指数函数解题思路
解指数函数问题的三种策略
解指数函数问题的三种策略一、教材分析1.《指数函数》在教材中的地位、作用和特点《指数函数》就是人教版高中数学(必修课程)第一册第二章“函数”的第六节内容，就是在自学了《指数》一节内容之后选曲的。
通过本节课的自学，既可以对指数和函数的概念等科学知识进一步稳固和深化，又可以为后面进一步自学对数、对数函数尤其就是利用互为反函数的图象间的关系去研究对数函数的性质奠定稳固的概念和图象基础，又因为《指数函数》就是步入高中以后学生碰到的第一个系统研究的函数，对高中阶段研究对数函数、三角函数等完备的函数科学知识，初步培育函数的应用领域意识奠定了较好的自学基础，所以《指数函数》不仅就是本章《函数》的重点内容，也就是低中学段的主要研究内容之一，有著不容替代的关键促进作用。
此外，《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。
本节内容的特点之一是概念性强，特点之二是凸显了数学图形在研究函数性质时的重要作用。
2.教学目标、重点和难点通过初中学段的学习和高中对集合、函数等知识的系统学习，学生对函数和图象的关系已经构建了一定的认知结构，主要体现在三个方面：科学知识维度：对正比例函数、反比例函数、一次函数，二次函数等最简单的函数概念和性质尚无了初步重新认识，能从初中运动变化的角度重新认识函数初步转变至从子集与对应的观点去重新认识函数。
技能维度：学生对采用“描点法”描绘函数图象的方法已基本掌握，能够为研究《指数函数》的性质做好准备。
素质维度：由观测至抽象化的数学活动过程尚无一定的体会，已初步介绍了数形融合的思想。
鉴于对学生已有的知识基础和认知能力的分析，根据《教学大纲》的要求，我确定本节课的教学目标、教学重点和难点如下：(1)科学知识目标：①掌控指数函数的概念;②掌控指数函数的图象和性质;③能够初步利用指数函数的概念化解实际问题;(2)技能目标：①渗透数形结合的基本数学思想方法②培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳的能力;(3)情感目标：①体验从特定至通常的自学规律，重新认识事物之间的广泛联系与相互转变，培育学生用联系的观点看看问题②通过教学互动推动师生情感，唤起学生的自学兴趣，提升学生抽象化、归纳、分析、综合的能力③领会数学科学的应用领域价值。
指数函数的性质及常考题型(含解析)
【变式 1-2】下列函数：① = 3 ；② = 6 ；③ = 6 ⋅ 2 ；④ = 8 + 1；⑤ = −6 .
其中一定为指数函数的有（
A．0 个
）
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【解题思路】根据指数函数的定义判断即可；
【解答过程】解：形如 =
( > 0且 ≠ 1)为指数函数，其解析式需满足①底数为大于
数
函
数
︶
如图是指数函数（1）y＝ax，
（2）y＝bx，
（3）y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，
d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b．
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
3．比较指数幂的大小的方法
比较指数幂的大小的方法（分三种情况）
：
（1）底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；
培
优
篇
高
【变式 5-2】已知函数() = ⋅ 的图像经过点(1,2)，(2,4)．
中
（1）求()的解析式；
数
（2）解不等式( + 3) > (4)．
学
︵
指
数
函
数
︶
【变式 5-3】已知函数() = + (0 < < 1)的图象经过点(0, −1)．
（1）求实数 b；
B．0 < < 1,0 < < 1
指
C．0 < < 1, > 1
D． > 1,0 < < 1
数
函
【变式 6-2】如图中，①②③④中不属于函数 = 3 ， = 2 ， =
高中数学第四章指数函数与对数函数解题方法技巧(带答案)
高中数学第四章指数函数与对数函数解题方法技巧单选题1、已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )=2x +x 2，则f (2)+f (−1)=（ ） A ．11B ．5C ．−8D ．−5 答案：B分析：利用奇函数的定义直接计算作答. 奇函数f (x )，当x >0时，f (x )=2x +x 2，所以f (2)+f (−1)=f(2)−f(1)=22+22−(21+12)=5. 故选：B2、Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=K 1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为（ ）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．69 答案：C分析：将t =t ∗代入函数I (t )=K1+e −0.23(t−53)结合I (t ∗)=0.95K 求得t ∗即可得解. ∵I (t )=K1+e −0.23(t−53)，所以I (t ∗)=K1+e −0.23(t ∗−53)=0.95K ，则e 0.23(t ∗−53)=19，所以，0.23(t ∗−53)=ln19≈3，解得t ∗≈30.23+53≈66.故选：C.小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.3、已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[,2)答案：C分析：根据条件知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ≤1，求a 的范围即可．