鸟头模型
互补角鸟头模基本公式
互补角鸟头模基本公式一、互补角的概念。
1. 定义。
- 如果两个角的和为180^∘，那么这两个角互为补角。
例如，∠ A = 30^∘，∠ B = 150^∘，因为∠ A+∠ B = 30^∘+150^∘=180^∘，所以∠ A和∠ B互为补角。
二、鸟头模型。
1. 鸟头模型的基本图形。
- 鸟头模型是一种在三角形中常见的比例关系模型。
它由两个三角形组成，这两个三角形有一个公共角。
- 例如，在ABC和ADE中，∠ A是公共角。
2. 鸟头模型基本公式（共角定理）- 对于ABC和ADE，若∠ A=∠ A（公共角），则frac{S_ ADE}{S_ ABC}=(AD× AE)/(AB× AC)。
- 证明（以人教版相似三角形知识为基础）：- 过D作DF∥ BC交AC于F。
- 因为DF∥ BC，所以ADFsim ABC，则(AD)/(AB)=(AF)/(AC)。
- 又因为∠ A=∠ A，∠ AED=∠ ACB（平行得同位角相等），所以ADEsim ABC。
- 设(AD)/(AB) = k_1，(AE)/(AC)=k_2，则S_ ADE=(1)/(2)AD× AE×sin A，S_ ABC=(1)/(2)AB× AC×sin A。
- 所以frac{S_ ADE}{S_ ABC}=(frac{1)/(2)AD× AE×sin A}{(1)/(2)AB×AC×sin A}=(AD× AE)/(AB× AC)。
这里并没有专门针对互补角与鸟头模型结合的特殊公式，如果在具体题目中有涉及互补角的鸟头模型问题，可能是在利用鸟头模型计算面积比例时，三角形的角之间存在互补关系，进而利用互补角的三角函数值关系（如sinα=sin(180^∘-α)）等知识来辅助解题。
鸟头模型
例题讲解
例6：如图，三角形ABC的面积是1，D、E、F分别在BA、CA、CB的延长线上，且AD=AB， AE=2AC，BF=3BC，求三角形DEF的面积.
例题讲解
练一练6：如图，三角形ABC的面积是2，D、F分别在AB、BC的延长线上，且BD=BA，CB=2CF， E是AC的中点，求三角形DEF的面积.
主讲老师：匠心
日期：2020.02.02
目 录
专题解析 例题讲解 总结归纳 巩固提升
专题解析
专题解析
鸟头模型 鸟头模型（共角模型）作为比例模型中基础的一种，可以通过等高模型进行推导，其主要研究的 是三角形面积比与对应线段乘积比之间的关系.
基本要求 存在公共角或互补角，总共有四种基本形式，下面分类列出，并进行证明.
巩固提升
作业3：如图，平行四边形ABCD的面积是2，E、F、G、H分别在BA、CB、DC、AD的延长线上， 且AE=3AB，BF=BC，CG=2CD，DH=DA，求四边形EFGH的面积.
巩固提升
作业4：如图，以正十二边形的每条边为边长向外作正方形，求图中两种阴影的面积比.
巩固提升
作业5：如图，正六边形ABCDEF的面积是2020，将其各边向外延长两倍，求六边形GHIJKL的面 积.
例题讲解
练一练2：如图，三角形ABC中，D、G分别是AB、AC的中点，E、F为BC的三等分点，已知阴影 部分的面积是5，求三角形ABC的面积.
例题讲解
例3：如图，四边形ABCD、DEFG是正方形，试判断三角形CDE与三角形ADG面积的大小关系， 并说明原因.
例题讲解
练一练3：如图，以三角形ABC的三条边分别为边长作正方形，已知AB=8厘米，AC=6厘米，求图 中阴影面积的总和.
