第2讲课件-场论复习
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场论课件
x
f (r ) y f ( r ) z f (r ) , f (r ) y r z r f (r ) f (r ) f (r ) grad f (r ) j k i z P y z x r 1 f (r ) ( x i y j z k ) o r y 1 x f (r ) r f (r ) r 0 r
由于
div r div( x i y j z k ) 3 xyz xyz grad grad e e ( yz i xz j xy k )
所以 n (3 , 2 , 2) 3 2 2 方向余弦为 cos , cos , cos 17 17 17 u u u 而 yz 9, 6, 6 M M x y M z M
u 所以 n
M
u u u ( cos cos cos ) x y z
在任一点M(x, y, z)的散度为
证明： 由奥-高公式 A d S P d y d z Q d z d x Rdx d y
S S
P Q R ( )dv x y z
又由中值定理得
P Q R P Q R V ( ) dV x y z x y z M *
指向数量场 在点 M 处的法向量，
M
u(M) 增大的一方.
u C
矢量场 grad u 称为由数量场u产生的梯度场. 注：
运算公式
(2) (Cu) Cu
(4) (uv) uv vu
u vu uv (5) ( ) v v2
例3.
处矢径 r 的模 , 试证
场论二章pdf
l = { cosα , cosβ , cosγ }
0
∂u )= G max ( 0 当 l 与 G 方向一致时 , ∂l
r r r0 ∂u r r0 = G ⋅ l = G cos( G, l ) ∂l
( l 0 =1 )
这说明:
方向：u 变化率最大的方向 模 : u 的最大变化率之值
2.梯度 2.梯度
C
•
M
C
例1 例1
r r r r 设力场中的力为 F = − μ y i + μ x j + μ h k
其中 μ , h 均为常数 , 求其力线 ( 即矢量线 )
dx (1) dy (2) dz 解：力线的微分方程 = = −μ y μ x −μh
由(1) xdx + ydy = 0, 两边积分
x2 + y2 = λ 2 , λ为积分常数
此数量场所在的空间区域为 2 2 {( x , y , z ) x + y ≠ 0} z = C1 等值面方程为 arctan 2 2 x +y 或
z=C x + y
2 2
解
( x + y ≠ 0)
2
2
3.矢量场的矢量线 3.矢量场的矢量线
定义 定义
若矢量场中的曲线 l , 在它上面的每一点处曲线都和 r 场中对应于该点的矢量A相切, 则称曲线 l为矢量线
如: 地形图上的等高线 ,, 地面气象图上的等压线 如: 地形图上的等高线 地面气象图上的等压线
说明 说明
(2)若数量场为平面数量场其方程为u= u(x,y) ,, (2)若数量场为平面数量场其方程为u= u(x,y) 数量场中具有相同数值的点组成此数量场 数量场中具有相同数值的点组成此数量场 的等值线:u (x ,y)=c 的等值线:u (x ,y)=c
第二讲 地球重力场
地球重力场地球重力场：在地球内部及其附近存在重力作用的空间。
重力场强度:单位质量的物体在重力场中所受的重力( =G/m )重力加速度g=G/m重力加速度在数值上(包括方向)等于单位质量所受的重力，也就是等于重力场强度。
重力加速度重力重力场强度重力勘探所提的重力都是指重力加速度或重力场强度。
重力(重力加速度)单位在CGS单位制(克、厘米、秒)：“cm/s2”，“伽”或“Gal”1 cm/s2 = 1 Gal在SI单位制(千克、米、秒)：“m/s2”，“g.u.”1 m/s2 = 106 g.u.重力的变化包括随不同测点位置的空间变化以及同一测点的重力随时间的变化。
空间上:9地球形状、地形：引起约6万g.u. 的变化；9地球自转：重力有3.4万g.u. 的变化;9地下物质密度分布不均匀：能达到几千g.u.变化9人类的历史活动遗迹和建筑物等时间上：9潮汐变化：太阳、月亮等天体引力引起的重力的周期性变化，其大小可达 3 g.u.9非潮汐变化：地球形状的变化和地下物质运动等引起的非周期性变化，其变化大小一般不超过 1 g.u.海水每天有两次涨落运动，其中早晨出现的潮涨称为潮，晚上出现的潮落称为汐，总称潮汐。
地球上海潮涨落主要是由月球还是太阳引起的？月球和太阳对地球的引力不但可以引起地球表面流体的潮汐（如海潮、大气潮），还能引起地球固体部分的周期性形变（固体潮）。
太阳的质量虽比月球的质量大得多，但月球同地球的距离比太阳同地球的距离近，月球的引潮力比太阳的引潮力大。
在日、月引力作用下，地球固体表面也会像海水一样产生周期性的涨落，这就是地球的潮汐现象，称为地球固体潮。
固体潮随时间和空间的变化，除了和地球、太阳、月亮三者之间相对位置的变化有关外，还和地球内部物质的物理性质有关。
因而，利用固体潮资料可以研究地壳内部物质的物理性质和各种物质的分布规律。
它在空间上的变化主要反映地壳和上地幔区域结构的变化。
它在时间上的变化可能与某些灾难性的地震有直接和间接的联系。
场论初步课件
m r
为引力势.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
散度场 ur 设 A( x, y, z) P( x, y, z) i Q( x, y, z) j R( x, y, z) k
为 V 上的一个向量场. 称如下数量函数:
D( x, y, z) P Q R
则同时有 M M0 , 对上式取极限, 得到
Ò ur
div A(M0 )
lim V M0
1 V
ur uur A dS .