3434∵f(x)满足对任意x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，∴f(x)在R上是减函数，∴{0<a<1 a−2<0(a−2)×0+3a≤a0，解得0<a≤13，∴a的取值范围是(0,13]．故选：C．4、中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，则经过t分钟后物体的温度θ℃将满足θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，100℃的水应大约冷却( )分钟冲泡该绿茶(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1)A．3B．3.6C．4D．4.8答案：B分析：根据题意求出k的值，再将θ＝80℃，θ1＝100℃，θ0＝20℃代入θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt即可求得t的值.由题可知：50=20+(100−20)e−12k⇒(e−k)12=38⇒e−k=(38)112，冲泡绿茶时水温为80℃，故80=20+(100−20)⋅e−kt⇒(e−k)t=34⇒t⋅lne−k=ln34⇒t=ln 3 4ln(38)112=12(ln3−2ln2)ln3−3ln2≈12(1.1−2×0.7)1.1−3×0.7=3.6.故选：B.5、已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（）A．a>0>b B．a>b>0C．b>a>0D．b>0>a 答案：A分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出． ［方法一］：（指对数函数性质） 由9m=10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0. 又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上，a >0>b . ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由9m =10，可得m =log 910∈(1,1.5)．根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ，则fʹ(x)=mx m−1−1， 令fʹ(x)=0，解得x 0=m11−m，由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) .f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a >b ， 又因为f(9)=9log 910−10=0 ，所以a >0>b . 故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．6、已知2a =5b =10，则1a+1b =（ ）A ．1B ．2C ．12D ．15答案：A分析：运用对数的定义和换底公式、以及运算性质，计算即可得到所求值． 解：若2a =5b =10， 可得a =log 210，b =log 510， 则1a +1b =1log510+1log 210=lg5+lg2=lg10=1，故选：A．7、设4a=3b=36，则1a +2b=（）A．3B．1C．−1D．−3答案：B分析：先求出a=log436,b=log336，再利用换底公式和对数的运算法则计算求解. 因为4a=3b=36，所以a=log436,b=log336，则1a =log364,2b=log369，所以则1a +2b=log364+log369=log3636=1.故选：B.8、若ln2=a，ln3=b，则log818=（）A．a+3ba3B．a+2b3aC．a+2ba3D．a+3b3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得.log818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a3a.故选：B多选题9、函数f(x)=2x−2x−a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的可能取值是（）A．0B．1C．2D．3答案：BC分析：根据初等函数的单调性判断函数f(x)=2x−2x−a的单调性，根据零点存在定理可得f(1)f(2)<0，从而可得结果.因为函数y=2x、y=−2x在定义域{x|x≠0}上单调递增，所以函数f (x )=2x −2x−a 在{x |x ≠0}上单调递增，由函数f (x )=2x −2x−a 的一个零点在区间(1,2)内，得f (1)×f (2)=(2−2−a)(4−1−a)=(−a )×(3−a )<0， 解得0<a <3, 故选：BC10、已知a =log 3e,b =log 23，c =ln3，则（ ） A ．a <b <c B ．a <c <b C ．D ．a +c <b 答案：BC分析：由对数函数的单调性结合换底公式比较a,b,c 的大小，计算出a +c ，利用基本不等式得a +c >2，而b <2，从而可比较大小．