第3章 随机信号分析
随机信号分析 第三章平稳随机过程(2)
- -
f(t1 ) X (t2 t1 ) f (t2 )dt1dt2 0 R
3.2.2平稳随机过程互相关函数的性质
性质1:R XY (0)=R YX (0),R XY (0)表随机过程在同一时刻的相关性
性质2：一般情况下，互相关 函数是非奇非偶的函数 RXY ( ) RYX ( ).
如果两个复随机过程各 自平稳且联合平稳，则 RZ1Z 2 (t , t ) RZ1Z 2 ( ) CZ1Z 2 (t , t ) CZ1Z 2 ( )
如果CZ1Z 2 (t , t ) 0, 则称Z1 (t )与Z 2 (t )为不相关过程。 如果RZ1Z 2 (t , t ) 0，则称Z1 (t )与Z 2 (t )为正交过程。
R XY ( )=E[X(t)Y(t+ )]=E[Y(t+ )X(t)]=R YX (- )
性质3 : 互相关函数幅度平方满 | RXY ( ) |2 RX (0) RY (0) 足： 互协方差函数满足： XY ( ) |2 C X (0)CY (0) 2 X 2Y |C
(2)相关时间 | X ( 0 )|=0.05,的时间为相关时间 0。
（3）互相关系数 定义X(t)和Y(t) 的互相关系数为 PXY ( ) R XY ( ) XY ( )= = 1 R X (0)R Y (0) X Y
3.6复随机过程
3.6.1复随机变量 如果X和Y分别是实随机变量，定义Z＝X＋jY 为复随机变量。 复随机变量的数学期望在一般情况下是复数： mZ=E[Z]=E[X]+j E[Y]=mX+jmY
方差则为
2 Z＝E[| ( X mX ) j (Y mY ) |2 ] D[ X ] D[Y ]
随机信号分析第3章-平稳性与功率谱密度
8
a) 一般在实际应用中，只要产生随机信号 的主要物理条件，在时间进程中不发生变化。 则此信号就可以认为是平稳的。例如：在电子 管中由器件的“颗粒效应”引起的散弹噪声， 由于产生此噪声的主要物理条件不变，所以此 噪声可以认为是平稳的。
b)另一方面，对于有些非平稳随机信号， 可以根据需要，如果它在观测时间段内是平稳 的，就可以在该时间段内把信号视作平稳的随 机信号来处理。
（5）若自相关函数 R( ) 关于 在原点连续， 则它是关于 处处连续。
看书上图3.3，P71
22
例 如图所示，随机信号X(t)与A(t)相加。 X(t) 与A(t)相互独立，且其中之一均值为零。试求 它们之和Y(t)的自相关函数与X(t)，A(t)的自相 关函数之间的关系。
解：Y (t) X (t) A(t)
13
联合广义平稳
定义：随机信号X (t),t T与Y(t),t T，如果
单个是广义平稳的，且其互相关函数存在，并
与两时刻 t1,t2 的绝对值无关，只与相对差
t1 t2有关，即 RXY (t1, t2 ) RXY (t , t) RXY ( )
则称X(t)与Y(t)具有联合广义平稳性。
cos(2t
2)
1 2
RX
(
)
cos(
)
所以，Y(t)广义平稳。
16
§3.3 广义平稳随机信号的相关函数
一、自相关函数与协方差函数
R( ) E X (t )X (t)
x1x2 f (x1, x2;t , t)dx1dx2
C( ) E X (t ) m X (t) m
R(t1,t2 ) R(t1 t,t2 t) 自相关函数平稳
随机信号分析与处理(第2版)
随机信号分析与处理（第2版）概述本文档介绍了随机信号分析与处理（第2版）的主要内容。
随机信号是一种在时间上或空间上具有随机性质的信号，在诸多领域中都有广泛的应用，如通信、图像处理、控制系统等。
随机信号的分析和处理对于了解其性质、提取有用信息以及设计有效的处理算法都是必不可少的。
主要内容第一章：随机信号的基本概念本章介绍了随机信号的基本概念和特性，包括随机信号的定义、概率密度函数、均值、方差等。
通过对随机信号的特性分析，可以为后续的分析和处理提供基础。
第二章：随机过程本章讨论了随机过程的定义和性质。
随机过程是一类具有随机性质的信号集合，其在时间上的取值不确定，但具有统计规律性。
通过对随机过程的分析，可以了解其演化规律和统计性质。
本章介绍了随机信号的表示与分解方法。
随机信号可以通过不同的数学模型进行表示，如傅里叶级数、傅里叶变换、小波变换等。
通过将随机信号进行分解，可以提取出其中的有用信息。
第四章：随机信号的功率谱密度本章研究了随机信号的功率谱密度。
功率谱密度描述了随机信号在频率域上的分布，通过分析功率谱密度可以获得随机信号的频率特性和频谱信息。
第五章：随机信号的相关与协方差本章讨论了随机信号的相关与协方差。
相关是用来描述随机信号之间的依赖关系，协方差是用来描述随机信号之间的线性关系。
通过分析随机信号的相关与协方差，可以研究信号之间的相关性和相关结构。
本章介绍了随机信号的滤波和平均处理方法。
滤波是用来抑制或增强随机信号中的某些频率分量，平均则是通过对多次采样的随机信号进行求平均来减小随机性。
第七章：随机信号的参数估计本章研究了随机信号的参数估计方法。
