第1章 利息的基本概念0
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(荐)保险事务专业保险精算习题及答案(财经类)保险事务)
2014年保险事务专业保险精算习题及答案第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
6．设m ＞1，按从大到小的次序排列 ()222x x v b q e p +与δ。
7．如果0.01t t δ=，求10 000元在第12年年末的积累值。
8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。
9．基金A 以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B 以利息强度6t tδ=积累，在时刻t (t=0)，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。
10. 基金X 中的投资以利息强度0.010.1t t δ=+(0≤t ≤20), 基金Y 中的投资以年实际利率i 积累；现分别投资1元，则基金X 和基金Y 在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y 的积累值。
11. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（ ）万元。
A. 7.19B. 4.04C. 3.31D. 5.2112.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（ ）元。
利息理论教案02
5、复利与单利的区别 (1)若利率水平为一常数,那么单利条件下的实际利率是时间的递 减函数;.而复利条件下的实际利率与时间无关,仍然等于常数的复利 的利率.
(2)当0 t 1 , 有1 it (1 i )t 时 当t=1 , 有1 it (1 i )t 时 当t 1 , 有1 it (1 i )t 时
t t
练习:某人同他人签订一张一年期1000元借据,并立即收到940元,在 第8个月末,该人提前还款392元,并要求修改借据,问在单贴现假设下, 新借据的面值为多少?
A. 540
B. 560
C. 580
D.600
E.620
第六节 名义利率与名义贴现率
一、实际利率、名义利率与实际贴现率、名义贴现率的概念
d I ( 1 ) A( 1 ) A( 1 ) A(0) A( 1 ) a( 1 ) a (0) a( 1 ) 1 i 1 1 i i 1 i
三、实际利率(i)与实际贴现率(d)的关系
d (1)i 1 d (2) d iv 1 v (3) a 1 (t ) v t (1 d ) t (4) a (t ) v t (1 d ) t (5)i d id
第三节
一、复利的定义
复利
复利是指前期赚取的利息在后期会赚取附加利息.这就意味着前 期的利息将自动进行再投资.
二、复利累积函数的性质
1、复利累积函数: a(t ) (1 i)t (t为非负数) 2、1元本金经过时期(t+s)后的累积值,等于将1元本金经过时期t的累 积值再投资s期所形成的累积值.
a(t ) 1 it
(t为非负数)
3、1元本金经过时期t+s赚取的利息,等于它经过时期t赚取的利息加 上它经过时期s赚取的利息. 4、单利条件下的累积函数的变化率为一常数. 请同学们思考:这一常数为什么﹖
1-1利息基本函数
(1) (1 i(m) )m (1 d( p) )p
m
p
(2) i(m) d(m) i(m) d(m) mm mm
.
33
例11：有以下两种5年期的投资选择， A：年利率7%，每半年计息一次； B：年利率7.05% 每年计息一次；
比较两种选择的收益。
解：法一：比较等价的年实利率
i(2 ) 7 % iA ( 1 , 7 2 % )2 1 7 .12 % i 2 B 7 3 .0% 5
a(t)= A(t) / A(0) ，t≥0
.
7
且总量函数A(t)在时间[t1,t2]内的变化量称 为利息,记为It1,t2,则
I t1,t2 =A(t1)-A(t2) 利率——一定的货币量在一段时间计息期内的
变化量利息与期初货币量的比值，即
利率 = 利息 / 期初本金
这里定义的利率被称为实利率；通常计息期为
.
9
三、单利和复利
在实际金融活动中通常用到的两种计息方式 分别为单利和复利
假设在期初投资1个单位的本金，在每一
个时期中都得到完全相同的利息金额，即利息
为常数
a(t) = 1+ i t，t≥0
这种类型的利息产生方式称为单利，i 称为单
利率。
.
10
说明：
(1)相应单利的累积函数为时间的线性函数 (2)常数的单利率并不意味着常数的实利率
.
4
二、累积函数
本金——初始投资的资本金额 累积值——过一定时期后收到的总金额 利息——累积值与本金之间的金额差值 累积函数——假设在初始时刻0投资了1个单
位的本金则在时刻t的累积值，记为a(t)
.
