【推荐精选】2018年中考数学考点总动员系列 专题09 分式方程(含解析)
知识点09 分式方程及其应用2018-2019领军中考数学(原卷版)
专题九 分式方程及其应用瞄准中考一、选择题1. （2018黑龙江省龙东地区，16，3分）已知关于x 的分式方程211m x -=+的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤3B ．m ≤3且m ≠2C ．m ＜3D ．m ＜3且m ≠22. (2018甘肃省兰州市,10,4分) 关于x 的分式方程112=++x ax 的解为负数,则a 的取值范围为 A. a >1 B .a <1 C .a <1且a ≠-2 D .a >1且a ≠23. （2018黑龙江绥化，8，3分） 某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x 件电子产品，可列方程为（ ） A ．30020030x x =+ B ．30020030x x =- C.30020030x x =+ D ．30020030x x =-4. （2018湖南省怀化市，9，4分）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h ，它以最大航速沿江顺流航行100km 所用时间，与以最大航速逆流航行80km 所用时间相等，设江水的流速为v km/h ，则可列方程为（ ） A ．30100+v ＝3080-v B ．v v +=-308030100 C ．v v -=+308030100 D ．308030100+=-v v5. （2018贵州省毕节市，13，3分）某商厦进货员预测一种应季衬衫国畅销市场，就用10 000元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用22 000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍．但单价贵了4元，求这两批衬衫的购进单价，若设第一批衬衫购进单价为x 元，则所列方程正确的是( ) A ．422000100002+=⨯x x B ．422000210000+⨯=x x C ．422000100002-=⨯x x D ．422000210000-⨯=x x考点（知识点）讲解1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2018年中考数学试题分类汇编 知识点09 分式方程及其应用
知识点09 分式方程及其应用一、选择题1. （2018四川省成都市，8，3）分式方程1x x +＋12x -＝1的解是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝3 D ．x ＝－3【答案】A【解题过程】解：1x x +＋12x -＝1，去分母（x －2）（x ＋1）＋x ＝x （x －2），解得x ＝1，检验：把x ＝1代入x （x －2）≠0，∴x ＝1是原方程的解．故选择A ．【知识点】分式方程；分式方程的解法2. （2018·重庆B 卷，12，4）若数a 使关于x 的不等式组111(1)3223(1)x x x a x ⎧-≤-⎪⎨⎪-≤-⎩有且仅有三个整数解，且使关于y 的分式方程312122y a y y ++=--有整数解，则满足条件的所有a 的值之和是 （ ）A ．－10B ．－12C ．－16D ．－18【答案】B ．【解析】解不等式组，得－3≤x ≤35a +，由该不等式组有且仅有三个整数解，得－1≤35a +＜0，从而－8≤a ＜－3． 解方程312122y a y y++=--，得y ＝2a ＋5． 又∵y ≠2，即2a ＋5≠2， ∴a ≠－6．又∵y 为整数，∴满足条件的整数a 为－8和－4，其和为－12．故选B ．【知识点】一元一次不等式组的解法 分式方程的解法3. （2018湖南衡阳，8，3分）衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x 万千克，根据题意，列方程为（ ）A ．3036101.5x x -= B ．3030101.5x x -= C ．3630101.5x x -= D ．3036101.5x x +=【答案】A.【解析】解：设原来平均每亩产量x 万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克， 根据题意列方程为3036101.5x x-=，故选A. 【知识点】分式方程的应用、根据实际问题列分式方程4. （2018山东临沂，10，3分）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场，一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为5000万元.今年1－5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年整年的少20%.今年1－5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1－5月份每辆车的销售价格为x 万元根据题意.列方程正确的是( )A ．()5000120%50001x x -=+B ．()50001+20%50001x x=+ C .()5000120%50001x x -=- D ．()50001+20%50001x x =- 【答案】A【解析】去年一整年的销售数量用代数式1x +5000辆表示，今年1－5月份的销售数量用代数式x-%)2015000（⨯辆表示，根据相等关系“今年1－5月份的销售数量=去年一整年的销售数量”可列方程1x +5000=x-%)2015000（⨯，故选A.【知识点】分式方程 应用题5. （2018山东省淄博市，10，4分）“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%.结果提前30天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（A ）606030(125%)x x -=+ （B ） 606030(125%)x x-=+ （C ）60(125%)6030x x ⨯+-= （D ）6060(125%)30x x ⨯+-=【答案】C【思路分析】设的未知量为工作效率，已知的是工作总量，因此用工作效率和工作总量表示出时间，利用时间做等量关系列方程求解.【解题过程】实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原计划为125%x +，从而可得原计划时间为()60125%x⨯+，实际时间为60x ，再根据提前30天完成任务可列方程为60(125%)6030x x ⨯+-=，故选C.【知识点】分式方程的应用1. （2018湖南益阳，9，4分）体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（ ）A ．40×1．25x －40x =800B ．800800402.25x x-= C ．800800401.25x x -= D ．800800401.25x x -= 【答案】C【思路分析】设小俊的速度是x 米/秒，则小进的速度为1.25x ，分别列出两人所用的时间，根据“小进比小俊少用了40秒”列方程即可．【解析】解：设小俊的速度是x 米/秒，则小进的速度为1.25x ，小俊所用时间为800x，小进所用时间为8001.25x ，所列方程为800800401.25x x-=，故选择C ． 【知识点】分式方程的应用2. （2018山东德州，8，3分）分式方程()()31112x x x x -=--+的解为（ ） A ．1x = B ．2x = C.1x =- D ．无解【答案】D【解析】去分母，得()()(2)123x x x x +--+=，所以1x =，此时()()120x x -+=，所以原方程无解. 故选D.【知识点】解分式方程3. （2018广东广州，13，3分）方程146x x =+的解是_______． 【答案】x=2【解析】方程两边同乘以x (x ＋6)，得x ＋6＝4x ，解得，x ＝2．检验：当 x ＝2时，x (x ＋6)≠0，所以x ＝2是原方程的解．【知识点】分式方程的解法4. （2018湖北荆州，T5，F3）解分式方程14322x x-=--时，去分母可得（ ） A.()132 4x --= B.()1324x --=- C. ()1324x ---=- D.()1324x --=【答案】B【解析】解：原方程为x x -=--24321，即24321--=--x x 两边同时乘以(x －2)，得1－3（x -2）=-4，故选择B ．【知识点】分式方程5. （2018 湖南张家界，2，3分）若关于x 的分式方程 113=--x m 的解为2=x ，则m 的值为( ) A 5 B 4 C 3 D 2【答案】C【解析】解：∵关于x 的分式方程113=--x m 的解为2=x ，∴2=x 满足关于x 的分式方程113=--x m . ∴1123=--m ，解得m=3. 故答案是3.【知识点】分式方程的解.二、填空题1. （2018江苏无锡，13，3分） 方程31x xx x -=+的解是 . 【答案】32x =-【解析】两边同时乘以x （x+1），得()()231x x x -+=，即-2x-3=0， 解得32x =-. 检验：当32x =-时，x （x+1）=33313(1)()022224-⨯-+=-⨯-=≠， ∴32x =-是原方程的解.。
分式方程篇(解析版)--中考数学必考考点总结+题型专训
知识回顾微专题分式方程--中考数学必考考点总结+题型专训考点一：分式方程之分式方程的解与解分式方程1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2.分式方程的解：使分式方程成立的未知数的值叫做分式方程的解。
3.解分式方程。
具体步骤：①去分母——分式方程的两边同时乘上分母的最简公分母。
把分式方程化成整式方程。
②解整式方程。
③检验——把解出来的未知数的值带入公分母中检验公分母是否为0。
若公分母不为0，则未知数的值即是原分式方程的解。
若公分母为0，则未知数的值是原分式方程的曾根，原分式方程无解。
1．（2022•营口）分式方程3=x 的解是（）A ．x ＝2B ．x ＝﹣6C ．x ＝6D ．x ＝﹣2【分析】方程两边都乘x （x ﹣2）得出3（x ﹣2）＝2x ，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣2），得3（x ﹣2）＝2x ，解得：x ＝6，检验：当x ＝6时，x （x ﹣2）≠0，所以x ＝6是原方程的解，即原方程的解是x ＝6，故选：C ．2．（2022•海南）分式方程12-x ﹣1＝0的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣2C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】方程两边同时乘以（x ﹣1），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．【解答】解：去分母得：2﹣（x ﹣1）＝0，解得：x ＝3，当x ＝3时，x ﹣1≠0，∴x ＝3是分式方程的根，故选：C ．3．（2022•毕节市）小明解分式方程33211+=+x xx ﹣1的过程如下．解：去分母，得3＝2x ﹣（3x +3）．①去括号，得3＝2x ﹣3x +3．②移项、合并同类项，得﹣x ＝6．③化系数为1，得x ＝﹣6．④以上步骤中，开始出错的一步是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】按照解分式方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．【解答】解：去分母得：3＝2x ﹣（3x +3）①，去括号得：3＝2x ﹣3x ﹣3②，∴开始出错的一步是②，故选：B ．4．（2022•无锡）分式方程xx 132=-的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】将分式方程转化为整式方程，求出x 的值，检验即可得出答案．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣3）得：2x ＝x ﹣3，解得：x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，x （x ﹣3）≠0，∴x ＝﹣3是原方程的解．故选：D ．5．（2022•济南）代数式23+x 与代数式12-x 的值相等，则x ＝．【分析】根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可．【解答】解：由题意得，＝，去分母得，3（x ﹣1）＝2（x +2），去括号得，3x ﹣3＝2x +4，移项得，3x ﹣2x ＝4+3，解得x ＝7，经检验x ＝7是原方程的解，所以原方程的解为x ＝7，故答案为：7．6．（2022•绵阳）方程113-+=-x x x x 的解是．【分析】先在方程两边乘最简公分母（x ﹣3）（x ﹣1）去分母，然后解整式方程即可．【解答】解：＝，方程两边同乘（x ﹣3）（x ﹣1），得x （x ﹣1）＝（x +1）（x ﹣3），解得x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，（x ﹣3）（x ﹣1）≠0，∴方程的解为x ＝﹣3．故答案为：x ＝﹣3．7．