高三数学极限同步
高三数学理科第二章极限复习试题
高三数学理科第二章极限复习一. 本周教学内容：第二章 极限复习 二. 教学重、难点：⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎢⎢⎢⎣⎡⎢⎣⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡最值连续函数在闭区间上的连续求函数极限函数极限的四则运算函数极限数列极限的四则运算数列极限极限证明不等式证明数列问题证明几何问题证明整除性问题证明恒等式教学归纳法;_______________ 【典型例题】[例1] }{n a 、}{n b 的极限存在且满足：8)52(lim =+∞→n n n b a ，2)(lim =-∞→n n n b a ，求)23(lim n n n b a +∞→。
解：设)()52(23n n n n n n b a y b a x b a -++=+n n b y x a y x )5()2(-++= ∴ ⎩⎨⎧=-=+2532y x y x 解得75=x ，711=y∴ 7622711875)23(lim =⨯+⨯=+∞→n n n b a [例2] 设)(x f 是一个三次函数，61)(lim 1=+-→x x f x ，232)(lim 2-=-→x x f x ，求3)(lim3-→x x f x 的值。
解：由题意知：))(2)(1()(a x x x m x f --+=由61)(lim1=+-→x x f x ，得6)1(3=---m a ①由232)(lim 2-=-→x x f x ，得23)2(3-=-a m ②①②联立得3=a ，21=m ∴ )3)(2)(1(21)(--+=x x x x f 2)2)(1(21lim 3)(lim33=-+=-→→x x x x f x x [例3] 设11)(22++-+-=x x x x x f 分别求)(lim x f x +∞→，)(lim x f x -∞→的值。
)(lim x f x ∞→存在吗？解： ∵ 11)(22++-+-=x x x x x f 11112222++++----+-=x x x x x x x x11222++++--=x x x x x∴ 112lim)(lim 22++++--=+∞→+∞→x x x x xx f x x 112lim222++++--=+∞→x x x x x x11121111112lim22-=+-=++++--=+∞→xx x x x ∴ 112lim)(lim 222++++-=-∞→-∞→x x x x x x f x x 221111112limxx x x x ++++-=-∞→1112=+=∵ )(lim )(lim x f x f x x -∞→+∞→≠ ∴ )(lim x f x ∞→不存在[例4] 设⎩⎨⎧>+≤-=)1(3)1()(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=)1(12)1()(3x x x x x g ，讨论)]([x g f 的连续区间。
高三数学函数极限练习题及答案
高三数学函数极限练习题及答案一、单项选择题（每题2分，共40分）1. 已知函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求lim(x->2)(f(x))的值。
A. 16B. 18C. 20D. 242. 已知函数g(x) = sin(2x) / x，求lim(x->0)(g(x))的值。
A. -2B. -1C. 0D. 23. 已知函数h(x) = (x^2 + x - 2) / (x - 1)，求lim(x->1)(h(x))的值。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知函数k(x) = (x - 3) / (x^2 - 9)，求lim(x->3)(k(x))的值。
A. 1B. 0C. 1/3D. 35. 已知函数m(x) = sqrt(x + 1) - 1，求lim(x->0)(m(x))的值。
A. 0B. 1/2C. 1D. 26. 已知函数n(x) = e^x - 1，求lim(x->0)(n(x))的值。
A. 1B. eC. 0D. 27. 已知函数p(x) = ln(1 + x)，求lim(x->0)(p(x))的值。
A. 1B. ln(2)C. -1D. 08. 已知函数q(x) = (1 - cosx) / (x^2)，求lim(x->0)(q(x))的值。
A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/59. 已知函数r(x) = tanx / x，求lim(x->0)(r(x))的值。
A. 1B. 0C. ∞D. -∞10. 已知函数s(x) = x^2 / (1 - cosx)，求lim(x->0)(s(x))的值。
A. 0B. 1C. 2D. ∞11. 已知函数t(x) = (x - sinx) / x^3，求lim(x->0)(t(x))的值。
A. 0B. 1/2C. 1D. ∞12. 如果lim(x->a)(f(x))存在，则称函数f(x)在x=a处的极限存在。
高三数学数列、函数的极限及函数的连续性知识精讲