S
(2)
这个等式可以看作是散度的另一种定义形式.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
ur 散度的物理意义 联系本章§2中提到的, 流速为 A
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§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
相对应. 这里 P, Q, R 为所定义区域上的数量函数,
并假定它们有一阶连续偏导数.
设 L 为向量场中一条曲线. 若 L 上每点 M 处的切线 ur
方向都与向量函数 A 在该点的方向一致, 即
dx dy dz ,
方向上的方向导数.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
因为数量场 u( x, y, z) 的等值面 u( x, y, z) c 的法线
方向为
u x
,
u y
,
第二章 场论
第二章 场论2.1 场1.场的概念：若对全空间或其中的某一区域V 中每一点M ，都有一个数量（或矢量）与之对应，则称在V 上给定了一个数量场（或向量场）。
２.数量场的等值面、等值线设空间中的一数量场(,,)u x y z ,从后我们总假定它单值，连续且具有一阶连续的偏导数。
那么空间中u 取值相同的点在空间中是如何分布的呢？这些点满足方程 (,,)u x y z C ≡，其中Ｃ常数。
若u 一阶偏导数不全为0（这也可作为默认的假设），由隐函数存在唯一性定理可知方程(,,)u x y z C ≡中(,)z f x y =，称这一曲面为数量场(,,)u x y z 的等值面，曲面上所有点均满足(,,)u x y z C ≡。
随着常数C 选取的变化，方程(,,)u x y z C ≡对应着不同的等值面，因为C 可取遍了u 值域中的每一个值，所以数量场(,,)u x y z 所在的空间将被这族等值面所充满，这些等值面彼此互不相交（若相交的话u 就不是单值函数了）。
若空间中数量场为平面数量场(,)u x y ，(,)u x y C ≡表示了一条平面曲线，称为数量场(,)u x y 的等值线，显然平面数量场(,)u x y 所在的平面区域被一族等势线充满，这些等值线彼此不相交。
3.矢量场的矢量线、矢量面、矢量管ˆˆˆ(,,)(,,)(,,)(,,)x y z A x y z A x y z i A x y z j A x y z k =++为空间的一矢量场，在空间中作这样的曲线，使得曲线的任一点M 处切线的放向数是()A M的三个分量，即曲线满足微分方程：x y zdx dy dzA A A ==则称这样的曲线为矢量场(,,)A x y z 的矢量线。
由微分方程理论（解的存在与唯一性定理）我们可知x y zdx dy dz A A A ==的解是矢量线族，这族矢量线不仅存在，并且也充满了矢量场所在的空间区域，而且互不相交。
高三政治第二论复习辩证法课件
(1) (2) (3)
(二)运动与发展
方法论 具体运用
用发展的观点看待社会主义和资本主义, 增强热爱社会主义的思想感情
(三）矛盾的普遍性
矛盾 对立 统一
正确理解
相互区别 对立 相互排斥 相互斗争 矛盾双方在一定条件下相互依存，一方的 统一 存在以另一方的存在为前提，双方共处于 一个统一体中 矛盾双方依据一定的条件各向自己相反的 方向转化 第一：矛盾双方的对立和统一是不可分割的 第二：矛盾双方的对立统一，既存在于事物 的内部，也存在于事物之间
方法论
机械运动 物理运动 化学运动 生命运动 社会运动
自然界 人类社会 人的认识
(1)物质是运动的物质,运动是物质的根本 属性和存在方式 运动与物质 运动 (离开运动谈物质,是行而上学的思想) (2)运动是物质的运动,物质是运动的主体 (离开物质谈运动,是唯心主义的思想) 上 前 (1)含义不同: 对立 : 升 进 (2)性质不同: 运动与静止 的 的 (1)静止是运动的特殊状态,静中有动 事 动中有静 统一: 物 (2)事物的存在和发展是绝对运动和 是 (1)含义: 相对静止的统一 变 发展 化 第一:实质: (2) 正确把握发展 : 发 展 第二:明确区分新旧事物 的
