅当4m n n m=时取等号． ∴41m n+的最小值为9．故答案为：9．练习1-1．（2021·广东深圳·高三阶段练习）如图，在ABC ∆中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB AC ，所在的直线分别交于点M N ，若AM AB λ=，,(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为__________．【答案】1 【详解】 BP BA AP =+，PC PA AC =+，又2BP PC =，∴()2AB AP AC AP -+=-， ∴12123333AP AB AC AM AN λμ=+=+， 又P 、M 、N 三点共线， ∴12133λμ+=，∴12122()11333333μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当233μλλμ=，即1233λμ==时取等，∴λμ+的最小值为1故答案为：1练习1-2．（2021·全国·高二单元测试）已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使OA λ+mOB +nOC =0，那么m n λ++的值为________.【答案】0【详解】因A ，B ，C 三点共线，则存在唯一实数k 使AB k AC =，显然0k ≠且1k ≠，否则点A ，B 重合或点B ，C 重合，则()OB OA k OC OA -=-，整理得：(1)0k OA OB kOC -+-=，令λ=k -1，m =1，n =-k ，显然实数λ，m ，n 不为0，因此，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA +m OB +n OC =0，此时λ+m +n = k -1+1+(-k )=0， 所以λ+m +n 的值为0.故答案为：0另解：由A ，B ，C 三点共线，且OA λ+mOB +nOC =0⇒mnOA OB OC λλ=--()10mn m n m n λλλλ⇒-+-=⇒+=-⇒++= 名师点评：①空间中三点,,P A B 共线⇔PA PB λ=;②空间中三点,,P A B 共线⇔对于空间中任意一点O ,(1)OP OA OB λμλμ=++=合理的利用好三点共线向量的充要条件，在解题时可以迅速得出结论。
空间向量及其运算和空间位置关系(含解析)
归纳与技巧：空间向量及其运算和空间位置关系基础知识归纳一、空间向量及其有关概念OP＝x OA＋y OB＋z OC且x＋二、数量积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.2．向量的坐标运算三、平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一的．基础题必做1．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是()A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥b D．以上都不对解析：选C∵c＝(－4，－6,2)＝2a，∴a∥c.又a·b＝0，故a⊥b.2．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}解析：选C若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．3．(教材习题改编)下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0；②若MB＝x MA＋y MB，则M、P、A、B共面；③若p＝x a＋y b，则p与a，b共面．其中正确的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：选D可判断①②③正确．4．在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________(用a，b，c表示)．解析：如图，OE＝12OA＋12OD＝12OA ＋14OB ＋14OC ＝12a ＋14b ＋14c . 答案：12a ＋14b ＋14c5．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2；②1A C ·(11A B －1A A )＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1AA ·AD |.其中正确命题的序号是________．解析：设正方体的棱长为1，①中(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2＝3，故①正确；②中11A B －1A A ＝1AB ，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但1AD 与1A B 的夹角为120°，故③不正确；④中|AB ·1AA ·AD |＝0.故④也不正确．答案：①②解题方法归纳1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．2．直线的方向向量与平面的法向量的确定：(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB 为直线l 的方向向量，与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.空间向量的线性运算典题导入[例1] 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中G 为△A 1BD 的重心，设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，试用a ，b ，c 表示1AC ，AG .[自主解答] 1AC ＝AB ＋BC ＋1CC ＝AB ＋AD ＋1AA ＝a ＋b ＋c .AG ＝1AA ＋1A G＝1AA ＋13(1A D ＋1A B )＝1AA ＋13(AD －1AA )＋13(AB －1AA )＝131AA ＋13AD ＋13AB ＝13a ＋13b ＋13c .本例条件不变，设A 1C 1与B 1D 1交点为M ，试用a ，b ，c 表示MG . 解：如图，MG ＝1MA ＋1A G＝－12(11A B ＋11A D )＋13(1A D ＋1A B )＝－12a －12b ＋13(AD －1AA )＋13(AB －1AA )＝－12a －12b ＋13b －13c ＋13a －13c＝－16a －16b －23c解题方法归纳用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则．以题试法1.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，若OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵OG ＝OM ＋MG ＝12OA ＋23MN＝12OA ＋23(ON －OM ) ＝12OA ＋23ON －23OM ＝12OA ＋23×12(OB ＋OC )－23×12OA ＝16OA ＋13OB ＋13OC ∴x ，y ，z 的值分别为16，13，13.