由题意可知，对于选项AB ，因为b =log 23=ln3ln2>ln3lne=ln3=c ，所以b >c ，又因为a =log 3e <log 33=1，且c =ln3>lne =1，所以，则b >c >a ，所以选项A 错误，选项B 正确；对于选项CD ，a +c =log 3e +ln3=lne ln3+ln3=1ln3+ln3>2√1ln3⋅ln3=2，且b =log 23<b =log 24=2，所以，故选项C 正确，选项D 错误； 故选：BC.小提示：关键点点睛：本题考查对数函数的单调性，利用单调性比较对数的大小，对于不同底的对数，可利用换底公式化为同底，再由用函数的单调性及不等式的性质比较大小，也可结合中间值如0或1或2等比较后得出结论．11、设函数f (x )={|x 2+3x |,x ≤1log 2x,x >1，若函数f (x )+m =0有五个零点，则实数m 可取（ ）A ．−3B ．1C ．−12D ．−2 答案：CD分析：函数f (x )+m =0有五个零点等价于y =f (x )与y =−m 有五个不同的交点，作出f (x )图像，利用图像求解即可a cb +>c a >a c b +>函数f (x )+m =0有五个零点等价于y =f (x )与y =−m 有五个不同的交点，作出f (x )图像可知，当x =−32时，f (−32)=|(−32)2+3×(−32)|=94 若y =f (x )与y =−m 有五个不同的交点， 则−m ∈(0,94)， ∴m ∈(−94,0)，故选：CD ．12、已知函数f(x)=2x −12x +1，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f(x)的定义域为RB ．函数f(x)的值域为(−1,1)C ．函数f(x)的图象关于y 轴对称D ．函数f(x)在R 上为增函数 答案：ABD分析：根据指数函数的性质，结合偶函数定义、单调性的性质逐一判断即可. A ：因为2x >0，所以函数f(x)的定义域为R ，因此本选项结论正确； B ：f(x)=2x −12x +1=1−22x +1，由2x >0⇒2x +1>1⇒0<12x +1<1⇒−2<−22x +1<0⇒−1<−22x +1<1，所以函数f(x)的值域为(−1,1)，因此本选项结论正确；C：因为f(−x)=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，因此本选项说法不正确；D：因为函数y=2x+1是增函数，因为y=2x+1>1，所以函数y=22x+1是减函数，因此函数f(x)=1−22x+1是增函数，所以本选项结论正确，故选：ABD13、已知函数f(x)=a x(a>1)，g(x)=f(x)−f(−x)，若x1≠x2，则（）A．f(x1)f(x2)=f(x1+x2)B．f(x1)+f(x2)=f(x1x2)C．x1g(x1)+x2g(x2)>x1g(x2)+x2g(x1)D．g(x1+x22)⩽g(x1)+g(x2)2答案：AC分析：对选项A、B，利用指数幂的运算性质即可判断选项A正确，选项B错误；对选项C、利用g(x)=f(x)−f(−x)=a x−a−x(a>1)在R上单调递增即可判断，选项C正确；对选项D、根据f(x)=a x(a>1)，且x1≠x2，由凹凸性有f(x1+x22)<12[f(x1)+f(x2)]，又f(−x)=(1 a )x(a>1)，由凹凸性有f(−x1−x22)>12[f(−x1)+f(−x2)]即可判断选项D错误；解：对选项A：因为a x1⋅a x2=a x1+x2，所以f(x1)f(x2)=f(x1+x2)，故选项A正确；对选项B：因为a x1+a x2≠a x1x2，所以f(x1)+f(x2)≠f(x1x2)，故选项B错误；对选项C：由题意，因为a>1，所以g(x)=f(x)−f(−x)=a x−a−x在R上单调递增，不妨设x1>x2，则g(x1)>g(x2)，所以(x1−x2)g(x1)>(x1−x2)g(x2)，即x1g(x1)+x2g(x2)>x1g(x2)+ x2g(x1)，故选项C正确；对选项D：因为f(x)=a x(a>1)，且x1≠x2，所以由凹凸性有f(x1+x22)<12[f(x1)+f(x2)]，又f(−x)=(1a )x(a>1)，所以由凹凸性有f(−x1−x22)>12[f(−x1)+f(−x2)]，所以有f(x1+x22)+12[f(−x1)+f(−x2)]<f(−x1−x22)+12[f(x1)+f(x2)]，即f(x1+x22)−f(−x1−x22)<12[f(x1)+f(x2)]−12[f(−x1)+f(−x2)]，即g (x 1+x 22)<g (x 1)+g (x 2)2，故选项D 错误；故选：AC. 填空题14、已知实数a >0且a ≠1，不论a 取何值，函数y =a x−4+2的图像恒过一个定点，这个定点的坐标为______． 答案：(4,3)分析：根据指数函数过定点问题求解. 令x −4=0，得 x =4，此时 y =3，所以函数y =a x−4+2的图像恒过的定点坐标为(4,3)， 所以答案是：(4,3)15、若√4a 2−4a +1=√(1−2a )33，则实数a 的取值范围_________ ． 答案：(−∞，12]分析：由二次根式的化简求解由题设得√4a 2−4a +1=√(2a −1)2=|2a −1|，√(1−2a )33=1−2a ，所以|2a −1|=1−2a 所以1−2a ≥0，a ≤12．所以答案是：(−∞，12]16、函数y =log a (kx −5)+b （a >0且a ≠1）恒过定点(2,2)，则k +b =______． 答案：5分析：根据对数函数的图象与性质，列出方程组，即可求解. 由题意，函数y =log a (kx −5)+b 恒过定点(2,2)， 可得{2k −5=1b =2，解得k =3,b =2，所以k +b =3+2=5.所以答案是：5. 