苏教版高中数学必修四课件2.4《平面向量的数量积》
当a与b反向时，a
b
|
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
||
b
|;
特别地
(4) cos
a
a
|
a
a
b
| a || b |
|2
或
|
a
|
aa
(5) | a b || a ||
a
2
b|
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a·b。
高中数学课件
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2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其 含义
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、 夹角
一般地，实数λ与向量a的积是一个向 量，记作λa，它的长度和方向规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
设 a、b 是非零向量，e是与b方向相同的
单位向量，是a与e
的夹角，则
a b | a || b | cos
(1)e
a
a
e|a
|
cos
bB
((32)当)aa与bb同向a 时b ，0a
b
|
a
||
b
|;
Oθ
A
B1a
特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
设a,b为任意向量，λ,μ为 任意实数，则有： ① λ(μa)=(λμ)a
② (λ+μ) a=λa+μa ③ λ(a+b)=λa+λb
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b的夹角。
B
θ
O
当θ＝0°时，a与b同向； O 当θ＝180°时，a与b反向； A 当θ＝90°时，称a与b垂直，
OM
Nc
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
求（a 2b ) (a 3b )。
解:
例5.已知 | a | 3,| b | 4,当且仅当k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
作业：
1、若
|
a
||
b
|
1,
a
b且2a
3b与ka
4b 也
互相垂直，求k的值。
2、设a是非零向量，且b
a·b=|a| |b| cosθ
|a| cosθ（|b| cosθ）叫 做向量a在b方向上（向 量b在a方向上）的投影。
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
a·b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ ＜90°时a·b为正； 当90°＜θ ≤180°时a·b为负。 当θ =90°时a·b为零。
(3)(a b) c a c b c
其注中：，a(a、bb)、 c c是a 任(b意 c三) 个向量， R
证明运算律(3)
向量a、b、a + b在 c上的射影的数量分 别是OM、MN、 则ON,
(a + b) ·c = ON |c|
b
a a+b
解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10
例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。
解：|a| =√2, |b|=2, θ=45 °
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2
bB
O
θ |b|cosθ B1 a
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－b·b ＝a2－b2.
例4、 已知 | a | 6,| b | 4,a与b 的夹角为
60o ,
A
a
b 等于
a
的长度
|
a
|与 b在a方向上的投影
| b | cos 的乘积。
练习：
1．若a =0，则对任一向量b，有a · b=0． √
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0． ×
3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 × 4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0×． 5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c ×
6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当
a=0 时成立．× 7．对任意向量 a 有 a2 | a |2 √
二、平面向量的数量积的运算律：
数量积的运算律：
(1)a b b a
(2)(a)
b
(a
b)
a
(b )
c,
求证：
a
b
a
c
a
(b
c)
3、用向量方法证明：直径所对的圆周
角为直角。
C
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C
为⊙分O析上：任要意证一∠点A。CB求=9证0°∠，AC只B须=9证0°向A
量AC CB ，即AC CB 0 。
B O
解：设 AO a,OC b
则 AC a b,CB a b ，
由此可得：AC CB a b a b
2
a
2
b
| a |2
| b |2
r2 r2 0
即 AC CB 0 ，∠ACB=90°
记为a⊥b.
A
A
B
O
B
B
b
Oa A
我们学过功的概念，即一个物体在力F 的作用下产生位移s（如图）
F
θ
S
力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量 “数量积”的概念。
已知两个非零向量a与b，它们的 夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积（或内积），记作a·b
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高中数学第二章平面向量2.4.1数量积的定义课件苏教版必修4
∴a·b＝|a||b|cos 0°＝|a||b|＝18. (2)a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×12＝128＝9. (3)a·b＝|a||b|cos 90°＝3×6×0＝0. 【答案】 (1)18 (2)9 (3)0
第四页，共37页。
教材整理 2 两个向量的夹角 阅读教材 P83 的有关内容，完成下列问题． 1．定义：已知两个非零向量 a，b，如图 2-4-1 所 示．作O→A＝a，O→B＝b，则__∠_A__O_B___称为向量 a 与 b 的夹角． 2．范围：__0_°≤__θ_≤__1_8_0_°__.
第十页，共37页。
[小组合作型]
向量数量积的运算及几何意义 已知|a|＝2，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，求： (1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)． 【精彩点拨】 借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)．
第十一页，共37页。
【自主解答】 (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×－12＝－3. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5. (3)(2a－b)(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2 ＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2 ＝8－15－27 ＝－34.