高三数学数列、函数的极限及函数的连续性【本讲主要内容】数列、函数的极限及函数的连续性数列与函数的极限定义、极限的四则运算、函数的连续性【知识掌握】【知识点精析】 （一）数列极限 1. 概念考察以下三个数列当n 无限增大时，项a n 的变化趋势：.,101,,101,101,10132 n ① .,1,,43,32,21 n n ② .,)1(,,31,21,1 nn ③（1）随着n 的增大，从数值变化趋势上看，a n 有三种变化方式：数列①是递减的,② 是递增的，③是正负交替地无限趋近于a.（2）随着n 的增大，从数轴上观察项a n 表示的点的变化趋势，也有三种变化方式:① 是从点a 右侧，②是从点a 左侧，③是从点a 两侧交替地无限趋近于a ．（3）随着n 的增大，从差式∣a n －a ∣的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a n 无限趋近于a ．这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n 的无限增大，数列项a n 无限地趋近于常数a （即∣a n －a ∣无限地接近于0）”．定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列 n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a 时，（即a a n 无限地接近于0），那么就说数列 n a 以a 为极限，或者说a 是数列 n a 的极限。
表示为a a lin n n2. 数列极限的表示方法：① a a n nlim ②当 n 时，a a n .3. 几个常用极限：①C C nlim （C 为常数）②),(01lim是常数k N k n kn③对于任意实常数， 当1|| a 时，0limnn a当1 a 时，若a ＝1，则1limn n a ；若1 a ，则nn n n a )1(lim lim不存在当1 a 时，nn alim 不存在（二）函数极限研究函数的极限，首先考虑自变量x 的变化方式有哪些． 1. x →∞时，函数)(x f 的极限 考察函数f(x)＝1，当x →＋∞和x →－∞时，函数的变化趋势 （1）当x →＋∞时，从图象和表格上看，函数y ＝x的值无限趋近于0．就是说 函数y ＝x 1上的极限为0，记作01lim xx（2）当 x 时，类似地可得函数xy 1的值无限趋近于0，就是说，当 x 时，函数xy 1的极限为0，记作01lim x x（3）还可以从差式│y －0│上看，随着x →＋∞ (或x →－∞),差式无限趋近于0，即函数y ＝x1无限趋近于0，这说明01lim x x (或01lim x x )函数f(x)的变化趋势与极限的关系见下表：几种特殊函数的极限：（1）常数函数f(x)＝C (C 为常数,x ∈R),有C x f x)(lim（2）函数xx f 1)(（x ≠0）,有01lim x x .2. x →x 0时，函数)(x f 的极限例1. 考察函数y ＝x 2，当χ无限趋近于2时，函数的变化趋势．①从表一上看：自变量x<2趋近于2(x 2)时，y 4． 从表二上看：自变量x>2趋近于2(x 2)时，y 4．②从图象上看：图象见教科书第79页，自变量x 从左侧趋近于2(即x 2)和从右侧趋近于2(即x 2)时，y 都趋近于4．③从差式|y －4|看：差式的值变得任意小(无限接近于0)．从任何一方面看，当x 无限趋近于2时，函数y ＝x 2的极限是4．记作： 2lim x x 2＝4注意：x 2，包括分别从左、右两侧趋近于2．例2. 考察函数112 x x y (x ≠1),当x 1时的变化趋势.分析：此例虽然在x ＝1处没有定义，但仍有极限．即：2)1(lim 11lim121 x x x x x 定义：一般地，当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋近于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a ．记作a x f x x )(lim 0或当0x x 时，a x f )(.注：当0x x 时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否有定义无关，因为0x x 并不要求0x x ．（当然，)(x f 在0x 处是否有定义也与)(x f 在0x 处是否存在极限无关．故函数)(x f 在0x 有定义是)(lim 0x f x x 存在的既不充分又不必要条件．）如1111)(x x x x x P 在1 x 处无定义，但)(lim 1x P x 存在，因为在1 x 处左右极限均等于零．3. 函数)(x f 的左、右极限例3 考察函数f(x)＝x x 01).0(),0(),0(时当时当时当 x x x 当x 0 时，或x 0 时函数的变化趋势．分析： 此例与上两例不同，x 从原点某一侧无限趋近于0，f(x)也会无限趋近于一个确定的常数．但从不同一侧趋近于0，f(x)趋近的值不同，这时f(x)在x 0处无极限．定义：如果x 从x ＝x 0的单侧无限趋近于x 0时，f(x)无限趋近于一个常数a ，那么a 叫做f(x)单侧的极限．当x x0时，f(x)的极限a 1叫做左极限，记作1x x a )x (f lim 0；当x x0时，f(x)的极限a 2叫右极限，记作2x x a )x (f lim 0．只有a 1＝a 2时，a x f x x )(lim 0才存在。
高三数学-24极限的四则运算法则 推荐
(1) lim(3x2 2x 1); x1
( x 3)(2x 1)
(3) lim x1
x 5x 6
;
2.求 下 列 极 限:
(2)lim 2x 1;
x2 3x 1
x2 2x2 2
(4) lim x0
5x2 4
.