参数估计是通过对随机信号进行采样和分析，通过估计参数来了解信号的统计性质和特征。
第八章：随机信号的检测和估计本章讨论了随机信号的检测和估计方法。
检测是用来判断随机信号的存在或不存在，估计是通过对随机信号的采样和分析来估计信号的参数。
第九章：随机信号的最优滤波本章研究了随机信号的最优滤波方法，最优滤波是通过优化设计滤波器来最小化系统误差或最大化输出信噪比。
随机信号分析第三章new
因而，我们根据定义式，求得过程X (t) 的均值，自相关函数和均 方值分别为
mX (t ) E[ X (t )] E[ cos(0t )]
2 0
1 cos(0t ) d 0 2
过程X( t )的均值为“0”（常数），
R X (t1 , t 2 ) R X (t , t ) E[ X (t ) X (t )] E[ cos( 0 t ) cos( 0 (t ) )]
1 x(t ) x(t ) Rx ( ) lim T 2T
T
T
x(t ) x(t ) dt f ( )
其结果 f ( ) 是个确定的时间函数。
若对随机过程 X ( , t ) 求时间自相关，则
X (t ) X (t ) X (t ) X (t ) RX ( ) 1 T 1 lim T X (t ) X (t )dt Tlim 2T T 2T f ( , )
例3.1 设随机过程 X (t ) cos(0t )
式中， , 0 皆为常数， 是在 (0,2 )上均匀分布的随机变量。
试问： X( t )是否是平稳随机过程？为什么？ 解：由题意可知，随机变量 的概率密度为
1 / 2 , f ( ) 0,
0 2 其他
1
说明
要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳? 是很困难的 一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在 时间进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。 另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它 在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段 上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内，认为 是平稳过程。 一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的 平稳问题。即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题
随机信号分析(第3版)第三章 习题答案
⎧8δ (ω ) + 20(1 − ω /10), （2） S (ω ) = ⎨ 0, ⎩ 求它们的自相关函数和均方值。 解：(1)
(4) 否， R Y (0) = −1 在原点不是非负 (5)是 3.15 3.16 已 知 随 机 过 程 X (t ) 和 Y (t ) 独 立 且 各 自 平 稳 ， 自 相 关 函 数 为 RX (τ ) = 2e − τ cos ω0τ 与 RY (τ ) = 9 + exp(−3τ 2 ) 。令随机过程 Z (t ) = AX (t )Y (t ) ，其中 A 是均值为 2，方差为 9 的随机变量，且与 X (t ) 和 Y (t ) 相互独立。求过程 Z (t ) 的 均值、方差和自相关函数。 解： (6) 是 (7) 是 (8) 是
2 2 3.14 对于两个零均值广义平稳随机过程 X ( t ) 和 Y ( t ) ， 已知 σ X = 5 ，σY = 10 ，
问下述函数可否作为自相关函数，为什么？ （1） RX (τ ) = 5u (τ ) exp ( −3τ ) ； （3） RY (τ ) = 9 (1 + 2τ 2 ) ； ⎡ sin ( 3τ ) ⎤ （5） RX (τ ) = 5 ⎢ ⎥ ； ⎣ 3τ ⎦ （6） RX (τ ) = 5 exp(− τ ) ； 解：根据平稳随机信号相关函数的性质， (1)否，非偶函数 (2)否，非偶函数 (3) 否， R Y (0) = 9 ≠ σ 2Y
3.6 给定随机过程 X ( t ) = A cos (ω 0t ) + B sin (ω 0t ) ，其中 ω 0 是常数， A 和 B 是 两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为 σ 2 。证明 X ( t ) 是广义平 稳而不是严格平稳的。 3.6 证明：Q m X (t ) = E[X(t )] = E[ A cos(ω 0 t ) + B sin(ω 0 t) ] = 0
随机信号分析(第3版)第三章 习题答案
Z (t )的均值: E[ Z (t )] = E[ A ⋅ X (t ) ⋅ Y (t )] = E[ A] ⋅ E[ X (t )] ⋅ E[Y (t )] = 2 E[ X (t )] ⋅ E[Y (t )]
