第二章函数、导数及其应用第二节函数的定义域和值域

[自主解答]
解得
－1<x<0 或 0<x≤2.
[答案] B
三、考点分析，把脉高考
思考：
1 本 例 中 函 数 变 为 “f(x) ＝ ＋ x＋1 lg 4－x2”求 f(x)的定义域．
x＋1≠0， 解：由题意可得 2 4 － x >0， x＋1≠0， 即 2 4 － x >0， x≠－1， ∴ －2<x<2，
[自主解答]
f(a)的值域为(－1，＋∞)，由－b2＋4b－3>－1
解得 2－ 2<b<2＋ 2.
[答案] B
三、考点分析，把脉高考
[ 冲关锦囊] 求解定义域为 R 或值域为 R 的函数问题时，都是依据题意， 对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进行解决，而解决不 等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有 时还可利用数形结合法．
4 4 (2)∵x<0，∴ x＋ ＝－－x－ ≤－4， x x
当且仅当 x＝－2 时等号成立． ∴y∈(－∞，－4]．∴函数的值域为(－∞，－4]．
三、考点分析，把脉高考
(3)法一：(换元法)令 1－t2 1－2x＝t，则 t≥0 且 x＝ ， 2 1－t2 1 于是 y＝ －t＝－ (t＋1)2＋1， 2 2
四、当堂训练，针对点评
[ 巧练模拟]
x－4 1． (2013· 福建四地六校联考)若函数 f(x)＝ 2 的定义域为 mx ＋4mx＋3 R，则实数 m 的取值范围是 A．(－∞，＋∞) 3 C．( ，＋∞) 4 3 B．(0， ) 4 3 D．[0， ) 4 ( )
解析：①m＝0 时，分母为 3，定义域为 R. m≠0， ②由 Δ<0， 3 得 0<m< . 4 3 综上得 0≤m< . 4
四、当堂训练，针对点评
6．(2013· 漳州一中期末)若函数 f(x)＝lg(ax2＋3x＋1)的值域为 R，则实数 a 的取值范围为________．
解析：(1)当 a＝0 时，f(x)＝lg(3x＋1)满足题意． (2)当 a≠0 时，f(x)＝lg(ax2＋3x＋1)满足 a>0， a>0， 9 9 即 解得 0<a≤ .综上可得 0≤a≤ . 4 4 Δ ≥ 0 ， 9 － 4a ≥ 0 ，
三、考点分析，把脉高考
(4)换元法，用换元法时一定要注意新变元的范围； (5)单调性法，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别 是闭区间上的函数的最值问题； (6)导数法．
三、考点分析，把脉高考
与函数定义域、值域有关的参数问题
[ 精析考题] [例 3] 已知函数 f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有 f(a)＝ g(b)，则 b 的取值范围为 A．[2－ 2，2＋ 2 ] C．[1,3] B．(2－ 2，2＋ 2 ) D．(1,3) ( )
1 ＋1)的定义域为－1，－2.
答案：B
四、当堂训练，针对点评
[ 巧练模拟]
3．(2013· 北京高考) 函数 f ( x)

x , x 1 log1
2x , x 1
2
的值域为________．
解析：函数 y＝log 1 x 在(0，＋∞)上为减函数，当 x≥1 时，函数
二、复习巩固，任务驱动
通过本节的复习你能掌握函数的定义域 和值域的基础知识及考点吗？
三、考点分析，把脉高考
考点一 求函数的定义域 考点二 求函数值域 考点三 与函数定义域、值域有关的参数问 题
三、考点分析，把脉高考
求函数的定义域
[精析考题] [例 1] 1 (2012· 山东高考)函数 f(x)＝ ＋ lnx＋1 B．(－1,0)∪(0,2] 4－x2的定义域为 ( A．[－2,0)∪(0,2] C．[－2,2] D．(－1,2] x＋1>0， x>－1， x 满足x＋1≠1， 即x≠0， 2 4－x ≥0， －2≤x≤2. )
第二节函数的定义域和值域（2课时）
一、导学提示，自主复习 二、复习巩固，任务驱动 三、考点分析，把脉高考 四、当堂训练，针对点评 五、课堂总结，布置作业
一、导学提示，自主复习
1.本节备考方向
第二节 函数的定义域和值域
[备考方向要明了]
考 什 么
1.了解定义域、值域是构成函数的要素．
2.会求一些简单函数的定义域和值域.