数学中的鸟头模型
数学中的鸟头模型数学中的鸟头模型，这名字一听就挺有意思的，对吧？光听名字你就能想象出一只鸟的头，睁着大眼睛，带着一丝机灵和好奇，像是在看着你，想问你点什么。
其实这个模型啊，跟它的名字一样，看起来挺简单，实际上一点也不简单。
你是不是也在想，鸟头跟数学有什么关系呢？看似毫不相关的东西，竟然能碰到一起。
嘿，说实话，刚开始我也觉得这个模型一定跟一些复杂的公式啥的扯上关系，结果呢，一点也不那么回事。
它说的其实是一个特别直观、特别形象的数学模型，虽然名字让人有点摸不着头脑，但一了解，哎呀，原来这么有趣！所谓鸟头模型，其实是指在某些数学场景中，我们可以用一个形象化的“鸟头”来代表问题的结构。
这鸟头模型最早是用来描述一些数学图形的，尤其是在组合数学和图论方面。
简单说来，假如你有个图形，点和线就像是小小的颗粒，点之间相连的线就是桥梁。
而这个鸟头模型就像是在描述这些点与线的排列，像是给它们画了个小框框，给数学问题找个形象的家。
是不是觉得有点抽象？那你可得慢慢听。
我得给你讲个例子。
想象一下，你在街头看到了两个小朋友正准备玩跳绳，他们站在不同的地方，绳子一端在一个小朋友手里，另一端则在另一个小朋友手里。
这个绳子就是两点之间的连线，而小朋友就像是“点”。
他们之间的“连线”是不是就像是一个数学模型里的线条？这个鸟头模型的神奇之处就在于，它能帮助我们把这种关系表达得更加简洁而又准确。
你看，数学不就是这么神奇吗？它能把一堆看似杂乱无章的东西，用简简单单的语言表达出来。
你要是理解了这个鸟头模型，它其实并不神秘。
咱们就把它当作一个画图工具，帮助我们更好地了解和分析数学对象之间的关系。
这些点和线，可以说是数学的基本元素，经过鸟头模型的加工、组合，突然间变得有了生命，像是一个个活跃的小家伙在纸上舞动。
是不是觉得又好玩又有点可爱？再说到这鸟头模型的应用，哎呀，那可真不少。
比如在网络结构的分析中，咱们就常常用这种模型来帮助理解和优化网络的连接情况。
鸟头模型的面积公式推导过程
鸟头模型的面积公式推导过程
鸟头模型的面积公式推导过程：
鸟头模型是一种圆锥形的三角形，由底圆、侧面和顶点三个部分组成。
它是一种常用的几何图形，广泛应用于工程计算、艺术创作等各个领域。
要计算鸟头模型的面积，可以使用分片技术来推导出鸟头模型的面积公式。
首先，将鸟头模型分割成三个部分，即底圆、侧面和顶点。
根据三角形的性质，可以知道底圆的面积为πr2，其中r为底圆的半径。
而侧面的面积可以通过“三角形面积公式”求得：A = ½bch，其中b、c分别为三角形的两条底边，h为三角形的高。
如果鸟头模型的高h和底圆的半径r都已知，那么就可以求出鸟头模型的面积S：
S = πr2 + ½bh(h-2r)
上式中，πr2为底圆的面积，½bh(h-2r)为侧面的面积。
由此可见，当鸟头模型的高h和底圆的半径r都已知时，可以通过上述公式求出鸟头模型的面积。
此外，在求解鸟头模型的面积公式时还要考虑底圆半径和高之间的关系，即底圆半径必须大于高的一半，才能保证三角形是一个合法的三角形。
总之，鸟头模型的面积公式推导过程是一个分片技术的过程，首先将鸟头模型分割成三个部分，然后根据相应的面积公式求出鸟头模型的面积。
最后，还要考虑底圆半径和高之间的关系，以保证三角形是一个合法的三角形。
小学奥数--几何--五大模型--鸟头模型(共角定理)
例：1 已知三角形 ADE 的面积是 1，AD:AB=2:3，AE:AC=1:4，求三角形 AED 的面积 2 已知三角形 ABC 的面积是 9，AD:AB=1:2，AE:EC=1:1，求三角形 AED 的面积
分析：(1)由鸟头定理： S△ADE
=
AD ×
AE
=
211
× =,
∴ S△ ABCD =
2S △ ABC
= 1:18
S△EFGH (8 + 3 + 8 + 15 + 2)S△ABC
∴ S△HAE = 8S△ ABD ∴ S△FAD = 3S△ ABC ∴ S△HAE = 8S△BCD
∴ S△HAE = 8S△ ADC
超常挑战
分析：图中每相邻两个正方形和其间夹着的两个三角形都是“X 型”鸟头。
方厘米，求 △ABC 的面积．
2 （2005 年第 11 届迎春杯试题）三角形 ABC 被线段 DE 分成三角形 BDE 和四边形 ACDE 两部分，问：
三角形 BDE 的面积是四边形 ACDE 面积的几分之几？
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2011 年 秋季 五年级
第三讲 三角形中的模型(一)
周艳丽
3 图中三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米， D 是 BC 的中点， AD 的长是 AE 长的 3 倍， EF 的长是 BF 长
的 3 倍．那么三角形 AEF 的面积是多少平方厘米？
