5-3模拟数学

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2025届江西省南昌三校高三第三次模拟考试数学试卷含解析

2025届江西省南昌三校高三第三次模拟考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（） A ．14B ．13C ．532D ．3162．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．3．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（） A ．120种B ．240种C ．480种D ．600种4．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤5．已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R =，则实数a 的值可以为（）A ．2B ．1C ．0D ．2-6．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（） A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -7．函数2|sin |2()61x f x x=+ ）A ．B ．C ．D ．8．如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．5k ≥B ．5k <C ．5k >D ．6k ≤9．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( )A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 10．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（）A ．625B ．627C 63-D ．962-11．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A ．23B ．21C ．35D ．3212．()6321x x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为( ) A ．－60B ．240C ．－80D ．180二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023湘豫名校联考高三5月第三次模拟考试理科数学试题(含答案解析)

数学(理科)参考答案第1 页(共9页)湘豫名校联考2023年5月高三第三次模拟考试数学(理科)参考答案题号123456789101112答案C C B B C D D C D A A B一㊁选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C ʌ命题意图ɔ本题考查元素与集合的关系,考查数据分析的核心素养.ʌ解析ɔ因为U ={1,2,3,4,5},∁U A ={2,4},所以A ={1,3,5}.又∁UB ={3,4},所以B ={1,2,5}.所以3ɪA ,3∉B .故选C .2.C ʌ命题意图ɔ本题考查复数相等,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由i 3=a -b i (a ,b ɪR ),得-i =a -b i .所以a =0,b =1.所以a +b =1.故选C .3.B ʌ命题意图ɔ本题考查向量的投影,考查直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题知,向量b =a +b -a =(-1,7)-(1,3)=(-2,4),所以a ㊃b =-2+12=10.又|b |=4+16=25.所以向量a 在向量b 方向上的投影为a ㊃b |b |=1025=5.故选B .4.B ʌ命题意图ɔ本题考查排列组合㊁古典概型,考查逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ依题意,可得三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为C 13C 24C 222+C 14㊃C 33()㊃A 2234=3ˑ3+4()ˑ234=1427.故选B .5.C ʌ命题意图ɔ本题考查双曲线的标准方程,考查数学运算㊁逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ设双曲线C 1的方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)或y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0),因为C 1和C 2有相同的焦距,双曲线C 2:x 27-y 2=1的焦距为42,所以双曲线C 1的焦距2c =42.若C 1的焦点在x 轴上,将点(3,1)代入x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),得32a 2-12b2=1①.又a 2+b 2=c 2=8②,联立①②两式得a 2=6,b 2=2.所以双曲线C 1的标准方程为x 26-y 22=1.若C 1的焦点在y 轴上,将点(3,1)代入y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0),得12a2-32b2=1③.又a 2+b 2=c 2=8④,联立③④两式得a 2=9-73,b 2=73-1,所以双曲线C 1的标准方程为y 29-73-x 273-1=1.综上所述,双曲线C 1的标准方程为x 26-y 22=1或y 29-73-x 273-1=1.故选C .6.D ʌ命题意图ɔ本题考查四个平均数的大小关系,基本不等式的性质,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ方法一:a b ɤa +b 2()2=14(当且仅当a =b 时取等号),A 正确;易知a +b 2ɤa 2+b 22,则12ɤa 2+b 22,即a 2+b 2ȡ12(当且仅当a =b 时取等号),B 正确;由题得1a +1b +1=11-b +1b +1=21-b 2,1-b 2ɪ(0,1),故1a +1b +1>2,C 正确;易知a +b 2ɤa +b 2=12,即a +b ɤ2(当且仅当a =b 时取等数学(理科)参考答案第2 页(共9页)号),D 错误.故选D.方法二(特殊情况):取a =b =12,则a +b =12+12=2,故D 错误.故选D.7.D ʌ命题意图ɔ本题考查程序框图,考查数学运算㊁逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ执行程序框图,第一次循环:1<5,M =12+12=2,b =2,a =0,n =2;第二次循环:2<5,M =02+22=4,b =1,a =2,n =3;第三次循环:3<5,M =22+12=5,b =3,a =3,n =4;第四次循环:4<5,M =32+32=18,b =4,a =16,n =5;第五次循环:5=5,M =162+42=272,b =17,a =270,n =6,此时6>5,退出循环,输出M =272.故选D .8.C ʌ命题意图ɔ本题考查二项式定理,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ1y +x ()(x +3y )6=1y (x +3y )6+x (x +3y )6.(x +3y )6的展开式的通项为T r +1=C r 6x 6-r (3y )r =C r 63r x 6-r y r .因为1y (x +3y )6的展开式中没有x 4y 3项,x (x +3y )6的展开式中x 4y 3项为x ˑC 3633x 3y 3=540x 4y 3,所以1y+x ()(x +3y )6的展开式中x 4y 3的系数为540.故选C .9.D ʌ命题意图ɔ本题考查等差数列的基本运算,数列的前n 项和,考查数学抽象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ设等差数列的首项为a 1,公差为d ,则由a 1+a 8=2a 5-2,a 3+a 11=26,{得a 1+a 1+7d =2(a 1+4d )-2,a 1+2d +a 1+10d =26,{化简得7d =8d -2,2a 1+12d =26,{解得a 1=1,d =2.{所以a n =1+(n -1)ˑ2=2n -1.设数列a n ㊃c o s n π{}的前n 项和为S n ,则S 2022=-a 1+a 2-a 3+a 4- -a 2021+a 2022=(a 2-a 1)+(a 4-a 3)+ +(a 2022-a 2021)=1011d =2022.故选D .10.A ʌ命题意图ɔ本题考查三棱锥的外接球的体积,考查直观想象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ在әP A Q 中,设A Q =x ,则P Q =x 2+(2)2=x 2+2.所以әP A Q 的周长为2+x +x 2+2ȡ1+2+3.所以x 2+2ȡ1+3-x ,不等式两边平方,得x 2+2ȡ4+23-2(1+3)x +x 2,解得x ȡ1,即A Q 的最小值是1.所以点A 到边B C 的距离为1.当A Q 取最小值时,因为在R t әA B Q 中,A B =2,所以øB A Q =60ʎ.又øB A C =60ʎ,所以C ,Q 两点重合,所以øA C B =90ʎ,即A C ʅB C .又P A ʅ平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以P A ʅB C .因为P A ɘA C =A ,所以B C ʅ平面P A C .因为P C ⊂平面P A C ,所以B C ʅP C .因为P B 是R t әP A B 和R t әP C B 的公共斜边,所以P B 为三棱锥P A B C 的外接球的直径,设外接球的半径为R ,则R =12P B =12P A 2+A B 2=12(2)2+22=62,所以三棱锥P A B C 的外接球的体积V =43πR 3=43πˑ62æèçöø÷3=6π.故选A .11.A ʌ命题意图ɔ本题考查直线与抛物线的位置关系,考查直观想象㊁数学抽象和逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ如图,不妨设点A 在x 轴上方,由抛物线的定义可知|A F |=|AM |,因为øF MD =30ʎ,所以øAM F =90ʎ-30ʎ=60ʎ,所以әAM F 是正三角形.由y 2=4x 可知F (1,0),D (-1,0),设A (x A ,y A ),B (x B ,yB ),因为øF M D =30ʎ,|D F |=2,所以|D M |=23,|M F |=|AM |=4.所以x A =4-1=3.所以点A 的坐标为(3,23),所数学(理科)参考答案第3 页(共9页)以直线A B 的方程为y -230-23=x -31-3,整理得y =3x -3.由y =3x -3,y 2=4x ,{得3x 2-10x +3=0,解得x A =3,x B =13.将x B =13代入直线A B 的方程,得y B =3ˑ13-3=-233.所以点B 的坐标为13,-233æèçöø÷.所以S 四边形A M D B =S 四边形A M D F +S әB D F =12ˑ(2+4)ˑ23+12ˑ2ˑ233=2033.故选A .12.B ʌ命题意图ɔ本题考查通过构造函数,利用导数比较大小,考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔa =11+e 2=1-11e 2+1,b =1e =1e 2,c =l n 1+e 2e 2=l n 1e 2+1(),令f (x )=x -l n (x +1),0<x <1,则f '(x )=1-1x +1=x x +1>0,所以f (x )在(0,1)上单调递增.所以f (x )>f (0)=0,即x >l n (x +1).令g (x )=l n (x +1)-1+1x +1,0<x <1,则g '(x )=1x +1-1(x +1)2=x (x +1)2>0,所以g (x )在(0,1)上单调递增.所以g (x )>g (0)=0,即l n (x +1)>1-1x +1.又当0<x <1时,x >x ,所以当0<x <1时,x >x >l n (x +1)>1-1x +1.所以当x =1e 2时,1e 2>1e 2>l n 1e 2+1()>1-11e 2+1,即b >c >a .故选B .二㊁填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.14x -y -8=0 ʌ命题意图ɔ本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题得f '(x )=6x 2+8x ,所以曲线f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为f '(1)=14.又f (1)=6,所以曲线f (x )=2x 3+4x 2在点(1,f (1))处的切线方程为y -6=14ˑ(x -1),即14x -y -8=0.14.3(答案不唯一,答对即可得分) ʌ命题意图ɔ本题考查直线与圆的位置关系,考查逻辑推理㊁直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ因为圆心C (a ,1)到直线l 的距离d =|a -1|12+(-1)2=|a -1|2,所以r =d 2+|A B |2()2=|a -1|2æèçöø÷2+(2)2,即r 2=|a -1|22+2.由题意,得|a -1|22必为整数,且0<|a -1|2<r ,所以可取a =-1或a =3,此时r =2.因此a 的值可以取3.15.7或8(只答一个不得分) ʌ命题意图ɔ本题考查等比数列的基本运算,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题可知a 4ʂ0,因为8a 7=a 4,所以q 3=a 7a 4=18,解得q =12.又S 6=252,所以a 11-12()6[]1-12=252,解得a 1=128.所以a n =128ˑ12()n -1.令a n =128ˑ12()n -1ɤ1,得n ȡ8.又a 8=128ˑ12()7=1,所以当n =7或8时,a 1a 2 a n 最大.16.15π ʌ命题意图ɔ本题考查正弦函数的图象与性质,考查逻辑推理㊁直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题图知A =2.由f 3π4-x ()=f (x )知,函数f (x )的图象关于直线x =3π8对称.则由图象可知3π8--π8()=K 2T (K ɪN *),解得T =πK (K ɪN *).又π8<T 4,所以T >π2.所以K =1,最小正周期T =π.所以ω=2πT =2.所以f (x )=2s i n (2x +φ).因为函数f (x )的图象经过点-π8,-2(),所以f -π8()=数学(理科)参考答案第4 页(共9页)2s i n -π4+φ()=-2,解得φ=-π4+2k π(k ɪZ ).又|φ|<π2,所以φ=-π4,所以f (x )=2s i n 2x -π4().设方程f (x )=1在(0,λ)上的8个根从小到大依次为x 1,x 2, ,x 8.令2x -π4=π2,则x =3π8.根据f (x )的图象的对称性,可得x 1+x 22=3π8.由f (x )的周期性可得x 3+x 42=3π8+T =11π8,x 5+x 62=3π8+2T =19π8,x 7+x 82=3π8+3T =27π8,所以ð8i =1x i =2ˑ3π8+11π8+19π8+27π8()=15π.三㊁解答题:共70分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22㊁23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.ʌ命题意图ɔ本题考查解三角形,三角形的面积与周长,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为3a s i n C +c c o s A =a +b ,所以由正弦定理得3s i n A s i n C +s i n C c o s A =s i n A +s i n B .1分…………………………………………………………………………………………………………………因为B =π-A -C ,所以s i n B =s i n (π-A -C )=s i n (A +C )=s i n A c o s C +c o s A s i n C ,所以3s i n A s i n C =s i n A c o s C +s i n A .3分……………………………………………………………………因为A ɪ(0,π),所以s i n A ʂ0,所以3s i n C =c o s C +1,即3s i n C -c o s C =1.4分………………………所以2s i n C -π6()=1,即s i n C -π6()=12.5分………………………………………………………………又C ɪ(0,π),所以C =π3.6分…………………………………………………………………………………(2)因为әA B C 的面积为3,所以12a b s i n C =3.由(1)知C =π3,所以a b =4①.8分……………………………………………………………………………由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2a b c o s C ,又c =2,所以a 2+b 2=8②.10分………………………………………………………………………………由①②解得a =b =2.11分………………………………………………………………………………………故әA B C 的周长为a +b +c =6.12分……………………………………………………………………………18.ʌ命题意图ɔ本题考查独立性检验思想㊁离散型随机变量的分布列与数学期望,考查逻辑推理㊁数学运算㊁数据分析的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为套餐价格在[898,1498]内的频率为(0.00100+0.00050+0.00025)ˑ200=0.35,所以选择尊享套餐的客户有0.35ˑ200=70(名).2分………………………………………………………完善2ˑ2列联表如下:选择尊享套餐选择普通套餐合计年龄不低于45岁5070120年龄低于45岁206080合计70130200K 2的观测值k =200ˑ(50ˑ60-70ˑ20)2120ˑ80ˑ70ˑ130ʈ5.861<6.635.4分……………………………………………所以没有99%的把握认为是否选择尊享套餐与年龄有关.5分……………………………………………数学(理科)参考答案第5 页(共9页)(2)由题设,年龄低于45岁的所有客户中,估计选择普通套餐的概率为6080=34,6分……………………易知ξ~B 3,34().7分……………………………………………………………………………………………所以P (ξ=0)=C 03ˑ34()0ˑ14()3=164,P ξ=1()=C 13ˑ34()1ˑ14()2=964,P (ξ=2)=C 23ˑ34()2ˑ14()1=2764,P ξ=3()=C 33ˑ34()3ˑ14()0=2764,9分…………………………所以ξ的分布列为ξ0123P1649642764276410分………………………………………………………………………………………………………………所以E (ξ)=3ˑ34=94.12分……………………………………………………………………………………19.ʌ命题意图ɔ本题考查面面垂直的证明㊁三棱柱的体积㊁二面角等,考查直观想象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)方法一(几何法):如图,作C E ʅA B 于点E ,E F ʊB B 1交A B 1于点F ,连接D F .因为A C =2,B C =3,A B =13,所以A C 2+B C 2=22+32=(13)2=A B 2.所以A C ʅB C .1分……………………………………………………………所以C E =A C ㊃B C A B =2ˑ313=61313.由勾股定理得A E =A C 2-C E 2=22-61313æèçöø÷2=41313,所以E F B B 1=A E A B =4131313=413=C D C C 1,所以E F =C D .3分………………………………………………………又E F ʊB B 1,C D ʊB B 1,所以E F ʊC D .所以四边形E F D C 是平行四边形,所以D F ʊC E .4分…………………………………………………………因为平面A B C ʅ平面A B B 1A 1,平面A B C ɘ平面A B B 1A 1=A B ,C E ʅA B ,所以C E ʅ平面A B B 1A 1.5分……………………………………………………………………………………所以D F ʅ平面A B B 1A 1.又D F ⊂平面A B 1D ,所以平面A B 1D ʅ平面A B B 1A 1.6分……………………………………………………方法二(向量法):因为A C =2,B C =3,A B =13,所以A C 2+B C 2=22+32=(13)2=A B 2.所以A C ʅB C .1分………………………………………………………………………………………………由题知C C 1ʅ平面A B C ,又A C ⊂平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以C C 1ʅA C ,C C 1ʅB C .以点C 为原点,以C A ,C B ,C C 1所在直线分别为x 轴㊁y 轴㊁z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设C C 1=a (a >0),则A (2,0,0),A 1(2,0,a ),B 1(0,3,a ),D 0,0,4a 13().数学(理科)参考答案第6 页(共9页)所以A B 1ң=(-2,3,a ),A D ң=-2,0,4a 13(),A A 1ң=(0,0,a ).2分………设平面A B 1D 的法向量为m =(x ,y ,z ),由m ㊃A B 1ң=-2x +3y +a z =0,m ㊃A D ң=-2x +4a z 13=0,{得x =2a z 13,y =-3a z 13.ìîíïïïï令z =13,得平面A B 1D 的一个法向量为m =(2a ,-3a ,13).3分………设平面A B B 1A 1的法向量为n =(x ',y',z '),由n ㊃A B 1ң=-2x '+3y '+a z '=0,n ㊃A A 1ң=a z '=0,{得y '=23x ',z '=0.{令x '=3,得平面A B B 1A 1的一个法向量为n =3,2,0().4分…………………………………………………因为m ㊃n =6a -6a +0=0,所以m ʅn .5分……………………………………………………………………………………………………所以平面A B 1D ʅ平面A B B 1A 1.6分……………………………………………………………………………(2)因为直三棱柱A B C A 1B 1C 1的体积为392,所以12ˑ2ˑ3ˑC C 1=392,解得C C 1=132.所以C D =2,C 1D =92.7分………………………………………………………………………………………由题知C C 1ʅ平面A B C ,又A C ⊂平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以C C 1ʅA C ,C C 1ʅB C .以点C 为原点,以C A ,C B ,C C 1所在直线分别为x 轴㊁y 轴㊁z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A (2,0,0),B 10,3,132(),D (0,0,2),所以A B 1ң=-2,3,132(),A D ң=(-2,0,2).8分…………………………设平面A B 1D 的法向量为u =(x 1,y1,z 1),由u ㊃A B 1ң=-2x 1+3y 1+132z 1=0,u ㊃A D ң=-2x 1+2z 1=0,{得y 1=-32z 1,x 1=z 1.{令z 1=2,得平面A B 1D 的一个法向量为u =(2,-3,2).9分……………易知平面B B 1D 的一个法向量为v =(1,0,0),10分……………………设二面角A B 1D B 的大小为θ,则c o s θ=u ㊃v |u ||v |=(2,-3,2)㊃(1,0,0)17ˑ1=21717.易知θ为锐角,所以二面角A B 1D B 的余弦值为21717.12分………………………………………………………………20.ʌ命题意图ɔ本题考查椭圆的标准方程㊁直线与椭圆的位置关系㊁三角形的周长等,考查直观想象和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)依题意,әMN F 2的周长为|M F 2|+|MN |+|N F 2|=|M F 1|+|M F 2|+|N F 1|+|N F 2|=4a =12,解得a =3.1分……………………………………………………………………………………………………数学(理科)参考答案第7 页(共9页)设椭圆C 的半焦距为c ,因为椭圆C 的离心率为23,所以e =c a =23,即c 3=23,解得c =2.2分……………………………………………………………………因为a 2=b 2+c2,所以b =a 2-c 2=32-22=5.3分…………………………………………………………………………所以椭圆C 的标准方程为y 29+x 25=1.4分……………………………………………………………………(2)由(1)知,F 1(0,2),A (0,3).易知直线l 的方程为y =k x +2(k ʂ0).5分…………………………………由y =k x +2,y 29+x 25=1,{消去y 得(5k 2+9)x 2+20k x -25=0,Δ>0.6分……………………………………………设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-20k 5k 2+9,x 1x 2=-255k 2+9.7分………………………………………所以k 1=y 1-3x 1=k x 1+2-3x 1=k x 1-1x 1,k 2=y 2-3x 2=k x 2+2-3x 2=k x 2-1x 2.8分………………………………所以k 1+k 2=k -1x 1+k -1x 2=2k -x 1+x 2x 1x 2=65k .k 1㊃k 2=k-1x 1()㊃k -1x 2()=k 2-k ˑx 1+x 2x 1x 2+1x 1x 2=-925.所以1k 1+1k 2=k 1+k 2k 1㊃k 2=-103k .11分……………………………………………………………………………所以1k 1k 1+1k 2()=-103,为定值.12分………………………………………………………………………21.ʌ命题意图ɔ本题考查导数的几何意义,考查利用导数解决不等式恒成立问题,考查逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)由f (x )=e x -s i n x -c o s x -12a x 2,得f '(x )=e x-c o s x +s i n x -a x .1分……………………所以曲线y =f (x )在点π4,fπ4()()处的切线的斜率为f 'π4()=e π4-π4a .2分…………………………所以e π4-π4a =e π4-π,解得a =4.4分…………………………………………………………………………(2)由(1)知,f'(x )=e x-c o s x +s i n x -a x ,所以不等式f '(x )ȡl n (1-x ),即e x-c o s x +s i n x -a x -l n (1-x )ȡ0对任意x ɪ(-ɕ,1)恒成立.5分…………………………………………………………………………………………………………………令g (x )=e x+s i n x -c o s x -a x -l n (1-x )(x <1),则g '(x )=e x+c o s x +s i n x -a +11-x .6分……………………………………………………………………因为g (x )ȡ0,g (0)=0,所以∀x ɪ(-ɕ,1),g (x )ȡg (0),即g (0)为g (x )的最小值,x =0为g (x )的一个极小值点.所以g '(0)=e 0+c o s 0+s i n0-a +11-0=0,解得a =3.7分…………………………………………………当a =3时,g (x )=e x+s i n x -c o s x -3x -l n (1-x )(x <1),所以g '(x )=e x +c o s x +s i n x -3+11-x =e x+2s i n x +π4()-3+11-x.8分……………………………数学(理科)参考答案第8 页(共9页)令φ(x )=e x+11-x -3,h (x )=2s i n x +π4(),易知φ(x )在(-ɕ,1)上单调递增.①当0ɤx <1时,[φ(x )]m i n =φ(0)=-1,[h (x )]m i n =h (0)=1,所以g '(x )ȡg '(0)=0(当且仅当x =0时等号成立),所以g (x )在[0,1)上单调递增.9分…………………………………………………………………………………………………………………②当x <0时,若-π2ɤx <0,则φ(x )<φ(0),h (x )<h (0),所以g '(x )<g '(0)=0;若x <-π2,则φ(x )<φ-π2()=e -π2+2π+2-3,h (x )ɤ2,所以g '(x )<e -π2+2-3+2π+2<12+32-3+2π+2<0.所以g (x )在(-ɕ,0)上单调递减.11分…………………………………………………………………………综上所述,g (x )在(-ɕ,0)上单调递减,在[0,1)上单调递增.所以当a =3时,g (x )ȡg (0)=0.12分…………………………………………………………………………(二)选考题:共10分.请考生在22㊁23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.ʌ命题意图ɔ本题考查极坐标与参数方程,考查直观想象㊁逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为直线l 的参数方程为x =3-32t ,y =3-12t ìîíïïïï(t 为参数),所以消去参数t 可得直线l 的普通方程为x -3y =0.2分……………………………………………………因为曲线C 的极坐标方程为ρ=2s i n θ+π6(),即ρ=3s i n θ+c o s θ,所以ρ2=3ρs i n θ+ρc o s θ.由x =ρc o s θ,y =ρs i n θ,{得x 2+y 2-x -3y =0.所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-x -3y =0.4分……………………………………………………(2)因为点P 的极坐标为23,π6(),所以点P 的直角坐标为(3,3).易得点P 在直线l 上,将直线l 的参数方程x =3-32t ,y =3-12t ìîíïïïï(t 为参数)代入x 2+y 2-x -3y =0,6分………………………………化简得t 2-33t +6=0,Δ>0.设A ,B 两点所对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=33,t 1t 2=6,8分………………………………………所以t 1>0,t 2>0.所以1|P A |+1|P B |=1|t 1|+1|t 2|=1t 1+1t 2=t 1+t 2t 1t 2=336=32.10分………………………………………23.ʌ命题意图ɔ本题考查绝对值不等式的求解,绝对值不等式恒成立问题,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.数学(理科)参考答案第9 页(共9页)ʌ解析ɔ(1)当a =2时,f (x )=|x +4|+|x -4|,1分……………………………………………………………不等式f (x )ɤ13,即为|x +4|+|x -4|ɤ13.则x ɤ-4,-(x +4)-(x -4)ɤ13,{或-4<x <4,(x +4)-(x -4)ɤ13,{或x ȡ4,(x +4)+(x -4)ɤ13.{3分……………………解得-132ɤx ɤ-4或-4<x <4或4ɤx ɤ132.4分……………………………………………………………故不等式f (x )ɤ13的解集为-132,132[].5分…………………………………………………………………(2)f (x )=|x +4|+|x -2a |ȡ|x +4-(x -2a )|=|2a +4|(当且仅当(x +4)(x -2a )ɤ0时等号成立)6分…………………………………………………………………………………………………………………因为f (x )ȡa 2+5a 恒成立,所以|2a +4|ȡa 2+5a .7分………………………………………………………所以2a +4ȡa 2+5a ①或2a +4ɤ-(a 2+5a )②.8分…………………………………………………………由①解得-4ɤa ɤ1,由②解得-7-332ɤa ɤ-7+332.9分………………………………………………综上所述,-7-332ɤa ɤ1,故实数a 的取值范围是-7-332,1[].10分………………………………。

