7 自旋-全同-201104
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[物理]自旋与角动量全同粒子体系
![[物理]自旋与角动量全同粒子体系](https://img.taocdn.com/s3/m/a8d9025168eae009581b6bd97f1922791688bebd.png)
⎪ ⎪⎩
[
Sˆ
z
,
Sˆ
x
]
=
i
Sˆ y
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取± /2两个值
所以 Sˆx、Sˆy、Sˆz 的本征值都是± /2，其平方为[ /2]2
Sˆ 2
算符的本征值是:
Sˆ 2
=
Sˆ
2 x
+
Sˆ
2 y
+
Sˆ
2 z
=
3 4
2
11
仿照: L2 = l(l +1) 2
→
s
=
1 2
Ch.7 Spin and undistinguished similar particles
3 .了解简单塞曼效应的物理机制。 4 .了解耦合的概念及碱金属原子光谱双线结构的物理解释。 5 .全同粒子的基本概念，全同性粒子波函数的交换 对称性。 6 .全同粒子的分类。 7 .全同粒子体系的波函数，包括两个全同粒子体系的波函数，
N个全同粒子体系的波函数。 8 .掌握两个电子的自旋函数。 9 .了解氦原子能谱有正氦和仲氦之分的物理机制. 10 .了解氢分子(海特勒-伦敦法)以及化学键的概念。
=
0
同理对Φ–1/2 处理,有:
⎛a
2
⎜ ⎝
c
b d
⎞ ⎟ ⎠
⎛
⎜⎝ψ
2
0 (r
,
t
)
⎞ ⎟ ⎠
=
−
2
⎛
⎜⎝ψ
2
0 (r
,
t
)
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
bψ2 dψ2
⎞ ⎟ ⎠
=
−
⎛0
量子力学总复习-2讲义
一、微扰法：
2020/8/2
Hamilton算符可写成--- Hˆ Hˆ 0 Hˆ
6 首页 上页 下页退出
（1）定态微扰论
非简并情况---
Hˆ
0
(0) m
Em(0)
(0) m
,
m 1,2,
,
n;
(
(0) m
,
(0) k
)
mk
Em m
Em(0)
(0) m
Em(1)
(1) m
Em(2) Em(0) Hm m
ij
通过解 Hˆ 在
(0) ml
中的本征（矩阵）方程：
[(
Hij
)
kk
]
(0) m
E , (1) (0) mm
Hij
(
(0) mi
,
Hˆ
(0) mj
)
可得到能级 Em 的一级近似和相应波函数 m 的零级近似：
Em
E (0) m
E (1) m
2020/8/2
m
(0) m
7 首页 上页 下页退出
（2）含时微扰论
比较复杂，只考虑到了一级近似，可计算微观粒子受到微扰后
从
(0) m
跃迁到
(0) n
的概率：
Wmk
1 i
2
t 0
H
km
(
x)eikm
x
dx
其中：Hkm
(
(0) k
,
Hˆ
(0) m
),
Hˆ 0
(0) m
Em(0)
(0) m
,
km
(Ek(0)
Em(0) ) /
二、变分法：
量子力学第八章-自旋与全同粒子-郭华忠
(二）光谱线精细结构 （三）电子自旋假设
（四）回转磁比率
（一）Stern-Gerlach 实验
Z
（1）实验描述(1921)
S 态的H原子束流，经非均匀磁场发 生偏转，在感光板上呈现两条分立线。
N
S
处于 S 态的 H原子
（2）结论
I.氢原子有磁矩 因在非均匀磁场中发生偏转
II.氢原子磁矩只有两种取向 即空间量子化的
最后得 SZ 的 矩阵形式
Sz
1 0 2 0 1
SZ 是对角矩阵，对角矩阵 元是其本征值±/2。
（2）Pauli 算符
1. Pauli 算符的引进
令
ˆ ˆ S 2
分量 形式
Sx x 2 S y y 2 Sz z 2
a b a b c d c d
*
a 0 d 0
0 b 0 c 0 b ˆ ˆ x * c 0 b 0 c 0
1 (r , t ) 1 2 0
1
2
0 ( r , t ) 2
（三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵
（1） SZ的矩阵形式
a Sz 2c
b d
电子自旋算符（如SZ）是作用于电子自旋 波函数上的，既然电子波函数表示成了 2×1 的列矩阵，那末，电子自旋算符的 矩阵表示应该是 2×2 矩阵。
自旋量子数 s 只有一个数值
s 1 2
（二）含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x, y, z) 三个坐 标变量外，还需要一个自旋变量 (SZ），于是电子的含自旋的波函数需写为：
（四）回转磁比率
（一）Stern-Gerlach 实验
Z
（1）实验描述(1921)
S 态的H原子束流，经非均匀磁场发 生偏转，在感光板上呈现两条分立线。
N
S
处于 S 态的 H原子
（2）结论
I.氢原子有磁矩 因在非均匀磁场中发生偏转
II.氢原子磁矩只有两种取向 即空间量子化的