解答题17、已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )=x 2+mx ，函数f (x )在y 轴左侧的图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )−a =0有4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． 答案：(1)f (x )={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0(2)(−1,0)分析：（1）利用f (−2)=0可求x ≤0时f (x )的解析式，当x >0时，利用奇偶性f (x )=f (−x )可求得x >0时的f (x )的解析式，由此可得结果；（2）作出f (x )图象，将问题转化为f (x )与y =a 有4个交点，数形结合可得结果.（1）由图象知：f (−2)=0，即4−2m =0，解得：m =2，∴当x ≤0时，f (x )=x 2+2x ； 当x >0时，−x <0，∴f (−x )=(−x )2−2x =x 2−2x ， ∵f (x )为R 上的偶函数，∴当x >0时，f (x )=f (−x )=x 2−2x ； 综上所述：f (x )={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0；（2）∵f (x )为偶函数，∴f (x )图象关于y 轴对称，可得f (x )图象如下图所示，f(x)−a=0有4个不相等的实数根，等价于f(x)与y=a有4个不同的交点，由图象可知：−1<a<0，即实数a的取值范围为(−1,0).18、吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x万盒，需投入成本ℎ(x)万元，当产量小于或等于50万盒时ℎ(x)=180x+100；当产量大于50万盒时ℎ(x)=x2+60x+3500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？答案：(1)y={20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N(2)70万盒分析：（1）根据题意分0≤x≤50和x>50两种情况求解即可；（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.（1）当产量小于或等于50万盒时，y=200x−200−180x−100=20x−300，当产量大于50万盒时，y=200x−200−x2−60x−3500=−x2+140x−3700，故销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为y={20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N （2）当0≤x≤50时，y≤20×50−300=700；当x>50时，y=−x2+140x−3700，当x=140=70时，y=−x2+140x−3700取到最大值，为1200．2因为700<1200，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．。
高中数学指数函数解题技巧
高中数学指数函数解题技巧在高中数学中，指数函数是一个重要的概念，它在各种数学问题中起着重要的作用。
本文将介绍一些高中数学中常见的指数函数解题技巧，帮助学生更好地应对考试和解决实际问题。
一、指数函数的基本性质在解题过程中，我们首先需要了解指数函数的基本性质。
指数函数的定义域为实数集，其一般形式可以表示为y=a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数的图像通常呈现出递增或递减的特点，具体取决于底数的大小。
二、指数函数的图像特点1. 当底数a大于1时，指数函数呈现递增的趋势。
例如，y=2^x的图像在整个定义域上都是递增的。
这种情况下，指数函数的图像会从左下方向右上方延伸。
2. 当底数a介于0和1之间时，指数函数呈现递减的趋势。
例如，y=(1/2)^x的图像在整个定义域上都是递减的。
这种情况下，指数函数的图像会从左上方向右下方延伸。
3. 当底数a等于1时，指数函数的图像将变成一条直线y=1。
这是因为任何数的1次方都等于1。
三、指数函数的解题技巧1. 指数函数的性质运用在解题过程中，我们可以利用指数函数的性质来简化问题。
例如，当我们需要计算2^5时，可以利用指数函数的性质将其转化为2^3 * 2^2，进一步简化为8 * 4 = 32。
这样的计算方法可以节省时间，提高解题效率。
2. 底数的变化在一些题目中，我们需要根据指数函数的性质来确定底数的变化。
例如，当我们需要求解方程2^x = 16时，可以通过观察得知底数2经过多次乘法运算可以得到16，即2^4 = 16。
因此，方程的解为x=4。
3. 应用题的解题思路在解决应用题时，我们需要根据题目的要求来确定指数函数的解题思路。
例如，如果题目要求求解某种物质的衰减问题，我们可以通过建立指数函数模型来解决。
具体来说，我们可以利用指数函数的递减特点来表示物质的衰减过程，然后根据已知条件来求解问题。
四、例题解析1. 问题：已知y=2^x，求解方程y=8的解。
解析：根据指数函数的性质，我们可以将方程y=8转化为2^x=8。
指数函数最值问题及解题技巧
指数函数最值问题及解题技巧
指数函数是数学中常见的一种函数形式，其最值问题也是数学研究中较为基础的内容。
本文将介绍指数函数最值问题的一些常见形式和解题技巧。
1. 最值问题的常见形式
在指数函数最值问题中，常见的形式包括：
- 求指数函数的最大值或最小值；
- 求满足某种条件的最值。
2. 解题技巧
在解决指数函数最值问题时，可以采用以下几种常见的技巧：
2.1 利用导数求解最值
我们可以通过求函数的导数来解决最值问题。
