高中数学 典型例题 符合函数的导数 新课标
2.5简单复合函数的求导法则（讲义+典型例题+小练）（原卷版）
2.5简单复合函数的求导法则（讲义+典型例题+小练）复合函数(())y f g x =的导数求法： ①换元，令()u g x =（内函数），则()y f u =（外函数） ②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅ ③回代()u g x =规律：复合函数的导数=内函数的导数乘以外函数的导数例：1．设()()2ln 333f x x x =+-，则()1f '=（ ）A ．112-B ．356-C ．0D ．3562．设()0sin 2cos2f x x x =+，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，n N ∈，则()2022f x =（ ） A ．()20212cos2sin 2x x - B ．()20222cos2sin 2x x -- C ．()20212cos2sin 2x x +D ．()20222cos2sin 2x x -+3．函数()2cos 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其导函数为函数()'f x ，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭__________．4．函数212e ()x f x x -=在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程是_________． 5．求下列函数的导数： (1)()cos 34y x =+； (2)214x y -=； (3)()521y x =-； (4)()3log 51y x =-.举一反三：1．已知函数()cos 2f x x =，那么()6f π'的值为（ ）A ．32-B ．32C ．3D ．3-2．已知函数()f x 及其导函数()f x '，若存在0x 使得()()00f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”.下列选项中没有“巧值点”的函数是( )A ．()2f x x = B ．()ln f x x = C ．()e xf x -= D ．()cos f x x =3．已知函数()()()2e 0ln 4xf f x x '=++，则()0f '=______．4．求下列函数的导数：(1)222e e x x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)22x y a x =+； (3)43sin 3cos 4y x x =⋅； (4)()ln ln 11x xy x x =-++． 5．如图，一个物体挂在铅直的弹簧下面，已知其位移sin y A t ω=，其中t 为时间，A 为振幅，ω为常数.(1)求物体的速度与加速度关于时间的函数； (2)试讨论物体的位移、速度与加速度的关系.巩固提升一、单选题1．已知()21x f x x e -+，则()0f '=（ ） A ．0B ．2C ．32D ．12-2．下列关于函数()21ny x =-的复合过程与导数运算正确的是（ ）A ．()1n y u =-，2u x =，()21ny nx u '=- B ．n y t =，()21nt x =-，()121n y nx t -'=-C ．n y u =，21u x =-，()1221n y nx x -'=-D ．n y u =，21u x =-，()121n y n x -'=-3．已知1y x =-与曲线ln()y x a =-相切，则a 的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．24．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系()2402tN t N -=，其中0N 为0=t 时钍234的含量.已知24t =时，钍234含量的瞬时变化率为8ln2-，则()96N =（ ） A ．12B ．12ln2C ．24D ．24ln25．已知0a b >>，函数axy e =在0x =处的切线与直线20x by -=平行，则22a ba b+-的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．已知函数()()ln e f x x x =+，()()2131a g x x -=--，若直线2y x b =+与曲线()y f x =，()y g x =都相切，则实数a 的值为（ ）A ．54B ．1716C ．178D ．17e8二、多选题7．下列各式正确是（ ） A ．sin cos 33ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()()1ln x x'-=C ．()222x x e e '=D ．()12x x '=-8．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数()()()1*7sin 212N 1i i x f x i i =-⎡⎤⎣⎦=∈-∑的图象就可以近似模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）为周期函数，且最小正周期为π B ．函数f （x ）为奇函数C ．函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝2π对称 D ．函数()'f x 有最大值为7三、填空题9．函数()e cos2xf x x =的导函数()f x '=___________.10．某个弹簧振子在振动过程中的位移y （单位：mm ）与时间t （单位：s ）之间的关系516sin 62y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则该振子在6s t =时的瞬时速度为___________mm/s .四、解答题11．求下列函数的导数： (1)()()521f x x =+；(2)()2sin f x x =；(3)()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(4)()()ln 1f x x =+．12．某港口在一天24h 内潮水的高度S （单位：m ）随时间t （单位：h ，024t ≤≤）的变化近似满足关系式π5π()3sin 126S t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求18点时潮水起落的速度．。
最新人教版高二数学选择性必修第二册第五章 5.2.2导数的四则运算法则5.2.3简单复合函数的导数
所以f′(2)＝a＋b4 ＝47 .②
4a－b＝1， 由①②得
4a＋b＝7，
a＝1， 解得
b＝3.
