材料力学简单的超静定问题
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材料力学 简单的超静定问题
l1 F N 1l1 E 1 A1
FN 3 l 3 E 3 A3
FN1
FN3
a a A
A1 FN2
l3
FN 3l3 E 3 A3
(3)
(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：
F N 1l1 E1 A1
2
cos a
(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:
FN 1 FN 2 E1 A1 F cos a 2 E1 A1 cos a E 3 A3
第六章
简单的超静定问题
1
第六章
§6-1
§6-2
简单的超静定问题
超静定问题及其解法
拉压超静定问题
§6-3 §6-4
扭转超静定问题 简单超静定梁
2
§6-1
超静定问题及其解法
1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。 相应的结构称为超静定结构。
3
F N3 A3 9F 14 A [ ]
F
[F ]
14 9
14 9
[ ] A
[ ] A
11
[例6-2-4]木制短柱的四角用四个40404的等边角钢 加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和 []2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。 解：（1）以压头为研究对象, 设每 个角钢受力为FN1，木柱受力为FN2.
14
B
1
D
C
3 2
(2) 几何方程
l1 ( l 3 ) cos a
FN 3 l 3 E 3 A3
FN1
FN3
a a A
A1 FN2
l3
FN 3l3 E 3 A3
(3)
(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：
F N 1l1 E1 A1
2
cos a
(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:
FN 1 FN 2 E1 A1 F cos a 2 E1 A1 cos a E 3 A3
第六章
简单的超静定问题
1
第六章
§6-1
§6-2
简单的超静定问题
超静定问题及其解法
拉压超静定问题
§6-3 §6-4
扭转超静定问题 简单超静定梁
2
§6-1
超静定问题及其解法
1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。 相应的结构称为超静定结构。
3
F N3 A3 9F 14 A [ ]
F
[F ]
14 9
14 9
[ ] A
[ ] A
11
[例6-2-4]木制短柱的四角用四个40404的等边角钢 加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和 []2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。 解：（1）以压头为研究对象, 设每 个角钢受力为FN1，木柱受力为FN2.
14
B
1
D
C
3 2
(2) 几何方程
l1 ( l 3 ) cos a
材料力学——6简单的超静定问题
M
(x)
X
1
x
X1x, P(x
x l ), 2
l 2
x
l 2
B
l 0
M
(x)M EI
( x)dx
0
如果B处支撑为弹簧 （弹簧系数K） ？
例 P
A
l
l
2
2
BA
P
B
l
l
2
2
X1
解
M
(x)
X1
x
X1x, P(x
x l ), 2
l 2
x
静定基
l 2
x
B
l 0
M (x)M EI
(x)dx
X1 K
求解 线性方程
未知力
以一例说明解法
q
12 3
X1 X2 X3
• 静定基（含未知数）
1 0, 2 0, 3 0
• 位移协调条件
建立方程的过程
以1为例说明
X1 X2 X3
1
M (x)M1(x) dx EI
(M X1 M X2 M X3 M q )M1(x) dx EI
M X1M1 dx M X2 M1(x) dx M X3 M1(x) dx M qM1(x) dx
A
P0 =1 B
M (x) x
解： 协调条件——D截面转
角为零
A
静定基
D
/2
0
M
( )M
EI
()Rd
0
DX
P 2
二、装配应力
1、静定问题无装配应力
B
C
2、静不定问题存在装配应力
1
2
A
下图，3号杆的尺寸误差为，
《材料力学》第6章 简单超静定问题 习题解
第六章 简单超静定问题 习题解[习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。
