中职数学等比数列前n项和课件
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等比数列的前n项和PPT课件
等比数列的前n项和ppt课件
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
xx年xx月xx日
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目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
等比数列的前n项和课件
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式用于计算数列中任意一项的值。公式中包含首项、公比和项数，通过这些参数可以 确定数列中任意项的值。
前n项和的定义
前n项和是指等比数列中前n个项的总和。它是数列中一段连续项的求和结果， 可以用来表示数列的部分特征和总体特征。
推导前n项和公式
我们可以通过数学推导，得出等比数列前n项和的具体公式，以解决求和问题，简化计算过程，提高效 率和准确性。
应用及拓展
等比数列的性质和应用非常广泛，不Байду номын сангаас在数学中有重要地位，还可以应用到其他学科和实际问题中。同 时，还可以拓展到无穷等比数列的求和问题。
总结
等比数列前n项和的基本概念和公式的掌握对学生的数学学习和应用都具有重 要意义。通过本次课件的学习，希望学生能够灵活运用相关知识解决实际问 题。
等比数列的前n项和课件
本课件将全面介绍等比数列的前n项和相关概念和求解方法，帮助学生更好地 应用数学知识。
什么是等比数列？
等比数列是一种数列，每一项与它前面的项的比相等。公比是这个比值，决 定了数列的增长方式和特征。
公比的概念和作用
公比是等比数列中的一个关键概念，它决定了数列连续项之间的比值关系。公比的大小对数列的增长速 度和特性产生重要影响。
等比数列及其前n项和 PPT课件
3. 等比中项 如果 a,G,b成等，比那数么列G叫做a与b的
等. 比中项
4. 等比数列的常用性质
(1)若{an}为等比数列，且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 ak·al=. am·an
(2)若{an},{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}, (an≠0),{a2n},{an·bn}, (b an1 n≠ 0)仍是等比数列.
而S4=1,S8-S4=2,所以
a17+a18+a19+a20=S4×24=1×24=16,故选B.
变式3-1
在等比数列{an}中，a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,则 m=( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
解析：am=a1a2a3a4a5=a53=(a1q2)5=q10=a11,故选C.
(1)求{an}的通项公式.
若等比数列{bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n项和
公式.
知识准备：1. 会用等差数列通项公式； 2.会用等比数列前n项和公式；
解：（1）设等差数列{an}的公差为d.因为a3=-6,a6=0,
所以
a1 a
2d 1 5d
解6,得
0,
【例4】已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且有Sn= (an+1)2.求证：数列{an}是等差数列.
1 4
分析:要证明{an}为等差数列，只需证明n≥2时an-an-1为定
证当当∴即值a明nn(.na≥==n：+21S时时n由a-nS， ，S-1nn)-aS=(1a=1n=n14-1-14 =(14aa(nan(14-a+12(-n1a1+-2n)a)-12=21,)n+20-,11.∴+)a22,1a=n1-2；an-1),
等比数列的前n项和-完整版PPT课件
22 2 2 2 2 2 2
16 17 18 19 20 2127 28 29 30 31
2 2 2 2 2 2 2 2.
32 33 34 35 36 37 38 39
2 2 2 2 2 2 2 2..