故f(x)＝x－x3
.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋
3 x2
知，曲线在点P(x0，y0)处的切线
方程为y－y0＝1＋x320
(x－x0)，
即y－x0－x30
＝1＋x320
【拓展延伸】导数运算法则的推广 (1)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导数仍然成立．两个函数和 (差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况，即[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′ ＝f1′(x)±f2′(x)±f3′(x)±…±fn′(x). (2)积的导数公式的拓展，若 y＝f1(x)f2(x)…fn(x)，则有 y′＝f1′(x)f2(x)…fn(x)＋ f1(x)f2′(x)…fn(x)＋…＋f1(x)f2(x)…fn′(x).
y′x＝y′u·u′x＝eu·(－ax2＋bx)′ ＝eu·(－2ax＋b)＝(－2ax＋b)·e－ax2＋bx .
(2)①f(x)＋f′(x)＝cos ( 3 x＋φ)－sin ( 3 x＋φ)( 3 x＋φ)′
＝cos (
3 x＋φ)－
3 sin (
3
x＋φ)＝2sin
3x＋φ＋56π .
因为 0＜φ＜π，f(x)＋f′(x)是奇函数，所以 φ＝π6 .
′＝
（1－x）2
cos x－sin x＋x sin x
＝
（1－x）2
.
【补偿训练】
x2＋a2 当函数y＝ x (a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0等于( )
A．a
22人教版高中数学新教材选择性必修第二册--5.2.3 简单复合函数的导数
成，所以 ′ ()
=
′
⋅
′
1
= ⋅2=
2
，得 ′ (1)
2+1
=
2
.
3
探究点二 复合函数与导数四则运算法则的综合
例 求下列函数的导数：
（1） = sin 2 + cos 2 ；
[答案] 解法一（复合函数求导）：
对于函数 = sin 2 ，令 = 2 ，则 = sin ，
所以 ′ = ′ ⋅ ′ = cos ⋅ 2 = 2 cos 2 .
对于函数 = cos 2 ，令 = 2 ，则 = cos ，
所以 ′ = ′ ⋅ ′ = −sin ⋅ 2 = −2 sin 2 .
所以函数 = sin 2 + cos 2 的导数为 ′ = 2 cos 2 − 2 sin 2 = 2 2sin(2 +
由题意，得
3
2
+ =
3
2
，故 = 0 .
综上所述， = 0, = −1 .
1. 函数 = (2021 − 3)3 的导数 ′ = (
D
)
A. 3(2021 − 3)2
B. −9
C. 9(2021 − 3)2
D. −9(2021 − 3)2
2. 下列求导数结果正确的是(
3π
).
4
解法二（利用导数的四则运算法则）：
∵ = sin 2 + cos 2 = 2 sin cos + (cos + sin ) ⋅ (cos − sin ) ，
∴ ′ = 2 cos 2 − 2 sin2 + (cos − sin )2 − (sin + cos )2
高中数学复合函数的求导规则及应用实例
高中数学复合函数的求导规则及应用实例一、引言在高中数学中，复合函数是一个重要的概念。
它是由两个或多个函数组合而成的函数，通过对复合函数的求导，可以帮助我们解决一些实际问题。
本文将介绍复合函数的求导规则，并通过实例来说明其应用。
二、复合函数的求导规则1. 链式法则复合函数的求导可以使用链式法则进行计算。
链式法则可以表示为：设函数y=f(u)，u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为dy/dx=f'(u)g'(x)。
其中，f'(u)表示函数f(u)对u的导数，g'(x)表示函数g(x)对x的导数。
2. 基本导数公式在使用链式法则求导之前，我们需要掌握一些基本的导数公式。
例如，常数函数的导数为0，幂函数的导数为n*x^(n-1)，指数函数的导数为a^x*ln(a)。
三、应用实例1. 实例一：求复合函数的导数考虑函数y=(2x+1)^3，我们需要求其导数。
首先，我们可以将函数表示为y=u^3，其中u=2x+1。
然后，对u求导得到u的导数为du/dx=2。
接下来，对y求导，根据链式法则，dy/dx=3u^2*du/dx=3(2x+1)^2*2=6(2x+1)^2。
2. 实例二：求复合函数的导数考虑函数y=sin(3x)，我们需要求其导数。
首先，我们可以将函数表示为y=f(u)，其中u=3x，f(u)=sin(u)。
然后，对u求导得到u的导数为du/dx=3。
接下来，对y求导，根据链式法则，dy/dx=f'(u)g'(x)=cos(u)*3=3cos(3x)。
四、总结通过本文的介绍，我们了解了复合函数的求导规则及其应用实例。
在求解复合函数的导数时，我们可以使用链式法则来简化计算过程。
通过掌握基本的导数公式，我们可以更加灵活地应用链式法则。
