算术平方根
课题：6.1 平方根、立方根（2）
第二课时 算术平方根
学习目标：
1．了解算术平方根的概念,会用根号表示数的算术平方根；
2. 会用平方运算求某些非负数的算术平方根；
3．能运用算术平方根解决一些简单的实际问题．
学习重点：
会用平方运算求某些非负数的算术平方根，能运用算术平方根解决一些简单
的实际问题．
学习难点：
区别平方根与算术平方根
一、学前准备
【旧知回顾】
1．下列说法正确的是………………………………………（ ）
A ．81-的平方根是9±
B ．任何数的平方根也是非负数
C ．任何一个非负数的平方根都不大于这个数
D ．2是4的平方根
2.一个数的平方根是它本身，则这个数是………………………（ ）
A ．1
B ．0
C ．±1 D．1或0
3．若a 的一个平方根是b ，则它的另一个平方根是 ．
4．已知3612=x ，则=x ；已知22)4
1(-=x ，则=x ． 【新知预习】
1、算术平方根的定义：
。记作：
2、平方根和算术平方根之间的关系
3、想一想，填一填：
1．填空：
（1）0的平方根是_______，算术平方根是______.
（2）25的平方根是_______，算术平方根是______.
（3）641
的平方根是_______，算术平方根是______.
二、探究活动
【初步感悟】
1、判断下列说法是否正确：
（1）6是36的平方根；（ ） （2）36的平方根是6；（
） （3）36的算术平方根是6；（ ） （4）()23-的算术平方根是3；（
） （5）3-的算术平方根是3；（ ）
提醒：注意平方根与算术平方根之间的区别和联系。
【讨论提高】
（1）25的算术平方根是_______，平方根是_______；
(－4)2的平方根是_________，算术平方根是 .
（2）若0|5|)12(2=-+-y x ，则y x 51
6-的算术平方根___________
【例题研讨】
例1． 求下列各数的平方根和算术平方根：
⑴225 ⑵1.69 ⑶41
2 ⑷16 ⑸30
例2．（1）
=2)01.0( ；=2)5( ；=2)7( ； （2）=23 ；=25 ；
（3）=-2)3( ；=-2)5( ；
思考：① =2)(a ，其中a 0.
②发现：当a ＞0时，2a ＝ ； 当a ＜0，2a ＝ ； 即2a ＝ 当a = 0时，2a ＝
【课堂自测】
1．判断下列说法是否正确：
（1）任意一个有理数都有两个平方根.（ ）
（2）（－3）2的算术平方根是3.（ ）
（3）－4的平方根是－2.（ ） （4）16的平方根是4.（ ）
（5）4是16的一个平方根.（ ） （6）416±= （ ）
2．计算：____144=-； _____0001.0= ； 499±
＝______； 3．2)4(= ；．2)(π= ；_____432=??
? ??-；()_____22=-． 4．若42=x ，则x ＝________；若()412
=+x ，则x ＝________. 三、自我测试
1. 在0、－4、3、(－2)2、－22中，有平方根的数的个数为………………（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
2.4表示………………………………………………（ ）
A.4的平方根
B.4的算术平方根
C.±2
D.4的负的平方根 ()()()??????????<-=>=0000a a a a a a
实数(平方根、算术平方根、 立方根的概念及基本运算)
板块一：战前准备——打败拦路虎！ 作战目标： 1．______________________________ 2．______________________________ 3．______________________________ 装备： A ．______________________________ B ．______________________________ 第一作战目标：平方根 相关知识：平方 224,=2749,=211121,=221441,=2321024,= 4＝( )2 49＝( )2 121＝( )2 1024＝( )2 5＝( )2 250＝( )2 平方根的概念：____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________。 示例： 若22＝4，则2就叫做4的平方根； 若(-2)2＝4，则-2就叫做4的平方根； 若(±2)2＝4，则±2就叫做4的平方根。 练习：25的平方根为_______，81的平方根为_______，5的平方根为_______。 练习升级：0的平方根为_______。 练习再升级：-5的平方根为_______？ 帅哥徐老师总结： 1．只有非负数才有平方根！ 2．正数的平方根有两个，且互为相反数。 0的平方根只有一个，就是0。 负数没有平方根。 第二作战目标：算术平方根 算术平方根的概念： ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________。 实 数
平方根和开平方(基础)知识讲解
平方根和开平方（基础） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义 如果2x a =，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义 正数a 的两个平方根可以用“ a的正平方根（又叫算术平 方根），读作“根号a” ；a的负平方根，读作“负根号a”. 要点诠释： a 0，a≥0. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 ||00 a a a a a a > ? ? === ? ?-< ? () 2 a a =≥ 要点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 250 = 25 = 2.5 = 0.25 =. 【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 1、下列说法错误的是（）
A.5是25的算术平方根 B.l 是l 的一个平方根 C.()24-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C ； 【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项． A.5，所以本说法正确； B.1，所以l 是l 的一个平方根说法正确； C.4，所以本说法错误； D.因为0＝0，所以本说法正确； 【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三： 【变式】判断下列各题正误，并将错误改正： （1）9-没有平方根．（ ） （24=±．（ ） （3）21()10-的平方根是110 ±．（ ） （4）25 --是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×， 提示：（24=；（4） 25是425的算术平方根． 2、 填空： （1）4-是 的负平方根． （2表示 的算术平方根，= ． （3的算术平方根为 ． （43=，则x = ，若3=，则x = ． 【思路点拨】（3181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164 (3)13 (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.
