平面向量知识点归纳
高中数学平面向量知识点归纳总结
高中数学平面向量知识点归纳总结
1. 平面向量的定义
平面向量是具有大小和方向的有序数对，可以用箭头表示。
常
用字母表示向量，如a、b等。
向量的大小可以用模表示，记作|a|。
2. 平面向量的运算
2.1 向量的加法
向量的加法是指将两个向量按照相同的方向连接起来，得到一
个新的向量。
加法满足交换律和结合律。
2.2 向量的减法
向量的减法是指将两个向量相加的相反向量相加，得到一个新
的向量。
2.3 向量的数量积
向量的数量积（点积）是指两个向量相乘后的数量，用点表示，记作a · b。
数量积满足交换律和分配律。
2.4 向量的向量积
向量的向量积（叉积）是指两个向量相乘后的向量，用叉表示，记作a × b。
3. 平面向量的性质
3.1 平行向量
如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
平行向
量的数量积等于两个向量的模的乘积。
3.2 垂直向量
如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直向量。
垂直向量的
点积为0。
3.3 向量的模
向量的模表示向量的大小，可以使用勾股定理求解。
4. 平面向量的应用
平面向量在几何中有广泛的应用，可以用来表示平移、旋转和
线段的位置关系等。
在物理学中，平面向量可以用来表示力的大小
和方向。
以上是关于高中数学平面向量的基本知识点归纳总结。
希望能够对你的学习和理解有所帮助！。
平面向量知识点
平面向量知识点
1. 坐标表示：平面向量可以由一个有序数对来表示，分别表示向量在x和y方向上的分量。
2. 向量加法：向量加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A+B)+C = A+(B+C)。
3. 向量减法：向量减法A - B 可以看作是A + (-B)。
4. 向量数乘：将向量乘以一个标量k，相当于将向量的大小缩放k 倍且不改变方向。
5. 向量的模长：向量的模长表示向量的大小，用勾股定理求得，A =√
(x^2+y^2)。
6. 向量的单位向量：向量A 的单位向量是A/ A ，即大小为1，方向与A 相同的向量。
7. 向量的夹角：向量A 和向量B 的夹角可以利用内积求得，θ= cos⁻¹(A·B/ A
B )。
8. 内积：向量A 和B 的内积A·B = x₁x₂+ y₁y₂，可以用来判断两个向量是
否垂直、平行，以及求解向量的投影等。
9. 外积：向量A 和B 的外积A×B 表示一个新的向量，其大小为 A B sin θ，方向垂直于A 和B 所在的平面，且符合右手定则。
平面向量知识点归纳
平面向量一.向量有关概念:1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量与数量的区别。
向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就就是有向线段,为什么？(向量可以平移)。
如:2.零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:,注意零向量的方向就是任意的;3.单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r共线的单位向量就是||AB AB ±u u u r u u u r);4.相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;5.平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量,记作:∥,规定零向量与任何向量平行。
提醒:①相等向量一定就是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行就是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性！(因为有0r);④三点A B C 、、共线⇔ AB AC u u u r u u u r、共线; 6.相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
的相反向量就是－。
如下列命题:(1)若a b =r r,则a b =r r 。
(2)两个向量相等的充要条件就是它们的起点相同,终点相同。
(3)若AB DC =u u u r u u u r ,则ABCD 就是平行四边形。
(4)若ABCD 就是平行四边形,则AB DC =u u u r u u u r 。
(5)若,a b b c ==r r r r ,则a c =r r。
(6)若//,//a b b c r r r r ,则//a c r r。
其中正确的就是_______(答:(4)(5))二.向量的表示方法:1.几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如,注意起点在前,终点在后;2.符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如,,等;3.坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,j 为基底,则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+=r r r,称(),x y 为向量的坐标,＝(),x y 叫做向量的坐标表示。
平面向量知识点归纳总结
平面向量知识点归纳总结平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将对平面向量的定义、运算、性质和常见应用进行归纳总结。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
一个平面向量由起点和终点确定，可以用有序对表示。
例如，向量AB表示从点A指向点B的有向线段，记作AB。
二、向量的表示方法1. 坐标表示：平面向量可以用坐标表示，一个平面上的向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
2. 线段表示：向量的起点和终点可以表示为两个点的坐标，向量本身可以表示为连接这两个点的线段。
三、向量的运算1. 加法运算：向量的加法运算满足平行四边形法则。
设有向量A和B，它们的和记作A + B，可以通过将A的终点与B的起点相连，得到一条新的有向线段，该线段的起点为A的起点，终点为B的终点。
新的线段即为向量A + B。
2. 数乘运算：向量的数乘运算满足分配律和结合律。
设有向量A和实数k，它们的数乘记作kA，向量kA的长度是向量A长度的k倍，方向与A相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。
3. 减法运算：向量的减法可以通过将减数取负后与被减数进行加法运算得到。
即A - B = A + (-B)。
4. 零向量：零向量是长度为0的向量，记作0。
任何向量与零向量相加等于该向量本身。
四、向量的性质1. 平移不变性：向量在平面上进行平移操作时，大小和方向保持不变。
2. 相等性：两个向量相等，当且仅当它们的起点和终点重合。
3. 平行性：两个向量平行，当且仅当它们的方向相同或相反。
4. 共线性：三个或三个以上的向量共线，当且仅当它们在同一条直线上或平行于同一条直线。
5. 长度：向量的长度可以利用勾股定理计算得到，即向量AB的长度为√(x2 - x1)² + (y2 - y1)²。
6. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量。
五、向量的应用1. 向量的分解：一个向量可以被分解成x轴和y轴上的两个分量。