矛盾普遍性
矛盾存在于一切事物之中（事事有矛盾）
方法论
具体运用
矛盾贯穿于每一事物发展过程的始终（时时有矛盾） （1）要承认矛盾的普遍性和客观性，敢于承认矛盾，揭露矛盾 （2）要善于全面分析矛盾，坚持两分法，防止片面性 对自己、对前进中的困难和挫折要一分为二 两个基本点的关系 全面理解和执行党的路线、方针和政策 一系列“两手抓”
一.联系的普遍性
联系
普遍(1) 网络建构 (2) (3) (1)联系是事物本身固有的,不以人 的意志为转移,不能否定或割裂 (2)发挥主观能动性可以根据事物固 有联系改变事物状态,建立新的联系 先行后续 (1)特点 引起被引起 因果 (2)内容 (3)属性 客观性 普遍性 联系 (4)方法论 (1) 方 整体 对立 (2) 法 整体与 (3) 论 辩证 部分联 统一 不可分割 统一 系 相互影响 部分
(二)运动与发展
方法论 具体运用
用发展的观点看待社会主义和资本主义, 增强热爱社会主义的思想感情
(三）矛盾的普遍性
矛盾 对立 统一
正确理解
相互区别 对立 相互排斥 相互斗争 矛盾双方在一定条件下相互依存，一方的 统一 存在以另一方的存在为前提，双方共处于 一个统一体中 矛盾双方依据一定的条件各向自己相反的 方向转化 第一：矛盾双方的对立和统一是不可分割的 第二：矛盾双方的对立统一，既存在于事物 的内部，也存在于事物之间
方法论
机械运动 物理运动 化学运动 生命运动 社会运动
自然界 人类社会 人的认识
(1)物质是运动的物质,运动是物质的根本 属性和存在方式 运动与物质 运动 (离开运动谈物质,是行而上学的思想) (2)运动是物质的运动,物质是运动的主体 (离开物质谈运动,是唯心主义的思想) 上 前 (1)含义不同: 对立 : 升 进 (2)性质不同: 运动与静止 的 的 (1)静止是运动的特殊状态,静中有动 事 动中有静 统一: 物 (2)事物的存在和发展是绝对运动和 是 (1)含义: 相对静止的统一 变 发展 化 第一:实质: (2) 正确把握发展 : 发 展 第二:明确区分新旧事物 的
矛盾普遍性
矛盾存在于一切事物之中（事事有矛盾）
方法论
具体运用
矛盾贯穿于每一事物发展过程的始终（时时有矛盾） （1）要承认矛盾的普遍性和客观性，敢于承认矛盾，揭露矛盾 （2）要善于全面分析矛盾，坚持两分法，防止片面性 对自己、对前进中的困难和挫折要一分为二 两个基本点的关系 全面理解和执行党的路线、方针和政策 一系列“两手抓”
一.联系的普遍性
联系
普遍(1) 网络建构 (2) (3) (1)联系是事物本身固有的,不以人 的意志为转移,不能否定或割裂 (2)发挥主观能动性可以根据事物固 有联系改变事物状态,建立新的联系 先行后续 (1)特点 引起被引起 因果 (2)内容 (3)属性 客观性 普遍性 联系 (4)方法论 (1) 方 整体 对立 (2) 法 整体与 (3) 论 辩证 部分联 统一 不可分割 统一 系 相互影响 部分
场论第二章2-4
证明矢量场 A u grad u 是无旋场. 例 6：
证明： rot A rot u grad u
u rot grad u grad u grad u
u 00
0
图 1-3 法线方向的取法
5. rot ( grad u) 0
6. div (rot A) 0
求矢量场 A xy 2 z 2 i z 2 sin yj x 2e y k 的旋度。 例 3：
解：
i j y Q k i j y z 2 sin y k z x 2e y rot A x P z x R xy 2 z 2
则环量可表示为
蜒
l
v v A dl
Pdx Qdy Rdz.
l
例1 设有矢量场 A y i x j ， l 为场中的星形线
x R cos 3 , y R sin3
求此矢量场沿 l 正向的环量 .
