数学中的逻辑学
数学与逻辑逻辑思维在数学学习中的应用
数学与逻辑逻辑思维在数学学习中的应用数学与逻辑：逻辑思维在数学学习中的应用数学与逻辑是密切相关的学科，逻辑思维在数学学习中发挥着重要的作用。
本文将探讨数学与逻辑的关系，以及逻辑思维在数学学习中的应用。
一、数学与逻辑的关系数学是一门独特的学科，它所依赖的是严密的逻辑推理和思维方式。
逻辑学作为哲学的一个分支，研究与思维、推理以及真理有关的问题，为数学学习提供了理论依据。
逻辑思维是从事数学研究和解题的基础，它要求我们正确地进行假设、推理、证明和推断。
数学中的定理证明、公式推导等都需要运用逻辑思维，保证数学的准确性和严密性。
二、逻辑思维在数学学习中的应用1. 假设与推理在数学学习中，我们常常需要根据已知条件进行假设，并通过逻辑推理来得出结论。
假设与推理是数学证明的关键步骤，要求我们能够正确运用逻辑规则，推导出准确的结果。
例如，对于一个几何问题，我们可以先假设某一条边长度为x，然后依据已知条件运用数学定理，经过一系列的逻辑推理，得出边长x的具体取值，进而解决问题。
2. 证明与推断数学中的证明过程依赖于逻辑推理，通过逻辑严密的推导，我们可以验证数学命题的真实性。
证明有直接证明、间接证明、反证法等多种方法，每种方法都要求运用到逻辑思维。
通过合理的推断和论证，我们可以得出结论，并通过推理将问题解决得更加全面和准确。
3. 问题解决和创新逻辑思维不仅能够帮助我们解决问题，还能够激发我们的创新思维。
在数学学习中，我们常常会遇到复杂的问题，需要通过逻辑思维找出解题的方法。
逻辑思维能够培养我们的分析能力和综合能力，帮助我们审视问题的本质和规律。
通过逻辑思维，我们可以在解决问题的同时培养创造力和创新思维，提高数学的实践性和应用能力。
4. 数学思维的培养逻辑思维是数学思维的重要组成部分，通过训练逻辑思维能够培养我们的数学思维能力。
数学思维注重逻辑性、抽象性和严密性，培养逻辑思维可以提高我们的数学思维水平，更好地理解和应用数学知识。
逻辑学原理在数学中的应用
逻辑学原理在数学中的应用1. 引言逻辑学是研究推理的原理和方法的学科，而数学则是研究数量、结构、变化以及空间等概念和关系的学科。
逻辑学原理在数学中有着广泛而重要的应用。
本文将讨论逻辑学原理在数学中的应用，重点介绍一些使用逻辑学推理方法解决数学问题的案例。
2. 数学中的逻辑学原理在数学领域，逻辑学原理被广泛应用于证明、推理以及问题解决过程中。
以下是一些常见的逻辑学原理在数学中的应用方式：•假设与证明：在数学证明中，逻辑学原理的使用至关重要。
通常，我们会假设一个命题是正确的，然后通过逻辑推理的方法，以及已知的定理和公理，来证明这个命题。
•条件与否定：数学中经常需要分析条件语句和否定语句的关系。
例如，当我们面对一个条件语句时，我们可以使用逻辑学原理来判断什么样的条件会导致什么样的结果。
•逻辑符号：逻辑学中的符号，如“与”、“或”、“非”等，在数学中也有广泛的应用。
这些符号能够帮助我们简化和表达数学问题的逻辑关系。
3. 逻辑学原理在数学证明中的应用数学证明是数学中最重要的一部分。
逻辑学原理在数学证明中起着关键的作用，帮助我们建立完善的证明过程。
以下是逻辑学原理在数学证明中常见的应用方式：•直接证明：直接证明是一种常见的证明方法，它基于逻辑学原理中的蕴含关系。
我们通过列举事实和推理来证明某个命题是正确的。
•反证法：反证法是另一种常见的证明方法，它基于逻辑学原理中的否定关系。
我们假设命题的否定是正确的，然后通过逻辑推理来导出矛盾，从而证明命题是正确的。