(完整版)高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,ABa BCb uu u ru uu r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =ACuu u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BCCDPQQRAR u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u rL，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法：①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0时，λa 的方向与a 的方向相同；当时，λa 的方向与a 的方向相反；当0时，0a，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,使：2211e ea，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a r可表示成axi yj r rr ，记作a r=(x,y)。
2平面向量的坐标运算：(1)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212,a bx x y y r r (2)若2211,,,y x B y x A ，则2121,AB x x y y u u u r(3)若a r =(x,y)，则a r =(x, y)(4)若1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212a bx x y y r r 若ab rr ，则02121y y x x 三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r，它们的夹角为，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos 叫做a r与b r 的数量积（或内积）规定00ar r 2向量的投影：︱b r ︱cos =||a b a r r r ∈R ，称为向量b r 在a r方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r 5乘法公式成立：2222a b ab a b a b r r r r r r r r ；2222abaa bb r r r r r r 222aa bbr r r r 6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a bb arr r r ②对实数的结合律成立：a b a b a bRr r r r r r ③分配律成立：abca cb c r r r r r r r ca br r r 特别注意：（1）结合律不成立：ab ca b c r r r r r r ；（2）消去律不成立a ba cr r r r 不能得到bc rr （3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)ax y b x y rr，则a r ·b r=1212x x y y 8向量的夹角：已知两个非零向量a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800）叫做向量a r 与b r 的夹角cos =cos,a b a ba b??r r r r r r =222221212121y x y x y y x x 当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r与b r 反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r⊥br 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ba ·b ＝O02121y y x x 平面向量数量积的性质一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则()．A ．AB 与AC 共线B ．DE 与CB 共线C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是()．A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC ＝OA ＋OB ，其中，∈R ，且＋＝1，则点C 的轨迹方程为()．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝04．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a 与b 的夹角是A ．6B ．3C ．23D ．565．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1)B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22)C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22)6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝()．(第1题)A．EF＋ED B．EF－DE C．EF＋AD D．EF＋AF7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()．A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC ＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m 等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？(第10题)18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．一、选择题1．B 解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y)，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，OA ＝(3，)，OB ＝(－，3)，又OA ＋OB ＝(3－，＋3)，∴(x ，y)＝(3－，＋3)，∴33＋＝－＝y x ，又＋＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，∴(a －2b)·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a)·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴a 2＝b 2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cos θ．解得cos θ＝21．∴a 与b 的夹角是3π．5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ，∴DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．7．C解析：由(a ＋2b)·(a －3b)＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b|＝4，a ·b ＝|a||b|cos 60°＝2|a|，∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D 解析：由OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA ,即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ，∴O 是△ABC 的三条高的交点．9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |．∴四边形ABCD 为梯形．10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．(第1题)二、填空题11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又A ，B ，C 三点共线，∴5(4－k)＝－7(－k －4)，∴k ＝－32．12．－1．解析：∵M(－1，3)，N(1，3)，∴MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴＝4－3－2＝3＋2x x x 解得4＝1＝－1＝－x x x 或∴x ＝－1．13．－25．解析：思路1：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴△ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB )＝－(CA )2＝－2CA ＝－25．思路2：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°，∴cos ∠CAB ＝CAAB ＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0，BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16，CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9．∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25．14．323．解析：a ＋mb ＝(3＋2m ，4－m)，a －b ＝(1，5)．∵(a ＋mb)⊥(a －b)，∴ (a ＋mb)·(a －b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m ＝323．15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF交AC 于点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又OA ＋OC ＝－OB ，(第15题)D(第13题)∴OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心．16．答案：平行四边形．解析：∵a ＋c ＝b ＋d ，∴a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ．∴四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则AP ＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)．AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴713532yx 即7455yx 要使点P 在第三象限内，只需74055解得λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵A(7，8)，B(3，5)，C (4，3)，AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又D 是BC 的中点，∴AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5)＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∴F 是AD 的中点，∴DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)．19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ．∴AF ·ED ＝(a ＋21b)·(b －21a)＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴a 2＝b 2，a ·b ＝0．∴AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin3π)＝8sin(θ－3π)，最大值为8，∴|2a －b|2的最大值为16，∴|2a －b|的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b|表示2a ，b终点间的距离．|2a|＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．(第18题)(第19题)。
平面向量知识点归纳
平面向量知识点归纳一、基本概念平面向量是具有大小和方向的量，通常用带箭头的字母表示，例如A→，其中→表示方向。
平面向量的大小叫做模，记作|A→|或||A||。
二、平面向量的表示平面向量可以用始点和终点坐标表示，记作A→=(A, A)，其中A和A分别表示A→在x轴和y轴上的投影。
三、平面向量的运算1. 平面向量的加法平面向量A→和A→的加法定义为A→+A→=A→，其中A→的始点是A→和A→的始点的重合点，终点是A→和A→的终点的重合点。
2. 平面向量的减法平面向量A→和A→的减法定义为A→-A→=A→+(-A→)，其中(-A→)表示与A→大小相等，方向相反的向量。
3. 数乘数乘是指一个实数乘以一个向量，记作AA→，其中A是实数。
数乘的结果是一个与原向量方向相同（当A>0）或相反（当A<0），长度为原向量长度的A倍的向量。
4. 平面向量的数量积平面向量A→和A→的数量积定义为A→⋅A→=|A→||A→|cosA，其中A是A→和A→之间的夹角。
5. 平面向量的向量积平面向量A→和A→的向量积定义为A→×A→=|A→||A→|sinAA，其中A是A→和A→之间的夹角，A是一个与A→和A→所在平面垂直的单位向量。
四、平面向量的性质1. 交换律和结合律平面向量的加法满足交换律和结合律，即A→+A→=A→+A→，(A→+A→)+A→=A→+(A→+A→)。
2. 数量积的性质a) A→⋅A→=A→⋅A→；b) A→⋅A→=|A→|^2，其中|A→|^2表示A→的模的平方；c) 若A→⋅A→=0，则A→和A→垂直。
3. 向量积的性质a) A→×A→=−A→×A→；b) A→×A→=A→，其中A→表示零向量；c) 若A→和A→共线，则A→×A→=A→。
五、平面向量的应用平面向量在几何、物理和工程等领域中有广泛的应用，例如：1. 平面向量可以表示物体的位移和力的大小和方向。
平面向量知识点归纳总结
平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
下面是平面向量的一些重要知识点的归纳总结：1.平面向量的表示：●使用箭头或小写字母加上一个横线来表示，如a→或AB。
●平面向量通常用两个有序实数（分量）表示，如a = (a₁, a₂)。
2.向量的模/长度：●向量的模/长度表示为|a|，计算公式为|a| = √(a₁²+ a₂²)。
3.向量的方向角：●向量与正x 轴之间的夹角称为方向角。
●方向角可以使用三角函数来表示，如tanθ= a₂/a₁。
4.向量的运算：●向量的加法：a + b = (a₁+ b₁, a₂+ b₂)。
●向量的减法：a - b = (a₁- b₁, a₂- b₂)。
●数乘：k * a = (k * a₁, k * a₂)，其中k 为实数。
5.向量的数量积（点积）：●向量a 和向量b 的数量积（点积）表示为a ·b。
●计算公式为a ·b = a₁* b₁+ a₂* b₂。
●点积满足交换律：a ·b = b ·a。
●点积的几何意义：a ·b = |a| * |b| * cosθ，其中θ为a 和b 之间的夹角。
6.向量的矢量积（叉积）：●向量a 和向量b 的矢量积（叉积）表示为a ×b。
●计算公式为a ×b = (0, 0, a₁* b₂- a₂* b₁)，即得到一个垂直于平面的向量。
