平面向量知识点归纳

第一章 平面向量

向量的基本概念和基本运算

16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；

②结合律：()()

a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．

⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①

a a λλ=；

②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当

0λ=时，0a λ=．

⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()

a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．

20、向量共线定理：向量()

0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．

设()11,a x y =，()22,b x y =，

其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()

0b b ≠共线．

平面向量的基本定理及坐标表示

21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作

为这一平面内所有向量的一组基底）

22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫

⎪++⎝⎭

．

（当时，就为中点公式。）1=λ 平面向量的数量积

23、平面向量的数量积（两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。）： ⑴()

cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，

a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；2

2a a a a ⋅==或a a a =⋅．③a b a b ⋅≤． ⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()

a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()

a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+． 若(),a x y =，则2

22a x y =+，或2a x y =

+ 设()11,a x y =，()22,b x y =，则

12120a b x x y y ⊥⇔+=．

设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，

θ是a 与b 的夹角，则

12

1

cos a b a b

x θ⋅=

=

+．

知识链接：空间向量

空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.

1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：

若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：

若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量. ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．

②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．

③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==．

④根据法向量定义建立方程组0

n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.

⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.

（如图）

1、 用向量方法判定空间中的平行关系

⑴线线平行

设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即

()a kb k R =∈.

即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。

⑵线面平行

①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明

a u ⊥，即0a u ⋅=.

即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外

②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可. ⑶面面平行

若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直

设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=. 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。

⑵线面垂直

①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=.

②（法二）设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、，若

,.0

a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨

⋅=⎪⎩则 即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面

内两条不共线直线的方向向量都垂直。 ⑶面面垂直

若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥，即证0u v ⋅=. 即：两平面垂直两平面的法向量垂直。 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角

已知,a b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ， 则cos .AC BD AC BD

θ⋅=

⑵求直线和平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角

②求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与

u 的夹角为ϕ， 则θ为ϕ的余角或ϕ的补角

的余角.即有：

cos s .in a u a u

ϕθ⋅=

=

⑶求二面角

①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面

二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.

如图：

②求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、，再设m n 、的夹角为ϕ，

O

A

B

O

A

B

l

二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、的夹角ϕ或其补角.πϕ- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角： ◆如果θ是锐角，则cos cos m n m n

θϕ⋅==

，

即arccos

m n m n

θ⋅=；

◆ 如果θ是钝角，则cos cos m n m n

θϕ⋅=-=-

，

即arccos m n m n θ⎛⎫

⋅ ⎪=-

⎪⎝⎭

. 5、利用法向量求空间距离

⑴点Q 到直线l 距离

若Q 为直线l 外的一点,P 在直线l 上，a 为直线l 的方向向量，b =PQ ，则点Q 到直线l 距离为 1

(||||

h a b a =⑵点A 到平面α的距离

若点P 为平面α外一点，点M 为平面α内任一点，

平面α的法向量为n ，则P 到平面α的距离就等于MP 在法向量n 方向上的投影的绝对值.

即cos ,d MP n MP =

n MP MP n MP

⋅=⋅

n MP n

⋅=

⑶直线a 与平面α之间的距离

当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。

即.n MP d n

⋅=

⑷两平行平面,αβ之间的距离

利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。

即.n MP d n

⋅=

⑸异面直线间的距离

设向量n 与两异面直线,a b 都垂直，,,M a P b ∈∈则两异面直线,a b 间的距离d 就是

MP 在向量n 方向上投影的绝对值。

即.n MP d n

⋅=

6、三垂线定理及其逆定理

⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

推理模式：,,PO O PA A a PA

a a OA αααα⊥∈⎫

⎪

=⇒⊥

⎬⎪⊂⊥⎭

概括为：垂直于射影就垂直于斜线.

⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直

推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫

⎪

=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭

概括为：垂直于斜线就垂直于射影.

7、三余弦定理

α内的任一条直线，AD 是α的一条斜线AB 在α内的射影，且BD ⊥AD ，垂足为D.设AB 与α (AD)所成的角为1θ， AD 与AC 所成的角为2θ， AB 与AC 所成的角为θ．则

12cos cos cos θθθ=.

8、 面积射影定理

已知平面β内一个多边形的面积为()

S S 原，它在平面α内的射影图形的面积为

()S S '射，平面α与平面β所成的二面角的大小为锐二面角θ，则

'cos =.S S S S θ=射

原

9、一个结论

长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为

123θθθ、、,则有 2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=

222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.