2 mX = RX (∞) = lim
2 cos ω0τ = 0 → mX = 0 τ →∞ eτ
⎡ 2 1.3 0.4 __ ⎤ ⎢ __ 2 1.2 0.8⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0.4 1.2 __ 1.1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0.9 __ __ 2 ⎦ 3.12 解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性，得到： ⎛ 2 1.3 0.4 0.9 ⎞ ⎜ 1.3 2 1.2 0.8 ⎟ ⎟ C= ⎜ ⎜ 0.4 1.2 2 1.1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.9 0.8 1.1 2 ⎠ 3.13
= E[100 sin 2 (ω 0 t + θ ) ×100 sin 2 (ω 0 t + ω 0τ + θ ) ] = 2500 E[1 − cos(2ω 0τ ) − cos(4ω 0 t + 2ω 0τ + 4θ )] = 2500 E[1 − cos(2ω 0τ ) ] ∴ R Z (τ ) 仅与 τ 有关，且均值为常数，故 Y(t ) 是平稳过程。
3.6 给定随机过程 X ( t ) = A cos (ω 0t ) + B sin (ω 0t ) ，其中 ω 0 是常数， A 和 B 是 两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为 σ 2 。证明 X ( t ) 是广义平 稳而不是严格平稳的。 3.6 证明：Q m X (t ) = E[X(t )] = E[ A cos(ω 0 t ) + B sin(ω 0 t) ] = 0
随机信号分析基础第三章课后答案
第三章，平稳随机过程的n 维概率密度不随时间平移而变化的特性，反映在统计特征上就是其均值不随时间的变化而变化，mx 不是t 的函数。
同样均方值也应是常数。
（2）二维概率密度只与t1,t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关。
因此平稳过程的自相关函数仅是单变量tao 的函数。
则称他们是联合宽平稳的。
第三章Chapter 3 ==========================================3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。
解：由题意可得:()[]()()002121020222220002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()120212021202021202022212020220210120220222020100222222002010212121221122102122121212212122222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。
随机信号分析(常建平 李海林版)课后习题答案
由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。
给大家造成的不便，敬请谅解随机信号分析 第三章习题答案、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。
求（1）证明X(t)是平稳过程。
（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。
（3）画出该随机过程的一个样本函数。
（1）（2）3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解[][]()[]2()cos 211,cos 5cos 22X E X t E A E t B A B R t t EA τττ=++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立()()()21521()lim2TT T E X t X t X t X t dt AT-→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程()()[]()()4112211222222242'4(1)24()()444(0)41132(1)224414414(2)121tan 13224X X XE X t G d RFG F e R G d d d arc x x ττωωωωωππωωπωωπωπωω∞----∞∞-∞-∞∞--∞∞⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦====+==⎛⎫+ ⎪==⎣⎦=++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一()方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功)2d ω=3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。