第十七页，共37页。
1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系， 要灵活应用 a2＝|a|2，勿忘记开方．
2．一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a －b)＝a2－b2 等．
第十八页，共37页。
[再练一题] 2．已知向量 a 与 b 夹角为 45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝ 10，则|b|＝________. 【解析】 因为|2a＋b|＝ 10， 所以(2a＋b)2＝10， 所以 4a2＋4a·b＋b2＝10， 又因为向量 a 与 b 的夹角为 45°，且|a|＝1， 所以 4|a|2＋4|a||b|cos 45°＋|b|2＝10，故 4×12＋4×1×|b|× 22＋|b|2＝10， 整理得|b|2＋2 2|b|－6＝0， 解得|b|＝ 2或|b|＝－3 2(舍去)，故|b|＝ 2.
第四页，共37页。
教材整理 2 两个向量的夹角 阅读教材 P83 的有关内容，完成下列问题． 1．定义：已知两个非零向量 a，b，如图 2-4-1 所 示．作O→A＝a，O→B＝b，则__∠_A__O_B___称为向量 a 与 b 的夹角． 2．范围：__0_°≤__θ_≤__1_8_0_°__.
第十页，共37页。
[小组合作型]
向量数量积的运算及几何意义 已知|a|＝2，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，求： (1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)． 【精彩点拨】 借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)．
第十一页，共37页。
【自主解答】 (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×－12＝－3. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5. (3)(2a－b)(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2 ＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2 ＝8－15－27 ＝－34.
第十七页，共37页。
1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系， 要灵活应用 a2＝|a|2，勿忘记开方．
2．一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a －b)＝a2－b2 等．
第十八页，共37页。
[再练一题] 2．已知向量 a 与 b 夹角为 45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝ 10，则|b|＝________. 【解析】 因为|2a＋b|＝ 10， 所以(2a＋b)2＝10， 所以 4a2＋4a·b＋b2＝10， 又因为向量 a 与 b 的夹角为 45°，且|a|＝1， 所以 4|a|2＋4|a||b|cos 45°＋|b|2＝10，故 4×12＋4×1×|b|× 22＋|b|2＝10， 整理得|b|2＋2 2|b|－6＝0， 解得|b|＝ 2或|b|＝－3 2(舍去)，故|b|＝ 2.
苏教版高中数学必修四课件平面向量数量积及其应用.pptx
y
o
x B
小结：向量有数和形两种表示方法，有时，数形结合 可使问题的解决更加方便
例四.数量积二第15题
已知r ：rar ， 3存,1在,brr实ur 12 ,数23 r和，r 使
r
k ur
得，x 且a ，t2试3求b,的y ka tb x y
t
k t2 t
最小值。
分析：本题是涉及两个字母的最值问题，且不可用 基本不等式，所以考虑利用等量关系互相表示， 转变为关于其中一个字母的函数来处理.
rr
解右边不等式可得<a0g,b但左边不等式解答比
较复杂，所以，我们可以考虑在余弦小
于0的情况下去掉夹角为180度的情况，
即去掉两向量平行的情况，所以本题的
解答如下：
由且即题 （ 且4k ar≠意 ）k2aur： 与6br22（ （bur ） ）3kk au（不r 8）平ar2gbubrr行<400aurg
为.如图所1示20，o 点在以为圆心C的圆弧O上变动.
若其中,A求B的最大值.
uuur OC
uuur xOA
uuur yOB
x, y R
x y
分均析为：1因，为且三已个知向与Ou量uAur的的夹模Ou角uBur ， B
C
所以，本题可以考虑利
用向量数量积将向量转
O
化为实数，同时可将用
A
三角函数x 表y示出来，解
解答如下:
由条件得：ar ， 2，, br 由1 ，ar得gbr 0
=0ar， t即2
3
r b
g
k
r a
r tb
=0，kar 2
(t
3
3t
r2 )b
高中数学苏教版必修四同步课件：第2章 2.4 向量的数量积 2.4 第1课时
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，即当a与b共 线时，|a·b|＝|a||b|，此性质可用来证明向量共线． (3)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝ a2 ，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运 算与向量运算的相互转化． (4)cos θ＝|aa|·|bb|，此性质可求a与b的夹角或直线的夹角，也可利用夹角取 值情况建立方程或不等式用于求参数的值或范围．
但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去． 综上，k的取值范围为k>0且k≠1.