5
累积函数a(t)是关于时间的函数,且满足 (1) a(0)=1 (2)a(t)关于时间严格单调递增,即当t1<t2时,
寿险精算原理 第一章
4、实际利率、名义利率、实际贴现率、名 义贴现率、利息强度和折现因子之间的等 价关系（单位时间为1年的情况下）：
m
m
i 1 m
d 1 i 1 v 1 d p 1 1
p
p
e
例3、已知年度实际利率为8%，求等价的 利息强度。 例4、一笔业务按利息强度6%计息，求投 资500元经8年的积累值。
a
a
n
1 i
n
dn
n a
a
n 1
1 i
n
1 i
n
n 1
n
1 i
i 1 i
※ d n 与 n无关，为常数，通常把这种情 况下的贴现率叫做复贴现率。
②与实际贴现率 d 等价的实际利率为 1 d 。 如果某人以实际贴现率 d 借款1元，则 实际上的本金为1 d ，而利息（贴现，意 味着期初支付）金额为 d ，则实际利率为：
例2、某银行以单利计息，年息为2%，某 人存入5000元，问5年后的积累值是多少？
例3、如果例2中银行以复利计息，其他条 件不变，问5年后的积累值是多少？
1.1.3 实际贴现率
某一个度量期的实际贴现率，是指该度量 期内得到的利息金额与此度量期期末积累 值金额之比。实际利率通常用字母 d 表示。 从投资日算起第 n 个度量期的实际贴侠率 用 d n 表示，则有
In a
n
a
n
n 1
1 i a
1 i n
n
1 i
n 1
i 1 i
1
保险精算第二版复习ppt
死亡即刻赔付的含义
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发 生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事 件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应 用场合，保险公司通常采用的理赔方式。
4.1.1 精算现值的概念
精算现值即趸缴纯保费，未来保险金给付 在签单时的现值，即一次性缴清的纯保费， 它是以预定利率和预定死亡率为基础计算 的。
续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
分布函数 t qx ：
t qx Pr(T (X ) t) pr(x X x t X x) s(x) s(x t) s(x)
剩余寿命的生存函数 t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr(X x t X t) s(x t) s(x)
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
符号：
1
A x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
n 0
vt
t
px xt dt
en t
0
t
px xt dt
方差公式：
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
0
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 Ax
0
e2 t
fT
(t )dt
所以方差等价为
Var(zt )2Ax ( Ax )2
4.1.4 延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均 给付保险金的险种。
假定: (x)岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险 基本函数关系
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发 生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事 件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应 用场合，保险公司通常采用的理赔方式。
4.1.1 精算现值的概念
精算现值即趸缴纯保费，未来保险金给付 在签单时的现值，即一次性缴清的纯保费， 它是以预定利率和预定死亡率为基础计算 的。
续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
分布函数 t qx ：
t qx Pr(T (X ) t) pr(x X x t X x) s(x) s(x t) s(x)
剩余寿命的生存函数 t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr(X x t X t) s(x t) s(x)
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
符号：
1
A x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
n 0
vt
t
px xt dt
en t
0
t
px xt dt