x2 4
(1) lim
;
x2 x 2
x2 x 2
(2) lim x1
知
lxim
x2 1 x1
ax
b
0,求常 数a和b的 值.
[ lim ]n ,(n x x0
N ).
例1 求下列极限 :
(1) lim xn; x x0
1
(2) lim x
xn
.
2.4极限的四则运算
例2 求下列极限:
2x2 x 1
(1)
lim
x1
x3
x2
1
;
x2 1
(2)
lim
x1
2x2
x
1
.
2.4极限的四则运算
1.求 下 列 极 限:
三、练习巩固
x2 x
;
x2 x 6
3x 3
(3) lim x2
x2
;
(4) lim x1
1
x2
.
2.4极限的四则运算
3.求下 列极限:
cos x sin x
(1) lim
;
x cos 2 x
4
(2) lim x2
4 x2
4
x
1
. 2
4.已 知lim x1
x x2
a
1
b
1, 求a,
高三数学函数极限试题答案及解析
高三数学函数极限试题答案及解析1.已知定义在上的函数满足.当时.设在上的最大值为，且数列的前项和为，则 . （其中）【答案】【解析】依题意可得函数.所以，，，…，.所以数列是一个首项为1，公比为的等比数列.所以.所以.【考点】1.函数的性质.2.数列的通项.3.函数的最值.4.极限问题.2.计算：= .【答案】【解析】这属于“”型极限问题，求极限的方法是分子分母同时除以（的最高次幂），化为一般可求极限型，即．【考点】“”型极限3.计算：=_________．【答案】3【解析】这种极限可先把待求极限式变形，然后观察是哪种展开式的极限再选用相应的方法，．【考点】“”型极限．4.若，则．【答案】【解析】由已知可得，所以，解得．【考点】极限的计算5.函数在处的极限是（）A．不存在B．等于C．等于D．等于【答案】A【解析】分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限.[点评]对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键。
6.等差数列，的前n项和分别为，则【答案】【解析】解：7.已知，则_______【答案】-2【解析】得，所以-2.8.若展开式的第项为，则________【答案】 2【解析】略9.设，求的最大值【答案】【解析】略10.___________【答案】【解析】略11.函数在点处可导，则，b=【答案】【解析】略12.极限存在是函数在点处连续的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【答案】B【解析】略13.函数f (x)＝在点x=1和x=2处的极限值都为0，而在点x=-2处不连续，则x·f(x)<0的解集是（）A．（-2，0）∪（1，2）B．（-2，2）C．（－∞，-2）∪（1，2）D．（-2，0）∪（2，+∞）【答案】A【解析】略14.（）A．B．0C．D．不存在【答案】A【解析】略15.= .【答案】-1【解析】略16.已知，则的值为（）A．a B．2a C．3a D．9a【答案】D【解析】则17. .【答案】【解析】略18.=A．—1B．—C．D．1【答案】B【解析】=19.已知，则的值为 .【答案】-8【解析】略20. ( )A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】本题主要考查极限的运算，故原式，故选C。
高考三位一体数学讲义：第二讲：函数的极限
第二讲：函数的极限一、知识提领与拓展1、函数的有界性：存在某两数M, N 使得：当(,)()N,x a b M f x ∈<<时，则称()f x 在区间[,]a b 上为有界的。
2、无穷极限：一般地，当x 取正值且无限增大时，如果函数()y f x =的值无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于+∞时，函数()y f x =的极限为a 。
记作：lim ()x f x a →+∞=。
同理：lim ()x f x a →-∞= 当lim ()x f x →+∞=lim ()x f x a →-∞=，则lim ()x f x a →∞= 示例：求,,x y x x x x+=→+∞→-∞→∞21分别在时的极限。
