鸟头模型
鸟头模型证明过程
鸟头模型证明过程
《鸟头模型证明过程》
嘿，大家好呀！今天咱来唠唠鸟头模型的证明过程哈。
先给大家讲个事儿哈，有一天我去公园玩，看到好多鸟儿在树上叽叽喳喳的。
我就盯着一只特别漂亮的鸟看呀看，突然我就想到了鸟头模型。
咱说鸟头模型哈，其实就是一种几何模型啦。
就好像那只鸟的头和身子的比例关系一样。
比如说有两个三角形，它们有对应的角相等，那它们的面积之比就等于对应边之比的乘积。
这就好比那只鸟的头和身子，虽然大小不一样，但它们之间有个固定的比例关系呢。
咱就拿具体例子来说哈，就像公园里的那棵大树和旁边的小树，它们虽然大小不一样，但如果从某个角度看过去，它们的形状之间也有类似鸟头模型的那种比例关系哟。
哎呀，说这么多，其实就是想让大家明白鸟头模型是咋回事。
就像我看到那只鸟，一下子就联想到了这个有趣的模型。
嘿嘿，是不是还挺有意思的呀。
总之呢，鸟头模型就是这么个神奇的东西，通过观察和思考，就能发现它在好多地方都有体现呢。
就像公园里那些鸟儿和树木一样，到处都藏着奇妙的数学奥秘哟！好了，今天就说到这啦，下次再和大家分享其他好玩的数学知识哈！
咋样，这下大家对鸟头模型有点感觉了吧！哈哈！。
互补角鸟头模基本公式
互补角鸟头模基本公式一、互补角的概念。
1. 定义。
- 如果两个角的和为180^∘，那么这两个角互为补角。
例如，∠ A = 30^∘，∠ B = 150^∘，因为∠ A+∠ B = 30^∘+150^∘=180^∘，所以∠ A和∠ B互为补角。
二、鸟头模型。
1. 鸟头模型的基本图形。
- 鸟头模型是一种在三角形中常见的比例关系模型。
它由两个三角形组成，这两个三角形有一个公共角。
- 例如，在ABC和ADE中，∠ A是公共角。
2. 鸟头模型基本公式（共角定理）- 对于ABC和ADE，若∠ A=∠ A（公共角），则frac{S_ ADE}{S_ ABC}=(AD× AE)/(AB× AC)。
- 证明（以人教版相似三角形知识为基础）：- 过D作DF∥ BC交AC于F。
- 因为DF∥ BC，所以ADFsim ABC，则(AD)/(AB)=(AF)/(AC)。
- 又因为∠ A=∠ A，∠ AED=∠ ACB（平行得同位角相等），所以ADEsim ABC。
- 设(AD)/(AB) = k_1，(AE)/(AC)=k_2，则S_ ADE=(1)/(2)AD× AE×sin A，S_ ABC=(1)/(2)AB× AC×sin A。
- 所以frac{S_ ADE}{S_ ABC}=(frac{1)/(2)AD× AE×sin A}{(1)/(2)AB×AC×sin A}=(AD× AE)/(AB× AC)。
这里并没有专门针对互补角与鸟头模型结合的特殊公式，如果在具体题目中有涉及互补角的鸟头模型问题，可能是在利用鸟头模型计算面积比例时，三角形的角之间存在互补关系，进而利用互补角的三角函数值关系（如sinα=sin(180^∘-α)）等知识来辅助解题。
鸟头模型的原理
鸟头模型的原理
嘿，朋友们！今天咱来聊聊鸟头模型。
这鸟头模型啊，就像是一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门呢！
你看啊，鸟头模型就好像是一只聪明的小鸟，它有着自己独特的本领。
想象一下，一只小鸟在天空中自由自在地飞翔，它能看到好多我们看不到的风景。
鸟头模型也是这样，它能让我们发现那些隐藏在图形中的奇妙关系。
比如说，在一些几何图形中，看似毫无头绪的几条边和几个角，通过鸟头模型就能找到它们之间的联系。
这就好比我们在一堆杂乱无章的拼图中，突然发现了关键的那几块，一下子就能把整个画面拼凑起来，是不是很神奇？
我们平时遇到的那些三角形啊、四边形啊，有时候真让人头疼。
但有了鸟头模型，就好像给我们配了一副超级眼镜，能让我们看清它们的真面目。
它能让那些复杂的图形变得简单易懂，就像给迷雾中的我们点亮了一盏明灯。
你说，这鸟头模型是不是很厉害？它就像一个隐藏在数学世界里的小秘密，等着我们去发现和探索。
而且啊，一旦你掌握了它，你就会发现解决问题变得轻而易举，就像武林高手找到了绝世秘籍一样。
我们在学习鸟头模型的时候，可不能马虎哦！要像对待宝贝一样仔细研究它。
多做几道题，多尝试几种方法，慢慢就会发现它的奇妙之处。
别小看这些题目，它们可都是我们提升能力的好机会呢！
你想想，如果我们能熟练运用鸟头模型，那在数学的海洋里岂不是可以畅游无阻？那些难题就不再是难题，而是我们展示自己能力的舞台啦！难道不是吗？
所以啊，朋友们，让我们一起好好研究鸟头模型，让它成为我们学习数学的得力助手。
让我们和这只神奇的“小鸟”一起在数学的天空中翱翔吧！相信我，你一定会爱上它的！。
小学奥数--几何--五大模型--鸟头模型(共角定理)
例：1 已知三角形 ADE 的面积是 1，AD:AB=2:3，AE:AC=1:4，求三角形 AED 的面积 2 已知三角形 ABC 的面积是 9，AD:AB=1:2，AE:EC=1:1，求三角形 AED 的面积