解析答案
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1 234 5
1.下面给出的关系式中正确的个数是__3___． ①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
b2＝(2e2－3e1)2＝4e22－12e1·e2＋9e21＝7，
∴|a|＝|b|＝
7，则 cos θ＝|aa|·|bb|＝
－72 7×
7＝－12.
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 (1)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b， 且b⊥c，则t＝__2__. 解析 由题意，将b·c＝[ta＋(1－t)b]·b整理，得ta·b＋(1－t)＝0， 又a·b＝12，所以t＝2.
解析 ①②③正确，④错误，⑤错误， (a·b)2＝(|a||b|·cos θ)2＝a2·b2cos2 θ＝a2·b2不一定成立， 当且仅当θ＝0或π时成立．
解析答案
1234 5
2.已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为 _2__3_． 解析 ∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2 ＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12， ∴|a－4b|＝2 3.
苏教版2017高中数学(必修四)第2章2.4向量的数量积(二) PPT课件
第2章
平面向量
[解析 ]
(1)因为 2a＋b＝ (3，1)，所以与它同向的单位向量
3 10 10 的坐标是 ( ， )． 10 10 (2)b－3a＝ (－ 2， 1)，所以 (b－3a)· a＝－ 2， |b－3a|＝ 5， （ b－ 3a） · a －2 所以 b－ 3a 与 a 夹角的余弦值为 ＝ ＝－ |b－ 3a||a| 5 2 5 . 5
x2＋y2
____________．
第2章
平面向量
3．两点间距离公式 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
（x2－x1）2＋（y2－y1）2 → |AB|＝_______________________________．
4．向量的夹角公式 设 a＝ (x1，y1)，b＝ (x2，y2)，且 a≠0，b≠0，a 与 b 夹角为 θ， x1x2＋ y1y2 a· b 则 cos θ＝ ＝ 2 2 . 2 2 |a||b| x1＋ y1· x2＋ y2
第2章
平面向量
2．4 向量的数量积(二)
第2章
平面向量
学习导航
1.了解平面向量数量积的坐标表示． 学习 2．理解平面向量数量积的坐标运算．(重点) 目标 3．掌握利用平面向量的数量积求向量的夹角、平 行、垂直等问题．(重点、难点)
平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运 算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不 学法 同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时, 指导 平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥 梁,成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具.
a a 2 2 解析：由于单位向量 a0＝ ，且 |a|＝ x ＋ y ，所以 a0＝ |a| |a| ＝ 1 x ＋y
高中数学第二章平面向量2.4向量的数量积(1)课件苏教版必修4
第十四页，共31页。
方法归纳 (1)此类求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联 系要灵活应用 a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2 或|a|＝ a2，此性质可用来求向量的模，可 以实现实数运算与向量运算的相互转化． (3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋ b)·(a－b)＝a2－b2 等．
第十五页，共31页。
2.若向量(xiàngliàng)a与向量(xiàngliàng)b的夹角为60°，|b|＝4，(a ＋2b)·(a－3b)＝－72.求： (1)|a|；(2)|a＋b|；(3)|a－b|.
解：(1)∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72， ∴a2－a·3b＋2b·a－6b2＝－72， ∴a2－|a||b|cos 60°－6b2＝－72， ∴|a|2－|a|×4×12－6×42＝－72， ∴|a|2－2|a|－24＝0，∴(|a|＋4)(|a|－6)＝0， ∴|a|＝6.
方法归纳 (1)求向量a，b夹角的流程图：
(2)由于|a|，|b|及a·b都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及 a·b的相应等式(děngshì)中,可用方程的思想求解(或表示)未 知量.
第二十页，共31页。
3.已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直(chuízhí)，a－4b 与7a－2b垂直(chuízhí)，求a与b的夹角．
4.四边形 ABCD 中，A→B＝a，B→C＝b，C→D＝c，D→A＝d，且
a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形 ABCD 是什么图形？ 解：四边形 ABCD 是矩形，这是因为： 一方面：∵a＋b＋c＋d＝0， ∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2， 即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＋|d|2， 由于 a·b＝c·d， ∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2，① 同理有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2, ②
方法归纳 (1)此类求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联 系要灵活应用 a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2 或|a|＝ a2，此性质可用来求向量的模，可 以实现实数运算与向量运算的相互转化． (3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋ b)·(a－b)＝a2－b2 等．
第十五页，共31页。
2.若向量(xiàngliàng)a与向量(xiàngliàng)b的夹角为60°，|b|＝4，(a ＋2b)·(a－3b)＝－72.求： (1)|a|；(2)|a＋b|；(3)|a－b|.