3、函数在某一点极限：设函数)(x f y =在0x 的某去心邻域()00,U x δ内有定义，如果当x无限趋近于0x 时，)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，则称常数A 为当0x x →时函数)(x f 的极限，记作()A x f x x =→0lim 4、单侧极限(左、右极限)：设函数)(x f y =在区间()00,x x δ-（或区间()00,x x δ+）内有定义，若当自变量x 从0x 的左（右）侧无限接近于0x ，记作-→0x x (+→0x x )时，函数)(x f y =无限接近于一个确定的常数A ，则称常数A 为0x x →时的左（右）极限，记作A x f x x =-→)(lim 0，(A x f x x =+→)(lim 0). A x f x x =→)(lim 0的充要条件是=-→)(lim 0x f x x A x f x x =+→)(lim 0. 示例：求,,,,,x x y x x x x x x +-+>⎧⎪==→→→⎨⎪-<⎩100000010分别在时的极限。
5、函数极限的四则运算：同数列极限6、两个重要的极限： (1) 0sin lim 1x x x →= (2) e x x x =+∞→)11(lim (e t t t =+→10)1(lim )7、定理(L’Hospital : 洛必达法则)：如果①)(lim x f a x →=0、)(lim x F ax →=0； ②在a 的附近区域内f '(x )与 F '(x )都存在，且 F '(x )≠0； ③)()(limx F x f a x ''→存在（或为无穷大）； 则)()(lim x F x f ax →=)()(lim x F x f a x ''→。
高三数学数列极限试题答案及解析
高三数学数列极限试题答案及解析1.已知数列是公差为2的等差数列，是的前n项和，则= ．【答案】【解析】由题意得：，因此【考点】数列极限2.．【答案】【解析】．【考点】数列的极限．3.计算：．【答案】1【解析】这是“”型极限问题，求极限的方法是转化，分子分母同时除以化为一般的极限问题，．【考点】“”型极限.4.已知点列在直线上，P1为直线轴的交点，等差数列的公差为1 。
（1）求、的通项公式；；（2）若，试证数列为等比数列，并求的通项公式。
（3）．【答案】（1）（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）1【解析】（1）在直线∵P1为直线l与y轴的交点，∴P1（0，1），又数列的公差为1（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）【考点】本题考查了数列的通项及前n项和点评：等差数列的通项公式及应用是数列的重点内容，数列的大题对逻辑推理能力有较高的要求，在数列中突出考查学生的理性思维，这是近几年新课标高考对数列考查的一个亮点，也是一种趋势．随着新课标实施的深入，高考关注的重点为等差、等比数列的通项公式，错位相减法、裂项相消法等求数列的前n项的和等等5.设,,则等于( ).A．B．C．或D．不存在【答案】B【解析】即.6.… =_______________【答案】【解析】,所以.7.数列中，则数列的极限值（）A．等于B．等于C．等于或D．不存在【答案】B【解析】解：因为数列中，，可知数列有规律，那么利用极限概念可知其项的值趋近于1，选B.8.计算．【答案】【解析】略9.数列{an}中，a1=，an+an+1=，则（a1+a2+…+an） = （）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查数列求和技巧及无穷等比数列各项和知识。
由an+an+1=（a1+a2+…+an） =10.数列的通项公式为，则A．1B．C．1或D．不存在【答案】B【解析】由数列的极限的定义可知，数列的极限与该数列的前有限项的值无关，所以故选择B11.设正数满足，则【答案】【解析】略12.。
高三数学数列极限试题答案及解析
高三数学数列极限试题答案及解析1.过点且方向向量为的直线交椭圆于两点，记原点为,面积为,则_______【答案】1【解析】记，，因为，即的极限点为，过且方向向量为的直线方程为，代入椭圆方程，解得直线与椭圆的两交点，而，因此.【考点】数列的极限.2.．【答案】【解析】．【考点】数列的极限．3.．【答案】【解析】．【考点】数列的极限．4.若的展开式中的系数为，则=____________．【答案】2【解析】由二项式定理知的系数是，，所以.【考点】二项式定理，裂项相消求和，数列极限.5.数列的通项公式，前项和为，则=_____________.【答案】【解析】当时，，所以=.【考点】本小题主要考查裂项法求数列的前n项的和以及极限的求解，考查学生的运算求解能力.点评：裂项相消法和错位相减法是数列求和的常用方法，也是高考中经常考查的内容，要给予充分的重视.6.… =_______________【答案】【解析】,所以.7.、已知正项数列满足：，且，是数列的第项，则.【答案】1【解析】解：由得即，8.设常数，展开式中的系数为，则______【答案】1【解析】解：用二项式定理展开，则通项公式为则因此极限值为19.计算．【答案】【解析】略10.计算： .【答案】【】【解析】本题考查极限、等差数列求和及组合数公式由等差数列的求和公式有又所以即11.若() =9，则实数= .【答案】【解析】略12.已知函数在处连续，则( )A．0B．1C．D．【答案】D【解析】略13.．【答案】2【解析】略14.…）的值为．【答案】【解析】略15.A．B．C．D．不存在【答案】B【解析】略16.的值为（）A．－2B．C．D．【答案】B【解析】略17.【答案】【解析】略18.计算：。
