4.-高阶微分方程与微分方程组
高等数学-第七章-微分方程
在工程领域中，微分方程组被广泛应用于控制论、信号处理、流体力学等方面。通过求解微分方程组，可以优化工程 设计、提高系统性能等。
经济应用
在经济学中，微分方程组被用来描述经济系统的动态行为，如经济增长模型、金融市场模型等。通过求 解这些微分方程组，可以分析经济现象的发展趋势和内在机制。
05 微分方程的数值解法
常数变易法
对于某些特殊形式的高阶微分方程组，可以通过常 数变易的方法，将其转化为易于求解的方程或方程 组。
幂级数解法
对于某些高阶线性微分方程组，可以通过幂 级数展开的方法，将其转化为无穷级数进行 求解。
微分方程组的应用
物理应用
在物理学中，许多现象可以用微分方程组来描述，如力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等。通过求解这些 微分方程组，可以揭示物理现象的本质和规律。
非线性微分方程
不满足线性条件的微分方程，称为非线性微分方 程。
微分方程解的性质
唯一性定理 在一定条件下，微分方程的解是 唯一的。
边值问题 给定边界条件的微分方程求解问 题，称为边值问题。边值问题的 解可能不唯一，也可能不存在。
叠加原理
对于线性微分方程，若$y_1$和 $y_2$分别是方程的两个解，则 它们的线性组合 $c_1y_1+c_2y_2$（其中$c_1$ 和$c_2$是任意常数）也是方程 的解。
首次积分法
利用首次积分的方法，将一阶微 分方程组转化为可分离变量的方 程或可降阶的方程，然后求解得 到原方程组的解。
特征线法
对于一阶偏微分方程组，可以通 过引入特征线的概念，将偏微分 方程转化为常微分方程进行求解 。
高阶微分方程组法
变量代换法
通过适当的变量代换，将高阶微分方程组转 化为一阶微分方程组或可降阶的方程，然后 求解得到原方程组的解。
第四章高阶线性微分方程
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x 0 (4.2) n dt dt dt 定理2 （叠加原理）如果 x1 (t ), x2 (t ), , xk (t ) 是方程（4.2）
的k个解，则它们的线性组合
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) ck xk (t )
t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
15
t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
t2 2t W x1 (t ), x2 (t ) 0 0
n 阶线性微分方程一般形式：
(n)
)0
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
其中 ai (t )(i 1,2,, n) 及f (t )是区间 a t b 上的连续函数。
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an1 (t ) an (t ) x 0 n dt dt dt
齐次线性微分方程。
(4.2)
称它为 n 阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为 n 阶非
7
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
0 0 0 t2 0 2t
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
1 t 0 0 t 1
第-节 高阶线性微分方程【高等数学PPT课件】
m maxl, n
Rm ( x),Qm ( x) 都是x的m次多项式, 其系数待定.
例4 设 y 5 y 6 y f ( x)
(1) f ( x) sin x 写出 y 的形式.
(2) f ( x) x cos x
Pm ( x) 为x的m次多项式. 其中 为常数,
分析： 设 y Q( x)ex 是原方程的解，则代入
原方程，整理得
Q (2 p)Q (2 p q)Q Pm ( x) ()
综上，对 f ( x) Pm ( x)ex 型
令 y x kQm ( x)ex
y p1( x) y p2 ( x) y f1( x) f2 ( x) 的特解.
定理5 若 y1( x), y2( x) 是方程(10)的两个解, 则 y1( x) y2( x) 是方程(9)的解.
例3 设 y1 x, y2 x 2 , y3 x3 是方程 y p1( x) y p2( x) y f ( x)
定理2 若 y1( x), y2( x)是方程(9)的两个线性无关
( y1 y2
常数) 的解,
则 C1 y1( x) C2 y2( x) 是 (9)的通解.