2019版高考数学(5年高考3年模拟)B版(江苏专用)教师用书：集合+PDF版含答案

２０４８－６４＝１９８４，２０４８－１２８＝１９２０，故所求和等于１９８４＋１９２０＝３９０４．
第一章㊀集合与常用逻辑用语
㊀１
第一章㊀集
㊀㊀１．集合的含义及表示为ɪ和∉．
（１）集合中元素的三个特性：确定性㊁㊀互异性㊀㊁㊀无序性㊀．（３）集合的三种表示方法：㊀列举法㊀㊁㊀描述法㊀㊁图示法．（１）子集：若对任意ｘɪＡ，都有㊀ｘɪＢ㊀，则Ａ⊆Ｂ或Ｂ⊇Ａ．（３）相等：若Ａ⊆Ｂ，且㊀Ｂ⊆Ａ㊀，则Ａ＝Ｂ．
２
ȵ 方程ｘ２＋（ｍ＋１）ｘ＋ｍ＝０的判别式 Δ ＝（ｍ＋１）２－４ｍ＝（ｍ－ ①若Ｂ＝｛－１｝，则ｍ＝１； ②若Ｂ＝｛－２｝，则－（ｍ＋１）＝（－２）＋（－２）＝－４，且ｍ＝（－２） ˑ
答案㊀１或２解析㊀Ａ＝｛－２，－１｝，由（ ∁ＵＡ） ɘＢ＝ ⌀，得Ｂ⊆Ａ，
��
１） ȡ０，ʑ Ｂʂ⌀． ʑ Ｂ＝｛－１｝或Ｂ＝｛－２｝或Ｂ＝｛－１，－２｝．
２２２－１㊀设Ｕ＝Ｒ，集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ＋３ｘ＋２＝０｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ＋（ｍ＋１）ｘ＋
｛ｘ｜ｘȡａ－１｝，若ＡɣＢ＝Ｒ，则ａ的取值范围为㊀㊀㊀㊀．解析㊀（１）Ａ＝｛ｘ｜０＜ｘ＜３｝，要使ＡɘＢ有４个子集，则Ａ ɘ Ｂ中应有两个元素，因为Ｂ＝｛１，ａ｝，所以ａ ɪ（０，３），又ａ ʂ１，所以ａ的取值范围是（０，１） ɣ（１，３）．（２）若ａ＞１，则集合Ａ＝｛ｘ｜ｘȡａ或ｘɤ１｝，利用数轴可知，要１｝，显然满足ＡɣＢ＝Ｒ，故ａ＜１符合题意．综上所述，ａ的取值范围为（－ ɕ ，２］．答案㊀（１）（０，１） ɣ（１，３）㊀（２）（－ ɕ ，２］表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．（２）已知集合的运算结果求参数，要注意分类讨论思想的灵活应用．方法技巧㊀（１）集合中的元素若是离散的，则用Ｖｅｎｎ图使ＡɣＢ＝Ｒ，需要ａ－１ɤ１，则１＜ａɤ２；若ａ＝１，则集合Ａ＝Ｒ，满足ＡɣＢ＝Ｒ，故ａ＝１符合题意；若ａ＜１，则集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ ɤ ａ或ｘ ȡ

