九、解非线性方程组的逐步搜索方法和二分法
二分法及迭代法求解非线性方程根
二分法及迭代法求解非线性方程根二分法及迭代法求解非线性方程根班级：姓名：方学号：日期：一、实验目的1、熟悉二分法及迭代法求解非线性方程根的数值算法；2、用matlab软件实现二分法及迭代法，掌握迭代法的收敛性和收敛速度问题及其加速方法；二、基本理论及背景1、牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确的解。
这是牛顿迭代法比简单迭代法优越的地方，但是选定的初值要接近方程的解，否则有可能得不到收敛的结果，再者，牛顿迭代法计算量比较大。
因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值。
2、牛顿迭代理论推导：设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y =f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。
过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。
重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r 的n+1次近似值；3、参考《二分法求非线性方程根》，实现二分算法，完成下面的题目：1 求方程○的根，精度至少达到10-6；1中方程根的收敛性：比较迭代下列迭代法求解○21/ 2○,；1中方程的根（精度至少达到10-6）2中收敛用牛顿法设计迭代函数求解○，并与○的迭代法比较收敛的速度。
三、算法设计及实现1function f=fun1(x) 1、设计：方程○f=exp(x)-x-3;；2 function y=Exp2(x) ○y=exp(x)-3;function y=Exp3(x)y=log(x+3);牛顿迭代：2/ 2。
数学中的非线性方程求解算法研究
数学中的非线性方程求解算法研究一、引言非线性方程是数学中的重要问题，具有广泛的应用背景。
在现实生活中，很多问题都是由非线性方程建模的，需要通过求解非线性方程来得到问题的解。
因此，对于非线性方程求解算法的研究具有重要的理论和实际意义。
本文旨在对目前常用的非线性方程求解算法进行详细介绍，并对其优缺点进行评价和比较。
二、二分法二分法也称为割线法或区间收缩法，它是一种比较基础的求解非线性方程的方法。
具体来讲，二分法的思想是：首先给定一个初始区间，然后取区间中点作为近似值，通过与零点的比较来缩小区间，直到区间长度小于给定的精度要求为止。
二分法的基本流程可以简述如下：1. 给定初始区间[a,b]，满足f(a)f(b)＜0。
2. 求出中点c=(a+b)/2。
3. 计算f(c)并判断其与零点的位置关系。
4. 根据f(a)f(c)＜0或者f(c)f(b)＜0将区间缩小。
5. 重复步骤2~4，直到满足收敛条件。
二分法的优点在于其思路简单，易于实现和理解。
但是，其收敛速度比较慢，并且对函数的单调性和连续性要求比较高。
三、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种基于导数信息的非线性方程求解方法。
其基本思想是：选取一个初始点作为近似解，并通过不断迭代，逐渐逼近方程的零点。
牛顿迭代法的基本流程如下：1. 选取一个初始点x0。
2. 计算函数f(x)的一阶导数f'(x0)。
3. 计算当前点x0的函数值f(x0)。
4. 根据泰勒公式得到近似解x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
5. 重复步骤2~4直到满足收敛条件。
牛顿迭代法具有收敛速度快的优点，尤其适用于连续可微的函数。
但是其缺点在于需要求取函数的一阶导数，如果函数难以求导或者计算导数比较费时，则会影响其求解效率和准确性。
四、弦截法弦截法是一种基于线性插值的非线性方程求解方法。
其基本思路是：从两点出发构造一条直线，通过直线与x轴的交点来逼近方程的零点。
根据插值定理，可以通过两个初始点上的函数值来构造一条直线，并根据截距与零点的位置关系来选择新的近似解。
非线性方程(组)的数值解法#
第三章 非线性方程(组)的数值解法一．取步长1h =，试用搜索法确立3()25f x x x =--含正根的区间，然后用二分法求这个正根，使误差小于310-。
【详解】因为是要寻找正根，因此，可选含根区间的左端点为0。
(0)5f =-，(1)5f =-，(2)1f =-，(3)16f =，因此，(2,3)中有一个正根。
这就确立了含根区间。
接下来，我们用二分法求这个正根，使误差小于310-，计算结果如下表 迭代次数k ak b k x0 2 3 2.5 1 2 2.5000 2.250 0 2 2 2.2500 2.125 0 3 2 2.1250 2.062 5 4 2.0625 2.1250 2.093 8 5 2.0938 2.1250 2.109 4 6 2.0938 2.1094 2.101 6 7 2.0938 2.1016 2.097 7 8 2.0938 2.0977 2.095 7 92.09382.09572.094 7二．对方程2()2sin 20f x x x =--=，用二分法求其在区间[]1.5,2内的根，要求误差小于0.01。