具体步骤如下：- 求出指数函数的导数；
- 解出导数为零的点，这些点可能是函数的极值点；
- 计算这些极值点处的函数值，得出最大值或最小值。
2.2 利用对数函数求解最值
对于指数函数问题，我们可以通过取对数转化为对数函数来求解最值。
具体步骤如下：
- 取指数函数的对数，得到一个对数函数；
- 通过对数函数的求导来解决最值问题，可以利用导数为零的点求出最值。
2.3 利用不等式求解最值
对于一些特殊的指数函数问题，我们可以通过利用不等式来解题。
具体步骤如下：
- 根据函数的性质，设置不等式的条件；
- 解出这个不等式，得到特定的数值区间；
- 根据函数在这个区间的变化情况，确定最值的取值范围。
总结
指数函数最值问题是数学研究中的基础内容，通过利用导数、对数函数和不等式等技巧，我们可以有效地解决这类问题。
掌握这些解题技巧，对于提高数学能力和解决实际问题都有积极的作用。
以上内容希望能够对你的学习有所帮助，如果有任何疑问，请随时向我提问。
第15招 如何利用指数函数
第15招 如何利用指数函数、对数函数的性质解题？指数函数，对数函数是高考的热点问题，读书函数的性质是较常考的知识点，一般以选择题形式出现.解法指导与经典范例（一） 指数函数、对数函数性质的应用 主要是单调性的应用，体现在以下几方面 1. 用于比较两个数的大小（1） 当两个幂（或两个对数）的底数相同时，可直接利用指数函数（或对数函数）的单调性来比较大小。
（如例1）（2） 当两个幂（或两个对数）的底数不同而指数相同（或真数相同时），可利用图象来比较大小。
（如例2）注意：（1）指数函数的底越大，它的图象在y 轴右侧部分越远离x 轴正半轴（如图2-14，简记：底大图高）.直线x=1与图象交点的纵坐标即底的值.（2） 对数函数的底越大，它的图像在x 轴上方部分越远离y 轴正半轴（如图2-15），简记：底大图低）直线y=1与图象交点的横坐标即底的值.（3） 当两个幂（或两个对数）的底数不同且指数（或对数）也不同时，通常借助中间量（如0、1等）来间接比较大小。
（如例3） 【例1】已知,0,1012>><<x x b 则下列不等式中正确是（ ）A.21log log 33x x b b > B.21log log 33x x b b < C.21log log 33x x b b = D.12x x b b >解一 xb b b y x x x x x y b 3log log .0log 102112=>∴>>=<< 又是减函数，时 是增函数.,3321log log x x b b >∴故选A.解二 是增函数，是减函数，而时，ub x b 3y log u 10==<<根据复合函数单调性“同增异减”的法则x b y log 3=是减函数. ,33,012log log 12x x b b x x <∴>> 故选A.【例2】1992.全国文理一（7）若loga ,0log 22<<b 则（ ） A.0<a<b<1 B.0<b<a<1 C.a>b>1 D.b>a>1解一 ,10,10,02log ,02log <<<<∴<<b a b a 由图2-15知底大图底，所以a>b ，故选B.解二 （特殊值判断法）由已知0<a<1,0<b<1,取特殊值时，41,21 .10,0log 2log ,212log 2log 14121<<<<<-=<=-a b b a 知对照已知有故选B.【例3】1997.上海文理一（2）三个数67.067.0log 7.06、、的大小顺序是（ ） A.0.77.067.066log << B.67.07.06log 67.0<<C.log 67.067.07.06<< D.7.0667.067.0log <<解 67.067.067.067.0log 7.06,0log ,17.00,16>>∴<<<> 故选D.2.用于解指数不等式和对数不等式3.用于求函数的值域或最值4.用于判断或证明某些复合函数的单调性（如例5） （二）底的讨论再利用指数函数、对数函数性质解题时，一定要注意底的取值范围.当底时字母且未知其大小时，一定要分底大于1和底大于1两种情况进行讨论.【例4】1994.全国文三（22）已知函数f(x)=()++∈∈≠>R x x R x a a x a 21,,1,0log 、若, 判断()()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛++2212121x x f x f x f 与的大小，并加以证明： 解一()()[]()⎪⎭⎫⎝⎛+∙=+=+2log log log 212121212121x x f x x x x x f x f a a a2log 21x x a+=. ()时取等号当且仅当、212121212,x x x x x x R x x =≥+∴∈+ 当a>1时，y=即为增函数，,log 2log log 2121x x x x x aaa ≥+∴()()[]x y a x f x f x x f a log 10.2122121=<<+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+时，为减函数，()()[]21212121212,log 2log x f x f x x f x x x x aa+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+∴即 上述各式中，当且仅当21x x =时取等号.解二 （数形结合法） 分别作出a>1和0<a<1时y=log x a 的图象如图2-16所示.由图可见： 当a>1时，()()[],2122121x f x f x x f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+当0<a<1时，()()[],2122121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+【例5】1995.全国文理一（11）已知y=()[]1,02log 在ax a -上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）A.()1,0B.()2,1C.()2,0D.[)+∞,2 解一 由.2,0,2,02ax a ax ax <∴><>- 由于函数的递减区间[]1,0必须在函数的定义域内，,2,21<<∴a a排除D. 若1<a<2,在区间[0,1]上u=2-ax 是减函数，而y=log u a 是增函数，()ax a -∴2log 是减函数。
