快速排序算法的分析与研究_王春红
算法设计与分析王红梅第二版第8章_回溯法详解
2018/10/15
Chapter 8 Back Track Method
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概述 -问题的解空间
可行解：满足约束条件的解，解空间中的一个子集
最优解：
使目标函数取极值(极大或极小)的可行解，一个或少数几个 例：货郎担问题，有nn种可能解。n!种可行解，只有一个或 几个是最优解。 例：背包问题，有2n种可能解，有些是可行解，只有一个或 几个是最优解 有些问题，只要可行解，不需要最优解： 例：八皇后问题和图的着色问题
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概述 -问题的解空间
例：0/1背包问题中，xi 有0/1 两种取值，则S={0，1}， 当n=3时，0/1背包问题的解空间是：
{(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)}
即：当输入规模为n 时，有2n 种可能的解。 例：货郎担问题，S={1,2,…,n}，当n=3时，S={1,2,3} 。 货郎担TSP问题的解空间中的可能解有27个，是：
0 3 0 15
对物品2的选择
对物品3的选择
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概述 -问题的解空间
例：对于n=4 的TSP 问题，图8.3是经压缩后的解空间树，树中的24 个叶子结 点分别代表该问题的24 个可能解，例如结点5 代表一个可能解，路径为 1→2→3→4→1，长度为各边代价之和。
2018/10/15 Chapter 8 Back Track Method 2
学习目标
教学重点 教学难点 回溯法的设计思想，各种经典问题的回溯思想 批处理作业调度问题的回溯算法
快速排序实验报告
快速排序实验报告
一、目的和要求
1、掌握快速排序的实现方法
2、掌握快速排序的基本思想
3、掌握快速排序的时间性能
4、要求：用快速排序法实现对无序序列的排序
二、程序设计的基本思想，原理和算法描述
快速排序是对起泡排序的一种改进，它的基本思想是，通过一趟排序将待排记录分割成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分记录的关键字小，则可分别对两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序。
快速排序的三个步骤：
1、选择基准：在待排序列中，按照某种方式挑出一个元素，作为基准
2、分割操作：以该基准在序列中实际位置，把序列分成两个子序列。
此时，在基准左边的元素都比该基准小，在基准右边的元素都比基准大
3、递归地对两个序列快速排序，直到序列为空或者只有一个元素。
三、心得与体会
这个实验关键在于理解快速排序的那个过程，如何根据轴值将数
组分成两部分，然后将轴值放到合适的位置，继续对分成两部分的数组，执行类似的操作。
通过这次实验，理解和体会了快速排序的基本思想，了解到在所有同数量级的排序方法中，快速排序的平均性能最好。
快速排序算法描述
快速排序算法描述摘要：一、快速排序算法的基本思想二、快速排序算法的具体步骤三、快速排序算法的优缺点四、快速排序算法的实际应用正文：快速排序算法是一种常用的排序算法，它采用分治的思想，通过选取一个基准元素，将待排序序列划分为两个子序列，其中一个子序列的所有元素都小于基准元素，另一个子序列的所有元素都大于基准元素，然后对这两个子序列分别进行递归排序，最终得到一个有序的序列。
一、快速排序算法的基本思想快速排序算法的基本思想是分治法，它将待排序的序列划分为两个子序列，其中一个子序列的所有元素都小于基准元素，另一个子序列的所有元素都大于基准元素，然后对这两个子序列分别进行递归排序，最终得到一个有序的序列。
二、快速排序算法的具体步骤快速排序算法的具体步骤如下：1.选取一个基准元素pivot；2.把小于基准元素pivot 的元素放到pivot 的左边，大于基准元素pivot 的元素放到pivot 的右边；3.对pivot 左边的子序列和右边的子序列分别递归地执行步骤1 和2，直到子序列的大小为1 或0，即它们已经有序；4.把排序好的子序列合并成一个有序序列。
三、快速排序算法的优缺点快速排序算法的优点是平均时间复杂度为O(nlogn)，且在实际应用中表现较好。
缺点是当序列已经有序或基本有序时，快速排序算法的性能较差，因为在这种情况下，划分出的子序列大小差异不大，导致递归树退化为一棵线性树，时间复杂度变为O(n^2)。
四、快速排序算法的实际应用快速排序算法在实际应用中非常广泛，例如在搜索引擎中，快速排序算法可以用于对搜索结果进行排序；在数据库中，快速排序算法可以用于对数据表进行排序；在文件系统中，快速排序算法可以用于对文件进行排序。
快速排序算法实验报告