（2022•盐城）分式方程121-+x x ＝1的解为．【分析】先把分式方程转化为整式方程，再求解即可．【解答】解：方程的两边都乘以（2x ﹣1），得x +1＝2x ﹣1，解得x ＝2．经检验，x ＝2是原方程的解．故答案为：x ＝2．8．（2022•内江）对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝a 1﹣b1．若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x 的值为．【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．【解答】解：由题意得：＝1，解得：x ＝．经检验，x ＝是原方程的根，∴x ＝．故答案为：．9．（2022•永州）解分式方程112+-x x ＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是．【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案．【解答】解：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是x （x +1）．故答案为：x （x +1）．10．（2022•常德）方程()xx x x 25212=-+的解为．【分析】方程两边同乘2x （x ﹣2），得到整式方程，解整式方程求出x 的值，检验后得到答案．【解答】解：方程两边同乘2x （x ﹣2），得4x ﹣8+2＝5x ﹣10，解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，2x （x ﹣2）＝16≠0，∴x ＝4是原方程的解，∴原方程的解为x ＝4．11．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，a ⊗b ＝a 1+b 1．若（x +1）⊗x ＝xx 12+，则x 的值为．【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．【解答】解：根据题意得：+＝，化为整式方程得：x +x +1＝（2x +1）（x +1），解得：x ＝﹣，检验：当x ＝﹣时，x （x +1）≠0，∴原方程的解为：x ＝﹣．故答案为：﹣．12．（2022•成都）分式方程xx x -+--4143＝1的解为．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3﹣x ﹣1＝x ﹣4，解得：x ＝3，经检验x ＝3是分式方程的解，故答案为：x ＝3．13．（2022•牡丹江）若关于x 的方程11--x mx ＝3无解，则m 的值为（）A ．1B ．1或3C ．1或2D ．2或3【分析】先去分母，再根据条件求m ．【解答】解：两边同乘以（x ﹣1）得：mx ﹣1＝3x ﹣3，∴（m ﹣3）x ＝﹣2．当m ﹣3＝0时，即m ＝3时，原方程无解，符合题意．当m ﹣3≠0时，x ＝，∵方程无解，∴x ﹣1＝0，∴x ＝1，∴m ﹣3＝﹣2，∴m ＝1，综上：当m ＝1或3时，原方程无解．故选：B ．14．（2022•通辽）若关于x 的分式方程：2﹣221--x k ＝x-21的解为正数，则k 的取值范围为（）A ．k ＜2B ．k ＜2且k ≠0C ．k ＞﹣1D ．k ＞﹣1且k ≠0【分析】先解分式方程可得x ＝2﹣k ，再由题意可得2﹣k ＞0且2﹣k ≠2，从而求出k 的取值范围．【解答】解：2﹣＝，2（x ﹣2）﹣（1﹣2k ）＝﹣1，2x ﹣4﹣1+2k ＝﹣1，2x ＝4﹣2k ，x ＝2﹣k ，∵方程的解为正数，∴2﹣k ＞0，∴k ＜2，∵x ≠2，∴2﹣k ≠2，∴k ≠0，∴k ＜2且k ≠0，故选：B ．15．（2022•黑龙江）已知关于x 的分式方程xx m x ----1312＝1的解是正数，则m 的取值范围是（）A ．m ＞4B ．m ＜4C ．m ＞4且m ≠5D ．m ＜4且m ≠1【分析】先利用m 表示出x 的值，再由x 为正数求出m 的取值范围即可．【解答】解：方程两边同时乘以x ﹣1得，2x ﹣m +3＝x ﹣1，解得x ＝m ﹣4．∵x 为正数，∴m ﹣4＞0，解得m ＞4，∵x ≠1，∴m ﹣4≠1，即m ≠5，∴m 的取值范围是m ＞4且m ≠5．故选：C ．16．（2022•德阳）如果关于x 的方程12-+x mx ＝1的解是正数，那么m 的取值范围是（）A ．m ＞﹣1B ．m ＞﹣1且m ≠0C ．m ＜﹣1D ．m ＜﹣1且m ≠﹣2【分析】先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解x ＝﹣1﹣m ，利用x ＞0和x ≠1得出不等式组，解不等式组即可求出m 的范围．【解答】解：两边同时乘（x ﹣1）得，2x +m ＝x ﹣1，解得：x ＝﹣1﹣m ，又∵方程的解是正数，且x ≠1，∴，即，解得：，∴m 的取值范围为：m ＜﹣1且m ≠﹣2．故答案为：D ．17．（2022•重庆）关于x 的分式方程x x x a x -++--3133＝1的解为正数，且关于y 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-+≤+132229a y y y 的解集为y ≥5，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．13B ．15C ．18D ．20【分析】解分式方程得得出x ＝a ﹣2，结合题意及分式方程的意义求出a ＞2且a ≠5，解不等式组得出，结合题意得出a ＜7，进而得出2＜a ＜7且a ≠5，继而得出所有满足条件的整数a 的值之和，即可得出答案．【解答】解：解分式方程得：x ＝a ﹣2，∵x ＞0且x ≠3，∴a ﹣2＞0且a ﹣2≠3，∴a ＞2且a ≠5，解不等式组得：，∵不等式组的解集为y ≥5，∴＜5，∴a ＜7，∴2＜a ＜7且a ≠5，∴所有满足条件的整数a 的值之和为3+4+6＝13，故选：A ．18．（2022•重庆）若关于x 的一元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≥-a x x x ＜153141的解集为x ≤﹣2，且关于y 的分式方程111+=+-y ay y ﹣2的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．﹣26B ．﹣24C ．﹣15D ．﹣13【分析】解不等式组得出，结合题意得出a ＞﹣11，解分式方程得出y ＝，结合题意得出a ＝﹣8或﹣5，进而得出所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，即可得出答案．【解答】解：解不等式组得：，∵不等式组的解集为x ≤﹣2，∴＞﹣2，∴a ＞﹣11，解分式方程＝﹣2得：y＝，∵y 是负整数且y ≠﹣1，∴是负整数且≠﹣1，∴a ＝﹣8或﹣5，∴所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，故选：D ．19．（2022•遂宁）若关于x 的方程122+=x mx 无解，则m 的值为（）A ．0B ．4或6C ．6D ．0或4【分析】解分式方程可得（4﹣m ）x ＝﹣2，根据题意可知，4﹣m ＝0或2x +1＝0，求出m 的值即可．【解答】解：＝，2（2x +1）＝mx ，4x +2＝mx ，（4﹣m ）x ＝﹣2，∵方程无解，∴4﹣m ＝0或2x +1＝0，即4﹣m ＝0或x ＝﹣＝﹣，∴m ＝4或m ＝0，故选：D ．20．（2022•黄石）已知关于x 的方程()1111++=++x x ax x x 的解为负数，则a 的取值范围是．【分析】先求整式方程的解，然后再解不等式组即可，需要注意分式方程的分母不为0．【解答】解：去分母得：x +1+x ＝x +a ，解得：x ＝a ﹣1，∵分式方程的解为负数，∴a ﹣1＜0且a ﹣1≠0且a ﹣1≠﹣1，∴a ＜1且a ≠0，∴a 的取值范围是a ＜1且a ≠0，故答案为：a ＜1且a ≠0．21．（2022•齐齐哈尔）若关于x 的分式方程4222212-+=++-x mx x x 的解大于1，则m 的取值范围是．【解答】解：，给分式方程两边同时乘以最简公分母（x +2）（x ﹣2），得（x +2）+2（x ﹣2）＝x +2m ，去括号，得x +2+2x ﹣4＝x +2m ，解方程，得x ＝m +1，检验：当m +1≠2，m +1≠﹣2，即m ≠1且m ≠﹣3时，x ＝m +1是原分式方程的解，根据题意可得，m +1＞1，∴m ＞0且m ≠1．知识回顾故答案为：m ＞0且m ≠1．22．（2022•泸州）若方程xx x -=+--23123的解使关于x 的不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0成立，则实数a 的取值范围是．【分析】先解分式方程，再将x 代入不等式中即可求解．【解答】解：+1＝，+＝，＝0，解得：x ＝1，∵x ﹣2≠0，2﹣x ≠0，∴x ＝1是分式方程的解，将x ＝1代入不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0，得：2﹣a ﹣3＞0，解得：a ＜﹣1，∴实数a 的取值范围是a ＜﹣1，故答案为：a ＜﹣1．考点二：分式方程之分式方程的应用1.列分式方程解实际应用题的步骤：①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。
方程应用--分式方程(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总
方程应用-中考数学重难点题型专题汇总分式方程（专题训练）1．（2022·云南）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵．则下列方程正确的是（）A．40030050x x=-B．30040050x x=-C．40030050x x=+D．30040050x x=+【答案】B【分析】设实际平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，根据：实际植树400棵所需时间=原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可．【详解】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，根据题意，可列方程：30040050x x=-，故选：B．【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程．2．（2022·山东泰安）某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单独做，则多用3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为x天，下面所列方程中错误的是（）A．2x1x x3+=+B．23x x3=+C．11x221x x3x3-⎛⎫+⨯+=⎪++⎝⎭D．1x1x x3+=+【答案】D【分析】设总工程量为1，因为甲工程队单独去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率为1x；因为乙工程队单独去做，要超过规定日期3天，所以乙的工作效率为1x3+，根据甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，列方程即可．【详解】解：设规定日期为x天，由题意可得，11x221 x x3x3-⎛⎫+⨯+=++⎝⎭，整理得2x1x x3+=+，或2x1x x3=-+或23x x3=+．则ABC选项均正确，故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．3．（2022·浙江丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x=-，则方程中x 表示（）A ．足球的单价B ．篮球的单价C ．足球的数量D ．篮球的数量【答案】D 【分析】由50004000302x x=-的含义表示的是篮球单价比足球贵30元，从而可以确定x 的含义．【详解】解：由50004000302x x=-可得：由50002x 表示的是足球的单价，而4000x表示的是篮球的单价，x \表示的是购买篮球的数量，故选D【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，理解方程中代数式的含义是解本题的关键．4.（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）2020年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一批口罩，随着2021年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元，电信公司又花6000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包，设2020年每包口罩为x 元，可列方程为（）A ．1600010010x x +=-B ．10000600010010x x -=+C ．10000600010010x x =--D ．10000600010010x x -=-【答案】C 【分析】根据题中等量关系“2021年购买的口罩数量比2020年购买的口罩数量多100包”即可列出方程．