答案：16，13，13共线、共面向量定理的应用典题导入[例2] 如右图，已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，E 、F 、G 、H 分别是棱A ′D ′、D ′C ′、C ′C 和AB 的中点，求证E 、F 、G 、H 四点共面．[自主解答] 取ED '＝a ，EF ＝b ，EH ＝c ，则HG ＝HB ＋BC ＋CG ＝D F '＋2ED '＋12AA '＝b －a ＋2a ＋12(AH ＋HE ＋EA ')＝b ＋a ＋12(b －a －c －a )＝32b －12c ，∴HG 与b 、c 共面．即E 、F 、G 、H 四点共面． 解题方法归纳应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面PA ＝λPB 且同过点P MP ＝x MA ＋y MB对空间任一点O，OP＝OA→＋t AB对空间任一点O，OP＝OM＋x MA＋y MB对空间任一点O，OP＝x OA＋(1－x)OB对空间任一点O，OP＝x OM＋y OA＋(1－x－y)OB以题试法2.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法，求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.证明：(1)连接BG，则EG＝EB＋BG＝EB＋12(BC＋BD)＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH，由共面向量定理知：E、F、G、H四点共面．(2)因为EH＝AH－AE＝1 2AD－12AB＝12(AD－AB)＝12BD，又因为E、H、B、D四点不共线，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.利用空间向量证明平行或垂直典题导入[例3]已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，边长为2a，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .[自主解答] 依题意，以AC 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为z 轴，过点A 且垂直于AC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．∵F 为CD 的中点，∴F ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.(1)易知，AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，BE ＝(a ，3a ，a )，BC ＝(2a,0，－a )，∵AF ＝12(BE ＋BC )，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)∵AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，CD ＝(－a ，3a,0)，ED ＝(0,0，－2a )，∴AF ·CD ＝0，AF ·ED ＝0， ∴AF ⊥CD ，AF ⊥ED ，即AF ⊥CD ，AF ⊥ED . 又CD ∩ED ＝D ，∴AF ⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .解题方法归纳利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．(1)设直线l 1的方向向量v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量v 2＝(a 2，b 2，c 2)． 则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )． l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v ⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)．(3)设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.以题试法3． 如图所示的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：D 1O ⊥平面AB 1C .证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)、D 1(0,0，2)， ∴1OD ＝(－1，－1，2)， 又点B (2,2,0)，M (1,1，2)， ∴BM ＝(－1，－1，2)， ∴1OD ＝BM ， 又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连接OB 1.∵1OD ·1OB ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD ·AC ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴1OD ⊥1OB ，1OD ⊥AC ， 即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ，又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C .1． 若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析：选D 若l ∥α，则a ·n ＝0.而A 中a ·n ＝－2， B 中a ·n ＝1＋5＝6，C 中a ·n ＝－1， 只有D 选项中a ·n ＝－3＋3＝0.2．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627 B.637 C.607D.657解析：选D 由题意得c ＝t a ＋μ b ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.3.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则下列向量中与BM 相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 解析：选A BM ＝1BB ＋1B M ＝1AA ＋12(AD －AB )＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .4. 如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA ，BC 〉的值为( ) A ．0 B.12 C.32D.22解析：选A 设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ， 由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA ·BC ＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b＝12|a ||c |－12|a ||b |＝0，∴cos 〈OA ，BC 〉＝0. 5． 