微分代数方程
数学中的代数学和微分方程
数学中的代数学和微分方程数学无疑是一门极其重要的学科，其作为各种科学研究的基础和工具，影响着我们的生产和生活。
在数学中，代数学和微分方程是两个极其重要的分支领域，本文将主要介绍这两个领域的相关内容。
代数学代数学是研究代数结构和其上的运算的一门数学分支。
它主要涉及的代数结构包括群、环、域、向量空间等等。
代数学的运用范围非常广泛，例如代数几何、数论、物理学、化学等等。
代数学最重要的贡献之一就是发展了抽象代数，使代数的理论体系更严谨和完备。
在代数学中，我们主要关注的是各种代数结构之间的性质和相互关系。
其中群是代数学中的基础结构之一，其通常包括一个集合以及一种运算，使得这个集合中的元素和这种运算构成了一个符合一定规则的代数系统。
群理论在数学、物理和化学各领域都有着广泛的应用和理论研究。
例如在水的相变中，氢键的群理论给出了详细而系统的描述，可以解释水的氢键能量和论证水的氢键长度，对氢键的研究也为相关的热力学提供了丰富的信息。
环是代数学中另一个重要的代数结构，其与群类似，但环的运算不要求所有元素都有逆元。
常见的环有整数环、多项式环等等。
另一个重要的代数结构是域，它是具有更高级别的性质，是能做算术运算的数学结构，例如实数域和复数域。
域广泛应用于现代的通讯技术和编码理论中，例如信号处理、纠错码以及加密和解密技术等。
微分方程微分方程是数学中的另一个重要分支，它主要研究的是含未知函数及其导数的函数方程。
微分方程可分为初值问题和边值问题两种，涉及的领域包括常微分方程、偏微分方程以及其它的一些变分学和动力学方程。
微分方程理论在物理、工程、经济学、生物学等领域都有着广泛的应用，尤其在物理领域中，微分方程成为了物理定律的数学表述。
例如著名的牛顿第二定律就可以用二阶微分方程形式表示。
微分方程在经济学中也大有用途，例如人口增长和价格波动的模型都是微分方程问题。
生物学中也有许多微分方程模型，例如生长和衰老的模型，神经系统的模型和疫情传播的模型等。
线性代数在微分方程中的应用
线性代数在微分方程中的应用线性代数是数学的一个分支，主要研究向量空间和线性映射等概念。
它通过矩阵和向量的运算来描述和解决各种数学问题。
在微分方程中，线性代数的应用发挥着重要的作用。
本文将探讨线性代数在微分方程中的具体应用。
1. 线性代数与齐次线性微分方程齐次线性微分方程是指形式为y'' + p(x)y' + q(x)y = 0的微分方程，其中p(x)和q(x)是已知的函数。
利用线性代数的概念和技巧，可以通过矩阵和向量的方法解决这类微分方程。
首先，将齐次线性微分方程转化为矩阵形式。
假设y(x)是方程的解，可以构造一个向量函数Y(x) = (y(x), y'(x))^T，其中y'(x)是y(x)的导数。
将Y(x)代入方程，得到一个关于Y(x)的矩阵方程Y''(x) + P(x)Y'(x) +Q(x)Y(x) = 0，其中P(x)和Q(x)是由p(x)和q(x)构成的矩阵。
接下来，考虑特征值问题。
对于矩阵方程，可以找到一个特征值λ和对应的特征向量V，满足矩阵方程的特征值问题(A - λI)V = 0，其中A是由P(x)和Q(x)构成的矩阵，I是单位矩阵。
最后，利用特征值和特征向量构建齐次线性微分方程的解。
通过求解特征值问题，可以得到特征值λ1和λ2，以及对应的特征向量V1和V2。
齐次线性微分方程的通解可以表示为y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)，其中c1和c2是常数，y1(x)和y2(x)分别是由特征向量V1和V2构成的解函数。
2. 线性代数与非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程是指形式为y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)的微分方程，其中r(x)是已知的函数。
通过线性代数的方法，可以利用特解和齐次解的线性组合来求解非齐次线性微分方程。
首先，找到非齐次线性微分方程的特解。
通过试探法，假设非齐次线性微分方程的特解为y(x) = u(x)v(x)，其中u(x)是待定函数，v(x)是齐次线性微分方程的解函数，通过求导和代入方程，可以得到u(x)的表达式。
微分方程的求解原理
微分方程的求解原理
微分方程的求解原理主要分为两种方法：解析法和数值法。
1. 解析法
解析法是指通过数学分析和推理，将微分方程转化为代数方程或三角方程等形式，然后通过求解这些方程得到微分方程的解。