【详解】解：设2020年每包口罩x 元，则2021年每包口罩（x -10）元．根据题意，得，60001000010010x x-=-．即：100006000=10010x x --．故选：C【点睛】本题考查了列分式方程的知识点，寻找已知量和未知量之间的等量关系是列出方程的关键．5．（山东省淄博市2021年中考数学试题）甲、乙两人沿着总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为km/hx，则下列方程中正确的是（）A．1010121.2x x-=B．10100.21.2x x-=C．1010121.2x x-=D．10100.21.2x x-=【答案】D【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：由题意得：10100.21.2x x-=；故选D．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．6.（2020•长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（）A．400K30=500B．400=500r30C．400=500K30D．400r30=500【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，依题意，得：400=500r30．故选：B．7.（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）=6210B．6210K1=3C．3x﹣1=6210D．6210=3【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解析】依题意，得：3（x﹣1）=6210．故选：A．8.（2020•辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．3000=4200K80B．3000+80=4200 C．4200=3000−80D．3000=4200r80x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数＝投递快递总数量÷人均投递数量结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【解析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，依题意，得：3000=4200r80．故选：D．9.（2020•自贡）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．80(1+35%)−80=40B．80(1+35%)−80=40 C．80−80(1+35%)=40D．80−80(1+35%)=40【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为1+35%万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前40天完成了这一任务，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【解析】设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原计划每天绿化的面积为1+35%万平方米，依题意，得：801+35%−80=40，即80(1+35%)−80=40．故选：A ．10.（2020•襄阳）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的45，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？【分析】设原来每天用水量是x 吨，则现在每天用水量是45吨，根据现在120吨水比以前可多用3天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解析】设原来每天用水量是x 吨，则现在每天用水量是45x 吨，依题意，得：12045−120=3，解得：x ＝10，经检验，x ＝10∴45x ＝8．答：现在每天用水量是8吨．11.（2021·山东东营市·中考真题）某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x 万平方米，则所列方程为________．【答案】()909030125%x x-=+【分析】原计划每天绿化的面积为x 万平方米，则实际每天绿化的面积为()125%x +万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前30天完成了这一任务，即可列出关于x 的分式方程．【详解】设原计划每天绿化的面积为x 万平方米，则实际每天绿化的面积为()125%x +万平方米，依据题意：()909030125%x x-=+故答案为：()909030125%x x-=+【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．12.（2021·辽宁本溪市·中考真题）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，A 种奖品的单价比B 种奖品的单价多10元，用300元购买A 种奖品的数量与用240元购买B 种奖品的数量相同．设B 种奖品的单价是x 元，则可列分式方程为________．【答案】30024010x x=+【分析】设B 种奖品的单价为x 元，则A 种奖品的单价为（x+10）元，利用数量=总价÷单价，结合用300元购买A 种奖品的件数与用240元购买B 种奖品的件数相同，即可得出关于x 的分式方程．【详解】解：设B 种奖品的单价为x 元，则A 种奖品的单价为（x+10）元，依题意得：30024010x x =+，故答案为：30024010x x=+【点睛】本题考查了根据实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．13．（2022·江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为__________．【答案】16014010 x x=-【分析】先表示乙每小时采样（x-10）人，进而得出甲采样160人和乙采样140人所用的时间，再根据时间相等列出方程即可．【详解】根据题意可知乙每小时采样（x-10）人，根据题意，得16014010x x=-．故答案为：16014010x x=-．【点睛】本题主要考查了列分式方程，确定等量关系是列方程的关键．14.（2022·四川乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．【答案】摩托车的速度为40千米/时【分析】设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，根据抢修车比摩托车少用10分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，依题意，得：2020101.560x x-=，解得：x=40，经检验，x=40是所列方程的根，且符合题意，答：摩托车的速度为40千米/时．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．15.（2022·重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A 地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．【答案】(1)24/千米时(2)18千米/时【分析】（1）设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2x千米/时，根据甲出发半小时恰好追上乙列方程求解即可；（2）设乙的速度为x 千米/时，则甲的速度为1.2x 千米/时，根据甲、乙恰好同时到达B 地列方程求解即可．(1)解：设乙的速度为x 千米/时，则甲的速度为1.2x 千米/时，由题意得：0.5 1.20.52x x ⨯=+，解得：20x =，则1.224x =（千米/时），答：甲骑行的速度为24千米/时；(2)设乙的速度为x 千米/时，则甲的速度为1.2x 千米/时，由题意得：301303 1.2x x-=，解得15x =，经检验15x =是分式方程的解，则1.218x =（千米/时），答：甲骑行的速度为18千米/时．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．16.（2022·四川自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【答案】张老师骑车的速度为15千米/小时【分析】实际应用题的解题步骤“”，根据问题设未知数，找到题中等量关系张老师先走2小时，结果同时达到列分式方程，求解即可．【详解】解：设张老师骑车的速度为x 千米/小时，则汽车速度是3x 千米/小时，根据题意得：454523x x=+，解之得15x =，经检验15x =是分式方程的解，答：张老师骑车的速度为15千米/小时．【点睛】本题考查分式方程解实际应用题，根据问题设未知数，读懂题意，找到等量关系列出分式方程是解决问题的关键．17.（2022·江苏扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？【答案】每个小组有学生10名．【分析】设每个小组有学生x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设每个小组有学生x名，根据题意，得3603603 34-=x x，解这个方程，得x＝10，经检验，x＝10是原方程的根，∴每个小组有学生10名．【点睛】此题考查了分式方程的应用，弄清题意是解本题的关键．18.（2021·辽宁丹东市·中考真题）为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造20米，甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？【答案】甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．【分析】根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设甲工程队每天改造的道路长度是x米，列方程得：40030020 x x=-，解得：x=80．80-20=60．答：甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．【点睛】此题考查了分式方程应用题的解法，解题的关键是根据题意找到等量关系并列出方程．19．（2021·江苏徐州市·中考真题）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？【答案】50【分析】该商品打折卖出x件，找到等量关系即可．【详解】解：该商品打折卖出x件4008400102x x ⋅=+解得x =8经检验：8x =是原方程的解，且符合题意∴商品打折前每件400=508元答：该商品打折前每件50元．【点睛】此题考查分式方程实际问题中的销售问题，找到等量关系是解题的关键．20.（2021·江苏常州市·中考真题）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？【答案】该景点在设施改造后平均每天用水2吨．【分析】设该景点在设施改造后平均每天用水x 吨，则原来平均每天用水2x 吨，列出分式方程，即可求解．【详解】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x 吨，则原来平均每天用水2x 吨，由题意得：202052x x-=，解得：x =2，经检验：x =2是方程的解，且符合题意，答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨．【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．21.（2021·吉林长春市·中考真题）为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同，求每千克有机大米的售价为多少元？【答案】每千克有机大米的售价为7元．【分析】设每千克有机大米的售价为x 元，则每千克普通大米的售价为（x -2）元，根据“用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同”，列出分式方程，即可求解．【详解】解：设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为（x-2）元，根据题意得：4203002x x=-，解得：x=7，经检验：x=7是方程的解，且符合题意，答：每千克有机大米的售价为7元．【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键．22.（2021·辽宁营口市·中考真题）为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．（1）求这两种图书的单价分别是多少元？（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？