高中数学如何求解幂函数和指数函数方程
高中数学如何求解幂函数和指数函数方程在高中数学中，幂函数和指数函数是常见的函数类型。
解幂函数和指数函数方程是数学学习的重要内容之一。
本文将介绍如何解这两类方程，并通过具体题目举例，说明其考点和解题技巧。
一、幂函数方程的解法幂函数方程是指以自变量的幂为函数的方程，常见形式为a^x=b，其中a和b 为已知常数，x为未知数。
解幂函数方程的关键在于利用对数的性质。
例如，考虑方程2^x=8。
我们可以利用对数的性质将其转化为对数方程，即log2(2^x)=log2(8)。
根据对数的定义，log2(2^x)=x，所以原方程可以简化为x=log2(8)。
进一步计算可得x=3。
这个例子展示了解幂函数方程的基本思路：通过对数的性质将幂函数方程转化为对数方程，然后利用对数的定义和计算性质求解。
这种方法适用于各种形式的幂函数方程，例如a^x=b、a^x=c^d等。
二、指数函数方程的解法指数函数方程是指以自变量为指数的函数方程，常见形式为a^x=b，其中a和b为已知常数，x为未知数。
解指数函数方程的关键在于利用对数和指数的互为反函数的性质。
例如，考虑方程3^x=27。
我们可以利用对数的定义将其转化为对数方程，即log3(3^x)=log3(27)。
根据对数的性质，log3(3^x)=x，所以原方程可以简化为x=log3(27)。
进一步计算可得x=3。
这个例子展示了解指数函数方程的基本思路：通过对数的性质将指数函数方程转化为对数方程，然后利用对数的定义和计算性质求解。
这种方法同样适用于各种形式的指数函数方程，例如a^x=b、a^x=c^d等。
三、举一反三解幂函数和指数函数方程的方法不仅适用于特定的题目，还可以推广到其他相关的问题中。
例如，在解决实际问题中，经常会遇到需要求解幂函数和指数函数方程的情况。
考虑以下例题：某投资项目的价值在每年增长10%，如果初始投资为1000元，求多少年后项目的价值将达到2000元？解决这个问题可以建立如下方程：1000*(1+0.1)^x=2000。
初中数学知识归纳等比数列与指数函数题的解题思路与方法
初中数学知识归纳等比数列与指数函数题的解题思路与方法初中数学知识归纳：等比数列与指数函数题的解题思路与方法在初中数学中，等比数列与指数函数是重要的数学概念，涉及到许多与实际问题相关的解题思路与方法。
本文将就等比数列和指数函数的题目解题思路与方法进行归纳总结，并提供一些例题进行讲解。
一、等比数列的解题思路与方法等比数列是一种具有相同公比的数列，其通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
在解题过程中，我们常常需要求等比数列的首项、公比、项数以及前n项和。
1. 求首项、公比与项数a) 已知首项a1、末项an和项数n，可以通过等式an = a1 * r^(n-1)求解公比r。
b) 已知首项a1、项数n和公比r，可以通过等式an = a1 * r^(n-1)求解末项an。
c) 已知末项an、项数n和公比r，可以通过等式an = a1 * r^(n-1)求解首项a1。
2. 求前n项和等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式求解：Sn = a1 * (r^n - 1) / (r - 1)下面通过一个例题来说明等比数列的解题思路与方法：例题：已知等比数列的首项a1 = 2，公比r = 3，求前4项的和。
解题思路与方法：根据前述公式可知，等比数列前n项和Sn = a1 * (r^n - 1) / (r - 1)。
将已知数据代入公式，可得：Sn = 2 * (3^4 - 1) / (3 - 1) = 2 * (81 - 1) / 2 = 2 * 80 / 2 = 80因此，该等比数列前4项的和为80。
二、指数函数题的解题思路与方法指数函数是一种以底数为实数的指数幂形式表达的函数，其中指数可以是整数、分数或者实数。
在初中数学中，我们常常遇到求解指数函数的值以及指数方程的问题。
1. 指数函数的值设指数函数为f(x) = a^x，则对于任意的实数x，我们可以通过计算得到f(x)的值。
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指数函数解题思路【例1】化简下列各式： （1）41)0081.0(－－［3×（87）0］－1·［81－0.25＋31)833(－］21－－10×31027.0；（2）323323134248aab b b a a ＋＋－÷（1－23ab）×3ab ． 思路：此类问题的化简需要先将小数化为分数，根式化为分数指数幂，结果要化为最简形式．在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式．如b a32，2－ba 都不是最简形式．我们经常要用到下列公式：①a －b ＝（a －b ）（a ＋b ）； ②a ±2ab ＋b ＝（a ±b ）2； ③a ±b ＝（3a ±3b ）（32a ＋3ab ＋32b ）．