对于一阶微分方程，其解析解可以通过分离变量法、积分因子法、幂级数法等方法求解。
例如，对于形如y'=f(x)y的一阶微分方程，可以通过分离变量法得到y=，其中f(x)为已知函数。
对于二阶及以上阶数的微分方程，其解析解通常比较复杂，需要通过特殊的技巧和方法求解。
例如，对于二阶微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)，可以通过常数变易法、特征方程法、积分因子法等方法求解。
2. 数值法
数值法是指将微分方程转化为差分方程，通过数值计算方法求解得到近似解。
对于一阶微分方程，可以通过欧拉法、龙格-库塔法等数值方法求解。
对于非线性微分方程，可以通过隐式方法、显式方法、自适应方法等数值方法求解。
对于高阶微分方程，可以通过矩阵方法、迭代法、谱方法等数值方法求解。
例如，对于二阶微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)，可以通过矩阵方法得到y(x)=，其中c_n为待定系数，需要通过数值计算求解。
无论是解析法还是数值法，都需要遵循一些基本的原则，例如对于线性微分方程，需要满足线性叠加原理和齐次解原理；对于非线性微分方程，需要通过分析其特征方程和根的性质，确定其解的存在性和唯一性等。
同时，在求解过程中还需要注意数值计算的精度和稳定性等问题，以保证解的准确性和可靠性。
连续时间代数riccati方程
连续时间代数riccati方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：连续时间代数Riccati方程是一类重要的微分代数方程，广泛应用于控制理论、动力系统、信号处理等领域。
它可以描述系统状态随时间演化的动态过程，并在实际应用中发挥着重要作用。
本文将介绍连续时间代数Riccati方程的基本概念、求解方法和应用领域。
一、基本概念连续时间代数Riccati方程是一种特殊的矩阵微分方程，定义如下：\dot{P}(t) = -A^T P(t) - P(t)A - P(t)B R^{-1} B^T P(t) + QP(t)是一个对称矩阵，称为Riccati方程的解；A、B、R、Q分别是给定的矩阵，分别代表系统的状态矩阵、输入矩阵、状态-输入权重矩阵和状态-状态权重矩阵。
连续时间代数Riccati方程的特点在于，它不仅包含了状态矩阵的演化动态，还考虑了系统输入和权重矩阵对系统状态的影响。
Riccati 方程可以描述系统在连续时间下的状态演化规律，是控制理论中的重要工具。
二、求解方法对于一般的连续时间代数Riccati方程，其解并不容易求解。
针对特定情况下的Riccati方程，可以采用不同的方法进行求解。
常用的求解方法包括：1. Lyapunov方程法：将Riccati方程转化为Lyapunov方程进行求解；2. 反应敏感性法：通过求解线性化的Riccati方程，然后利用反应敏感性理论进行逼近求解；3. 近似法：将Riccati方程展开成级数，通过截断级数求解近似解。
这些方法在实际应用中都有其适用范围，可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
三、应用领域连续时间代数Riccati方程在控制理论、动力系统、信号处理等领域有着广泛的应用。
一些典型的应用包括：1. 线性二次型控制：Riccati方程是线性二次型控制理论的核心工具，用于设计最优控制器，实现控制系统的性能优化；2. 动态系统稳定性分析：通过求解Riccati方程，可以分析系统的稳定性和受控性，评估系统的运动特性；3. 鲁棒控制设计：Riccati方程在鲁棒控制设计中起着重要作用，可以设计具有鲁棒性能的控制器。
拉普拉斯求解微分方程
拉普拉斯求解微分方程拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，广泛应用于工程和科学领域。
在微分方程的求解中，拉普拉斯变换可以将微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。
本文将以拉普拉斯求解微分方程为主题，介绍拉普拉斯变换的原理和应用。
一、拉普拉斯变换的原理拉普拉斯变换是一种从时域到频域的变换方法，可以将一个函数从时域转化为复数域。
对于一个函数f(t)，其拉普拉斯变换定义为：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，s是复变量，t是时间变量，e^(-st)是拉普拉斯变换中的核函数。