40 41 42 43 44 45 46 47
国王 ，我希望在 第1个格子里放1 颗麦粒，第2个格 子里放2颗，第3 个格子里放4颗 ，如此下去，每 个格子放的麦粒 数是前一格麦粒 数的2倍,第64个 格子放2 颗麦粒 ，请给我足够的
麦粒来实现。
没问题 ！！！
12 3 4 5 6 7
1222 222 2 8 9 10 11 12 13 14 15
你胃口太大了 ？国库空虚呀 ！还是提个简 单要求吧！
1+2+3+…+64=2080(千吨)
12345678 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64
国王奖励国际象棋发明者问题
我要重奖您，请 问有什么要求？
国王 ，请让我在第1个 格子里放1千吨麦粒，第 2个格子里放2千吨，第3 个格子里放3千吨 ，如 此下去，64个格子放64 千吨麦粒，请给我这些 麦粒！
12345678 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64
第6章第3节等比数列及其前n项和课件共66张PPT
等比数列基本量的运算 等比数列的判定与证明 等比数列性质的应用
第三节 等比数列及其前n项和
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 数学文化 课后限时集训
考点一 等比数列基本量的运算 等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q， n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．
∴{an＋bn}是首项为32，公比为34的等比数列，
两式相减，得an＋1－bn＋1＝14(an－bn)． 又∵a1－b1＝12≠0，
∴{an－bn}是首项为12，公比为14的等比数列．
第三节 等比数列及其前n项和
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 数学文化 课后限时集训
(2)由(1)得，an＋bn＝3234n－1，①
a11－qn
2142＝2，所以q＝2，所以Sann＝
1－q a1qn－1
＝22n－n－11＝2－21－n，故选B.]
第三节 等比数列及其前n项和
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 数学文化 课后限时集训
3．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m. [解] (1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，
第三节 等比数列及其前n项和
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 数学文化 课后限时集训
2．在等比数列{an}中，a3＝32，S3＝92，则a2的值为(
等比数列的前n项和ppt课件
等比数列前1 qn ) a1 anq
1 q
1 q
(q
1)
判 创设情境 类比探究 断
新知应用 归纳巩固
总结提升
是
5(1 1n )
非 555 5
0
11
n个
1 2 4 8 16
(2)n1 1 (1 22nn ) （ 2）n
1 (2)
n+1
创设情境 创类设比情探境究 新知应用 深化巩固 总结提升
求和 1+ a + a2 + a3 +
解
当a 0时，原式=1+0+0+ +0=1
当a 1时， 原式=1+1+ +1=n
当a 1时，原式= 1 1 an 1 a
+ an-1.
创设情境 类比探究 新知应用 深化巩固 总结提升
一个公式
Sn
a1
na1 (q 1)
(1 qn ) a1 anq
1 q
1 q
(q
1)
两种方法
错位相减 分类讨论
三种数学思想
类比 分类讨论 方程
作业 课本 选做1 选做2
1, 2, 22, 23, +30 S30 1 2 22 23
等比数列的前30项和
第一天给１万，每天 比前一天多给１万元，
连续一个月(30天)
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为前一天的
2倍．
, 229 229
=?
创设情境 类比探究 新知应用 深化巩固 总结提升
等比数列前n项和（一）
学习目标
1
学习 目标
2
等比数列的前n项和(优质课比赛)ppt课件
10
课堂小结
1、等比数列的前n项和公式； 2、前n项和的推导方法我们称之为错位相减法； 3、由 Sn .an ,q , a1 , n 知三而可求二。
最新课件
11
知能巩固
1.已知a1
27,
a9
1 ,(q 243
0),求S8
2.若等比数列1，1，1，...前n项和是63，求n
248
64
3.已知a1
a3
通项公式: an=a1• q n-1
最新课件
5
例题分析
例1 求等比数列 1 , 1 , 1 , 的前8项的和. 248
解:
a1
1,q1,n8 22
S8
1 2
1
1 2
8
1 1
2
Sn
a1(1 qn ) 1q
255 . 256
最新课件
6
S 1. 根据下列条件，求相应的等比数列 a n 的 n
等比数列的前n项和
最新课件
1
等差数列
等比数列
定义
an－an-1=d(n≥2)
an q a n1
(n≥2)
通项 公式 中项
an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
A= a b 2
an=a1·qn-1(q≠0) an=am·qn-m
G= a b
m+n=p+q
前n项和
am+an=ap+aq
10,
a4
a6
5 4
,
求S5
最新课件
12
作业: 课本P66 练习1、２、３
最新课件
13
谢谢大家
最新课件
等比数列的前n项和PPT优秀课件1
注意：在用公式时要注意对公比q进行讨论
作业
1、自己动手编题：
在等比数列﹛an﹜中
（1）已知……求Sn、 a1 （2）已知……求a1、an （3）已知……求q、n
Good bay…
2、P129 习题3.5: 1 3、思考题：
（1）用等比定理推导等比数列前n项和公式
（2）用迭加法推导等比数列前n项和公式 （3）用基本问题方法推导等比数列前n项和公式
a1 a n q 1 q ( q 1) Sn na ( q 1) 1
3.运用方程思想在a1,n,q ,an,sn五个量中知三求二
公式应用
1 1 1 例1 求等比数列 , , , 2 4 8
解:
P53例1，P54例2
的前8项的和.