●矢量积满足反交换律：a ×b = - (b ×a)。
●矢量积的几何意义：|a ×b| = |a| * |b| * sinθ，其中θ为a 和b 之间的夹角。
7.平行向量和共线向量：●平行向量指方向相同或相反的向量。
●共线向量指在同一直线上的向量。
●如果两个向量平行，则它们的叉积为零。
8.向量的投影：●向量a 在向量b 上的投影表示为projₐb。
●计算公式为projₐb = (|a| * |b| * cosθ) * u，其中θ为a 和b 之间的夹角，u 为b 的单位向量。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修４之平面向量 知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念: ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +＝AC (1)a a a =+=+00;（2)向量加法满足交换律与结合律；AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量②向量减法:向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差,③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点)4、实数与向量的积:实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ)a a ⋅=λλ； (Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同;当0<λ时,λa 的方向与a的方向相反;当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的5、两个向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =λ６、平面向量的基本定理:如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二．平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。
２平面向量的坐标运算： (1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--(3) 若a ＝(x,y),则λa =(λx, λy) (4) 若()()1122,,,a x y b x y ==,则1221//0a b x y x y ⇔-=(5) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ,则a ·b ＝︱a ︱·︱b ︱ｃo ｓθ叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ⋅= ２向量的投影：︱b ︱cos θ＝||a b a ⋅∈R,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义: a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系:22||a a a a ⋅== 5乘法公式成立： ()()2222a b a b a ba b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+ ６平面向量数量积的运算律:①交换律成立:a b b a ⋅=⋅ ②对实数的结合律成立:()()()()a b a b a bR λλλλ⋅=⋅=⋅∈ ③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±特别注意:(1）结合律不成立:()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅； （2)消去律不成立a b a c ⋅=⋅不能得到b c =⋅ (３）a b ⋅=0不能得到a =0或b =07两个向量的数量积的坐标运算： 已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==,则a ·b =1212x x y y + 8向量的夹角:已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠A ＯB=θ (001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角 ｃｏｓθ=cos ,a ba b a b •<>=•=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ＝０0，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 ９垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b１０两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质。
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第一章 平面向量向量的基本概念和基本运算16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．平面向量的基本定理及坐标表示21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。
）1=λ 平面向量的数量积23、平面向量的数量积（两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
）： ⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③a b a b ⋅≤． ⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+． 若(),a x y =，则222a x y =+，或2a x y =+ 设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=．设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则121cos a b a bx θ⋅==+．知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量. ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==．④根据法向量定义建立方程组0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.（如图）1、 用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈.即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
⑵线面平行①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=.即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可. ⑶面面平行若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。
3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=. 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。