算术平方根列表
算术平方根列表 √0 = 0 √1 = 1 √2 = 1.31 √3 = 1.888 √4 = 2 √5 = 2.979 √6 = 2.318 √7 = 2.459 √8 = 2.619 √9 = 3 √10 = 3.838 √11 = 3.54 √12 = 3.775 √13 = 3.399 √14 = 3.394 √15 = 3.742 √16 = 4 √17 = 4.766 √18 = 4.928 √19 = 4.067 √20 = 4.958 √21 = 4.584 √22 = 4.343 √23 = 4.272 √24 = 4.636 √25 = 5 √26 = 5.278 √27 = 5.663 √28 = 5.918 √29 = 5.45 √30 = 5.166 √31 = 5.002 √32 = 5.238 √33 = 5.803 √34 = 5.53 √35 = 5.962 √36 = 6
√38 = 6.898 √39 = 6.84 √40 = 6.676 √41 = 6.285 √42 = 6.786 √43 = 6.2 √44 = 6.08 √45 = 6.937 √46 = 6.527 √47 = 6.104 √48 = 6.551 √49 = 7 √50 = 7.548 √51 = 7.285 √52 = 7.798 √53 = 7.052 √54 = 7.953 √55 = 7.566 √56 = 7.788 √57 = 7.075 √58 = 7.391 √59 = 7.861 √60 = 7.483 √61 = 7.665 √62 = 7.181 √63 = 7.377 √64 = 8 √65 = 8.855 √66 = 8.596 √67 = 8.245 √68 = 8.532 √69 = 8.807 √70 = 8.076 √71 = 8.636 √72 = 8.857 √73 = 8.753 √74 = 8.263
平方根知识点汇总讲义
平方根知识点汇总讲义
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2
平方根 知识点总结 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方 根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x 的平方等于a ，即2 x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a 的算术平方根记作a ，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数. 要点诠释：当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0. 2.平方根的定义 如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为(0)a a ±≥，其中a 是a 的算术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a ±和a 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术 平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以 立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方 根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 2(0)||0 (0)(0) a a a a a a a >??===??-
实数——算术平方根
蔡甸区常福中学七年级下册教学案 课题： 6.1.1算术平方根 第_4_周主备人向俊伟教研组长向俊伟审核人_____ 授课人______ 授课时间____________ 编号 学案教案 一、学习目标 1、了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根， 并了解算术平方根的非负性。 2、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的 算术平方根。 二、课堂前置 （一）自学思考 问题：学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出 一块面积为25dm 的正方形画布，画上自己的得意之作参 比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 答： 1.画布的边长= ，理由是： 2.填表： 正方形的面 积1 9 16 36 25 4 2 边长？ 3.上面的问题实际上是已知一个，求这个 的问题。 4.方法归纳：已知一个正数的平方，是怎样求这个正数的？ . （二）展示交流 1.什么叫算术平方根？如何表示？ 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫做a的，记为，读作，a叫做。 在等式2x=a (x≥0)中，规定x =a. a≥0即a为 非负数。 2.为什么规定：0的算术平方根是0？ . 3.为什么负数没有算术平方根？ . 4.式子a中，a的取值范围是，a的取值 范围是教学重点： 教学难点： 一、课堂导入 二、揭示目标 三、合作探究 自学课本P40---44，完成学案自主学习部分的问题。