•归纳法：归纳法是一种常用的证明方法，它基于逻辑学原理中的归纳推理。
通过在某个基础情况下进行验证，以及递推的推理方式，我们可以证明命题在所有情况下都成立。
4. 逻辑学原理在数学问题解决中的应用逻辑学原理不仅在数学证明中有重要应用，它们也在解决数学问题的过程中起着关键的作用。
以下是一些逻辑学原理在数学问题解决中的案例：•分析问题：逻辑学原理帮助我们更好地分析和理解数学问题。
逻辑学的特征
逻辑学的特征一、简介逻辑学是一门研究推理和论证的学问，主要探讨如何从已知信息推导出未知信息，以及如何评估论证的有效性。
在哲学、数学、语言学、计算机科学等多个领域，逻辑学都有着广泛的应用。
逻辑学的主要目的是建立一套有效的推理规则，以指导人们正确地进行推理和论证，避免出现逻辑错误。
二、特征1.形式化：逻辑学使用形式化的语言来描述推理过程，这种语言具有高度的抽象性和精确性。
通过形式化的语言，逻辑学能够精确地表达推理规则和论证结构，使得推理过程更加清晰和易于理解。
2.规则性：逻辑学有一套完整的规则体系，这些规则指导人们如何进行有效的推理和论证。
在逻辑学中，每种推理形式都有相应的推理规则，这些规则详细规定了如何从前提推导出结论，以保证推理的有效性。
3.客观性：逻辑学不依赖于主观情感或个体经验，而是建立在客观的推理规则之上。
这意味着相同的推理前提和推理规则会导致相同的结果，无论是由谁进行推理。
4.可验证性：逻辑学的推理结果是可验证的。
如果前提是真实的，并且推理过程符合逻辑规则，那么结论就是可接受的。
这种可验证性使得逻辑学成为科学方法的基础。
5.广泛应用性：逻辑学不仅在哲学、数学和语言学等领域有应用，还在法律、政治、经济等许多其他领域有应用。
逻辑学能够为这些领域提供一种评估论证质量的框架，有助于人们理解和评估各种论证的有效性。
三、实例应用1.数学证明：在数学中，逻辑学被广泛应用于证明定理和推导结论。
数学家使用逻辑规则来推导出一个结论，需要证明的所有步骤都必须符合逻辑规则，不能出现逻辑错误。
2.法律论证：在法律领域，逻辑学被用来分析和评估法律论证的有效性。
法律逻辑研究如何正确地运用法律推理，以确保法律决定的合理性。
3.人工智能：在人工智能领域，逻辑学被用于设计和实现基于知识的系统、专家系统等。
这些系统使用逻辑规则来处理信息和进行推理，以提供有用的信息和建议。
4.语言学：在语言学中，逻辑学被用于描述语言的逻辑结构和语义关系。
数学逻辑学中的集合论与数理逻辑研究
数学逻辑学中的集合论与数理逻辑研究在数学逻辑学中，集合论和数理逻辑是两个重要的研究领域。
集合论主要研究集合的性质和关系，而数理逻辑则关注数学推理的形式化和计算问题。
集合论是一种基础的数学理论，它研究的是集合的概念、性质和运算。
集合可以看作是具有其中一种共同特征的对象的总体，这些对象可以是数字、字母、几何图形等等。
集合论的一个主要目标是确定集合之间的关系和操作，以及描述它们的性质。
集合论的基本概念包括包含关系、交并补运算、子集关系等等。
集合论的研究内容包括无穷集合、集合的基数、选择公理等等，这对于数学的发展和基础研究都具有重要意义。
数理逻辑是逻辑学的一个分支，它研究的是数学推理的形式化和计算问题。
数理逻辑主要有三个分支，分别是命题逻辑、一阶逻辑和模型论。
命题逻辑研究的是命题的真假和推理规则，一阶逻辑扩展了命题逻辑，引入了个体变量和谓词，从而能够处理更复杂的推理问题。
模型论是通过一种数学模型来研究逻辑系统的性质。
数理逻辑在数学证明、计算机科学和哲学等领域都有广泛的应用。