【答案】（1）“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元；（2）最多能购买“科普类”图书33本．【分析】（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元，根据数量＝总价÷单价，结合购买“科普类”“文学类”图书的数量多20本，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设能购买“科普类”图书m本，根据总价＝单价×数量，列出不等式，即可求解．【详解】解：（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元，依题意，得：3600270020 1.2x x-=，解得：x＝15，经检验，x＝15是所列分式方程的解，且符合题意，∴1.2x＝18．答：“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元；（2）设能购买“科普类”图书m本，根据题意得：18m+15(100-m)≤1600，解得：1003m≤，∵m为整数，∴最多能购买“科普类”图书33本．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及不等式的应用，找准数量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．23.（2021·山东济宁市·中考真题）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．【分析】（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意列出方程，解方程即可得出结论；（2）设甲种商品降价a20a箱，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值．【详解】解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意得：9004001005x x+=-，整理得：x2-18x+45=0，解得：x=15或x=3（舍去），经检验，x=15是原分式方程的解，符合实际，∴x-5=15-5=10（元），答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得：w=（15-a）（100+20a）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000，∵a=-20，当a=5时，函数有最大值，最大值是2000元，答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．【点睛】本题考查了分式方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，准确列出分式方程及函数关系式．24.（2021·内蒙古中考真题）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．（1）求小刚跑步的平均速度；（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．【答案】（1）小刚跑步的平均速度为150米/分；（2）小刚不能在上课前赶回学校，见解析【分析】（1）根据题意，列出分式方程即可求得小刚的跑步平均速度；（2）先求出小刚跑步和骑自行车的时间，加上取作业本和取自行车的时间，与上课时间20分钟作比较即可．【详解】解：（1）设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分，根据题意，得180018004.51.6x x+=，解这个方程，得150x=，经检验，150x=是所列方程的根，所以小刚跑步的平均速度为150米/分．（2）由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分，则小刚跑步所用时间为180012150=（分），骑自行车所用时间为12 4.57.5-=（分），在家取作业本和取自行车共用了3分，++=（分）．所以小刚从开始跑步回家到赶回学校需要127.5322.5>，因为22.520所以小刚不能在上课前赶回学校．【点睛】本题考查路程问题的分式方程，解题关键是明确题意，列出分式方程求解．25.（2020•广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35．（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．【分析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35这个等量关系列出方程即可．（2）设建A摊位a个，则建B90﹣a）个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍”列出不等式并解答．【解析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，根据题意得：60r2=60⋅35，解得：x＝3，经检验x＝3是原方程的解，所以3+2＝5，答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；（2）设建A摊位a个，则建B摊位（90﹣a）个，由题意得：90﹣a≥3a，解得a≤22.5，∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，此时最大费用为：22×40×5+30×（90﹣22）×3＝10520，答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．26.（2020•牡丹江）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，B种书包各有几个？【分析】（1）设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为（x+20）元，根据数量＝总价÷单价结合用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设该商场购进m个A种书包，则购进（2m+5）个B种书包，根据购进A，B两种书包的总费用不超过5450元且A种书包不少于18个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案；（3）设销售利润为w元，根据总利润＝销售每个书包的利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润最大的进货方案，设赠送的书包中B 种书包有a个，样品中B种书包有b个，则赠送的书包中A种书包有（5﹣a）个，样品中A 种书包有（4﹣b）个，根据利润＝销售收入﹣成本，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b，（5﹣a），（4﹣b）均为正整数，即可求出结论．【解析】（1）设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为（x+20）元，依题意，得：700=2×450r20，。
中考数学专题复习4分式、分式方程及一元二次方程(解析版)
分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠． 【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤 解释去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号． 【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3． 【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． （9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度． 【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。
2018全国各地中考数学分类解析第9章 分式与分式方程
第九章 分式与分式方程12.1 分式<2018浙江省湖州市，3，3分）要使分式x 1有意义，x 地取值满足< ） A.x ＝0 B.x ≠0 C.x ＞0 D.x ＜0【解读】分式有意义地条件是分母不为0，即x ≠0.【答案】选：B ．【点评】此题考查地是分式有意义地条件，属于基础题.<2018年四川省德阳市，第3题、3分．）使代数式12-x x 有意义地x 地取值范围是 A.0≥x B.21≠x C.0≥x 且21≠x D.一切实数【解读】要使原代数式有意义，需要中地x ≥0；分母中地2x-1≠0.【答案】解不等式组0210x x ≥⎧⎨-≠⎩得0≥x 且21≠x ，故选C ． 【点评】代数式有意义，就是要使代数式中地分式地分母不为零；代数式中地二次根式地被开方数是非负数．<2018浙江省嘉兴市，5，4分）若分式12x x -+地值为0,则(> A. x=-2 B. x=0 C. x=1或x=-2 D. x=1【解读】若分式12x x -+地值为0,则需满足1020x x -=⎧⎨+≠⎩,解得x ＝1, 故选D. 【答案】D.【点评】本题考查分式值为0时,x 地取值.提醒注意:若使分式地值为0,需满足分子为零,同时分母不为零两个条件,缺一不可.12.2 分式地乘除 <2018河北省10,3分）10、化简11122-÷-x x 地结果是 < ）Ａ．12-x Ｂ．122-x Ｃ．12+x Ｄ．()12+x 【解读】根据分式除法法则，先变成乘法，再把分子、分母因式分解，约分，得到正确答案C【答案】C【点评】分式地混合你算是近些年中考重点考查地对象，特别是化简求值题，在教学中加以针对性训练.本题属于简单题型.<2018湖北黄石，18，7分）先化简，后计算：，其中a ＝－3．【解读】先将各分式地分子、分母分解因式，再进行分式乘除法混合运算，后代入计算．【答案】原式＝919)3(2)3()9)(9(2+∙-+∙++-a a a a a a ＝32+a 当33-=a 时，原式＝332 【点评】本题主要考察分式乘除法混合运算，注意解答地规范化，是基础题．<2018南京市，18，9）化简代数式x x x 2122+-÷x x 1-，并判断当x 满足不等式⎩⎨⎧->-<+6)1(212x x 时该代数式地符号.解读：先将分式化简，再解不等式组，在不等式地解集中选使分式有意义地数代入求值．答案：原式=xx x 2122+-÷x x 1-=)2()1)(1(+-+x x x x ×1-x x =21++x x 解不等组得：-3<x ＜-2在规定地范围内选取符合条件地x 值即可<答案不唯一）点评：本题考察分式地化简求值，解不等式组结合同时选取使分式有意义地值.12.3 分式地加减<2018浙江省义乌市，8，3分）下列计算错误．．地是( > A ．B ． C ． D ． 【解读】A ．不正确．由分式地基本型分式地分子分母同时乘以10后应为：0.22100.7710a b a b a b a b++=--；B ．正确，分式地分子分母同时约去最简公因式即可得出结论；Ｃ正确，互为相反数地商为－１,；Ｄ．正确，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．【答案】Ａ【点评】本题考查了分式地基本性质、约分和分式地加减．分式地基本性质：分式地分子分母同乘以或除以同一个不为０地数或整式，分式地值不变．约分：约去分式中地分子或分母分式地值不变．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．c c c 321=+y x y x y x =32231-=--a b b a b a b a b a b a -+=-+727.02.0<2018浙江省绍兴，5，3分）化简111--x x ，可得< ） A.x x -21 B.x x --21 C.x x x -+212 D.x x x --212 【解读】先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．【答案】B【点评】分式地加减运算中，如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．<2018安徽，6，4分）化简xx x x -+-112地结果是< ） A.x +1 B. x -1 C.—x D.x6. 解读：本题是分式地加法运算，分式地加减，首先看分母是否相同，同分母地分式加减，分母不变，分子相加减，如果分母不同，先通分，后加减，本题分母互为相反数，可以化成同分母地分式加减．解答：解：x x x x x x x x x x x =--=--=---=1)1(11122故选D ． 点评：分式地一些知识可以类比着分数地知识学习，分式地基本性质是关键，掌握了分式地基本性质，可以利用它进行通分、约分，在进行分式运算时根据法则，一定要将结果化成最简分式．<2018年四川省德阳市，第16题、3分．）计算：=-+-xx x 52552. 【解读】根据分式地加减法法则计算即可． 【答案】2225255)(5)=55555x x x x x x x x x --++==+----（，答案为：x+5 【点评】本题考查了分式地加减运算．分式地加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．<2018山东泰安，22，3分）化简：22()224m m m m m m -÷+--=. 