4 如图，将四边形 ABCD 的四条边 AB 、 CB 、 CD 、 AD 分别延长两倍至点 E 、 F 、 G 、 H ，若四边形 ABCD
的面积为 5，则四边形 EFGH 的面积是
．
学案—尖子班 1 已知四边形 ABCD 中，CD=3DF，AE=3ED，三角形 BFC 的面积是 6，四边形 BEDF 的面积为 7，求大四
数学中鸟头模型例题
数学中鸟头模型例题
鸟头模型是一个经典的数学问题，通常在高中或大学的数学课
程中会遇到。
这个问题涉及到几何学和三角学的知识。
鸟头模型的
例题可以是这样的：
假设有一个鸟头模型，它由一个球和一个圆锥组成。
球的半径
为3厘米，圆锥的高度为4厘米，底部半径为2厘米。
现在要求计
算这个鸟头模型的表面积和体积。
首先，我们可以计算球的表面积和体积。
球的表面积公式为
4πr^2，其中r为球的半径。
代入r=3，得到球的表面积约为113.1
平方厘米。
球的体积公式为(4/3)πr^3，代入r=3，得到球的体积
约为113.1立方厘米。
接下来，我们计算圆锥的表面积和体积。
圆锥的表面积公式为
πr(l+r)，其中r为底部半径，l为斜高。
斜高可以通过勾股定理
计算得到，即l=√(h^2+r^2)，其中h为圆锥的高度。
代入r=2，
h=4，得到圆锥的表面积约为37.7平方厘米。
圆锥的体积公式为
(1/3)πr^2h，代入r=2，h=4，得到圆锥的体积约为16.8立方厘米。
最后，我们将球和圆锥的表面积和体积相加，得到整个鸟头模型的表面积约为150.8平方厘米，体积约为129.9立方厘米。
这样，我们就完成了鸟头模型的例题，计算出了它的表面积和体积。
通过这个例题，我们不仅复习了球和圆锥的表面积和体积的计算公式，还加深了对几何图形的理解和运用。
六年级奥数专题几何五大模型——鸟头模型
几何五大模型——鸟头模型本讲要点一两点都在边上：鸟头定理：（现出“鸟头模型”。
然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。
最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。
最后按一下，出公式。
）二一点在边上，一点在边的延长线上：如图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ ABC 的面积是 平方厘米．例2 （1）如图在△ABC 中，D 、E 分别是AB ，AC 上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ABC 的面积是16平方厘米，求△ABC 的面积。
（2）如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2,△ADE 的面积是12平方厘米，求△ABC 的面积。
已知△DEF 的面积为12平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC 的面积。
三角形ABC 面积为1，AB 边延长一倍到D ，BC 延长2倍到E ，CA 延长3倍到F ，问三角形DEF 的面积为多少？长方形ABCD 面积为120，EF 为AD 上的三等分点，G 、H 、I 为DC 上的四等分点，阴影面积是多大？如图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边AD 、BC 的平行线EF 、GH ，若PBD 的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？1. 如下左图，在ABC △中，D 、E 分别是BC 、AB 的三等分点，且ABC △的面积是54，求CDE △的面积。
家庭作业 例6 例5 例4 例3例2例1 ACE2. 如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且12AN BN =．那么，阴影部分的面积等于 ． 3. 如图以ABC △的三边分别向外做三个正方形ABIH 、ACFG 、BCED ,连接HG 、EF 、ID ，又得到三个三角形，已知六边形DEFGHI 的面积是77平方厘米，三个正方形的面积分别是9、16、36平方厘米，则三角形ABC 的面积是多少？ 4. 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积。
鸟头模型
专题解析
基本形式
SADE AD AE ，从公共点所引出的两条线段的乘积比等于面积比 SABC AB AC
专题解析
基本形式
证 明 ： 连 接BE；
在ABE中 ，SADE AD ， 在ABC中 ，SABE AE ；
SABE AB
SABC AC
SADE SABE SADE ， 则SADE AD AE AD AE .