设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则：B BD R N = F R N B CD += F R N B AC 3+=变形谐调条件为：0=∆l02=⋅+⋅+⋅EA aN EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N03)(2=++++F R F R R B B B45FR B -=（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45FN BD-= 445F F F N CD -=+-=47345FF F N AC=+-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积分别为21100mm A =，22150mm A =，23200mm A =。
试求各杆的轴力。
解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。
∑=0X030cos 30cos 01032=-+-N N N0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1)∑=0Y030sin 30sin 0103=-+F N N2013=+N N (2)变形谐调条件：设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知：00130cos 30sin x y l δδ+=∆x l δ=∆200330cos 30sin x y l δδ-=∆03130cos 2x l l δ=∆-∆2313l l l ∆=∆-∆设l l l ==31，则l l 232=223311233EA l N EA lN EA l N ⋅⋅=- 22331123A N A N A N =- 15023200100231⨯=-N N N23122N N N =-21322N N N -= (3)(1)、(2)、(3)联立解得：kN N 45.81=；kN N 68.22=；kN N 54.111=（方向如图所示，为压力，故应写作：kN N 54.111-=）。
简单的超静力问题
简单的超静定问题
20
例题 6-2
2. 取1杆和2杆为AB杆的多余约束，FN1和FN2 为多余未知力。得基本静定系如图c。
F
3
AC
B
(c)
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
21
例题 6-2
3. 由变形图（图d）可得变形相容条件为
E
(d) C Dl1 FN1
Δl1 2Δl3 Δl2 2Δl1
F
A
F
FN3
2E F 1A 1F cNo 2 3 l 1sF N E l1 3 3c A 3o s
于是可求出多余未知力FN3 。
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
例2
y
q
A
C
BxA
l/2
l/2
l
8
B
超静定梁
q
A
l/2
FC
l
基本静定系统
B 补充方程为 5ql4 FCl3 0 38E4 I 48EI
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
1
第 6 章 简单的超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法 §6-2 拉压超静定问题 §6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
2
§6-1 超静定问题及其解法
Ⅰ. 关于超静定问题的概述
(b)
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
mm×30 mm的矩形，钢的弹性
模量E=210 GPa，铜的弹性模
量E3=100 GPa。
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
29
例题 6-3
解：1. 装配后有三个未知的装配内力FN1, FN2 , FN3，如 图d所示。但平行力系只有二个独立的平衡方程，
材料力学(I)第六章
N2 y N1 N2 N3
(2) 几何方程
L2
( L3 ) cos L1
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
15
(3)、物理方程及补充方程：
FN 1L1 FN 3 L3 ( ) cos E1 A1 E3 A3
(4) 、解平衡方程和补充方程，得:
FN1 FN 2
E1 A1 cos2 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
FN 1L FN 3 L 得: cos E1 A1 cos E3 A3
5）联立①、④求解：
FN ! F
④
E 3 A3 2 co s E1 A1 co s2
FN 3
F E1 A1 1 2 co s3 E A
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
[例2-19]刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料 相同，许用应力为[σ ]，材料的弹性模量为 E，杆长 均为l，横截面面积均为A，试求各杆内力。