方差公式：
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
0
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 Ax
0
e2 t
fT
(t )dt
所以方差等价为
Var(zt )2Ax ( Ax )2
4.1.4 延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均 给付保险金的险种。
假定: (x)岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险 基本函数关系
利息理论第一章——利息度量
n
n
lim
x0
exp
ln(1 x
ix)
lim
x0
exp
1
i
ix
ei
24
1.4 复利 (compound interest)
单利：本金保持不变。 复利：前期的利息收入计入下一期的本金，即 “利滚利”。 例：
假设年初投资1000元，年利率为5％，则年末可获利50元， 因此在年末有1050元可以用来投资。
21
（1）精确天数为238，在“实际/365”规则下，t = 238/365， 利息金额为：
10000 0.08 238 521.6 365
（2）在“实际/360”规则下，t = 238/360，利息金额为：
10000 0.08 238 528.9 360
（3）在“30/360”规则下，两个日期之间的天数为：
累积函数：时间零点的1元在时间 t 的累积值, 记为a (t) 。 性质：
a (0) = 1； a (t) 通常是时间的增函数； 当利息是连续产生时，a (t) 是时间的连续函数。
注：一般假设利息是连续产生的。
7
例：
常见的几个积累函数 （1）常数：a (t) = 1 （2）线性：a (t) = 1 + 0.1 t （3）指数：a (t) = (1+0.1) t
(1 i)t
t 年累积因子：t-year accumulation factor
34
实际贴现率：d
(effective rate of discount with compound interest)
实际贴现率等于一个时期的利息收入与期末累积值之比：
实际贴现率(d
)
利息理论第一章 1 优质课件
注意：积累和贴现是相反的过程。
a(t)是1单位的本金在t个周期末的积累值，而a1(t) 是为使在t个周期期末的积累值为1，而在开始时 投资的本金金额。
23
例题1-5
已知年实际利率为8%，求4年后支付10000元的 现值。
解：由于i=8%，故
a(4)=(1+8%) 4 从而现值
pv=10000 a1(4)=
27
（2）实际利率是对期末支付的利息的度量， 而实际贴现率是对期初支付的利息的度量。
例:（1）张三到一家银行去，以年实际利率6% 向银行借100元，为期1年，则张三的借款流 程如下： 0时刻张三收到100元，。 1时刻张三支付100+100×6%=106元。
（2）张三到一家银行去，以年实际贴现率6% 向银行借款100元，为期1年，则张三的借款 流程如下:
（2）从积累形式来看
在单利下，上一个度量期上所产生的利息并不作为
投资本金在以后的时期再赚取利息。
16
在复利下，在任何时刻，本金和到该时刻为止所得到 的利息，总是用于投资以赚取更多的利息。
（3）单利与复利在计算上的区别 在常数的单利i下，积累函数a(t)=1+it；在常数的 复利i下积累函数a*(t)=(1+i)t。
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
25
a(1) 1 i，a1(1) 1 。根据实际贴现率的定义，知 1 i
a(t)是1单位的本金在t个周期末的积累值，而a1(t) 是为使在t个周期期末的积累值为1，而在开始时 投资的本金金额。
23
例题1-5
已知年实际利率为8%，求4年后支付10000元的 现值。
解：由于i=8%，故
a(4)=(1+8%) 4 从而现值
pv=10000 a1(4)=
27
（2）实际利率是对期末支付的利息的度量， 而实际贴现率是对期初支付的利息的度量。
例:（1）张三到一家银行去，以年实际利率6% 向银行借100元，为期1年，则张三的借款流 程如下： 0时刻张三收到100元，。 1时刻张三支付100+100×6%=106元。
（2）张三到一家银行去，以年实际贴现率6% 向银行借款100元，为期1年，则张三的借款 流程如下:
（2）从积累形式来看
在单利下，上一个度量期上所产生的利息并不作为
投资本金在以后的时期再赚取利息。
16
在复利下，在任何时刻，本金和到该时刻为止所得到 的利息，总是用于投资以赚取更多的利息。
（3）单利与复利在计算上的区别 在常数的单利i下，积累函数a(t)=1+it；在常数的 复利i下积累函数a*(t)=(1+i)t。
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
25
a(1) 1 i，a1(1) 1 。根据实际贴现率的定义，知 1 i
苏教版六年级下册数学利息的计算方法
苏教版六年级下册数学利息的计算方法