注:由已知条件写出 a1,q,n,an以决定用计 算sn的哪个公式
[分析]：由于每天的钱数都是前一天的２倍，共 给３０天，每天所给的钱数依次为：
1 , 2 , 2 , 2 , , 2 .
它是以１为首项公比是２的等比数列， 王勇支出的钱为:(单位：分）
2
3
29
S 30 1 2 2 2 2 .
2 3
29
复习
1.等比数列的定义
S a a a (n 2) n 1 1 2 n 1
巩固练习
2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解： a 1 , q 2 , 1
4 10 1 ( 1 2 ) 1 ( 1 2 ) S 15 . S 1023 . 4 10 1 2 1 2
从第5项到第10项的和:
S S 1023 15 100 . 10 4
作业
1、自己动手编题：
在等比数列﹛an﹜中
（1）已知……求Sn、 a1 （2）已知……求a1、an （3）已知……求q、n
Good bay…
2、P129 习题3.5: 1 3、思考题：
（1）用等比定理推导等比数列前n项和公式
（2）用迭加法推导等比数列前n项和公式 （3）用基本问题方法推导等比数列前n项和公式
a1 a n q 1 q ( q 1) Sn na ( q 1) 1
3.运用方程思想在a1,n,q ,an,sn五个量中知三求二
公式应用
1 1 1 例1 求等比数列 , , , 2 4 8
解:
P53例1，P54例2
的前8项的和.
注:由已知条件写出 a1,q,n,an以决定用计 算sn的哪个公式
[分析]：由于每天的钱数都是前一天的２倍，共 给３０天，每天所给的钱数依次为：
1 , 2 , 2 , 2 , , 2 .
它是以１为首项公比是２的等比数列， 王勇支出的钱为:(单位：分）
2
3
29
S 30 1 2 2 2 2 .
2 3
29
复习
1.等比数列的定义
S a a a (n 2) n 1 1 2 n 1
巩固练习
2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解： a 1 , q 2 , 1
4 10 1 ( 1 2 ) 1 ( 1 2 ) S 15 . S 1023 . 4 10 1 2 1 2
从第5项到第10项的和:
S S 1023 15 100 . 10 4
等比数列的前n项和ppt教学课件
等比数列的前n项和
第1课时
一、新课导入:
求数列：1 2 22 23 263 ? 即 S 1 2 22 23 263， ①
2S 2 22 23 263 264， ② ②－①得 2S S 264 1, 即S 264 1.
由此对于一般的等比数列，其前 n 项和
例1 . 求等比数列1/2 ,1/4 ,1/8 ,…的前n项和
例2. 求和
(x 1) (x2
1 ) (xn
1 )
y
y2
yn
( x 0, x 1, y 1)
分析 : 拆项后构成两个等比数列的和的问 题, 这样问题就变得容易解决了 .
探索：
求和：Sn
1 2
2 4
3 4 8 16
ห้องสมุดไป่ตู้n 2n
.
设 an
小结
• 不用柔曼的音调来诉说个人的哀乐，也很少用热 烈的呼声来抒发对于旧世界的愤懑，而是用经过 锤炼的诗句，抒写旧中国农民的苦难与不幸，勤 劳与坚忍，让读者从咀嚼和回味中体会诗人深沉 的感情
臧克家正是以此独特的风格，为三十年代的诗坛吹来一阵清新的风，引起读者 的注意和重视
第2节，写扬鞭出发
• 前两句是虚写，刻画老 马的悲愤而又无望的心 理。后两句写实，“一 道鞭影”，活现出主人 的凶狠、无情。在这样 严酷的压迫下，在“前 面”等待老马的又是什 么呢？诗人给读者留下 了无限的想象空间。
老马的处境和命运特征
• 上阕:忍辱负重的命运和忠厚善良的性格. • 下阕:愚昧无知 ,麻木
错位相减的方
另法:用等比定理推导
因为
a2 a3 a4 an q
a1 a2 a3
an1
所以 a2 a3 a4 an q
第1课时
一、新课导入:
求数列：1 2 22 23 263 ? 即 S 1 2 22 23 263， ①
2S 2 22 23 263 264， ② ②－①得 2S S 264 1, 即S 264 1.
由此对于一般的等比数列，其前 n 项和
例1 . 求等比数列1/2 ,1/4 ,1/8 ,…的前n项和
例2. 求和
(x 1) (x2
1 ) (xn
1 )
y
y2
yn
( x 0, x 1, y 1)
分析 : 拆项后构成两个等比数列的和的问 题, 这样问题就变得容易解决了 .
探索：
求和：Sn
1 2
2 4
3 4 8 16
ห้องสมุดไป่ตู้n 2n
.
设 an
小结
• 不用柔曼的音调来诉说个人的哀乐，也很少用热 烈的呼声来抒发对于旧世界的愤懑，而是用经过 锤炼的诗句，抒写旧中国农民的苦难与不幸，勤 劳与坚忍，让读者从咀嚼和回味中体会诗人深沉 的感情
臧克家正是以此独特的风格，为三十年代的诗坛吹来一阵清新的风，引起读者 的注意和重视
第2节，写扬鞭出发
• 前两句是虚写，刻画老 马的悲愤而又无望的心 理。后两句写实，“一 道鞭影”，活现出主人 的凶狠、无情。在这样 严酷的压迫下，在“前 面”等待老马的又是什 么呢？诗人给读者留下 了无限的想象空间。
老马的处境和命运特征
• 上阕:忍辱负重的命运和忠厚善良的性格. • 下阕:愚昧无知 ,麻木
错位相减的方
另法:用等比定理推导
因为
a2 a3 a4 an q
a1 a2 a3
an1
所以 a2 a3 a4 an q
等比数列的前n项和(1)ppt课件
1
等比数列的定义:
an1 an
q
(q 0)
等比数列通项公式 : an a1qn1 (a1 0, q 0)
或an am qnm
等比数列的性质 : 若an是等比数列,
且m n p q (m,n, p,q N)
则有am an ap aq
2
国王能否满足发明者的要求？
各个格子里的麦粒数依次 是
8
例题：
例1、求下列等比数列前8项的和：
(1) 1 , 1 , 1 , 1 , ... 2 4 8 16 1
(2) a1 27 , a9 243 , q 0
9
课堂练习
1.根据下列各题中的条件,求出相应
等比数列 an的前n项和 Sn
( 1 ) a1 3, q 2, n 6
(2)
a1
8,
(1)- (2)得 (1 x)Sn 1 x x2 xn1 nxn
(1
x)Sn
1 (1 xn ) 1 x
nxn
又x
1, 所以
Sn
1 (1
xn x)2
nxn 1 x
14
错位相减法实际上是把一个数列求 和问题转化为等比数列求和的问题.
练习、求和：Sn
1 2
2 4
3 4 8 16
n. 2n
12
例2.某商场第一年销售计算机5000台, 如果平均每年的销售量比上一年增加 10%,那么从第一年起,约几年内可使总 销售量达到30000台(保留到各位)?
解: 根据题意,每年的销售量比上一年 增加的百分率相同 ,
所以从第一年起 ,每年的销售量组成一个 等比数列an,
a1 5000 q 110 % 1.1 Sn 30000
等比数列的定义:
an1 an
q
(q 0)
等比数列通项公式 : an a1qn1 (a1 0, q 0)
或an am qnm
等比数列的性质 : 若an是等比数列,
且m n p q (m,n, p,q N)
则有am an ap aq
2
国王能否满足发明者的要求？
各个格子里的麦粒数依次 是
8
例题：
例1、求下列等比数列前8项的和：
(1) 1 , 1 , 1 , 1 , ... 2 4 8 16 1
(2) a1 27 , a9 243 , q 0
9
课堂练习
1.根据下列各题中的条件,求出相应
等比数列 an的前n项和 Sn
( 1 ) a1 3, q 2, n 6
(2)
a1
8,
(1)- (2)得 (1 x)Sn 1 x x2 xn1 nxn
(1
x)Sn
1 (1 xn ) 1 x
nxn
又x
1, 所以
Sn
1 (1
xn x)2
nxn 1 x
14
错位相减法实际上是把一个数列求 和问题转化为等比数列求和的问题.
练习、求和：Sn
1 2
2 4
3 4 8 16
n. 2n
12
例2.某商场第一年销售计算机5000台, 如果平均每年的销售量比上一年增加 10%,那么从第一年起,约几年内可使总 销售量达到30000台(保留到各位)?
解: 根据题意,每年的销售量比上一年 增加的百分率相同 ,
所以从第一年起 ,每年的销售量组成一个 等比数列an,
a1 5000 q 110 % 1.1 Sn 30000
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乘以q
qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+ a1qn②
①－②
(1 － q)Sn=a1 － a1qn
等比数列前n项求和公式
当q≠1时，Sn= a1 1 qn 1 q
当q=1时， Sn=na1
知识应用，巩固新知
例
1、求等比数列1，2，4…的前6项的和。 2、求等比数列5，5，5…的前100项的和。 3、求等比数列3，－3，3，－3…的前8项的和。
强化训练，深化认识
1、求等比数列
1 2
，
1 4
，
1 8
…的前8项的和；
2、已知等比数列｛an｝中，a1=2，q=3，求S3；
3、请利用第2题的数据，自己编题，改为求a1或求q,并求解。
你相信吗？
◇印度有一古老传说：在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里，
一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候， 在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓梵 塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一 次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。当所有的金片 都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中
(q=1)
故事答案
S64=1+2+22+···+263 1 - 264
= 1- 2
=264－1 ≈1.84×1019 （粒）
1000粒小 麦约40克
约7亿吨﹗
按目前的平均产量计算，这竟然是全世 界两千年生产的全部小麦之和！！
课后作业，分层练习
必做： P104练习 3、（1）（2） 选作：
远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增， 共灯三百八十一， 请问尖头几盏灯？
消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。
你相信吗？
◇报纸比泰山高﹖
对折21次
学以致用
用数学的观点看问题，一些所 谓不可理解的事就可以给出合 理的解释，从而帮助我们用科 学的态度认识世界。
归纳总结
一种方法：特殊到一般 两个公式：
a1(1-q n) a1-anq
1-q =
1-q
Sn=
n·a1
(q=1)
教 师 寄 语：
机遇属于有准备的人
263
探究
设问：同学们，你们知道一共需要 多少小麦吗？
？ 1+ 2 + 22 + 23 + + 263 =
探探 究究
发明者要求的麦粒总数是：
S64=1+2+22+···+263
①
如果①式两边同乘以2得
2S64=2+22+23+···+263+264 ②
探究
S64=1+2+22+23+···+263
Hale Waihona Puke ①2S64= 2+22+23+···+263+264
②
两式上下相对的项完全相同
．s64 = 264 - 1
教学内容
等比数列的前n项和 （第一课时）
等比数列前n项求和公式
an=a1qn-1
Sn=a1+a2 + a3 +a4 + …+an Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1①