【详解】用二分法求解方程在[]1.5,2内的根，要求误差小于0.01，计算结果如下表： 迭代次数k ak b k x0 1.5 2 1.75 1 1.7500 2.0000 1.8750 2 1.8750 2.0000 1.9375 3 1.9375 2.0000 1.9688 4 1.9375 1.9688 1.9531 51.95311.96881.9609三．用不动点迭代法，建立适当的迭代格式，求方程3()10f x x x =--=在0 1.5x =附近的根，要求误差小于610-。
【详解】310x x --=，等价于x =。
这样，可以建立不动点迭代格式1k x +=当0x ≥时，总有23110(1)133x -'<=+≤<，因此，迭代格式对于任意初始值00x ≥总是收敛的。
求解非线性方程和方程组的一些新方法
求解非线性方程和方程组的一些新方法求解线性方程分为两种方法–二分法和迭代法常见的方法一共有5种二分法迭代法牛顿法割线法拟牛顿法Halley法使用条件二分法需要知道两个自变量，分别是一个根的两侧牛顿法迭代法是最常用的方法，收敛性信赖于初值，取不同的初值可以的方程不同的根，函数用的是一阶导数，输入的是一个猜想的可能的值割线法给定两个初值再带入计算,比如要在2附近求一个根，那就可以假设这个范围是（1.9，2）拟牛顿法这个比较方便，用时最好可以找到一个好的初始值Halley法需要知道函数值以及它的一阶求导、二阶求导这里我从计算代码的角度来解释一下，代码按以下顺序给出。
把方程组直接带入已知条件，就可以得到答案。
二分法基本函数是这样子的：y = dichotomy(fun,a,b,tol)；二分法的算法要输入四个变量，fun,a,b,tol：函数，一个根的左右点，tol=1.0e-6function y =fun(x)y = x^3-5* x +4.272;上面这个就是定义的fun，每次的输入的方程不同，第一条不动，直接改第二行就可以的。
比如这里我们要计算的方程y = x^3 - 5 * x + 4.272;我们是可以通过简单计算得到一个根的两侧分别是1和1.3那在窗口指令指令中输入x=dichotomy(’fun‘,1,1.3,1.0e-6)就可以得到结果function y =dichotomy(fun,a,b,tol)if nargin <4tol =1.0e-5;endn =1;iffeval(fun,a)*feval(fun,b)<0c =(a+b)/2;while(abs(b-c)>tol)&&(abs(feval(fun,c))>tol)if(feval(fun,c)*feval( fun,a)>0)a = c;c=(a+b)/2;elseif(feval(fun,c)*feval(fun,a)<0)b = c;c =(a+b)/2;elsey = c;tol =100;endn = n +1;endy = c;elseif feval(fun,a)==0y = a;elseif feval(fun,b)==0y = b;elsedisp('there may not be a root in the interval');endnfunction y =fun(x)y = x^3-5* x +4.272;牛顿法还是用刚才那道题，y = x^3 - 5 * x + 4.272，一阶导是y = 3 * x^2 - 5;function y =dfun(x)y =3* x^2-5;下面的是具体的算法，根据x = newton(x0,tol)，我们只需要输入一个我们猜想的值就可以。
非线性方程求解算法比较
非线性方程求解算法比较在数学和计算机科学领域中，非线性方程是一种无法简单地通过代数方法求解的方程。
因此，研究和开发高效的非线性方程求解算法是至关重要的。
本文将比较几种常见的非线性方程求解算法，包括牛顿迭代法、割线法和二分法。
通过对比它们的优缺点和适用范围，可以帮助人们选择最适合的算法来解决特定的非线性方程问题。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的非线性方程求解算法。
它基于泰勒级数展开，使用函数的导数信息来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$。
2. 计算函数$f(x_0)$和导数$f'(x_0)$。
3. 根据牛顿迭代公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。
4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。
牛顿迭代法的收敛速度很快，通常二次收敛。
然而，它对于初始值的选择非常敏感，可能会陷入局部极值点，导致找到错误的根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要根据具体问题选择合适的初始近似值。
二、割线法割线法是另一种常见的非线性方程求解算法。
它是对牛顿迭代法的改进，使用两个近似解来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$和$x_1$。
2. 计算函数$f(x_0)$和$f(x_1)$。
3. 根据割线公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。
4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。
与牛顿迭代法相比，割线法不需要计算导数，因此更加灵活。
然而，割线法的收敛速度比牛顿迭代法慢，通常是超线性收敛。