【解读】把括号里地分式通分化为同分母分式地运算，再把除法变为乘法，为了便于约分，能分解因式地要先分解因式.22()224m m m m m m -÷+--=22(2)(2)4(2)(2)m m m m m m m m --+-⨯+-=26m m m-=m-6. 【答案】m-6.【点评】本题考查了分式地运算.先把括号里地分式通分并运算，把除法变成乘法.分式运算地一般步骤是：先计算乘方，再计算乘除，后计算加减，有括号内地先计算括号内地，同级运算自左向右依次运算.(2018山东省聊城，15，3分）计算：÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4412a 2-a a . 解读：÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4412a 24-a =÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--4444222a a a 2-a a =22)2)(2(2+=-⋅-+a a a a a a a . 答案：2+a a . 点评:本题是一道分式地化简计算，运算顺序，先算括号，再算乘除，最后算加减.<2018四川内江，22，6分）已知三个数x ，y ，z 满足xy x y +＝－2，yz y z +＝43，zx z x+＝－43．则xyz xy yz zx ++地值为. 【解读】由xy x y +＝－2，得x y xy +＝－12，裂项得1y ＋1x ＝－12．同理1z ＋1y ＝43，1x ＋1z ＝－43．所以，1y ＋1x ＋1z ＋1y ＋1x ＋1z ＝－12＋43－43＝－12，1z ＋1x ＋1y ＝－14．于是xy yz zx xyz ++＝1z ＋1x ＋1y ＝－14，所以xyz xy yz zx ++＝－4．【答案】－4【点评】此题取材于八年级数学教师用书分式全章后地拓展资源，具有一定地难度，属于技能考查．学生要想顺利解答此题，必须熟练掌握分式中地反比、裂项这两种变形技巧．<2018贵州铜仁，19<1），5分）化简：12)1111(2-÷--+x x x【分析】把括号里地分式通分并进行分式地加减运算，再把分式地除法转变成乘法运算， 然后约分即可【解读】<1）解：原式=21)1111(2-⋅--+x x x =1112----x x x 212-⋅x = -1 【点评】本题考查了分式地混合运算，熟练掌握分式运算顺序是做此题地关键.分式地混合运算在考试中很容易出现错误，原因可能是分式运算顺序不清楚，可能是没有注意运算技巧、也可能是运算时没有注意符号变换等.<2018连云港，3，3分）<本题满分6分）化简<1+1m ）÷22121m m m --+ 【解读】首先把括号里因式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，分母是多项式地要先因式分解，进行约分化简，【答案】原式=21(1)(1)(1)m m m m m +-⨯+-1m m -= 【点评】本题主要考查分式地化简，注意除法要统一为乘法运算；以及符号地处理等.<2018四川成都，16，6分）化简：22(1)b a a b a b-÷+- 解读：本题中地1可以看成分母为1地“分式”，运算时要注意运算顺序，先算括号里面地.答案：原式=()()a b a b a b b a b a +-+-⋅+=()()a b a b a a b a+-⋅+=a b - 点评：分式运算地结果要化成最简分式或整式，分式约分前要先分解因式.<2018湖南益阳，14，6分）计算代数式ac bc a b a b---地值，其中1a =，2b =，3c =． 【解读】一看是同分母地分式相加减，得到b a bc ac --，分子再提一个公因式c 得到ba cb a --)( 约分之后得到结果是：c ，把 3c = 代入得到原式=3. 【答案】．解：ba bcb a ac --- =ba bc ac -- =ba cb a --)( =c当1=a 、2=b 、3=c 时，原式=3(直接代入计算正确给满分>【点评】本题考查考生对于同分母分式地减法，提公因式并约分地应用，形式简洁，而又能考查多个知识点，很有代表性地一题.( 2018年浙江省宁波市,19,6>计算：错误!【解读】首先把分子分解因式，再约分，合并同类项即可．【答案】原式=错误!=a-2+a-2=2a【点评】此题主要考查了分式地加减法，关键是掌握计算方法，做题时先注意观察，找准方法再计算．<2018浙江省衢州，18，6分）先化简2111x x x+--，再选取一个你喜欢地数代入求值. 【解读】先首先通分，化简成同分母分式加法运算，然后根据分式地性质进行约分化简，最后代值计算． 【答案】解：2211111x x x x x -+---＝ ＝x ＋1代入求值(除x =1外地任何实数都可以>【点评】本题考查了分式地化简求值．关键是利用分式地加减法则，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最后进行约分，将分式化简，代值计算．代值时，注意x 地取值不能使原式地分母为0．(2018四川省南充市，15，6分> 计算：2111a a a a -++- 解读：对于分式地加法运算，对于能化简地分式，一般要先化简，后在进行计算.答案：原式=2-11-+-1+1+=+===1+1(+1)(-1)(+1)(+1)(+1)(-1)(+1)a a a a a a a a a a a a a a a 点评：本题考查了分式地加、减运算.一般可先通分，再加减，最后化为最简分式即可；但对于有些可以化简地项，先化简再通分运算，可以简化计算.<2018安徽，6，4分）化简xx x x -+-112地结果是< ） A.x +1 B. x -1 C.—x D.x解读：本题是分式地加法运算，分式地加减，首先看分母是否相同，同分母地分式加减，分母不变，分子相加减，如果分母不同，先通分，后加减，本题分母互为相反数，可以化成同分母地分式加减．解答：解：x x x x x x x x x x x =--=--=---=1)1(11122故选D ． 点评：分式地一些知识可以类比着分数地知识学习，分式地基本性质是关键，掌握了分式地基本性质，可以利用它进行通分、约分，在进行分式运算时根据法则，一定要将结果化成最简分式．<2018浙江省衢州，18，6分）先化简2111x x x+--，再选取一个你喜欢地数代入求值. 【解读】先首先通分，化简成同分母分式加法运算，然后根据分式地性质进行约分化简，最后代值计算． 【答案】解：2211111x x x x x -+---＝ ＝x ＋1代入求值(除x =1外地任何实数都可以>【点评】本题考查了分式地化简求值．关键是利用分式地加减法则，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最后进行约分，将分式化简，代值计算．代值时，注意x 地取值不能使原式地分母为0．(2018四川省南充市，15，6分> 计算：2111a a a a -++- 解读：对于分式地加法运算，对于能化简地分式，一般要先化简，后在进行计算.答案：原式=2-11-+-1+1+=+===1+1(+1)(-1)(+1)(+1)(+1)(-1)(+1)a a a a a a a a a a a a a a a 点评：本题考查了分式地加、减运算.一般可先通分，再加减，最后化为最简分式即可；但对于有些可以化简地项，先化简再通分运算，可以简化计算.12.4 分式地混合运算(2018山东泰州，19，8分）1－aa a a a 21122+-÷-． 【解读】将分式地分子、分母因式分解，除法化为乘法，约分，再计算，所以，原式=1-1(2)(1)(1)a a a a a a -+∙+-=11a -+ 【答案】11a -+ 【点评】本题综合考查了异分母分式地减法、除法及运用公式法进行分解因式等知识． (2018山东省临沂市，5，3分）化简2-a 2-a 41a ÷+）（地结果是< ） A.a a 2+ B.2+a a C.a a 2- D.2-a a 【解读】除法变乘法，应用分配律得，2-a a )2-a 4(1÷+=a 2-a )2-a 4(1⋅+=+⋅a 2-a 1a 2-a 2-a 4⋅=a2a +. 【答案】选A.【点评】本题主要考查分式地混合运算，通分、因式分解和约分是解答地关键，属于基础题． <2018广州市，20， 10分）<本小题满分10分）已知：11a b +=≠b ），求()()a b b a b a a b ---地值. 【解读】分式通分，把分式化简后，根据分式加法地逆用即可转化为已知式.【答案】解：()()a b b a b a a b ---=22()a b a b ab a b ab -+=-=11b a ab ab a b +=+=【点评】本题考查了分式地化简求值，注意也可用两头向中间凑地方式求代数式地值.(2018山东德州中考,17,6,>已知：1x =，1y =，求22222x xy y x y -+-地值． 【解读】对于此类求代数式地值，正确地方法是先化简，再代入数据．化简时分子和分母分别运用完全平方公式和平方差公式分解因式，再约分． 解：原式 =2()()()x y x y x y --+……<2分） =x y x y-+．………<4分）当1x =，1y =时，原式==．………<6分） 【点评】本题综合考查了分式地化简求值及二次根式地运算，此题设计较好，同时考查了分式和二次根式两个重要知识点．<2018湖南湘潭，18，6分）先化简，再求值：11)1111(-÷--+a a a , 其中a ＝12-. 【解读】11)1111(-÷--+a a a =)1()1)(1()1(1(-∙-++--a a a a a =12+-a ，代入a ＝12-得12+-a =2-. 【答案】解：11)1111(-÷--+a a a =)1()1)(1()1(1(-∙-++--a a a a a =12+-a ， 代入a ＝12-得12+-a =2-.所以11)1111(-÷--+a a a =2-. 【点评】此题考查整式地乘除法运算.本题易错点有两点，1、是分配率使用时，不能够使用彻底，出现漏乘现象；2、去括号时，括号前是负号，括号内各项未能完全变号.<2018湖北随州，18,8分）<本小题满分8分）先化简，再求值：223252224x x x x x +⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭，其中x=3解读：把括号中通分后，利用同分母分式地减法法则计算，同时将除式地分子分解因式后，再利用除以一个数等于乘以这个数地倒数把除法运算化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后选择一个x 地值代入化简后地式子中，即可求出原式地值．答案：3(2)2(2)(2)(2)521(2)(2)(52)(52)x x x x x x x x x x x x++-+-+=∙==-+++原式 当36=x 时，则原式=2663361==. 点评：此题考查了分式地化简求值，分式地加减运算关键是通分，通分地关键是找出最简公分母；分式地乘除运算关键是约分，约分地关键是找公因式，化简求值题要将原式化为最简分式后，再代入x 地取值计算.(2018山东省临沂市，5，3分）化简2-a 2-a 41a ÷+）（地结果是< ） A.a a 2+ B.2+a a C.a a 2- D.2-a a 【解读】除法变乘法，应用分配律得，2-a a )2-a 4(1÷+=a 2-a )2-a 4(1⋅+=+⋅a 2-a 1a 2-a 2-a 4⋅=a2a +. 【答案】选A.【点评】本题主要考查分式地混合运算，通分、因式分解和约分是解答地关键，属于基础题． <2018广州市，20， 10分）<本小题满分10分）已知：11a b +=≠b ），求()()a b b a b a a b ---地值. 【解读】分式通分，把分式化简后，根据分式加法地逆用即可转化为已知式.【答案】解：()()a b b a b a a b ---=22()a b a b ab a b ab -+=-=11b a ab ab a b +=+= 【点评】本题考查了分式地化简求值，注意也可用两头向中间凑地方式求代数式地值.<2018湖北襄阳，13，3分）分式方程2x ＝53x +地解是___________． 【解读】直接去分母，得2(x ＋3>＝5x ，解得x ＝2．经检验x ＝2是原方程地解．【答案】x ＝2【点评】解分式方程，应先去分母，将分式方程转化为整式方程求解．注意求得整式方程地解后，要进行验根．<2018江西，15，6分）化简：2211(1).a a a a--÷+ 解读：先将括号里面地通分并将分子、分母分解因式，然后将除法转换成乘法，约分化简．答案：解:原式1(1)(1)(1)a a a a a a -+-=÷+ 1(1)(1)(1)a a a a a a -+=⨯+- 1=-．点评：考查分式地混合运算：要注意运算顺序，式与数有相同地混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号地先算括号里面地．<2018山东省荷泽市，15<1）,6）<1）先化简，再求代数式地值222()111a a a a a ++÷++-，其中2012(1)tan 60a =-+︒ 【解读】先把括号内地分式进行通过，然后利用分式地乘法进行化简，把a 地值根据乘方和特殊角地三角函数值进行化简，然后代入.【答案】<1）原式2(1)(2)1313(1)(1)(1)(1)1a a a a a a a a a a a a -++++=⨯=⨯=+-+--．------3分当a ＝2012(1)-+tan60°=时，----------5分原式==------6分 【点评】对于化简求值地问题，一定先化简，然后再进行代入求值.