在实际问题中，复合函数的求导可以帮助我们解决一些复杂的数学问题，提高问题的解决效率。
五、应用建议对于高中学生和他们的父母来说，掌握复合函数的求导规则及其应用是非常重要的。
复合函数求导例题100道
复合函数求导例题100道1、已知函数$y=f(u)$和$u=g(x)$，求复合函数$y=f(g(x))$的导数$y'$。
首先，根据复合函数的链式法则，我们可以得到复合函数的导数公式：$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$其中，$\frac{dy}{du}$表示函数$y$对自变量$u$的导数，$\frac{du}{dx}$表示函数$u$对自变量$x$的导数。
现在，我们来看一个具体的例子。
例题1：已知函数$y=u^2$和$u=x^3$，求复合函数$y=(x^3)^2$的导数$y'$。
首先，我们可以将函数$y=u^2$和$u=x^3$带入到复合函数的导数公式中，得到：$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$然后，我们计算$\frac{dy}{du}$和$\frac{du}{dx}$的值。
$\frac{dy}{du}$表示函数$y$对自变量$u$的导数，即$y'=2u$。
$\frac{du}{dx}$表示函数$u$对自变量$x$的导数，即$\frac{du}{dx}=3x^2$。
最后，将$\frac{dy}{du}=2u$和$\frac{du}{dx}=3x^2$的值带入到复合函数的导数公式中，得到：$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=2u\cdot3x ^2=6x^2\cdot(x^3)^2=6x^2\cdot x^6=6x^8$$所以，复合函数$y=(x^3)^2$的导数$y'$为$6x^8$。
接下来，我们来看几个例题进行练习。
例题2：已知函数$y=e^u$和$u=\ln(x)$，求复合函数$y=e^{\ln(x)}$的导数$y'$。
首先，我们可以将函数$y=e^u$和$u=\ln(x)$带入到复合函数的导数公式中，得到：$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$然后，我们计算$\frac{dy}{du}$和$\frac{du}{dx}$的值。
高中数学专题练习《简单复合函数的导数》含详细解析
5.2.3简单复合函数的导数基础过关练题组一复合函数的求导法则1.函数y=(2020-8x)3的导数y'=()A.3(2020-8x)2B.-24xC.-24(2020-8x)2D.24(2020-8x)22.若f(x)=e x ln2x,则f'(x)=()A.e x ln2x+e x2x B.e x ln2x-exxC.e x ln2x+exxD.2e x·1x3.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为()A.12B.23C.34D.14.若函数f(x)=√4x-3,则f'(x)=.5.函数f(x)=cos2xe x的导函数f'(x)=.6.求下列函数的导数.(1)y=x 2(2x+1)3;(2)y=e-x sin2x;(3)y=ln√2x+1-1;(4)y=cos(-2x)+32x+1.深度解析题组二复合函数求导的综合运用7.曲线f(x)=e4x-x-2在点(0,f(0))处的切线方程是()A.3x+y+1=0B.3x+y-1=0C.3x-y+1=0D.3x-y-1=08.某市在一次降雨过程中,降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=√10t,则在时刻t=40min的降雨强度为()A.20mm/minB.400mm/minC.12mm/min D.14mm/min9.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x,则limΔx→0f(1-2Δx)-f(1)Δx的值为()A.10B.-10C.-20D.2010.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为()A.1B.2C.-1D.-211.设函数f(x)在(-∞,+∞)内的导函数为f'(x),若f(ln x)=x+1x,则f(0)f'(0)=()A.2B.-2C.1D.e+112.设曲线y=e ax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=.13.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-2-x,则曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为.14.设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴交于点(0,6),试确定a的值.能力提升练题组复合函数的导数及其应用1.