5. 625表示的意义是 ，它的值为 49的算术平方根是 ，用符号表示为 三、合作探究 1.求下列各数的算术平方根： (1) 100；（2）4964；（3）0.0001；（4）164 ；（5）1.21；（6）4- 2.你知道下列式子表示什么意思吗? 你能求出它们的值 吗? （1）1； （2）925； （3）23； （4）24-）（ 思考：81的算术平方根是9；那么81的算术平方根是多少了？你是怎样理解的？ 四、检测练习 1、下列命题中,正确的个数有( ) ①1的算术平方根是1;②(-1)2的算术平方根是-1;③一个数的算术平方根等于它本身,这个数只能是零；④-4没有算术平方根. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、一个自然数的算术平方根是x,则下一个自然数的算术平方根是( ) A.x +1 B.1x + C. 21x + D.x+1 3、x 是16的算术平方根,那么x 的算术平方根是( ) A.4 B.2 C.2 D.±4 4、36的算术平方根是__,8的算术平方根是__. 25的算术平方根是________ 5、算术平方根等于它本身的数是_______. 四、归纳小结 五、检测练习 ·参见学案。 ·检测练习的结果由小组进行评价，教师及时 点拨。 六、课堂评价（学后反思）
(完整版)算术平方根练习题(2)
6.1 平方根 第1课时算术平方根 要点感知1一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的__________,记作“__________”,读作“__________”,a叫做__________. 预习练习1-1(2014·枣庄)2的算术平方根是( ) A.±2 B.2 C.±4 D.4 要点感知2 规定：0的算术平方根为__________. 预习练习2-1 若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是( ) A.1 B.-1 C.0 D.0或1 要点感知3被开方数越大,对应的算术平方根也__________. 预习练习3-1比较大小：6__________7，4__________15. 知识点1 算术平方根 1.若x是64的算术平方根，则x=( ) A.8 B.-8 C.64 D.-64 2.(2013·南充)0.49的算术平方根的相反数是( ) A.0.7 B.-0.7 C.±0.7 D.0 3.(-2)2的算术平方根是( ) A.2 B.±2 C.-2 D.2 4.下列各数没有算术平方根的是( ) A.0 B.-1 C.10 D.102 5.求下列各数的算术平方根： (1)144；(2)1；(3)16 25 ；(4)0.008 1；(5)0. 6.求下列各数的算术平方根. (1)0.062 5；(2)(-3)2；(3)225 121 ；(4)108. 知识点2 估算算术平方根 7.(2014·安徽)设n为正整数，且n65n+1，则n的值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8 8.(2013·枣庄)估计6+1的值在( ) A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 9.某公司要设计一块面积为10平方米的正方形广告牌，公司在设计广告时，必须知道这个正方形的边长.这个正方形的边长是多少？估计边长的值(结果精确到十分位). 知识点3 用科学计算器求一个正数的算术平方根 10.用计算器比较23+1与3.4的大小正确的是( ) A.23+1=3.4 B.23+1>3.4 C.23+1<3.4 D.不能确定 11.我们可以利用计算器求一个正数a的平方根，其操作方法的顺序进行按键输入：.小明按键输入 显示的结果为4，则他按键输入后显示的结果为__________. 12.用计算器求下列各式的值（精确到0.001）： (1)800；(2)0.58；(3)2401. 13.(2014·百色)100( ) A.100 B.10 C.10 D.±10 14.(2014·台州)30( ) A.4 B.5 C.6 D.7 15.(2013·东营16( ) A.±4 B.4 C.±2 D.2 16.下列说法中：①一个数的算术平方根一定是正数；②100的算术平方根是10,100；③(-6)2的算术平方根是6；④a2的算术平方根是a.正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 17.已知a、b为两个连续的整数，且28 学科教师辅导讲义 知识点2：估算 估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 规律小结 确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分. 例2.如果17-=m ，那么m 的取值范围是（ ） A.10< 2. 例2.求下列各数的平方根和算术平方根： （1）0.0009 （2）8125 （3）25-） （ 知识点4：平方根的性质 平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ± ，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a 也叫做a 的算术平方根. 