通过拉普拉斯变换，我们可以将一个函数从时域转化为频域，从而可以更方便地进行分析和求解。
二、拉普拉斯变换的应用1. 求解微分方程拉普拉斯变换在求解微分方程时非常有用。
通过将微分方程转化为代数方程，可以简化求解过程。
例如，考虑一个线性常系数微分方程：a_n y^(n) + a_(n-1) y^(n-1) + ... + a_1 y' + a_0 y = f(t)其中，y是未知函数，f(t)是已知函数，a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0是常数。
我们可以对方程两边同时进行拉普拉斯变换，得到：a_n [s^n Y(s) - s^(n-1) y(0) - s^(n-2) y'(0) - ... - y^(n-1)(0)] + a_(n-1) [s^(n-1) Y(s) - s^(n-2) y(0) - ... - y^(n-2)(0)] + ... + a_1 [s Y(s) - y(0)] + a_0 Y(s) = F(s)其中，Y(s)是y(t)的拉普拉斯变换，y(0), y'(0), ..., y^(n-1)(0)是y(t)在t=0时的初始条件，F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。
通过求解上述代数方程，可以得到Y(s)，然后再进行拉普拉斯逆变换，即可得到y(t)的解。
微分方程解法总结
微分方程解法总结微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于自然科学和工程技术领域。
解微分方程的方法繁多，但主要可以归纳为以下几种常见的解法：分离变量法、齐次方程法、一阶线性常微分方程法、常系数线性齐次微分方程法、变量可分离的高阶微分方程法和常系数高阶线性齐次微分方程法等。
一、分离变量法分离变量法是解微分方程最基本的方法之一，适用于可以把方程中的变量分离开的情况。
其基本思想是将微分方程两边进行分离，将含有未知函数和其导数的项移到方程的一边，含有自变量的项移到另一边，并对两边同时进行积分。
最后，再通过反函数和常数的替换，得到完整的解。
二、齐次方程法齐次方程法适用于微分方程中，当未知函数和其导数之间的比值是关于自变量的函数时，可以通过引入新的变量进行转换，将微分方程转化为可分离变量或者常微分方程的形式。
三、一阶线性常微分方程法一阶线性常微分方程可以表示为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
解这类方程需要使用一阶线性常微分方程解的通解公式，即y=e^(-∫p(x)dx)*∫[e^(∫p(x)dx)]q(x)dx。
通过对p(x)和q(x)的积分以及指数函数的运用，可以得到最终的解。
四、常系数线性齐次微分方程法常系数线性齐次微分方程可以表示为ay'' + by' + cy = 0，其中a、b、c为常数。
解这类方程需要使用特征根的方法。
通过假设y=e^(mx)的形式，将其带入方程中，并解出方程的特征根m1和m2，再根据数学推导，可以得到最终的通解。
五、变量可分离的高阶微分方程法变量可分离的高阶微分方程适用于可以将高阶微分方程转化为一阶微分方程的情况。
其基本思想是对微分方程两边进行合理的转化和变量替换，将高阶微分方程转化为一阶微分方程的形式，然后使用分离变量法进行求解。
六、常系数高阶线性齐次微分方程法常系数高阶线性齐次微分方程可以表示为ay^n + by^(n-1) + ... + cy = 0，其中a、b、c为常数。
第一章_常微分方程
作业
1. 求方程y2y3y=0的通解。
2. 求方程y2yy0满足初始条件y|x04、 y| x02的特解。
3. 求方程y2y5y 0的通解。
1.2 常系数非齐次线性微分方程
方程
y+py+qy = f(x) (3) 称为二阶常系数非齐次线性微分方程，其
中p、q均为常数，f (x)为非齐次项
一、常数变易法
将方程(3)的特解记为 y(x) c1(x) y1(x) c2(x) y2 (x)
其中y1(x)和 y2 (x)为对应齐次方程的一对线性无关 解。将上述特解带入方程(3)可求解 c1(x)和c2 (x)。
由于 y c1y1 c2 y2 c1 y1 c2 y2 ，若令
c1 y1 c2 y2 0 则 y c1 y1 c2 y2 ，
齐次方程，有