2023-2024学年北京高三三模数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年北京市高三三模数学模拟试题一、单选题1．如图，集合A B ､均为U 的子集，()U A B ⋂ð表示的区域为（）A ．IB ．IIC ．IIID ．IV【正确答案】D【分析】由补集和交集的概念求解即可.【详解】由补集的概念，U A ð表示的区域如下图所示阴影区域，∴()U A B ⋂ð表示的区域为下图所示阴影区域，即为图中的区域Ⅳ.故选：D.2．在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（）A ．()tan =f x xB ．()f x x =C ．()2xf x =D ．()2f x x=【正确答案】C【分析】A.利用正切函数的性质判断；B.利用绝对值函数的性质判断；C.利用指数函数的性质判断；D.利用二次函数的性质判断.【详解】解：A.()tan =f x x 的增区间为πππ,π,Z 22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，在整个定义域上不单调，故错误；B.()f x x =的增区间是[0,)+∞，在整个定义域上不单调，故错误；C.()2xf x =在R 上递增，故正确；D.()2f x x =的增区间是[0,)+∞，在整个定义域上不单调，故错误；故选：C3．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.4．已知tan 2x =，则tan 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．3B ．－3C ．13D ．34-【正确答案】B【分析】利用两角和的正切公式求解.【详解】解：因为tan 2x =，所以πtan tanπ214tan 3π41211tan tan 4x x x ++⎛⎫+===- ⎪-⋅⎝⎭-⋅，故选：B5．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2023年5月1日12350002023年5月15日6035500注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升【正确答案】D【分析】分析表中数据，得出行驶路径和耗油量，可计算结果.【详解】由表中的数据可知，行驶路径500千米耗油量为60升，则该车每100千米平均耗油量为60125=升.故选：D6．已知||1,||0OA OB OA OB =⋅=，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒.设()OC mOA nOB m n =+∈R、，则mn等于（）A ．13B ．3CD 【正确答案】B【分析】由题意可得OA OB ⊥,建立坐标系，由已知条件可得()OC m =，进而可得tan 30︒==，即可得答案.【详解】解：因为||1,||0OA OB OA OB =⋅=，所以OA OB ⊥ ,又因为点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，建立如图所示的坐标系：则(1,0)OA = ,OB =,又因为()OC mOA nOB m n =+∈R、，所以()OC m =，所以tan 303m ︒==，所以3mn=.故选：B.7．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.所以sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.8．已知{}n a 为无穷等差数列，则“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据等差数列性质结合充分、必要条件分析判断.【详解】“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”，不能推出“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”，例如32n a n =-，则121,1a a ==-，即1,2i j ==，满足120i j a a a a +=+=，但令320k a k =-=，则*32k =∉N ，故不存在存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =，故“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的不充分条件；若“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”，则取11,1i k j k =-≥=+，则1120i j k k k a a a a a -++=+==，故“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的必要条件；综上所述：“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的必要不充分条件.故选：B.9．十八世纪，瑞士数学家欧拉研究调和级数时，得到了以下结果：当n 很大时，1111ln 23n nγ++++=+ （其中γ为常数，其近似值为0.577）据此，可以估计111200012000230000+++ 的值为（）A ．4ln10B ．ln6C ．ln2D ．3ln2【正确答案】D【分析】根据已知结论得两个等式相减即可得解.【详解】由题意得1111ln300002330000γ++++=+ ,1111ln200002320000γ++++=+ ，两式相减得，111300003ln 30000ln 20000ln ln 200012000230000200002+++=-== .故选：D ．10．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”.已知常数0,0p q ≥≥，给出下列命题：①若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个；②若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有2个；③若0pq ≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有4个.上述命题中，正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】D【分析】根据“距离坐标”的定义，依次分析各命题即可得答案.【详解】解：①，若0p q ==，则“距离坐标”为()0,0的点是两条直线的交点O ，因此有且仅有1个，故正确.②，若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为()0,q 或(),0p 的点有且仅有2个，故正确.③若0pq ≠，则0,0p q ≠≠，“距离坐标”为(),p q 的点有且仅有4个，为123,,,M M M M ，如图，故正确.故正确的命题个数为3个.故选：D二、填空题11．若5(1a =+,a b 为有理数），则a b +=_______________．【正确答案】120【分析】利用二项式定理展开5(1并计算，再利用有理项、无理项求解作答.【详解】由二项式定理得：1234555555513C 9C 97644(1=+++++=+依题意，76a +=+,a b 为有理数，因此76,44a b ==，所以120a b +=.故12012．银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，但记得密码的最后1位是偶数，则在第一次没有按对的条件下第2次按对的概率是_________．【正确答案】14/0.25【分析】根据条件概率公式直接计算即可.【详解】记事件A ：第一次没有按对密码；事件B ：第二次按对密码；()45P A =，()411545P AB =⨯=，()()()14P AB P B A P A ∴==.故答案为.14三、双空题13．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则bc=_______，cos A 的值为________．【正确答案】3214-【分析】利用正弦定理边角互化即可求得b c，利用余弦定理即可求得cos A .【详解】因为ABC 中，2sin 3sin B C =，所以由正弦定理可得23b c =，即32b c =.又因为14b c a -=，所以2a c =，所以由余弦定理可得()2222223212cos 32422c c c b c a A bc c c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===-⨯⨯，故32；14-14．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意的正整数n ，都满足：11122n nn a a +-=+，若112a =，则3a =________，2023S =______________．【正确答案】11220232024【分析】直接利用条件可递推出第三项，利用累加法可得数列通项再用裂项相消法求和即可.【详解】由11122n n n a a +-=+和112a =可得：21232311111146,612,a a a a a a -=⇒=∴-=⇒=即3a =112；由11122n n n a a +-=+可得：()112211111112,21,...,4n n n n n n a a a a a a ----=-=--=，累加得()()()124111111211n n n n a a a n n n n +--=⇒==-++，所以20231111112023 (1223202320242024)S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故112，20232024四、填空题15．已知曲线:44C x x y y -=．①若00(,)P x y 为曲线C 上一点，则0020x y ->；②曲线C 在()0,1-处的切线斜率为0；③R,20m x y m ∃∈-+=与曲线C 有四个交点；④直线20x y m -+=与曲线C无公共点当且仅当((),0,m ∈-∞⋃+∞．其中所有正确结论的序号是_____________．【正确答案】①②【分析】分x 、y 的符号情况化简曲线C 的方程，从而可画出曲线C 的图象，结合图象逐一分析即可.【详解】当0x ≥，0y ≥时，曲线C 的方程为2244x y -=，即2214x y -=，曲线C 是双曲线的一部分；当0x ≥，0y <时，曲线C 的方程为2244x y +=，即2214x y +=，曲线C 是椭圆的一部分；当0x <，0y ≥时，曲线C 的方程为2244x y --=，曲线C 不存在；当0x <，0y <时，曲线C 的方程为2244x y -+=，即2214x y -=，曲线C 是双曲线的一部分；双曲线2214x y -=和2214y x -=有一条共同的渐近线20x y -=，综上，可作出曲线C的图象，如图：由图象可知曲线C 的图象上的点都在直线20x y -=的下方，所以当00(,)P x y 在曲线C 上时，有0020x y ->，故①正确；设过点()0,1-的直线l 的方程是1y kx =-，若直线l 与椭圆2214x y +=相切，则由22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得221408()k x kx -+=，2640k ∆==，得0k =；若直线l 与双曲线2214x y -=相切，则由22114y kx x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(41)80k x kx --=，则2410k -≠且2640k ∆==，得0k =，此时直线l 的方程是1y =-，与曲线C 相切，故②正确；直线20x y m -+=是表示与直线20x y -=平行或重合的直线，由曲线C 的图象可知，直线20x y m -+=与曲线C 不可能有四个交点，故③错误；设直线20x y n -+=与椭圆2214x y +=相切，则由222014x y n x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得228440y ny n -+-=，所以221632(4)0n n ∆=--=，解得n =±C的图象，取n =-，即直线20x y --=与曲线C 相切，所以若直线20x y m -+=与曲线C 无公共点，结合曲线C 的图象，0m ≥或m <-.故①②.方法点睛：1.曲线方程中带有绝对值，一般是分绝对值里的式子的符号讨论去绝对值；2.直线与曲线的交点问题常采用数形结合的方法.五、解答题16．在ABC 中，76cos a b B =．(1)若3sin 7A =，求B ∠；(2)若8c =，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在.求ABC 的面积条件①：sin 47A =；条件②：sin B =【正确答案】(1)4π；(2)【分析】（1）直接由正弦定理边化角，结合倍角公式即可求解；（2）若选①：由正弦定理及倍角公式得4sin 23B =，ABC 不存在；若选②：先判断cos 0B >，再由sin 2B =求出cos B ，由73a b =及余弦定理求得a ，再计算面积即可.【详解】（1）由正弦定理得：7sin 6sin cos 3sin 2A B B B ==，又3sin 7A =，故sin 21B =，又()0,B π∈，故22B π=，4B π=；（2）若选①：由正弦定理得：7sin 6sin cos 3sin 2A B B B ==，又sin 47A =，故4sin 23B =，此时ABC 不存在；若选②：由7cos 06a B b =>，又sin 2B =，则1cos 2B =，73a b =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2276483a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解得3a =或245a =-（舍去），故ABC的面积为1sin 2ac B =.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,//ABCD AD AB AB DC ⊥，2,1AD DC AP AB ====，点E 为棱PC的中点．（1）证明：BE DC ⊥；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（2（3．【分析】（1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明BE DC ⊥，；（2）向量法：先求平面PBD 的法向量A ，然后利用公式1sin cos ,n BE n BE n BEθ⋅==⋅ 求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面ABF 和平面PBA 的法向量12,n n ，再利用公式121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅ 来求二面角F AB P --的余弦值．【详解】依题意，以点E 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得(1,0,0),(2,2,0)B C ，(0,2,0),(0,0,2)D P ，由点E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ．（1）向量()0,1,1BE = ，()2,0,0DC = ，故0BE DC ⋅= ．∴BE CD ⊥．（2）向量(1,2,0),(1,0,2)BD PB =-=- ，设()1,,n x y z = 为平面PBD 的法向量，则00n BD n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩，不妨令1z =，可得()2,1,1n = 为平面PBD 的一个法向量．于是有3cos ,||||62n BE n BE n BE ⨯〈〉==⨯⨯ ，∴直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33．（3）()2,2,2,(2,2,0),(1,0,0),CP AC AB =--== ，由点F 在棱PC 上，故(12,22,2)BF BC CF BC lCP l l l =+=+=-- ，由BF AC ⊥，得+22(12)(22=0)l l --，解得34l =，即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．设1(,,)n x y z = 为平面ABF 的法向量，则1100n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，不妨令1z =，可得1(0,3,1)n =- 为平面ABF 的一个法向量．取平面PAB 的法向量2(0,1,0)n = ，则121212310cos ,1010n n n n n n ⋅===-⋅ ．易知，二面角F AB P --31010．空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18．诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：第一周第二周第三周第四周第一个周期95%98%92%88%第二个周期94%94%83%80%第三个周期85%92%95%96%（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数X ；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.【正确答案】（1）91%（2）见解析（3）两次活动效果均好．详见解析【分析】（1）利用平均数公式能求出表中十二周“水站诚信度”的平均数；（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望；（3）根据后继一周都有提升可得两次活动效果均好．【详解】（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数：959892889494838085929596191%12100x +++++++++++=⨯=.（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，()1212044464P X ==⨯⨯=，()3211211444444P X ==⨯⨯+⨯⨯1231444464+⨯⨯=，()3213212444444P X ==⨯⨯+⨯⨯3233044464+⨯⨯=，()32318344464P X ==⨯⨯=，∴X 的分布列为：X 0123P 1327321532932171590123232323232EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）两次活动效果均好．理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%94%→和80%到85%看出，后继一周都有提升．本题考查平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．19．已知函数()ln f x ax x x =-．(1)当1a =时，求()f x 的零点；(2)讨论()f x 在[]1,e 上的最大值；(3)是否存在实数a ，使得对任意0x >，都有()f x a ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．【正确答案】(1)ex =(2)答案见解析(3)存在，a 的取值范围是1a =【分析】（1）利用导函数判断()f x 的单调性，进而判断零点的情况即可；（2）利用导函数判断()f x 在区间[]1,e 的单调性，进而求最值即可；（3）由题意只需()max f x a ≤即可，利用（2）中结论即1e 0a a --≤，利用导数求a 的范围即可.【详解】（1）()ln f x ax x x =-的定义域为()0,∞+，当1a =时，()ln f x x x x =-，()ln f x x '=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，又因为当0x →时()0f x >，()11f =，()e 0f =，所以()f x 仅有一个零点，e x =.（2）()1ln f x a x =--'，令()0f x '=，解得1e a x -=，在区间()0,∞+内，x ()10,e a -1e a -()1e,a -+∞()f x '+0-()f x 单调递增极大值单调递减当1e 1a -≤（即1a ≤）时，在[]1,e 上()f x 单调递减，()max ()1f x f a ==，当1e e a -≥（即2a ≥）时，在[]1,e 上()f x 单调递增，()max ()e e e f x f a ==-，当11e e a -<<（即12a <<）时，在1e ,e a -⎡⎤⎣⎦上()f x 单调递增，在11,e a -⎡⎤⎣⎦上()f x 单调递减，()()1111max ()e e e 1e a a a a f x f a a ----==--=．综上所述，当1a ≤时，()f x 的最大值为a ，当2a ≥时，()f x 的最大值为e e a -，当12a <<时，()f x 的最大值为1e a -.（3）由（2）知在()0,∞+上，()11max ()ee a af x f --==，构造函数()()11e e a a g a f a a --=-=-，由题意应使()0g a ≤，()1e 1a g a -'=-，令()0g a '=，解得1a =．a (),1-∞1()1,+∞()g a '-0+()g a 单调递减极小值单调递增所以()min ()10g a g ==，所以使()0g a ≤的实数a 只有1a =，即a 的取值范围是1a =．20．已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．【正确答案】（Ⅰ（Ⅱ）1；（Ⅲ）平行，理由见解析．【详解】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先将椭圆方程化为标准方程，得到a ，b ，c 的值，再利用c e a=计算离心率；（Ⅱ）由直线AB 的特殊位置，设出A ，B 点坐标，设出直线AE 的方程，由于直线AE 与3x =相交于M 点，所以得到M 点坐标，利用点B 、点M 的坐标，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB 和直线AE 的方程，将椭圆方程与直线AB 的方程联立，消参，得到12x x +和12x x ，代入到1BM k -中，只需计算出等于0即可证明BM DE k k =，即两直线平行.试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2213x y +=.所以a =1b =，c所以椭圆C 的离心率c e a ==.（Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -.直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -.所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-.（Ⅲ）直线BM 与直线D E 平行.证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =.又因为直线D E 的斜率10121DE k -==-，所以//BM DE .当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--.令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--.由2233{(1)x y y k x +==-，得2222(13)6330k x k x k +-+-=.所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k -=+.直线BM 的斜率11212323BM y x y x k x +---=-.因为()()()()()()()11212121131232132BM k x x k x x x x k x x -+--------=--121221(1)[2()3)(3)(2)k x x x x x x --++-=--2222213312(1)[3)1313(3)(2)k k k k k x x -+-+-++=--0=，所以1BM DE k k ==.所以//BM DE .综上可知，直线BM 与直线D E 平行.椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.21．若项数为()3N N ≥的数列12:,,,N N A a a a 满足：()*11,N 2,3,,i a a i N =∈= ，且存在{}2,3,,1M N ∈- ，使得{}{}11,2,111,2,1n n n M a a M n N +⎧≤≤-⎪-∈⎨--≤≤-⎪⎩，则称数列N A 具有性质P .(1)①若3N =，写出所有具有性质P 的数列3A ；②若44,3N a ==，写出一个具有性质P 的数列4A ；(2)若2024N =，数列2024A 具有性质P ，求2024A 的最大项的最小值；(3)已知数列1212:,,,,:,,,N N N N A a a a B b b b 均具有性质P ，且对任意{},1,2,,i j N ∈ ，当i j ≠时，都有,i j i j a a b b ≠≠．记集合{}112,,,N T a a a = ，{}212,,,N T b b b = ，求12T T ⋂中元素个数的最小值.【正确答案】(1)①3A ：1，2，1或1，3，1或1，3，2；②4A ：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）(2)1013(3)3【分析】（1）直接根据性质P 的概念一一列举即可；（2）根据性质P 及累加法得M a M ≥和2025M a M ≥-，两式相加即可求解；（3）根据性质P 及累加法得23M a N ≤-，23M b N ≤-，求出并集中元素个数的最大值，从而求出交集中的元素个数最小值.【详解】（1）①3A ：1，2，1或1，3，1或1，3，2；②4A ：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）（2）当2024N =时，{}2,3,,2023M ∈ ．由12111,1,,1M M a a a a a -=-≥-≥ ，累加得M a M ≥；又由20242023202411,1,,1M M a a a a a +≥-≥-≥ ，累加得2025M a M ≥-；相加得22025M a ≥，又*M a ∈N ，所以1013M a ≥.所以数列2024A 的最大项M a 的最小值为1013，一个满足条件的数列为()()1,2,,101320261014,1015,,2024n n n a n n ⎧=⎪=⎨-=⎪⎩ ；（3）由12111,2,,2M M a a a a a -=-≤-≤ ，累加得21M a M ≤-．又1M N ≤-，所以23M a N ≤-，同理，23M b N ≤-，所以{}()12121,2,,23,card 23T T N T T N ⋃⊆-⋃≤- ，因为()()12card card T T N ==，所以()()()()121212card card card card 3T T T T T T ⋂=+-⋃≥，所以12T T ⋂中元素个数的最小值为3，一组满足条件的数列为()()()()()11211,2,,1222,3,,12425n n n n n N a b n n N N n N N n N ⎧=⎧-=-⎪⎪==-=-⎨⎨-=⎪⎩⎪-=⎩ ，此时{}121,24,25T T N N ⋂=--.思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题，关于新定义题的思路有：(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思；(2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言；(3)将已知条件代入新定义的要素中；(4)结合数学知识进行解答.。