集合论和数理逻辑的研究对于数学的发展和应用具有重要意义。
集合论为数学提供了一种严谨的基础，通过集合论的概念和原理，我们能够更好地理解和定义其他数学概念，并且能够对它们之间的关系进行研究。
数理逻辑通过形式化和计算问题的研究，为数学证明和计算机科学提供了基础。
集合论和数理逻辑的研究可以推动数学的发展和创新，并且为其他学科的研究和应用提供理论基础。
因此，对于数学逻辑的研究，我们应该从集合论和数理逻辑两个方面进行深入思考和探索。
数学逻辑中的命题逻辑和谓词逻辑的基本概念
数学逻辑是数学中的一门重要学科，它研究的是关于命题和谓词的逻辑关系。
命题逻辑和谓词逻辑是数学逻辑中的两个基本概念，它们在逻辑推理和论证中起着重要的作用。
首先，让我们来了解一下命题逻辑。
命题逻辑是逻辑学中研究命题和命题之间逻辑关系的一门学科。
命题是陈述句，可以是真或假的陈述句。
命题逻辑关注的是命题之间的“与”、“或”、“非”等逻辑关系。
在命题逻辑中，我们可以使用逻辑运算符来表示不同的逻辑关系。
例如，“与”运算符用符号“∧”表示，表示命题p和命题q都为真时整个命题为真。
同样地，“或”运算符用符号“∨”表示，表示命题p和命题q中至少有一个为真时整个命题为真。
此外，在命题逻辑中，还有一些常用的推理规则，如简化规则、析取规则、假言推理规则等。
这些推理规则可以帮助我们根据已知的命题推导出新的命题，并进行正确的推理和论证。
接下来，我们来了解一下谓词逻辑。
谓词逻辑是逻辑学中研究谓词和谓词之间逻辑关系的一门学科。
谓词是带有变量的物质，它表示一个属性或特征。
谓词逻辑关注的是谓词之间的逻辑关系以及变量的取值范围。
在谓词逻辑中，我们可以使用量词来表示变量的范围。
例如，“∀”表示全称量词，表示一个命题对于所有的变量都成立。
“∃”表示存在量词，表示存在一个变量使得命题成立。
与命题逻辑类似，谓词逻辑也有一些常用的推理规则，如全称推理规则、存在推理规则等。
这些推理规则可以帮助我们根据已知的谓词条件推导出新的谓词条件，并进行正确的推理和论证。
同时，命题逻辑和谓词逻辑在数学中具有广泛的应用。
它们可以帮助我们进行逻辑推理，判断论证的有效性。
在数学证明中，命题逻辑和谓词逻辑也是必不可少的工具。
利用命题逻辑和谓词逻辑，我们可以对命题进行分析和论证，从而得出正确的结论。
总而言之，命题逻辑和谓词逻辑是数学逻辑中的两个基本概念。
命题逻辑关注的是命题之间的逻辑关系，而谓词逻辑关注的是谓词之间的逻辑关系和变量的取值范围。
这两个概念在逻辑推理和论证中起着重要的作用，并在数学中具有广泛的应用。
逻辑学与数学的关系
逻辑学与数学的关系
逻辑学和数学有着密切的关系。
逻辑学是研究推理和证明的学科，它研究如何正确地进行推理，以及如何证明一个命题是否为真。
数学则是研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科，它利用逻辑和推理来构建数学系统，并通过严密的证明来验证数学定理。
逻辑学为数学提供了基础，它确保数学推理的准确性和一致性。
数学定理的证明过程通常基于逻辑的规则和推理方法，如演绎推理、归纳推理和逆向推理等。
逻辑学还研究数学中的概念、定义和关系，并提供符号系统和语言来描述数学结构和关系。
另一方面，数学的发展也推动了逻辑学的进步。
数学中的问题和证明需要逻辑学来解决，这促使逻辑学家开展更深入的研究，例如数学中的不完备性定理和选择公理等问题。
数学问题的解决也为逻辑学提供了新的推理方法和工具，如公理化方法、模型论和证明论等。
总之，逻辑学和数学相互依存，它们共同构成了数学科学的基石。