快速排序算法实验报告快速排序算法实验报告引言：快速排序算法是一种常用且高效的排序算法，它的核心思想是通过分治的思想将一个大问题分解成多个小问题，并通过递归的方式解决这些小问题。
本实验旨在通过实际实现和测试快速排序算法，探究其性能和效果。
实验目的：1. 理解快速排序算法的原理和思想；2. 掌握快速排序算法的实现方法；3. 通过实验比较快速排序算法与其他排序算法的性能差异。
实验步骤：1. 算法实现首先，我们需要实现快速排序算法。
快速排序算法的基本步骤如下：- 选择一个基准元素（通常选择数组的第一个元素）；- 将数组分成两个子数组，小于基准元素的放在左边，大于基准元素的放在右边；- 对左右子数组分别递归地应用快速排序算法；- 合并左右子数组和基准元素。
代码实现如下：```pythondef quick_sort(arr):if len(arr) <= 1:return arrpivot = arr[0]left = [x for x in arr[1:] if x < pivot]right = [x for x in arr[1:] if x >= pivot]return quick_sort(left) + [pivot] + quick_sort(right)```2. 性能测试接下来，我们将使用不同规模的随机数组进行性能测试，比较快速排序算法与其他排序算法的效率。
我们选择插入排序算法和归并排序算法作为对比算法。
首先，我们生成1000个随机整数，并分别使用快速排序算法、插入排序算法和归并排序算法进行排序。
记录下每个算法的运行时间。
然后，我们逐渐增加数组的规模，分别测试10000、100000、1000000个随机整数的排序时间。
最后，我们绘制出三种算法在不同规模下的运行时间曲线，并进行分析和比较。
实验结果：经过多次实验和测试，我们得到了以下结果：在1000个随机整数的排序中，快速排序算法的平均运行时间为X秒，插入排序算法的平均运行时间为Y秒，归并排序算法的平均运行时间为Z秒。
快速排序算法的教学要点与方法探讨-2019年文档
快速排序算法的教学要点与方法探讨
1快速排序算法在教学中存在的问题
算法思想内容过于抽象，理解困难，不易掌握。
学生大凡在看到快速排序的算法思想时，一时很难弄明白，也很难理解。
单一从文字叙述方面来弄懂快速排序算法思想很困难，如果我们换个思路，先看详尽案例，再来理解算法，就会发现该算法思想其实并不难理解。
下面通过例子来说明快速排序的算法思想：
图1一趟快速排序
一趟排序之后的状态：{20 38 10 49 75 90 66}。
2快速排序算法的不足之处
3方法探讨
由于数据结构课程内容浩繁、理论抽象、逻辑性强、难以理解等特点，造成教师教学费力，学生学习吃力，教学效果不理想，教师在教学内容的选择方面，存在“重理论，轻实践”的普遍现象。
目前部分教师仍采用传统教学方法――“满堂灌”（讲授法），忽略了学生的主体地位，在讲授理论的同时，不观察学生的听课反映，未给学生留出思考时间，缺少与学生的互动环节，这样可能学生跟不上老师的思路，降低了听课效率。
针对教学中存在的问题，提出如下建议：
（1）采取案例教学，激发学习兴趣
案例教学法具有较强沟通性、针对性、实践性等特点。
课堂教学中运用案例教学法，将理论知识融入案例之中，运用案例引导学生主动学习，激发学习兴趣。
案例教学法的核心――案例必须是优选的。
好的案例对于学生掌握基本概念、基本知识，培养基本技能起到积极的推动作用。
（2）理论联系实际，做好上机实验
学习算法，不仅要理解教材上的理论知识，更严重的是能够联系实际，能针对实际问题编写出正确易读、结构清撤、执行效率高的程序，上机实验也是学习数据结构必不可少的教学环节，对于训练学生编程能力，加深抽象理论的理解至关严重。
快速排序算法实验报告
一、实验目的1. 理解快速排序算法的基本原理和实现方法。
2. 掌握快速排序算法的递归分治策略。
3. 分析快速排序算法的时间复杂度和空间复杂度。
4. 通过实验验证快速排序算法的性能。
二、实验内容本实验主要涉及快速排序算法的原理、实现和性能分析。
实验内容包括：1. 快速排序算法的基本原理。
2. 快速排序算法的递归分治策略。
3. 快速排序算法的时间复杂度和空间复杂度分析。
4. 快速排序算法的C语言实现。
5. 快速排序算法的性能测试。
三、实验原理快速排序算法是一种高效的排序算法，其基本思想是选取一个基准元素（pivot），将待排序的序列划分为两部分，使得左边的部分都小于等于基准元素，右边的部分都大于等于基准元素。
然后递归地对左右两部分分别进行快速排序，直到整个序列有序。
快速排序算法的递归分治策略如下：1. 选择基准元素：在待排序序列中选取一个元素作为基准元素。
2. 分区操作：将待排序序列划分为两部分，使得左边的部分都小于等于基准元素，右边的部分都大于等于基准元素。
3. 递归排序：分别对左右两部分递归进行快速排序。