2025届浙江绍兴市高三3月份模拟考试数学试题含解析

2025届浙江绍兴市高三3月份模拟考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（）AB ．1C ．2D2．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（） A ．2B ．3C ．-2D ．-33．已知复数z 满足(1)43z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为（）A B ．2C ．52D ．544．已知双曲线22214x y b -=（0b >0y ±=，则b =（）A ．BCD ．5．已知函数()sin(2)4f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4g x x π=+的图象，则ϕ的最小值为（） A ．4πB ．38π C ．2π D ．58π 6．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（） A ．48B ．60C ．72D ．1207．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．8．要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（）A ．向右平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 9．已知集合{}2|2150A x x x =-->，{}|07B x x =<<，则()R A B 等于( )A ．[)5,7-B ．[)3,7-C ．()3,7-D ．()5,7-10．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（） A 5 B ．35C ．79D 2311．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（） A ．33i -B ．33i +C ．13i +D ．13i -12．将一块边长为cm a 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为3722cm ，则a 的值为（）A ．6B ．8C ．10D ．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023届宁夏回族自治区银川一中高三下学期5月第三次模拟数学(理)试题(PDF版)

绝密★启用前银川一中2023届高三下学期5月第三次模拟理科数学试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}1,3,5,7A =，},31|{*N x x x B ∈<<-=，则A B ⋃中的元素个数为 A ．6B ．5C ．4D ．32．已知R a ∈，复数)31)((i i a -+是实数，则=a A ．31B ．31-C ．3D ．3-3．命题“有一个偶数是素数”的否定是 A ．任意一个奇数是素数B ．任意一个偶数都不是素数C ．存在一个奇数不是素数D ．存在一个偶数不是素数4．如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有12行、122字铭文．铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载．“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的高约为40cm ，上口的直径约为28cm ，圆柱的高和底面直径分别约为24cm ，18cm ，则“何尊”的体积大约为 A ．40933 cm π B ．40823 cm πC ．40633 cm πD ．42823 cm π5．已知54sin =α，α是第一象限角，且tan()1αβ+=，则tan β的值为 A ．34-B ．34 C ．17-D ．176．已知两条不同的直线l ，m 及三个不同的平面α，β，γ，下列条件中能推出//αβ的是A ．l 与α，β所成角相等B ．αγ⊥，βγ⊥C ．l α⊥，m β⊥，//l mD ．l ⊂α，m β⊂，//l m7．函数m x x x f ++=22log )(在区间(2,4)上存在零点．则实数m 的取值范围是A ．)18,(--∞B ．),5(+∞C ．)18,5(D ．)5,18(--8．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将△POA 的面积表示为x 的函数f （x ），则y =f （x ）在[﹣π，π]上的图象大致为A B9．在ABC 中，9030C B ∠=︒∠=︒，，BAC ∠的平分线交BC 于点D ．若AD AB AC λμ=+(,)λμ∈R ，则λμ= A ．13B ．12C ．2D ．310．已知双曲线)0(15:22>=-m mx y C 的上、下焦点分别为1F ，2F ，若存在点(,)M λλ，使得52||||12=-MF MF ，则实数m 的取值范围为 A ．(1,+∞)B ．(1,5)C ．(5,+∞)D ．(0,5)11．英国数学家泰勒1712年提出了泰勒公式，这个公式是高等数学中非常重要的内容之一.其正弦展开的形式如下：357211sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n --=-+-++-+-，（其中x ∈R ，*N n ∈），则111111(1)2!4!6!(22)!n n --+-++-+-的值约为（1弧度57≈︒）A ．sin57︒B ．sin57-︒C ．sin33-︒D ．sin33︒yxOAP12．已知关于x 的不等式e ax x b ≥+对任意x R ∈恒成立，则ba的最大值为 A ．12B ．1C ．2e D ．e二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则n =__________.14．若函数2()ln 2x f x x =-在区间)31,(+m m 上不单调，则实数m 的取值范围为________．15．已知直线l ：220kx y k --+=被圆C ：16)1(22=++y x 所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l 有______________条.16．已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，所对的角分别为A 、B 、C ，且满足cb ac b b a ++=+++311，且△ABC 的外接圆的面积为π3，则1s i n )(42c os )(+++=x c a x x f 的最大值的取值范围为___________．三、共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分) 17．(12分)已知公差不为零的等差数列{}n a 的首项为1，且125,,a a a 是一个等比数列的前三项，记数列{}n a 的前n 项和为n S ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}(1)nn S -的前20项的和．18．(12分)如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB BC ⊥，且1AB AP BC ===，2AD =.(1)求证：CD ⊥平面PAC ；(2)若E 为PC 的中点，求PD 与平面AED 所成角的正弦值.为保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设，某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x (单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图：(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x 和样本方差2s (同一组的数据用该组区间中点值代表)；(2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x 大致服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .①一般正态分布),(2σμN 的概率都可以转化为标准正态分布()0,1N 的概率进行计算：若()2~,X N μσ，令X Y μσ-=，则()~0,1Y N ，且()a P X a P Y μσ-⎛⎫≤=≤⎪⎝⎭.利用直方图得到的正态分布，求()10P X ≤；②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z 表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求Z 的均值.403≈，若()~0,1Y N ，则()0.750.7734P Y ≤=.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，有两个不同的点P 、Q 在椭圆C 上运动，且PF 的最小值为-P 不在x 轴上时点P 与椭圆C 的左、右顶点连线的斜率之积为12-.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线:20l x y -=与椭圆C 在第一象限交于点A ，若PAQ ∠的内角平分线的斜率不存在.探究：直线PQ 的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由.21．(12分)已知函数()()()()e 0=+->xf x x b a b 在()()1,1f --处的切线方程为()e 1e e 10x y -++-=．(1)求a ，b 的值；(2)若方程()f x m =有两个实数根12,x x①证明：12m >-;②当0<m 时，12||12+>-m x x 是否成立？如果成立，请简要说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．[选修4－4：坐标系与参数方程]下图所示形如花瓣的曲线G 称为四叶玫瑰线，并在极坐标系中，其极坐标方程为2cos 2ρθ=．(1)若射线l ：6πθ=与G 相交于异于极点O 的点P ，G 与极轴的交点为Q ，求PQ ；(2)若A ，B 为G 上的两点，且23AOB π∠=，求AOB 面积S 的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]设函数()2221f x x x =-++． (1)解不等式()4f x x ≤+；(2)令()f x 的最小值为T ，正数a ，b ，c 满足a b c T ++=．2023届高三下学期5月第三次模拟数学(理科)参考答案13．5 14．<m<1 15．9 16．（12，24]三、解答题 17．【答案】(1)21n a n =-，N n *∈ (2)210 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，又11a =，所以()11n a n d =+-．因为125,,a a a 是一个等比数列的前三项，所以2125a a a =．即214(1)d d +=+又0d ≠，所以2d =所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，N n *∈（2）由（1）知数列{}n a的前n 项和21212n n S n n +-=⨯= 所以2(1)(1)n n n S n -=-，数列{}(1)n n S -的前20项的和为 ()()()2222221201234192012341920202102+-++-+++-+=++++++=⨯= 18.【答案】(1)证明见解析【详解】（1）作CF AD ⊥，垂足为F ，易证，四边形ABCF 为正方形. 所以1CF AF DF ===，CD =又AC =因为222AC CD AD +=，所以AC CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥. 又AC PA A ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC .（2）以点A 为坐标原点，以,,AB AD AP 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,0,1P ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭.则(0,2,0)AD =，(0,2,1)PD =-，111(,,)222AE =.设平面AED 的法向量为(),,n x y z =，由00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11102220x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，令1z =，可得平面AED 的一个法向量为()1,0,1n =-. 设PD 与平面AED 所成角为θ，则sin cos ,2n PD n PD n PDθ⋅-====⨯⋅19.【答案】(1)9x =，21.78s =；(2)①0.7734；②4.532. 【详解】（1）根据频率分布直方图知，阅读时间在区间[5.5,6.5),[6.5,7.5),[7.5,8.5),[8.5,9.5),[9.5,10,5),[10.5,11.5),[11.5,12.5] 内的频率分别为0.03,0.1,0.2,0.35,0.19,0.09,0.04，60.0370.180.290.35100.19110.09120.049x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 222222(69)0.03(79)0.1(89)0.2(99)0.35(109)0.19s -⨯+-⨯+-⨯+-⨯⨯=+-22(119)0.09(129)0.04 1.78+-⨯+-⨯=，所以样本平均数x 和样本方差2s 分别为9，1.78.（2）①由题意知9μ=，2 1.78σ=，则有(9,1.78)X N ，43σ≈，109(10)()(0.75)0.773443P X P Y P Y -≤=≤=≤=， ②由①知(10)1(10)0.2266P X P X >=-≤=，可得(20,0.2266)Z B ，所以Z 的均值()200.2266 4.532EZ =⨯=.20．【答案】(1)22163x y +=(2)直线PQ 的斜率为定值1，理由见解析【详解】（1）设()11,P xy ，椭圆C 的左、右顶点坐标分别为(),0a -，(),0a ，故221222111222221111112x b a y y y b x a x a x a x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅===-=--+--，即222a b =，则2222c a b b =-=，又a c -b -=b =a即椭圆C 的方程为22163x y +=.（2）联立2216312x y y x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩，又A 在第一象限，所以()2,1A ，由题意知PAQ ∠的内角平分线的斜率不存在，即该角平分线与x 轴垂直，设直线AP 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为k -，设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线AP 的方程为()12y k x -=-，即12y kx k =+-，由2212163y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()()222214128840k x k k x k k ++-+--=，因为P 、A 为直线AP 与椭圆的交点，所以212884221k k x k --=+，即21244221k k x k --=+，把k 换为k -得22244221k k x k +-=+，所以212821k x x k -=+，所以()()()212112*********ky y kx k kx k k x x k -=-++-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+，所以直线PQ 的斜率21211y y k x x -==-，即直线PQ 的斜率为定值1. 21．【答案】(1)1a =，1b = (2)①证明见解析，②成立，理由见解析（1）解：()()1e xf x x b a =++-'，因为函数()f x 在()()1,1f --处的切线方程为()e 1e e 10x y -++-=，所以()111e e b f a '-=-=-，()()1110e f b a ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭， ∴1a =，1b =或1e=a ，2e b =-（舍），所以1a =，1b =；（2）①证明：由（1）可知()()()1e 1x f x x =+-，()()2e 1xf x x '=+-，令()()()2e 1xg x f x x '==+-，则()()3e xg x x '=+，令()0g x '=，得3x =-，所以函数()g x 在(),3-∞-上递减，在()3,-+∞上递增，所以()()min 3g x g =-，即()()3min 3e 10f x f -''=-=--<，又x →+∞，()f x '→+∞，3x <-，()0f x '<，且()010f '=>，()1110ef '-=-<，∴()01,0x ∃∈-，使得()00f x '=，即()002e 10xx +-=，即001e 2x x =+，当0x x <时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在()0,x -∞上递减，在()0,x +∞上递增，所以()()()()()0000min 011e 1112xf x f x x x x ⎛⎫==+-=+-⎪+⎝⎭()()()()()22000000211122222x x x x x x +-⎡⎤+⎡⎤⎣⎦=-=-=-++-⎢⎥+++⎣⎦， ∵()01,0x ∈-，∴()021,2x +∈，令()()1,1,2h x x x x =+∈，则()()2110,1,2h x x x'=->∈ ，所以函数()h x 在()1,2上递增，故()001522,22x x ⎛⎫++∈ ⎪+⎝⎭，所以()001122,022x x ⎡⎤⎛⎫-++-∈-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦，即()min 12f x >-， ∴12m >-；②解：成立，理由如下：当直线过()1,0-，()()00,x f x 时割线方程为()()()00112x y x mx +=-+=+，得()()030211m x x x -+=-+，当直线过()0,0，()()00,x f x 时割线方程为()()200012x y x m x x -+==+，得()()0042021mx x x x -+=+， ∴()()()0124320002112111222m x mx x x x m x x x +->-=+=+>++++-+.选考题【详解】（1）将6πθ=代入方程2cos 2ρθ=，得，2cos13P πρ== ，则P 的极坐标为1,6π⎛⎫⎪⎝⎭. 又G 与极轴的交点为Q 的极坐标为()2,0.则PQ =（2）不妨设()(),0A A ρθθπ≤≤，2,3B B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则2cos 2A ρθ=，42cos 23B πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 所以，AOB的面积12sin 23A B A B S πρρρ==414cos 2cos 22cos 2232πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+=⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)2332sin 2cos 21cos 4sin 424θθθθθ=+=++41cos 4416πθθθ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 所以，当3462ππθ-=，即512πθ=时，max S =所以，AOB 面积S23．【答案】(1)35,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)证明见解析【详解】（1）解：因为()41,1122213,12114,2x x f x x x x x x ⎧⎪->⎪⎪=-++=-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，所以不等式()4f x x ≤+，即1414x x x >⎧⎨-≤+⎩或11234x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪≤+⎩或12144x x x⎧<-⎪⎨⎪-≤+⎩，解得513x <≤或112x -≤≤或3152x -≤<-，综上可得原不等式的解集为35,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）解：由（1）可得函数()f x 的图象如右所示：所以()min 3f x =，即3T =，所以3a b c ++=，又0a >，0b >，0c >，)1122a b a c a b c ⎫≤+++=++=⎪⎝⎭当且仅当1324b c a ===.。