逻辑学为数学提供了正确的推理和证明方法，而数学则为逻辑学提供了实际问题和验证逻辑方法的实践。
这两个学科的交叉研究为我们深入理解数学和推理的本质提供了重要的框架和方法。
逻辑学知识点及公式
逻辑学知识点及公式逻辑学是一门研究思维形式、思维规律和思维方法的科学。
它对于我们正确地思考、表达和论证具有重要的意义。
下面为您介绍一些常见的逻辑学知识点及公式。
一、命题逻辑1、命题命题是具有真假值的陈述句。
例如，“今天是晴天”“2 ＋ 3 ＝5”等。
2、逻辑连接词（1）“且”（用“∧”表示）：两个命题都为真时，其组合命题才为真。
例如：命题 P：今天是晴天；命题 Q：我心情很好。
P∧Q 只有在今天是晴天并且我心情很好时才为真。
（2）“或”（用“∨”表示）：两个命题中至少有一个为真时，其组合命题为真。
例如：命题 P：我吃苹果；命题 Q：我吃香蕉。
P∨Q 在我吃苹果或者我吃香蕉或者两者都有时为真。
（3）“非”（用“¬”表示）：对原命题的否定。
例如：命题 P：今天下雨。
¬P 则表示今天不下雨。
3、命题公式的真值表通过列出命题中变量的所有可能取值，并计算出整个命题公式的真假值，可以得到真值表。
4、等价式（1）双重否定律：¬¬P ＝ P（2）交换律：P∧Q ＝ Q∧P，P∨Q ＝ Q∨P（3）结合律：（P∧Q)∧R ＝ P∧（Q∧R)，（P∨Q)∨R ＝ P∨（Q∨R)5、蕴含式如果 P 则 Q，记作P → Q。
只有当 P 为真且 Q 为假时，P → Q 为假。
二、谓词逻辑1、个体、谓词和量词个体是指可以独立存在的事物，谓词是描述个体性质或关系的词语，量词包括全称量词（“所有”，用“∀”表示）和存在量词（“存在”，用“∃”表示）。
2、公式例如，∀x （P(x) → Q(x)）表示对于所有的 x，若 P(x) 成立则 Q(x) 成立。
三、推理规则1、假言推理如果P → Q 为真，且 P 为真，那么可以推出 Q 为真。
2、选言推理（1）否定肯定式：P∨Q，¬P ，则 Q。
（2）肯定否定式：P∨Q，P ，则¬Q （这种情况在不相容选言中成立）3、三段论推理例如：所有的人都会思考，张三是人，所以张三会思考。
数学逻辑学教案人教版高中
数学逻辑学教案人教版高中
教学内容：人教版高中数学逻辑学
教学目标：通过本节课的学习，学生能够理解数学逻辑学的基本概念和运用方法，掌握相关知识点，提高逻辑思维能力。
教学重点和难点：重点掌握命题的形式和逻辑运算法则；难点在于引导学生进行逻辑推理和解题。
教学方法：讲解、示范、练习、讨论。
教学准备：教材、课件、黑板、笔记本、黑板笔、橡皮等。
教学过程：
1.导入：通过一个生活实例引入数学逻辑学的概念，让学生了解它的重要性和应用价值。
2.讲解：介绍数学逻辑学的基本概念，包括命题、逻辑联结词、逻辑运算法则等内容，并进行具体举例说明。
3.示范：演示几个简单的逻辑推理题，让学生跟随思路进行推理，了解解题方法和步骤。
4.练习：让学生完成一些逻辑推理题，并进行讲解和梳理，帮助他们掌握解题技巧。
5.讨论：分组讨论一些较难的应用题，引导学生共同思考解题方法，促进彼此之间的学习和交流。
6.总结：总结本节课的学习内容，强化重点知识点，帮助学生巩固所学知识。
7.作业布置：布置适量的作业，让学生巩固和拓展所学知识。