注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个. 例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（ ） A.2 B.-1 C.1 D.0 随堂巩固 一、选择题. 1. 4的算术平方根是（ ） A.2 B.-2 C.±2 D.16 2.下列说法正确的是（ ） A.5是25的算术平方根 B.16是4的算术平方根 C.-6是()2 6-的算术平方根 D.0没有算术平方根 3.下列整数中，与 最接近的是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 4.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） A.2与3 之间 B.3与4 之间 C.4与5之间 D.5与6之间 5.81的平方根是（ ） A.3± B.3 C.9± D.9 6.下列语句正确的是（ ） A.-2是-4的平方根 B.2是()22-的算术平方根 C.()22-的平方根是2 D.4的平方根是2或-2 7.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（ ） A.-8 B.8± C.2± D.8±或2± 二、填空题 1.化简：（1）4 12= ； （2） = . 2.大于2且小于5的整数是 . 3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是 。 4.已知一个正数的平方根是23-x 和65+x ，则这个数是 5.已知m,n 为两个连续的整数，且n m <<11，则n m += . 30 04.0 《平方根(第1课时)》教学设计 通州区先锋初级中学黄孝培 一、内容和内容解析 本节课内容属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域，是在已学的数的平方运算基础上，通过逆向思维得出算术平方根的定义、意义和求法。 算术平方根是后面学习平方根、二次根式、一元一次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何的大部分知识做好准备。学生在七年级上册中已经学习了有理数，而算术平方根的学习，第一次在学生面前展示了无理数的形式，将数的范围由有理数扩充到了实数。因此，本节课内容在整个数学学科的学习中起到承上启下的重要作用，使得学生对于数的认识进行了一次质的飞跃！ 二、目标和目标解析 （一）教学目标 1、经历从实际问题情境中抽象出代数模型，让学生体会其中模型化思想，进一步了解建模思想。 2、通过实际问题抽象为数学问题中让学生体会互逆运算，培养学生的逆向思维。 3、了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根并理解根号的意义。 4、会利用算术平方根的定义求一个非负数的算术平方根。 （二）目标解析 1.学生目前的学习对象已经由具体的数发展为抽象的数学符号，而学生对于思想方法的理解和掌握又是循序渐进的，通过本节的教学，利用“问题情境——建立模型——求解与解释——应用与拓展——回顾与反思”的方式，让学生在分析问题中获得相应概念和解决问题的方法，为本章平方根、立方根的学习奠定基础。 2.逆向思维的运用在数学中处处可见，通过该目标消除学生对算术平方根的模糊认识，真正理解该定义，使学生能透过现象看本质，激活思维，学会思考。 3.数学思想的教学一般要经过渗透、领悟、应用、巩固四个阶段，而不是复制和一味的灌输，教学中，让学生理解算术平方根的定义，并运用定义分析算术平方根的意义、根号的意义，从而熟练的归纳、概括出求某些数算术平方根的方法。 三、教学问题诊断分析 本课内容由实际问题引入，利用逆向思维，得出算术平方根的定义，学生对于这种抽象思想的理解和体会并不深刻，如果仅停留在模仿和生搬硬套的水平上，方法本身并不难，绝大部分学生能掌握，但是直接以根号的形式出现时，学生会感到茫然、不知所措，这样对于学生思维的发展和能力的提高毫无益处。 因此教学的难点在于理解算术平方根的概念，特别是符号语言与文字叙述之间的转换和联系，能形成抽象的概念。突破这一难点的关键是：给学生充足的思考、探索、交流的时间，让他们在探索和交流中体会概念，体验根号的意义，悟出求算术平方根的方法。 教学难点：算术平方根概念的理解，并能熟练运用。 四、教学支持条件分析 根据本节课教学特点，为更好实现教学目标，可借助计算机辅助教学，借助多媒体高效、便捷的优势，借助幻灯片把一些文字性的内容快速、清晰地呈现，易于在学生脑海中留下深刻印象。 五、教学过程设计 （一）创设情境，引入新知 问题1：同学们，好消息！ 学校要给我们教室装一个正方形屏幕的液晶电视，不过呢校长要考考我们，什么时候过关什么时候就来安装啦！大家有信心吗？ 【设计意图】通过从实际生活的切入，引起学生的共鸣，调动课堂活跃气氛，同时又为后面的问题提出做好铺垫。 （二）观察探究、形成新知 平方根概念解题的几个技巧 平方根在解题中有着重要的应用.同学们想必已经知到.但是,今天要告诉同学们的是它的几个巧妙的应用.希望对大家的学习有所帮助. 一、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例1、若,622=----y x x 求y x 的立方根. 分析 认真观察此题可以发现被开方数为非负数,即2－x ≥0,得x ≤2;x －2≥0,得x ≥2;进一步可得x =2.从而可求出y =－6. 