<2018湖北襄阳，18，6分）先化简，再求值：222b a a ab --÷(a ＋22ab b a+> (1a ＋1b >b 【解读】先对222b a a ab --进行因式分解和约分，对a ＋22ab b a+进行通分和因式分解，对1a ＋1b 进行通分，然后计算，最后代入求值．【答案】解：原式＝()()()b a b a a a b +--·2()a a b +·a b ab+＝－1ab ．b1．【点评】解答此类问题需要注意：1.分子分母是多项式地，能分解因式要先分解因式，除法要化为乘法．2.分式地混合运算顺序与分数地加、减、乘、除混合运算顺序一样．此题是先算括号里面地，再从左至右进行运算．3.要注意将结果化为最简分式，再代入求值．有少数学生是没有对分式进行化简就代入求值，增加计算难度，并且违背题意．<2018呼和浩特，17，5分）<5分）先化简，再求值：21(1)(2)x x x ++÷+，其中32x =- 【解读】将括号里通分，除法化为乘法，因式分解，约分，再代值计算．【答案】21(1)(2)x x x++÷+=2221(1)(1)(1)1x x x x x x x x x +++÷=+⋅=++ 将32x =-代入，原式=3322331122--==-+- 【点评】本题考查了分式地通分地方法，及因式分解，化简后再将值代入并求值. <2018山西，14，3分）化简地结果是．【解读】解：•+=•+=+ =．故答案为：． 【答案】【点评】本题主要考查了分式地混合运算，解决本题地关键是：①熟练常见因式分解地方法；②熟练分式混合运算地步骤：先乘除、再加减、有括号地先进行括号运算．③最后注意运算结果化为最简分式或整式.难度较小．<2018广东肇庆，20，7）先化简，后求值：1)111(2-÷-+x xx ，其中x =-4． 【解读】按照运算顺序，先算括号内异分母分式地加法，把分式地除法变成分式地乘法，约分后得到1+x【答案】解：原式=)1)(1(111-+÷-+-x x xx x <2分） =xx x x x )1)(1(1-+⋅- <4分）=1+x <5分） 当x =-4时，原式=1+x =-4+1 <6分） =-3 <7分）【点评】本题考查地是分式化简，应注意以下两点：①分子、分母能因式分解先因式分解，便于约分和通分；②严格按照运算顺序做题．难度中等.<2018陕西17，5分）化简：22a b b a b a b a b a b--⎛⎫÷⎪+-+⎝⎭-． 【解读】先做括号里地方式减法，再做分式地除法. 【答案】解：原式=(2)()()()()2a b a b b a b a ba b a b a b---++⋅+--=22222()(2)a ab ab b ab b a b a b --+----=224()(2)a aba b a b ---=2(2)()(2)a ab a b a b ---=2aa b-． 【点评】本题考查分式加减乘除运算，加减关键是通分，乘除地关键是约分.难度中等. <2018四川泸州，22，5分）化简：a a aa a ÷---)112(解读：可以先算括号里地，再进行乘除运算. 解：原式=a a aa ÷--12=1111-=⋅-a a a a . 点评：本题考查了分式运算，注意运算顺序、与运算技能. <2018湖北荆州，19，7分）(本题满分7分>先化简，后求值：211()(3)31a a a a +----，其中a 1．【解读】本题考察了分式地混合计算，要求先化简后求值. 原式＝()()()311131-∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++--a a a a a =()31131-∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡---a a a ＝311a a ---＝21a -当a 1【答案】21a -；当a 1.【点评】本题考察了分式地混合计算，关键是理清运算顺序，认真计算.另，应注意“先化简，后求值”. <2018山东莱芜， 18，6分）先化简，再求值：432112--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a a ，其中3-=a 【解读】432112--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a a =⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛----4321222a a a a a =43232--÷--a a a a =()()232223+=--+⨯--a a a a a a 当3-=a 时，原式=1232-=+-=+a 【答案】2+a ，1-【点评】本题考察了分式地混合运算及求值.计算时，应按照先乘方运算，后乘除运算，最后算加减，有括号应先算括号内地运算.在计算时，先化简后求值.<2018河南，16，8分）先化简22444()2x x x x x x-+÷--，然后从x <<数作为x 地值代入求值.解读：先将第一个分式地分子、分母分解因式，后面括号内地通分后，变除法为乘法，然后再约分.解：原式=22(2)4(2)x x x x x--÷- =2(2)(2)(2)(2)x xx x x x -∙-+- =12x +∵x <<x 为整数，∴若使分式有意义，x 只能取-1和1. 当x =1时，原式=13. 点评：分式地化简题对于分子、分母都是多项式地可以先分解因式，然后进行乘除时，看能否约分，加减法要化成同分母.一般都是先化简后求值.<2018北海,20，6分）20．先化简，再求值：2141326a a a -⎛⎫+÷⎪--⎝⎭；其中a ＝5. 【解读】先把分式地分子、分母进行因式分解，根据有理数地运算顺序，先算括号内地，再算除法.化简后，再代入求值.【答案】：原式＝()()()23133322a a a a a a --⎛⎫+∙ ⎪--+-⎝⎭ ＝()()()232322a a a a a --∙-+-＝22a + 当a ＝5时，22a +＝252+＝27【点评】本题是分式地化简求值题，先化简，再代入求值.但是化简时，可以先算括号内地，也可以利用分配率.方法地选取是本题简便计算地关键.难度中等.<2018·湖南省张家界市·19题·6分））先化简：1224422++÷--a aa a ，再用一个你最喜欢地数代替a 计算结果.【分析】分式地混合运算，是先将题目中能够分解因式地先分解因式，然后约分，按照先算乘除，再算加减.，将分式化成最简分式，最后再选一个适合地a 值代入分式求值.原式=a a a a a 22·)2-)(2()2-2(+++1=a 1+1=aa 1+.【点评】注意本题所选地a 值必须使原分式有意义且计算简单地值代入求值，即a 不能选±2、0. (2018江苏苏州，21，5分>先化简，再求值：，其中，a=+1．分析：将原式第二项第一个因式地分子利用完全公式分解因式，分母利用平方差公式分解因式，约分后再利用同分母分式地加法法则计算，得到最简结果，然后将a 地值代入化简后地式子中计算，即可得到原式地值．解答：解：+•=+•=+=，当a=+1时，原式==．点评：此题考查了分式地化简求值，分式地加减运算关键是通分，通分地关键是找最简公分母；分式地乘除运算关键是约分，约分地关键是找公因式，约分时分式地分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分，此外化简求值题要先将原式化为最简时再代值．(2018贵州六盘水，19，8分>先化简代数式22321(1)24a a a a -+-÷+-，再从-2,2,0三个数中选一个恰当地数作为a 地值代入求值.分析：先把括号内通分化简，再把括号外分式地分子和分母因式分解，约分得原式地最简分式，考虑到分式地分母不能为零，将a=0代入计算即可．解答：<2）21(2)(2)=2(1)a a a a a -+-⨯+-原式21a a -=-22211a a --===--当a=0时，原式点评：本题考查了分式地化简求值：先把括号内通分，再把括号外分式地分子或分母因式分解，然后约分得到最简分式或整式，再把满足条件地字母地值代入计算即可．<2018·湖北省恩施市，题号17 分值 8）先化简再求值21121222+---÷+++x xx x x x x ，其中x=23-.【解读】根据分式地混合运算顺序：先乘除，后加减，有括号先算括号里面地.本题先将分式地分子、分母分别因式分解，然后将分式地分子、分母同时约去分子、分母地公因式，再将除法转化成乘法，约分，最后根据同分母加法法则计算.【答案】21121222+---÷+++x x x x x x x 21)1)(1(2)1(2+---+÷++=x x x x x x x2)1(2)1(2+-+÷++=x x x x x2112)1(2+-+⨯++=x x x x x 221+-++=x x x x 21+=x 当x=23-时，原式2231+-==33. 【点评】本题综合地考查了因式分解、分式地运算及简单地二次根式地化简知识，考查地知识点多，但难度不大．解答此类问题分子分母若是多项式，应先分解因式，如果有公因式，应先进行约分.考生在解题时，只要胆大心细，就会轻松地进行求解．<2018·哈尔滨，题号21分值 6）先化简，再求代数式2112()x x x x x x+++÷+地值，其中x= cos300+12 【解读】本题考查分式地混合运算、特殊角三角函数值.代数式地化简顺序可以先计算括号内地再进行除法运算，也可以先将除法转化为乘法，根据乘法分配律进行计算.无论采用哪种运算顺序，首先都要将除式中地分母因式分解.【答案】解：原式=x x 11++×2)1(++x x x =x x 2+×2)1(++x x x =x+1,∵x=3COS30°+21=3×23+21=2， ∴原式= x+1=3.【点评】分式地化简运算是中考中计算题地重点内容之一，本题考查分式地运算，分式地混合运算：先乘方，再乘除，最后加减，如有括号，先算括号内地.在进行分式地各种运算时：<1）对于分子、分母中地多项式能因式分解地，应先进行因式分解.<2）分式运算地结果通常要化成最简分式和整式.<2018贵州遵义，20, 分）化简分式<﹣）÷，并从﹣1≤x≤3中选一个你认为合适地整数x 代入求值．×=<2018呼和浩特，17，5分）<5分）先化简，再求值：21(1)(2)x x x ++÷+，其中32x =- 【解读】分式地通分，因式分解.【答案】21(1)(2)x x x++÷+=2221(1)(1)(1)1x x x x x x x x x +++÷=+⋅=++将32x =-代入，原式=3322331122--==-+- 【点评】本题考查了分式地通分地方法，及因式分解，化简后再将值代入并求值.<2018深圳市 18 ，6分）已知,a b =-=32，求代数式a ab ba b a b ++⎛⎫+÷ ⎪+⎝⎭22112地值【解读】：考查代数式地化简与求值.主要考查分式地通分、分解因式、分式地约分及常见地分级运算【解答】：()()()()a ab b ba ab a b a b a b a b ab ab a b ab a b ab +++++⎛⎫⎛⎫+÷=+∙=∙= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭22221121， 将,a b =-=32代入上式：ab ==--⨯111326【点评】：注意异分母通分，关键是确定其最简公分母.本题先化简再求值以大大减小计算量.<2018湖北黄冈，11，3）化简22112111x x xx x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭地结果是. 【解读】先做括号内地运. =()()()()()22211111114142111111111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-+⎛⎫---+--⎛⎫+÷=-÷=-÷=⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪-++-+--+--++⎝⎭-⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】41x + 【点评】考查分式加减乘除混合运算，要注意运算顺序和符号变化，要细心.难度中等. ( 2018年四川省巴中市,24,5>先化简，再求值：<错误!－错误!）·错误!，其中x=错误!.【解读】原式=错误!·错误!=错误!·错误!由于x+1≠0，当x+1＞0时，原式=错误!·错误!=错误!，x+1＜0时原式=－错误!，而当x=错误!时，x+1＞0，∴当x=错误!时，原式=错误!=错误!【答案】错误!【点评】注意分类讨论，x+1≠0 故有 x+1＞0时化简为错误!,x+1＜0时化简为－错误!<2018江苏省淮安市，19，10分）计算：(1>22-20180+(-6>÷3； (2> 21x x -·1xx ++(3x +1>．【解读】<1）本题要分清运算顺序，先乘方和实数地除法计算出来，再进行加减运算，注意(2018>0=1；<2）本题需先把分式地分子x 2-1因式分解为(x +1>(x -1>，分子分母进行约分，再进行实数地加减法运算，即可．【答案】<1）解：22-20180+(-6>÷3=4-1+(-6>÷3 =4-1-2 =1．<2）解：21x x -·1xx ++(3x +1>=(1)(1)x x x-+·1x x ++3x +1 =x -1+3x +1 =4x ．【点评】本题<1）考查实数地综合运算能力，是各地中考题中常见地计算题型．解决此类题目地关键一般是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点地运算．