5
1.比较变形法 把超静定问题转化为静定问题解，但 必须满足原结构的变形约束条件。
[例2-16] 杆上段为铜,下段为钢杆，
E1 A1
A
1
上段长 1 , 截面积A1 , 弹性模量E1 下段长 2 , 截面积A2 , 弹性模量E2
杆的两端为固支,求两段的轴力。
C
E 2 A2
F
FB
B
2
（1）选取基本静定结构（静定基如图），B 解： 端解除多余约束，代之以约束反力RB
2E1 A1 cos3 FN 3 3 L3 1 2 cos E1 A1 / E3 A3
例2-22
材料力学(Ⅰ)电子教案
(2) 几何方程
L2
( L3 ) cos L1
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
15
(3)、物理方程及补充方程：
FN 1L1 FN 3 L3 ( ) cos E1 A1 E3 A3
(4) 、解平衡方程和补充方程，得:
FN1 FN 2
E1 A1 cos2 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
FN 1L FN 3 L 得: cos E1 A1 cos E3 A3
5）联立①、④求解：
FN ! F
④
E 3 A3 2 co s E1 A1 co s2
FN 3
F E1 A1 1 2 co s3 E A
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
[例2-19]刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料 相同，许用应力为[σ ]，材料的弹性模量为 E，杆长 均为l，横截面面积均为A，试求各杆内力。
5
1.比较变形法 把超静定问题转化为静定问题解，但 必须满足原结构的变形约束条件。
[例2-16] 杆上段为铜,下段为钢杆，
E1 A1
A
1
上段长 1 , 截面积A1 , 弹性模量E1 下段长 2 , 截面积A2 , 弹性模量E2
杆的两端为固支,求两段的轴力。
C
E 2 A2
F
FB
B
2
（1）选取基本静定结构（静定基如图），B 解： 端解除多余约束，代之以约束反力RB
2E1 A1 cos3 FN 3 3 L3 1 2 cos E1 A1 / E3 A3
例2-22
材料力学(Ⅰ)电子教案
材料力学
5 Pa RD a RD a 6 EI 3EI 3EI
如何得到？
A D
P
B
自行完成
C D
RD
例题 6
图示结构AB梁的抗弯刚度为EI，CD杆的抗拉刚度为EA，
已知P、L、a。求CD杆所受的拉力。
D
a
A
C
L
2
L
B
2
P
解：变形协调条件为 wC lCD
D
a
C
FC
A
( P FC ) L wC 48EI FC L lCD EA
温度应力：
FB E t A
6 1 12 . 5 10 碳素钢线胀系数为 C0
温度应力：超静定结构中，由于温度变化，使构
件膨胀或收缩而产生的附加应力。
不容忽视！！！
路、桥、建筑物中的伸缩缝 高温管道间隔一定距离弯一个伸缩节
例题 11
图示阶梯形杆上端固定，下端与支座距离=1mm， 材料的弹性模量E=210GPa，上下两段杆的横截 面面积分别为600平方毫米和300平方毫米。试 作杆的轴力图。
C
A
FA
B
L2
FC
FA FB FC qL 0
L2
M
A
0
FB
变形协调方程
L qL2 FC FB L 0 2 2
3 FB qL 16
FA 3 qL 16
C q C FC 0
7.5kNm
5qL4 FC L3 5 0 FC qL 8 384 EI Z 48EI Z
由于超静定结构能有效降低结构的内力及变形，在 工程上（如桥梁等）应用非常广泛。
●超静定问题的解法：
孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-简单的超静定问题(圣才出品)
图 6-2-4 （2）补充方程 作铰 A 的位移图，由几何关系可得变形协调方程： Δl1/sin30°＝2Δl2/tan30°＋Δl3/sin30°③ 其中，由胡克定律可得物理关系：
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Δl1＝FN1l1/EA1＝FN1l/（EA1cos30°） Δl2＝FN2l2/EA2＝FN2l/（EA2） Δl3＝FN3l3/EA3＝FN3l/（EA3cos30°） 代入式③可得补充方程： FN1l/（EA1sin30°·cos30°）＝2FN2l/（EA2tan30°）＋FN3l/（EA3sin30°·cos30°）④ （3）求解 联立式①②④，可得各杆轴力：FN1＝8.45kN，FN2＝2.68kN，FN3＝11.55kN。
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MB = 0
FN2 Leabharlann 2 2a+
FN4
2 2
a
+
FN3
2a − F ( 2 a + e) = 0 2
②
根据结构的对称性可得 FN2＝FN4③