最后得 SZ 的 矩阵形式
Sz
1 0 2 0 1
SZ 是对角矩阵，对角矩阵 元是其本征值±/2。
（2）Pauli 算符
1. Pauli 算符的引进
令
ˆ ˆ S 2
分量 形式
Sx x 2 S y y 2 Sz z 2
a b a b c d c d
*
a 0 d 0
0 b 0 c 0 b ˆ ˆ x * c 0 b 0 c 0
1 (r , t ) 1 2 0
1
2
0 ( r , t ) 2
（三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵
（1） SZ的矩阵形式
a Sz 2c
b d
电子自旋算符（如SZ）是作用于电子自旋 波函数上的，既然电子波函数表示成了 2×1 的列矩阵，那末，电子自旋算符的 矩阵表示应该是 2×2 矩阵。
自旋量子数 s 只有一个数值
s 1 2
（二）含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x, y, z) 三个坐 标变量外，还需要一个自旋变量 (SZ），于是电子的含自旋的波函数需写为：
电子自旋全同粒子
61第六章自旋与全同粒子§6-1 电子自旋的实验证据（一）斯特恩－盖拉赫实验Z（1）实验描述基态的氢原子束经非均NS基态的氢原子束，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。
处于基态的氢原子（2）结论I 。
氢原子有磁矩，因而在磁场中发生偏转。
II 。
氢原子磁矩只有两种取向，即空间量子化的。
III 。
处于基态的氢原子 =0，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。
钠原子光谱中的一条亮黄线（二）光谱线精细结构钠原子光谱中的条亮黄线λ≈5893Å，用高分辨率的光谱仪观测可以看到该谱线其实是由3p观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。
5893ÅD 1D 2很两条线其他原子光谱中也可以发5896Å5890Å现类似现象，称之为光谱线的3s精细结构。
该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释。
（三）电子自旋假设乌伦贝克和高斯密特1925年根据上述现象提出了电子自旋假设：（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值方向上的投影只能取两个数值：2z s SS m =±=m s 称为自旋磁量子数。
（2）每个电子都具有与自旋角动量对应的自旋磁矩，它们的关系为：S e M S−= μ因此自旋磁矩在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2S zBe MMμ=±=± Bohr Bohr磁子6-2§62 角动量的普遍性质简介ˆ （一）角动量算符的普遍定义A定义满足以下关系式的线性厄米算符为角动量算符ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ⎡⎡⎡定义满足以下关系式的线性厄米算符为角动量算符：,,,x y z y z x z x y A A i A A A i A A A i A ⎤⎤⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦角动量平方算符与角动量算符各分量之间的对易关系角动量平方算符与角动量算符各分量之间的对易关系：2222ˆˆˆˆ=++x y zA A A A 2ˆˆ⎡(),0,,A A x y z α⎤==ˆA ˆ（二）与的本征值2zA 角动量平方算符与角动量算符各分量对易故角动量平方算符与角动量算符各分量对易，故有共同的本征函数系，在共同本征态下，同时具有确定值（本征值）。
自旋与全同粒子
√
电子自旋(1/2)
斯特恩-革拉赫实验
照相片 PP ，不均匀磁场，狭缝 BB ，s 态的氢原子源 K s 态的氢原子束通过狭缝 BB 和不均匀磁场， 射到照相片 PP 上，出现两条分立线 分立线：氢原子具有磁矩 两条线：磁矩只有两种取向 s 态的氢原子：角量子数 l = 0，没有轨道角 动量，磁矩是固有的(自旋磁矩)
√
小结(1/3)
电子的自旋 自旋算符： 对易关系： 平方算符：
泡利矩阵： 自旋算符函数 自旋算符函数 对自旋求平均： 对坐标和自旋求平均：
自旋波函数：
无自旋与轨道相互作用的电子波函数：
的本征函数：
√
小结(2/3)
两电子体系的自旋函数：
算符
和
在
中的本征值
简单塞曼效应：
的共同本征函数
耦合表象的基矢：
的共同本征函数
)
有自旋与轨道相互作用的哈密顿量(
√
光谱的精细结构(2/4)
微扰的自旋与轨道相互作用
耦合表象的基矢 零级近似波函数(简并情况) 矩阵元、久期方程和能量的一级修正 用到的公式
矩阵元
久期方程
√
光谱的精细结构(3/4)
能量的一级修正
对易关系
本征值
自旋角动量算符的矩阵形式 态矢量(自旋的表象)
√