四、实验步骤1. 快速排序算法的C语言实现```c#include <stdio.h>void swap(int a, int b) {int temp = a;a = b;b = temp;}int partition(int arr[], int low, int high) { int pivot = arr[high];int i = (low - 1);for (int j = low; j <= high - 1; j++) {if (arr[j] < pivot) {i++;swap(&arr[i], &arr[j]);}}swap(&arr[i + 1], &arr[high]);return (i + 1);}void quickSort(int arr[], int low, int high) { if (low < high) {int pi = partition(arr, low, high);quickSort(arr, low, pi - 1);quickSort(arr, pi + 1, high);}}void printArray(int arr[], int size) {int i;for (i = 0; i < size; i++)printf("%d ", arr[i]);printf("\n");}int main() {int arr[] = {10, 7, 8, 9, 1, 5};int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);quickSort(arr, 0, n - 1);printf("Sorted array: \n");printArray(arr, n);return 0;}```2. 快速排序算法的性能测试为了测试快速排序算法的性能，我们可以对不同的输入数据量进行排序，并记录排序所需的时间。
快速排序报告
《数据结构课程设计》报告题目：快速排序问题专业计算机科学与技术学生姓名高海松班级B计116学号**********指导教师巩永旺完成日期2013年1月11日目录1简介 (3)2算法说明 (5)3测试结果 (6)4分析与探讨 (8)5小结 (11)附录：源程序清单 (11)一、简介1、排序及排序算法类型排序是数据处理领域和软件设计领域中一种常见而重要的运算。
排序就是将一组记录（元素）的任意序列按照某个域的值的递增（从小到大）或递减（由大到小）的次序重新排列的过程。
排序的目的之一就是为了方便查找。
排序分为内部排序和外部排序。
在内存中进行的排序叫内部排序，利用外部存储的排序叫外部排序。
内部排序的方法有很多，但就其全面性能而言，很难提出一种被认为是最好的方法，每一种方法都有各自的缺点，适合在不同的环境下使用。
按照其策略不同，可归纳为五类：插入排序、交换排序、选择排序、归并排序和基数排序。
2、快速排序算法介绍快速算法就像是它的名称所暗示的，是一种快速的分而治之的算法，平均时间复杂度为O(nlog2n)。
它的速度主要归于一个非常紧凑并且高度优化的内部循环。
其基本算法Quicksort(S)由以下4个步骤组成：（1）如果S中的元素的个数为0或1 ，则返回。
（2）选择S中的任意一个元素v,v叫做支点（Pivot）.（3）将S—{v}(剩下的元素在S中)分成两个分开的部分。
L={x∈S—{v}|x ≦v}和R={x∈S-{v}|x≧v}。
（4）依次返回Quicksort（L）、v和Quicksort(R)的结果。
基本的快速排序算法可以应用递归实现，关键的细节包括支点的选择和如何分组。
该算法允许把任何元素作为支点。
支点把数组分为两组：小于支点的元素和大于支点的元素集。
图1展示了一组数据进行快速排序的基本过程。
3、快速排序的分析（1）最好情况：快速排序的最好情况是支点把集合分成两个同等大小的子集，并且在递归的每个阶段都这样划分。
快速排序算法_实验报告
一、实验目的1. 理解快速排序算法的基本原理和实现方法。
2. 掌握快速排序算法的代码实现。
3. 通过实验验证快速排序算法的效率。
二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.83. 开发工具：PyCharm三、实验原理快速排序是一种常用的排序算法，它采用分而治之的策略，将待排序的数组分为两部分，使得左边的元素都比右边的元素小，然后递归地对左右两边的子数组进行排序。
快速排序的平均时间复杂度为O(nlogn)，最坏情况下的时间复杂度为O(n^2)。
快速排序算法的核心是选择一个基准值，然后将数组分为两个子数组，一个子数组的元素都比基准值小，另一个子数组的元素都比基准值大。
然后递归地对这两个子数组进行快速排序。
四、实验步骤1. 设计快速排序算法的函数，包括选择基准值、划分数组、递归排序等步骤。
2. 编写主函数，用于测试快速排序算法。
3. 使用不同大小的数组进行测试，观察算法的执行时间。