2a1 3a0 3a1x 3x 1 由同幂次系数相等求解得
a1
1
a0
1 3
则非齐次方程的一个特解为
y* x 1 3
B.特殊情况
➢ 如果方程(3)的非齐次项 f(x)正好是对应齐次 方程的解，即各个非齐次项对应的指数
i 0 i
是原方程对应齐次方程的m重特征根，则方 程(3)的特解在原表达式上乘以xm 。
A.基本解法
【例 1.2.2】 求非齐次方程 y 2 y y 3e2x 的通解。 解：假设方程的一个特解为 y*(x) Ae2x ，代入非齐
次方程，有 4Ae2x 2Ae2x Ae2x 3e2x
求得 A 1。因此，方程的一个特解为 y* (x) e2x
又对应齐次方程的通解为 y(x) (c0 +c1x)ex ，因此 非齐次方程的通解为
是方程(1)的两个线性无关的解，方程的通解为
线性代数在微分方程中的应用
线性代数在微分方程中的应用微分方程是数学中重要的研究对象之一，广泛应用于自然科学、工程技术等领域。
而线性代数，作为一门与向量、矩阵相关的学科，具有丰富的工具和方法，对微分方程的研究与应用具有重要的作用。
本文将探讨线性代数在微分方程中的应用。
一、矩阵与线性微分方程线性微分方程是指具有以下形式的微分方程：$$\frac{{d^n y}}{{dt^n}} + a_{n-1} \frac{{d^{n-1} y}}{{dt^{(n-1)}}} + \ldots + a_1 \frac{{dy}}{{dt}} + a_0 y = 0$$其中，$y$ 是未知函数，$a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}$ 是给定的常数。
我们可以将线性微分方程表示为矩阵的形式：$$\frac{{d^n \mathbf{y}}}{{dt^n}} + \mathbf{A}_{n-1} \frac{{d^{n-1} \mathbf{y}}}{{dt^{(n-1)}}} + \ldots + \mathbf{A}_1\frac{{d\mathbf{y}}}{{dt}} + \mathbf{A}_0 \mathbf{y} = \mathbf{0}$$其中，$\mathbf{y}(t)$ 是一个向量函数，$\mathbf{A}_0,\mathbf{A}_1, \ldots, \mathbf{A}_{n-1}$ 是矩阵。
二、特征值与特征向量在微分方程中的应用特征值与特征向量是矩阵中的重要概念，它们在微分方程的研究中起到了关键的作用。
考虑一个 $n$ 阶线性微分方程，我们可以将其转化为如下形式：$$\frac{{d^n \mathbf{y}}}{{dt^n}} = \lambda \mathbf{y}$$其中，$\mathbf{y}(t)$ 是一个向量函数，$\lambda$ 是特征值。
这个转化过程可以通过特征值与特征向量的求解来实现。
微分方程分类及解法
微分方程分类及解法微分方程是数学中重要的一类方程，广泛应用于自然科学、工程、社会科学等领域中的各种问题。
在掌握微分方程的基本概念和解法后，我们可以更好地理解实际问题中的潜在规律和机理。
本文将介绍微分方程的分类及解法。
一、微分方程的分类微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是只有一个自变量的函数的微分方程，即只与时间、位置、速度等单一变量有关。
常微分方程按阶次可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
一阶常微分方程的一般形式为：$$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$$其中y是自变量x的函数，f(x,y)是给定的函数。
高阶常微分方程可表示为：$$F(x,y,y',y'',...y^{(n)})=0$$其中，y是自变量x的函数，n代表微分方程的阶数，y', y'' ,..., y^{(n)}分别表示y的一阶、二阶、n阶导数。
偏微分方程是包含多个自变量的函数的微分方程，通常是用来描述物理现象中的区域上的行为和变化。
偏微分方程按类型可分为椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程和双曲型偏微分方程。
