湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={y|1<y≤6}，集合N={x|x2−2x−3≤0,x∈N∗}，集合P=M⋂N，则P的非空子集共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.设则f(g(π))=()A. 3B. 4C. 6D. 83.设α∈(0,π2)，sinα=√63，则tanα等于()A. 12B. √22C. √2D. 24.当a>1时，函数y=log a x和y=(1−a)x的图象只可能是()A. B.C. D.5.已知α角的终边经过点P(−6,y)，且，则y的值为()A. B. 52C. −52D. ±526.已知f(x)=√1+x，当π4<θ<π2时，f(sin2θ)−f[sin(−2θ)]的值为()A. 2sinθB. 2cosθC. −2sinθD. −2cosθ7.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有()A. d1>d2B. d1<d2C. d1>20mD. d2<20m8. 已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减，且a =f(−1)，b =f(log 24)，则实数a ，b 的大小关系时( )A. a <bB. a =bC. a >bD. 不能比较9. 已知函数f(x)=x 2−ax +1 在(1,3)有零点，则a 的取值范围为( )A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. [2,52)D. (2,103) 10. 设函数f(x)=cos(x +π3)，则下列结论错误的是( )A. f(x)的一个周期为−2πB. y =f(x)的图象关于直线x =8π3对称C. f(x +π)的一个零点为x =π6D. f(x)在(π2,π)单调递减11. 若函数f(x)=log 3(x 2+ax +a +5)，f(x)在区间(−∞,1)上是递减函数，则实数a 的取值范围为( ) A. [−3,−2] B. [−3,−2)C. (−∞,−2]D. (−∞,−2) 12. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则f(π)=( )A. √3B. −√3C. 1D. −1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数y =f(x +2)是奇函数，且x ∈(0,2)时，f(x)=2x ，则f(3.5)= ______ ．14. 记函数f(x)=3sin(2x −π3)的图像为C ，则下列结论中正确的是____(写出所有正确结论的序号)．①图像C 关于直线x =11π12对称;②图像C 关于点(2π3,0)对称;③函数f(x)在区间(−π12,5π12)上是增函数;④由y =3sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度后可以得到图像C ．15. 已知数列{a n }的前4项为11，102，1003，10004，…，则它的一个通项公式为______ ．16.函数f(x)={1, x>0 0, x=0−1, x<0,g(x)=x2f(x−1)，则函数g(x)的零点个数为．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设全集U=R，集合A={x|−1≤x<3}，B={x|2x−4≥x−2}．(1)求A∩B；(2)(∁U B)∪A．18.已知函数f(x)=4cosωx⋅sin(ωx+π6)+a(ω>0)图像上最高点的纵坐标为2，且图像上相邻两个最高点的距离为π。

(1)求的解析式f(x)；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像。

19.已知定义域为R的函数f(x)=−12+a3x+1是奇函数(1)求a的值；(2)判断函数f(x)的单调性并证明；(3)若对于任意的t∈(1,2)，不等式f(−2t2+t+1)+f(t2−2mt)≤0有解，求m的取值范围．20.如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每2min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．(Ⅰ)试确定点P距离地面的高度ℎ(单位：m)关于旋转时间t(单位：min)的函数关系式；(Ⅱ)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m？21.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)，对任意x、y∈(0,+∞)都有f(xy)=f(x)+f(y)．