解 ∵???≥-≥-0202x x , ∴???≥≤2 2x x x =2; 当x =2时,y =－6.y x =(－6)2=36. 所以y x 的立方根为336. 二、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例2、已知：一个正数的平方根是2a －1与2－a ，求a 的平方的相反数的立方根. 分析 由正数的两平方根互为相反得:(2a －1)+(2－a )=0,从而可求出a =－1,问题就解决了. 解 ∵2a －1与2－a 是一正数的平方根,∴(2a －1)+(2－a )=0, a =－1. a 的平方的相反数的立方根是.113-=- 三、巧用算术平方根的最小值求值. 我们已经知道0≥a ,即a =0时其值最小,换句话说a 的最小值是零. 例3、已知：y =)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根. 分析 y =)1(32++-b a ,要y 最小，就是要2-a 和)1(3+b 最小，而2-a ≥0，)1(3+b ≥0，显然是2-a =0和)1(3+b =0，可得a =2,b =－1. 解 ∵2-a ≥0，)1(3+b ≥0，y =)1(32++-b a ，∴2-a =0和)1(3+b =0 课题：6.1 平方根、立方根（2） 第二课时 算术平方根 学习目标： 1．了解算术平方根的概念,会用根号表示数的算术平方根； 2. 会用平方运算求某些非负数的算术平方根； 3．能运用算术平方根解决一些简单的实际问题． 学习重点： 会用平方运算求某些非负数的算术平方根，能运用算术平方根解决一些简单 的实际问题． 学习难点： 区别平方根与算术平方根 一、学前准备 【旧知回顾】 1．下列说法正确的是………………………………………（ ） A ．81-的平方根是9± B ．任何数的平方根也是非负数 C ．任何一个非负数的平方根都不大于这个数 D ．2是4的平方根 2.一个数的平方根是它本身，则这个数是………………………（ ） A ．1 B ．0 C ．±1 D．1或0 3．若a 的一个平方根是b ，则它的另一个平方根是 ． 4．已知3612=x ，则=x ；已知22)4 1(-=x ，则=x ． 【新知预习】 1、算术平方根的定义： 。记作： 2、平方根和算术平方根之间的关系 3、想一想，填一填： 1．填空： （1）0的平方根是_______，算术平方根是______. （2）25的平方根是_______，算术平方根是______. （3）641 的平方根是_______，算术平方根是______. 二、探究活动 【初步感悟】 1、判断下列说法是否正确： （1）6是36的平方根；（ ） （2）36的平方根是6；（ ） （3）36的算术平方根是6；（ ） （4）()23-的算术平方根是3；（ ） （5）3-的算术平方根是3；（ ） 提醒：注意平方根与算术平方根之间的区别和联系。 【讨论提高】 （1）25的算术平方根是_______，平方根是_______； (－4)2的平方根是_________，算术平方根是 . （2）若0|5|)12(2=-+-y x ，则y x 51 6-的算术平方根___________ 【例题研讨】 例1． 求下列各数的平方根和算术平方根： ⑴225 ⑵1.69 ⑶41 2 ⑷16 ⑸30 用平方法求算术平方根的近似值 四川 倪先德 我们知道，实数的大小比较和运算，常常需要求近似值．而求算术平方根的近似值通常使用计算器，但如果我们身边没有计算器时，如何求算术平方根的近似值呢？这里，我们介绍一种用平方法求算术平方根近似值的方法． 例1 求19的近似值． 析解：因为16＜19＜25，所以4＜19＜5．因此19等于4加上一个纯小数，不妨设这个纯小数为a ．则19=4+a ． 用“平方法”得：2 2816)4(19a a a ++=+= 因为a 是一个纯小数，2a 远远小于a 816+．在求19的近似值时，可以把它忽略不 计．即a 81619+≈ 此时，容易求得4.0≈a 所以19精确到小数点后面第一位的近似值是4+0.4=4.4． 如果要求更准确一点的近似值． 再设19=4.4+b ，再用平方法得：228.836.19)4.4(19b b b ++=+=． 同样，由于2b 远远小于b 8.836.19+，求19的近似值时，可以把它忽略不计．即b 8.836.1919+≈．求得：04.0-≈b ． 所以19精确到小数点后面第二位的近似值是4.4+（－0.04）=4.36． 如此，进行下去，可以求得精确度更高的近似值，只是计算量会越来越大，不过我们通常要求的精确度不是很高． 掌握了以上原理之后，可以直接省略完全平方展开式中的二次项，从而使过程简化． 例2 求31的近似值． 解：设31=5+a ，则：a a 1025)5(312+≈+= 求得6.0≈a 所以31精确到小数点后面第一位的近似值是5+0.6=5.6． 再设31=5.6+b ，则：b b 2.1136.31)6.5(312+≈+=． 求得：03.0-≈b ． 所以31精确到小数点后面第二位的近似值是5.6+（－0.03）=5.57． …… 你会做了吗？那就请你试试求110的近似值．并用计算器验证一下是否正确． 平方根（基础） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 【高清课堂：389316 平方根，知识要点】 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x的平方等于a，即2x a =,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定 0的算术平方根还是0）；a a的算术平方根”，a叫做被 开方数. 