()已知y=f(x)=ln|x|,则下列各命题中,正确的是()A.x>0时,f'(x)=1x ,x<0时,f'(x)=-1xB.x>0时,f'(x)=1x,x<0时,f'(x)无意义C.x≠0时,都有f'(x)=1xD.因为x=0时f(x)无意义,所以不能对y=ln|x|求导2.()设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为()A.-15B.0C.15D.53.()已知f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n,则f'(0)=()A.nB.n-1C.n(n-1)2D.n(n+1)24.(2020河南开封五县高二上期末联考,)设a∈R,函数f(x)=e x+a·e-x 为奇函数,曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,则该切线方程为()A.2x-y=0B.2x+y=0C.4x-y=0D.4x+y=05.()定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0为函数f(x)的“新驻点”,若函数g(x)=x2+1,h(x)=ln(x+2),φ(x)=cos x(x∈(0,π))的“新驻点”分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a6.(多选)()已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象如图所示,令g(x)=f(x)+f'(x),则下列关于函数g(x)的说法正确的是()A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ-π12(k∈Z)B.函数g(x)的最大值为2C.函数g(x)的图象上存在点P,使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行D.方程g(x)=2的两个不同的解分别为x1,x2,则|x1-x2|的最小值为π27.()已知y=x1−√1−x,则y'=.8.()若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.9.()设函数f(x)=ae x ln x+be x-1x.(1)求导函数f'(x);(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b的值.), 10.()已知函数f(x)=3x+cos2x+sin2x,f'(x)是f(x)的导函数,且a=f'(π4求过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程.答案全解全析 基础过关练1.C y'=3(2 020-8x)2×(2 020-8x)'=3×(2 020-8x)2×(-8)=-24(2 020-8x)2.故选C.2.C f'(x)=(e x )'·ln 2x+e x ·(ln 2x)' =e xln 2x+e xx.故选C.3.B 由f(x)=ln(ax-1)可得f'(x)=aax -1,由f'(2)=2,可得a2a -1=2,解得a=23.故选B.4.答案2√4x -34x -3解析 ∵f(x)=√4x -3=(4x-3)12, ∴f'(x)=12(4x-3)-12·(4x-3)'=2√4x -34x -3. 5.答案 -2sin2x+cos2xe x解析 由f(x)=cos2x e x, 得f'(x)=-2sin2x+cos2xe x. 6.解析 (1)∵y=x 2(2x+1)3,∴y'=2x ·(2x+1)3-x 2·3(2x+1)2·2(2x+1)6=2x -2x 2(2x+1)4.(2)y'=-e -x sin 2x+2e -x cos 2x =e -x (2cos 2x-sin 2x).(3)∵y=ln √2x +1-1=12ln(2x+1)-1,∴y'=12×12x+1×(2x+1)'=12x+1.(4)y'=-2sin 2x+(2x+1)'32x+1ln 3 =-2sin 2x+2·32x+1ln 3.易错警示 分析函数的运算结构,以基本初等函数的导数为基础,利用导数的四则运算法则及复合函数的求导法则依次求导即可. 7.D ∵f'(x)=4e 4x -1,∴k=f'(0)=3.又f(0)=-1,∴切线方程为y+1=3x,即3x-y-1=0.故选D. 8.D 由f(t)=√10t , 得f'(t)=2√10t·(10t)'=√102√t, 所以f'(40)=√102√40=14. 9.C ∵f(x)=2ln(3x)+8x,∴f'(x)=2x+8,∴f'(1)=10, ∴limΔx →0f(1-2Δx)-f(1)Δx =-2limΔx →0f(1-2Δx)-f(1)-2Δx=-2f'(1)=-20.故选C. 10.B 设切点为P(x 0,y 0), 则y 0=x 0+1,y 0=ln(x 0+a), ∵y' x=x 0=1x 0+a=1,∴x 0+a=1,∴y 0=ln(x 0+a)=0,∴x 0=y 0-1=-1.∴a=1-x 0=2.