解：
2 0
蜒
l
v v A dl
5.旋度rot A矢量的模是最大环量面密度.
旋度运算的基本公式：
1. rot (cA) c rot A （c为常数） 2. rot ( A B) rot A rot B 3. rot (uA) u rot A grad u A （u为数性函数） 4. div ( A B) B rot A A rot B
其上的条件下，沿着自身缩向 M 点时， 的极限 S
存在， 则称此极限为矢量场 A( M )在点 M 处沿方向 n 的环量面密度，记作： n
n
M
l
S
即
n lim lim S M S S M
第二讲 交变电场下电介质的损耗
2.2 介质损耗
研究介质损耗问题，实质上就是研究能量转 换问题。根据介质理论中关于介质损耗的定义， 它是指电介质在单位时间内每单位体积中，将电 能转化为热能(以发热形式)而消耗的能量。 电介质在直流电场中，单位时间内每单位 体积所消耗的能量为w＝γvE2 。而静介电常数 为εs的电介质在静电场中所储存的静电能密度 常用下面的方程来表示：
图2-1 理想电容器电流与电压的关系
下面接着分析电极间不是真空而是充满相 对介电常数为εr的电介质，显然，此时的电容量 具有新的值C＝εrC0，相应的电流变为 2-3 它比上述的电流要大εr倍。但是式(2-3)仅适用 于理想的电介质，即假设所填充的电介质是理想绝 缘的非极性电介质，此时，电流与电压仍然相差 90o相位。
2 电磁波在介质中的传播及复折射率 电磁波在介质中的传播，是以麦克斯韦 方程为基础的：
消去H，得出电磁波的传播方程： 2-15
在笛卡儿坐标系中，电介质中沿着x方向传播 的平面波的波动方程可表示为： 2-16
式中电场强度矢量E和磁场强度矢量H在对x 轴垂直的y—z平面内互相正交。
方程(2—16)的通解是： 2-17
但由于G＝γ S/d及C＝εr εoS/d (s-极板面积， d-介质厚度)当代入式(2-4)后，即可求出电流密度j 为：
2-5
此式中的第一项iωεrεoE实际上就是位移电流 密度jd，而其第二项γE亦即传导电流密度。
式(2-5)可写成
2-6
根据式(2-6)，可以由j＝γ*E引出复电导率 (complex conductivity) γ*： 2-7
2. l 复介电常数和复折射率
1 复介电常数 考虑一个平行平板式静电容量为C0＝εoS／d的 真空电容器。如果在该电容器上加上角频率为ω＝ 2πf的交流电压：
场论2.1-2.5
u y
cos
u z
cos
cos , cos cos
也称为l 方向的方分析与场论 例 求数量场 u 的方向导数。 解
0 l l l
2
x y
2
2
在点M(1, 1, 2)处沿l=i+2j+2k方向
1 2 2 i j k 3 3 3
第1-17页
■
矢量分析与场论
2.3
矢量场的通量及散度
1. 通量 (Flux)
以流速场为例，考虑流量：
Q vS
Q v S vS cos
S Sn
Q v S
v
Q
v ( x, y, z ) dS
S
第1-18页
■
矢量分析与场论
（1）定义：若矢量场A分布于空间 中，在空间中存在任意曲面S，则
2 2
3
z
2
在点M处沿l方向的方向导数
第1-9页
■
u l
M
1 3
1
2 3
1
2 2 2 3 4 3
矢量分析与场论
2. 梯度
★方向导数解决了函数u(M)在给定点处沿某个方向的变化率问 题。但是从标量场中的给定点出发，有无穷多个方向，函数沿 其中哪个方向其变化率最大呢？最大的变化率又是多少呢？ ★对同样的u的增量du，存在着最大的空间增长率，即最大的 方向导数。很明显，沿等值面的法线方向 的方向导数最大，其距离最短。 l '
第1-3页
数量场： u ( x , y , z , t ) u ( r , t ) 矢量场： A ( x , y , z , t ) A ( r , t )
2场论基础下
gy
g
z
⎤⎦
⎢ ⎢
yˆ
⎥ ⎥
⎢⎣zˆ ⎥⎦
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
第二讲 场论基础（2）
则
A=
f g = [ xˆ
yˆ
⎡
zˆ
]
⎢ ⎢
f f
x y
⎤ ⎥
⎥
⎡⎣ g
第二讲ϕφ) = ∇(ϕφc ) + ∇(ϕcφ) = (∇ϕ )φ + ϕ (∇φ) ∇ ⋅ (ϕ f ) = ∇ ⋅ (ϕ fc ) + ∇ ⋅ (ϕc f ) = (∇ϕ ) ⋅ f + ϕ (∇ ⋅ f ) ∇ × (ϕ f ) = ∇ × (ϕ fc ) + ∇ × (ϕc f ) = (∇ϕ ) × f + ϕ (∇ × f )