5年模拟3年中考数学答案

5年模拟3年中考数学答案【篇一：五年中考三年模拟】6页1认识一元二次方程◆全解版p1721．下列方程中，一元二次方程有 ( )2xx2?3x2?5?6x；③2x(x-3)=2x+1；④?2x2；⑤y2-2xy+3=o；①ax+bx+c ②x?3x2⑥(3x2-1) 2-3=0；⑦x2=4;⑧2x?3x?7a．0个 b.1个 c.2个 d.3个2、小红不小心将两滴墨水滴到了一道一元二次方程题●x2+4x+●=0．已知小红解题的正确答案是x1=213，x2=-，则该一元二次方程的二次项系数及常数项分别是_________ 223、 p173 ，现有一张长方形纸片，长为19cm，宽为15cm，需要剪切去边长是多少厘米的小正方形才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体的纸盒？请根据题意列出方程，并估算出小正方形的边长的大致范围。

4、目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中，正确的是 ()a.438( l+x)2=389b.389( l+x)2=438c.389(1+2x)=438d.438( 1+2x)=389第二章一元二次方程 175、2013年山东济南，已知x2-2x-8=0,则3x2-6x-18的值（）a 54b 6c -10d -186、（2013甘肃兰州．10．★☆☆）据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7 600元/m2，2013年同期将达到8 200元/ m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为 ( )a．7 600（1 +x%）2=8 200 b.7 600（l-x%）2=8 200 c.7600( l+x)2=8 200d．7 600（1 -x）2=8 2007、【2013黑龙江龙东，5，★★☆）若x=l是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n= =探究创新全练思维开放天天向上◆答案p1228、已知关于x的方程省x2 +px+q=0与菇x2+qx+p=0(p≠q)有一个公共根，求(p+q)2013的值．基础闯关全练水滴石穿全面过关◆答案p122◆全解版p1749、方程4x2=1的解为 () a x??1 2b x??22c x?1 2 dx?210、x2-5x+_____=(x-)第二章一元二次方程 1911、(2)当x=-1时，5x2 -6x+ll= _____ ，结果与0比较，有何关系？(3)当x=0时，5x2 -6x+ll= _____，结果与0比较，有何关系？(4)当x=2时，5x2 -6x+ll= _____ ，结果与0比较，有何关系？……..由此你能发现什么结论？你能证明你发现的结论吗？◆全解版p17612、关于x的方程x2-2（m-2）x+m2=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）a.mlb.mlc.m-1d.m-120初中数学7．已知a、b、c分别是△abc的三边长，其中a=l，c=4，且关于x的方程x2一4x+b=0有两个相等的实数根，试判断△abc的形状． 8．（2013北京．18．★★☆）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的撮都是整数，求k的值．?1??4a??1?-4a??1??4a?1??2007 的值 ???? 9、已知a?试求???a??????22007,22??????第二章一元二次方程 2310、方程x2 -7x+5=0的两根之差为（）11、已知方程x2+px+q=o的两个根均为正整数。

5年中考3年模拟初中试卷数学

5年中考3年模拟初中试卷数学一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列实数中，是无理数的是（）A. 0B. -3C. (1)/(3)D. √(3)2. 若一个数的相反数是3，则这个数是（）A. -3B. 3C. -(1)/(3)D. (1)/(3)3. 计算(-2x^2)^3的结果是（）A. -6x^{5}B. 6x^{5}C. -8x^{6}D. 8x^{6}4. 把不等式组x + 1>0 x - 1≤slant0的解集表示在数轴上，正确的是（）A.-2 -1 0 1 2.o-> <-o.B.-2 -1 0 1 2.o-> o->.C.-2 -1 0 1 2.<-o <-o.D.-2 -1 0 1 2.<-o o->.5. 已知点A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)在反比例函数y = (k)/(x)(k≠0)的图象上，如果x_1，且y_1，那么k的取值范围是（）A. k>0B. k<0C. k≥slant0D. k≤slant06. 一个正多边形的每个内角都是135°，则这个正多边形是（）A. 正六边形B. 正七边形C. 正八边形D. 正九边形。

7. 若关于x的一元二次方程x^2-2x + m = 0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A. m<1B. m>- 1C. m = 1D. m< - 18. 如图，在ABC中，∠ ACB = 90^∘，AC = BC = 4，将ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE = 3，则sin∠ BFD的值为（）A. (1)/(3)B. (√(2))/(4)C. (√(2))/(3)D. (3)/(5)9. 已知二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：abc>0；2a + b = 0；b^2-4ac>0；④a - b + c<0，其中正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个。