上述定理可推广到n阶线性齐次方程。
若已知方程 y p1( x) y p2( x) y 0 有一特解 y1( x), 要求其通解, 则只要再求出该方程的另一个与 y1( x) 线性无关的特解 y2 ( x) 即可. 用降阶法求 y2( x) :
第四节 高阶线性微分方程 二、线性齐次微分方程解的结构
二阶线性齐次微分方程：
y p1( x) y p2( x) y 0 ——（9） 定理1 若 y1( x), y2( x) 是方程(9)的两个解, 则
第四章高阶微分方程
高阶微分方程
本章先从一个实际例子出发， 介绍高阶微分方程的一般形式， 进一步了解可降阶的 微分方程， 重点讲述高阶线性方程的基本理论和常系数线性方程的求解方法。最后给出 高阶方程的一些应用实例。 【例1】 鱼雷追击模型 一敌舰在某海域内沿着正北方向航行时， 我方战舰恰好位于敌舰的正西方向1 公里 处。 我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为0.42 公里/分，鱼雷速度为敌舰速度的2倍。 试问敌舰航行多远时将被击中 ？ 〖 解〗 设敌舰初始点在Q0 (1, 0) 处，运动方向为平行y 轴的直线，t 时刻到达Q 点，鱼 雷的初始点在P0 (0, 0)处，沿曲线y = y (x)追击，敌舰的速度v0 = 0.42，则在时刻t ，鱼雷 在点P (x, y )处，此时敌舰在点Q(1, v0 t)，如图4.1。由于鱼雷在追击过程中始终指向敌舰， 而鱼雷的运动方向正好是沿曲线y = y (x) 的切线方向，那么，鱼雷的运动方程为 dy v0 t − y = (4.1) dx 1−x 而鱼雷行使的速度为2v0，分为水平方向运动和垂直方向运动，故满足以下关系式 ( 将(4.1)改写为 v0 t − y = (1 − x) 将(4.3)两边同时对x求导数，得 v0 由(4.2)可得 dt 1 = dx 2v0 将(4.5)代入(4.4)中，得 1+( dy 2 ) dx (4.5) dy d2 y dy dt − = (1 − x) 2 − dx dx dx dx (4.4) dy dx (4.3) dx 2 dy ) + ( )2 = 2v0 dt dt (4.2)
−
t t0
(4.15)
a1 (s)ds
,
t, t0 ∈ [a, b]
(4.16)
【例3】 验证函数xt是方程 出该方程的通解。
4微分方程的解及解的稳定性
第四讲 微分方程解的稳定性上一讲，我们利用最大值原理讨论了新古典经济增长模型，得到了两个方程，一个是状态变量的转移方程，另一个是欧拉方程。
这两个方程构成了包含状态变量和控制变量的二元一次方程组。
[]δα--=-)()()()()(1t k t c t k t k t k []δραα--=-1)()()(t k t c t c 这个方程组是一个非线性微分方程组，一般情况下，非线性方程组不存在解析解，即方程组的解不能用初等函数来表示。
因此，他们的性质需要借助其他方法来了解。
微分方程：变量为导数的方程叫做微分方程。
常微分方程：只有一个自变量的微分方程叫做常微分方程。
偏微分方程：有两个或两个以上自变量的方程叫做偏微分方程。
微分方程的阶：微分方程中变量的导数最高阶叫做方程的阶。
线性方程：方程的形式是线性的。
例如，方程0)()()()(321=+++t x t y a t y a t y a是一个二阶线性常微分方程。
又如，索洛－斯旺模型的基本方程是一个非线性方程：())()()(t k t k s t k⋅-=δα 再如，拉姆齐模型的动态是下列微分方程组的解：[]δα--=-)()()()()(1t k t c t k t k t k []δραα--=-1)()()(t k t c t c 一、 一阶微分方程一阶微分方程可以用下面的方程表示 ),(y x f dx dy= (1.1) 其中，函数R R R f →⨯:是连续可微函数。
最简单的微分方程是)(x f dxdy= (1.2) 它的解可表示为不定积分：⎰+=c dx x f y )( (1.3)其中，⎰dx x f x F )()(＝表示任意一个被被积函数，c 为任意常数。
