随机过程例题(课堂PPT)

2020/4/26
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4谱分析
例3 设随机序列X(n) = W(n) +W(n-1)，其中W(n)是高斯随
机序列，mW=0, RW(m)=2(m)，求X(n)的均值、自相关 函数和谱密度 GX () .
[解]
mX (n) E[X (n)] E[W (n) W (n 1)] 0
mZ (t) 0
n
RZ (s, t)
e 2 jk (st ) k
k 1
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3平稳过程
例1
• 设有随机相位过程 X (t) = a sin(t+)，a, 为常数， 为
(0, 2)上服从均匀分布的随机变量，试讨论随机过程 X (t) 的平稳性。
[解]
2
E[ X (t)] E[a sin(t )] a sin(t ) f ( )d
cos
RX ( )
RY (t,t
)(t)和 Y (t)均是平稳过程。
RXY (t, t ) E[ X (t)Y (t )] E{a cos(t )b sin[(t ) ]}
ab sin
2
RXY ( )
所以
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X
(t)和
Y
(t)
是联合平稳的。
0
a
2
sin(t )d 0
2 0
RX (t,t ) E[ X (t) X (t )]
2 a2 sin(t ) sin[(t ) ]d a2 cos
0 2
2
2020/4/26 因此 X (t)是平稳随机过程。
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3平稳过程
例2（白噪声序列）
• 设 { Xn , n = 0, 1, 2, } 是实的互不相关随机变量
相关函数：
RX
( )
a2 2
cos(0 )
平均功率： P RX (0) a2 2
(2)
E[ X
2 (t)]
E[a 2
cos2 (0t
)]
a2 2
a2
s in(2 0t )
X (t) 是非平稳过程
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平均功率： P lim 1 T E[ X 2 (t)]dt a2 2 T 2T T
2
2随机过程的基本概念
例 求在[0, 1]区间均匀分布的独立随机序列的均值
向量、自相关阵和协方差阵，设N=3。
解：
Xi 的一维概率密度函数为：
1, 0 x 1
f Xi (x) 0,
其它
Xi 的均值：
mXi E[ X i ]
- x f Xi (x)dx
1
1
x dx
0
2
Xi 的自相关函数：
0
1/12
0
0 0 1/12
3
2随机过程的基本概念
例3
n
设复随机过程 Zt Ak e jkt , t 0 ，其中A1,
k 1
A2,
…
,
An
是相互独立且服从
N(0,
2 k
)的随
机变量，1, 2, … , n 为常数，求 { Zt , t
0 } 的均值函数 mZ (t) 和相关函数 RZ (s, t) 。
2随机过程的基本概念
例1
• 已知随机相位正弦波 X (t) = a cos(t + )，其 中 a >0， 为常数，为在（0, 2）内均匀分
布的随机变量。 求随机过程 { X (t), t (0, ) } 的均值函数 mX (t) 和相关函数 RX (s, t) 。
mX (t) 0
RX
(s, t )
序列，且 E[Xn] = 0，D[Xn] = 2 ，试讨论随机序列的
平稳性 。
[解] 因为: (1) E[Xn] = 0
(2)
RX
(n, n
)
E[ X
n
X
n
]
2,
0,
0 0
故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关，
因此它是平稳随机序列。
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3平稳过程
例3
• 设有随机相位过程 X (t) = a cos(t+)，a, 为常数，
a2 2
c os [ (t
s)]
a2 2
c os
,
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( t s)
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2随机过程的基本概念
例2
• 设 X (t) 为信号过程，Y (t) 为噪声过程，令 W (t) = X (t) + Y (t)，
则 W (t) 的均值函数为 其相关函数为
mW (t) mX (t) mY (t)
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4谱分析
例2
• 已知平稳过程的相关函数为 RX ( ) ea cos(，0其) 中
a > 0, 0 为常数，求谱密度 GX () .
[解]
GX
()
2
0
e a
c os (0
) cos(
) d
0
e a
[c os (0
)
c os (0
)
]d
a
a
a2 ( 0 )2 a2 ( 0 )2
为(0, 2)上服从均匀分布的随机变量，试问 X (t) 是 否为各态历经过程。
E[X (t)]
2
a cos(t )
1
d 0
0
2
X (t) lim 1
T
a cos(t )dt 0
T 2T T
RX
( )
a2 2
cos(
)
X (t) X (t )
2020/4/26 故 X (t) 是为各态历经过程。
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4谱分析
[例1] 设有随机过程 X (t) = a cos(0t + )， 其中 a, 0
为常数， 在下列情况下，求 X (t) 的平均功率：
(1) 是在( 0, 2 ) 上服从均匀分布的随机变量；
(2) 是在( 0, /2 ) 上服从均匀分布的随机变量。
[解] (1) 随机过程 X (t) 是平稳过程，
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3平稳过程
[例4] 设有两个随机过程X (t) = a cos(t+) 和Y (t) = b sin(t+)，其中a, b, 为常 数， 为(0, 2)上服从均匀分布的随机变量，分析X (t)和Y (t)是否联合平稳。
[解] E[X (t)] E[Y (t)] 0
RX (t,t )
a2 2
rij
E[ X i X
j]
E[ E[
X X
2 i
]
i ]
1/ 3 E[ X j
, ]
1
/
4
,
i j i j
均值向量
自相关阵
协方差阵
1/ 2 MX 1/ 2
1/ 2
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1/ 3 1/ 4 1/ 4 RX 1/ 4 1/ 3 1/ 4
1/ 4 1/ 4 1/ 3
1/12 0 0
CX
RW (s,t) E[W (s)W (t)] E{[ X (s) Y (s)][ X (t) Y (t)]} E[ X (s) X (t)] E[ X (s)Y (t)]
E[Y (s) X (t)] E[Y (s)Y (t)]
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RX (s,t) RXY (s,t) RYX (s,t) RY (s,t)