平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB 、AD 、1AA 两两的夹角均为60°，且|AB |＝1，|AD |＝2，|1AA |＝3，则|1AC |等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8解析：选A 设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则1AC ＝a ＋b ＋c ， 1AC 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·c ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25， 因此|1AC |＝5.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ ＝λMN 的实数λ的值有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C 建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2， 则P (x ，y,2)，O (1,1,0)， ∴OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x ＋12，y ＋12，1，又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)， 而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3， ∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1. ∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ.7．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是________．①OM ＝2OA －OB －OC ；②OM ＝15OA ＋13OB ＋12OC ；③MA ＋MB ＋MC ＝0；④OM ＋OA ＋OB ＋OC ＝0.解析：∵MA ＋MB ＋MC ＝0，∴MA ＝－MB －MC ，则MA 、MB 、MC 为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面．答案：③8.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．解析：以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴1B E ＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB ＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，故若B 1E ⊥平面ABF ，只需PB ―→·1B E ＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1. 答案：19.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB的中点，cos 〈DP ，AE 〉＝33，若以DA 、DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．解析：设PD ＝a ，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫1，1，a 2. ∴DP ＝(0,0，a )，AE ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，a 2. 由cos 〈DP ，AE 〉＝33， ∴a 22＝a 2＋a 24·33，∴a ＝2. ∴E 的坐标为(1,1,1)．答案：(1,1,1)10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ；(2)PD ⊥平面ABE .证明：AB 、AD 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)．(1)∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴C ⎝⎛⎭⎫12，32，0，E ⎝⎛⎭⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC ·CD ＝0， 即y ＝233，则D ⎝⎛⎭⎫0，233，0， ∴CD ＝⎝⎛⎭⎫－12，36，0.又AE ＝⎝⎛⎭⎫14，34，12， ∴AE ·CD ＝－12×14＋36×34＝0， ∴AE ⊥CD ，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD ＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1. 又AE ·PD ＝34×233＋12×(－1)＝0， ∴PD ⊥AE ，即PD ⊥AE .∵AB ＝(1,0,0)，∴PD ·AB ＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面AEB .法二：AB ＝(1,0,0)，AE ＝⎝⎛⎭⎫14，34，12， 设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD ＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1，显然PD ＝33n . ∵PD ∥n ，∴PD ⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .11．已知矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝62，E 为AD 的中点(图甲)．沿BE 将△ABE 折起，使二面角A －BE －C 为直二面角(图乙)，且F 为AC 的中点．(1)求证：FD∥平面ABE；(2)求证：AC⊥BE.证明：(1)如图1，设M为BC的中点，连接DM、MF.∵F为AC的中点，M为BC的中点，∴MF∥AB.又∵BM綊DE，∴四边形BMDE为平行四边形，∴MD∥BE.∵MF∩MD＝M，AB∩BE＝B，∴平面DFM∥平面ABE.又∵PD⊂平面DFM，FD⊄平面ABE，∴FD∥平面ABE.(2)在矩形ABCD(如图2)中，连接AC，交BE于G.BE·AC＝(BA＋AE)·(AB＋BC)＝－AB2＋AE·BC＝－36＋36＝0.∴AC⊥BE.∴在图3中，AG⊥BE，CG⊥BE.又∵AG∩GC＝G，∴BE⊥平面AGC.又∵AC⊂平面AGC，∴AC⊥BE.12．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝3，BC＝4.(1)求证：BD⊥PC；(2)设点E在棱PC上，PE＝λPC，若DE∥平面P AB，求λ的值．解：(1)证明：如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交BC于点F，以D为坐标原点，DA、DF、DP所在的直线分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (1，3，0)，D (0,0,0)，C (－3，3，0)．