博弈论第6讲

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图2-8 房地产开发博弈
动态博弈的策略式表述
B的纯策略为
{开发，开发} {开发，不开发} A 开发 B 不开发 B
{不开发，开发}
{不开发，不开发}
A的纯策略为
SA=(开发，不开发)
开发
不开发 开发
不开发
于是可以写成策略式 (-3,-3) (1，0) (0,1) (0,0) 表述形式，为 29 图2-8 房地产开发博弈
B B
(4,4)
(8,0)
(-3,-3)
(1,0) (0,8) (0,0) (0,1)
(0,0)
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图2-2 房地产开发博弈
博弈树
若动态博弈是有限博弈，则可用博弈树 表示该博弈。这里有限的含义是
各阶段各参与人的行动数目有限 博弈的阶段数有限
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博弈树
博弈树的基本结构为
结点(nodes)。包括决策结及终点结。决策 结是参与人采取行动的时点；终点结是博 弈行动路径的终点。 枝（branches）。从一个决策结到它的直 接后续结的连线，每一个枝代表参与人的 一个行动选择。
对完美信息动态博弈的博弈树来说，一个信 息集只包含一个决策结，对不完美信息动态 博弈，则一个信息集包含多个决策结。
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博弈树
信息集：是决策结集合的一个子集。将博 弈树中某一决策者在某一行动阶段具有相 同信息的所有决策结称为一个信息集。
每个决策结都是同一个参与人的决策结。
该参与人知道博弈进入该集合的某个决策结， 但不知道自己究竟出于哪一个决策结（若该信 息集有两个或两个以上元素）。
但B有两个信息集，每个 信息集上有两个可选择的 行动，因而B有四个纯战 略，分别为
不论A开发还是不开发， 我开发； A开发我开发，A不开发 我不开发； A 开发 B 不开发 B
A开发我不开发，A不开 发我开发；
不论A开发与否，我不开 发。
开发
不开发 开发 (1，0) (0,1)
不开发
R
A 不 能 区 分 （ D,L ）和 (D,R) 是正常的，因 为参与人1可能 没有观察到B是 选择了L还是选 择了R。
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一些说明
现实中不具完美回忆的一个例子是扑克 比赛。在扑克比赛中，参与人常常忘记 别人曾出过些什么牌。
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一些说明
需要注意的是，若有些动态博弈的阶段 很多乃至无限，或者参与人在一个阶段 有许多可以选择的行为，这时采用博弈 树表述将变得很困难，或者不可行。如 下棋等。 此时应用文字描述或用数学抽象形式表 述。
开发
不开发
B
开发
不开发 (1,0)
B
开发 不开发 (0,0)
(-3,-3)
(0,1)
图2-8 房地产开发博弈
比如（开发，{不开发， 表2-1 房地产开发博弈：策略式表述 开发，不 不开发， 不开发， 开发}）决定了博弈的 开发，开发 开发 开发 不开发 路径为A开发B 开发 -3，-3 1，0 1，0 1，0 不开发(1,0)
这是一个完美信息博 弈（每个参与人的信 息集是单结的）。 A只有一个信息集， 两个可选择行动，因 而A的行动空间也就 是A的战略空间： SA=(开发，不开发)。
开发 B
A 不开发 B
开发
不开发 开发 (1，0) (0,1)
不开发
(0,0)
(-3,-3)
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图2-8 房地产开发博弈
动态博弈的策略式表述
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Definition An information set for a player is a collection of decision nodes satisfying: (ⅰ)the player has the move at every node in the information set,and (ⅱ)when the play of the game reaches a node in the information set, the player with the move does not know which node in the information set has (or has not) been reached.