五、实验代码```pythondef quick_sort(arr):if len(arr) <= 1:return arrpivot = arr[len(arr) // 2]left = [x for x in arr if x < pivot]middle = [x for x in arr if x == pivot]right = [x for x in arr if x > pivot]return quick_sort(left) + middle + quick_sort(right)def test_quick_sort():import timetest_arrays = [[3, 6, 8, 10, 1, 2, 1],[5, 3, 8, 6, 2],[9, 1, 5, 3, 4, 7],[3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3],[1],[]]for arr in test_arrays:start_time = time.time()sorted_arr = quick_sort(arr)end_time = time.time()print(f"Original array: {arr}")print(f"Sorted array: {sorted_arr}")print(f"Execution time: {end_time - start_time:.6f} seconds\n") test_quick_sort()```六、实验结果与分析1. 测试数组：[3, 6, 8, 10, 1, 2, 1]- 原始数组：[3, 6, 8, 10, 1, 2, 1]- 排序后数组：[1, 1, 2, 3, 6, 8, 10] - 执行时间：0.000097 seconds2. 测试数组：[5, 3, 8, 6, 2]- 原始数组：[5, 3, 8, 6, 2]- 排序后数组：[2, 3, 5, 6, 8]- 执行时间：0.000073 seconds3. 测试数组：[9, 1, 5, 3, 4, 7]- 原始数组：[9, 1, 5, 3, 4, 7]- 排序后数组：[1, 3, 4, 5, 7, 9]- 执行时间：0.000061 seconds4. 测试数组：[3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3]- 原始数组：[3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3] - 排序后数组：[3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3] - 执行时间：0.000000 seconds5. 测试数组：[1]- 原始数组：[1]- 排序后数组：[1]- 执行时间：0.000000 seconds6. 测试数组：[]- 原始数组：[]- 排序后数组：[]- 执行时间：0.000000 seconds从实验结果可以看出，快速排序算法对于不同大小的数组都能在较短的时间内完成排序，且对于大部分情况，执行时间都在微秒级别。
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1.1 传统的快速排序算法 快速排序算法采用了分治技术，其分治步骤为：首
先，问题划分。将求解问题分成若干大小不等的子问 题；其次，递归求解。独立地解决这些子问题；最后，合 并解。将子问题的解归并成原问题的解。由于快速排 序可以采用就地重排，合并解不需要花费时间。因此影 响算法的最关键的问题是支点元素的选择方法是否适 当，是否可以将问题均等的划分。
Abstract：Quick sort is one of sorting algorithms with better performance，but it has choke point when sorted data is in ba⁃ sic sort order. In order to ensure high efficiency of quick sort in any case，based on a full analysis of the time efficiency of quick sorting algorithm，it is pointed out that the main factor which affects the efficiency of quick sorting algorithms is the selec⁃ tion of pointing element. Therefore，a quick sorting method of selecting the pointing element randomly is proposed，which makes the occurrence of the worst case well avoided. The correctness and efficiency of the improved algorithm were verified by experi⁃ ments.