故选B. 11.B 令ln x=t,则x=e t,代入f(ln x)=x+1x得y=e t +1e t=1+1et =1+e -t ,∴y'=-1e t ,∴f(0)f'(0)=1+1-1=-2.故选B.12.答案 2解析 令y=f(x),则曲线y=e ax 在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因为f(x)=e ax ,所以f'(x)=(e ax )'=(e ax )·(ax)'=ae ax ,所以f'(0)=ae 0=a,故a=2. 13.答案 y=2x-1解析 设x>0,则-x<0,∴f(-x)=e x-2+x,∵f(x)为偶函数,∴f(x)=e x-2+x,则f'(x)=e x-2+1,∴f'(2)=2,又f(2)=3,∴曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y-3=2(x-2),即y=2x-1. 14.解析 因为f(x)=a(x-5)2+6ln x, 所以f '(x)=2a(x-5)+6x .令x=1,得f(1)=16a,f '(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1).由点(0,6)在切线上,可得6-16a=8a-6, 解得a=12.能力提升练1.C 根据题意得f(x)={lnx(x >0),ln(−x)(x <0).分两种情况讨论:(1)x>0时,f(x)=ln x ⇒f'(x)=(ln x)'=1x ;(2)x<0时,f(x)=ln(-x)⇒f'(x) =[ln(-x)]'=1-x·(-1)=1x.故选C.2.B 由题设可知f(x+5)=f(x), ∴f'(x+5)=f'(x),∴f'(5)=f'(0),又f(-x)=f(x),∴f'(-x)(-1)=f'(x),即f'(-x)=-f'(x),∴f'(0)=0,∴f'(5)=f'(0)=0.故选B.3.D f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n,则f'(x)=1+2(1+x)+3(1+x)2+4(1+x)3+…+n(1+x)n-1,.故选D.则f'(0)=1+2+3+4+…+n=n(n+1)24.A因为函数f(x)=e x+a·e-x是奇函数,所以f(-x)=-f(x)对一切x∈R恒成立,所以e-x+a·e x=-e x-a·e-x对一切x∈R恒成立,即(a+1)(e x+e-x)=0对一切x∈R恒成立,所以a+1=0,解得a=-1,因此f(x)=e x-e-x,故f'(x)=e x+e-x.由曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,得f(x)=e x-e-x=0,解得x=0.所以曲线y=f(x)的这条切线的切点的坐标为(0,0),切线的斜率为f'(0)=e0+e0=2.故曲线y=f(x)的这条切线方程为y-0=2(x-0),即2x-y=0.故选A.5.C由g(x)=x2+1可得g'(x)=2x,令x2+1=2x,解得x1=x2=1,即a=1.,由h(x)=ln(x+2)可得h'(x)=1x+2,设F(x)=h(x)-h'(x)=ln(x+2)-1x+2当x=-1时,F(-1)=-1<0,当x=0时,F(0)=ln2-1=ln√4-ln√e>0,故-1<b<0.2由φ(x)=cos x(x ∈(0,π))可得φ'(x)=-sin x, 令cos x=-sin x,得sin x+cos x=0, 则√2sin (x +π4)=0,又x ∈(0,π),所以x+π4=π,得x=3π4,即c=3π4.综上可知,b<a<c.故选C.6.AD 根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象知A=2,T 4=2π3-π6=π2,∴T=2π,ω=2πT=1.根据五点法画图知,当x=π6时,ωx+φ=π6+φ=π2+2kπ,k ∈Z,∵|φ|<π2,∴φ=π3,∴f(x)=2sin (x +π3),∴f'(x)=2cos (x +π3),∴g(x)=f(x)+f'(x)=2sin (x +π3)+2cos (x +π3)=2√2sin (x +π3+π4) =2√2sin (x +7π12), 令x+7π12=π2+kπ,k ∈Z,解得x=-π12+kπ,k ∈Z,∴函数g(x)图象的对称轴方程为x=-π12+kπ,k ∈Z,A 正确;当x+7π12=π2+2kπ,k ∈Z 时,函数g(x)取得最大值2√2,B 错误;g'(x)=2√2cos (x +7π12),∵g'(x)≤2√2<3,∴不存在点P,使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行,C错误;方程g(x)=2,即2√2sin(x+7π12)=2,∴sin(x+7π12)=√22,∴x+7π12=π4+2kπ,k∈Z或x+7π12=3π4+2kπ,k∈Z,∴方程的两个不同的解分别为x1,x2时,|x1-x2|的最小值为π2,D正确.故选AD.7.