答案：（1）原式＝0.3－1－3－1·（3－1＋32）21－－10×0.3＝310－31－3＝0；（2）原式＝231313123131)(2)2()8(a b b b b a a ＋＋－×3131312ba a－×3131b a ＝)8()8(31b a b a a －－×31a ×3131b a ＝a 3b ．【例2】设y l ＝a 3x －1，y 2＝42－＋x x a（a ＞0，a ≠1），确定x 为何值时有（1）y 1＝y 2；（2）y 1＞y 2．思路：显然需对a 进行分类讨论，分别解指数方程和指数不等式． 答案：（1）由题意得a 3x －1＝42－＋x x a，则3x －1＝x 2＋x －4，解得x ＝3或x ＝－1．（2）当a ＞1时，a 3x －1＞42－＋x x a ，则3x －1＞x 2＋x －4，解得－1＜x ＜3；当0＜a ＜1时，42－＋x x a＜a 3x －1，则3x －1＜x 2＋x －4，解得x ＜－1或x ＞3．【例3】比较下列各数的大小：①52)2(－；②21)23(－；③52)23(－－；④3)31(－；⑤54)32(－．思路：先利用分数指数幂的性质对各个数进行化简，①52)2(－＝522；②21)23(－＝21)23(；③52)23(－－＝52)32(；④3)31(－＝－271；⑤54)32(－＝54)32(显然，以0、1为界将五个数分成三类：①52)2(－＞1，④3)31(－＜0，②③⑤三个数均在0到1之间，注意到这三个数的底数相同，考查指数函数，y ＝x)32(在实数集上递减，所以③＞②＞⑤．答案：52)2(－＞52)23(－－＞21)23(－＞54)32(－＞3)31(－．点评：比较幂的大小是典型的一类问题．解决这类问题一般用如下思路： （1）将两个数化成同底数幂的形式，再利用指数函数的单调性进行比较．（2）将两个数化成同指数幂的形式，再利用指数函数图象在y 轴的右侧“右侧底大图高”；在y 轴的左侧“左侧底大图低”． （3）寻找一个恰当的中间数为桥梁来进行比较．如比较0.40.8与0.50.7，我们可以以0.40.7为中间数，0.40.8与0.40.7利用指数函数的单调性进行比较，得0.40.8＜0.40.7，而0.40.7与0.50.7由“右侧底大图高”得0.40.7＜0.50.7，因此0.40.8＜0.50.7；再如本题是先以0、1为桥梁将五个数分成三类的．【例4】对于函数y ＝122)31(－－x x ，（1）求函数的定义域，值域；（2）确定函数的单调区间． 解析：函数y ＝122)31(－－x x 可以看成是由函数u ＝x 2－2x －1与函数y ＝u)31(“复合”而成．（1）由u ＝x 2－2x －1＝（x －1）2－2，当x ∈R 时，u ≥－2，此时函数y ＝u)31(总有意义，∴定义域为R ；又由u ≥－2，∴0＜u )31(≤9，∴原函数的值域为（0，9］．（2）∵函数u ＝x 2－2x －1在［1，＋∞）上递增， ∴对于任意的1≤x 1＜x 2都有u 1＜u 2，∴1)31(u ＞2)31(u ，即y 1＞y 2．∴函数y ＝122)31(－－x x 在［1，＋∞］上递减．同理可得函数y ＝122)31(－－x x 在（－∞，1）上递增．点评：形如y ＝)(x f a （a ＞0，a ≠1）的函数有如下性质：（1）定义域与函数定义域相同；（2）先确定函数u ＝f （x ）的值域，然后以u 的值域作为函数y ＝ua （a ＞0，a ≠1）的定义域求得函数y ＝)(x f a （a ＞0，a ≠1）的值域；（3）函数y ＝)(x f a（a ＞0，a ≠1）的单调性，可以由函数u ＝f （x ）与y ＝ua （a ＞0，a ≠1）按照“同增异减”的原则来确定．从本题中，我们可以体会换元法在解决复合函数问题中的作用． 【例5】求下列函数的定义域，值域： （1）y ＝112－x ； （2）y ＝125－x ；（3）y ＝22)21(x x －； （4）y ＝x9＋2×x3－1．解析：这是与指数函数有关的复合函数，可以利用指数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，对于形式较为复杂的可以考虑利用换元法． （1）要使函数有意义，则x －1≠0， ∴x ≠1．∴函数定义域为{x |x ≠1}； ∵x ≠1，11－x ≠0， ∴112－x ≠1，∴函数值域为{y |y ＞0，且y ≠1}．（2）∵2x －1≥0，∴函数定义域为{x |x ≥21}； ∵2x －1≥0，∴12－x ≥0，∴y ＝125－x ≥1．∴函数值域为{y |y ≥1}．（3）函数定义域为R ；∵2x －x 2＝－（x －1）2＋1≤1， ∴y ＝22)21(x x －≥21．∴函数值域为{y |y ≥21}． （4）函数定义域为R ；令t ＝x3，则t ＞0，y ＝t 2＋2t －1＝（t ＋1）2－2，其对称轴为t ＝－1．∵t ＞0，函数y ＝（t ＋1）2－2单调递增， ∴y ＝（t ＋1）2－2＞1－2＝－1． ∴函数值域为{y |y ＞－1}．点评：本题求函数值域时，采用了逐步求解的方法，（4）利用了换元法．一般来说，求复合函数的值域，通常先求函数的定义域A ，再由函数的定义域A 求内函数的值域B ，然后以内函数的值域作为外函数的定义域求出原函数的值域，如（4）是由函数y ＝t 2＋2t －1和函数t ＝3x 复合而成，先求得原函数的定义域为R ，再由x R 得t ＞0（即得到内函数的值域B ），然后由t ＞0得到函数值域为{y |y ＞－1}．若（4）中的x ≥1，你还能求出它的值域吗？【例6】若函数y ＝1212·－－－x x aa 为奇函数，（1）确定a 的值；（2）求函数的定义域；（3）求函数的值域；（4）讨论函数的单调性．