教学反思：通过本节课的教学，发现学生在逻辑推理方面存在的问题和困惑，及时进行调整和辅导，帮助他们提高解题能力和逻辑思维水平。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学中的逻辑学Logic in Mathematics华东师范大学数学系 羊丹平主要参考书[1] 逻辑学 中国人民大学哲学院逻辑学教研室/编 中国人民大学出版社 2014[2] 逻辑学基础 杨武金编著 科学出版社 2012年版[3] 形式逻辑 金岳霖主编 人民出版社 1979年版[4] 数理逻辑的思想和方法 李娜著 南开大学出版社 2007年版[5] 逻辑学是什么（The Power ofLogic）（中译本） 斯蒂芬.雷诺著 中国人民大学出版社. 2014年版[6] 逻辑要义(Essentials of Logic)（中译本）欧文.M.柯匹等著 世界图书出版社 2013年版什么是逻辑学1 逻辑学是研究思维过程中有效推理的规律、方法和应用的科学。
它撇开思维过程中推理和论证的具体内容，专门研究前提和结论之间的形式结构关系和有效推理模式，使得人们能够由真实的已知的知识（称为前提）只能推出真实的新的知识（称为结论）。
爱因斯坦指出：“西方科学的发展是以两个伟大成就为基础的，那就是：希腊哲学家发明形式逻辑体系（在欧几里德几何学中），以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系（在文艺复兴时期）。
”爱因斯坦所说的形式逻辑体系即体现在欧几里得几何学中的实质公理化方法，是一种逻辑的应用，它的理论形式就是由亚里士多德创立的三段论演绎公理系统。
爱因斯坦所说的“通过系统的实验发现有可能找出因果关系”，就是由培根、穆勒等人所创立的归纳逻辑。
这句名言深刻的阐述了逻辑学对现代科学发展的深远影响和科学意义。
逻辑学是一门基础性学科，人类的一切思维活动和知识领域都离不开逻辑，因而逻辑学是其它一切科学的基础。
德⋅ 摩根说：“数学和逻辑是精确科学的两只眼睛”。
逻辑学也是一门工具性学科。
逻辑是人们表达和论证思想的必要工具，也是认识事物的重要工具。
逻辑是由英语中logic音译而来。
从词源上说，“逻辑”一词来源于希腊词“逻各斯”（logos）,其含义是多义的，基本词义是言辞、理性、秩序和规律，其中核心含义是“秩序”和“规律”。
引申出众多衍生含义，如：一般的规律、原理和规则；说明、解释、论证；理性、推理、与经验相对的抽象理论、与直觉相对的有条理的推理等。
中国古代称对应的学问为“名”或“辩”。
“逻辑”这个名词最初由严复翻译过来，后经章士钊提倡得以普遍使用。
孙中山先生倡导“理则学”，意为“思想之门径”、“诸学之准则”。
日本人翻译为“伦理学”，即议论、论证的条理的学问。
目前中国学者通用“逻辑学”，日本学者惯用“论理学”，中国台湾、香港及东南亚学者还用“理则学”这个名称。
逻辑学经历了古代、近代到现代的发展历程。
古代逻辑学有三大主要源流：中国先秦时期的名辩学，以名、辞、说、辩为主要内容。
主要代表人物有墨子、荀子和韩非子等；古印度带有佛教色彩的因明学，代表人物为陈那、法称等；古希腊的逻辑学，主要人物是亚里士多德，他被称为“逻辑之父”，发展了三段论的逻辑;还有斯多葛学派的克西普斯，发展了命题逻辑、研究了条件命题及其推理等。
在实际的历史进程中，中国先秦逻辑和古印度逻辑都有某种中断，没有进入世界逻辑发展的主流。
唯有肇始于古希腊逻辑的西方逻辑有相对完整的发展历史，后来成为世界逻辑发展的主流，现代逻辑学就是以它为基础发展起来的。
逻辑学在近代的发展，主要是培根等人创立的归纳逻辑。
逻辑学在近代的又一个发展方向是由黑格尔创立的辩证逻辑。
古代逻辑和近代逻辑内容，通常也称为传统逻辑或普通逻辑。
现代逻辑又称为符号逻辑、数理逻辑等。