椭圆型偏微分方程形式为：$$A\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+B\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}+C\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$$该方程描述的是各方向的扩散速度都一样的过程，比如稳态情况下的热传导方程。
抛物型偏微分方程形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = a\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+b\frac{\partial u}{\partial x}+cu$$该方程描述的是运动物体的一维热流方程、空气粘弹性和海浪向上传播等。
双曲型偏微分方程形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+b\frac{\partial u}{\partial x}+cu$$该方程描述的是颤动或波动过程，比如振动问题或波动方程等。
微分方程
求出．
特征方程的根与通解的关系： 特征方程r2+pr+q=0的两个根r1、r2 微分方程y′′+py′+qy=0的通解 两个不相等的实根r1、r2
y = C1 e r1x + C2 e r2 x ．
这是因为，函数 y1= e r1 x 、y2= e r2 x 是方程的解，
特征方程的根与通解的关系： 特征方程r2+pr+q=0的两个根r1、r2 微分方程y′′+py′+qy=0的通解 两个不相等的实根r1、r2 两个相等的实根r1=r2 一对共轭复根r1, 2=α ± iβ，
y = C1 e r1x + C2 e r2 x ． y=C1 e r1x + C2x e r1 x
特征方程的根与通解的关系： 特征方程r2+pr+q=0的两个根r1、r2 微分方程y′′+py′+qy=0的通解 两个不相等的实根r1、r2 两个相等的实根r1=r2 一对共轭复根r1, 2=α ± iβ，
y = C1 e r1x + C2 e r2 x ． y=C1 e r1x + C2x e r1 x
y=eαx (C1cos β x+ C2sin β x)．
这是因为y=是方程的解， y= eαx(cos β x+ i sin β x)， 可以验证，y1=eαxcos β x、y2=eαxsin β x是方程的线性无关解．
特征方程的根与通解的关系： 特征方程r2+pr+q=0的两个根r1、r2 微分方程y′′+py′+qy=0的通解 两个不相等的实根r1、r2 两个相等的实根r1=r2 一对共轭复根r1, 2=α ± iβ，
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微分代数方程(DAE)的Matlab解法
所谓微分代数方程，是指在微分方程中，某些变量满足某些代数方程的约束。
假设微分方程的更一般形式可以写成
前面所介绍的ODEs数值解法主要针对能够转换为一阶常微分方程组的类型，故DAE就无法使用前面介绍的常微分方程解法直接求解，必须借助DAE的特殊解法。
其实对于我们使用Matlab求解DAE时，却没有太大的改变只需增加一个Mass
参数即可。
描述f(t,x)的方法和普通微分方程完全一致。
注意：ode15i没法设置Mass属性，换句话说除了ode15i外其他ode计算器都
可以求解DAEs问题
1.当M(t,y)非奇异的时候，我们可以将微分方程等效的转换为
y'=inv(M)*f(t,y)，此时就是一个普通的ODE(当然我们可以将它当成DAEs处理)，对任意一个给定的初值条件都有唯一的解
2.当m(t,y)奇异时，我们叫它为DAEs(微分代数方程)，DAEs问题只有在同时提供状态变量初值y0和状态变量一阶导数初值py0，且满足M(t0,y0)*yp0=f(t0,y0)时才有唯一解，假如不满足上面的方程，DAEs解算器会将提供的y0和py0作为猜测初始值，并重新计算与提供初值最近的封闭初值
3.质量矩阵可是一个常数矩阵(稀疏矩阵)，也可以是一个自定义函数的输出。
但是ode23s只能求解Mass是常数的DAEs
4.对于Mass奇异的DAEs问题，特别是设置MassSingular为yes时，只能ode15s 和ode23t解算器
5.对于DAE我们还有几个参数需要介绍
a.Mass：质量矩阵，不说了，这个是DAE的关键，后面看例子就明白了
b.MStateDependence：质量矩阵M(t,y)是否是y的函数，可以选择