(1)求f(1)的值；(2)若f(x)在(1,+∞)上单调递增，①求证：f(x)在(0,1)上单调递增；②如果f(3)=1，解关于x的不等式f(5x)>f(x−1)+2．22.已知函数f(x)=x2−16x+c+3，(Ⅰ)若函数f(x)在区间[−1,1]上存在零点，求实数c的取值范围；(Ⅱ)是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−t？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由(注：[a,b]的区间长度为b−a)．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查一元二次不等式的解法、集合的交集及集合的子集，根据题意先求得N={0,1，2，3}，进而利用交集的定义可得P=M∩N={2,3}，从而即可求得结果．解：N={x|x2−2x−3≤0,x∈N∗}={x|−1≤x≤3,x∈N∗}={1,2，3}，因此P=M∩N={2,3}，所以P的非空子集共有22−1=3个．故选C．2.答案：B解析：本题主要考查的是分段函数求函数值的问题，属于基础题．直接利用分段函数解析式进行求值即可．解：因为π为无理数，所以g(π)=0，所以f(g(π))=f(0)=22=4．故选B．3.答案：C解析：解：∵α∈(0,π2)，sinα=√63，∴cosα=√1−sin2α=√33，则tanα=√6√3=√2，故选：C．由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．解析：本题考查函数的图象的判断，注意函数的基本性质与函数图象的特殊点是解题的关键．通过函数的特征，判断对数函数的图象与直线的图象，即可得到选项．解：因为a>1时，函数y=log a x是增函数，C，D不正确；直线y=(1−a)x的斜率小于0，所以A不正确，B正确．故选：B．5.答案：C解析：此题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．根据进行求解即可．解：由三角函数的定义可得：，解之得y=−52，故选C．6.答案：B解析：本题考查了同角三角函数的基本关系和二倍角公式，将被开方式转化为完全平方式，最后再结合角的范围进行化简即可。

因为f(x)=√1+x，所以f(sin2θ)−f[sin2(−θ)]=√1+sin2θ−√1+sin(−2θ)=√sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ−√sin2θ+cos2θ−2sinθcosθ=√(sinθ+cosθ)2−√(sinθ−cosθ)2=|sinθ+cosθ|−|sinθ−cosθ|因为π4<θ<π2，所以sinθ+cosθ>0,sinθ−cosθ>0,所以f(sin2θ)−f[sin(−2θ)]=(sinθ+cosθ)−(sinθ−cosθ)=2cosθ.7.答案：B解析：本题主要考查解三角形的应用，属于基础题.利用正切值求解即可．解：由tan50°=20d1，tan40°=20d2及tan50°>tan40°，可知，d1<d2．故选B．8.答案：C解析：解：∵f(x)是偶函数，∴a=f(−1)=f(1)，b=f(log24)=f(2)，∵函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减，∴f(1)>f(2)，即a>b，故选：C根据函数奇偶性和单调性之间的关系，进行比较即可．本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．9.答案：D解析：本题考查函数的零点存在定理，解题关键是应用零点存在定理时，要注意零点存在定理是充分条件，不是必要条件．解析：解：f(1)f(3)=(2−a)(10−3a)<0，2<a<103，又Δ=a2−4=0时，即a=±2，函数有唯一零点，a=2时，零点为x=1，不合题意，a=−2时，零点为x=−1，不合题意，所以2<a<103，故选D．10.答案：D解析：本题考查与余弦函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键，属于基础题．根据余弦函数的图象和性质分别进行判断即可．解：对于A，函数的周期为2kπ，k∈Z，当k=−1时，周期T=−2π，故A正确；对于B，当x=8π3时，cos(x+π3)=cos(8π3+π3)=cos9π3=cos3π=cosπ=−1为最小值，此时y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称，故B正确；对于C，，则f(x+π)的一个零点为x=π6，故C正确；对于D，当π2<x<π时，5π6<x+π3<4π3，此时函数f(x)有增有减，不是单调函数，故D错误．