要点诠释： a 0，a≥0. 2.平方根的定义 如果2x a =，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与 开平方互为逆运算.a (a≥0) 的平方根的符号表达为0) a≥ 是a的算术 平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 ||00 a a a a a a > ? ? === ? ?-< ? () 2 a a =≥ 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 250 = 25 = 2.5 = 0.25 =. 4.平方根 1.算术平方根 (1)算术平方根的概念：如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根． (2)算术平方根的表示方法：正数a 的算术平方根记作“a ”，读作“根号a ”． (3)算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有平方根，当然也没有算术平方根． 算术平方根的性质:只有正数和0(即非负数)才有算术平方根，且算术平方根也是非负数； 【例1】求下列各数的算术平方根： (1)0.09；(2)121169 ；（3）10－8；（4）14 解：(1)∵0.32＝0.09， ∴0.09的算术平方根是0.3， 即0.09＝0.3； (2)∵????11132＝121169， ∴121169的算术平方根是1113 . 如何确定一个数的算术平方根 求一个数的算术平方根，先找到一个数，使它的平方等于所求的数，再求算术平方根． 2．平方根 (1)平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根).32＝9，所以3是9的平方根．(－3)2＝9，所以－3也是9的平方根，所以9的平方根是3和－3. (2)平方根的表示方法：正数a 的平方根可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”．“ ”读作“根号”，“a ”是被开方数．例如：2的平方根可表示为±2. (3)平方根的性质：若x 2＝a ，则有(－x )2＝a ，即－x 也是a 的平方根，因此正数a 的平方根有两个，它们互为相反数；只有02＝0，故0的平方根为0；因为任何数的平方都不会是负数，故负数没有平方根．综合上述： 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．如：4的平方根有两个：2和－2，－4没有平方根． 【例2－1】求下列各数的平方根： (1)81；(2)(－7)2；(3)11549 ；（4）10－6；（5）17 解：(1)∵(±9)2＝81， ∴81的平方根是±9，即±81＝±9. (2)∵(±7)2＝72＝49， ∴(－7)2的平方根是±7，即±49＝±7. (3)∵11549＝6449 ，又????±872＝6449， ∴11549的平方根是±87 ， 即±11549＝±87 . 【例2－2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由． (1)94 ；(2)0；(3)－9；(4)|－0.81|；(5)－22. 解： 算术平方根课后练习 一、选择题： 1. 81的算术平方根是（ ） A ．9± B ．9 C ．-9 D ．3 2. 已知正方形的边长为 a ，面积为 S ，下列说法中：①a S =；②S a =；③S 是a 的算术平方根；④a 是S 的算术平方根。正确的是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ 3. 如果5.1=y ，那么y 的值是（ ） A ．2.25 B ．22.5 C ．2.55 D ．25.5 4. 计算()22-的结果是（ ） A ．-2 B ．2 C ．4 D ．-4 5. 下列各式中正确的是（ ） A ．525±= B ． ()662-=- C ．()222-= D ．()332=- 二、填空题： 1. 一个数的算术平方根是25，这个数是________。 2. 算术平方根等于它本身的数有______________。 3. 81的算术平方根是__________。 4. 144=_______；4925=________；=-01.0________；002 5.0=_______。 5. ()=2196_________；()=-28_________；256 169-=___________。 三、解答题： 1. 求下列各数的算术平方根： (1) 3.24 (2) 12149 (3) 100001 2. 求下列各式的值： (1) 144 169- (2) 0625.0 (3) 1692254-+ 3. 回答下列问题： (1) ()2 5-有没有算数平方根？如果没有，说明理由；如果有，写出它的算术平方根。 (2) 3-是()2 3-的算术平方根吗？如果不是，请写出它的算术平方根。 4. 用长3cm 、宽2.5cm 的邮票30枚，拼成一个正方形，则这个正方形的边长是多少？ 