第二讲 场论基础（2）
● ∇ × ( f × g) = ∇ × ( f × gc) + ∇ × ( fc × g)
利用 a × (b × c ) = b (a ⋅ c ) − (b ⋅ a )c = (c ⋅ a )b − c (a ⋅ b )
∇ × ( fc × g ) = f (∇ ⋅ g ) − ( f ⋅ ∇)g ∇ × ( f × gc ) = (g ⋅ ∇) f − g (∇ ⋅ f ) 所以 ∇×( f × g) = f (∇⋅ g) − ( f ⋅ ∇)g + (g ⋅ ∇) f − g(∇⋅ f )
第二讲 场论基础（2）
¾ 函数f 的梯度、矢量函数 f = f1qˆ1 + f2qˆ2 + f3qˆ3 的散度和旋度定义如下：
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f f ex e y y x
2 f 2 f 2 2 y x
x
2 x2 y 2
2 2
y 1 2
5
散度定理
由于 A是通量源密度， 对 A进行体积分后， 所得结得结果为整个体 积的通量。
A dl 0
dl dxi dyj dzk;
三维场
Ax Ay Az dx dy dz
22
在直角坐标下:
A Ax i Ay j Az k;
二维场
Ay Ax dx dy
内容提要
矢量代数 +，-，×（数量和矢量） 正交坐标系与场的形态描述 直角坐标系，圆柱坐标系，球坐标系 场量的积分和微分 第一类和第二类线线积分和面积分 标量场 - 梯度；矢量场 - 散度，旋度
27
矢量场的通量
S E dS S E ndS
根据闭合曲面净通量的大小可以判断曲面内源的性质
0
0
0
28
矢量场的散度
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 通量与体积之比的极限存在，即
1 A lim V 0 V
零场恒等式（标量场）
定理：任意标量场梯度的旋度恒等于零
0
推论：如果一个矢量场是无旋的，则
该场可用标量场梯度表示
A 0 A
39
零场恒等式（矢量场）
定理：任意矢量场旋度的散度恒等于零
( A) 0
推论：如果一个矢量场是无散的，则
该场可用矢量场的旋度表示
19
2
2
标量场形态的描绘－等值线
等值线将三维场 “ 压缩 ” 到二维平面 等值线将三维场 “ 压缩 ” 到二维平面
20
矢量场形态描绘-场线
1、方向要素：场量 沿场线切线方向； 2、大小要素：线段 长短反应场量大小
场线描绘了矢量场 场线描绘了矢量场 形态特征 形态特征
21
矢量场线的微分方程
矢量场线微分方程
电磁场物理规律本身与坐标系无关。若合理的选择坐标 系可降低分析问题的难度。 坐标系的基本要求——“正交性” 坐标系的惯例和矢量的叉乘有关系，不同的惯例会带来 叉乘矢量方向的不同，一般采用右手惯例坐标系。
i×j=k
8
直 角 坐 标 系
i×j=k
场 分 量 与 单 位 向 量
单位向量－正交基
36
斯托克斯定理
A 是环量密度，即围绕单位面积环路上的 环量。经过面积分后，总环量为
l A dl
S
( A) dS
无场量的可导性要求，积分仅仅在围线上进行 矢量函数的线积分与面积分的互换；该公式表明了区域S 中场A与边界L上的场A之间的关系 旋度定理使用条件：场量连续
F A
理论意义： 1、对场的研究转化为对场“导数”的研究，简化问题 2、场分解为旋度场和梯度场，降低分析难度；
矢量场的唯一性定理
亥姆霍兹定理：在有限区域内，矢量场由 它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。
给定了区域中矢量场的散度和旋度，结合边界上 的法向分量或者切向分量，则矢量场唯一确定。
S
A dS
Ax x
Ay y
Az z
推导： 2D流速场
A ＝0 无源
A 0 正源
A 0 负源
29
散度举例：标量函数负梯度的散度
f ( x, y)
1 x2 y 2 1
B ( f ( x , y ))
16
例：描述地磁场，应选择何种坐标系较方便？
场的分布的对称性-柱坐标系
标量场与矢量场
标量（Scalar）: 只具有大小的物理量，例如：电压， 电流，电荷量，能量，温度； 矢量（Vector）: 同时具有大小和方向的物理量， 例 如：速度，电场强度，磁场强度； 对于确定的场域，场中任一点都有确定的标量值或矢 量值，场是标量或矢量的位置函数。
A dS lim n
S
Vn 0 n 1
AV V AdV
n
无场量的可导性要求，且积分仅仅在区域表面进行