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节点nodes
决策节点（decision nodes）
终点节点（terminal nodes）
枝branches：每一条树枝代表一个行动 信息集information sets：参与人在决策节 点选择行动时，需要有关信息；对此前 博弈过程的一个全部而明确的认识就构 成一个信息集。信息集的定义：
(-3,-3)
(0,1)
图2-8 房地产开发博弈 表2-1 房地产开发博弈：战略式表述
开发，开发 开发，不 开发 不开发， 开发 不开发， 不开发
开发 不开发
-3，-3 0，1
-3，-3 0，0
1，0 0，1
1，0 0，0
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动态博弈的策略式表述
给出了扩展式表述的战略式表述转换，就可 以像静态博弈那样，定义纯战略纳什均衡或 混合战略纳什均衡。 按照Von Neumann观点，将动态博弈模型转化 成策略式表述形式后，按照静态博弈分析方 法，即可处理动态博弈问题。 近来研究表明，存在策略式表述相同，但却 有本质差别的，不同扩展式表述的动态博弈。 说明上述观点具有一定的局限性。因此，策 略式表述并不能取代扩展式表述。
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博弈树实例
注意，扩展式表述也可以用于分析静态博弈， 如图2-5的囚徒问题。
A 坦白 B 坦白 抵赖 坦白 抵赖 B 抵赖
(-5,-5) (0,-8)
(-8,0)
(-1,-1)
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图2-5 囚徒问题的扩展式表述
一些说明
一般假定博弈满足“完美回忆”(perfect recall)要求。
(0,0)
(-3,-3)
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图2-8 房地产开发博弈
动态博弈的策略式表述
若把B的信息集从左 到右排列，上述四个 纯战略可以简单记为
{开发，开发}
{开发，不开发} {不开发，开发} 开发 B
A 不开发 B
{不开发，不开发}
开发
不开发 开发 (1，0) (0,1)
不开发
(0,0)
(-3,-3)
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博弈的扩展式表示
参与人的信息集(information set)：每次 行动时参与人知道什么；
参与人的收益函数：在行动结束之后， 每个参与人得到些什么。 自然选择的概率分布（假定自然状态是 共同知识）。 对于有限博弈，博弈树是常用的表述方 式。
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扩展式表述简例
图2-1就是一个商品仿冒和反仿冒动态博弈的 扩展型描述。
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动态博弈的策略式表述
A
该博弈有四个纯战略 纳什均衡，分别为
（开发，{开发，不开 发 }） （开发，{不开发，开 发 }） （开发，{不开发，不 开发}）
开发
不开发
B
开发
不开发 (1,0)
B
开发 不开发 (0,0)
(-3,-3)
(0,1)
图2-8 房地产开发博弈 表2-1 房地产开发博弈：策略式表述
“完美回忆” 的概念
完美回忆是指没有任何参与人会忘记自己 以前知道的事情，所有参与人都知道自己 以前的选择。 可以利用信息集概念描述完美回忆。
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一些说明
图2-6描述了不完美回忆现象。
A
U L
D
B
R
B
但A不能区分 L A （ U,R ）和 (D,L) A A 则说明A忘记了 在开始博弈时 选择了U行动 还是D行动， 因而不具有完 图2-6 不具有完美回忆的例子 美回忆。
knows the full history of the play of the game thus far.
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博弈树
对于有限动态博弈，若参与人对彼此在各 决策结点的行动集合，彼此的效用函数， 历史的行动有着完全的了解，则称这样的 博弈为完全信息动态博弈。
如果博弈树的所有信息集都是单元素集， 称该博弈为完美信息博弈(game of perfect information)。 上述两个定义的差别在于对自然行动信息 的描述。
A 仿冒 制止 (-2,5) 制止 B 不制止 仿冒 B 不制止 (10,4) A 不仿冒 (0,10) 不仿冒
(5,5)
(2,2)
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图2-1 仿冒和反仿冒博弈扩展型表述
扩展式表述简例
图2-2是包括自然选择的博弈扩展式表述
A
开发 不开发
N
大(1/2) 小(1/2)
N
大(1/2)
小(1/2)
B
B
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动态博弈的策略式表述
从扩展式表述构造战 略式表述
假定开发商A先决策， 开发商B观测到A的 选择后决策。 那么博弈的扩展式表 述如图2-8表述。
开发
A 开发 B 不开发 开发 (1，0) (0,1) 不开发 B
不开发
(0,0)
(-3,-3)
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图2-8 房地产开发博弈
动态博弈的策略式表述
上次内容回顾
帕累托占优 风险占优 聚点均衡 防共谋均衡 两个拆迁博弈
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动态博弈的概念
一类博弈行为通常需要参与人多步决策 才能完成，具有明显的阶段性。
博弈的结局、各参与人的收益由多阶段 决策结果确定。 各参与人的决策有一定的顺序。
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The key features of a dynamic game of complete and perfect information are that (ⅰ)the moves occur in sequence, (ⅱ)all previous moves are observed before the next move is chosen, and (ⅲ)the players’ payoffs from each feasible combination of moves are common knowledge.