⑵线面垂直①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=.②（法二）设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、，若,.0a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩则 即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。
⑶面面垂直若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥，即证0u v ⋅=. 即：两平面垂直两平面的法向量垂直。
4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角已知,a b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ， 则cos .AC BD AC BDθ⋅=⑵求直线和平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角②求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ， 则θ为ϕ的余角或ϕ的补角的余角.即有：cos s .in a u a uϕθ⋅==⑶求二面角①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.如图：②求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、，再设m n 、的夹角为ϕ，OABOABl二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、的夹角ϕ或其补角.πϕ- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角： ◆如果θ是锐角，则cos cos m n m nθϕ⋅==，即arccosm n m nθ⋅=；◆ 如果θ是钝角，则cos cos m n m nθϕ⋅=-=-，即arccos m n m n θ⎛⎫⋅ ⎪=-⎪⎝⎭. 5、利用法向量求空间距离⑴点Q 到直线l 距离若Q 为直线l 外的一点,P 在直线l 上，a 为直线l 的方向向量，b =PQ ，则点Q 到直线l 距离为 1(||||h a b a =⑵点A 到平面α的距离若点P 为平面α外一点，点M 为平面α内任一点，平面α的法向量为n ，则P 到平面α的距离就等于MP 在法向量n 方向上的投影的绝对值.即cos ,d MP n MP =n MP MP n MP⋅=⋅n MP n⋅=⑶直线a 与平面α之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。
由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。
即.n MP d n⋅=⑷两平行平面,αβ之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。
即.n MP d n⋅=⑸异面直线间的距离设向量n 与两异面直线,a b 都垂直，,,M a P b ∈∈则两异面直线,a b 间的距离d 就是MP 在向量n 方向上投影的绝对值。
即.n MP d n⋅=6、三垂线定理及其逆定理⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直推理模式：,,PO O PA A a PAa a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于射影就垂直于斜线.⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理α内的任一条直线，AD 是α的一条斜线AB 在α内的射影，且BD ⊥AD ，垂足为D.设AB 与α (AD)所成的角为1θ， AD 与AC 所成的角为2θ， AB 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.8、 面积射影定理已知平面β内一个多边形的面积为()S S 原，它在平面α内的射影图形的面积为()S S '射，平面α与平面β所成的二面角的大小为锐二面角θ，则'cos =.S S S S θ=射原9、一个结论长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有 2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.基础练习一 选择题1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个解析：选D.与向量共线的向量有，，，，，，，，共9个，故选D.2．设不共线的两个非零向量e 1，e 2，且k (e 1＋e 2)∥(e 1＋ke 2)，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D．0 答案：A3．已知向量是不共线向量e 1，e 2，给出下列各组向量： ①a ＝2e 1，b ＝e 1＋e 2；②a ＝2e 1－e 2，b ＝－e 1＋12e 2；③a ＝e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝e 1－e 2. 其中共线的向量组共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B4．已知E 、F 分别为四边形ABCD 的边CD 、BC 边上的中点，设＝a ，＝b ，则＝( ) (a ＋b ) B ．－12(a ＋b )(a －b ) (b －a ) 答案：B5．下列计算正确的有( )①(－7)×6a ＝－42a ；②a －2b ＋(2a ＋2b )＝3a ； ③a ＋b －(a ＋b )＝0.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：①对，②对，③错，因为a＋b－(a＋b)＝0.答案：C1．化简－＋所得结果是( )A. B. C．0 D.答案：C2．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|的值为( )A．0 B．1 D．2答案：B3．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( )A．与向量a方向相同B．与向量a方向相反C．与向量b方向相同D．与向量b方向相反答案：A4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.答案：25．向量(＋)＋(＋)＋等于( )A. B. C. D.解析：(＋)＋(＋)＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝.故选C.答案：C1．如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么( )A．若实数λ1、λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1、λ2是实数C．对实数λ1、λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2有无数对答案：A2．如果3e1＋4e2＝a,2e1＋3e2＝b，其中a，b为已知向量，则e1＝________，e2＝________.答案：e1＝3a－4b e2＝－2a＋3b3．设e1，e2是平面内一组基底，如果＝3e1－2e2，＝4e1＋e2，＝8e1－9e2，则共线的三点是( )A．A、B、C B．B、C、DC．A、B、D D．A、C、D答案：C4．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( ) A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1D．