矢量函数的面积分与体积分的互换, 表明了区域V 中场 A与边界S上的场A之间的关系。 散度定理使用条件：场量连续
31
矢量场的环量
A dl
矢量代数-矢量点积
a ·B = |a||B| cos aB
矢量点积为标量
ˆ)a (B a
矢量A和B垂直
A ·B =0
5
矢量代数-矢量叉积
A×B = aN|A||B| sin AB
矢量叉积为矢量，叉乘结果矢量垂直原矢量
A×B =－ B× A
右旋 矢量A和B平行 左旋
A×B =0
6
内容提要
24
标量场梯度的性质
标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点 的函数； 梯度的方向与等值线（面）相垂直的方 向，其指向函数值增加的方向。 梯度的大小为该点标量函数的最大变化 率，即该点最大方向导数； 推导过程见黑板
25
求f(x,y)的负梯度场
f ( x, y) 1 x2 y 2 1
矢量代数 +，-，×（数量和矢量） 正交坐标系与场的形态描述 直角坐标系，圆柱坐标系，球坐标系 场量的积分和微分 第一类和第二类线线积分和面积分 标量场 - 梯度；矢量场 - 散度，旋度
矢量场求解的基本理论 位函数基础 — 零场恒等式 矢量场定解理论 — Helmholtz 定理
坐标系要求与惯例
dS
n
取最大值，则
旋度与矢量垂直
34
旋度图例
f ( x , y ) yi xj
i f ( x, y ) y x j x y k 0 2k z
特点：旋度的方向 总与原矢量的方向 垂直
旋度的性质
旋度的大小是该点环量密度的最大值；旋度的方向是该 点取得最大环量密度的方向；旋度与原矢量垂直 矢量的旋度仍为矢量，其是空间坐标点的函数； 若A=J 0，称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源 (或涡旋源)；若矢量场处处A=0，称之为无旋场。
Fgrad 0 F ( Fcurl Fgrad ) Fcurl
41
( A) 0
Fcurl 0 Fcurl A
0
F grad 0 F grad
任意矢量场可以表示为
环量面密度描述的是一个面积上“旋 转”强度的情况，是一个“宏观”的 物理量，如果要知道场中一点处“旋 转”最强的方向，应如何考虑？
33
矢量场的旋度
类比梯度和方向导数之间关系，定义旋度矢量，其模值等于 环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向，旋度与环 量密度的关系为 推导： d 2D流速场 A e A cos
37
内容提要
矢量代数 +，-，×（数量和矢量） 正交坐标系与场的形态描述 直角坐标系，圆柱坐标系，球坐标系 场量的积分和微分 第一类和第二类线线积分和面积分 标量场 - 梯度；矢量场 - 散度，旋度
矢量场求解的基本理论 位函数基础 — 零场恒等式 矢量场定解理论 — Helmholtz 定理
s
D ) dS t
E dl
l
s
B dS s t
B dS 0
D
D dS q
s
2
微分形式描述场
微分形式精确描述了场 中任意点在任意时刻的 状况
时间变化
Temporal derivatives 时间导数
空间变化
Spatial derivatives 标量场：梯度 矢量场：散度和旋度
45
单位向量－正交基
圆 柱 坐Leabharlann 标 系 × = k何时应采用圆柱坐标系？ 场的分布关于轴 呈旋转圆柱对称
两个正交极坐标系
球 坐 标 系
× r =
单位向量－正交基
平行平面场
如果在垂直于轴线一族平行 平面上，场 F 的分布都相 同，即 F = f(x, y)，称这个场 为平行平面场。 对于平行平面场，只需求解 一个面上场的分布即可。 直角坐标系。
秋季学期 第02讲
场的数学描述和定解
1. 如何描述标量场和矢量场？ 2. 如何求解标量场和矢量场？
1
基本方程组-积分/微分描述
微分形式：知微见著 场量在每个场点情况
D H J t B E t
B 0
l
积分形式：高屋建瓴 区域中场量总体情况
H dl (J
z y
x
14
z
轴对称场
如果在经过某一轴线(设为 z轴) 的一族子午面上，场 F 的分布 都相同，即 F = f (r, z)，称这个 场为轴对称场。 对于轴对称场，只需求解一个 对称面面上场的分布即可。 圆柱坐标系。
r
15
球面对称场
如果在一族同心球面上(设 球心在原点)，场 F 的分布 都相同，即 F = f( r )，称这 个场为球面对称场 对于球对称场，只需求解球 对称面上场的分布即可。 用球坐标系