y y 4ac b 4a
2
；当 a＜0 时，值域为

y y 4ac b 4a
2
.
二、复习巩固，任务驱动
k ③y＝x(k≠0)的值域是 {y|y≠0} ． ④y＝ax(a>0 且 a≠1)的值域为{y|y>0} ． ⑤y＝logax(a>0 且 a≠1)的值域是 R . ⑥y＝sin x，y＝cos x 的值域是 [－1,1] ． ⑦y＝tan x 的值域是 R .
9 答案：0，4
五、课堂总结，布置作业
1．课堂总结： （1）涉及知识点：
函数的定义域和值域。
（2）涉及数学思想方法： 函数与方程思想、转化与化归思想、分类与整合 思想、数形结合思想、待定系检测P189（五） 函数的定义域和值域 3.预习任务：第二章函数、导数及其应 用第三节函数的单调性和最值 （P12-P14）
∴f(x)定义域为(－2，－1)∪(－1,2)．
三、考点分析，把脉高考
[ 冲关锦囊] 求具体函数 y＝f(x)的定义域
函数给出的方式 列表法 图象法 解析法 实际问题
确定定义域的方法 表中实数x的集合 图象在x轴上的投影所覆盖实数x的集合 使解析式有意义的实数x的集合 由实际意义及使相应解析式有意义的x的集 合
答案：D
四、当堂训练，针对点评
2． (2013· 全国大纲卷) 已知函数 f(x)的定义域为(－1,0)， 则函数 f(2x ＋1)的定义域为 A．(－1,1) C．(－1,0)
1 B.－1，－2 1 D.2，1
(
)
1 解析： 对于 f(2x＋1)， －1<2x＋1<0， 解得－1<x<－ ， 即函数 f(2x 2
π xx≠kπ＋ ，k∈Z 2 .
(7)实际问题中的函数定义域， 除了使函数的解析式有意义外， 还要考虑实际问题对函数自变量的制约．
二、复习巩固，任务驱动
2．函数的值域 (1)在函数概念的三要素中，值域是由 定义域 和 对应关系 所 确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的作用， 又要特别注意定义域对值域的作用． (2)基本初等函数的值域 ①y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R . ②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当 a>0 时，值域为
1 1 由于 t≥0，所以 y≤ ，故函数的值域是－∞，2. 2
法二：(单调性法)容易判断 f(x)为增函数，而其定义域应满足
1 1 1 1－2x≥0，即 x≤ ，所以 y≤f2＝ ， 2 2 1 即函数的值域是－∞，2.
三、考点分析，把脉高考
[ 冲关锦囊] 函数的值域是由其对应关系和定义域共同决定的．常用的求 解方法有 (1)基本不等式法，此时要注意其应用的条件； (2)配方法，主要适用于可化为二次函数的函数，此时要特别 注意自变量的范围； (3)图像法，对于容易画出图形的函数最值问题可借助图像直 观求出；
三、考点分析，把脉高考
求函数值域
[ 精析考题] [例 2] 求下列函数的值域．
1－x2 (1)y＝ ； 1＋x2 4 (2)y＝x＋x(x<0)； (3)f(x)＝x－ 1－2x.
1－x2 2 2 [自主解答] (1)y＝ 2＝ 2－1，∵ 1＋x ≥1， 1＋x 1＋x
三、考点分析，把脉高考
2 ∴0< 2≤2. 1＋x 2 ∴－1< 2－1≤1，即 y∈(－1,1]．∴函数的值域为(－1,1]． 1＋x
x
1<x<1)，可得其值域为 R，故只有①②符合定义.
答案：B
四、当堂训练，针对点评
[ 巧练模拟] 5．(2013· 泉州模拟)若函数 f(x)＝ kx2－6kx＋k＋8的定义域为 R，则实数 k 的取值范围是________． 解析：由题意知，kx2－6kx＋(k＋8)≥0 的解集为 R.
(1)k＝0 时，8≥0 成立． k>0， (2)k≠0 时，成立的充要条件是 2 Δ ＝ 36k －4kk＋8≤0. 解得 0<k≤1.综上，k 的取值范围是[0,1]． 答案：[0,1]
四、当堂训练，针对点评
解析：分别判断各函数的值域，①
1 ≤1sin 2x＋1≤ 3 ，f(x)符合 2 2 2
“有界函数”的定义；②0≤ 1－x2≤1，也是“有界函数”；③
2 1－x － 1 f(x) ＝ 1 － 2 <1 ，不符合定义；④ f(x) ＝ lg ＝ lg (－ 1 ＋ x 1＋x
2
y＝log 1 x 的值域为(－∞， 0]； 函数 y＝2x 在 R 上是增函数， 当 x<1
2
时，函数 y＝2x 的值域为(0,2)，所以原函数的值域为(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
四、当堂训练，针对点评
4．(2013· 泉州五中模拟)已知定义域为 D 的函数 f(x)，若对任意 x ∈D，存在正数 M，都有|f(x)|≤M 成立，则称函数 f(x)是定义 域 D 上的“有界函数”，已知下列函数： ①f(x)＝sin x· cos x＋1；②f(x)＝ 1－x2；③f(x)＝1－2x；④f(x) 1－ x ＝lg ，其中“有界函数”的个数是 1＋ x A．1 C．3 B． 2 D．4 ( )