与牛顿迭代法一样，割线法也对初始近似值的选择敏感。
三、二分法二分法是一种简单直观的非线性方程求解算法。
它利用函数在根附近的特性，通过不断缩小区间范围来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始区间$[a,b]$，其中$f(a)$和$f(b)$异号。
非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法一、引言在数学领域中，非线性方程是指未知量与其对自身的各次幂、指数以及任意函数相乘或相加得到的方程。
求解非线性方程是数学中一个重要而又具有挑战性的问题。
本文将介绍几种常见的非线性方程求解方法。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种经典的非线性方程求解方法，它利用方程的切线逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，在初始点x0附近取切线方程y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)，令切线方程的值为0，则可得到切线方程的解为x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
三、二分法二分法是一种简单而又直观的非线性方程求解方法。
它利用了连续函数的中间值定理，即若f(a)和f(b)异号，则方程f(x)=0在[a, b]之间必有根。
根据中值定理，我们可以取中点c=(a+b)/2，然后比较f(a)和f(c)的符号，若同号，则根必然在右半区间，否则在左半区间。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
四、割线法割线法是一种基于切线逼近的非线性方程求解方法，它与牛顿迭代法相似。
由于牛顿迭代法需要求解导数，而割线法不需要。
设f(x)为非线性方程，在两个初始点x0和x1附近取一条直线，该直线通过点(x0,f(x0))和(x1, f(x1))，它的方程为y=f(x0)+(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)*(x-x0)，令直线方程的值为0，则可得到直线方程的解为x2 = x1 - (f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0))重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
五、试位法试位法是一种迭代逼近的非线性方程求解方法。
它利用了函数值的变化率来逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，选取两个初始点x0和x1，然后计算f(x0)和f(x1)的乘积，如果结果为正，则根位于另一侧，否则根位于另一侧。
然后再选取一个新的点作为下一个迭代点，直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
非线性方程的数值解法中的二分法
非线性方程的数值解法中的二分法
二分法，又称秦九韶算法，是一种用来求解非线性方程的有效的数值解法。
它可以有效地将一个不确定的区间划分为两个不相交的子区间，其中一个至少包含方程的一个根，而另一个不包含根，这样重复地使用子区间，就可以缩小包含根的子区间从而求出根。
它具有准确性好、计算量小、理论考虑简单等优点。
因此，二分法逐渐得到了在互联网科技领域的广泛应用，受到了更多关注。
作为一种基础性的数学算法，二分法的基本原理是将一个不确定的区间分成两个相等的小区间，其中一个必定包含方程的一个根，而另一个肯定不包含根，然后针对这两个相邻区间，不断求解，直到最后已经求出根为止。
具体地说，在给定一个区间[a，b]，要求函数f (x)在[a，b]内存在唯一根r，根据贴合定理，只需要计算函数在两个端点的值，并判断它们是否异号，如果异号，则区间[a，b]一定包含根r。
接着，利用c =(a＋ b) / 2将区间[a，b]分成两个小区间[a，c]和[c，b]，逐渐缩小根所在的区间范围，直到最后确定根的准确值。
由于数值计算的准确性高、计算量小、计算过程简单，因此二分法在许多互联网科技应用中大量采用，如自动搜索引擎服务，精准推荐等。
此外，在建模和科学研究中，二分法也被广泛运用，例如求解非线性方程组、解析一元函数最优解等。
综上所述，二分法是一种有效的数值解法，在互联网科技的应用非常广泛，如搜索引擎服务、精准推荐以及科学研究等，它具有计算准确度高、计算量小、理论需要考虑较少的优势，有效地解决非线性方程的求解问题，同时也为科技进步和科学发展作出了贡献。
非线性方程组求解
非线性方程组求解非线性方程组在科学、经济等领域中应用广泛，然而，由于非线性方程组的求解困难性，这使得许多问题存在困扰。
非线性方程组求解是一个复杂的过程，在此过程中需要对多种数学技术和算法有深入的了解。
本文就非线性方程组求解这个话题进行了探讨。
一、非线性方程组的定义非线性方程组是指一组包含至少一个非线性方程的方程组。
非线性方程组是一种数据的数学模型，它描述了在特定条件下各个因素之间的相互依赖关系。
非线性方程组的解通常用来预测一个系统的行为，并且是许多数学和科学领域的重要工具。
二、非线性方程组求解的困难性非线性方程组求解的困难性是因为它们存在着多个未知数和多个方程之间的相互依赖关系。