答案-2√1−x解析y=1−√1−x=√1−x)(1-√1−x)·(1+√1−x)=x(1+√1−x)1−(1−x)=1+√1−x.设y=1+√u,u=1-x,则y'x=y'u·u'x=(1+√u)'·(1-x)'=2√u ·(-1)=-2√1−x.8.答案1-ln2解析设f(x)=ln x+2,g(x)=ln(x+1),则f'(x)=1x ,g'(x)=1x+1.设f(x)上的切点为(x1,y1),g(x)上的切点为(x2,y2),则k=1x1=1x2+1,则x2+1=x1.又y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1)=ln x1,所以k=y1-y2x1-x2=2,故x1=1k =12,y1=ln12+2=2-ln2.故b=y1-kx1=2-ln2-1=1-ln2.9.解析(1)由f(x)=ae x ln x+be x-1x,得f'(x)=(ae x ln x)'+(be x-1x)'=ae x ln x+ae xx +bex-1x-be x-1x2.(2)由题意得,切点既在曲线y=f(x)上,又在切线y=e(x-1)+2上,将x=1代入切线方程,得y=2,将x=1代入函数y=f(x),得f(1)=b,所以b=2.将x=1代入导函数f'(x)中,得f'(1)=ae=e,所以a=1.10.解析由f(x)=3x+cos2x+sin2x,得f'(x)=3-2sin2x+2cos2x,则a=f'(π4)=3-2sinπ2+2cosπ2=1.由y=x3得y'=3x2.当P点为切点时,切线的斜率k=3a2=3×12=3,又b=a3,∴b=1,∴切点P的坐标为(1,1),∴曲线y=x3上以点P为切点的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.当P点不是切点时,设切点坐标为(x0,x03),此时切线的斜率k'=3x02,∴切线方程为y-x03=3x02(x-x0).∵P(a,b)在曲线y=x3上,且a=1,∴b=1,将P(1,1)代入切线方程,得1-x 03=3x 02(1-x 0),∴2x 03-3x 02+1=0,∴2x 03-2x 02-x 02+1=0,∴(x 0-1)2(2x 0+1)=0,解得x 0=-12(x 0=1舍去), ∴切点坐标为(-12,-18), 又切线的斜率为3×(-12)2=34,∴切线方程为y+18=34(x +12), 即3x-4y+1=0.综上,满足题意的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0.。
高中数学练习4《复合函数求导(例题)》简案
练习4：《复合函数求导例题》简案一、教学目标1、掌握复合函数的求导法则，会求简单复合函数的导数。
2、经历自主探究、小组合作的过程，提升数学抽象素养和逻辑推理素养，渗透转化的数学思想。
3、激发学习数学的兴趣，建立学习自信心。
二、教学重难点教学重点：掌握复合函数的求导法则。
教学难点：应用复合函数的求导法则进行求导。
三、教学方法讲授法、提问法、讨论法四、教学过程（一）温故知新，激情导入教师课前准备好PPT，先通过PPT展示复合函数的概念、复合函数的求导法则，然后让学生填写导学案上的表格，加深印象。
采用提问法，引导学生理解复合函数的求导法则，以及通过提问引导学生理解复合函数的导数。
提出问题，引起学生的矛盾认知：那么如何利用公式来解决具体的求导问题呢？引出本节课的课题——复合函数求导例题。
（二）探究新知层次一：讲解例题教师利用大屏幕展示例4，求下列函数的导数：（1）y=(2x+3)2首先让学生自主思考例题，然后采用一问一答的方式，师生共同探究例4的解答步骤，逐步引导学生掌握复合函数的求导步骤。
在此过程中，教师还要注意提醒学生书写规范、计算细心。
层次二：思路总结归纳教师采用讨论法，让学生前后4人为一组自由讨论复合函数的求导步骤及注意事项，再由小组代表展示讨论结果，然后由教师补充、总结，并提出注意事项。
由学生自由发言，总结注意事项，最后由教师补充、总结。
（三）巩固练习为了学生能够对本节课的知识有更明确的梳理和掌握，通过屏幕展示的后两个小题来进行巩固。
首先给学生3分钟时间自主完成，同桌交流讨论解答思路，抽中等偏上的学生分享自己的解答思路，然后集体评析，最后由教师进行补充、总结，并将复合函数的求导步骤展示于大屏幕上供学生参考。
（2）y =e −0.05x+1（3）y =sin(πx +φ)（四）课堂小结教师引导学生对本节课所学知识进行小结，学生畅谈本节课的收获，教师给予点评和补充。
（五）布置作业学生利用课后时间，对于教师布置的必做题目，独立完成供教师批改；对于教师布置的选做题目，自行思考并完成，以便于与同学或老师交流讨论。
高中数学第一章导数及其应用1.2.2复合函数的导数及导数公式的应用习题课件新人教a选修2_2
d＝|2－40＋＋13|＝ 5， 即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是 5.
答案：A
二、填空题：每小题5分，共15分． 7．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂 直，则a＝________.
