2016年北京高考数学真题及答案(理科)

数学（理）（北京卷） 第 1 页（共 11 页）绝密★启封并使用完毕前2016年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则AB =（A ）{0,1} （B ）{0,1,2} （C ）{1,0,1}-（D ）{1,0,1,2}-（2）若,x y 满足20,3,0,x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥ 则2x y +的最大值为（A ）0 （B ）3 （C ）4（D ）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4数学（理）（北京卷） 第 2 页（共 11 页）（4）设,a b 是向量．则“||||=a b ”是“||||+=-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知,R x y ∈，且0x y >>，则（A ）110x y-> （B ）sin sin 0x y ->（C ）11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（D ）ln ln 0x y +>（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）16（B ）13（C ）12（D ）1（7）将函数πsin(2)3y x =-图象上的点π(,)4P t 向左平移s (0)s >个单位长度得到点P '．若P '位于函数sin 2y x =的图象上，则 （A ）12t =，s 的最小值为π6 （B）t =，s 的最小值为π6 （C ）12t =，s 的最小值为π3（D）t =，s 的最小值为π3（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 （A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题 共110分）正（主）视图数学（理）（北京卷） 第 3 页（共 11 页）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（ 9 ）设a ∈R ．若复数(1i)(i)a ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a = ． （10）在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为 ．（用数字作答）（11）在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点，则||AB = ．（12）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若16a =，350a a +=，则6S = ． （13）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为正方形OABC 的边,OA OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a = ． （14）设函数33,,()2,.x x x a f x x x a ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤① 若0a =，则()f x 的最大值为 ；② 若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 ．数学（理）（北京卷） 第 4 页（共 11 页）PDA B三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）在ABC △中，222a c b +=． （Ⅰ）求B ∠的大小；cos A C +的最大值．（16）（本小题13分）A,B,C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：（Ⅰ）试估计C 班的学生人数；（Ⅱ）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （Ⅲ）再从A,B,C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25（单位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小．（结论不要求证明）（17）（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（Ⅰ）求证：PD ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．数学（理）（北京卷） 第 5 页（共 11 页）（18）（本小题13分）设函数()e a x f x x bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+． （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间．（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB △的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：||||AN BM ⋅为定值．（20）（本小题13分）设数列12:,,,N A a a a (2)N ≥．如果对小于(2)n n N ≤≤的每个正整数k 都有k n a a <，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”．记()G A 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合． （Ⅰ）对数列:2,2,1,1,3A --，写出()G A 的所有元素； （Ⅱ）证明：若数列A 中存在n a 使得1n a a >，则()G A ≠∅；（Ⅲ）证明：若数列A 满足11n n a a --≤(2,3,,)n N =，则()G A 的元素个数不小于1N a a -．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）绝密★考试结束前数学（理）（北京卷） 第 6 页（共 11 页）2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）C （3）B （4）D （5）C（6）A（7）A（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （ 9 ）1-（10）60 （11）2 （12）6 （13）2（14）2(,1)-∞-三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理及题设得222cos 2a c b B ac +-===．又因为0πB <∠<， 所以π4B ∠=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3π4A C ∠+∠=．cos A C+3πcos()4A A +-A A A =A A =πcos()4A =-．因为3π04A <∠<， 所以当π4A ∠=cos A C +取得最大值1．数学（理）（北京卷） 第 7 页（共 11 页）（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名．