e2和e1＋e2解析：∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，故选B.答案：B2，3，且点A的坐标为(1,2)，则点B的坐标为( )1．若＝()A．(1,1)答案：C2．已知平行四边形OABC(O为原点)，＝(2,0)，＝(3,1)，则OC等于( )A．(1,1) B．(1，－1)C．(－1，－1) D．(－1,1)解析：＝＝－＝(3,1)－(2,0)＝(1,1)，故选A.答案：A3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32b a －32b a －12b D ．－32a ＋12b答案：B1．若a ＝(2,3)，b ＝(4，－1＋y )，且a ∥b ，则y ＝( )A ．6B ．5C ．7D ．8答案：C2．已知点M 是线段AB 上的一点，点P 是平面上任意一点，＝35＋25，若＝λ，则λ等于( )解析：用，表示向量，.∵＝＋＝＋35＋25＝－25＋25，＝＋＝－＋＝－35＋25＋＝－35＋35，∴＝23. 答案：D1.若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a·a ＋a·b 等于( )C ．1＋32D ．2 解析：选·a ＋a·b ＝|a |2＋|a ||b |cos60°＝1＋12＝32. 2.设a ，b ，c 是任意的非零向量，且相互不共线，则下列结论正确的是( )A ．(a·b )c －(c·a )b ＝0B ．a ·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0C ．(b ·c )a －(a ·c )b 不与c 垂直D ．(3a ＋4b )·(3a －4b )＝9|a |2－16|b |2解析：选D.由于数量积是实数，因此(a·b )c ，(c·a )b 分别表示与c ，b 共线的向量，运算结果不为0，故A 错误；当a ⊥b ，a 与b 都不为零向量时，也有a·b ＝0，故B 错误；[(b·c )a －(a·c )b ]·c ＝(b·c )a ·c －(a ·c )b ·c ＝0，故C 错误；(3a ＋4b )·(3a －4b )＝9a 2－16b 2－12a ·b ＋12a ·b＝9|a |2－16|b |2.＝(－4，3)，b ＝(5，6)，则3|a |2－4a ·b 等于( )A ．23B ．57C ．63D ．83 解析：选D.∵|a |＝（－4）2＋32＝5，a ·b ＝－4×5＋3×6＝－2，∴3|a |2－4a ·b ＝3×52－4×(－2)＝83.故选D.2.已知A (2，1)，B (3，2)，C (－1，4)，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形解析：选B.·＝(1，1)·(－3，3)＝－3＋3＝0.故选B.1．设坐标原点为O ，已知过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的直线交函数y ＝12x 2的图象于A 、B 两点，则·的值为( )C ．－34D ．－43解析：选C.由题意知直线的斜率存在可设为k ，则直线方程为y ＝kx ＋12，与y ＝12x 2联立得12x 2＝kx ＋12， ∴x 2－2kx －1＝0，∴x 1x 2＝－1，x 1＋x 2＝2k ，y 1y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫kx 1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2＋12＝k 2x 1x 2＋14＋k (x 1＋x 2)2 ＝－k 2＋k 2＋14＝14， ∴·＝x 1x 2＋y 1y 2＝－1＋14＝－34. 二 填空题2．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量是平行向量，与是共线向量，则m ＝________.解析：∵A ，B ， C 不共线，∴与不共线，又m 与，都共线，∴m ＝0.答案：06．已知||＝|a |＝3，||＝|b |＝3，∠AOB ＝120°，则|a ＋b |＝________.答案：35．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y ＝________.解析：由题意，得3x －4y ＝6且2x －3y ＝3，解得x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3.答案：36．如下图所示，已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若＝a ，＝b ，用a 、b 表示＝________.解析：∵E 、F 分别为相应边中点，∴＝34＝34(a ＋b )＝34a ＋34b . 答案：34a ＋34b 4．已知a ＝()1，2，b ＝()2，3，实数x ，y 满足xa ＋yb ＝()3，4，则x ＝________.答案：－15．若将向量a ＝(3，1)按逆时针方向旋转π2得到向量b ，则b 的坐标为________．答案：(－1，3)6．已知平行四边形ABCD 中，A (1,1)，B (6,1)，C (8,5)，则点D 的坐标为________．答案：()3，57．作用于原点的两个力F 1＝()2，2，F 2＝()1，3，为使它们平衡，需加力F 3＝________.答案：()－3，－53．已知▱ABCD 四个顶点的坐标为A (5,7)，B (3，x )，C (2,3)，D (4，x )，则x ＝__________.答案：53.已知向量a ，b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是________． 解析：b 在a 上的投影是|b |cos 〈a ，b 〉＝2cos60°＝1.答案：14.已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________．解析：由于|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则|a |2－4a ·b ≥0，设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |≤14|a |212|a |2＝12，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π 4.在边长为2的等边三角形ABC 中，设AB →＝c ，＝a ，＝b ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝__________．解析：a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2×2×cos 120°×3＝－3.答案：－35.已知|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，则|3a ＋b |＝________．解析：由已知|3a －2b |＝3，得9|a |2－12a ·b ＋4|b |2＝9，∴a ·b ＝13. ∴|3a ＋b |＝（3a ＋b ）2＝9|a |2＋6a ·b ＋|b |2＝2 3.答案：23．在平面直角坐标系中，O 为原点，已知两点A (1，－2)，B (－1,4)，若点C 满足＝α＋β，其中0≤α≤1且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为________．解析：∵α＋β＝1，∴β＝1－α，又∵＝α＋β＝α＋(1－α)，∴－＝α(－)，∴∥，又B 与有公共点B ，∴A 、B 、C 三点共线，∵0≤α≤1，∴C 点在线段AB 上运动，∴C 点的轨迹方程为3x ＋y －1＝0(－1≤x ≤1)．答案：3x ＋y －1＝0(－1≤x ≤1)三 解答题。