基础练习

一 选择题

1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有( )

A ．6个

B ．7个

C ．8个

D ．9个

解析：选D.与向量共线的向量有，，，，，，，，共9个，故选D.

2．设不共线的两个非零向量e 1，e 2，且k (e 1＋e 2)∥(e 1＋ke 2)，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D．0 答案：A

3．已知向量是不共线向量e 1，e 2，给出下列各组向量： ①a ＝2e 1，b ＝e 1＋e 2；②a ＝2e 1－e 2，b ＝－e 1＋1

2e 2；

③a ＝e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝e 1－e 2. 其中共线的向量组共有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

答案：B

4．已知E 、F 分别为四边形ABCD 的边CD 、BC 边上的中点，设＝a ，＝b ，则＝( ) (a ＋b ) B ．－1

2(a ＋b )

(a －b ) (b －a ) 答案：B

5．下列计算正确的有( )

①(－7)×6a ＝－42a ；②a －2b ＋(2a ＋2b )＝3a ； ③a ＋b －(a ＋b )＝0.

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

解析：①对，②对，③错，因为a＋b－(a＋b)＝0.

答案：C

1．化简－＋所得结果是( )

A. B. C．0 D.

答案：C

2．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|的值为( )

A．0 B．1 D．2

答案：B

3．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( )

A．与向量a方向相同

B．与向量a方向相反

C．与向量b方向相同

D．与向量b方向相反

答案：A

4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.答案：2

5．向量(＋)＋(＋)＋等于( )

A. B. C. D.

解析：(＋)＋(＋)＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝.故选C.

答案：C

1．如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么( )

A．若实数λ1、λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0

B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1、λ2是实数

C．对实数λ1、λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内

D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2有无数对

答案：A

2．如果3e1＋4e2＝a,2e1＋3e2＝b，其中a，b为已知向量，则e1＝________，e2＝________.

答案：e1＝3a－4b e2＝－2a＋3b

3．设e1，e2是平面内一组基底，如果＝3e1－2e2，＝4e1＋e2，＝8e1－9e2，则共线的三点是( )

A．A、B、C B．B、C、D

C．A、B、D D．A、C、D

答案：C

4．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( ) A．e1＋e2和e1－e2

B．3e1－2e2和4e2－6e1

C．e1＋2e2和e2＋2e1

D．e2和e1＋e2

解析：∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，

∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，故选B.

答案：B

2，3，且点A的坐标为(1,2)，则点B的坐标为( )

1．若＝()

A．(1,1)

答案：C

2．已知平行四边形OABC(O为原点)，＝(2,0)，＝(3,1)，则OC等于( )

A．(1,1) B．(1，－1)

C．(－1，－1) D．(－1,1)

解析：＝＝－＝(3,1)－(2,0)＝(1,1)，故选A.

答案：A

3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )

A ．－12a ＋32b a －32

b a －12b D ．－32a ＋12

b

答案：B

1．若a ＝(2,3)，b ＝(4，－1＋y )，且a ∥b ，则y ＝( )

A ．6

B ．5

C ．7

D ．8

答案：C

2．已知点M 是线段AB 上的一点，点P 是平面上任意一点，＝35＋25

，若＝λ，则λ等于( )

解析：用，表示向量，.

∵＝＋＝＋35＋25＝－25＋25，＝＋＝－＋＝－35＋25＋＝－35＋35，∴＝23

. 答案：D

1.若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a·a ＋a·b 等于( )

C ．1＋32

D ．2 解析：选·a ＋a·b ＝|a |2＋|a ||b |cos60°＝1＋12＝32

. 2.设a ，b ，c 是任意的非零向量，且相互不共线，则下列结论正确的是( )

A ．(a·b )c －(c·a )b ＝0

B ．a ·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0

C ．(b ·c )a －(a ·c )b 不与c 垂直

D ．(3a ＋4b )·(3a －4b )＝9|a |2－16|b |2

解析：选D.由于数量积是实数，因此(a·b )c ，(c·a )b 分别表示与c ，b 共线的向量，运算结果不为0，故A 错误；当a ⊥b ，a 与b 都不为零向量时，也有a·b ＝0，故B 错误；

[(b·c )a －(a·c )b ]·c ＝(b·c )a ·c －(a ·c )b ·c ＝0，故C 错误；

(3a ＋4b )·(3a －4b )＝9a 2－16b 2－12a ·b ＋12a ·b

＝9|a |2－16|b |2.