5年中考3年模拟卷(数学)(附解析)20

5年中考3年模拟卷（数学）（附解析）20一、选择题（每小题3分，共30分.每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确.）1．（3分）|﹣0.5|的倒数是（）A．0.5 B．﹣2 C．2 D．2．（3分）下列计算中，正确的是（）A．a3•a2=a5B．a3+a2=a5C．（a3）2=a9 D．a3﹣a2=a53．（3分）如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．4．（3分）在物理学里面，光的速度约为8亿米/秒，该速度用科学记数法表示为（）A．0.8×108B．8×106C．8×108D．8×1095．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2，3 B．3，4，8 C．5，6，10 D．5，6，116．（3分）已知一次函数y=kx+b（k≠0）经过（1，1）和（﹣2，3）两点，则它的图象不过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（3分）不等式2（x﹣2）≤x﹣2的非负整数解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（3分）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（）A．矩形 B．菱形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形9．（3分）如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，则下列说法正确的是（）A．AB∥CD B．AD∥BC C．AC⊥CD D．∠DAB+∠D=180°10．（3分）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＞0时，自变量x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜3 B．x＜﹣1 C．x＞3 D．x＜﹣1或x＞3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）计算2﹣|﹣2|=（结果保留根号）12．（3分）一元二次方程x2﹣6x+1=0的根为．13．（3分）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．A．一个扇形的弧长是20πcm，面积是120πcm2，则这个扇形的圆心角是度．B．用科学计算器计算：cos21°=．（精确到0.01）14．（3分）已知一次函数y=x+b与反比例函数y=﹣有一个交点为（2，a），则b a=．15．（3分）将抛物线y=x2﹣x向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式是．16．（3分）如图，第一个图中两个正方形如图所示放置，将第一个图改变位置后得到第二个图，两图阴影部分的面积相等，则该图可验证的一个初中数学公式为．三、解答题（共9小题，计72分．解答应写出过程）17．（5分）先化简，再求值：m﹣2（）﹣（），其中m=，n=﹣1．18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形BFDE是平行四边形．19．（7分）我市建设森林城市需要大量的树苗，某生态示范园负责对甲、乙、丙、丁四个品种的树苗共500株进行树苗成活率试验，从中选择成活率高的品种进行推广．通过实验得知：丙种树苗的成活率为89.6%，把实验数据绘制成下面两幅统计图（部分信息未给出）．（1）实验所用的乙种树苗的数量是株．（2）求出丙种树苗的成活数，并把图2补充完整．（3）你认为应选哪种树苗进行推广？请通过计算说明理由．20．（8分）如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．21．（8分）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶．设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线ABC表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．（1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；（2）若两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，且快车从甲地到达乙地所需时间为t，求t的值．22．（8分）如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有﹣1，1，2中的一个数，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，当做指向右边的扇形）．（1）若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；（2）小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“不谋而合”．用列表法（或画树状图）求两人“不谋而合”的概率．23．（8分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA=，求BE的长．24．（10分）如图，抛物线经过A（4，0）、B（1，0）、C（0，﹣2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是第一象限内抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．（12分）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA 的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．（1）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图①，求证：MN2=AM2+BN2；思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM 沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了．请你完成证明过程：（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．2014年陕西省中考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分.每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确.）1．（3分）（2014•陕西模拟）|﹣0.5|的倒数是（）A．0.5 B．﹣2 C．2 D．【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．【解答】解：|﹣0.5|=，的倒数是2，故选：C．【点评】本题考查了倒数，先求绝对值，再求倒数．2．（3分）（2011•连云港一模）下列计算中，正确的是（）A．a3•a2=a5B．a3+a2=a5C．（a3）2=a9 D．a3﹣a2=a5【分析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、a3•a2=a3+2=a5，正确；B、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、应为（a3）2=a2×3=a6，故本选项错误；D、不是同类项，不能合并，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．3．（3分）（2015•巴彦淖尔）如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：从左向右看，得到的几何体的左视图是中间无线条的矩形．故选D．【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．4．（3分）（2014•陕西模拟）在物理学里面，光的速度约为8亿米/秒，该速度用科学记数法表示为（）A．0.8×108B．8×106C．8×108D．8×109【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于8亿有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．【解答】解：8亿=800 000 000=8×108．故选C．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．5．（3分）（2014•陕西模拟）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2，3 B．3，4，8 C．5，6，10 D．5，6，11【分析】可根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，对每个选项进行分析得出答案．【解答】解：根据三角形的三边关系，得A、1+2=3，不能组成三角形；B、3+4=7＜8，不能组成三角形；C、5+6=11＞10，能够组成三角形；D、6+5=11，不能组成三角形．故选C．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．6．（3分）（2014•陕西模拟）已知一次函数y=kx+b（k≠0）经过（1，1）和（﹣2，3）两点，则它的图象不过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】将（1，1）与（﹣2，3）分别代入一次函数解析式y=kx+b中，得到关于k与b的二元一次方程组，求出方程组的解得到k与b的值，确定出一次函数解析式，利用一次函数的性质即可得到一次函数图象不经过第三象限．【解答】解：将（1，1）、（﹣2，3）代入一次函数y=kx+b中得：①﹣②得：﹣2=3k，解得：k=，将k=代入①得：﹣+b=1，解得：b=，∴，∴一次函数解析式为y=﹣x+不经过第三象限．故选C【点评】此题考查了利用待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的性质，灵活运用待定系数法是解本题的关键．7．（3分）（2004•吉林）不等式2（x﹣2）≤x﹣2的非负整数解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先求出不等式的解集，然后求其非负整数解．【解答】解：解不等式2（x﹣2）≤x﹣2得x≤2，因而非负整数解是0，1，2共3个．故选C．【点评】熟练掌握不等式的基本性质，正确求出不等式的解集，是解此题的关键．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．8．（3分）（2012•黄冈）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 一定是（）A．矩形 B．菱形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．【解答】解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD 的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，故选：C．【点评】本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．9．（3分）（2013•广东模拟）如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，则下列说法正确的是（）A．AB∥CD B．AD∥BC C．AC⊥CD D．∠DAB+∠D=180°【分析】因为AB⊥AC，所以∠BAC=90°，又因为∠1=30°，∠B=60°，则可求得∠1=∠BCA=30°，故AD∥BC．【解答】解：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°．∵∠1=30°，∠B=60°，∴∠BCA=30°．∴∠1=∠BCA．∴AD∥BC．故选B．【点评】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．10．（3分）（2013•广东模拟）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＞0时，自变量x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜3 B．x＜﹣1 C．x＞3 D．x＜﹣1或x＞3【分析】求出函数图象与x轴的交点坐标，再根据函数图象的特征判断出y＞0时，自变量x的取值范围．【解答】解：当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3．结合图象可见，x＜﹣1或x＞3时，y＞0．故选D．【点评】本题考查了二次函数的图象，求出函数与x轴的交点坐标并结合函数的图象是解答此类题目的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）（2014•陕西模拟）计算2﹣|﹣2|=（结果保留根号）【分析】原式利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果．【解答】解：原式=2﹣（2﹣）=2﹣2+=．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（3分）（2014•陕西模拟）一元二次方程x2﹣6x+1=0的根为x1=3+2，x2=3﹣2．【分析】方程常数项移到右边，两边加上9，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【解答】解：方程移项得：x2﹣6x=﹣1，配方得：x2﹣6x+9=8，即（x﹣3）2=8，开方得：x﹣3=±2，解得：x1=3+2，x2=3﹣2．故答案为：x1=3+2，x2=3﹣2【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13．（3分）（2014•陕西模拟）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．A．一个扇形的弧长是20πcm，面积是120πcm2，则这个扇形的圆心角是300度．B．用科学计算器计算：cos21°= 2.47．（精确到0.01）【分析】A．根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可；B．首先代入和cos21°的近似值，然后进行计算即可．【解答】解：A．扇形的面积公式=lr=120πcm2，解得：r=12cm，又∵l==20πcm，∴n=300°；B.cos21°≈2.646×0.934=2.471364≈2.47．故答案为：A.300；B.2.47．【点评】考查了扇形面积的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．14．（3分）（2014•陕西模拟）已知一次函数y=x+b与反比例函数y=﹣有一个交点为（2，a），则b a=﹣．【分析】将交点坐标代入反比例解析式中求出a的值，确定出交点坐标，将交点代入一次函数解析式中求出b的值，把a与b的值代入所求式子中计算即可求出值．【解答】解：将x=2，y=a代入反比例解析式得：a=﹣=﹣1，∴交点坐标为（2，﹣1），将x=2，y=﹣1代入一次函数解析式得：﹣1=2+b，解得：b=﹣3，则．故答案为：．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．15．（3分）（2014•陕西模拟）将抛物线y=x2﹣x向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式是y=x2+x﹣2．【分析】先将抛物线y=x2﹣2x+1化为顶点坐标式，再按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．【解答】解：根据题意，y=x2﹣x=（x﹣）2﹣，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得y=（x﹣+1）2﹣﹣2，即y=x2+x﹣2．故答案为y=x2+x﹣2．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换以及一般式转化顶点式，正确将一般式转化为顶点式是解题关键．16．（3分）（2014•陕西模拟）如图，第一个图中两个正方形如图所示放置，将第一个图改变位置后得到第二个图，两图阴影部分的面积相等，则该图可验证的一个初中数学公式为a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【分析】根据两图阴影的面积相等，可得答案．【解答】解：第一个图的面积a2﹣b2，第二个图阴影的面积（a+b）（a﹣b），两图阴影的面积相等，得a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，两个图形阴影部分的面积相等是解题关键．三、解答题（共9小题，计72分．解答应写出过程）17．（5分）（2014•陕西模拟）先化简，再求值：m﹣2（）﹣（），其中m=，n=﹣1．【分析】原式去括号合并得到最简结果，将m与n的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=m﹣2m+n2﹣m+n2=﹣3m+n2，当m=，n=﹣1时，原式=﹣3×+（﹣1）2=0．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（6分）（2012•湛江）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形BFDE是平行四边形．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等，即可证得∠A=∠C，AB=CD，又由AE=CF，利用SAS，即可判定△ABE≌△CDF；（2）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，在△ABE和△CDF中，∵，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴AD﹣AE=BC﹣CF，即DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形．【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意熟练掌握定理的应用．19．（7分）（2012•巴中）我市建设森林城市需要大量的树苗，某生态示范园负责对甲、乙、丙、丁四个品种的树苗共500株进行树苗成活率试验，从中选择成活率高的品种进行推广．通过实验得知：丙种树苗的成活率为89.6%，把实验数据绘制成下面两幅统计图（部分信息未给出）．（1）实验所用的乙种树苗的数量是100株．（2）求出丙种树苗的成活数，并把图2补充完整．（3）你认为应选哪种树苗进行推广？请通过计算说明理由．【分析】（1）根据扇形统计图可得乙种树苗所占的百分比，再用总数×乙种树苗所占的百分比，即可计算其株数；（2）根据扇形统计图求得丙种树苗的株数，再根据其成活率是89.6%，进行计算其成活数，再进一步补全条形统计图；（3）通过计算每一种的成活率，进行比较其大小．【解答】解：（1）500×（1﹣25%﹣25%﹣30%）=100（株）；（2）500×25%×89.6%=112（株），补全统计图如图；（3）甲种树苗成活率为：×100%=90%，乙种果树苗成活率为：×100%=85%，丁种果树苗成活率为：×100%=93.6%，∵93.6%＞90%＞89.6%＞85%，∴应选择丁种品种进行推广，它的成活率最高，为93.6%．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．（8分）（2014•兰州）如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．【分析】由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．【解答】解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，在Rt△ACH中，tan∠CAH=，∴CH=AH•tan∠CAH，∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×（米），∵DH=1.5，∴CD=2+1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED=60°，sin∠CED=，∴CE==（4+）（米），答：拉线CE的长为（4+）米．【点评】命题立意：此题主要考查解直角三角形的应用．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．21．（8分）（2014•陕西模拟）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶．设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线ABC表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．（1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；（2）若两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，且快车从甲地到达乙地所需时间为t，求t的值．【分析】（1）设线段AB的解析式为y=kx+b，将（1.5，70），（2，0）代入，可求线段AB的解析式，根据线段AB的解析式求A点坐标，得出甲乙两地之间的距离；（2）设两车相遇时，快车行驶x千米，则慢车行驶（x﹣40）千米，根据相遇时：快车路程+慢车路程=甲乙两地距离，列方程求x，再求快车速度，利用t=甲乙两地距离÷快车速度，求t．【解答】解：（1）设线段AB的解析式为y=kx+b，将（1.5，70），（2，0）代入，得，解得，所以，线段AB的解析式为y=﹣140x+280，当x=0时，y=280，所以，甲乙两地之间的距离为280千米；（2）设两车相遇时，快车行驶x千米，则慢车行驶（x﹣40）千米，则x+（x﹣40）=280，解得x=160，所以，快车速度=160÷2=80千米/时，t=280÷80=3.5小时．【点评】本题考查了一次函数的运用．关键是通过图象，求出直线解析式，利用直线解析式求A 点坐标，得出甲乙两地距离，再根据路程、速度、时间的关系解题．22．（8分）（2011•河北）如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有﹣1，1，2中的一个数，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，当做指向右边的扇形）．（1）若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；（2）小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“不谋而合”．用列表法（或画树状图）求两人“不谋而合”的概率．【分析】（1）由转盘被等分成三个扇形，上面分别标有﹣1，1，2，利用概率公式即可求得小静转动转盘一次，得到负数的概率；（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式即可求出该事件的概率．【解答】解：（1）∵转盘被等分成三个扇形，上面分别标有﹣1，1，2，∴小静转动转盘一次，得到负数的概率为：；两人得到的数相同的有3种情况，∴两人“不谋而合”的概率为=．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（8分）（2011•乐山）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA=，求BE的长．【分析】（1）连OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于是∠CDA+∠ADO=90°；（2）根据切线的性质得到ED=EB，OE⊥BD，则∠ABD=∠OEB，得到tan∠CDA=tan∠OEB==，易证Rt△CDO∽Rt△CBE，得到===，求得CD，然后在Rt△CBE中，运用勾股定理可计算出BE的长．【解答】（1）证明：连OD，OE，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，又∵∠CDA=∠CBD，而∠CBD=∠1，∴∠1=∠CDA，∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵EB为⊙O的切线，∴ED=EB，OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，∴∠ABD=∠OEB，∴∠CDA=∠OEB．而tan∠CDA=，∴tan∠OEB==，∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴===，∴CD=×6=4，在Rt△CBE中，设BE=x，∴（x+4）2=x2+62，解得x=．即BE的长为．【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．24．（10分）（2014•陕西模拟）如图，抛物线经过A（4，0）、B（1，0）、C（0，﹣2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是第一象限内抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用交点式，设抛物线解析式为：y=a（x﹣4）（x﹣1），进而代入（0，﹣2）求出a 的值，即可得出答案；（2）首先表示出P点坐标（m，﹣m2+m﹣2），进而利用相似三角形的性质分别得出m的值，进而得出答案．【解答】解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x﹣4）（x﹣1），把C（0，﹣2）代入得，∴抛物线解析式为：y=﹣（x﹣4）（x﹣1）=﹣x2+x﹣2；（2）如图，设P点横坐标为m，则P点纵坐标为：，因为P是第一象限内抛物线上一动点，所以1＜m＜4，AM=4﹣m，PM=﹣m2+m﹣2，又∵∠COA=∠PMA=90°，①当==时，△APM∽△ACO，即4﹣m=2（﹣m2+m﹣2），解得m1=2，m2=4（舍去），∴P（2，1），②当==时，△APM∽△CAO，即4﹣m=（﹣m2+m﹣2），解得m3=4，m4=5（均不合题意，舍去），∴1＜m＜4时，P点坐标为（2，1）．【点评】此题主要考查了交点式求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．25．（12分）（2013•桥西区模拟）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．（1）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图①，求证：MN2=AM2+BN2；思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM 沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了．请你完成证明过程：（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，证明△CDN≌△CBN，再利用勾股定理求出即可；（2）将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN，证明△CGN≌△CBN，进而利用勾股定理求出即可．【解答】（1）证明：将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，则△DCM≌△ACM．有CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠A．又由CA=CB，得CD=CB．由∠DCN=∠ECF﹣∠DCM=45°﹣∠DCM，∠BCN=∠ACB﹣∠ECF﹣∠ACM=90°﹣45°﹣∠ACM，得∠DCN=∠BCN．又CN=CN，∴△CDN≌△CBN．∴DN=BN，∠CDN=∠B．∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°．∴在Rt△MDN中，由勾股定理，得MN2=DM2+DN2．即MN2=AM2+BN2．（2）关系式MN2=AM2+BN2仍然成立．证明：将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN，则△GCM≌△ACM．有CG=CA，GM=AM，∠GCM=∠ACM，∠CGM=∠CAM．又由CA=CB，得CG=CB．由∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+45°，∠BCN=∠ACB﹣∠ACN=90°﹣（∠ECF﹣∠ACM）=45°+∠ACM．得∠GCN=∠BCN．又CN=CN，∴△CGN≌△CBN．有GN=BN，∠CGN=∠B=45°，∠CGM=∠CAM=180°﹣∠CAB=135°，∴∠MGN=∠CGM﹣∠CGN=135°﹣45°=90°．∴在Rt△MGN中，由勾股定理，得MN2=GM2+GN2．即MN2=AM2+BN2．【点评】此题主要考查了勾股定理以及全等三角形的证明，根据已知作出正确的辅助线是解题关键．第21页（共21页）。