【答案】.【解析】.【考点】极限的计算.19.已知，则______________．【答案】28【解析】由等差数列的前n项和公式，把等价转化为所以,然后求得a值．【考点】极限及其运算．20.．【答案】【解析】．【考点】极限的求法．。
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1. 用数学归纳法证明(n + 1) + (n + 2) +…+ (n + n)= n(3n—的第二步中，n=k+21时等式左边与n=k时的等式左边的差等于()(A)2k + 2(B)4k+ 3 (C)3k + 2 (D)k+12.若f (n) =1+1 11(n€ N*)，则当n=1 时，f (n)为12 32n 1(A) 11(B) 131 (C) 1 + 11(D)非以上答案234 ° 23. 用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=一a一 (a^ 1, n€ N*),在验证n=1成立1 a时，左边计算所得的项是(A) 1 (C) 1+a+a2(B) 1+a (D) 1+a+a2+a34.用数字归纳法证明1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，在验证n=1成立时,左边所得的代数式是()(A)1 (B) 1+3(C)1+2+3(D)1+2+3+45.用数学归纳法证明丄21 + a+ a +…+n 2n+1 1 aa = (n N, a1 a1)中，在验证n=1成立时，左边应为()(A)1 (B)1+ a (C)1+ a+ a2(D)1i i 2 | 3+ a+ a + a6. 用数学归纳法证明等式“ 1 + 2+ 3+-+( n+ 3) =(n 3)(n 4) (n N)”，2当n=1时，左边应为 ____________ 。
111 1 17. 用数学归纳法证明某个命题时，左式为1 1 1丄—丄(n为正偶数)2 3 4 n 1 n从” n=2k到n=2k+2” ,左边需增加的代数式是____ 。
8. 用数学归纳法证明1+2+3+- +(2 n+1)=( n+1)(2 n+1)时，从“n=k到n=k+1” , 左边需增添的代数式是______ 0班级姓名座号6.________ .!_.____ 8. . ________________ _____________________9. 用数学归纳法证明：(n N)1 —22+ 32- 42+…+ ( - 1)n -1• n2=( - 1)n -1• n(n 1210.用数学归纳法证明：(n N)-4 4丄=-4n=313?4n同步练习X020124 •某个命题与自然数n 有关，如果当 n=k ( k € N*)时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立.现在已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得(A )当n=6时该命题不成立； (B )当n=6时该命题成立 (C )当n=4时该命题不成立 (D )当n=4时该命题成立 5. 用数学归纳法证明“(3n + 1)7n -1能被9整除(n N)”的第二步应为 。
6. 用数学归纳法证明1 + 2+ 3 +…+ n=^ 卫(nN)的第二步应是；假设2时等式成立，即 ，那么当 寸，左边=1 + 2+- + =(1 + 2 + …+ ) + = + = ， 右 边= 故左边 边，这就是说。
7. 用数学归纳法证明“当n 是非负整数时55n+1+ 45n+2+ 35n能被11整除”的第一步 应写成：当 n=______ 寸，55n+1 + 45n+2+ 35n = _____ = _____ ，能被 11 整除。
1.利用数学归纳法证明“对任意偶数 n , a n - b n 能被a + b 整除”时，其第二步论 证， (A) (B) (C) (D) 应该是 ()假设n=k 时命题成立，再证n=k + 1时命题也成立。
假设n=2k 时命题成立，再证n=2k + 1时命题也成立 假设n=k 时命题成立，再证n=k + 2时命题也成立。