故选D．11.答案：A解析：本题考查对复合函数单调性的理解，属于中档题．判断复合函数单调性，首先要分清楚内外层函数，根据复合函数“同增异减”原则，同时内层函数的值域要满足外层函数的定义域要求，求解即可．解：由题意知f(x)在(−∞,1)上是递减函数；由f(x)=log3(x2+ax+a+5)得知，此复合函数外层函数为：y=log3x，在定义域上为增函数；内层函数为ℎ(x)=x2+ax+a+5；要使得f(x)在(−∞,1)上是递减函数，根据复合函数“同增异减”原则，内层函数ℎ(x)在(−∞,1)必须为减函数，同时须保证ℎ(1)≥0；∴{−a2≥1ℎ(1)≥0⇒−3≤a≤−2．故选A．12.答案：B解析：解：由函数f(x)的图象经过点(0,1)，(2π3,−1)，所以A=2，T=2π3×2=4π3，所以ω=2π4π3=32，所以1=2sinφ，且|φ|<π，所以φ=π6；所以f(x)=2sin(32x+π6)f(π)=2sin(32π+π6)=−2cosπ6=−√3．故选：B．根据函数f(x)的图象与性质，求出f(x)的解析式，再计算f(π)的值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．13.答案：−1解析：解：∵x∈(0,2)时，f(x)=2x，∴f(0.5)=1．∵函数y=f(x+2)是奇函数，∴f(−x+2)=−f(x+2)，∴f(3.5)=−f(−1.5+2)=−f(0.5)=−1．故答案为：−1．由x∈(0,2)时，f(x)=2x，可得f(0.5)=1.由于函数y=f(x+2)是奇函数，可得f(−x+2)=−f(x+ 2)，即可得出．本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．14.答案：①②③解析：本题考查了三角函数的图象与性质，直接根据正弦函数的性质求解即可，属于基础题．解：∵当x=11π12时，代入函数解析式中，函数的值y=3sin(2×11π12−π3)=−3，成立，故①正确；②中，由于将x=2π3代入函数式中，函数值是零，成立，故②正确；③中，由于根据x的范围可知得到2x−π3的范围，符合正弦函数的单调性，因此③正确；④中，应该是向右平移π6个单位后，能得到图象C，故答案为①②③．15.答案：a n=10n+n解析：解：由题意，11=10+1，102=102+2，1003=103+3，10004=104+4，∴它的一个通项公式为a n=10n+n．故答案为a n=10n+n．利用前几项，发现其规律，即可得出结论．本题考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．16.答案：2解析：本题考查函数的零点与方程的根之间的关系，属于基础题．求出g(x)的解析式即可得出答案．解：所以函数的零点为0和1，故答案为2．17.答案：解：(1)由2x−4≥x−2得，x≥2，则集合B={x|x≥2}，因为集合A={x|−1≤x<3}，所以A∩B={x|2≤x<3}；(2)因为全集U=R，集合B={x|x≥2}，所以∁U B={x|x<2}，所以(∁U B)∪A={x|x<3}．解析：本题考查了交、并、补集的混合运算，考查运算求解能力，属于基础题．(1)由2x−4≥x−2求出集合B，由交集的运算求出A∩B；(2)由补集的运算求出∁U B，再由并集的运算求出(∁U B)∪A．18.答案：解：，当时，ｆ(ｘ)取得最大值２+１+ａ=３+ａ，又∵ｆ(ｘ)最高点的纵坐标为２，∴３+ａ=２，即ａ=−１．∵ｆ(ｘ)图象相邻两个高点的距离为，∴ｆ(ｘ)的最小正周期为，故，．(2)解析：本题主要考查了三角函数的图象和性质以及三角函数的图象的画法的知识点，属于基础题．(１)根据条件确定函数最值和周期，利用三角函数的公式进行化简即可求ａ和ω的值，即可求得函数ｆ(ｘ)的解析式．(２)根据(１)可知函数ｆ(ｘ)的函数解析式，列举五点作图即可．19.答案：解：(1)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=−12+a2=0，∴a=1．(2)f(x)=−12+13+1，故f(x)是R上的减函数．证明：设x1，x2是R上的任意两个数，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=13x1+1−13x2+1=3x2−3x1(3x1+1)(3x2+1)，∵x1<x2，∴0<3x1<3x2，∴3x2−3x1(3x1+1)(3x2+1)>0，即f(x1)−f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在R上是减函数．(3)∵f(x)是奇函数，f(−2t2+t+1)+f(t2−2mt)≤0有解，∴f(t2−2mt)≤−f(−2t2+t+1)=f(2t2−t−1)，又f(x)是减函数，∴t2−2mt≥2t2−t−1在(1,2)上有解，∴m≤t2−t−1−2t =−t2+12t+12．