解：(1)∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72， ∴a2－a·3b＋2b·a－6b2＝－72， ∴a2－|a||b|cos 60°－6b2＝－72， ∴|a|2－|a|×4×12－6×42＝－72， ∴|a|2－2|a|－24＝0，∴(|a|＋4)(|a|－6)＝0， ∴|a|＝6.
方法归纳 (1)求向量a，b夹角的流程图：
(2)由于|a|，|b|及a·b都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及 a·b的相应等式(děngshì)中,可用方程的思想求解(或表示)未 知量.
第二十页，共31页。
3.已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直(chuízhí)，a－4b 与7a－2b垂直(chuízhí)，求a与b的夹角．
4.四边形 ABCD 中，A→B＝a，B→C＝b，C→D＝c，D→A＝d，且
a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形 ABCD 是什么图形？ 解：四边形 ABCD 是矩形，这是因为： 一方面：∵a＋b＋c＋d＝0， ∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2， 即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＋|d|2， 由于 a·b＝c·d， ∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2，① 同理有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2, ②
高中数学 2.4向量的数量积课件 苏教版必修4
c 而言，(a·b)c＝a(b·c)未必成立．这是因为(a·b)c 表示一个与
栏 目
链
c 共线的向量，而 a(b·c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一 接
定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立．
第十四页，共28页。
知识点3 向量(xiàngliàng)的模
设 a＝(x，y)，|a|2＝a·a＝(x，y)·(x，y)＝x2＋y2，故|a|＝
(2)a⊥b⇔a·b＝0；
链 接
(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a|·|b|；
当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a|·|b|；
特别地，a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a＝ a2，a·a 也可记作 a2.
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
第十一页，共28页。
2．数量积的运算律．
已知 a，b，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
θ的乘积．这个投影值可正可负也可为零，
栏 目
链
所以我们说向量的数量积的结果是一个实数．
接
第十页，共28页。
知识点2 数量(shùliàng)积的性质及运 算律 1．数量积的重要性质．
设 a 与 b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是 a 与 e 的夹角．
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；
栏
目
答案：120°
栏 目
◎规律总结：本题涉及向量的加法、向量的模、向量垂直的等 链
接
价条件、向量的夹角和向量的数量积等基础知识．法一是通常方法； 法二将数学符号语言转化为图形语言，由平面几何知识快速得到答 案．无图考图，体现了数形结合思想的灵活运用．
第二十一页，共28页。
变式
(教师用书)高中数学 2.4 向量的数量积配套课件2 苏教版必修4
3 x＝ 2 ， 解得 y＝1 2
3 x＝－ 2 ， 或 y＝－1. 2
3 1 3 1 所以 b＝( ， )或 b＝(－ ，－ )． 2 2 2 2 → → 法二 设向量 b＝(x，y)，依题意，OA· OB＝0， → → |OA|＝|OB|， 则(a－b)· (a＋b)＝0， |a－b|＝|a＋b|，
●教学流程设计
演示结束
1.理解平面向量数量积的坐标表示，会用向量的 坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹 课标解读 角．(重点) 2.会用两个向量的坐标判断它们的垂直关系． 3.增强运用向量法与坐标法处理向量问题的意 识．(难点)
平面向量数量积的坐标表示
【问题导思】 i，j 分别是 x 轴、y 轴上的单位向量，a＝x1i＋y1j，b＝ x2i＋y2j，如何求 a· b?
已知向量 a＝(1,2)，b＝(3,4)，求 a· b，(a－b)· (2a＋3b)．
【解】
法一
∵a＝(1,2)，b＝(3,4)，
∴a· b＝(1,2)· (3,4)＝1×3＋2×4＝11， (a－b)· (2a＋3b)＝2a2＋a· b－3b2＝2|a|2＋a· b－3|b|2＝2(12 ＋22)＋11－3(32＋42)＝－54.
∴a· b＝2×(－1)＋4×2＝6， ∴c＝a－(a· b)· b＝(2,4)－6(－1,2) ＝(2,4)－(－6,12) ＝(2＋6,4－12)＝(8，－8)， ∴|c|＝ 82＋－82＝8 2.