其先驱人物首先是300年前的莱布尼兹，他提倡用数学方法研究逻辑，之后是200年前的布尔，他创立了逻辑代数又称布尔代数，本质上是一种二进制数学。
通常认为数理逻辑的真正创立者是100年前的弗雷格和罗素，希尔伯特和哥德尔建立了逻辑的元理论。
现代逻辑的发展基本上沿着基础研究和应用研究两个方向发展，基础研究包括公理集合论、模型论、递归论和证明论等；应用研究方向则包括两个方面：一是非经典逻辑分支的研究：如多值逻辑（三值逻辑、模糊逻辑、概率逻辑）、亚结构逻辑（线性逻辑、相干逻辑）和直觉主义（构造性）逻辑等；二是应用已有一阶逻辑工具于哲学、语言学等，产生了模态逻辑（时间逻辑、道义逻辑、认知逻辑、动态逻辑）、哲学逻辑（次协调逻辑（弗协调逻辑）、自由逻辑）、语言逻辑、辩证逻辑、非形式逻辑、逻辑推理等。
客观世界和人类社会的现象和情况是多样化的，逻辑学涵盖的类别也是丰富多彩。
现代逻辑学枝繁叶茂。
针对不同的对象，在不同的基本规律假设下，发展出众多分支。
在学习、研究和使用逻辑，应该深刻了解各种逻辑体系适用范围和基本规律的差异和不同，要充分清楚和理解应用对象的特性，清楚地了解其是否满足相应逻辑所需的基本条件，否则也会得不到有效的结果，甚至错误的结论。
逻辑学本身是一门博大高深的学问。
本课程的目的是介绍形式逻辑的基本知识、基本逻辑符号和它们的演算规则，特别注重在数学中的体现和应用。
形式逻辑一词最初由康德提出，指从亚里士多德到中世纪这一段时期内建立起来的逻辑科学。
其特点是抽掉思维的具体内容，只考虑思维的形式。
后来，形式逻辑有了新发展，产生了用数学方法研究逻辑的新方法-数理逻辑（符号逻辑、理论逻辑）。
因此，通常将形式逻辑分为传统的形式逻辑（或传统逻辑、经典逻辑）和现代形式逻辑（或数理逻辑）两种。
习惯上，传统的数学逻辑简称为形式逻辑。
本讲义中所要陈述的限于传统形式逻辑的内容。
形式逻辑（Formal Logic） 研究正确思维（概念、判断或命题、推理）的形式结构、规律、方法和应用，其主要研究对象是演绎推理的形式。
形式逻辑所研究的思维形式，指思维的存在和表现的形式。
思维或是形成概念，或是进行判断、或是进行推理。
因而，思维就是以概念、判断（命题）、推理这几种形式表现出来。
形式逻辑从形式方面给思维提出规范性和要求。
遵守这些规范和要求，思维就能达到形式正确性，而形式正确性是思维正确性的必要条件。
因此，形式逻辑教给人们正确地进行思维，辨识论断中的逻辑错误，以及如何准确有效地表达自己的思想。
经典逻辑的基本规律：经典逻辑是众多逻辑体系中最基本、最基础、最常用的逻辑体系。
在思维过程中，首先需要明确的最基本的问题（要素）是：（1）如何合格地表述自己和理解别人的思想，相互认可，达成共识？（2）如何确保思维过程中得到结论？（3）如何确保思维过程中得到可用的结论？（4）如何确保思维过程中得到正确的结论？缺少上面任何一个环节，都不会完成一个完整、有意义和有效的思维过程。
因此，在任何一个逻辑体系内，必须对上述四个基本要素给出基本的规定，进而在此基础上构建相应的逻辑体系。
针对上述四个基本问题，经过长期论辩和缜密归纳和总结，经典逻辑确立了相应的四条基本定律：同一律、排中律、矛盾律和充足理由律。
经典逻辑学建立在四大定律基础上。
A. 同一律（Law of identity）：同一律的公式是：Whatever is, is. – Russell译文：是其所是。
同一律要求在同一个思维过程中凡同名者必同义。
在同一思维过程，在同一时空和从同一立场，每一思维的对象、概念、判断和其它思维形式必须始终与其自身是同一的。