3
内容提要
矢量代数 +，-，×（数量和矢量） 正交坐标系与场的形态描述 直角坐标系，圆柱坐标系，球坐标系 场量的积分和微分 第一类和第二类线线积分和面积分 标量场 - 梯度；矢量场 - 散度，旋度
2 f 2 f 2 2 y x
x
2 x2 y 2
2 2
y 1 2
5
散度定理
由于 A是通量源密度， 对 A进行体积分后， 所得结得结果为整个体 积的通量。
A dl 0
dl dxi dyj dzk;
三维场
Ax Ay Az dx dy dz
22
在直角坐标下:
A Ax i Ay j Az k;
二维场
Ay Ax dx dy
内容提要
矢量代数 +，-，×（数量和矢量） 正交坐标系与场的形态描述 直角坐标系，圆柱坐标系，球坐标系 场量的积分和微分 第一类和第二类线线积分和面积分 标量场 - 梯度；矢量场 - 散度，旋度
27
矢量场的通量
S E dS S E ndS
根据闭合曲面净通量的大小可以判断曲面内源的性质
0
0
0
28
矢量场的散度
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 通量与体积之比的极限存在，即
1 A lim V 0 V
零场恒等式（标量场）
定理：任意标量场梯度的旋度恒等于零
0
推论：如果一个矢量场是无旋的，则
该场可用标量场梯度表示
A 0 A
39
零场恒等式（矢量场）
定理：任意矢量场旋度的散度恒等于零
( A) 0
推论：如果一个矢量场是无散的，则
该场可用矢量场的旋度表示
19
2
2
标量场形态的描绘－等值线
等值线将三维场 “ 压缩 ” 到二维平面 等值线将三维场 “ 压缩 ” 到二维平面
20
矢量场形态描绘-场线
1、方向要素：场量 沿场线切线方向； 2、大小要素：线段 长短反应场量大小
场线描绘了矢量场 场线描绘了矢量场 形态特征 形态特征
21
矢量场线的微分方程
矢量场线微分方程
电磁场物理规律本身与坐标系无关。若合理的选择坐标 系可降低分析问题的难度。 坐标系的基本要求——“正交性” 坐标系的惯例和矢量的叉乘有关系，不同的惯例会带来 叉乘矢量方向的不同，一般采用右手惯例坐标系。
i×j=k
8
直 角 坐 标 系
i×j=k
场 分 量 与 单 位 向 量
单位向量－正交基
36
斯托克斯定理
A 是环量密度，即围绕单位面积环路上的 环量。经过面积分后，总环量为
l A dl
S
( A) dS
无场量的可导性要求，积分仅仅在围线上进行 矢量函数的线积分与面积分的互换；该公式表明了区域S 中场A与边界L上的场A之间的关系 旋度定理使用条件：场量连续
F A
理论意义： 1、对场的研究转化为对场“导数”的研究，简化问题 2、场分解为旋度场和梯度场，降低分析难度；
矢量场的唯一性定理
亥姆霍兹定理：在有限区域内，矢量场由 它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。
给定了区域中矢量场的散度和旋度，结合边界上 的法向分量或者切向分量，则矢量场唯一确定。
S
A dS
Ax x
Ay y
Az z
推导： 2D流速场
A ＝0 无源
A 0 正源
A 0 负源
29
散度举例：标量函数负梯度的散度
f ( x, y)
1 x2 y 2 1
B ( f ( x , y ))
16
例：描述地磁场，应选择何种坐标系较方便？
场的分布的对称性-柱坐标系
标量场与矢量场
标量（Scalar）: 只具有大小的物理量，例如：电压， 电流，电荷量，能量，温度； 矢量（Vector）: 同时具有大小和方向的物理量， 例 如：速度，电场强度，磁场强度； 对于确定的场域，场中任一点都有确定的标量值或矢 量值，场是标量或矢量的位置函数。
A dS lim n
S
Vn 0 n 1
AV V AdV
n
无场量的可导性要求，且积分仅仅在区域表面进行
矢量函数的面积分与体积分的互换, 表明了区域V 中场 A与边界S上的场A之间的关系。 散度定理使用条件：场量连续
31
矢量场的环量
A dl
矢量代数-矢量点积
a ·B = |a||B| cos aB
矢量点积为标量
ˆ)a (B a
矢量A和B垂直
A ·B =0
5
矢量代数-矢量叉积
A×B = aN|A||B| sin AB
矢量叉积为矢量，叉乘结果矢量垂直原矢量
A×B =－ B× A
右旋 矢量A和B平行 左旋
A×B =0
6
内容提要
24
标量场梯度的性质