1． 进行数量积运算时， 要正确使用公式 a· b＝x1x2＋y1y2， 并能灵活运用以下几个关系： |a|2＝a· a. (a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2. (a＋b)2＝|a|2＋2a· b＋|b|2. 2．利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应 当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量 坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程组来 进行求解．
高一数学苏教版必修4课件：2.4 向量的数量积(三)
28
1234
4.已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R. (1)若a⊥b，求x的值； 解 若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋ x(－x)＝0， 即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
2.4 向量的数量积(二)
29
1234
(2)若a∥b，求|a－b|. 解 若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解 得x＝0或x＝－2. 当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2. 当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
AD 为 BC 边上的高，求|A→D|与点 D 的坐标.
解 设D点坐标为(x，y)， 则A→D＝(x－2，y＋1)，B→C＝(－6，－3)， B→D＝(x－3，y－2)，
2.4 向量的数量积(二)
20
∵D 在直线 BC 上，即B→D与B→C共线， ∴－6(y－2)＋3(x－3)＝0，即x－2y＋1＝0.① 又∵AD⊥BC，∴A→D·B→C＝0，
积相等，横横纵纵积相反.
2.4 向量的数量积(二)
4
2.
你
能
用
向
量
法
推
导
两
点
间
距
离
公
式
|
→ AB
|
＝
x2－x12＋y2－y12吗？ 答 A→B＝(x2－x1，y2－y1)， ∴A→B·A→B＝A→B2＝|A→B|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2， 即|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12.
∴(a＋b)·(2a－b)＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8.
2.4 向量的数量积(二)
高一数学苏教版必修4课件：2.4 向量的数量积(一)
求|a－b|.
解 ∵|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42，
∴a2＋2a·b＋b2＝16.①
∵|a|＝2，|b|＝3，∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，
代入①式得4＋2a·b＋9＝16，得2a·b＝3.
又∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10，
∴|a－b|＝ 10.
2.4 向量的数量积(一)
2.4 向量的数量积(一)
19
方法二 ∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)，
a＋b＋c2－a2＋b2＋c2
∴a·b＋b·c＋c·a＝
2
0－32＋12＋42
＝
2
＝－13.
2.4 向量的数量积(一)
20
要点三 与向量的模有关的问题 例3 已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的取值范围. 解 方法一 ∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7，即|a－b|的取值范围是[1,7]. 方法二 ∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cos θ＝25－24cos θ， θ为两向量a、b的夹角，∴θ∈[0，π]， ∴|a－b|2∈[1,49]，∴|a－b|∈[1,7].
2.4 向量的数量积(一)
27
代入①②中任一式得a2＝b2. 设 a，b 夹角为 θ，则 cos θ＝|aa|·|bb|＝21|bb|22＝12.
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
2.4 向量的数量积(一)
28
当堂检测
当堂训练，体验成功
1234
1.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向 上的投影为___－_2____. 解析 b在a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝4×cos 120°＝ －2.
高中数学必修四[苏教版]2.4《向量的数量积》ppt课件2
l1
:
x
2
y
0和l2:
:
x
3y
0,
求直线
l1和l
的夹角。
2
归纳整理，整体认识：
1．平面向量数量积的坐标公式；向量垂直的坐标表示的条件， 复习向量平行的坐标表示的条件；
2．向量长度（模）的公式及两点间的距离公式和夹角公式．
(1)设a,bc是任意的非零向量，且相互不共线，有下列命题： （1）（a b)c (c a)b 0
高中数学 必修4
复习回顾：
(1) 平面向量的坐标表示？ （2）平面向量的坐标运算？ （3）向量平行的坐标表示？
创设情景，揭示课题：
提出问题：向量的数量积 能否用坐标表示？
学生活动：
提出问题：设
j
a(
是y
x1, y1), b (x2 , y2 ) ，设 i 轴上的单位向量，试用
是
x轴上的单 位向 量，
i ，j 表示 a 和 b ．
a x1i y1 j,b x2i y2 j
2
2
a
b
(x1i
y1
j)(x2
i
y2
j)
又 i i 1，j
j
x1x2
i
1 ，i
j
x1
y2
i
j
j i 0
y1x2
j
i
y1 y2
j
从而得向量数量积的坐标表示公式： a b x1x2 y1 y2
建构数学：
例题讲解：
例2 在△ABC中，设 AB (2,3) ，AC (1, k) ，且△ABC是直角三角形，
求k的值.
变式：已知 A(1, 2), B(2,3),C(2,5) ，求证 ABC 是直角三角形．