（2）补充方程
如刚性板的位移图所示，根据几何关系可得：Δl1＋Δl3＝2Δl2④
由结构对称可知 Δl2＝Δl4，其中，由胡克定律可得各杆伸长量：
Δl1＝FN1l/EA，Δl2＝FN2l/EA，Δl3＝FN3l/EA
代入式④，整理可得补充方程：FN1＋FN3＝2FN2⑤
（3）求解
联立式①②③⑤，解得各杆轴力：
FN1
=
(1 4
−
e )F(压) 2a
FN2
=
FN4
=
F 4
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Δl1＝FN1l1/EA1＝FN1l/（EA1cos30°） Δl2＝FN2l2/EA2＝FN2l/（EA2） Δl3＝FN3l3/EA3＝FN3l/（EA3cos30°） 代入式③可得补充方程： FN1l/（EA1sin30°·cos30°）＝2FN2l/（EA2tan30°）＋FN3l/（EA3sin30°·cos30°）④ （3）求解 联立式①②④，可得各杆轴力：FN1＝8.45kN，FN2＝2.68kN，FN3＝11.55kN。
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MB = 0
FN2 Leabharlann 2 2a+
FN4
2 2
a
+
FN3
2a − F ( 2 a + e) = 0 2
②
根据结构的对称性可得 FN2＝FN4③
（2）补充方程
如刚性板的位移图所示，根据几何关系可得：Δl1＋Δl3＝2Δl2④
由结构对称可知 Δl2＝Δl4，其中，由胡克定律可得各杆伸长量：
Δl1＝FN1l/EA，Δl2＝FN2l/EA，Δl3＝FN3l/EA
代入式④，整理可得补充方程：FN1＋FN3＝2FN2⑤
（3）求解
联立式①②③⑤，解得各杆轴力：
FN1
=
(1 4
−
e )F(压) 2a
FN2
=
FN4
=
F 4
材料力学-简单超静定
1
建立力学模型
根据实际情况，选择适当的力学模型来描述系统的行为。
2
应用适当的计算方法
使用强大的计算方法，如有限元分析或解析方法，来解决超静定问题。
3
验证和优化
通过验证和优化计算结果，确保超静定结构的设计合理和可靠性。
简单超静定的应用范围和意义
建筑和桥梁设计
通过应用简单超静定材料 力学理论，可以设计出更 加稳定和安全的建筑和桥 梁结构。
2 材料创新
将超静定理论与热力学、 电磁学等领域相结合， 探索多物理场耦合的复 杂问题。
研究新型材料的超静定 特性，推动材料创新和 应用领域的进步。
3 智能结构设计
结合超静定理论和智能 材料，开发具有适应性 和自修复能力的结构。
简单超静定的相关实例分析和工程应用
实例1：桥梁设计 实例2：机械零件 实例3：材料性能
分析简单超静定桥梁的受力特点和优化设计方 法。
研究简单超静定机械零件的强度和刚度，优化 设计方案。
通过简单超静定力学模型，改进材料的性能和 可靠性。
总结和展望材料力学-简单超静定的未来 研究方向
1 多物理场耦合
材料力学-简单超静定
材料力学-简单超静定为你揭示了材料力学中的重要概念、计算方法和工程应 用。通过分析简单超静定问题，你将深入了解超静定结构的力学特性和解决 步骤。
分析简单超静定问题的背景
1 需求的复杂性
2 对刚体的限制
现实世界中，材料力学 问题往往涉及多种约束 条件和复杂的外力情况。
刚体假设无法适用于所 有情况，因此需要超静 定理论来帮助分析。
机械工程
简单超静定分析对于设计 高精度机械零件和装置具 有重要作用。
材料研究
了解材料力学的超静定现 象有助于开发新型材料和 改进现有材料的性能。
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§6-3 扭转超静定问题
第六章 简单的超静定问题
第六章 简单的超静定问题
第六章 简单的超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法 §6-2 拉压超静定问题 §6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁
目录
§6-1 超静定问题及其解法
一. 静定与超静定的概念 静定问题：若未知力（外力或内力）的个数 等于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡 方程即可解出全部未知力，这类问题称为静 定问题.相应的结构称静定结构。
、几何方程
ΔL1 ΔL2
( L3)cos1
A1
L1
L2
A
装配应力：
N3
N1 N2
A1
L3 A1
L1
L2
A
、物理方程及补充方程：
N 1L1N2L2(N 3L3)co s
EAEA EA
、解平衡方程和补充方程，得:
N1N2L 312cEo3 cAso2 Es/AEA N3L 3122cEo3A csoE3sA /EA
1Δ2l3cos
②
(3)代入物理关系，建立补充方程
1
N11 E1 A1
N1
E1 A1 cos
③
3
N3 E3 A3
13
2
A
2
1
3
A
§6-2 拉压超静定问题