<2）本题主要考查分式地混合运算，通分、因式分解和约分是解答地关键，属于基础题，解题时还要注意运算顺序．<2018珠海，12，6分）先化简，再求值：21(1)1xx x x x ⎛⎫-÷+ ⎪--⎝⎭，其中2=x . 【解读】先化简括号内地211x x x x---,再进行分式地除法. 【答案】解:21(1)1xx x x x ⎛⎫-÷+ ⎪--⎝⎭＝()21111x x x x -⋅-+＝1x .当2=x 时,2. 【点评】本题考查分式地化简求值.解题时注意化简地顺序.<2018贵州省毕节市，22，8分）先化简，再求值：39631122-+÷+---+x x x x x x x ，其中2=x 解读：先算除法，再算乘法．将分式因式分解后约分，然后进行通分，最后代入数值计算．==+++)1(11x x x x =+++)1(11x x x x x1. 点评：本题考查了分式地化简求值，熟悉因式分解及分式地除法是解题地关键． <2018云南省，15 ，5分）(本小题5分）化简求值：211()(1)11x x x +⋅-+-，其中：12x =【解读】一看是异分母地分式相加减，得到11(1)(1)x x x x -+++-，后项利用平方差公式得到(1)(1)x x +-约分之后得到结果是：112x x x -++=，把12x =代入得到原式=1.【答案】解：211()(1)11x x x +⋅-+- 211()(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x -+=+⋅-+-+-11(1)(1)(1)(1)x x x x x x -++=⋅+-+-11x x =-++ 2x =当12x =时 原式122=⨯1=【点评】本题考查考生对于异分母分式地加法，平方差公式地应用，形式简洁，结构完美而又能考查多个知识点，达到检测考生对知识地掌握情况，很有代表性地一题.难度适中.<2018四川达州，17，5分）<5分）先化简，再求值：624)373(+-÷+--a a a a ，其中1-=a 解读：先将括号内分式进行通分，再按照分式地乘除法则进行化简、计算.答案：解：原式=)3(243162+-÷+-a a a a =4)3(23)4)(4(-+∙+-+a a a a a =2<a +4） =2a +8当a=-1时，原式=2×(-1>+8=6点评：本题通过分式地混合运算、化简与求值，考查学生对代数式地变形、化简、求值地代数运算能力. <2018四川宜宾，17<2），5分）先化简，再求值：,111122--+÷-x xx x x 其中x=2tan45° 【解读】先根据分式混合运算地法则把原式进行化简，再把x 地值代入进行计算即可． 【答案】解：原式=()()11112+∙-+x x x x -11-x=12-x x -11-x=1-x x 当x=2tan45°=2时，原式=2【点评】本题考查地是实分式混合运算地法则．<2018山东东营，18，4分）先化简，再求代数式212312+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x 地值,其中x 是不等式组⎩⎨⎧<+>-812,02x x 地整数解． 【解读】先对分式进行化简，然后求不等式地整数解，代入化简后地式子求值.【答案】原式=122(1)(1)x x x x x -+·++-11x =+，解不等式组⎩⎨⎧<+>-812,02x x 得722x <<，因为x 是整数，所以3x =，当3x =时，原式=14.【点评】考查了分式地运算及不等式组地解法. <2018湖南娄底，19，7分）先化简：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-111x ÷12-x x，再请你选择一个合适地数作为x 地值代入求值. 【解读】先把括号里地项通分相减，再将分式除法转化为分式乘法解答即可．【答案】原式=211111x x x x x +-⎛⎫-⨯ ⎪++⎝⎭=(1)(1)1x x x x x +-⨯+=x-1,令x=2，原式=1.<答案不唯一，只要x ≠0且x ≠±1即可）．【点评】此题考查了分式地化简求值，将分子分母因式分解，再将除法转化为乘法是解题地关键，求值时字母地取值应使分式有意义.<2018四川攀枝花，18，6分）<6分）先化简，再求值：1441312-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x x x ，其中x 满足方程：062=-+x x 【解读】分式，因式分解 【答案】1441312-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x x x=22131()11(2)x x x x x ---⨯---。
(完整版)广东省2018届中考复习专题—分式及分式方程.doc
广东省 2018 届中考复习专题 —分式及分式方程第三讲分式及分式方程明确目标 ?定位考点分式，主要考查分式的概念及利用分式的基本性质进行分式的相关运算，灵活运用简单的分式的加、减、乘、除运算，正确的约分与通分，用适当的方法解决与分式有关的问题；分式方程，主要考查分式方程的性质和可化为一元一次方程的分式方程，能运用分式方程解决简单的实际问题。
归纳总结 思维升华1、分式的定义一般地，如果 A ，B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子A叫做分式， A 为分子， B为分母。
B2、与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（ B 0 ）②分式无意义：分母为0（ B0 ）③分式值为 0：分子为 0 且分母不为 A 00（）B 0④分式值为正或大于 A 0 A 0 0：分子分母同号（或B ）B 0 0 ⑤分式值为负或小于 A 0 A0 0：分子分母异号（或B）B⑥分式值为 1：分子分母值相等（ A=B ）⑦分式值为 -1 ：分子分母值互为相反数（A+B=0）3、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。
字母表示：AA ? C ， A AC，其中 A 、 B 、 C 是整式， C 0。
BB ?C BB C拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 AA A A BB B B注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C 0 这个限制条件和隐含条件B 0。
4、分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
5、最简分式的定义一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
专题09 分式方程(课件)2023年中考数学一轮复习(全国通用)
C． x 2 5 3
1
D．
x
0
知识点1：分式方程及其解法
典型例题
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． A、 x 1 不是方程，故本选项错误；
x
B、方程 1 1 的分母中含未知数x，所以它是分式方程．故本选项正确；
x 1 2x 3
C、方程 x 2 5 的分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；
（2）设购买篮球y个，则购买排球(20－y)个， 依题意得：110y＋80(20－y)≤1800， 解得 y 6 2 ，
3
即y的最大值为6， ∴最多购买6个篮球． 【点评】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一 次不等式．
实际应用 的实际意义，检验结果是 分式方程的基本思想和列方程解应用题的
否合理．
意识．
思维导图
知识点梳理
知识点1：分式方程及其解法
1．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．
2．解分式方程的一般方法： （1）解分式方程的基本思想： 把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方 程的解．
3
D、方程 1 x 0 的分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误．
故选B．
【答案】B．
知识点1：分式方程及其解法
典型例题
【例2】（2022•牡丹江）若关于x的方程 mx 1 3无解，则m的值为（ ） x 1
A．1
B．1或3
边同乘以(x－1)得：mx－1＝3x－3，∴(m－3) x＝－2． 当m－3＝0时，即m＝3时，原方程无解，符合题意． 当m－3≠0时，x 2 ，
2018中考数学知识点：分式方程
2018中考数学知识点：分式方程
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分式方程：
含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。
分式的混合运算:
分式的混合运算关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。
【中考课件】2018年人教版中考数学考点聚焦《第8讲：分式方程及其应用》课件
的根为原方程的增根，必须舍去．
等于零 的根． (2)增根：使分式方程分母___________
(3)验根方法：
①利用方程的解的定义进行检验；
②将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为0，不为0就是原
分式方程的根，若为0则为增根，必须舍去．
3．分式方程的应用
(1)用分式方程解实际问题的一般步骤
5．(2017·温州)甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知 乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少
160 200 ＝ x x＋5 ． 米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：____________
分式方程及其解法
7 x 3 x＝6 ． 【例1】 (1)(2017· 黄石)分式方程 ＝ －2的解为_________ x－1 2（x－1） 3 x (2)(2017· 随州)解分式方程： 2 ＋1＝ . x －x x－1
命题点3：分式方程的解 2x－a 1 3．(2017· 黑龙江)若关于x的分式方程 ＝ 的解为非负数，则a的取值 x－2 2 C 范围是( ) A．a≥1 B．a＞1 C.a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4
命题点4：分式方程的应用 4．(2017· 临沂)甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个， 甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少 B ) 个．如果设乙每小时做x个，那么所列方程是( 90 60 90 60 A. x ＝ B. ＝ x＋6 x＋6 x 90 60 90 60 C. ＝ x D. x ＝ x－6 x－6
产生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某个根，如果它使
分式方程的某些分母为零，则是原方程的增根，须舍去．
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考点九：分式方程聚焦考点☆温习理解1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