(课标专用 5年高考3年模拟A版)高考数学第六章数列 3 等比数列及其前n项和试题文-人教版高

等比数列及其前n项和挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点等比数列的定义及通项公式①理解等比数列的概念.②掌握等比数列的通项公式.③了解等比数列与指数函数的关系2018课标全国Ⅰ,17,12分等比数列判定及通项公式递推公式★★★2017课标全国Ⅱ,17,12分等比数列基本量计算等差数列基本量计算等比数列的性质及其应用能利用等比数列的性质解决相应的问题2015课标Ⅱ,9,5分等比数列下标和定理等比数列通项公式★★☆等比数列的前n项和掌握等比数列的前n项和公式2016课标全国Ⅰ,17,12分等比数列前n项和等差数列基本量计算★★★2018课标全国Ⅲ,17,12分等比数列前n项和公式等比数列通项公式2017课标全国Ⅰ,17,12分等比数列前n项和计算等差数列的判定2015课标Ⅰ,13,5分等比数列前n项和计算等比数列定义分析解读本节在高考中主要考查等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式及等比中项等相关内容.对等比数列的定义、通项公式、性质及等比中项的考查,常以选择题、填空题的形式出现,难度较小.对前n项和以及与其他知识(函数、不等式)相结合的考查,多以解答题的形式出现,注重题目的综合与新颖,突出对逻辑思维能力的考查.本节内容在高考中分值为5分左右,难度不大.破考点【考点集训】考点一等比数列的定义及通项公式1.(2019届某某某某模拟,6)已知等比数列{a n}各项均为正数,满足a1+a3=3,a3+a5=6,则a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7=( )A.62B.62√2C.61D.61√2答案 A2.(2018某某八校第一次联考,17)已知数列{a n}满足a1=1,a2=4,a n+2=4a n+1-4a n.(1)求证:{a n+1-2a n}是等比数列;(2)求{a n}的通项公式.解析(1)证明:由a n+2=4a n+1-4a n得a n+2-2a n+1=2a n+1-4a n=2(a n+1-2a n)=22(a n-2a n-1)=…=2n(a2-2a1)≠0,∴a a+2-2a a+1a a+1-2a a=2,∴{a n+1-2a n}是等比数列.(2)由(1)可得a n+1-2a n=2n-1(a2-2a1)=2n,∴a a+12a+1-a a2a=12,∴{a a2a}是首项为12,公差为12的等差数列,∴a a2a=a2,则a n=n·2n-1.考点二等比数列的性质及其应用1.(2018某某马某某第二次教学质量监测,5)已知等比数列{a n}满足a1=1,a3·a5=4(a4-1),则a7的值为( )A.2B.4C.92D.6答案 B2.(2019届某某某某新华区模拟,9)已知正数组成的等比数列{a n}的前8项的积是81,那么a1+a8的最小值是( )A.2√3B.2√2C.8D.6答案 A考点三等比数列的前n项和1.(2018某某某某教学质量检测(二),16)数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=3-2a+32a,n∈N*,则a1+a2+…+a n=.答案1-12a2.(2019届某某某某模拟,15)设等比数列{a n}的前n项和为S n,8a2-a5=0,则公比q的值为,若-a a2a有最大值-2,则a1的值为.答案2;43.(2018某某(长郡中学、某某八中)、某某(某某二中)等十四校第二次联考,17)已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,a1=1,b1=2,b2=2a2,b3=2a3+2.(1)求{a n },{b n }的通项公式; (2)若{a aa a}的前n 项和为S n ,求证:S n <2.解析 (1)设{a n }的公差为d,{b n }的公比为q, 由题意得{2a =2(1+a ),2a 2=2(1+2d)+2,解得{a =1,a =2或{a =-1,a =0(舍), ∴a n =n,b n =2n. (2)证明:由(1)知a a a a =a2a, ∴S n =12+222+323+…+a -12a -1+a2a, 则12S n =122+223+324+…+a -22a -1+a -12a+a 2a +1,两式相减得12S n =12+122+123+…+12a -a2a +1=12[1-(12)a ]1-12-a2a +1,∴S n =2-(12)a -1-a2a ,∴S n <2.炼技法【方法集训】方法等比数列的判定方法1.(2019届某某某某模拟,15)如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形两直角边上再连接正方形,……,如此继续下去,若共得到1 023个正方形,设初始正方形的边长为√2,则最小正方形的边长为.答案 1162.(2017某某仿真模拟,16)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足:a 1=1,a 2=2,S n +1=a n+2-a n+1(n∈N *),若不等式λS n >a n 恒成立,则实数λ的取值X 围是. 答案 (1,+∞)过专题【五年高考】A 组统一命题·课标卷题组考点一等比数列的定义及通项公式1.(2018课标全国Ⅰ,17,12分)已知数列{a n }满足a 1=1,na n+1=2(n+1)a n .设b n =a aa. (1)求b 1,b 2,b 3;(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由; (3)求{a n }的通项公式. 解析 (1)由条件可得a n+1=2(a +1)aa n .将n=1代入得,a 2=4a 1,而a 1=1,所以a 2=4. 将n=2代入得,a 3=3a 2,所以a 3=12. 从而b 1=1,b 2=2,b 3=4.(2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得a a +1a +1=2a aa,即b n+1=2b n ,又b 1=1,所以{b n }是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得a a a=2n-1,所以a n =n·2n-1.2.(2017课标全国Ⅱ,17,12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,等比数列{b n }的前n 项和为T n ,a 1=-1,b 1=1,a 2+b 2=2.(1)若a 3+b 3=5,求{b n }的通项公式; (2)若T 3=21,求S 3.解析设{a n }的公差为d,{b n }的公比为q,则a n =-1+(n-1)d,b n =q n-1. 由a 2+b 2=2得d+q=3①. (1)由a 3+b 3=5得2d+q 2=6②. 联立①和②解得{a =3,a =0(舍去),或{a =1,a =2.因此{b n }的通项公式为b n =2n-1. (2)由b 1=1,T 3=21得q 2+q-20=0. 解得q=-5或q=4.当q=-5时,由①得d=8,则S 3=21. 当q=4时,由①得d=-1,则S 3=-6.考点二等比数列的性质及其应用(2015课标Ⅱ,9,5分)已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2=( ) A.2B.1C.12D.18答案 C考点三等比数列的前n 项和1.(2015课标Ⅰ,13,5分)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n=. 答案 62.(2018课标全国Ⅲ,17,12分)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m =63,求m. 解析 (1)设{a n }的公比为q,由题设得a n =q n-1. 由已知得q 4=4q 2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故a n =(-2)n-1或a n =2n-1. (2)若a n =(-2)n-1,则S n =1-(-2)a3.由S m =63得(-2)m =-188,此方程没有正整数解. 若a n =2n-1,则S n =2n-1.由S m =63得2m=64,解得m=6. 综上,m=6.3.(2017课标全国Ⅰ,17,12分)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n+1,S n ,S n+2是否成等差数列. 解析 (1)设{a n }的公比为q,由题设可得{a 1(1+q)=2,a 1(1+q +a 2)=-6.解得q=-2,a 1=-2.故{a n }的通项公式为a n =(-2)n. (2)由(1)可得S n =a 1(1-a a )1-a =-23+(-1)n·2a +13. 由于S n+2+S n+1=-43+(-1)n·2a +3-2a +23=2[-23+(-1)a·2a +13]=2S n ,故S n+1,S n ,S n+2成等差数列.B 组自主命题·省(区、市)卷题组考点一等比数列的定义及通项公式1.(2018,5,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( )A.√23fB.√223f C.√2512fD.√2712f答案 D2.(2014某某,12,5分)如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2√2.过点A 作BC 的垂线,垂足为A 1;过点A 1作AC 的垂线,垂足为A 2;过点A 2作A 1C 的垂线,垂足为A 3;……,依此类推.设BA=a 1,AA 1=a 2,A 1A 2=a 3,……,A 5A 6=a 7,则a 7=.答案 14考点二等比数列的性质及其应用(2015某某,13,5分)若三个正数a,b,c 成等比数列,其中a=5+2√6,c=5-2√6,则b=. 答案 1考点三等比数列的前n 项和1.(2017某某,9,5分)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8=. 答案 32解析设等比数列{a n }的公比为q. 当q=1时,S 3=3a 1,S 6=6a 1=2S 3,不符合题意,∴q≠1,由题设可得{a 1(1-a 3)1-a =74,a 1(1-a 6)1-a=634,解得{a 1=14,a =2,∴a 8=a 1q 7=14×27=32.2.(2018某某,18,13分)设{a n }是等差数列,其前n 项和为S n (n∈N *);{b n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为T n (n∈N *).已知b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6. (1)求S n 和T n ;(2)若S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数n 的值.解析 (1)设等比数列{b n }的公比为q.由b 1=1,b 3=b 2+2,可得q 2-q-2=0.因为q>0,可得q=2,故b n =2n-1.所以,T n =1-2a1-2=2n-1.设等差数列{a n }的公差为d.由b 4=a 3+a 5,可得a 1+3d=4. 由b 5=a 4+2a 6,可得3a 1+13d=16,从而a 1=1,d=1,故a n =n, 所以,S n =a (a +1)2.(2)由(1),有T 1+T 2+…+T n =(21+22+ (2))-n=2×(1-2a )1-2-n=2n+1-n-2.由S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n 可得a (a +1)2+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n 2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4. 所以,n 的值为4.3.(2016,15,13分)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设=a n +b n ,求数列{}的前n 项和. 解析 (1)等比数列{b n }的公比q=a 3a 2=93=3,(1分)所以b 1=a 2a=1,b 4=b 3q=27.(3分)设等差数列{a n }的公差为d. 因为a 1=b 1=1,a 14=b 4=27, 所以1+13d=27,即d=2.(5分) 所以a n =2n-1(n=1,2,3,…).(6分) (2)由(1)知,a n =2n-1,b n =3n-1. 因此=a n +b n =2n-1+3n-1.(8分)从而数列{}的前n 项和S n =1+3+…+(2n -1)+1+3+…+3n-1=a (1+2a -1)2+1-3a1-3=n 2+3a -12.(13分)C 组教师专用题组考点一等比数列的定义及通项公式1.(2014某某,17,12分)在等比数列{a n }中,a 2=3,a 5=81. (1)求a n ;(2)设b n =log 3a n ,求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)设{a n }的公比为q,依题意得{a 1q =3,a 1a 4=81,解得{a 1=1,a =3.因此,a n =3n-1.(2)因为b n =log 3a n =n-1, 所以数列{b n }的前n 项和S n =a (a 1+a a )2=a 2-n2.2.(2014,15,13分)已知{a n }是等差数列,满足a 1=3,a 4=12,数列{b n }满足b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }为等比数列. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (2)求数列{b n }的前n 项和.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,由题意得 d=a 4-a 13=12-33=3.所以a n =a 1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n -a n }的公比为q,由题意得 q 3=a 4-a 4a 1-a 1=20-124-3=8,解得q=2.所以b n -a n =(b 1-a 1)q n-1=2n-1. 从而b n =3n+2n-1(n=1,2,…). (2)由(1)知b n =3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n 项和为32n(n+1),数列{2n-1}的前n 项和为1×1-2a1-2=2n-1. 所以数列{b n }的前n 项和为32n(n+1)+2n-1.3.(2013某某,16,12分)在等比数列{a n}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{a n}的首项、公比及前n项和.解析设该数列的公比为q.由已知,可得a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q2,所以a1(q-1)=2,q2-4q+3=0,解得q=3或q=1.由于a1(q-1)=2,因此q=1不合题意,应舍去.故公比q=3,首项a1=1.所以数列的前n项和S n=3a-12.4.(2013某某,19,14分)已知首项为32的等比数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明S n+1a a ≤136(n∈N*).解析(1)设等比数列{a n}的公比为q,因为-2S2,S3,4S4成等差数列,所以S3+2S2=4S4-S3,即S4-S3=S2-S4,可得2a4=-a3,于是q=a4a3=-12.又a1=32,所以等比数列{a n}的通项公式为a n=32×(-12)a-1=(-1)n-1·32a.(2)证明:S n=1-(-12)a,S n+1a a=1-(-12)a+11-(-12)a={2+12a(2a+1),n为奇数,2+12a(2a-1),n为偶数.当n为奇数时,S n+1a a 随n的增大而减小,所以S n+1a a≤S1+1a1=136.当n为偶数时,S n+1a a 随n的增大而减小,所以S n+1a a≤S2+1a2=2512.故对于n∈N*,有S n+1a a ≤136.考点二等比数列的性质及其应用1.(2018某某,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则( )A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4答案 B2.(2014大纲全国,8,5分)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.64答案 C3.(2013某某,14,5分)已知等比数列{a n}是递增数列,S n是{a n}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=.答案63考点三等比数列的前n项和1.(2013课标Ⅰ,6,5分)设首项为1,公比为2的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )3A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n答案 D2.(2013某某,12,5分)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于.答案 63.(2013,11,5分)若等比数列{a n}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=;前n项和S n=.答案2;2n+1-24.(2015某某,16,12分)设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;}的前n项和为T n,求T n.(2)设数列{1a a解析(1)由已知S n=2a n-a1,有a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2),即a n=2a n-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.故a n =2n.(2)由(1)得1a a=12a .所以T n =12+122+…+12a =12[1-(12)a ]1-12=1-12a .5.(2015某某,16,13分)已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=92. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)设{a n }的公差为d,则由已知条件得 a 1+2d=2,3a 1+3×22d=92,化简得a 1+2d=2,a 1+d=32, 解得a 1=1,d=12, 故通项公式a n =1+a -12,即a n =a +12.(2)由(1)得b 1=1,b 4=a 15=15+12=8.设{b n }的公比为q,则q 3=a 4a 1=8,从而q=2,故{b n }的前n 项和T n =a 1(1-a a )1-a =1×(1-2a )1-2=2n-1.6.(2014某某,19,12分)设等差数列{a n }的公差为d,点(a n ,b n )在函数f(x)=2x的图象上(n∈N *). (1)证明:数列{b n }为等比数列;(2)若a 1=1,函数f(x)的图象在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴上的截距为2-1ln2,求数列{a n a a 2}的前n 项和S n . 解析 (1)证明:由已知可知,b n =2a a >0, 当n≥1时,a a +1a a=2a a +1-a a =2d, 所以数列{b n }是首项为2a 1,公比为2d的等比数列.(2)函数f(x)=2x的图象在(a 2,b 2)处的切线方程为y-2a 2=(x-a 2)2a 2ln 2,该切线在x 轴上的截距为a 2-1ln2.由题意知,a 2-1ln2=2-1ln2,解得a 2=2. 所以d=a 2-a 1=1,a n =n,b n =2n,a n a a 2=n·4n.于是,S n =1×4+2×42+3×43+…+(n -1)×4n-1+n×4n,4S n =1×42+2×43+…+(n -1)×4n +n×4n+1, 因此S n -4S n =4+42+ (4)-n×4n+1=4a +1-43-n×4n+1=(1-3a )4a +1-43.所以S n =(3a -1)4a +1+49.7.(2013某某,19,13分)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4,S 2,S 3成等差数列,且a 2+a 3+a 4=-18. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)是否存在正整数n,使得S n ≥2 013?若存在,求出符合条件的所有n 的集合;若不存在,说明理由.解析 (1)设数列{a n }的公比为q,则a 1≠0,q≠0.由题意得{a 2-a 4=a 3-a 2,a 2+a 3+a 4=-18,即{-a 1a 2-a 1a 3=a 1a 2,a 1q(1+q +a 2)=-18, 解得{a 1=3,a =-2.故数列{a n }的通项公式为a n =3×(-2)n-1. (2)由(1)有S n =3·[1-(-2)a]1-(-2)=1-(-2)n.若存在n,使得S n ≥2 013,则1-(-2)n≥2 013, 即(-2)n≤-2 012.当n 为偶数时,(-2)n>0,上式不成立;当n 为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012,即2n≥2 012,则n≥11.综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n 的集合为{n|n=2k+1,k∈N ,k≥5}.【三年模拟】时间:45分钟分值:55分一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018某某某某一模,3)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 2=3,S 6=63,则S 5=( ) A.-33 B.15 C.31 D.-33或31 答案 D2.(2018某某某某调研,4)已知等比数列{a n }的公比为正数,前n 项和为S n ,a 1+a 2=2,a 3+a 4=6,则S 8等于( ) A.81-27√3 B.54C.38-1D.80 答案 D3.(2019届某某模拟,6)设数列{(n 2+n)a n }是等比数列,且a 1=16,a 2=154,则数列{3na n }的前15项和为( )A.1415B.1516C.1617D.1718答案 B4.(2019届某某渝中区模拟,7)已知各项均为正的等比数列{a n }中,a 2与a 8的等比中项为√2,则a 42+a 62的最小值是( ) A.1B.2C.4D.8答案 C5.(2019届某某双台子区模拟,5)已知等比数列{a n }的各项均为正数,S n 为其前n 项和,且满足:a 1+3a 3=72,S 3=73,则a 4=( ) A.14B.18C.4D.8答案 A6.(2019届某某杨浦区模拟,11)在数列{a n }中,a 1=1,a 2=64,且数列{a a +1a a}是等比数列,其公比q=-12,则数列{a n }的最大项等于( ) A.a 7B.a 8C.a 6或a 9D.a 10答案 C二、填空题(共5分)7.(2019届某某某某模拟,15)已知等比数列{a n }的前n 项和S n =3n+r,则a 3-r=,若数列{a (a +4)(23)a}的最大项是第k 项,则k=. 答案 19;4三、解答题(共20分)8.(2018某某福安一中考试,17)已知等比数列{a n }的各项均为正数,且a 2=4,a 3+a 4=24. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }的前n 项和S n =n 2+n+2n+1-2(n∈N *),求证:数列{a n -b n }是等差数列. 解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q,依题意知q>0. 因为{a 2=4,a 3+a 4=24,所以{a 1q =4,a 1a 2+a 1a 3=24,两式相除得q 2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去).所以a 1=a2a =2. 所以数列{a n }的通项公式为a n =a 1·q n-1=2n.(2)证明:当n=1时,b1=4;当n≥2时,b n=S n-S n-1=n2+n+2n+1-2-(n-1)2-(n-1)-2n+2=2n+2n,又b1=4符合此式,∴b n=2n+2n(n∈N*).设=a n-b n,则=-2n,当n≥2时,--1=-2,∴{}即{a n-b n}是等差数列.9.(2019届某某模拟,18)已知等比数列{a n}的公比q>1,且满足:a2+a3+a4=28,a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=a n lo g12a n,S n=b1+b2+…+b n,求使S n+n·2n+1>62成立的正整数n的最小值.解析(1)由a3+2是a2,a4的等差中项,得a2+a4=2(a3+2).因为a2+a3+a4=28,所以a2+a4=28-a3,所以2(a3+2)=28-a3,解得a3=8,所以a2+a4=20,所以{a1q+a1a3=20,a1a2=8,解得{a1=2,a=2,或{a1=32,a=12.又q>1,所以{a n}为递增数列. 所以a1=2,q=2,所以a n=2n.(2)b n=a n lo g12a n=2n·log122n=-n·2n.S n=b1+b2+…+b n=-(1×2+2×22+…+n×2n)①,则2S n=-(1×22+2×23+…+n×2n+1)②,②-①,得S n=(2+22+…+2n)-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1, 即数列{b n}的前n项和S n=2n+1-2-n·2n+1,由S n+n·2n+1=2n+1-2>62,得n>5,所以正整数n的最小值为6.。