A是 A这里A可以是一个概念、定义、判断或其它思维形式等。
“A是A”表示在同一思维过程中，A所表述的概念、定义、判断或其它思维形式等必须是同一的。
同一律有两层含义：（1）确定性 A首先是确定的。
A如果不确定，首先不能知道A自身是什么，其次不可能对在不同时间、位置出现的A判别是否同一的A。
所以，没有确定性就没有同一性。
（2）一贯性 在一个思维过程中，一个概念或判断必须是前后一致，始终如一，不能此A非彼A。
同一律的要求和违反同一律的逻辑错误。
同一性主要包含三方面的要求：第一、同一律要求思维对象或论题同一。
在同一个思维过程中，思维的对象或论题必须同一；在讨论问题、回答问题或反驳别人的时候，各方的思维对象或论题也必须同一。
违反这一要求的逻辑错误，称为离题、跑题和转移或偷换论题。
例1.1 1860年6月30日，英国威伯福斯主教策划组织了一次千余人参加的有关达尔文进化论的辩论会。
主教指责达尔文进化论：“谁看见而且正确地证明过一些物种转化为另一些物种呢？难道可以相信菜园里的芜箐都能变成人吗？”。
他攻击达尔文学说的支持者、宣传者赫胥黎说：“坐在我对面的赫胥黎先生，你是相信猿是人类祖先的，那么请问你：你自己是由你的祖父还是从你的祖母的猿群中变来的？”这里主教使用了隐换论题的诡辩守法，将达尔文“物种进化”的正确论题隐换成“物种转移”的错误论题。
进而攻击或否定达尔文的进化论。
例1.2. 某火车站偶见一则广告：正标题： 孝者为尊，尊者得天下。
副标题： 父亲节送上一份孝心-五岳独尊酒。
这则广告巧妙地运用语义和概念的模糊，将两个完全不相干的事物（孝心与五岳独尊酒）连接成似乎密不可分的事物，给读者一种“不买五岳独尊酒即为不孝，而且事业不能成功”的心理暗示。
前者运用了大众尊崇的“百善孝为先”的传统观念，后者运用了秦始皇得天下尊为皇帝，且封禅泰山为五岳之首的典故，最后引入五岳独尊酒的品牌。
在这则广告中，两个“尊”的含义完全不同，同时，“孝道”、“秦始皇”、“泰山”和“酒”是不同的对象，广告商不断地牵强附会、隐晦地转移了论题。
转移论题，这种现象在各类商品广告中屡见不鲜，是误导以致欺诈消费者的常用手法。
第二、同一律要求概念同一。
在同一个思维过程中，使用的概念必须同一；在讨论问题、回答问题或反驳别人的时候，各方使用的概念也必须保持同一。
违反这一要求的逻辑错误称为混淆或偷换概念。
例1.3 以人为本，我是人，所以以我为本。
类似的，群众是真正的英雄，我是群众，所以我是真正的英雄。
上述推理显然都得到错误的结论。
原因在于第一和第二句中“人”或“英雄”这一概念的含义不同，前者是整体意义上的概念，后者是个体意义上的概念，二者不同一，犯了混淆或偷换概念的错误。
例 1.4 偷换概念是诡辩论者常用的手法。
亚里士多德曾列举过古希腊诡辩派的一个诡辩实例：“你有一条狗，它是有儿女的；因此这条狗是父亲。
因此你有一个父亲，它的女儿是狗，因此你本身是那些狗的一个兄弟姐妹，并且本身是狗。
”辩论者使用偷换概念的手法，把作为一条小狗父亲的狗，偷换成辩论对方的父亲。
上述实例对应着下述论证：有儿女（B）的是父亲（A）。
A有B。
有父亲（A）的是儿女（B）。
B有A。
儿女（B）是同类（C）。
B是C。
上述每句话单独看都是正确的。
如果概念同一，可得结论：B有自己的父亲，父亲有儿女，儿女是同类，因此，B与自己的兄弟姐妹是同类。
这个推理是正确的。
上述诡辩是偷换了父亲的概念。
这个例子说明，不保持概念的同一性，原本正确的推理形式，导出了错误的结论。
例 1.5 某电视台组织一场专题辩论会。