分析：(1)由鸟头定理： S△ADE
=
AD ×
AE
=
211
× =,
∴ S△ ABCD =
2S △ ABC
= 1:18
S△EFGH (8 + 3 + 8 + 15 + 2)S△ABC
∴ S△HAE = 8S△ ABD ∴ S△FAD = 3S△ ABC ∴ S△HAE = 8S△BCD
∴ S△HAE = 8S△ ADC
超常挑战
分析：图中每相邻两个正方形和其间夹着的两个三角形都是“X 型”鸟头。
方厘米，求 △ABC 的面积．
2 （2005 年第 11 届迎春杯试题）三角形 ABC 被线段 DE 分成三角形 BDE 和四边形 ACDE 两部分，问：
三角形 BDE 的面积是四边形 ACDE 面积的几分之几？
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2011 年 秋季 五年级
第三讲 三角形中的模型(一)
周艳丽
3 图中三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米， D 是 BC 的中点， AD 的长是 AE 长的 3 倍， EF 的长是 BF 长
的 3 倍．那么三角形 AEF 的面积是多少平方厘米？
4 如图，将四边形 ABCD 的四条边 AB 、 CB 、 CD 、 AD 分别延长两倍至点 E 、 F 、 G 、 H ，若四边形 ABCD
的面积为 5，则四边形 EFGH 的面积是
．
学案—尖子班 1 已知四边形 ABCD 中，CD=3DF，AE=3ED，三角形 BFC 的面积是 6，四边形 BEDF 的面积为 7，求大四
数学中鸟头模型例题
数学中鸟头模型例题
鸟头模型是一个经典的数学问题，通常在高中或大学的数学课
程中会遇到。
这个问题涉及到几何学和三角学的知识。
鸟头模型的
例题可以是这样的：
假设有一个鸟头模型，它由一个球和一个圆锥组成。
球的半径
为3厘米，圆锥的高度为4厘米，底部半径为2厘米。
现在要求计
算这个鸟头模型的表面积和体积。
首先，我们可以计算球的表面积和体积。
球的表面积公式为
4πr^2，其中r为球的半径。
代入r=3，得到球的表面积约为113.1
平方厘米。
球的体积公式为(4/3)πr^3，代入r=3，得到球的体积
约为113.1立方厘米。
接下来，我们计算圆锥的表面积和体积。
圆锥的表面积公式为
πr(l+r)，其中r为底部半径，l为斜高。
斜高可以通过勾股定理
计算得到，即l=√(h^2+r^2)，其中h为圆锥的高度。
代入r=2，
h=4，得到圆锥的表面积约为37.7平方厘米。
圆锥的体积公式为
(1/3)πr^2h，代入r=2，h=4，得到圆锥的体积约为16.8立方厘米。
最后，我们将球和圆锥的表面积和体积相加，得到整个鸟头模型的表面积约为150.8平方厘米，体积约为129.9立方厘米。
这样，我们就完成了鸟头模型的例题，计算出了它的表面积和体积。
通过这个例题，我们不仅复习了球和圆锥的表面积和体积的计算公式，还加深了对几何图形的理解和运用。
鸟头模型结论及证明
鸟头模型结论及证明
鸟头模型的结论是：无论是什么种类的鸟类，其头部形态都大致呈现出圆锥体的形状。
证明：
1. 实验观察
对多种鸟类的头部形态进行观察并进行测量，发现它们的头部大多呈现出圆锥形的结构，即从头部基部向头顶逐渐变细。
2. 生物力学分析
圆锥体具有较好的结构稳定性和抗拉强度，这也是许多动物身体部位采用圆锥形状的原因之一。
对于飞行鸟类来说，头部需要快速扭转和重复运动以捕获猎物，而圆锥形头部结构可以提高运动快速性和力量传递效率。
3. 进化优化
在自然选择中，鸟类头部形态的演化也被优化为圆锥形，这可以提供更好的适应力和生存竞争力。
例如，塔巢造型鸟类的头部长而尖，可以更容易地进入或撕扯开树洞，而猛禽类的头部尖而窄，可以更好地穿透猎物。
因此，圆锥体头部结构具有高度适应性和适应性优势。
综上所述，鸟头模型的结论是：无论是什么种类的鸟类，其头部形态都大致呈现出圆锥体的形状。
几何五大模型之二：鸟头定理(共角定理)模型
几何五大模型之二：鸟头定理（共角定理）模型鸟头定理（共角定理）模型:两个三葡附有一个角扁同或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角（相同角或互补角）两夹边的乘和之比。
如下图在△•ABC中，D, E分别是AB, AC上的点（或D在BA的延长线上，E 在AC 上），则S^AB c：S^ADE=（AB X AC）:（.W X证明：最后我们会发现两种情况的证明方法完全一样。
鸟头定理（共角定理）证明: 连接BE.在ZSAEB中，$4ADE _ 竺(1)S AABE AB在A AEC中，S AABE ■…AE<2)S AABC AC将（1） X（2）有,S AADE .AEXADS^ABC ACXAB 证毕。
例题1:如上图，4AABC中，D, E分别是AF AC ＞的点.BC=3AE, AD=2DB, S二ABC=h 求厶虹丘的面积。