当然，我们也可以确定任意一个被积函数，例如，令⎰⎰xdt t f dx x f x F 0)()()(＝＝, 则(2.2)的不定积分可表示为⎰+xc dt t f y 0)(＝这时，不定积分仍然代表无穷多条曲线，如果给出初始条件0)0(y y =, 则，上面微分方程的解就是⎰+xy dt t f y 00)(＝ (1.4)二、 常见的一阶微分方程解法1． 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式为)()(x g y x p dx dy=+ (2.1) 边界条件（即初始条件）0)0(y y =。
高阶线性微分方程
知 u 0, 取 u t t ,
得齐次方程的通解为
则 x2 te1t ,
x t C1 C2t e1t ;
17
情形3 有一对共轭复根 ( 0) 特征根为
o
x x
为物体自由振动的微分方程。
2
若受到铅直干扰力 F H sin pt ,
d2x dx 2 2 n k x h sin pt 2 为强迫振动的方程 dt 2 dt d uc duc Em 2 Lc 2 2 0 uc sin t dt dt LC 为串联电路的振荡方程
可以证明: 若方程(1)中的系数
(2)
P1 t , P2 t , Pn t
以及F t 均在区间 a, b 连续，则方程（1）存在惟一的满 足初始条件（2）的解 x t , t a, b .
4
二、 线性微分方程解的结构
x
n
t Pn t x t F t (3) t P1 t x n1 t Pn1 t x
得齐次方程的通解为
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x t C1e1t C2e2t ;
16
x a1x a2 x 0
情形2 有两个相等的实根
( 0)
a1 1 2 , 特征根为 一特解为 2 设另一特解为 x2 u t e1t ,
x1 e1t ,
，x2 代入原方程并化简， 将 x2 ，x2
可利用微分算子的线性性质证得。
问题： 以上解的线性组合是否是方程的通解？
6
四阶微分方程的解
四阶微分方程的解法四阶微分方程的解法因问题而异，没有通用的解法。
一般来说，四阶微分方程比二阶或三阶微分方程更复杂，需要更多的初始条件和边界条件才能求解。
如果四阶微分方程是由实际问题中抽象出来的，那么通常需要先对问题进行分析，找出有关物理量的关系，然后建立方程。
解四阶微分方程需要将问题转化为求解一组一阶微分方程组，或者采用数值方法直接求解四阶微分方程。
下面给出一个用数值方法求解四阶微分方程的例子：假设要求解一个形如y''''(x) = f(x, y(x), y'(x), y''(x)) 的四阶微分方程，其中 y(x) 是要求解的函数，y'(x)、y''(x)、y'''(x) 分别是 y(x) 在 x 处的第一、二、三阶导数，f(x, y(x), y'(x), y''(x)) 是已知函数。
可以采用欧拉法（Euler method）来数值求解这个方程。
欧拉法是一种常用的数值方法，适用于求解常微分方程的初值问题。
对于这个四阶微分方程，可以将其转化为一个四阶常微分方程组，然后采用欧拉法来求解。
具体来说，可以将 y(x) 在 x 处的一阶导数、二阶导数、三阶导数和四阶导数分别记作 y1、y2、y3 和 y4，即 y1 = y'(x)，y2 = y''(x)，y3 = y'''(x)，y4 = y''''(x)。
这样就可以将原方程转化为一个常微分方程组：y1' = y2y2' = y3y3' = y4y4' = f(x, y, y1, y2)其中，y1、y2、y3 和 y4 分别表示函数在 x 处的第一、二、三阶导数和四阶导数，f(x, y, y1, y2) 是已知函数。
采用欧拉法来数值求解这个常微分方程组。
一阶常微分方程组与高阶方程
y(
x0
)
y0 ,
y(x0 )
y0
（7.35）
在引入新的变量 z y后,即化为一阶方程组初值问题:
z f (x, y, z) y z, y(x0 ) y0 , z(x0 ) y0
（7.36）
式（7.36）为一个一阶方程组的初值问题，对此可
用1.1中介绍的方法来求解。例如应用四阶龙格-库
K2,
zi
h 2
L2
)
K 4 zi hL3
L4 f (xi1 , yi hK3 , zi hL3 )
（7.37） （7.38）
消去 Ki (i 1,2,3,4) ，上式简化为：
h2
yi1 yi hzi
6
(L1 L2 L3 )
z
i
1
zi
h 6
( L1
2L2
2L3
L4 )
（7.39）
例7.7 求解下列二阶微分方程的初值问题
y y x y(0) 0, y(0) 1
0 x 1
取步长h=0.1