none|{weak}|strong，none表示M与y无关，weak和strong都表示与y相关c.MvPattern：注意这个必须是稀疏矩阵，S(i,j)=1表示M(t,y)的第i行中任意元素都与第j个状态变量yi有关，否则为0
d.MassSingular：设置Mass矩阵是否奇异，当设置为yes时，只能使用ode15s 和ode23t
e.InitialSlope：状态变量的一阶导数初值yp0，和y0具有相同的size，当使用ode15s和ode23t时，该属性默认为0
下面我们以实例说明，看下面的例子，求解该方程的数值解
【解】
真是万幸，选取状态变量和求状态变量的一阶导数等，微分方程转换工作，题目已经帮我们完成。
可是细心的网友会发现，最后一个方程不是微分方程而是一个代数方程(这就是为什叫DAE的原因)，其实我们可以将它视为对三个状态变量的约束。
(1)用矩阵形式表示出该DAEs
(2)编写Matlab代码
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代码:
odefun=@(t,x)[-0.2*x(1)+x(2)*x(3)+0.3*x(1)*x(2);
2*x(1)*x(2)-5*x(2)*x(3)-2*x(2)*x(2);
x(1)+x(2)+x(3)-1];%微分方程组
M=[1 0 0;0 1 0;0 0 0];%质量矩阵
options=odeset('mass',M);%对以DAE问题，mass属性必须设置
x0=[0.8;0.1;0.1];%初值
[t,x]=ode15s(odefun,[0 20],x0,options);%这里好像不能使用ode45
figure('numbertitle','off','name','DAE demo—by Matlabsky')
plot(t,x)
legend('x1(t)','x2(t)','x3(t)')
在介绍隐式ODEs时，我们说了ode15i也可以求解DAEs，原理就是将约束看成一个隐式，好，下面我们看看，验证下所说的：
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代码:
odefun=@(t,x,dx)[dx(1)+0.2*x(1)-x(2)*x(3)-0.3*x(1)*x(2);
dx(2)-2*x(1)*x(2)+5*x(2)*x(3)+2*x(2)^2;
x(1)+x(2)+x(3)-1];
%状态变量初值，题目中给出
x0=[0.8;0.1;0.1];
%该初值全部给定，按理说应该全部为1，但是记住方程中有一个约束，故其实只有两个独立初值
x0_fix=[1;0;1];%随意一个改为0都可以，比如[0;1;1]或者[1;1;0]
%状态变量一阶微分初值，题目没有给出，可以任意写
dx0=[1;1;1];
%该初值一个都没有给出，故全部为0
dx0_fix=[0;0;0];
%时间变量的初值
t0=0;
%计算相容初值
[x0,dx0]=decic(odefun,0,x0,x0_fix,dx0,dx0_fix);
[x0,dx0] % 相容初始条件
res=ode15i(odefun,[0,20],x0,dx0);
figure('numbertitle','off','name','DAE demo—by Matlabsky')
plot(res.x,res.y)
其实，有些简单DAEs是可以转换为ODEs的，由于代数方程只是状态变量的一
个约束，假如约束充分的话，我们就可以使用消参的思想，将约束反代回ODEs 中，这样就将那个约束方程消去了，最后只剩下那些微分方程了。
对于本例，我们只要通过第三个方程表示出
再将x3反代回前两个微分方程中则有
这个就是一个正常的ODEs了，好，下面我们就重新使用Matlab求解下看：
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代码:
x0=[0.8;0.1];
odefun=@(t,x)[-0.2*x(1)+x(2)*(1-x(1)-x(2))+0.3*x(1)*x(2)
2*x(1)*x(2)-5*x(2)*(1-x(1)-x(2))-2*x(2)*x(2)];
[t,x]=ode45(odefun,[0,20],x0);
figure('numbertitle','off','name','DAE demo—by Matlabsky') plot(t,x)
legend('x1(t)','x2(t)')。