电子的自旋算符和自旋函数(3/3)
自旋角动量算符的矩阵形式
(
、 和
称泡利矩阵)
其它关系 正交归一关系：
第七章 自旋与全同粒子c
第七章 自旋与全同粒子§1.1 学习指导本章的目的是将量子力学基本理论向两个方面扩展，一是将电子自旋纳入量子力学理论体系，并讨论与其相关的问题；二是由单粒子量子力学扩展到多粒子体系，建立起完整的非相对论量子力学的理论体系。
根据光谱的精细结构和Stern —Gerlach 等实验，人们发现电子还具有的一种无经典对应的新的运动自由度。
通过对实验事实的分析，人们提出了电子自旋的假设，引入了自旋角动量，并进一步扩展成包括空间运动和自旋运动在内的完整的状态描述和力学量的算符表示，并将薛定谔方程扩展到包含自旋的情况，建立非相对论的含自旋的运动方程。
真实的物理系统是多个微观粒子共存的，与经典力学不同，量子化的全同粒子具有不可分辨性，全同粒子体系的微观状态只能是对称的（对应于玻色子）或者反对称的（对应于费米子）。
因此，还需要将单粒子非相对论量子力学扩展到全同粒子系统。
本章的主要知识点有 1．电子自旋 1）泡利算符泡利算符是描写电子自旋运动力学量的矢量厄密算符，定义为ˆˆˆˆx y z i i k σσσσ=++rr r r（7-1） 其分量z y x σσσˆ,ˆ,ˆ满足下列对易关系和反对易关系 [,]2,{,}2i j ijk k i j ij i σσεσσσδ== （7-2）由此可以推出i j ijk k ij i σσεσδ=+ （7-3）由于2ˆ1z σ=，因此ˆz σ的本征值为1±，对应的本征态记为()z χσ±。
取χ±为基矢，建立z σ表象，可以得到泡利算符的矩阵表示，即泡利矩阵01010ˆˆˆ,,10001x y z i i σσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（7-4）2）电子自旋角动量借助泡利算符，电子自旋角动量S v可以表示为12ˆˆˆˆˆx y z S S i S j S k σ=++=v v v v v h （7-5）自旋角动量S v满足对易关系ˆˆˆS S i S ⨯=r r r h ，自旋角动量平方为3224ˆS =h ，自旋角量子数为12s =；自旋在z 轴方向的投影为ˆz S ，本征值为s m h ，其中12s m =±称为自旋磁量子数，对应的本征函数为12()()z z s χχσ±±=。
自旋和全同粒子2
32
16
2005-06
基础物理学(下)
17
2005-06
基础物理学(下)
18
ˆ Pij .( 对 任 何 i j )
反对称波函数
1பைடு நூலகம்
二粒子互换后波函数变号， 即
(q1 , q2 , qi q j qN , t ) (q1 , q2 , q j qi qN , t )
ˆ ˆ 可以证明： [ P ij , H ] 0
i j
Sij q1 , q2 ) （
1 2
[ i ( q1 ) j ( q2 ) j ( q1 ) i ( q2 )]
（2）Fermi 子体系
i j
Aij q1 , q2 ) （
1 2
[i (q1 ) j (q2 ) j (q1 )i (q2 )]
描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其对 称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对称） 态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。
（三）Fermi 子和 Bose 子
实验表明：对于每一种微观粒子，它们的多粒子体系波函数的交换对 称性是完全确定的，而且该对称性与该粒子的自旋有确定的联系。 （1）Bose 子 凡自旋为 整数倍（s = 0，1，2，……) 的粒子，其多粒子波函数 对于交换 两个粒子总是对称的，这种粒子遵从Bose-Einstein统计， 故称为 Bose 子。
0 0 1 0 -1 0 1 0 -1 2 1 0 -1 -2
ms
½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ -½ -½ -½ -½ -½ -½ -½ -½ -½
2(2l+1)
2 2
7第七章自旋与全同粒子
2
，所以ˆi 的本征
2 i
2 x
2 y
2 z
1
(22)
泡利矩阵：
ˆx பைடு நூலகம்10 10
ˆ y
0 i
i 0
ˆ z
1 0
01
(23)
• 考虑到自旋后，归一化形式为：
d
(1 *
2
*)
（空间量子化）
3）实验解释：
， 氢原子处于S态时，l＝0，轨道角动
量平方 L2 l(l 1) 2 0
Lz m 0(m 0,1,2,....., l)
M
e
L0
2
在此状态下，原子轨道角动量基轨道磁距均为0。 如果仍发现有磁距，必为其他磁矩。
2. 碱金属原子光谱的双向结构 钠原子光谱，2P 1S线波长589.3nm,
r
e2a
r2
(0 x 1)
这时
仍为本征波函数，但能级本征值E
nlm
nl不仅与n有
关，而且与l有关.