文献标识码：A
文章编号：1004-373X（2013）20-0054-03
Analysis and research of quick sorting algorithm
WANG Chun-hong，WANG Wen-xia
（Department of Computer Science and technology，Yuncheng University，Yuncheng 044000，China）
∑ ( ) n-1
Cmax = (n - i) = n(n - 1) 2 = O n2
i=1
如果按上面给出的划分算法，当待排元素集 S 已按 递增有序（或递减有序）排列时，每次取当前待排数据的 第 1 个元素为支点，那么每次划分所取的支点就是当前 待排数据中关键字最小（或最大）的记录，则快速排序所 需的比较次数达到最多。即当元素基本有序时，快速排 序的效率反而很低，不及冒泡排序及插入排序。
QuickSor（t S，L，m-1） //对左区间递归快排 QuickSor（t S，m+1，H） //对右区间递归快排 }｝
对待排元素集 S 进行排序，最初的调用是 QuickSort （S，1，length[S]）。 而 快 速 排 序 算 法 的 关 键 是 PARTI⁃ TION 过程，它对子元素集 S [L..H]进行一趟快速排序或 一次划分：
传统的快速排序算法是从待排数据两端选取一个 元素作为支点元素，其递归快速排序算法 QuickSort 如 下：
QuickSor（t &S，L，H）｛ //对待排元素 S[L..H]进行快速排序
int m；//标识上次划分支点元的位置 if l<h //区间长度大于 1 时才须排序 { m ←PARTITION（S，L，H） //调用分治法找到 m 的值
Step5 重复执行 Step3，Step4，直到 i=j。并将 S[i]← pivot，返回 i 值。 1.2 传统快速排序算法的效率分析
算法的时间开销主要花费在划分 PARTITION 操作 上，对长度为 n 的数据元素进行一次划分，共需 n-1 次元 素的比较。
（1）最好情况时间复杂度 最好情况下，快速排序的每次划分所选取的支点元 素恰好都是当前待排数据的“中两个子表的长度大致相等，即对 半划分。在此情况下，可得知快速排序要做 lg n 趟划 分，时间复杂度为 C（n）=O（nlg n）。 （2）最坏情况时间复杂度 最坏情况下，快速排序的每次划分选取的支点元素 恰好都是当前待排数据中关键字最小（或最大）的元素， 每次划分的结果为：支点左边的子表为空（或右边的子 表为空），而另一个非空的子表中元素个数仅比划分前 的待排数据中元素个数少 1 个。 在此情况下，快速排 序就要做 n-1 次划分，而第 i 次划分开始时区间长度为 n-i+1，所需的比较次数为 n-（i 1≤i≤n-1），故总的比较 次数达到最大值：
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本文在对传统快速排序算法的优点及缺点进行充 分分析的基础上，指出影响快速排序的关键因素，提出 一种随机化的高效排序方法。它对待排序的数据初态 没有任何要求，或者说可以让任何的数据初态在排 序 时 达 到 均 匀 分 布 ，从 而 使 任 何 输 入 数 据 达 到 O （nlog n）的时间复杂度。
（4）空间复杂度 快速排序算法是一个递归算法，因此，系统会自动 开辟一个栈来辅助算法的执行。最坏情况下，递归树的 高度为 O（n），所需附加栈的空间为线性量级 O（n）。一 般情况下，如图 2 所示其递归树的高度为 O（lg n），执行 算法所需附加栈的空间为对数量级 O（lg n）。
2 快速排序算法的改进
一次划分 PARTITION 的算法步骤为： Step1 首先定义两个变量 i 和 j，并初始化 i=L，j=H ； Step2 选取第一个待排元素 S[L]作为支点元素，并 将支点元赋值给 pivot，即执行 pivot =S[L]； Step3 从 j 位置开始由后向前比较（j-- ），找到第一 个小于 key（支点元素的关键字）的元素 S[j]，交换 S[i]与 S[j]；同时，i++。 Step4 从 i 位置开始由前向后比较（i++），找到第一 个大于 key（支点元素的关键字）的 S[i]，S[i]与 S[j]交换； 同时，j--。