＝(－4，3)，b ＝(5，6)，则3|a |2－4a ·b 等于( )

A ．23

B ．57

C ．63

D ．83 解析：选D.∵|a |＝（－4）2＋32＝5，a ·b ＝－4×5＋3×6＝－2，∴3|a |2－4a ·b ＝3×5

2－4×(－2)＝83.故选D.

2.已知A (2，1)，B (3，2)，C (－1，4)，则△ABC 是( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．任意三角形

解析：选B.·＝(1，1)·(－3，3)＝－3＋3＝0.故选B.

1．设坐标原点为O ，已知过点⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，12的直线交函数y ＝12x 2的图象于A 、B 两点，则·的值为( )

C ．－34

D ．－43

解析：选C.由题意知直线的斜率存在可设为k ，则直线方程为y ＝kx ＋12，与y ＝12

x 2联立得12x 2＝kx ＋12

， ∴x 2－2kx －1＝0，∴x 1x 2＝－1，x 1＋x 2＝2k ，

y 1y 2＝⎝

⎛⎭⎪⎫kx 1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2＋12＝k 2x 1x 2＋14＋k (x 1＋x 2)2 ＝－k 2＋k 2＋14＝14

， ∴·＝x 1x 2＋y 1y 2＝－1＋14＝－34

. 二 填空题

2．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量是平行向量，与是共线向量，则m ＝________.

解析：∵A ，B ， C 不共线，∴与不共线，

又m 与，都共线，

∴m ＝0.

答案：0

6．已知||＝|a |＝3，||＝|b |＝3，∠AOB ＝120°，则|a ＋b |＝________.

答案：3

5．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y ＝________.

解析：由题意，得3x －4y ＝6且2x －3y ＝3，解得x ＝6，y ＝3，

∴x －y ＝3.

答案：3

6．如下图所示，已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若＝a ，＝b ，用a 、b 表示＝________.

解析：∵E 、F 分别为相应边中点，

∴＝34＝34(a ＋b )＝34a ＋34

b . 答案：34a ＋34

b 4．已知a ＝()1，2，b ＝()2，3，实数x ，y 满足xa ＋yb ＝()3，4，则x ＝________.

答案：－1

5．若将向量a ＝(3，1)按逆时针方向旋转π2

得到向量b ，则b 的坐标为________．

答案：(－1，3)

6．已知平行四边形ABCD 中，A (1,1)，B (6,1)，C (8,5)，则点D 的坐标为________．

答案：()3，5

7．作用于原点的两个力F 1＝()2，2，F 2＝()1，3，为使它们平

衡，需加力F 3＝________.

答案：()－3，－5

3．已知▱ABCD 四个顶点的坐标为A (5,7)，B (3，x )，C (2,3)，D (4，x )，则x ＝__________.

答案：5

3.已知向量a ，b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是________． 解析：b 在a 上的投影是|b |cos 〈a ，b 〉＝2cos60°＝1.

答案：1

4.已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值

范围是________．

解析：由于|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则|a |2－4a ·b ≥0，

设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |≤14|a |212

|a |2＝12，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π. 答案：⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π3，π 4.在边长为2的等边三角形ABC 中，设AB →＝c ，＝a ，＝b ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝__________．

解析：a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2×2×cos 120°×3＝－3.

答案：－3

5.已知|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，则|3a ＋b |＝________．

解析：由已知|3a －2b |＝3，得9|a |2－12a ·b ＋4|b |2＝9，

∴a ·b ＝13

. ∴|3a ＋b |＝（3a ＋b ）2＝9|a |2＋6a ·b ＋|b |2＝2 3.

答案：23

．在平面直角坐标系中，O 为原点，已知两点A (1，－2)，B (－1,4)，若点C 满足＝α＋β，其中0≤α≤1且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为________．

解析：∵α＋β＝1，∴β＝1－α，

又∵＝α＋β＝α＋(1－α)，

∴－＝α(－)，∴∥，

又B 与有公共点B ，∴A 、B 、C 三点共线，

∵0≤α≤1，∴C 点在线段AB 上运动，

∴C 点的轨迹方程为3x ＋y －1＝0(－1≤x ≤1)．

答案：3x ＋y －1＝0(－1≤x ≤1)

三 解答题