证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-[][]:()[()()]{()()}{()(}2()()()()()()()()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j T R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-⇒⇒=+=--+-+-=--=+=-⇔⇔∴=-+-=已知平稳过程的表达式利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳换的延时特性2()2()22()(1cos )j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为216()16X G ωω=+22()16Y G ωωω=+令新的随机过程()()()()()()Z t X t Y t V t X t Y t =+⎧⎨=-⎩ ①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R eE Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。
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3.2 平稳随机过程
定义 各态历经性 自相关函数 功率谱密度
一、定义
若随机过程的n维概率分布函数Fn ()和n维概 率密度函数fn ()与时间起点无关，则为平稳随 机过程 严平稳过程，狭义平稳过程
f n x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t2 ,..., tn f n x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t2 ,..., tn
n Fn ( x1 , x2 xn ; t1 , t 2 t n ) f n ( x1 , x2 xn ; t1 , t 2 t n ) x1x2 xn
2.数学期望
E[ (t )] xf1 ( x, t )dx a(t )
物理意义：表示随机过程的n个样本函 数曲线的摆动中心（平均值）
随机变量
定义 分布函数 概率密度函数 二维随机变量 随机变量的数字特征
数学期望 方差 协方差 矩
基本概念（续）
随机过程 设E是随机试验，S={e}是其样本空间，如果对于 每一个e∈S，有一个时间t的实函数 ξ(e,t) t ∈T 与之对应，于是对于所有的e∈S，得到时间t的函 数族。该族时间t的函数称为随机过程，族中每个 函数称为这个随机过程的样本函数。 ξ(t)={x1(t),x2(t),……,xn(t),……} x1(t),x2(t),……为样本函数
物理意义：表示随机过程在两个时刻的 取值的关联程度， ξ(t)变化越平缓，两 个时刻取值的相关性越大，R值越大
5.自协方差函数
B(t1 , t2 ) E{[ (t1 ) a(t1 )][ (t2 ) a(t2 )]}
x1 a t1 x2 a t2 f 2 x1 , x2 ; t1 , t2 dx1dx2
s t
时域分析(续)
窄带噪声可由高斯白噪声经过窄带滤波器 得到。
t 、 t 都是均值a=0的 窄带噪声的 t 、 t 、 s t 的平均功 平稳高斯白噪声； t 、 2 率（方差）相同，为
z2
dz
erfc( x) 1 erf ( x)
2
x
e
z2
dz 2Q( 2 x)
高斯白噪声—时域特性 (续)
随机过程ξ(t)，在任一时刻的取值（随机变量） 都符合高斯分布，则称ξ(t)服从高斯分布。其 n维概率密度函数为：
f n ( x1 , x 2 ,..., x n；t1 , t 2 ,..., t n ) x j a j xk ak 1 1 n n exp B jk ( )( ) 1/ 2 n/2 2 B j 1 k 1 j k (2 ) 1 2 ... n B
高斯白噪声—时域特性
高斯过程重要性质
广义平稳 高斯过程中不同瞬间得到的随机变量之间， 互不相关和相互独立等价 高斯过程通过线性系统，其输出仍是一个高 斯过程 平稳高斯过程，数学期望和方差都是常数
高斯白噪声—时域特性 (续)
1. 一维高斯分布
随机变量ξ，若概率密度函数为
( x a) 2 f ( x) exp[ ] 2 ， 2 2 1
R(τ)=R(-τ) | R(τ)|≤R(0)
平稳随机过程的功率谱密度
功率谱特性
ξ(t)的功率谱： 即： ξ(t)的平均功率：
P () R( )e j d
P ( ) R( )
1 S 2
P ( )d