假设n=2k 时命题成立，再证n=2(k + 1)时命题也成立 2. 用数学归纳法证明“ 42n 1+ 3n+1(n N)能被13整除” 为了使用归纳假设，对42k+1+ 3k+2变形正确的是 ()(A)16(4 (C)(4 2k 1 + 3k+1)-13 X3k+1 2k 1 k+1 2k 1 k+1 + 3 ) + 15X 4 +2X 3(B)4 (D)3(4o 的第二步中，当n=k + 1时 X42k + 9X3k2k 1 k+1 2k 1+ 3 )-13 X 43. 用数学归纳法证明 1 1 1 1- 1 + 1 — 1 2 3 4 左边应添加的项为 1 (A) 2k 1 1(C)——2k 2 2n 1 1 2n n 1( 2n (nN),则从k 到k + 1时,(B) (D)12k 2 1 2k 1 12k 4 12k 2班级 姓名 座号9.用数学归纳法证明32n+2— 8n — 9(n N)能被64整除.5. 第二步应为 _____________ .6. 假设 ____ —时等式成立，即 __ ，那么当 _________ 时，左边 =1+ 2 + …+ ________ =(1 + 2 + …+ _________ ) + ____________ = ______ + _____= ，右边=，故左边 右边，这就是 说 .7. 用数学归纳法证明“当n 是非负整数时55n+1+ 45n+2+ 35n 能被11整除”的第一步 应写成：当 n=_时，55n+1+45n+2+ 35n = __________ = ___ ，能被 11 整除.8. 用数学归纳法证明：(n N)1 — 2+ 4- 8+-+ ( — 1)n -1 • 2n -1=( — 1)n -1 • — + -.33同步练习X020131. 平面上有k(k 3)条直线，其中有k-1条直线互相平行，剩下一条与它们不平 行，则这k 条直线将平面分成区域的个数为 () (A)k 个 (B)k + 2 个 (C)2k 个 (D)2k + 2 个2. 已知凸k 边形的对角线条数为f(k)(k 3)，则凸k + 1边形的对角线条数为 4. 平面内原有k 条直线，它们将平面分成f(k)个区域, 这k + 1条直线将平面分成的区域最多会增加()(A)k 个 (B)k +1 个 (C)f(k) 个5. 同一平面内有n 个圆,其中每两个圆都有两个不同交点则这n 个圆把平面分成 ()(A)2n 部分(B)n 2部分(C)2n — 2 部分(D)n 2-n + 2 部分6. 平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一 点，这n 个圆把平面分成f(n)个部分，则满足上述条件的n + 1个圆把平面分成 的部分f(n + 1)与f(n)的关系是 () (A)f(n + 1)=f( n) + n (B)f( n + 1)=f( n) + 2n (C)f( n + 1)=f( n) + n + 1 (D)f( n + 1)=f( n) + n + 27. 通过一点的k 个平面， 其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线，这 k 个平面将空间分成个f(k)部分，则k+1个平面将空间分成f(k+1)=f(k)+ ___________ 个部分.8. 平面内原有k 条直线，这k 条直线没有两条互相平行，没有三条交于同一点， 它们互相分割成f(k)条线段或射线，则增加一条这样的直线，被分割的线段或射 线增加 _____________ 。
9. 平面上两两相交且任何三条不过同一点的 k 条直线将平面分面f(k)个部分，则 k+1条直线把平面分成为f(k+1)=f(k)+ _______ 个部分边形的内角和为f(k)，则凸k + 1边形的内角和f(k +1)与f(k)的关系是f(k +()(A)f(k) + k (B)f(k) + k + 1 c 1 1 11 / 3. Sk —(k k 1 k 2 k 3 2k(A) S k +1(B) S2(k 1)(C)f(k) + k-1 (D)f(k) + k-21,2,3,), 则 S k+1 = ()丄11k+ -2k 2 k 1(C) S k +1 2k 11 2k 2(D) S12k 11 2k 2则增加第k +1条直线后,(D)f(k) + 1 个 ,并且三个圆不过同一点 k+班级 姓名 座号9.用数学归纳法证明32n+2— 8n — 9(n N)能被64整除.7. .8 9. 10. ______. _____ __________________11、平面上有n 个圆,其中任意两圆都相交，任意三圆不共点，试推测n 个圆把平 面分为几部分？用数学归纳法证明你的结论.12、已知 f(x)= x 2 9 (x < — 3), 若U 1 = 1,U n = — f7(U n -1)( n > 2),试归纳出U n 的表示式，并用数学归纳法证明同步练习X020141. 