一、利息的基本概念
利息是借款人因使用借入货币而支付给贷款人的报酬。
它是借款人使用资金所付出的代价。
利息的计算基于本金、利率和时间三个因素。
二、利息的计算公式
利息的计算公式为：I = P ×r ×t
其中，I表示利息，P表示本金，r表示利率，t表示时间。
三、利息的种类
1. 简单利息：在一定时期内，只按本金计算利息，不计算复利。
2. 复利：在一定时期内，除按本金计算利息外，还要将已产生的利息并入本金再计利息。
四、实际利率的计算
实际利率是指考虑到复利影响后的年化收益率。
实际利率的计算公式为：
(1 + r/n)^n - 1
其中，r表示名义年利率，n表示每年计息次数。
五、税收与利息
利息收入需要缴纳个人所得税，税率根据国家规定执行。
在计算税后利息时，需要将利息收入乘以税率后再进行计算。
六、综合实例
假设某储户在银行存入本金10000元，年利率为3%，存款期限为1年，不考虑税收因素，计算简单利息和复利下的利息收益。
1. 简单利息：
I = P ×r ×t = 10000 ×3% ×1 = 300元。
2. 复利：
本金和利息的总和为：P ×(1 + r/n)^n = 10000 ×(1 + 3%/12)^12 ≈10309.32元。
税后利息收益为：10309.32 - 10000 = 309.32元。
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（2）对于有多个度量期的情形，可以分别定义各个度量期的实际贴现率，令dn为从投资日算起第n个时期的实 际贴现率，则
dn A(n) A(n 1) In An A(n)
（3）三个重要关系 ①实际利率i与实际贴现率d的关系：
n 1为整数1.7
【例题1.1】已知A（t）=t2+2t+3，要使in≤10%，则n至少等于（ A．18 B．19 C．20 D．21 E．22 【答案】D 【解析】由已知A（t）=t2+2t+3，得： ）。[2008年春季真题]
2n 1 in A(n) A(n 1) ， 2 A(n 1) (n 1) 2(n 1) 3
显然，常数的单利意味着递减的实际利率。 ②以每期复利i计息时，第n期的实际利率为
i in a(n) a(n 1) 1.4 a(n 1) 1 i n 1
in a(n) a(n 1) i1.5 a(n 1)
( m)
B．365389
C．366011
D．366718
E．367282
X (1 0.075)(1 0.12/ 2)2 (1 0.125/ 4)4 500000
(5)
d 1 5 ，则m=（ 【例题1.6】已知 1 d ）。 (6) m 1 d 6 A．30 B．33 C．35 D．37 E．40
12
1195.6
【例题1.5】已知在未来三年中，银行第一年的实际利率为7.5%，第二年按计息两次的名义利率12%计息，第三 年按计息四次的名义利率 12.5% 计息，某人为了在第三年未得到 500000 元的款项，第一年初需要存入银行多少？ （ ）[2011年春季真题] A．365001 【答案】C 【解析】设第一年初需存入银行X元，则 得：X=366010.853。
3．实际贴现率 （1）某一度量期的实际贴现率：是指该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比。通常用字母d 来表示实际贴现率。
d
I a(1) a(0) A(1) A(0) 1 1.6 a(1) A(1) A(1)
n 1 1 1 nd
1
d
1
d 1.8 1 n 1 d
(n1)
dn
a(n) a(n 1) 1 d a(n)
n
1 d
1 d
n
d 1.9
令in≤10%，得：
(n 1)2 2(n 1) 3
即 n2－20n－8≥0，
解得：n≥20.39，故取n=21。
2n 1
10% ，
2．单利和复利 （1）单利 如果一单位本金在t时的积累值a（t）=1+i· t，那么就说该比投资以每期单利i计息，并将这样产生的利息称为单 利。 （2）复利 如果一单位本金在t时的积累值a（t）=（1+i）t，那么就说该笔投资以每期复利 i计息，并将这样产生的利息称 为复利。 （3）①以每期单利i计息时，第n期的实际利率为
金融数学考情分析 1．考查内容 （1）利息理论（ 分数比例约为 30%） （2）利率期限结构与随机利率模型 （ 分数比例 16% ） （3）金融衍生工具定价理论 （ 分数比例 26% ） （4）投资理论 （ 分数比例 28% ） 2．考试方式 考试采用闭卷方式进行，题型为客观题（一般30题单项选择），考试时间为3小时，满分100分，最后按10分制计， 6分以上（包括6分）为及格。 3．讲解内容
1
2
【例题1.9】己知δt=abt，其中a>0，b>0为常数，则积累函数a（t）为（
）。[2008年春季真题]
A．eb(a -1)/ln b B．ea(b 1)/ln a C．ea(b 1)/ln b t t D．ea(b -1)/ln a E．ea(b -1)/ln b
利息理论
利息的基本概念
实际贴现率
名义利率和名义贴现率 利息力 1.2 利息问题求解
价值等式
投资期的确定 未知时间问题 未知利率问题