第一章
导数及其应用
1．2 导数的计算
课时2 复合函数的导数及导数公式的应用
作业 ①理解复合函数的概念．②掌握复合函数求导的
目标 方法与步骤，会求一些简单的复合函数的导数．
作业 设计
限时：40分钟 满分：90分
一、选择题：每小题5分，共30分．
1．函数y＝2sin3x的导数是( )
A．2cos3x
)
A.12(ex－e－x)
B.12(ex＋e－x)
C．ex－e－x
D．ex＋e－x
解析：y′＝12(ex＋e－x)′＝12(ex－e－x)．
答案：A
6．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离
是( )
A. 5
B．2 5
C．3 5
D．0
解析：设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－ y＋3＝0平行．
B．－2cos3x
C．6sin3x
D．6cos3x
解析：y′＝(2sin3x)′＝2cos3x·(3x)′＝6cos3x.
答案：D
2．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( ) A．ln(2x＋5)－2x＋x 5 B．ln(2x＋5)＋2x2＋x 5 C．2xln(2x＋5)
高三数学复合函数的导数、对数与指数函数的导数人教版知识精讲
2高三数学复合函数的导数、对数与指数函数的导数人教版【本讲教育信息】 教学内容： 复合函数的导数、对数与指数函数的导数 1. y u2. 本周教学重、难点： 复合函数的求导法则 设u (X )在点x 处有导数u x (x)， y f (u)，则f( (x))在点x 处也有导数，且y x 对数函数的导数 1 f (u)在点x 的对应点u 处有导数 u x 或 f x ( (x)) f (u)(x)y u 3. (1) (lnx) x指数函数的导数 (1) (e x ) e x(2) (log a x) -log a e x (a x ) In a 【典型例题】 ［例1］求下列函数的导数 (1)(4) (x 2 2x)3 1(sin x 2)3 (2) (5) (6) x 3log 3 x(7)e 54x 2 (3) y 3 ax 2 bx c解: (1) (2) 3uue (3)u23u3(x 25 4x 2e (4)y u u v V x(5)(6) (7)ln(x .1cos5x sin2xx 2)22x) (2x 2)6(x8x1(2(ax31 u 3x .1 x 2(x 13x 2 log 31)(x 2 2x)22bx c) 3 (2ax b)23cosv (2x)訥X2)2cosx 2x2x cosx 223(si nx 2)31 x 2)12、1 ^W 1_1_ ■- 1 x 2—(1 2xx 2)]启) ^log 3e x (cos5x) sin 2x cos5x(sin 2x)(1 x 3 2呱儆3) (cos5x )sin 2x5sin5x sin 2x 2cos5x cos2x2(sin 2x)(sin 2x)［例4］曲线y e 2x cos3x 在(o , 1)处的切线与I 的距离为一 5,求I 的方程。
解：y (e 2x ) cos3xe 2x (cos3x)2e 2x cos3x 3( sin 3x)e 2x2e 2x cos3x 3e 2x sin3x•曲线在(0, 1)处的切线的斜率 k y l x 0 2 •切线方程为y 1 2x、 、Im 1| 厂设I 的方程为y 2 x m • d — v 5 • m 4或6当m 4时，I 为：y 2x 4 当m 6时，I 为：y 2x 6其速度为4m 3/min ，设锥形容器的高为8m ，顶口直径为6m ,3hm ，由相似三角形对应边成比例可得水面直径为 hm ，41 32这时水的体积为V -(3h)2 h 3 8由于水面高度h 随时间t 而变化，因而h 是t 的函数h h(t)由此可得水的体积关于时间 t 的导数为V t V h h t(3h 3) h t 9h 2h t6464由假设，注水速度为 4m 3/min92 4 64［例2］若 f (x)x In( x 5)，g(x)In (x1 1解 :f (x)1 g (x)x 5x 1f (x)g(x )111x 5 x 1x 5或 x 1•'两函数定义域为1)解不等式f (x) g (x) . (x 3)2"(x 5)(x 1)x 5 0••• x 5x 1 0解集为(5,)［例3］设曲线y 求切线I 的方程。
人教版高中数学选择性必修第二册5.2.3简单复合函数的导数【同步教学课件】
自主检验
1.思考辨析，判断正误 (1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx.( √ ) (2)若 f(x)＝ln(3x－1)，则 f′(x)＝3x1－1.( × ) 提示 f′(x)＝3x3－1. (3)f(x)＝x2cos 2x，则f′(x)＝2xcos 2x＋2x2sin 2x.( × ) 提示 f′(x)＝2xcos 2x－2x2sin 2x.