题_解法一，利用鸟头定理有・Saads = AEXAP = ^x—= -x- = - 斤闭S A ABC ACXAB AC AB 43 6所以SaADE= ~o题_解法二:A本题也可叹不用鸟头定理，而用等积变换。
连接BE,在2XAEB中，S AAED：^AAEB=AD：AB=2；3S AAED=(2/3)S AAEB在厶削。
中，S AAEB：^AABC=AE： AC=1 ：4S A AEB=(1/4)S.ABC由⑴，⑵式可得S^ED=;X|X S A AB C 4通过观察题一的解袪二我们可以找到一个证明如模型图一中鸟头定理的方如上图，在AABC 中，E 是AC±的点，D 昙BA 証长线卜的一軾 苴中:EC=2AE, AB=2AD, S A ABC =1,求△ ADE 的面和 连接BE,在AAEB 中， S AADE _ ADS AABE AB 在△ABC 中，_ AES Z I ABC AC 将(1) X (2)有：$AADE _ AExADS dx^BC ACXAB 证毕。
鸟头模型
专题解析
基本形式
SADE AD AE ，从公共点所引出的两条线段的乘积比等于面积比 SABC AB AC
专题解析
基本形式
证 明 ： 连 接BE；
在ABE中 ，SADE AD ， 在ABC中 ，SABE AE ；
SABE AB
SABC AC
SADE SABE SADE ， 则SADE AD AE AD AE .
主讲老师：匠心
日期：2020.02.02
目 录
专题解析 例题讲解 总结归纳 巩固提升
专题解析
专题解析
鸟头模型 鸟头模型（共角模型）作为比例模型中基础的一种，可以通过等高模型进行推导，其主要研究的 是三角形面积比与对应线段乘积比之间的关系.
基本要求 存在公共角或互补角，总共有四种基本形式，下面分类列出，并进行证明.
专题解析
基本形式
证 明 ： 将ADE绕 点A旋 转180， 得到AD' E'；
同 第 一 种 类 型 ， 证 明 方法 同 第 一 种 类 型.
证 明 ： 将ADE绕 点A顺 时 针 旋 转90， 得到AD' E'；
同 第 二 种 类 型 ， 证 明 方法 同 第 二 种 类 型.
例题讲解
例题讲解
SCDE SCBA
CD CE CB CA
11 32
1 6
，则SCDE
1 6
例题讲解
练一练1：如图，D、E分别在BA、CA的延长线上，且AD：AB=1:2，AE：AC=1:3，已知阴影部分 的面积是10，求三角形ABC的面积.
例题讲解
例2：如图，三角形ABC的面积是1平方分米，D为AB的三等分点，E、F为BC、AC的中点，求图 中阴影部分的面积.
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鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平
方厘米，求ABC △的面积．
E D
C
B A
E
D
C B A
【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，
那么三角形ABC 的面积是多少？
E
D C B
A
【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，
:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．
E
D
C B A
【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？
【例 4】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面
积是多少？
A B E
C D D C
E B
A
【例 5】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．（挑战）
F
E D
C
B
A
【例 6】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；
延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．（挑战，选做）
F E D C
B A
【例 7】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12
CE BC =
，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？（挑战选做） A
B
C D E F
巩固提升：
1、请证明S 三角形ADE:S 三角形ABC=AE ×AD ：AB ×AC
2如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是
甲部分面积的几倍？
乙甲
E
D C
B A
3、。