标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点 的函数； 梯度的方向与等值线（面）相垂直的方 向，其指向函数值增加的方向。 梯度的大小为该点标量函数的最大变化 率，即该点最大方向导数； 推导过程见黑板
25
求f(x,y)的负梯度场
f ( x, y) 1 x2 y 2 1
矢量代数 +，-，×（数量和矢量） 正交坐标系与场的形态描述 直角坐标系，圆柱坐标系，球坐标系 场量的积分和微分 第一类和第二类线线积分和面积分 标量场 - 梯度；矢量场 - 散度，旋度
矢量场求解的基本理论 位函数基础 — 零场恒等式 矢量场定解理论 — Helmholtz 定理
坐标系要求与惯例
dS
n
取最大值，则
旋度与矢量垂直
34
旋度图例
f ( x , y ) yi xj
i f ( x, y ) y x j x y k 0 2k z
特点：旋度的方向 总与原矢量的方向 垂直
旋度的性质
旋度的大小是该点环量密度的最大值；旋度的方向是该 点取得最大环量密度的方向；旋度与原矢量垂直 矢量的旋度仍为矢量，其是空间坐标点的函数； 若A=J 0，称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源 (或涡旋源)；若矢量场处处A=0，称之为无旋场。
Fgrad 0 F ( Fcurl Fgrad ) Fcurl
41
( A) 0
Fcurl 0 Fcurl A
0
F grad 0 F grad
任意矢量场可以表示为
环量面密度描述的是一个面积上“旋 转”强度的情况，是一个“宏观”的 物理量，如果要知道场中一点处“旋 转”最强的方向，应如何考虑？
33
矢量场的旋度
类比梯度和方向导数之间关系，定义旋度矢量，其模值等于 环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向，旋度与环 量密度的关系为 推导： d 2D流速场 A e A cos
37
内容提要
矢量代数 +，-，×（数量和矢量） 正交坐标系与场的形态描述 直角坐标系，圆柱坐标系，球坐标系 场量的积分和微分 第一类和第二类线线积分和面积分 标量场 - 梯度；矢量场 - 散度，旋度
矢量场求解的基本理论 位函数基础 — 零场恒等式 矢量场定解理论 — Helmholtz 定理
s
D ) dS t
E dl
l
s
B dS s t
B dS 0
D
D dS q
s
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微分形式描述场
微分形式精确描述了场 中任意点在任意时刻的 状况
时间变化
Temporal derivatives 时间导数
空间变化
Spatial derivatives 标量场：梯度 矢量场：散度和旋度
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单位向量－正交基
圆 柱 坐Leabharlann 标 系 × = k何时应采用圆柱坐标系？ 场的分布关于轴 呈旋转圆柱对称
两个正交极坐标系
球 坐 标 系
× r =
单位向量－正交基
平行平面场
如果在垂直于轴线一族平行 平面上，场 F 的分布都相 同，即 F = f(x, y)，称这个场 为平行平面场。 对于平行平面场，只需求解 一个面上场的分布即可。 直角坐标系。
秋季学期 第02讲
场的数学描述和定解
1. 如何描述标量场和矢量场？ 2. 如何求解标量场和矢量场？
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基本方程组-积分/微分描述
微分形式：知微见著 场量在每个场点情况
D H J t B E t
B 0
l
积分形式：高屋建瓴 区域中场量总体情况
H dl (J
z y
x
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z
轴对称场
如果在经过某一轴线(设为 z轴) 的一族子午面上，场 F 的分布 都相同，即 F = f (r, z)，称这个 场为轴对称场。 对于轴对称场，只需求解一个 对称面面上场的分布即可。 圆柱坐标系。
r
15
球面对称场
如果在一族同心球面上(设 球心在原点)，场 F 的分布 都相同，即 F = f( r )，称这 个场为球面对称场 对于球对称场，只需求解球 对称面上场的分布即可。 用球坐标系
3
内容提要
矢量代数 +，-，×（数量和矢量） 正交坐标系与场的形态描述 直角坐标系，圆柱坐标系，球坐标系 场量的积分和微分 第一类和第二类线线积分和面积分 标量场 - 梯度；矢量场 - 散度，旋度