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对应学生用书P2651．关于做匀速圆周运动物体的线速度、角速度、周期之间的关系，下列说法正确的是()．A．线速度大的角速度一定大B．线速度大的周期一定小C．角速度大的半径一定小D．角速度大的周期一定小解析2.图5－3－14一个环绕中心线AB以一定的角速度转动，P、Q为环上两点，位置如图5－3－14所示，下列说法正确的是()．A．P、Q两点的角速度相等B．P、Q两点的线速度相等C．P、Q两点的角速度之比为3∶1D．P、Q两点的线速度之比为1∶ 3解析P、Q两点的角速度相等，半径之比R P∶R Q＝R sin 60°∶(R sin 30°)＝3∶1，由v ＝ωR可得v p∶v Q＝R P∶R Q＝3∶1.答案 A3.图5－3－15如图5－3－15所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的( )．①周期相同 ②线速度的大小相等 ③角速度的大小相等 ④向心加速度的大小相等A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④解析设圆锥摆的高为h ，则mg ·rh ＝m v 2r ＝mω2r ＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ＝ma ，故v ＝r g h，ω＝ g h，T ＝2πh g ，a ＝rhg .因两圆锥摆的h 相同，而r 不同，故两小球运动的线速度不同，角速度的大小相等，周期相同，向心加速度不同．答案 C 4.图5－3－16(2011·东北地区名校联考)如图5－3－16所示，质量为m 的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周运动．圆环半径为R ，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时( )．A ．小球对圆环的压力大小等于mgB ．小球受到的向心力等于0C ．小球的线速度大小等于gRD ．小球的向心加速度大小等于0解析小球在最高点时刚好不脱离圆环，则圆环刚好对小球没有作用力，小球只受重力，重力竖直向下提供向心力，根据牛顿第二定律得小球的向心加速度大小为a ＝mgm＝g ，再根据圆周运动规律得a ＝v 2R＝g ，解得v ＝gR .(“绳”模型)答案 C5．全国铁路大面积提速后，京哈、京沪、京广、胶济等提速干线的部分区段时速可达300公里，我们从济南到青岛乘“和谐号”列车就可以体验时速300公里的追风感觉．火车转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动，火车速度提高会使外轨受损．为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，以下措施可行的是( )．A ．适当减小内外轨的高度差B ．适当增加内外轨的高度差C ．适当减小弯道半径D ．以上说法都不可行解析设火车轨道平面的倾角为α时，火车转弯时内、外轨均不受损，根据牛顿第二定律有mg tan α＝m v 2r ，解得v ＝gr tan α，所以为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，可行的措施是适当增加内外轨的高度差(即适当增大角α)和适当增大弯道半径r .答案 B6．“天宫一号”目标飞行器经过我国科技工作者的不懈努力，终于在2011年9月29日晚21点16分发射升空．等待与神舟八号、九号、十号飞船对接．“天宫一号”在空中运行时，沿曲线从M 点向N 点飞行的过程中，速度逐渐减小，在此过程中“天宫一号”所受合力可能是下图中的( )．解析答案 C7．(2011·烟台模拟)关于匀速圆周运动的物体所受的向心力下列说法正确的是( )． A ．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力 B ．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小 C ．物体所受的合力不一定指向圆心 D ．向心力和向心加速度的方向都是不变的解析做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合力，由于指向圆心，且与线速度垂直，不能改变线速度的大小，只能改变线速度的方向．向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的，所以A 、D 、C 错误，B 正确．答案 B 8.图5－3－17如图5－3－17所示，一小球用细绳悬挂于O 点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O 点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是( )．A ．绳的拉力B ．重力和绳的拉力的合力C ．重力和绳的拉力的合力沿绳方向的分力D ．以上说法都不对解析如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力作用，向心力是指向圆心方向的合外力．因此，可以说是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力，C 正确．答案 C 9.图5－3－18如图5－3－18两段长均为L 的轻质线共同系住一个质量为m 的小球，另一端分别固定在等高的A 、B 两点，A 、B 两点间距也为L ，今使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时速率为v ，两段线中张力恰好均为零，若小球到达最高点时速率为2v ，则此时每段线中张力大小为( )．A.3mg B ．23mg C ．3mg D ．4mg解析当小球到达最高点速率为v ，有mg ＝m v2r ，当小球到达最高点速率为2v 时，应有F ＋mg ＝m (2v )2r＝4mg ，所以F ＝3mg ，此时最高点各力如图所示，所以F T ＝3mg ，A 正确．答案 A10．汽车甲和汽车乙质量相等，以相等速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f 甲和f 乙．以下说法正确的是( )．A ．f 甲小于f 乙B ．f 甲等于f 乙C ．f 甲大于f 乙D ．f 甲和f 乙大小均与汽车速率无关解析根据题中的条件可知，两车在水平面做匀速圆周运动，则地面对车的摩擦力用来提供其做圆周运动的向心力，则F 向＝f ，又有向心力的表达式F 向＝m v 2r ，因为两车的质量相同，两车运行的速率相同，因此轨道半径大的车所需的向心力小，即摩擦力小，A 正确．答案 A11.图5－3－19如图5－3－19所示，螺旋形光滑轨道竖直放置，P 、Q 为对应的轨道最高点，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，且能过轨道最高点P ，则下列说法中正确的是( )．A ．轨道对小球做正功，小球的线速度v P >v QB ．轨道对小球不做功，小球的角速度ωP <ωQC ．小球的向心加速度a P >a QD ．轨道对小球的压力F P >F Q解析本题考查圆周运动和机械能守恒，中档题．轨道光滑，小球在运动的过程中只受重力和支持力，支持力时刻与运动方向垂直所以不做功，A 错；那么在整个过程中只有重力做功满足机械能守恒，根据机械能守恒有v P <v Q ，在P 、Q 两点对应的轨道半径r P >r Q ，根据ω＝v r ，a ＝v 2r ，得小球在P 点的角速度小于在Q 点的角速度，B 正确；在P 点的向心加速度小于在Q 点的向心加速度，C 错；小球在P 和Q 两点的向心力由重力和支持力提供，即mg ＋F N ＝ma 向，可得P 点对小球的支持力小于Q 点对小球的支持力，D 错．答案 B 12.图5－3－20乘坐游乐园的过山车时，质量为m 的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动(如图5－3－20所示)，下列说法正确的是( )．A ．车在最高点时，人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一定会掉下去B ．人在最高点时，对座位仍可能产生压力，但压力一定小于mgC ．人在最低点时，处于矢重状态D ．人在最低点时，对座位的压力大于mg解析人在最高点如果速度较大，就会产生对座位的压力．并且压力也有可能大于mg 而不致于掉落，故A 、B 均错；人在最低点时具有向上的加速度，因此处于超重状态，C 对；在最低点满足F N ＝mg ＋m v 2R>mg ，D 对．答案 D 13.图5－3－21如图5－3－21所示，将完全相同的两小球A 、B ，用长L ＝0.8 m 的细绳悬于以v ＝4 m/s 向左匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触．由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中张力之比F A ∶F B 为(g ＝10 m/s 2)( )．A ．1∶1B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶4解析小车突然停止，B 球将做圆周运动，所以F B ＝m v 2L ＋mg ＝30m ；A 球做水平方向减速运动，F A ＝mg ＝10 m ，故此时悬线中张力之比为F A ∶F B ＝1∶3，C 选项正确．答案 C14．如图5－3－22甲所示，弯曲部分AB 和CD 是两个半径相等的14圆弧，中间的BC段是竖直的薄壁细圆管(细圆管内径略大于小球的直径)，分别与上下圆弧轨道相切连接，BC 段的长度L 可作伸缩调节．下圆弧轨道与地面相切，其中D 、A 分别是上下圆弧轨道的最高点与最低点，整个轨道固定在竖直平面内．一小球多次以某一速度从A 点水平进入轨道而从D 点水平飞出．今在A 、D 两点各放一个压力传感器，测试小球对轨道A 、D 两点的压力，计算出压力差ΔF .改变BC 的长度L ，重复上述实验，最后绘得的ΔF －L 图象如图5－3－22乙所示．(不计一切摩擦阻力，g 取10 m/s 2)图5－3－22(1)某一次调节后，D 点的离地高度为0.8 m ，小球从D 点飞出，落地点与D 点的水平距离为2.4 m ，求小球经过D 点时的速度大小；(2)求小球的质量和弯曲圆弧轨道的半径．解析 (1)小球在竖直方向做自由落体运动，有：H D ＝12gt 2，在水平方向做匀速直线运动，有：x ＝v D t ，得：v D ＝xt＝x2H D g＝6 m/s. (2)设轨道半径为r ，A 到D 过程机械能守恒，有： 12m v A 2＝12m v D 2＋mg (2r ＋L )， ① 在A 点：F A －mg ＝m v A 2r ，② 在D 点：F D ＋mg ＝m v D 2r，③由①②③式得：ΔF ＝F A －F D ＝6mg ＋2mg Lr ，由图象纵截距得：6mg ＝12 N ，得m ＝0.2 kg ，当L ＝0.5 m 时，ΔF ＝17 N ，解得：r ＝0.4 m ．(“杆”模型) 答案 (1)6 m/s (2)0.2 kg 0.4 m。