解析：先将函数1212·－－－x x a a 化简为y ＝121－－x a ． （1）由奇函数的定义，可得f （－x ）＋f （x ）＝0，即121－－－x a ＋121－－x a ＝0，∴2a ＋xx 2121－－＝0，∴a ＝－21． （2）∵y ＝－21－121－x ，∴x 2－1≠0． ∴函数y ＝－21－121－x 定义域为{x |x ≠0}．（3）法一：（逐步求解法）∵x ≠0，∴x 2－1＞－1． ∵x 2－1≠0，∴0＞x 2－1＞－1或x 2－1＞0．∴－21－121－x ＞21，－21－121－x ＜－21， 即函数的值域{y |y ＞21或y ＜－21}．法二：（利用有界性）由y ＝－21－121－x ≠－21，可得x 2＝2121＋－y y ．∵x 2＞0，∴2121＋－y y ＞0．可得y ＞21或y ＜－21， 即函数的值域{y |y ＞21或y ＜－21}．（4）当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则y 1－y 2＝1212－x －1211－x ＝1211－x －1211－x ＝)12)(12(221221－－－x x x x ．∵0＜x 1＜x 2，∴1＜12x＜22x．∴12x－22x＜0，12x－1＜0，22x－1＜0．∴y 1－y 2＜0，因此y ＝－21－121－x 在（0，＋∞）上递增． 同样可以得出y ＝－21－121－x 在（－∞，0）上递减．点评：本题是一道函数综合题，需利用函数的有关性质，如求函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性、单调性等知识．在判断函数的单调性时，我们也可以采用复合函数单调性的判断方法．当x ＞0时，∵x 2为增函数，∴x 2－1为增函数，121－x 递减，一121－x 为增函数，∴y ＝－21－121－x 在（0，＋∞）上递增．一般地，函数y ＝f （u ）和函数u ＝g （x ），设函数y ＝f ［g （x ）］的定义域为集合A ，如果在A 或A 的某个子区间上函数y ＝f （u ）（称外函数）与u ＝g （x ）（称内函数）单调性相同，则复合函数y ＝f ［g （x ）］在该区间上递增；如单调性相反，则复合函数y ＝f ［g （x ）］在该区间上递减（可以简记为“同增异减”）．另外，记住以下结论对判断复合函数单调性很有帮助：①若函数y ＝f （x ）递增（减），则y ＝－f （x ）递减（增）；②若函数y ＝f （x ）在某个区间上恒为正（负）且递增（减），则y＝)(1x f 递减（增）；③若函数y ＝f （x ）递增（减），则y ＝f （x ）＋k 递增（减）． 【例7】已知函数y ＝x （131－x ＋21）． （1）求定义域；（2）讨论奇偶性；（3）证明它在定义域上恒大于0． 解析：（1）定义域为{x |x ≠0}．（2）f （x ）－f （－x ）＝x （131－x ＋131－－x ＋1）＝x （1331－－x x ＋1）＝0，∴f （x ）＝f （－x ）．∴f （x ）是偶函数． （3）当x ＞0时，x3＞1，∴x3－1＞0．∴131－x ＋21＞21． ∴x （131－x＋21）＞21x ＞0，即当x ＞0时，y ＞0； 当x ＜0时，1＞x 3＞0．∴0＞x3－1＞－1．∴131－x ＋21＜－1．∴x （131－x ＋21）＞－x ＞0，即当x ＜0时，y ＞0．综上，f （x ）在定义域上恒大于0．点评：这里判断函数的奇偶性，运用了定义的等价式，即f （x ）－f （－x ）＝0，则f （x ）是偶函数；证明函数在定义域上恒大于0，转化为证明值域为（0，＋∞），这里运用分类讨论来逐步求解．【例8】如果函数y ＝122－＋xx a a （a ＞0且a ≠1）在［－1，1］上有最大值14，试求a 的值．解析：设t ＝xa ，则原函数可化为y ＝（t ＋1）2－2，对称轴为t ＝－1． （1）若a ＞1，∵x ∈［－1，1］，∴－1＜a1≤t ≤a ． ∵t ＝xa 在［－1，1］上递增， ∴y ＝（t ＋1）2－2当t ∈［a1，a ］时也递增，∴原函数在［－1，1］上递增．故当x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1．由a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5（舍，∵a ＞1）．（2）若1＞a ＞0，可得当x ＝－1时，y max ＝a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝31或a ＝－51（舍）．综上，a ＝31或3． 点评：本题运用了复合函数单调性的判断方法，以及复合函数值域的求法；对于底数进行了分类讨论．【例9】牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T 0，则经过一定时间h 后的温度T 将满足T －T a ＝21（T 0－T a ），其中T a 是环境温度，使上式成立所需要的时间h 称为半衰期．在这样的情况下，t 时间后的温度T 将满足T －T a＝h t)21(（T 0－T a ）．现有一杯ο195F 用热水冲的速溶咖啡，放置在ο75F 的房间中，如果咖啡降温到ο105F 需20分钟，问欲降到ο95F 需多少时间？解析：由题意，温度T 是时间t 的指数函数型关系，即T ＝h t)21(（T 0－T a ）＋T a ，将有关数据代入，得T ＝75＋（195－75）×h t)21(＝75＋120×h t)21(．再将t ＝20，T ＝105代入得105＝75＋120×h 20)21(，解得h ＝10．∴T ＝75＋120×10)21(t，欲使T ＝95，代入上式解得t ＝26（分）．点评：本题是一道跨学科应用题，要解决它需要有较好的阅读能力．本题中给出了函数模型，利用待定系数法确定系数，得出解析式，从而解决问题．。