算术平方根与平方根专项练习 一、填空 1、如果一个__________平方等于a ，即2 x a =，那么________叫做a 的算术平方根。 注：① 数a 的算术平方根记作________，其中a _____0；② 0的算术平方根为________； ③ 只有当a _____0时，数a 才有算术平方根。 2、如果一个__________平方等于a ，即2x a =，那么______叫做a 的平方根(二次方根)。 注：① 一个正数a 有_________个平方根，且它们互为________，记为________； ② 0有一个平方根，就是_________；③负数没有平方根。 3、49的平方根是＿＿＿＿；算术平方根是_____________。 4、36 有 个平方根，它们是 ；它们的和是 ；它们互为 ； 5、0.04的算术平方根是_________,开平方等于±5的数是_______. 6、81的平方根是 ；2(5)-的平方根是___________。 7、算术平方根等于它本身的数_________；平方根等于它本身的数是___________。 8、若5x+4的平方根为1±，则x= ；若m —4没有平方根，则|m —4|= 9、已知12-a 的平方根是4±，3a+b-1的平方根是4±，则a+2b 的平方根是 。 10、若实数x ，y 满足2-x +2)3(y -=0，则代数式2x xy -的值为 。 11、在小于或等于100的非负整数中，其平方根是整数的共有 个。 12、已知2x +与3y -互为相反数，则xy=________。 13、因为没有什么数的平方会等于 ，所以 数没有平方根，因此被开方数一定是 或者 。 14、当m 时，m -3有意义. 二、选择题 16、9的算术平方根是（ ） 15、(-3)2的平方根是( ) A.3 B.-3 C.±3 D.±9 A ．-3 B ．3 C ．±3 D ．81 17、下列个数没有平方根的是（ ） A ．-（-2） B. 3)3(- C.2)1(- D. 11.1 平方根 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根和算术平方根． 2．了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根. 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. 要点诠释：一个正数a a的负平方根用“ 此，一个正数a a叫做被开方数. 2.算术平方根的定义 正数的正的平方根称为算术平方根.（规定0的算术平方根还是0）；一个数a（a≥0） . 要点诠释： a 0，a≥0. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 (0) ||0(0) (0) a a a a a a > ? ? === ? ?-< ? () 2 a a =≥ 要点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 250 = 25 = 2.5 = 0.25 =. 【典型例题】 第2课时用计算器求算术平方根及其大小比较 【学习目标】 1. 步了解无限不循环小数的特点. 2.会用计算器求算术平方根. 【学习重点和难点】 1.学习重点：感受无理数。 2.学习难点：感受无理数。 【学习过程】 一、自主探究 1.填空：如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的_______________，记作_______. 2.填空： (1)因为_____2＝36，所以36的算术平方根是_______ _____； (2)因为(____)2＝ 9 64 ，所以 9 64 的算术平方根是_______ _____； (3)因为_____2＝0.81，所以0.81的算术平方根是_______ ＝_____； (4)因为_____2＝0.572，所以0.572的算术平方根是_______ ＝_____. 3.这个正方形的面积等于4，它的边长等于多少？ 谁会用算术平方根来说这个正方形边长和面积的关系？这个正方形的面积等于1，它的边长等于多少？ 用算术平方根来说这个正方形边长和面积的关系？ （指准图）这个正方形的边长等于面积1 等于多少？ （看下图）这个正方形的面积等于2，它的边长等于什么？ .（上面三个图的位置如下所示） 2＝1 在1和2之间的数有很多， 第一条线索是那个数在1和2之间，第二条线索是那个数的平方恰好等于2.根据这两条线索，我们来找等. 我们在1和2之间找一个数，譬如找1.3，（板书：1.32＝）1.3的平方等于多少？（师生共同用计算器计算）1.69不到2，说明1.3比我们要找的那个数小.1.3小了，那我们找1.5，1.5的平方等于多少？（师生共同 面积＝4 面积＝1 面积＝2 边长＝4＝2 边长＝2 边长＝1＝1 面积＝2 面积＝1 面积＝4 13.1.1算术平方根练习 一、课堂练习： 1.填空：(1)因为2=64，所以64的算术平方根是 ，即＝； (2)因为2=0.25，所以0.25的算术平方根是 ，即＝； (3)因为2=16 49 ，所以 16 49 的算术平方根是 ，即＝ . 2. 16的算术平方根是；16的算术平方根是； 4的算术平方根是；4的算术平方根是，3、不用计算器你能比较上面数的大小吗？若能把你的方法写在下面（1）7和3 （2）7-2和1 4．不用计算器，比较下列数的大小 （1）140和12 （2） 21 5- 和 2 1 5．