根据分层抽样方法，C 班的学生人数估计为81004020⨯=． （Ⅱ）设事件i A 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，1,2,,5i =， 事件j C 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，1,2,,8j =．由题意可知，1(),1,2,,55i P A i ==；1(),1,2,,88j P C j ==． 111()()()5840i j i j P AC P A P C ==⨯=，1,2,,5i =，1,2,,8j =．设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”．由题意知， 1112212223313233E AC AC A C A C A C A C A C A C =414243A C A C A C 51525354A C A C A C A C .因此1112212223()()()()()()P E P AC P AC P A C P A C P A C =++++313233()()()P A C P A C P A C +++414243()()()P A C P A C P A C +++ 51525354()()()()P A C P A C P A C P A C ++++1315408=⨯=．（Ⅲ）10μμ<．（17）（共14分）解：（Ⅰ）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ． 所以AB PD ⊥． 又因为PA PD ⊥， 所以PD ⊥平面PAB ．（Ⅱ）取AD 的中点O ，连结,PO CO ．因为PA PD =， 所以PO AD ⊥．又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．数学（理）（北京卷） 第 8 页（共 11 页）因为CO ⊂平面ABCD ， 所以PO CO ⊥． 因为AC CD =， 所以CO AD ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(2,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,1)P ．设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,PD PC −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即0,20.y z x z --=⎧⎨-=⎩令2z =，则1x =，2y =-． 所以(1,2,2)=-n ． 又(1,1,1)PB −−→=-，所以cos ,||||PBPB PB −−→−−→−−→⋅〈〉==n n n ． 所以直线PB 与平面PCD． （Ⅲ）设M 是棱PA 上一点，则存在[0,1]λ∈使得AM AP λ−−→−−→=．因此点(0,1,)M λλ-，(1,,)BM λλ−−→=--．因为BM ⊄平面PCD ，所以//BM 平面PCD 当且仅当0BM −−→⋅=n ， 即(1,,)(1,2,2)0λλ--⋅-=． 解得14λ=． 所以在棱PA 上存在点M 使得//BM 平面PCD ，此时14AM AP =．D数学（理）（北京卷） 第 9 页（共 11 页）（18）（共13分）解：（Ⅰ）因为()e a x f x x bx -=+，所以()(1)e a x f x x b -'=-+．依题设，(2)2e 2,(2)e 1,f f =+⎧⎨'=-⎩ 即222e 22e 2,e e 1.a ab b --⎧+=+⎪⎨-+=-⎪⎩ 解得2a =，e b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知2()e e x f x x x -=+．由21()e (1e )x x f x x --'=-+及2e 0x ->知，()f x '与11e x x --+ 同号． 令1()1e x g x x -=-+，则1()1e x g x -'=-+．所以，当(,1)x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 在区间(,1)-∞上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在区间(1,)+∞上单调递增． 故(1)1g =是()g x 在区间(,)-∞+∞上的最小值， 从而()0g x >，(,)x ∈-∞+∞．综上可知，()0f x '>，(,)x ∈-∞+∞．故()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞．（19）（共14分）解：（Ⅰ）由题意得22211,2,c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩解得2a =，1b =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(2,0)A ，(0,1)B ．设00(,)P x y ，则220044x y +=． 当00x ≠时， 直线PA 的方程为00(2)2y y x x =--． 令0x =，得0022M y y x =--，从而002|||1|12M y BM y x =-=+-．数学（理）（北京卷） 第 10 页（共 11 页）直线PB 的方程为0011y y x x -=+． 令0y =，得001N x x y =--，从而00|||2|21N xAN x y =-=+-．所以00002||||2112x y AN BM y x ⋅=+⋅+-- 2200000000004448422x y x y x y x y x y ++--+=--+00000000448822x y x y x y x y --+=--+4=．当00x =时，01y =-，||2BM =，||2AN =， 所以||||4AN BM ⋅=． 综上，||||AN BM ⋅为定值．（20）（共13分）解：（Ⅰ）()G A 的元素为2和5．（Ⅱ）因为存在n a 使得1n a a >，所以1,{2}i i N i a a ∈>≠∅N ≤≤*．记1,min{2}i i N m i a a =∈>N ≤≤*，则2m ≥，且对任意正整数k m <，1k m a a a <≤． 因此()m G A ∈．从而()G A ≠∅．（Ⅲ）当1N a a ≤时，结论成立．以下设1N a a >． 由（Ⅱ）知()G A ≠∅． 设12(){,,,}p G A n n n =，12p n n n <<<．记01n =．则012p n n n n a a a a <<<<．对0,1,,i p =，记{|,}i i i k n G k n k N a a =∈<>N ≤*．如果i G ≠∅，取min i i m G =，则对任何1i k m <≤，i i k n m a a a <≤．数学（理）（北京卷） 第 11 页（共 11 页） 从而()i m G A ∈且1i i m n +=． 又因为p n 是()G A 中的最大元素，所以p G =∅． 从而对任意p N n k ≤≤，p k n a a ≤，特别地，p N n a a ≤． 对0,1,,1i p =-，11i i n n a a +-≤． 因此111111()1i i i i i n n n n n a a a a a ++++--=+-+≤． 所以1111()p i i p N n n n i a a a a a a p -=--=-∑≤≤． 因此()G A 的元素个数p 不小于1N a a -．。