在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，步应验证（）A．B．D．2. 如果命题时成立，则它对也成立，又若成立，则下一结论正确的是（）3．等式A．为任何正整数时都成B •仅当2，3 时成立C.当=4时成立,=5时不成立 D .仅当4．用数学归纳法证明时，第一步即证下述哪个不等式成立A．B．C．D．5．在数列中，，且，猜想的表达式，其结果是6.若，则7 •观察下列式子：1+2 3, 1+丄2 V -，1 + 2 \ \ -，…则可归纳出:22 2 2232 3 2232424班级 姓名 座号7. __________________ . ___________________1 2 9. 已知数列｛a n ｝满足印-，且前n 项和S 满足：S=n a n ，求｛a n ｝的通项公 2式，并给出证明.8.求证：n 棱柱中过侧棱的对角面的个数是f(n)n(n 3) 2同步练习X020211 数列1, -1 , 1, -1 ....... ,(-1) n-1 ...... 的极限为( )A. 1 B 1 C . 1 和—1 D .不存在2．数列：的极限为（3．下列无穷数列中，有极限的数列是（)A．1 B．0 C． D ．不存在3．下列无穷数列中，有极限的数列是（)A．B．C．D．4．下列无穷数列中，极限不存在的数列是(B. 3, 3, 3, (3)A．D．5．“数列{ a n} 是无穷数列”是“ { a n} 有极限”的（）C.充要条件 D .既不充分也不必要条件A.充分不必要条件 B .必要不充分条件6．已知数列7．无穷数列，则的极限是1，…;(3)1 1 2,4,1 a 8， ，2n(4) 2,4,8，…，2n ,(5),,,1 10n(7) 12’ 3'4‘…,(1)n1 …. ;n 1(6) 0,班级姓名座号同步练习X02022A. ( 0, 1)4C.(0, 1U(‘ 1—) 44123. limn、一n( .. n1一n 1)等于A.1B. 0 C .-21若limS=—,则首项a i的取值范围是n 41B.( 0，21 1D. ( 0, — )U( — , 1)4 2D.不存在S1.设等比数列｛q n J (|q| > 1)的前n项和为S,则lim n 2的值是n S nA. 12B.14 C2•q D. q4q q2•设S是无穷等比数列的前n项和,4. 已知无穷数列｛a n｝、｛b n｝的通项公式分别是a n=3, b n=n3,，由它们构成四个新数列：③ ④其中极限存在的数列的序号是A.①和② B .①和③ C .②和③ D .②和④n15. 无穷数列5 丄 ______ 的极限是.56. _________________________________________ 数列7, 7, 7,…，7,…的极限是 __________________ .班级姓名座号7•数列｛tan n a｝的极限存在，贝蛹的取值范围是．(1)写出|a n -1|的表达式； (2)求数列｛a n ｝的极限.9•满足什么条件的等差数列有极限？满足什么条件的等比数列有极限？满足什 么条件的等差数列的前n 项和S n 有极限？满足什么条件的等比数列的前 n 项和 S n 的极限存在？8 •已知数列n 2 1班级 姓名 座号10•数列｛a n ｝的前n 项和为S ，且S n 2 * . 1严N).，求的值.同步练习X02031班级___________ 姓名______________________ 座号__________________1 .的值是（）A. 0 B . 1 C .不存在 D . - 12. 下列结论正确的是（）A. B .D．C．3. 判断下列函数的极限:(1) lim 0.4XX(2) lim 1.2XX(3) lim( 1)(4) lim 4XXX(5) lim 1 X()X(6)5 X lim (—)XX10X(7) lim X 12 (8) lim 5Xn4.求函数lim的极限:x 同步练习X020321函数f ( X)在X=X o处的极限不存在，则A.C. f (x)在x=X0处必有定义Bf (X)在X=X0处及其附近没有定义.f (X)D . f在X=X o处没有定义(X)在X=X0处可能有定义，也可能无定义2. limX X3等于A.3 . lim XA.4. 已知A.5.A.6.A.7.9 . lim X 110 . 11 .B. 0 C D.不存在X2ax3x3B.0133=2,则a等于2X—2ax2x 5B. 56D. 15-，则6a值为265D.265X一等于12B.3 C . 1 D.