主讲老师：匠心
日期：2020.02.02
目 录
专题解析 例题讲解 总结归纳 巩固提升
专题解析
专题解析
鸟头模型 鸟头模型（共角模型）作为比例模型中基础的一种，可以通过等高模型进行推导，其主要研究的 是三角形面积比与对应线段乘积比之间的关系.
基本要求 存在公共角或互补角，总共有四种基本形式，下面分类列出，并进行证明.
专题解析
基本形式
证 明 ： 将ADE绕 点A旋 转180， 得到AD' E'；
同 第 一 种 类 型 ， 证 明 方法 同 第 一 种 类 型.
证 明 ： 将ADE绕 点A顺 时 针 旋 转90， 得到AD' E'；
同 第 二 种 类 型 ， 证 明 方法 同 第 二 种 类 型.
例题讲解
例题讲解
SCDE SCBA
CD CE CB CA
11 32
1 6
，则SCDE
1 6
例题讲解
练一练1：如图，D、E分别在BA、CA的延长线上，且AD：AB=1:2，AE：AC=1:3，已知阴影部分 的面积是10，求三角形ABC的面积.
例题讲解
例2：如图，三角形ABC的面积是1平方分米，D为AB的三等分点，E、F为BC、AC的中点，求图 中阴影部分的面积.
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第5讲
鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则S△ABC:S△ADE(ABAC):(ADAE)
D
A
A
D
E E
B C B C
图⑴图⑵
如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且
例题1AD:AB 2:5，AE:AC 4:7，S△ADE16平方厘米，求
△ABC的面积．
A
D
E
B C
【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE 的面积等于 1，那么三角形ABC的面积是多少？
A
D E
B C
如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且例题2 AB:AD 5:2，AE:EC 3:2，S△ADE 12平方厘米，求
△ABC的面积．
D
A
E
B C
【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BDDC4，BE3，AE6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？
A
E乙
B 甲
C
D
例题3
如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF 2CF，
三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形
的面积是多少平方厘米？
D C
F
A B
E
【巩固】已知△DEF的面积为7平方厘米，BE CE,AD 2BD,CF 3AF，求△ABC的面
积．
A
F
D
B
E C
如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD AB；
例题4 延长BC至E，使CE 2BC；延长CA至F，使AF 3AC，求三角形DEF的面积．
F
A
C E
B
D
【巩固】如图，平行四边
形ABCD，BE AB，CF2CB，GD3DC，HA 4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．
H
A B E
G C
D
F
【习题1】如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB 8：17，AE:AC 2：3，S
△ADE16平方厘米，求△ABC的面积．
A
D
E
B C
【习题2】如图16-4，已知．AE= 1 1 1 三角形DEF的面积
AC，CD=
4
BC，BF= AB，那么
5 6 三角形ABC的面积
等于多少?
【习
题3】如图，三角形ABC的面积为 3平方厘米，其中AB:BE 2:5，BC:CD 3:2，三角形BDE的面积是多少？
A
B
E A
B
E
C C
D D
【习题4】如图，把四边形的面积是5平方厘米，则ABCDE
FGH
的各边都延长 2倍，得到一个新四边
形
的面积是多少平方厘米 ?
EFGH 如
果
ABCD。