【要点详解】 §1.1 利息度量 1．实际利率 （1）本金：每项业务开始时投资的金额。 （2）积累值（或终值）：业务在一定时间后回收到的总金额。 （3）积累函数a（t）：是指0时刻的本金1在时刻t的积累值。显然，a（0）=1，且a（t）通常为单增函数。 （4）总量函数A（t）：是指本金为k的投资在时刻t≥0时的积累值。显然，A（t）=k· a（t）。 （5）折现函数a-1 （t）：积累函数a（t）的倒数。 特别地，把一期折现因子a-1（1）简称为折现因子，并记为v。 （6）现值（或折现值）：是指为在t期末得到某个积累值，而在开始投资的本金金额。 显然，a-1 （t）是在t期末支付1的现值。 （7）把从投资日起第n个时期所得到的利息金额记为In，则：
In A(n) A(n 1)
n 1为整数1.1
注意：In是指一个时间区间上所得利息的量，而A（n）则是在某一特定时刻的积累量。
（8）实际利率 ①对于一个度量期：某一度量期的实际利率，是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金 额之比。通常用字母i来表示实际利率。
【答案】A
【解析】由已知条件，得：
( m) 1 d m 30 (5) 1 d 5 d (6) 1 6
30
(5) 1 d 5
56
( m) 又由 1 i 1 d ，可得： m
1
【例题 1.4】假定名义利率为每季度计息一次的年名义利率 6% ，则 1000 元在 3 年末的积累值为（ [2008年春季真题] A．1065.2 【答案】D B．1089.4 C．1137.3 D．1195.6 E．1220.1
）元。
【解析】1000元在3年末的积累值为：
AV
6% 1000 1 4
i
I a(1) a(0) A(1) A(0) 1 1.2 a(0) A(0) A(0)
②对于多个度量期：把从投资日算起第n个度量期的实际利率记为in，则：
in A(n) A(n 1) I n n 1为整数1.3 An1 A(n 1)
i d 1 d
②实际贴现率d与实际利率i的关系：
d i 1 i
③贴现率d与折现因子v的关系：
d=iv
（4）单贴现、复贴现 ①对于单贴现，第n期的实际贴现率为：
dn
a(n) a(n 1) a(n)
1 nd
1
显然，常数的单贴现率意味着单增的实际贴现率。 ②对于复贴现，第n期的实际贴现率为：
显然，常数的复贴现率意味着常数的实际贴现率。 【例题1.3】已知年利率为9%，为了在第三年末得到10.0；768.0 E．789.7；776.5 【答案】C 【解析】①按单利计算： 1000a1(3) B．786.2；770.2 C．787.4；772.2 D．788.6；774.3
1000 787.4 （元）； 1 0.09 3
1.093 772.18 （元）。
②按复利计算： 1000a1(3) 1000v3 1000
4．名义利率与名义贴现率 （1）定义：在一个度量期中利息支付不止一次或在多个度量期利息才支付一次，称相应的一个度量期的利率 和贴现率为“名义”的。记i（m）为每一度量期付m次利息的名义利率，d（m）为每一度量期付m次利息的名义贴现率。 （2）三个重要关系 ①名义利率i（m）与实际利率i之间的关系：
t t t
【答案】E
abr dr t 【解析】 a t =e0 ea(b 1)lnb
t
2 【解析】由已知条件得：a(t ) e0 t 1 dt t 1 ，
2 所以 d10 a(10) a(9) 1 a(9) 1 102 ， a(10) a(10) 11
2
2 又 1 d (1 d )2 ，故 d 2 1 1 d 2 2 1 10 0.1818 。 10 10 2 11
t
（2）应用：
A t a t A(t ) a(t )
为t时刻的利息力。由δt的定义可知，δt为t时每一单位资金的变化率。
r dr a(t ) e0
t
（3）在利息力为常数的情况下，δ与i的关系为：
ln 1 i ln v
【例题1.7】已知0时刻在基金A中投资一元到t时刻的积累值为1.5t+1，在基金B中投资一元到3t时刻的积累值为 9t2-3t+1元，假设在t时刻基金B的利息力为基金A的利息力的两倍，则0时刻在基金B中投资 10000元，在7t时刻的积 累值为（ ）。[2011年春季真题] B．567902 C．569100 D．570000 E．570292 A．566901 【答案】D 【解析】由题意知，
( m) 1 i 1 i m m
②名义贴现率d（m）与实际贴现率d之间的关系：
1 d
③名义利率i（m）与名义贴现率d（m）之间的关系：
( m) 1 d m
m
( m) ( m) 1 i 1 d m m
显然，常数的复利意味着常数的实际利率。 【例题1.2】某人初始投资额为100，假定年复利为4%，则这个人从第6年到第10年的5年间所赚利息为（ [2008年春季真题] ）。
A．26
B．27
C．28
D．29
E．30
【答案】A 【解析】从第6年到第10年的5年间所赚利息为： 100[（1+0.04）10－（1+0.04）5]=26
m
(6) 1 d 6
m
65
1 i
6 5
1 i