不存在lim(x1)m(X 1)n (n N,m N )等于x 0XB.m- nC. n D .不存在n f(x)=a, 则lim [cf (x) 一 ;X)X X022X a=X a极限m设XX m1limX a壬)=Vx 1長lim [ f (x) nX X0 Xi m)—x 1(1 x)(1 2x)(1 3x) 1(x)= X 1-的极限为1,贝U x的变化趋向是1(x 1) x2班级姓名 座号; .8 9. 10. L 12 •求函数lim 1 x 1的极限.x 0<4 x 2(m , n € N *)的极限是否存在？若存在，写出其13. f (x )为多项式，且limxf(x) 4x 3 2x=1,lim 上^ =5,求 f (x ).x 014.当x fa 时，函数2同步练习X020411.求下列极限 2Xm2H X 4)33X (2^1 m 3X2XXX22X3X43X叫H XImI XmX叫XX —5X2)15X2262imml H m 2 2m2 H 23XX X2 mH X2 3X 6 X X2 3X35X25XX X2 mo H Xm 4-H 91班级 ___________ 姓名 _____________________ 座号__________________2.已知函数f (x)在(一1, 1)上有定义，f () =—1，当且仅当O v x v 1时，f (x) 2v 0，且对任意x、y € (—1, 1),都有f (x) +f (y) =f ( -一y)，试证明：1 xy(1) f (0) =0且f (x)为奇函数；1 2x(2)若对数列｛X n｝满足：X1= , X n+1= ，求f ( x n)；(3)在(2)的条件下，求limn f(X n 1)f(x n) 11 a 3b7.已知 lim a n =3, lim b n =—，贝V lim ----------- = ___________nn3 n 2a na 5& 若 lim --------- =4,则 lim a n 的值为 _______________.n1 a nn9. _____________________________ 极限 lim (x +ln x ) =.n 1同步练习X020421 若 lim (5a n +4b n )=7, lim (7a n — 2b n )=5,贝U lim (6a n +b n )等于 n nnA. 1B . 2C . 3D. 62•若lim a n =A lim b n =B,则下列各式中必定成立的是 nnA. lim ( na n ) =nA B . lim a n n =A nnnC lim- Dnb n Blim (ma +kb n ) =mAkB (m k 为常数)n3.若 lim b n =0,nlim a n 存在，则 nlimnb nA.—定不存在 B .—定存在 C可能存在也可能不存在D .若 limn，则极限4 .limC 0C2n C 2C2nC 4C2n2nC2n等于n1 4nA. —1B .— 1C .1D. 0245 .已知 lim n(52 1 —an )=0,则a 的值为A. 0B. 1 C.—1D. 26 . 以下 4个 命题中, 正确的是c.若 lim(a n — b n ) =0,贝U lim a n =lim b ； nnD .若 lim a n =A ，则 lim a nnnr r . 2 2A.若 lim a n =A ，则 lim a n =AB .若a n >0, lim a n =A ，贝yA >0；班级姓名 座号ABD7. .8 9.110. 已知函数f (x )在(一1, 1) 上有定义，f ( ) =— 1，当且仅当0v x v 1时，f (x )2v 0，且对任意 x 、y € (— 1, 1),都有 f (x ) +f (y ) =f ()，试证明：1 xy求 f (x n ) ；( 3)在(2 )的条件下，求 lim f (X n 1)nf (x n )111.已知数列｛a n ｝为等差数列，公差d M 0,由｛a n ｝中的部分项组成的数列a b1,a b2，…，a bn ,b 3=17. ( 1)求数列｛ b n ｝的通项公式;1 2(2)记 T n =C 11b 1 C ：b 2…+40，求 limnT n 4n b n12.在一个以AB 为弦的弓形中, C 为佥上的中点，自A B 分别作圆弧 AB 的切线，交于D 点,设x 为弦AB 所对的圆心角，求limS AB^ 的值.n 0(1) f (0) =0且f (x )为奇函数;(2)若对数列｛*｝满足:1X 1=,2X n+1= 2X n21 xn为等比数列，其中 b 1=1, b=5,2,同步练习X020431. 下列无穷等比数列各项的和:(1) 8, 2丄，3，；93 282. 循环小数为分数: (1) 0.27。