(1)设PD ＝a ，则P (0,0，a )，BD ＝(－1，－3，0)，PC ＝(－3，3，－a )，∵BD ·PC ＝3－3＝0，∴BD ⊥PC . (2)由题意知，AB ＝(0，3，0)，DP ＝(0,0，a )，PA ＝(1,0，－a )，PC ＝(－3，3，－a )，∵PE ＝λPC ，∴PE ＝(－3λ，3λ，－aλ)，DE ＝DP ＋PE ＝(0,0，a )＋(－3λ，3λ，－aλ)＝(－3λ，3λ，a －aλ)．设n ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ AB ·n ＝0，PA ·n ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3y ＝0，x －az ＝0.令z ＝1，得x ＝a ，∴n ＝(a,0,1)，∵DE ∥平面P AB ，∴DE ·n ＝0，∴－3aλ＋a －aλ＝0，即a (1－4λ)＝0，∵a ≠0，∴λ＝14.1．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2,4 D ．4，407，－15 解析：选B ∵AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， 即3＋5－2z ＝0，得z ＝4.又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC ＝(3,1,4)，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝407，y ＝－157.2．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP ＝OA ＋t AB ，其中0<t <1，则有( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段BA 的延长线上D ．点P 不一定在直线AB 上解析：选A ∵0<t <1，∴P 点在线段AB 上．3．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点．求证：(1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明：(1)如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)、A (2,0,0)、C (0,2,0)、C 1(0,2,2)、E (2,2,1)、F (0,0,1)，所以1FC ＝(0,2,1)，DA ＝(2,0,0)，AE ＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的一个法向量，则n 1⊥DA ，n 1⊥AE ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DA ＝2x 1＝0，n 1·AE ＝2y 1＋z 1＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1. 令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．因为1FC ·n 1＝－2＋2＝0，所以1FC ⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)由(1)得B 1(2,2,2)，11C B ＝(2,0,0)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量，则n 2⊥1FC ，n 2⊥11C B ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·1FC ＝2y 2＋z 2＝0，n 2·11C B ＝2x 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，则y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)．因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .1.已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A ，B ，AC ，BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB 的线段，且AB＝4 cm ，AC ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，则CD 的长为________．解析：设BD ＝a ，AB ＝b ，AC ＝c ，由已知条件|a |＝8，|b |＝4，|c |＝6，〈a ，b 〉＝90°，〈b ，c 〉＝90°，〈a ，c 〉＝60°，|CD |2＝|CA ＋AB ＋BD |2＝|－c ＋b ＋a |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝68，则|CD |＝217. 答案：217 cm2.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CD ＝∠C 1CB ＝∠BCD ＝60°.(1)求证：C 1C ⊥BD ；(2)当CD CC 1的值是多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． 解：(1)证明：设CD ＝a ，CB ＝b ，1CC ＝c ，由已知|a |＝|b |，且〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，BD ＝CD －CB ＝a －b ，1CC ·BD ＝c ·(a －b )＝c ·a －c ·b ＝12|c ||a |－12|c ||b |＝0，∴1C C ⊥BD ，即C 1C ⊥BD . (2)若A 1C ⊥平面C 1BD ，则A 1C ⊥C 1D ，1CA ＝a ＋b ＋c ，1C D ＝a －c .∴1CA ·1C D ＝0，即(a ＋b ＋c )·(a －c )＝0. 整理得：3a 2－|a ||c |－2c 2＝0，(3|a |＋2|c |)(|a |－|c |)＝0，∴|a |－|c |＝0，即|a |＝|c |. 即当CD CC 1＝|a ||c |＝1时，A 1C ⊥平面C 1BD . 3.如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 、G 分别是线段P A 、PD 、CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .证明：∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，∴AB 、AP 、AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)、B (2,0,0)、C (2,2,0)、D (0,2,0)、P (0,0,2)、E (0,0,1)、F (0,1,1)、G (1,2,0)．∴PB ＝(2,0，－2)，FE ＝(0，－1,0)，FG ＝(1,1，－1)，设PB ＝s FE ＋t FG ，即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.∴PB ＝2FE ＋2FG ，又∵FE 与FG 不共线，∴PB 、FE 与FG 共面．∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .。