线性系统 复习
系统工程复习资料
一、填空1、线性规划的数学模型中，决策者对于实现目标的限制因素称为—约束条件O2、在可行解区中，通过各极点作与目标函数直线斜率相同的平行直线，这些平行直线称之为_等值线o3、线性规划数学模型中，实际系统或决策问题中有待确定的未知因素，称之为—变量一4、对于供求平衡的运输问题，表上作业法是在平衡表的基础上首先求出一个—初始调运方案5、图解法中，可行解区域内满意目标函数的解称之为—可行解—o6、通过一种数学的迭代过程，逐步求得线性规划多变量模型最优解的方法，称之为—单纯形法—O7、用单纯形法求解线性规划问题时，若约束条件是等于或小于某确定数值，则应在每个不等式中引入一个—松驰变量—o8、线性规划的图解法适用于—只含有2~3个变量的线性规划问题o9、若B是原规划的最优可行基，则最优单纯形乘子Y*=C B B-I是其对偶规划的一最优解—o10、在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为自由变量o11、在图论中，表示对象之间的某种特定的关系，通常用边或弧表示o12、原问题的第i个约束方程是型，则对偶问题的变量y是自由变量o13、在线性规划中，凡满意约束条件的解均称之_可行解—o14、单纯形法求解线性规划问题时，若要求得基础解，应令非基变量全为0 o15、使用线性规划单纯形法时，为了将模型转换成标准形式，我们可以在每个不等式中引入一个新的变量，这个新变量称一松驰变量C16、在线性规划的图解法中，全部可行解所分布的区域称之为可行解区—o17、在线性规划中，设约束方程的个数为m,变量个数为n, m<n时，我们可以把变量分为基变量和非基变量两部分，基变量的个数为_m个—o18、使目标值达到最优的可行解叫做—最优解—o19、假如实际运输问题的产销不平衡,为了转化为平衡的运输问题,我们可以虚设一个—产地或销地—O20、在产销平衡运输问题中，设产地为m个，销地为n个，那么基可行解中非零变量的个数(不能大于(m+n-l)o21、在一个网络中，假如图形是连通且不含圈的，则这种图形称之为—树—o22、关于线性规划问题，叙述正确的为其最优解若存在，在可行解中必有最优解—o23、使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当全部的检验数丐工。
线性系统复习
k1
y(k) CAk x0 C Ak j1Bu( j)
0
j0
CeAtx0 h(t)*u(t)
CAk x0 h(k)*u(k)
h (t )DCe At B
h(k )DCA k 1B
传递函 数阵
H ( s) C ( sI A) 1 B
H ( z ) C ( zI A)1 B
u(k) u(t)
u (t) u (k) k T t (k 1)T y(k)
u(t)
u(k) 保持器 u(t) x Ax Bu
y Cx Du y(u)
x(k1)G(xk)H(uk) y(k)C(xk)D(uk)
{x Ax Bu
定1.理 给定线性y 定 Cx D常 u x系 0)(x统 0 (1
2 ,G
e At
1
0
0.5(
1-e-2T ) e-2T
1 0
0.091
0.819
H (
T e At dt)B
T 1
0
0 0
0.5(
1-e-2t ) e-2t
dt
×10
0.5T 0.25e-2T -0.5e-2T 0.5
Bu (k )
(k
)
(1)
已知 x(k 0 ), 及 u(k) k k 0
k 1
x(k) A k-k 0 x(k 0 )
A k-i- 1 Bu(i)
i k0
若令 k 0 0 , 则有 :
k 1
x(k) A k x( 0 )
A k-i- 1 Bu(i)
信号与线性系统复习课用习题
第三、四章自测题解答一、 填空题：1、（1）)(1t f 的参数为VA s T s 1,1,5.0===μμτ，则谱线间隔为__1000__kHz, 带宽为___2000__kHz 。
（2）)(2t f 的参数为V A s T s 3,3,5.1===μμτ，则谱线间隔为___333__kHz, 带宽为_666__kHz 。
（3）)(1t f 与)(2t f 的基波幅度之比为___1：3____。
（4）)(1t f 的基波幅度与)(2t f 的三次谐波幅度之比为__1：1___。
2、由于周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数的系数具有收敛性，因此，当k →∞时，k a =0。
3、信号x (t)的频带宽度为B ，x(2t)的频带宽度为 ，x(t/2)的频带宽度为 .3、根据尺度变化性质，可得x(2t)的频带宽度为2B ，可得x(t/2)的带宽为B/2。
6、设f (t)的傅里叶变换为)(ωj F ，则)(jt F 的傅里叶变换为2f ()πω-。
7、单个矩形脉冲的频谱宽度一般与其脉宽τ有关，τ越大，则频谱宽度 越窄 。
8、矩形脉冲通过RC 低通网络时，波形的前沿和后沿都将产生失真，这种失真的一个主要的原因是RC 低通网络不是理想低通滤波器，脉冲中的高频成分被削弱 。
9、为满足信号无失真，传输系统应该具有的特性（1）H(j )ω=；（2）h(t)= 。
9、（1）0j t Ke ω-（K 为常数），（2）0K (t-t )δ（0t 为常数） 10、已知某个因果连续时间LTI 系统的频率响应为H(j )ω，则该系统对输入信号tj t j e a e a E t x 0011)(ωω--++=的响应为 . 10、系统对输入信号t j t j e a e a E t x 0011)(ωω--++=的响应为)()()0()(010100ωωωωj H e a j H e a j EH t y t j t j -++=--。
线性系统复习
完全能观V对连续时间线性时变系统和指定初始时刻九匚£如果存在一个时刻輕几f"*使系统以A W F为初始状态的输HVW恒为零，即HCmtreivj.则称非零状态「切在时刻如为不能观测;如果状态空闻中所有非塞状态在时刻f松都不为不能观测，则称系统在时刻如为完全能观瀝，不完全能观一致完全能观r如果系统对任意时刻均为完全能观測，即能观测性与初始时刻如的选取无关・则称系统为救S全能观测.完全能控判据对H维连续时间线性时不变系统，系统完全能控的充分必要条件为能控性判别矩阵S松=[5 AE,才鱼…才T R满秩，即ranliQ=ftn维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为:rank{Sf-A / Vs€ C或TOM耳人r-坨月]="&为系统特征值能控性指数令Q& =2炯…屮5对完全能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数为:"=使/71戚0=丹成立的最小正整数h完全能观判据对科维连续时间线性时不变系统，系统完全能观测的充分必要条件为能观测性判别矩阵CCA满秩，即fank Qf,=rt歼维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件;Sf-ACrank=/?V5E C或rank 人/一川C ZMy…4,为系统特征值= A(t)X + 5® Y 二 c(t)XI 屮r = —/厂⑴屮卩+ C 丁⑴/b =£「(f)屮 rP = \b Ab A^b …才比］能观性指数 宦义：令西=cCA完全能观测胖堆连续時间线性时不变系统的能观测性指数 定义为訂使"皿必0=/|"成立的最小正整数4离散系统能控 结论4 H 维离散时间线性时不变系统X 茁十1} = GVW 十切 系统完全能达的充分必要条件为矩阵久“乩他…”切馬秩 离散系统能观 结论8 «维离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要 条件为Q"* =c ' CG cc*-'对偶系统满秩能控标准型 比—|W6=严％©=eP兀=PrcinkQ^=r<n^尸1=尸=［如,血…4「丨Oz …,qJ于是可得能控子系统动态方程V = 4 rV 十岀沙厂十和 ”=百*不能控子系统动态方程丘点-兀2丫己Xl — C 2七zrank 0。
信号与线性系统知识点总复习
信号与线性系统知识点总复习1.信号的基本概念信号是电子信息工程中的重要概念，简单来说就是随时间（或空间）变化的物理现象。
信号可以分为连续信号和离散信号两种。
连续信号可以用函数表示，离散信号可以用数列表示。
2.常见信号的分类常见的信号类型包括连续时间信号、离散时间信号、周期信号、非周期信号、奇函数信号、偶函数信号等。
不同类型的信号在数学表示和性质上有所差异。
3.连续时间信号的基本性质连续时间信号可以通过振幅、频率、相位等参数来描述。
它们具有线性性质、时移性、尺度变换性质和时间反转性质。
这些性质对于信号的分析和处理都是重要的基础。
4.离散时间信号的基本性质离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，通常用数列表示。
离散时间信号具有线性性质、时移性、尺度变换性质和时间反转性质。
此外，离散时间信号还有抽样定理、离散时间傅立叶变换等重要概念。
5.线性系统的基本概念线性系统是输入和输出之间存在线性关系的系统，可以用线性常微分方程或差分方程表示。
线性系统具有叠加原理、时不变性、因果性等基本特性。
线性系统的频率响应是分析系统特性的重要工具。
6.线性时不变系统的冲激响应冲激响应是线性时不变系统的重要性质，它描述了系统对单位冲激输入的响应。
从冲激响应可以得到系统的频率响应、相位响应等信息。
7.线性时不变系统的频率响应频率响应描述了线性时不变系统对不同频率的输入信号的响应特性。
它可以通过线性时不变系统的冲激响应来计算，常用的方法有离散时间傅立叶变换、连续时间傅立叶变换、z变换等。
8.线性系统的稳定性分析稳定性是线性系统分析中的重要性质。
对于连续时间系统，稳定性可以通过系统的传递函数的极点位置来判断。
对于离散时间系统，稳定性可以通过系统的差分方程的极点位置来判断。
9.线性系统的频域分析频域分析是信号与系统分析中的重要方法，可以通过傅立叶变换、拉普拉斯变换和z变换等来将信号从时域转换到频域。
频域分析可以得到信号的频谱特性、频率响应等信息。
(NEW)吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第1章 信号与系统1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 名校考研真题详解第2章 连续系统的时域分析2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 名校考研真题详解第3章 离散系统的时域分析3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 名校考研真题详解第4章 傅里叶变换和系统的频域分析4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 名校考研真题详解第5章 连续系统的s域分析5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 名校考研真题详解第6章 离散系统的z域分析6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 名校考研真题详解第7章 系统函数7.1 复习笔记7.2 课后习题详解7.3 名校考研真题详解第8章 系统的状态变量分析8.1 复习笔记8.2 课后习题详解8.3 名校考研真题详解第1章 信号与系统1.1 复习笔记一、信号的基本概念与分类信号是载有信息的随时间变化的物理量或物理现象，其图像为信号的波形。
根据信号的不同特性，可对信号进行不同的分类：确定信号与随机信号；周期信号与非周期信号；连续时间信号与离散时间信号；实信号与复信号；能量信号与功率信号等。
二、信号的基本运算1加法和乘法f1（t）±f2（t）或f1（t）×f2（t）两信号f1（·）和f2（·）的相加、减、乘指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。
2．反转和平移（1）反转f（－t）f（－t）波形为f（t）波形以t＝0为轴反转。
图1-1（2）平移f（t＋t0）t0＞0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上左移t0；t0＜0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上右移t0。
图1-2平移的应用：在雷达系统中，雷达接收到的目标回波信号比发射信号延迟了时间t0，利用该延迟时间t0可以计算出目标与雷达之间的距离。
这里雷达接收到的目标回波信号就是延时信号。
3．尺度变换f（at）若a＞1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上压缩为原来的；若0＜a＜1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上扩展为原来的；若a＜0，则f（at）波形为f（t）的波形反转并压缩或展宽至。
总复习(信号与线性系统必过知识点)
( t0，t0 +T )
2）指数函数集 ejnt n 0,1,2, ,
( t0，t0 +T )
3.2 周期信号的傅里叶级数展开
（1） f(t)为奇函数 正弦分量
（2） f(t)为偶函数 （3） f(t)为奇谐函数 （4） f(t)为偶谐函数
余弦分量+直流分量 奇次谐波 偶次谐波+直流分量
rzi (0 ), r 'zi (0 ), rz(in1) (0 )
4） 将初值带入rzi(t)的通解表达式，求出待定系数。
例1：已知某系统激励为零，初始值r(0)=2， r’(0)=1，r”(0)=0，描述系统的传
输算子为 解：
H(
p)
2p2 8p 3 ( p 1)( p 3)2
当激励e(t)=3 ε(t) ，初始状态保持不变时，响应 r2(t)=(8e-2t -7e-3t) ε(t)。
求：（1）激励e(t)=0，初始状态x1(0-)=1， x2(0-)=2时的响应 r3(t)=？ （2）激励e(t)=2 ε(t)，初始状态为零时的响应r4(t)=？
解:
当激励e(t)= ε(t) ，初始状态x1(0-)=1， x2(0-)=2时， 响应
2
2
2
例2：计算
4
(2 4t)(t 2)dt
1
解：4 (2 4t)(t 2)dt 1
4 1 (t 1)(t 2)dt 0
14
2
注意积 分区间
1. 2 信号的运算
1）折叠：y(t)=f (-t) 2）时移：y(t)=f (t-to) 3）倒相：y(t)=-f (t) 4）展缩：y(t)=f (at) 其中：a>0
线性控制理论总复习(2012)
（1）
线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：
d ： T AT (t ) T C T (t ) T T BT (t ) T
（2）
式中： —协状态, n维行向量； —输出, p维行向量；
如果其状态空间描述具有如下形式
ˆ ˆ ˆ ˆ x Ao x bou
其中：
0 0 0 1 1 ˆ Ao 1 n-1
ˆ ˆ y co x
ˆ co 0 0 1
则称此状态空间描述为能观测规范形。
25
总复习：现代控制理论
2．PBH秩判据
i I A rank n; C
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据
4．约当规范型判据
13
总复习：现代控制理论
3. 对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x Ax x(0) x0 t0 y Cx
x (t ) L1 X ( s ) L1 (s A) 1[ x0 +B U ( s )]
9
总复习：现代控制理论
第4章 线性系统的可控性与可观测性
一、线性定常连续系统的可控性判据（※） 1．秩判据
rankQc rank B AB An 1 B n
2．PBH秩判据
rank i I A B n
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据 4．约当规范型判据
10
总复习：现代控制理论
3．对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x(t ) Ax(t ) Bu (t ) x(0) x0 t 0 完全能控的充分必要条件是：其对角线规范型
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5）坐标缩放性质（定标性质）—The scaling property
若: g(x) f (x) h(x)
6） 函数的卷积性质
则: f (ax) h(ax) 1 g(ax) a
f (x) (x) f ( ) (x )d f ( ) ( x)d f (x)
f (x) (x x0 ) f (x x0 )
2j
f0 ) (u
f0 )]
9．圆函数的FT
1 , r a
f
(r)
circ(
r a
)
1/ 2 0 ,
, r
r
a
a
1, r 1 f (r) circ(r) 1/ 2 , r 1
0 , r 1
FT[circ( r )] 2 a2 J1( 2a)
a
2a
FT[circ(r)] 2 J1( 2) 2
(a
2 f0 j2 u)2 (2
f0 )2
5)．平移性：
若： F(u, v) FT[ f (x, y)]
则：
FT[ f (x x0, y y0 )] exp[ j2 (ux0 vy0 )]F (u, v)
❖空域中的平移造成频域中频谱的相移。
❖光场复振幅不具有平移不变性。但强度具有平移不性。
0
1.2-3.3 FT存在及应用条件(Requirements)
1.2-3.4 广义FT (极限意义下的FT，及δ函数的FT)
lim 1. 极限意义下的FT f (x)
gn ( x)
n
FT f (x) limFT gn(x) limGn(u)
n
n
FT
[sgn(
j
u
x)]
lim
n
Fn
(u
则：f (x x1) h(x) g(x x1) f (x) h(x x2 ) g(x x2 )
f (x x1) h(x x2 ) g(x x1 x2 )
4）结合性(Associative)
[ f (x) h1(x)] h2 (x) f (x) [h1(x) h2 (x)]
2. 普通函数序列极限形式的定义
gn (x, y)dxdy 1
lim
n
gn (x, y) 0,
for x 0 and / or y 0
(x, y) limgn (x, y) n
1.2-2.2 函数的性质
设 f(x,y) 在（x0, y0）处连续，则有： 1. 筛选性质
(x x0 , y y0 ) f (x, y)dxdy f (x0 , y0 )
x0-a/2 0 x0 x0+a/2
2 sinc函数
sinc x x0 sin( (x x0 ) / a) , a (x x0 ) / a
3 三角函数(Triangle Function)
tri(
x
a
x0
)
1 0
x x0 a
for x x0 1, a
otherw is e
3) |Rfg(x,y)|2 <= Rff(0,0)·Rgg(0,0)，其中: 仅当 f(x,y) = k·g(x,y) 时，(k为复常数)，才可能取等号。
4) |Rff(x,y)| <= Rff(0,0) ❖自相关函数在原点处取最大值，且为正值。
4. 归一化互相关函数和自相关函数
fg (x, y)
a
n
a
7．周期函数的FT
设 f (x) 为周期函数，周期为 d0, 频率为 f0=1/d0，则
f (x) Cn exp( j2 nf0x)
n
1
其中：Cn
f0
f0 0
f (x) exp( j2nf0 x)dx
F(u) FT[ f (x)]
[
Cn exp( j2 nf0x)]exp( j2ux)dx
Rfg (x, y)
1
[Rff (0, 0) Rgg (0, 0)] 2
f *(, )g( x, y)dd
[
f (, ) 2dd
g
(
,
)
2d
d
]
1 2
f *( , ) f ( x, y)dd
ff
(x,
y)
Rff (x, y) Rff (0, 0)
f ( , ) 2d d
1 , 当u 0
j u
)
lim(
n
1 n2
j4u (2u
)2
)
0,
当u 0
1. 函数的FT FT[ (x)] 1 (x) 1
2．step(x)的FT FT[step(x)]
1 2
(u
)
j
u
3．comb(x/a)的FT , (a为正实数)
FT[comb( x )] FT[exp( j2 n x )] a comb(au)
f (x n) n
3卷积
g(x) f (x) h(x) f ()h(x )d
g(x, y) f (x, y)h(x, y) f (, )h(x , y )dd
其中 x, y 及 , 都是实变量，f , h可实可复。
卷积计算方法
具体求法大体可分四步：
卷积存在条件 物理上的可能性，就是其存在的充分条件。
10．有限余弦波列的FT(频谱)
rect( x 2T
) cos(2
f0 x)
T{[sinc[2(u
f0)T ] sinc[2(u
f0 )T ]}
11．半边指数函数的FT
exp(ax)step(x) 1 a 0
a j2 u
12．阻尼正弦波的FT
exp(ax)step(x) sin(2
j2 ux)du F(u) f (x) exp( j2 ux)dx
f (x) FT 1[F (u)]
F(u) FT[ f (x)]
1.2-3.2 二维傅立叶变换(2D-FT)
1. 直角坐标系下的2D-FT
F(u,v) f (x, y) exp[ j2 (ux vy)]dxdy
卷积的性质 1）线性性质(Distributive)—叠加性和均匀性
[af1(x) bf2 (x)] h(x) af1(x) h(x) bf2 (x) h(x)
2）可交换性(Commutative) f (x) h(x) h(x) f (x)
3）平移不变性(Shift invariance) 若： g(x) f (x) h(x)
tri ((x-x0)/a) 1
4 符号函数
1 sgn( x) 0
1
x
sgn(x)
x0-a 0 x0 x0+a
1
for x 0 for x 0 for x 0
0
x
-1
5 阶跃函数(Step Function)
1
step(
x
x0 a
)
1/ 0
2
for x x0 for x x0
for x x0
Rff (x, y) f *(, ) f ( x, y)dd f (x, y) f (x, y)
1）互相关与卷积的关系
Rfg (x, y) f (x, y) g(x, y) f *(x, y) g(x, y)
2）自相关与卷积的关系
Rff (x, y) f (x, y) f (x, y) f *(x, y) f (x, y)
F(u,v) FTf (x, y)
f (x, y) F(u,v) exp[ j2 (ux vy)]dudv
f (x, y) FT 1F (u, v)
f (x, y) F(u, v)
2. 极坐标系下的2D-FT
2
G(,) r g(r, ) exp[ j2 r cos( )]drd
1.1 线性系统
1线性系统： 若一个系统同时具有叠加性和均匀性，即有：
S{a1 f1(x1, y1) a2 f2 (x1, y1)} a1S{ f1(x1, y1)} a2S{ f2 (x1, y1)}
则称该系统是线性系统。 a1g1(x2 , y2 ) a2 g2 (x2 , y2 ) 2系统对点基元函数的输出响应叫做系统的脉冲响应或点扩散函
x 1 other
exp(a2 x2 ) exp[( u )2 ] exp[ 2 ( u )2 ]
a
a
a
a
(a 0)
8．余弦函数 cos(2 f0x) 和正弦函数 sin(2 f0x) 的FT
cos(2f0 x)
1 [ (u
2
f0 ) (u
f0 )]
sin(2f0 x)
1 [ (u
x
y
a
r
x
1.2-2.1 δ函数定义 1. 类似普通函数形式的定义
(x x0, y y0 ) 0
for x x0 and y y0 for x x0 and/or y y0
and (x x0, y y0 )dxdy 1
(x-x0, y-y0)
1 y0
0 x0
y x
5 相关运算的性质 1）互相关运算一般不具有可交换性
Rfg (x, y) Rgf (x, y) Rgf (x, y) R*fg (x, y)
显然，当 f, g 均为实函数时，有 ： Rgf (x, y) Rfg (x, y)
2）自相关函数具有厄密对称性 f(x, y) 是实函数
Rff (x, y) R*ff (x, y) Rff (x, y) Rff (x, y)
➢对于互相关有：0 fg (x, y) 1
只有当时f=g时，在原点处才可能等于1
➢对于自相关有：0 ff (x, y) 1
在原点上等于1
1.2-3 傅里叶变换