解:先作变换：令 z y ，代入上式，得一阶方程组
z z x
y
z,
y(0)
0,
z(0)
1
用四阶龙格-库塔方法求解,按式(7.37)及(7.38)
进行计算：
取步长h 0.1 ,x0 0 ,y0 0 ,z0 1 i0 时
yi
1
yi
h 6
(K1
2K2
2K3
K4)
zi
1
zi
h 6
(L1
2L2
2L3
L4
)
（7.33）
式中
K1 f (xi , yi , zi ) L1 g (xi , yi , zi )
第四章 高阶微分方程 常微分方程课件 高教社 王高雄教材配套ppt
5/8/2021
第四章
10
x1
t 2 , 0,
1 t 0 0t 1
注 仅对函数而言 线性相关时W(t)≡0的
逆定理一般不成立。
例 函数
和
x1
t 2 , 0,
x2
0,
t
2
,
1 t 0 0t 1
1 t 0 0t 1
在区间-1≤t≤1上有W[x1(t),x2(t)]≡0 ,但却线性无 关。
证 5/8/2021 用反证法证。
第四章
12
(续)定理4 齐次线性微分方程的线性 无关解的伏朗斯基行列式恒不为零
dn x dtn
a1(t)
dn1 x d t n1
an1 (t )
d d
x t
an
(t ) x
0
证 用反证法证。设有t0 (a≤t0≤b) 使得W(t0)=0，则t = t0时 的 (6)、(7)组成的n个齐次线性代数方程组有非零解 c1 ,c2 ,…,cn。 根椐叠加原理，函数 x(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+…+ cnxn(t) 是方程(2)的解，
第四章
13
定理5 齐次线性方程(2)的基本 解组必存在且其伏朗斯基行列式 恒不为零。
证 根据定理1，线性 方程(2)的满足初值 条件:
的解x1(t),x2(t),…,xn(t)必 存在，且有
x1
(t0
)
1,
x1'
(t0
)
0,
x2
(t0
)
0,
x2'
(t0
)
1,
xn
(t0
)
0,
xn'
高阶线性微分方程.
n
的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 例如, 方程 y y e x 有特解
方程 y y cos x 有特解
y y e x cos x 的特解.
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定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 定理 5. 给定 n 阶非齐次线性方程 是对应齐次方程的 n 个线性 无关特解, 的通解为 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程
由此得原方程③的通解:
y C1 y1 ( x) C2U ( x) y1 ( x) u ( x) y1 ( x)
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例5. 已知齐次方程 ( x 1) y x y y 0 的通解为
2 Y C1 x C2 e , 求 ( x 1) y x y y ( x 1) 的通解. x 1 y y x 1 解: 将所给方程化为: y x 1 x 1 x 令 y xv1 ( x) e v2 ( x), 利用⑤,⑥建立方程组: e x v2 0 xv1
2
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例2. 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串
联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 求电容器两两极板间电压 uc 所满足的微分方程 . R 提示: 设电路中电流为 i(t), 极板 上的电量为 q(t) , 自感电动势为 E L , 由电学知
左= ( Y y * ) P( x) ( Y y * ) Q( x) ( Y y * )
( Y P( x) Y Q( x) Y )
f ( x) 0 f ( x) =右
故（3）是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立的任意 证毕 常数, 因而 （3） 也是通解 .