Po() n0 2 K 2 0
即：平均功率=功率 谱曲线下的面积
1 S R(0) 2
A2 P ( )d 2
3.3 噪声
噪声种类 高斯白噪声 随机过程通过线性系统 窄带噪声 正弦波加窄带噪声
一、噪声种类
单频噪声 脉冲噪声 热噪声 起伏噪声 散弹噪声 宇宙噪声
二、高斯随机过程-高斯白噪声
高斯随机过程
时域特性 频域特性
xn (t) t tk
二、统计特性
概率分布 数学期望 方差 协方差函数 相关函数
1. 概率分布
随机过程ξ(t) 在任一时刻t1的取值是随机 变量，则随机变量ξ(t1)的取值小于等于某 一数值x1的概率为随机过程ξ(t)的一维概 率分布函数：
F1 ( x1 , t1 ) P{ (t1 ) x1}
基本概念（续）
随机过程的一个实现 每一个实现都是一个确定的时间函数， 即样本。随机过程其随机性体现在出现 哪一个样本是不确定的。 随机过程没有确定的时间函数，只能从 统计角度，用概率分布和数字特征来描 述。
基本概念（续）
样本空间
S1 S2 Sn x2 (t) t x1 (t) t
(t)
o
2
o
i
4.概率分布：若ξi(t)是高斯型的，经过线性系统 后的ξo(t)也是高斯型的。
四、窄带随机过程-窄带噪声
定义
表示法1：
(t ) a (t ) cos[ct (t )]
a ξ (t) 对应信号的包络，φξ(t)对应信号 的相位，ωc=2πfc 窄带信号的中心频率 （载频）
第三章 随机信号分析
随机过程 平稳随机过程 噪声 随机过程通过系统
3.1 随机过程
通信过程就是信号和噪声通过系统的过程。 通信中信号特点：具有不可预知性——随机信号。 通信中噪声特点：具有不确定性——随机噪声。 统计学上：随机过程。
一、基本概念 二、统计特性
一、基本概念
三、随机过程通过系统
1、随机过程通过线性系统 2、随机过程通过乘法器
1、随机过程通过线性系统
随机过程ξi(t)通过线性系统h (t)，其输
o(t ) i (t ) h(t ) 出也是随机过程，
输入信号 ξi(t) Pi(ω) 系统 h(t) H(ω) 输出信号 ξo (t) Po(ω)
3. 方差
D( (t )] E{ (t ) E[ (t )]}2 2 (t )
物理意义：表示随机过程在某时刻t的取 值（随机变量）相对于该时刻的期望a(t) 的偏离程度
4. 自相关函数
R(t1 , t2 ) E[ (t1 ) (t2 )]
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t1, t2 )dx1dx2
s (t ) a (t )sin (t )
—正交分量
时域分析
c t
的实现 关于 c t , s t c t 和 s t 的均值都为0 c t 和 s t 的自相关只与时间 有关 s t 的方差= t 的方差 c t 、 同一时刻得到的c t 和 s t 不相关
平稳随机过程的自相关函数
以相关函数表示随机过程的物理特性
Rτ E t t τ
ξ(t)的平均功率：S = E[ξ 2(t)] = R(0) ξ(t)的直流功率：a2 = E2 [ξ(t)] = R(∞) ξ(t)的交流功率：σ2 = R(0) - R(∞) 相关函数其他性质
概率分布(续)
随机过程ξ(t)的一维概率密度函数：
F1 ( x1 , t1 ) f1 ( x1 , t1 ) x1
随机过程ξ(t)的n维概率分布函数和n维概 率密度函数分别是：
Fn ( x1 , x2 xn ; t1 , t2 tn ) P{ (t1 ) x1, (t2 ) x2 (tn ) xn }
物理意义：表示随机过程在两个时刻间 的线性依从关系
6.互协方差及互相关函数
B (t1 , t2 ) E{[ (t1 ) a(t1 )][ (t2 ) a(t2 )]}
R (t1 , t2 ) E[ (t1 ) (t2 )]
x1y2 f 2 ( x1, y2 ; t1, t2 )dx1dy2
随机过程通过线性系统(续)
性质：若ξi(t)是平稳随机过程，则
1.期望：E[ξo(t)] = E[ξi(t)] H (0)与t无关
2.自相关函数：Ro(t, t+τ) = Ro(τ) 与t无关 3.功率谱密度函数：
P ( ) R ( )e d P ( ) H ( )
j
f
通信系统中的起伏噪声，在相当宽的频域内具 有平坦的功率谱，故近似认为是白噪声。
高斯白噪声—频域特性 (续)
n0 白噪声的自相关函数为： R( ) ( ) ， 2
n0 2 P() R n0 2 0 f 0
仅在τ=0时，R(τ) ≠0，说明白噪声在任意两个 时刻上的取值都是不相关的。
-f(t)=Asin(w0t+θ)的自相关函 数和功率谱密度,在(0, 2π)内均匀分布。
解：
证明(t)是广义平稳过程 2 A 求自相关函数 R( ) cos c
2
功率谱密度 P ( )
平均功率
A 2
2
[ ( c ) ( c )]
S( f ) f f
£ fc
O
(a) S( f ) 缓慢变化的包络[a(t)]
fc
f
O
t
频率近似为 fc (b)
窄带随机过程的频谱和波形示意
定义(续)