(2)建立变形协调方程：如图三杆铰结， 画A节点位移图,列出变形相容条件。要 1 注意所设的变形性质必须和受力分析所 中设定的力的性质一致。由对称性知
§6-2 拉压超静定问题
例2. 结构如图，1、2杆抗拉刚度为
E1A1,3杆E 为 3A3, 在F力作用下，
求各杆内力。
解:为一次超静定。
(1) 画A结点受力图，建立平衡方程
Fx0:N1N2
①
F y 0 :2 N 1co N s3 F
13
2
A F
N1
N3
N2
A
F
§6-2 拉压超静定问题
(2)建立变形协调方程：如图三杆铰结， 画A节点位移图,列出变形相容条件。要 注意所设的变形性质必须和受力分析所 中设定的力的性质一致。由对称性知
§6-3 扭转超静定问题 例5：两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受 外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力偶矩。
解：
静力平衡方程为：mAmBm
变形协调条件为： AB AC CB 0
解：
AB AC CB 0m GAIap G mBIbp 0
联立解出： m A
a
b
b
m
mB
a
a
b
m
（3）物理方程。
BFACEF1A11()
BB AB RB(E 11 A 1E 2A 22) ()
E1 A1
C
E2 A2
1
F
2
RB B
E F 1A 11lRB(E1 l1A1El22A2) ——补充方程
§6-2 拉压超静定问题
RA A
E1 A1
C
E2 A2
1
F
2
（4）联立求解。
EF1A 11l RB(E1l1A1El22A2)
未知力个数与独立平衡方程数之差，也等于多 余约束数。由于超静定结构能有效降低结构的内力 及变形，在工程上（如桥梁等）应用非常广泛。
二、求解超静定问题的基本方法
1.静定与超静定的辩证关系 多余约束的两种作用： 增加了未知力个数，同时增加对变形的限制与约束 前者使问题变为不可解；后者使问题变为可解。
2.超静定的处理方法 ▪平衡方程 ▪变形协调方程 相结合，进行求解 （几何方程） 物理方程(体现为力与变形关系。)
3
2
1Δ2l3cos
(3)代入物理关系，建立补充方程
E1AN 1c1LosE N33A L3cos
②
A
2
1
3
A ④
§6-2 拉压超静定问题
(4)联立①、④求解：
N1
N2
2 cos
F
E 3 A3
E1 A1 cos 2
N3
1 2
F E1 A1
cos 3
E 3 A3
§6-2 拉压超静定问题
解超静定问题的步骤： 1）用约束反力代替多余约束，得到静定结构。 2）利用虎克定律建立力与变形之间的关系
（物理关系） 3）利用变形协调关系建立补充方程
（几何关系） 4）利用平衡方程，解出全部的未知反力
（平衡关系）。
II. 温度应力和装配应力
温度应力 1、静定问题无温度应力。 2、超静定问题存在温度应力。
装配应力： 超静定结构中由于加工误差，装配产生的应力。 1、静定问题无装配应力。 2、超静定问题存在装配应力。
§6-2 拉压超静定问题
I. 拉压超静定问题的解法： 1. 比较变形法
把超静定问题转化为静定问题解， 但必须满足原结构的变形约束条件。
§6-2 拉压超静定问题
§6-2 拉压超静定问题
A
E1 A1
C
E2 A2
1
F
2
B
例1. 杆上段为铜，下段为钢杆，
上段 1,截 长面 A1,弹 积性E模 1 量 下段 2,截 长面 A2,弹 积性E模 2 量
超静定问题：若未知力（外力或内力）的个 数多于独立的平衡方程的个数，仅用静力平 衡方程便无法确定全部未知力，这类问题称 为超静定问题或静不定问题.相应的结构称超 静定结构或静不定结构。
§6-1 超静定问题及其解法
§6-1 超静定问题及其解法
多余约束：
在静定结构上加上的一个或几个约束，对于维 持平衡来说是不必要的约束（但对于特定的工程要 求是必要的）称为多余约束。对应的约束反力称为 多余未知力。 超静定次数：
杆的两端为固支,求两段的轴力。
§6-2 拉压超静定问题
§6-2 拉压超静定问题
A
A
E1 A1
C
E2 A2
1
F
2
E1 A1
C
E2 A2
1
F
2
B
RB B
解：（1）选取基本静定系（或相当系统如图），
解除B端多余约束，代之以约束反力 R B
§6-2 拉压超静定问题
（2）建立变形协调方程。
A
AB BF BB 0
RARBF0
RB B
R A E 2 A E 2 1 1 A 1 E 2 F 1 A 1 2,R B E 1 A 1 E 2 2 A 2 E 1 2 F A 2 1 )
§6-2 拉压超静定问题
2. 几何分析法
解超静定问题的关键是找出求解所有未知约 束反力所缺少的补充方程。结构变形后各部分间 必须象原来一样完整、连续、满足约束条件---即满足变形相容条件。
温度应力
N1
a
a
a
a
a
a
N2
（a）
（b）
装配应力：
B 1
3
D
C 2
A1
A
B
C
12 A
例4：如图，3号杆的尺寸误差为，
求各杆的装配内力。
装配应力：B 13来自DC 2A1 A
N3
N1 N2
L3 A1
解：、平衡方程:
X N 1 si n N 2 si n 0
Y N 1 co N 2 c s o N 3 s 0