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§4 高阶微分方程与微分方程组
一、 高阶微分方程与微分方程组的互化
已给一个n 阶方程
()()()
y f x y y y y n n ='''-,,,,,Λ1
设y 1=y ,y 2=y',y 3=y",…,y n =y (n -1)，那末解上面n 阶微分方程就相当于解下面n 个一阶微分方程的方程组
()⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪⎪⎪⎨⎧====-n n
n
n y y y x f x
y y
x y y x y
y x y ,,,,d d d d d d d d 2113221
ΛΛ
ΛΛΛΛ 式中y 1,y 2,…,y n 看作自变量x 的n 个未知函数.
反过来，在许多情况下，已给n 个一阶微分方程的方程组也可以化为一个n 阶微分方程.比如，两个一阶微分方程的方程组
()
()⎪⎩⎪⎨⎧==21222111
,,d d ,,d d y y x f x
y
y y x f x y (1) 将方程(1)对x 求导数
221
11112
12d d f y f f y f x f x
y ∂∂+∂∂+∂∂= 记作
()212
1
2,,d d y y x F x
y = (2) 从方程(1)中解出y 2
()y y x y y 2211=',,
代入方程(2)的右边，就得到一个二阶微分方程
()1
121
2,,d d y y x x
y '=Φ 这里函数()1
1,,y y x 'Φ由函数f 1，f 2所确定，因而是已知的.所以两个一阶微分方程组可以化为一个二阶微分方程.
二、 高阶微分方程的几种可积类型及其解法
1. y (n ) = f (x ) 将方程写成
()()x f y x
n =-1d d 积分后得到
()()110
d c x x f y x
x n +=⎰-
重复这一过程到积分n 次，就得到微分方程的通解：
{
()()()()()()()()()()()()()()()n n n n x x n n
n n n x x n
n
x x c x x c n x x c n x x c d f x n c x x c n x x c n x x c dx x f y +-++--+--+--=+-++--+--+=-------⎰⎰⎰012
021
011
012
02101!
2!1!11!2!100
0ΛΛΛξξξ
2. F (x ,y (n ) )=0
1︒ 若能解出y (n )，则方程化成类型1求解.
2︒ 若不能解出y (n )，或解出后表达式太复杂，就设法求它的参数形式的解： 设函数ϕ(t ),ψ(t ) (α<t<β)满足
F (ϕ(t ),ψ(t ))≡0
则原方程可写成参数形式
x=ϕ(t ), y (n )=ψ(t )
由 d y (n -1)= y (n )d x=ψ(t )ϕ'(t )d t
得 ()
()()()y t t dt c t c n -='+=⎰1111ψϕψ,
又由 d y (n -2)=y (n -1)d x=ψ1(t ,c 1)ϕ'(t )d t 得 ()
()()()y
t c t dt c t c c n -='+=⎰2112212ψϕψ,,,
最后得原方程的参数形式的通解
()()x t y t c c c n n ==ϕψ,,,,,12Λ 3. F (y (n -1), y (n ) )=0
1︒ 若从方程可解出y (n ):
y (n )=f (y (n-1))
则令y (n －
1)=z ，上式化成
()z f x
z
=d d 这是变量可分离的方程，设解为
z=ω(x,c 1)
那末化成类型1
y (n-1)=ω(x,c 1)
其通解为
()()()()()()n n x x n c x x n c c x n x y ++--+--=
--⎰Λ20212!
2d ,!210ξξωξ 2︒ 若不能解出y (n )，但原方程可写成参数形式：
y (n -1)=ϕ(t ), y (n )=ψ(t )
则从 d y (n -1)= y (n )d x
得 ()()
()()t y c t t t x n ϕψϕ=+'=-⎰1,d 按类型2的方法，可得通解（参数形式）
()()
()1211,,,,,d --=+'=⎰n n c c c t y c t t t x Λϕψϕ 4. F (y (n -2), y (n ) )=0 设方程可解出y (n )：
y (n )=f (y (n -2))
令z=y (n-2)，方程两边乘以2z'化成。