高三数学第一轮复习：抛物线

y
1 2
；
C、
x
1 8
；
D、
y
1 8
2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为 y 2 ，则抛物线的标准方程
是 x2 8y ；
3.抛物线 y x 2 的通径长是 1 ；
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【抛物线定义的应用】：
例 1 点 A(4,2) 是抛物线 y 2 8x 内一点，抛物线上的点 M 到 A 点的距
离与它到焦点的距离之和最小，求点 M 的坐标及最小距离。
dR
所以，点 M 到圆心 C(0,-3)的距离=点 M 到直线 y 3 的距离。
故点M的轨迹是以C点位焦点的抛物线。
动圆圆心 M 的轨迹方程 x 2 -12 y 。
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【课堂小结】： 1.抛物线的定义，标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法； 2.抛物线定义的应用。
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例 2.（1）已知抛物线经过点 M (2,1) ，求抛物线的标准方程；
2(k 2 2)
由 x1 x2 k 2 3 ，解得 k 2 ，
所以，焦点弦所在的直线方程是 2x y 2 0 。
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例 4. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， O 为 坐 标 原 点 . 已 知 曲 线 C 上 任 意 一 点
P(x , y) （其中 x 0 ）到定点 F (1, 0) 的距离比它到 y 轴的距离大 1，直
2、抛物线的焦半径：
若抛物线方程为 y 2 2 px( p 0) ，F 为其焦点， P(x0 , y0 ) 是抛物线上任
意一点，则线段 PF 叫抛物线的一条焦半径，且 PF
x0
p 2
；
3、抛物线的焦点弦：
若抛物线方程为 y 2 2 px( p 0) ，过焦点 F 弦 AB 叫抛物线的一条焦点
解： 设 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ,则 OAOB x1x2 y1y2
当
l
斜率不存在时，其方程为
x
1
，由
x y2
1 4x
解得
A(1,
2)
、
B(1,
2)
O A O B = 1 4 = 3
y k(x 1)
当
l
斜率存在时，设直线
l
:
y
k(
x
1)
，联立
y2 4x
，
消 y 得: k 2 x2 (2k 2 4)x k 2 0 , 此时 k 0, 且 4（k 2 2）2 - 4k 4 16k 2 16 0 ，
解： M (2,1) 在第二象限，
可设抛物线标准方程为： x2 2 py( p 0)或y2 2 px( p 0) 。
点M坐标代入，得：
p 2或p 1 4
抛物线标准x2方 4y程 或y2是 ： 1x 2
（2）求顶点在原点，焦点在直线 x 3y 15 0 上的抛物线的标准方程；
解： 令 y0,得 x1;5 令 x0,得 y5
弦，当 A(x1, y1)、B(x2 , y2 ) 时， AB x1x2 p ；
4、抛物线的通径：
垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫抛物线的通径，抛物线 y 2 2 px( p 0) 的
通径长 AB 2 p 。
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【小题检测】：
1.抛物线 y 2x 2 的准线方程是（ D ）
A、
x
1 2
；
B、
则有
x1x2
1，
x1 +x2
2k 2 k2
4
y 1 y 1 k 2 ( x 1 1 ) x 2 1 ( ) k 2 x 1 x 2 ( x 1 x 2 ) 1 -4
x1x2y1y23 综
OF x
yl
FO x
性 焦点 质 准线
范围 顶点
F p ,0
2
x
p
2
x0,yR
F p ,0
2
x
p
2
x0,yR
（ 0 , 0）
对称 x轴
轴
（方程中一精品次项是对称轴）
yF
O
x
l
F 0, p
2 y
p
2
y0,xR
y
l
OF x
F 0, p
2
y
p
y0,xR2
y轴
（方程中一次项是对称轴）
所以，当焦点是 F(15,0) 时，抛物线标准方程是： y2 60x 当焦点是 F(0，- 5) 时，抛物线标准方程是： x2 20y
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例 3. 若抛物线 y 2 4x 的焦点弦长为 5，求焦点弦所在的直线方程；
解： 设焦点弦的两个端点为 A(x1, y1 )、B(x2 , y2 ) ，
则 AB x1 x2 p 5 ， x1x2 3
第48讲 抛 物 线
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【知识点梳理 】：
定义 方程
平面上到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离 相等 的点的轨迹叫
抛物线，其中定点 F 叫抛物线的焦点，定直线 l 称为抛物线的准 线，点 F 在直线 l 外。
y 2 2 px( p 0) y 2 2 px( p 0) x 2 2 py( p 0) x 2 2 py( p 0)
当焦点弦 AB 斜率不存在时， 通径 AB 2p 4 5 ，不合；
当焦点弦AB斜率存在时， 设直线 AB 方程： y k(x 1) ，
联立
y
k(x 1) y2 4x
，消
y
，得：
k2x22 (k22 )xk20
此时 k 0, 且 4（k 2 2）2 - 4k 4 16k 2 16 0 ，
值；
（2） 若点 B(3,2) ，点 F 是抛物线的焦点，求 PB PF 的最小值。
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例 2 动圆 M 与定直线 y 2 相切，且与定圆 C : x2 ( y 3)2 1外切，求
动圆圆心 M 的轨迹方程。
解： 记动圆 M 半径为 R，d 是点 M 到定直线 y 2 的距离。
MC R 1
线 l 与曲线 C 相交于不同的 A, B 两点.
（1）求曲线 C 的轨迹方程；
解： 依题意知，动点 P 到定点 F(1,0) 的距离等于 P 到直线
x -1的距离，
所以，曲线 C 是以原点为顶点、 F(1,0) 为焦点的抛物线
∴ 曲线 C 方程是 y2 4x 。
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（2）若直线 l 经过点 F (1, 0) ，求 OA OB 的值；
l 解：
过点 A 作准线
的垂线，交抛物线于点 M，
y
A•M M
l N
则点 M 即为所求点。
FO
x
由题意可设：Mx0,2
代入抛物线方程，得： 22 8x0
x0
1 2
最小距 A离 N6
M( 1 ,2) 2
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【知识迁移】：
设 P 是曲线 y2 4x 上的一个动点 （1） 求点 P 到点 A(1,1) 的距离为点 P 到直线 x 1 的距离之和的最小