2013 年 10 月 15 日 第 36 卷第 20 期
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现代电子技术 Modern Electronics Technique
Oct. 2013 Vol.36 No.20
快速排序算法的分析与研究
王春红，王文霞
（运城学院 计算机科学与技术系，山西 运城 044000）
摘 要：快速排序是排序算法中性能较好的一种，但存在对数据基本有序的情形下的性能瓶颈问题。为了保证快速排
序在任何情况下的高效性，在对快速排序算法的时间效率进行充分的分析的基础上，指出支点元素的选取是影响快速排序
算法效率的主要因素。提出了一种随机选择支点元素的快速快排方法，很好地避免了最坏情况的发生。通过实验验证了改
进算法的正确性和高效性。
关键词：快速排序算法；支点元素；时间效率；随机化快速排序
中图分类号：TN911-34；TP301.6
（3）平均时间复杂度 尽管快速排序的最坏时间为 O（n2），但就平均性能 而言，它是基于关键字比较的内部排序算法中速度最快 的，快速排序亦因此而得名。它的平均时间复杂度为 O（nlg n）[4]。 在此选择同一量级的堆排序进行了比较测试。在 相同的环境下，基于 C++语言平台，分以不同规模（100， 1 000，10 000，100 000）的随机数作为测试数据集。在 程序中根据数据个数的不同产生的随机整型数组，然后 分别让不同的排序算法来进行从小到大的排序。这里 两种排序算法在相同的输入规模中原始无序数据都是 一样的，以此来保证实验的公正性。每个排序算法中加 入计数器来记录排序过程中的比较次数，同时利用计时 函数得出排序时间。 表 1 为输入数据规模分别为 100，1 000，10 000，
的依赖，相当于 S[l..h]中的元素是随机分布的。
影响快速排序算法效率的主要因素是支点元素的 选取。若所选择的支点元素应能够将数组 S 分成大小 几乎相等的部分，就能保证快速排序算法的高效性。
假设 S 由 n 个不同元素组成，最好的选择方法是选 择 S 中元素的中值作为支点元素。比如，初始元素的关 键字为：333，4，11，23，57，要应选择 23 中值作为支点元 素。尽管有些理论上好的算法可以找到待排元素的中 值，但由于开销过大使得快速排序无法在实际中得到实 用[7]。比如，先对待排序的数据进行统计、求平均来选取 出最佳的支点元素，以确保快速排序的每一次划分位置 都正好处于待排序序列的正中间。其算法的本质是选 取了最合适的支点，但选取合适的支点本身是一个很浪 费时间的操作，因此其方法只能在某些特定情况下提高排 序效率，而在另一些情况下反而效率低于基本快速排序。
为 n 的单支二叉树。因此，保证快速排序在任何情况下 高效性，近年来被国内学者从各种不同的角度进行了 改进与优化[1-6]。
图 1 一趟快速排序示意图
收稿日期：2013-08-08 基金项目：国家自然科学基金资助项目（11241005）
图 2 快速排序递归深度示意图
第 20 期
王春红，等：快速排序算法的分析与研究
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现代电子技术
2013 年第 36 卷
100 000 时两个算法的排序时间对比。实验结果表明， 一般情况下，快速排序的效率的确比堆排序要高。
表 1 堆排序与快速排序时间比较
数据规模
100
1 000
10 000
堆排序
0.038
0.558
7.594
快速排序
0.018
0.232
2.901
ms 100 000 60.497 17.300
针对快速排序支点元素的选取，能够有效改进排序 的效率，而又不额外增加开销的主要有以下两种方法。