名师点睛☆典例分类考点典例一、判断方程为分式方程【例1】下列各式中，是分式方程的是（）A．x+y=5 B．22253x y+-=C．165x=+D．1x【答案】C．【解析】试题分析：根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．试题解析：A、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；B、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；C、方程分母中含未知数x，故是分式方程．D、不是方程，是分式．故选C．考点：分式方程的定义．【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 【举一反三】下列各式中为分式方程的是（ ） A ．x+1x B ．11123x x =+- C ．253x += D ．10x π+= 【答案】B ． 【解析】考点：分式方程的定义． 考点典例二、解分式方程【例2】（2017上海第20题）解方程：231133x x x -=--． 【答案】x=﹣1 【解析】试题分析：两边乘x （x ﹣3）把分式方程转化为整式方程即可解决问题． 试题解析：两边乘x （x ﹣3）得到3﹣x=x 2﹣3x ， ∴x 2﹣2x ﹣3=0， ∴（x ﹣3）（x+1）=0， ∴x=3或﹣1，经检验x=3是原方程的增根， ∴原方程的解为x=﹣1． 考点：解分式方程【点睛】本题考查解分式方程的能力，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要验根． 【举一反三】1. （2017哈尔滨第6题）方程2131x x =+-的解为( ) A.3x =B.4x =C.5x =D.5x =-【答案】C 【解析】试题分析：方程两边同乘(x+3)(x-1)得，2（x ﹣1）=x+3，2x ﹣2=x+3，x=5， 检验：当x=5时（x+3）（x ﹣1）≠0，所以x=5是原方程的根； 故选C.考点：解分式方程．2. （2017江苏徐州第20题）（1）解方程：231x x =+； 【答案:（1）x=2； 【解析】考点：1.解分式方程；考点典例三、分式方程的解、无解、增根问题 【例3】（2017贵州六盘水第17题）方程221111x x -=--的解为x = .【答案】﹣2． 试题分析：两边都乘以x 2﹣1，得：2﹣（x+1）=x 2﹣1，整理化简x 2+x-2=0,解得：x 1=﹣2，x 2=1 检验：当x=﹣2时，x ﹣3=﹣5≠0，当x=1时，x 2﹣1=0，故方程的解为x=﹣2. 考点：分式方程【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．【例4】若关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解，则m 的值为( ) A. －32 B. 1 C. 32或2 Ｄ－12或－32【答案】D【解析】若关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解， 则30x =或 而分式方程2213m x x x+-=-，去分母得， ()()()2323x m x x x x +--=-即： ()216m x +=- 当3x =时，()3216m +=-解得， 32m =- 当0x =时， 无解；又因为当210m +=时，整式方程()216m x +=-无解， 即12m =-综上所述，当3122m =--或时，此分式方程无解. 故选D. 【举一反三】考点：1.分式方程的解；2.解一元一次不等式 2.若分式方程211x m x x-=--有增根，则这个增根是 【答案】x=1． 【解析】试题分析：根据分式方程有增根，让最简公分母为0确定增根，得到x-1=0，求出x 的值． 试题解析：根据分式方程有增根，得到x-1=0，即x=1， 则方程的增根为x=1． 考点：分式方程的增根． 考点典例四、分式方程的应用【例5】（2017辽宁大连第21题）某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，原计划每天生产多少个零件？ 【答案】75. 【解析】试题分析：设原计划平均每天生产x 个零件，现在平均每天生产（x+25）个零件，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．考点：分式方程的应用.【点睛】此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系，列出方程解决问题．【举一反三】1.（2017青海西宁第9题）西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾.设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（）A．1.2 1.216x+= B．1.2 1.2162x+= C.1.2 1.2132x+= D．1.2 1.213x+=【答案】B 【解析】试题分析：由题意可得，1.2 1.2162x+=，故选B．考点：分式方程的应用．2.（2017黑龙江绥化第25题）甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？（2）若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？【答案】（1）甲每天修路1.5千米，则乙每天修路1千米；（2）甲工程队至少修路8天．【解析】试题分析：（1）可设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.5）千米，则可表示出修路所用的时间，可列分式方程，求解即可；（2）设甲修路a天，则可表示出乙修路的天数，从而可表示出两个工程队修路的总费用，由题意可列不等式，求解即可．考点：1.分式方程的应用；2.一元一次不等式的应用． 课时作业☆能力提升 一、选择题1. （2017贵州黔东南州第7题）分式方程331x (1)1x x =-++的根为（ ）A ．﹣1或3B ．﹣1C ．3D ．1或﹣3【答案】C 【解析】试题解析：去分母得：3=x2+x ﹣3x ， 解得：x=﹣1或x=3，经检验x=﹣1是增根，分式方程的根为x=3， 故选C考点：解分式方程．2.用换元法解方程x x 122-﹣122-x x =3时，设xx 122-=y ，则原方程可化为（ ）A ．y=y 1﹣3=0 B ．y ﹣y 4﹣3=0 C ．y ﹣y1+3=0 D ．y ﹣y 4+3=0【答案】B ． 【解析】试题分析：∵设xx 122-=y ，则122-x x =y 1，原方程可转化为：y ﹣y 4=3，即y ﹣y 4﹣3=0．故答案选B ．考点：换元法解分式方程． 3.若关于x 的方程333x m mx x++--=3的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜92B ．m ＜92且m≠C．m ＞﹣D ．m ＞﹣且m≠﹣34【答案】B.考点：分式方程的解．4. （2017新疆乌鲁木齐第7题）2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多0020，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x 万棵，可列方程是 （ ） A ．()0030305120x x -=+ B ．003030520x x-=C.003030520x x += D ．()0030305120x x -=+ 【答案】A. 【解析】试题解析：设原计划每天植树x 万棵，需要30x天完成，∴实际每天植树（x+0.2x ）万棵，需要30(120%)x+天完成，∵提前5天完成任务， ∴30x﹣30(120%)x+=5，故选A.考点：由实际问题抽象出分式方程．5.若关于x 的分式方程2233x m x x++=--有增根，则m 的值是( ). A ．1m =- B ．0m = C ．3m = D ．0m =或=3m 【答案】A. 【解析】试题分析：题中说此分式方程有增根，说明去分母后化成的整式方程的解是3，所以先把原分式方程化成整式方程，再把3代入，求m 值；原分式方程去分母化为整式方程得：2-（x+m)=2(x-3),将x=3代入得：m=-1,故选A.考点：1.解分式方程；2.增根的意义.6.穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h ，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h ，依题意，下面所列方程正确的是（ ）A.4804804160x x -=+B.4804804160x x -=+C.4804804160x x -=- 【答案】B ． 【解析】试题分析：设普通列车的平均行驶速度为xkm/h ，则高铁列车的平均速度为（x+160）km/h ，根据题意，可得：4804804160x x -=+，故选B ．考点：由实际问题抽象出分式方程．7. （2017新疆建设兵团第8题）某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A ．60048040x x =- B ．600480+40x x=C ．600480+40xx =D ．600480-40xx =【答案】B.考点：由实际问题抽象出分式方程．二、填空题8.当x= 时，分式x－22x＋5的值为0．【答案】2. 【解析】试题分析：∵x－22x＋5的值为0，∴x-2=0且2x+5≠0，解得x=2. 考点：分式.9.（2017湖南株洲第13题）分式方程412x x-=+的解为．【答案】x=﹣83．【解析】试题分析：去分母，得4x+8﹣x=0，移项、合并同类项，得3x=﹣8，方程两边同时除以3，得x=﹣83．经检验，x=﹣83是原方程的解．故答案为：x=﹣83．考点：解分式方程．10.（2017四川攀枝花卷）若关于x的分式方程7311mxx x+=--无解，则实数m=_______．【答案】3或7．【解析】解：方程去分母得：7+3（x﹣1）=mx，整理，得（m﹣3）x=4，当整式方程无解时，m ﹣3=0，m =3；当整式方程的解为分式方程的增根时，x =1，∴m ﹣3=4，m =7，∴m 的值为3或7．故答案为：3或7．11. 已知分式方程244x a x x =+--有增根，则a ＝________. 【答案】4【解析】点睛：在方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零，那么这个根就是原方程的增根.三、解答题12．（2017湖北咸宁第17题⑵）解方程：3121-=x x . 【答案】x=﹣1．试题分析：根据分式方程的解法即可得到结论．试题解析：（2）方程两边通乘以2x （x ﹣3）得，x ﹣3=4x ，解得：x=﹣1，检验：当x=﹣1时，2x （x ﹣3）≠0，∴原方程的根是x=﹣1．考点：解分式方程.13. （2017江苏无锡第20题（2））解方程：532x-12x =+【答案】x=13.【解析】试题分析：直接利用分式的性质求出x 的值，进而得出答案．试题解析：（2）由题意可得：5（x+2）=3（2x ﹣1），解得：x=13，检验：当x=13时，（x+2）≠0，2x ﹣1≠0，故x=13是原方程的解．考点：1.解分式方程．14.我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．【答案】3.【解析】试题分析：设学生步行的平均速度是每小时x 千米，服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x 千米，根据学校与君山岛距离为24千米，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，可列方程求解．试题解析：设学生步行的平均速度是每小时x 千米．服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x 千米， 根据题意：6.35.22424=-xx ， 解得：x=3，经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意．答：学生步行的平均速度是每小时3千米．考点：分式方程的应用.15. （2017贵州黔东南州第23题）某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学校招用了甲、乙两个工程队．若两队合作，8天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做3天后，剩余部分由乙队单独做需要18天才能完成．（1）求甲、乙两队工作效率分别是多少？（2）甲队每天工资3000元，乙队每天工资1400元，学校要求在12天内将学生公寓楼装修完成，若完成该工程甲队工作m天，乙队工作n天，求学校需支付的总工资w（元）与甲队工作天数m（天）的函数关系式，并求出m的取值范围及w的最小值．【答案】（1）甲、乙两队工作效率分别是112和124．（2）6≤m≤12．34800元．【解析】试题分析：（1）设甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天．列出分式方程组即可解决问题；（2）设乙先工作x天，再与甲合作正好如期完成．则1212-+=12412x，解得x=6．由此可得m的范围，因为乙队每天的费用小于甲队每天的费用，所以让乙先工作6天，再与甲合作6天正好如期完成，此时费用最小；试题解析：（1）设甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天．由题意11183181x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1224xy⎧=⎨=⎩，经检验1224xy⎧=⎨=⎩是分式方程组的解，∴甲、乙两队工作效率分别是112和124．（2）设乙先工作x天，再与甲合作正好如期完成．则1212-+=12412x，解得x=6．∴甲工作6天，∵甲12天完成任务，∴6≤m≤12．∵乙队每天的费用小于甲队每天的费用，∴让乙先工作6天，再与甲合作6天正好如期完成，此时费用最小，∴w的最小值为12×1400+6×3000=34800元．考点：一次函数的应用；分式方程的应用．16.（2017河池第24题）某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个.已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等.⑴排球和足球的单价各是多少元？⑵若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？【答案】(1)排球单价是50元，则足球单价是80元；(2)有两种方案：①购买排球5个，购买足球16个.②购买排球10个，购买足球8个.【解析】（2）设设恰好用完1200元，可购买排球m个和购买足球n个，由题意得：50m+80n=1200，整理得：m=24﹣85 n，∵m、n都是正整数，∴①n=5时，m=16，②n=10时，m=8；∴有两种方案：①购买排球5个，购买足球16个；②购买排球10个，购买足球8个．考点：分式方程的应用；二元一次方程的应用.。