小丽想用一块面积为400m2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300m2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2。不知能否裁出来，正在发愁，小明见了说“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”，你同意他的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？ 6、计算下列各式：（1） 49 4 9 - （2） 81 144 16 9 1+ - （3） 36 1 6 5 1 252 2? - - - ?） （ ） （ 二、课后作业： 1.求下列各式的值： ＝； ＝； ＝；(4) 25 9 ＝； ＝； ＝ . 2.填空并记住下列各式： ＝， ＝ ，＝， ＝， ＝， ＝， ＝， ＝ ， ＝ . 3.填空： (1)因为（）2＝36，所以36的算术平方根是 ，即＝； (2)因为( )2＝ 64 9 ，所以 64 9 的算术平方根是，即 64 9 ＝； (3)因为( )2＝0.81，所以0.81的算术平方根是 ，即＝；(4)因为( )2＝0.572，所以0.572的算术平方根是 ＝ . 4. 算术平方根等于自身的是 两种方法求一个数的算术平方根的近似值 方法一：二分法 1，2）之间，取（1，2）的中点 1.5，1.52=2.25， 1，1.5）之间，再取（1，1.5）中点1.25，1.252 =1.5625， （1.25，1.5）之间，再取（1.25，1.5）中点1.375，1.3752=1.890625， … … 方法二：用平方法求算术平方根的近似值 我们知道，实数的大小比较和运算，常常需要求近似值．而求算术平方根的近似值通常使用计算器，但如果我们身边没有计算器时，如何求算术平方根的近似值呢？这里，我们介绍一种用平方法求算术平方根近似值的方法． 例1 求19的近似值． 析解：因为16＜19＜25，所以4＜19＜5．因此19等于4加上一个纯小数，不妨设这个纯小数为a ．则19=4+a ． 用“平方法”得：22816)4(19a a a ++=+= 因为a 是一个纯小数，2 a 远远小于a 816+．在求19的近似值时，可以把它忽略不计．即a 81619+≈ 此时，容易求得4.0≈a 所以19精确到小数点后面第一位的近似值是4+0.4=4.4． 如果要求更准确一点的近似值． 再设19=4.4+b ，再用平方法得：228.836.19)4.4(19b b b ++=+=． 同样，由于2b 远远小于b 8.836.19+，求19的近似值时，可以把它忽略不计．即b 8.836.1919+≈．求得：04.0-≈b ． 所以19精确到小数点后面第二位的近似值是4.4+（－0.04）=4.36． 如此，进行下去，可以求得精确度更高的近似值，只是计算量会越来越大，不过我们通常要求的精确度不是很高． 掌握了以上原理之后，可以直接省略完全平方展开式中的二次项，从而使过程简化． 例2 求31的近似值． 课题: 6.1。1平方根教学目标1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。 重点、难点教学重点：算术平方根的概念。 教学难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。 教学环节教学过程师生活动 回顾旧知自主探究 1.你能求出下列各数的平方吗? 0,-1,5,2.3,- 1 5 ,-3,3,1, 1 5 2.若已知一个数的平方为下列各数,你能把这个数的取值 说出来吗? 25,0,4, 4 25 , 1 144 ,- 1 4 ,1.69 1探究1 小欧学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他 想裁出一块面积为252 dm的正方形画布，画上自己的得意之作 参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm？ 上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问 题。 定义一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么 这个正数x叫做a的算术平方根,a的算术平方根记为a,读作 “根号a”,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0. 2．探究2例1 求下列各数的算术平方根: (1) 100 (2) 1 (3) 49 64 (4) 196 (5) 0.0001 观察上面的运算可知：对所有正数，被开方数越大，对应 点算术平方根也越大 练一练1。某数的算术平方根等于它本身,则这个数为 _______;? ()26-的算术平方根是__________， 4的算术平方 根是81的算术平方根是 师生问答 情境引入学生 看课本40页，思 考问题并填表。 教师板书课 题，定义 学生思考，小 组交流，教师 点拨。算术平方根、平方根知识点
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利用平方根的定义及性质解题的几个技巧
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4.平方根
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