这使得非线性方程组的求解无法通过简单的代数运算来获得，而且通常需要更高级的数学知识和算法。
在许多情况下，非线性方程组可能无法解析地求解，这时需要采用数值方法来求解。
三、非线性方程组求解的方法1. 牛顿迭代法牛顿迭代法是最常用的求解非线性方程组的方法之一。
它将非线性方程组看作一组关于未知量的函数，并利用泰勒公式将其逼近为线性表达式。
由于直接求解非线性方程组比较难，牛顿迭代法通常将其转化为求解一系列线性方程组的问题。
2. 非线性迭代法非线性迭代法是一种通过递推计算的方式求解非线性方程组的方法。
具体地说，非线性迭代法会将非线性方程组转化为一组迭代公式，然后通过不断迭代来逼近方程组的解。
3. 二分法二分法是一种通过对非线性方程组的解进行区间逼近来求解的方法。
二分法的基本思路是通过每次将原来的区间对半分来寻找解所在的范围。
四、结语非线性方程组求解是一个重要的数学问题，应用广泛且具有挑战性。
本文主要介绍了三种很常用的求解方法，即牛顿迭代法、非线性迭代法和二分法。
在实际运用中，这些方法可以单独或者联合使用，以求得更准确的解。
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一、编写函数作图的程序，通过图形求出方程的近似解。
1、>> clear
>> syms x y
>> x=-10:0.1:10;
>> y=2.*x.*sin(x)-3;
>> plot(x,y);
>> grid
>> gtext('y=2.*x.*sin(x)-3')
2、>> clear
>> syms x y1 y2
>> x=0:0.1:10;
>> y1=2.*sin(x);
>> y2=3./x;
>> plot(x,y1,x,y2);
>> grid
>> gtext('y1=2sin(x),y2=3/x')
3、>> clear
>> syms x y
>> x=-2:0.1:4;
>> y=4.*x.^5-8.*x.^4-26.*x.^3+30; >> plot(x,y);
>> grid
>> gtext('y=4*x^5-8*x^4-26*x^3+30')
>> x=solve('4*x^5-8*x^4-26*x^3+30=0','x'); >> x1=double(x)
x1 =
1.0000
3.7117
-1.9244
-0.3936 + 0.9461i
-0.3936 - 0.9461i
二、用逐步搜索的方法求解。
function [k,r]=zhubuss(a,b,h,tol)
X=a:h:b;Y=funs(X);
n=(b-a)/h+1;m=0;
X(n+1)=X(n);Y(n+1)=Y(n);
for k=2:n
X(k)=a+k*h;
Y(k)=funs(X(k));
sk=Y(k)*Y(k-1);
if sk<=0
m=m+1;
r(m)=X(k);
end
xielv=(Y(k+1)-Y(k))*(Y(k)-Y(k-1));
if (abs(Y(k))<tol)&(xielv<=0)
m=m+1;
r(m)=X(k);
end
end
（1）function y=funs(x)
y=2.*x.^3+2.*x.^2-3.*x-3
>> [k,r]=zhubuss(-2,2,0.001,0.0001)
k =
4001
r =
-1.2240 -1.0000 -1.0000 -0.9990 1.2250
（2）function y=funs(x)
y=sin(cos(2.*x.^3))
>> [k,r]=zhubuss(-2,2,0.001,0.0001)
k =
4001
r =
-1.9190 -1.7640 -1.5770 -1.3300 -0.9220
0.9230 1.3310 1.5780 1.7650 1.9200
三、用二分法求解。
1、>> clear
>> syms x y
>> x=-4:0.1:4;
>> y=x.^3-x+4;
>> plot(x,y)
>> grid;gtext('y=2*x^3+2*x^2-3*x-3')
2、>> x=-4:1:4,y=x.^3-x+4
x =
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y =
-56 -20 -2 4 4 4 10 28 64 3、function [k,x,wucha,yx]=erfen(a,b,abtol)
a(1)=a;b(1)=b;
ya=fun(a(1));yb=fun(b(1));
if ya*yb>0
disp('ya*yb>0,重新调整区间端点a,b.')
return
end
max1=-1+ceil((log(b-a)-log(abtol))/log(2));
for k=1:max1+1
a;ya=fun(a);
b;yb=fun(b);
x=(a+b)/2;yx=fun(x);
wucha=abs(b-a)/2;k=k-1;
[k,a,b,x,wucha,ya,yb,yx]
if yx==0
a=x;b=x;
elseif yb*yx>0
b=x;yb=yx;
else
a=x;ya=yx;
end
if b-a<abtol
return
end
end
k=max1;x;wucha;yx=fun(x);
function y=fun(x)
y=x.^3-x+4
>> [k,x,wucha,yx]=erfen(-2,-1,0.001)
k =
9
x =
-1.7959
wucha =
9.7656e-004
yx =
0.0037。