设g(t)=−t2+12t+12，则g′(t)=−12−12t2<0，∴g(t)在(1,2)上单调递减，∴g(t)<g(1)=12．∴m的取值范围是(−∞,12).解析：(1)根据f(0)=0求出a的值；(2)根据函数单调性的定义证明；(3)根据奇偶性和单调性列出不等式，从而得出m的范围．本题考查了函数奇偶性、单调性的应用，函数最值的计算，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)建立平面直角坐标系，如图所示；设φ(0≤φ≤2π)是以x轴正半轴为始边，OP0(P0表示点P的起始位置)为终边的角，由题意知OP在t(min)内转过的角为2π2t，即πt；所以x轴正半轴为始边，OP为终边的角为(πt+φ)，即点P的纵坐标为40sin(πt+φ)，由题意知φ=π2，所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系式为ℎ=50+40sin(πt+π2)，化简得ℎ=50+40cosπt；(Ⅱ)当50+40cosπt>70时，解得2k−13<t<2k+13；又0≤t≤2，所以符合题意的时间段为0≤t<13或53<t≤2，即在摩天轮转动一圈内，有23min内P点距离地面超过70m．解析：本题考查了三角函数模型的应用问题，是中档题．(Ⅰ)建立平面直角坐标系，设φ是以x轴正半轴为始边，OP为终边的角，求出OP在t时间内转过的角度，表示出点P的纵坐标，再求点P距离地面的高度h关于t的函数关系式；(Ⅱ)计算50+40cosπt>70时t的取值范围，再求对应的时间段．21.答案：解：(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)．∴令x=y=1，得f(1)=f(1)+f(1)，则f(1)=0；(2)①若f(x)在(1,+∞)上单调递增，且f(1)=0，∴当x>1时，f(x)>0，设x1，x2∈(0,1)，且x1>x2，则x1x2>1，则f(x1x2)>0，∴f(x1)−f(x2)=f(x2⋅x1x2)−f(x2)=f(x2)+f(x1x2)−f(x2)=f(x1x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0,1)上的是增函数；(3)若f(3)=1，则f(9)=f(3)+f(3)=1+1=2，则不等式f(5x)>f(x−1)+2等价为f(5x)>f(x−1)+f(9)．即f(5x)>f(9x−9)．由(2)知函数在(0,+∞)上为增函数，则不等式等价为{5x >0x −1>05x >9x −9, 即{x >0x >1x <94，解得1<x <94， 即不等式的解集为(1,94).解析：本题主要考查抽象函数的应用，根据函数的奇偶性和单调性的定义和性质是解决本题的关键，属于中档题．(1)利用赋值法进行求f(1)的值；(2)①根据函数的单调性的定义判断f(x)在(0,1)上的单调性，并证明；②根据函数单调性的性质解不等式即可．22.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)=x 2−16x +c +3的对称轴为x =8，f(x)在[−1,1]上是单调减函数， 若函数在区间[−1,1]上存在零点，则有f(−1)f(1)=(20+c)(−12+c)≤0，解得−20≤c ≤12．(Ⅱ)函数f(x)=x 2−16x +c +3的对称轴为x =8，当t ≤8时，f(x)在[t,10]的最小值是f(8)=c −61，若最大值是f(10)=c −57，∴值域是[c −61,c −57]；区间长度为(c −57)−(c −61)=4，令12−t =4，解得t =8，满足条件．若最大值为f(t)=t 2−16t +c +3，则值域是[c −61,t 2−16t +c +3]；区间长度为(t 2−16t +c +3)−(c −61)=12−t ，求得t =15+√172 (舍去)，或t =15−√172，故t =15−√172满足条件． 当8<t <10时，f(x)在[t,10]的最小值是f(t)=t 2−16t +c +3，最大值是f(10)=c −57， ∴值域是[t 2−16t +c +3,c −57]；区间长度为(c −57)−(t 2−16t +c +3)=−t 2+16t −60， 令12−t =−t 2+16t −60，解得t =8(舍去)，或t =9．综上可得，存在t =8、t =15−√172、t =9满足条件．解析：本题考查了二次函数的图象与性质的应用以及分类讨论的问题，是易错题．(Ⅰ)由f(x)的图象与性质，得出f(x)=0在[−1,1]上有零点时，根据f(−1)f(1)<0，求出a 的取值范围；(Ⅱ)讨论t的取值，求出f(x)在[t,4]的最值，得出值域以及区间长度d，令12−t=d，解出t的值，判定是否满足条件即可．。