A.6 060
B.－6 060
C.2 020
D.－2 020
解析 f′(x)＝3×(－2 020)(2 021－2 020x)2， 则f′(1)＝3×(－2 020)＝－6 060.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14
索引
4.(多选题)下列结论中不正确的是( ACD )
索引
【训练2】 已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点 (1，2)处的切线方程是__2_x_－__y_＝__0_. 解析 设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x. 又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x. 所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x. 因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2. 则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2， 所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
A.1
B.－1
C.2
D.－2
解析 y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则y′|x＝2＝12a2－8a＋1＝5(a>0)， 解得a＝1.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14
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符合函数的导数
例 求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
,00,1sin )(2x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x
x 1sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1sin lim )0()(lim )0(0200===-='→∆→∆→∆x
x x x x x f x f f x x x 当0≠x 时，
x x x x x x x x x x x x x x x f 1c o 1s i 2)1c o 1(1s i n 2)1(s i 1s i n )()1s i n ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0
0x g x g x x →=，但如果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为)(lim )0(0
x f f x →='． 指出函数的复合关系
例 指出下列函数的复合关系．
1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ；
3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1
sin(x
x y +=。
分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．
解：函数的复合关系分别是
1．n m bx a u u y +==,；
2．2,3,ln +===x e v v u u y ；
3．32,log ,322+-===x x v v u y u ；
4．.1,sin ,3x
x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果．
求函数的导数
例 求下列函数的导数．
1．43)1
2(x x x y +-=；2．2211
x y -=；
3．)32(sin 2π
+=x y ；4．21x x y +=。
分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数． 解：1．解法一：设43
,12u y x
x x u =+-=，则 ).116()12(4)116(42233223--+-=--⋅='⋅'='x x x x x x x u u y y x u x 解法二：'⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='x x x x x x x x x y 121241233343 .116124223⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+
-=x x x x x 2．解法一：设221
21,x u u y -=='-，则
()()
()().
21)21(2 212 42121 4212223223223x x x x
x x x x u u y y x u x ---=---=-⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-='⋅'='---＝ 解法二：()'⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='-212221211x x y ()
.21)21(2)
21(2)4()21(2121)21(2
1222
322322
232x
x x x x x x x x --=-=-⋅--='-⋅--=---
3．解法一：设32,sin ,2π
+===x v v u u y ，则
.324sin 2 232cos 32sin 2 2
cos 2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⋅='⋅'⋅'='πππx x x v u v u y y x v u x 解法二：'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+='⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+='32sin 32sin 232sin 2πππx x x y .324sin 2 232cos 32sin 2 3232cos 32sin 2 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+='⎪⎭⎫
⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππππππx x x x x x 4．解法一：.1422x x x x y +=+=设422
1
,x x u u y +==，则 .1211)21(2 )42()(2
1 )42(2
122
2242332142321
x
x x x x x x x x x x x x x x x u u y y x u x ++=++=++=+⋅+=+⋅='⋅'='-- 解法二：)1(1)1(222'+++⋅'='+='x x x x x x y .12111 2222
2x x x x x ++=+++=
说明：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算．学生易犯错误是混淆变量或忘记中间变量对自变量求导．
求复合函数的导数
例 求下列函数的导数（其中)(x f 是可导函数）
1．⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x f y 1；2．).1(2+=x f y
分析：对于抽象函数的求导，一方面要从其形式上把握其结构特征，另一方面要充分
运用复合关系的求导法则。
先设出中间变量，再根据复合函数的导数运算法则进行求导运算。
一般地，假设中间变量以直接可对所设变量求导，不需要再次假设，如果所设中间变量可直接求导，就不必再选中间变量。
解：1．解法一：设x
u u f y 1),(==，则 .111)(22⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅'='⋅'='x f x x u f u y y x u x 解法二：.111112⎪⎭⎫ ⎝⎛'-='⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛'='⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛='x f x x x f x f y 2．解法一：设1,),(2+===x v v u u f y ，则
).
1(1 21
121)1( 22
1)(222221
+'+=⋅+⋅+'=⋅⋅'='⋅'⋅'='-x f x x
x x x x f x v u f v u y y x u u x 解法二：[])1()1()1(222'+⋅+'='+='x x f x f y []).
1(1.2)1()1()1()1(21)1(
222122221
22+'+=⋅+⋅+'='+⋅+⋅+=--x f x x
x x x f x x x f 说明：理解概念应准确全面，对抽象函数的概念认识不足，显示了一种思维上的惰性，导致判断复合关系不准确，没有起到假设中间变量的作用。
其次应重视))((x f ϕ'与[]'))((x f ϕ的区别，前者是对中间变量)(x ϕ的求导，后者表示对自变量x 的求导．。