2
- 2 2 nlm U r nlm Enl nlm （7）
当B=0： nlm是lz的本征函数：
Lz nlm m nlm
(8)
nlm仍为方程（5）(6）的解：
第七章 自旋与全同粒子
7.1 电子自旋
一、电子自旋的实验现象 1.斯特恩-盖拉赫实验
1）
N
z
ko
S
p
N-S磁铁之间为不均匀磁场 k0:氢原子 源,H原子束经狭缝准直后,穿过不均匀B,屏 上两条黑线。
量子力学 自旋和全同粒子
可证： 但是：
ˆ2, J ˆ 2 ] 0 ，[ J ˆ2, J ˆ 2 ] 0， [J 1 2 r r ˆ ˆ2, J ˆ2 ˆ [J 1 ] 0 ，[ J , J 2 ] 0 ， ˆ ,J ˆ 2 ] 0 ，[ J ˆ ,J ˆ2] 0。 [J z 1 z 2
另，容易证明，
| j1 , j2 , j, m 组成了正交归一的完全系，以它们为基矢的表
ˆ2, J ˆ ,J ˆ2, J ˆ 2 都是对角矩阵。 象称为耦合表象， 在这个表象中 J z 1 2
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
7.4.3、 耦合表象和非耦合表象的变换
7.4.3、 耦合表象和非耦合表象的变换 将 | j1 , j2 , j, m 按照完全系 | j1 , m1 , j2 , m2 展开，
m1 ,m2
(m m )h
1 2
m2m2 m1m1
j1 , m1 , j2 , m2 | j1 , j2 , j, m
; m2 m2 m2 时， m m1 m2 m1 当 m1 m1
所以展开式中只需对一个量子数求和即可，
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
Hale Waihona Puke ˆ2, J ˆ 的共同本征矢，则 以 | j2 , m2 表示 J 2 2z
ˆ 2 | j , m j ( j 1)h 2 | j , m J 2 2 2 2 2 2 2 。 ˆ J 2z | j2 , m2 m2 h | j2 , m2
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
| j1 , j2 , j, m
m1 ,m2
ˆ2, J ˆ 2 ] 0 ，[ J ˆ2, J ˆ 2 ] 0， [J 1 2 r r ˆ ˆ2, J ˆ2 ˆ [J 1 ] 0 ，[ J , J 2 ] 0 ， ˆ ,J ˆ 2 ] 0 ，[ J ˆ ,J ˆ2] 0。 [J z 1 z 2
另，容易证明，
| j1 , j2 , j, m 组成了正交归一的完全系，以它们为基矢的表
ˆ2, J ˆ ,J ˆ2, J ˆ 2 都是对角矩阵。 象称为耦合表象， 在这个表象中 J z 1 2
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
7.4.3、 耦合表象和非耦合表象的变换
7.4.3、 耦合表象和非耦合表象的变换 将 | j1 , j2 , j, m 按照完全系 | j1 , m1 , j2 , m2 展开，
m1 ,m2
(m m )h
1 2
m2m2 m1m1
j1 , m1 , j2 , m2 | j1 , j2 , j, m
; m2 m2 m2 时， m m1 m2 m1 当 m1 m1
所以展开式中只需对一个量子数求和即可，
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
Hale Waihona Puke ˆ2, J ˆ 的共同本征矢，则 以 | j2 , m2 表示 J 2 2z
ˆ 2 | j , m j ( j 1)h 2 | j , m J 2 2 2 2 2 2 2 。 ˆ J 2z | j2 , m2 m2 h | j2 , m2
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
| j1 , j2 , j, m
m1 ,m2
量子力学7自旋与全同粒子-2qz
3
根据上节分析，没有自旋-轨道相互作用的波函数可写成：
1 1 1 0 2
代入 S—方程
或
21
2
0 2
2 2 eB ˆ ˆ V (r ) ( Lz 2 S z ) 2 2 c
ˆ ˆ J x J y2 ,
ˆ ˆ J x Jz2,
ˆ ˆ J x Jz
ˆ Jx
ˆ ˆ Jx Jy,
ˆ ˆ ˆ ˆ J x J y Jz Jz ,
ˆ ˆ J x Jz ,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i J y J z i J z J y i J z J y i J y J z
ˆ 2 J 2 J 2 2J J , ˆ ˆ J1 1 2 1 2
ˆ ˆ J 12 J 2 2 ,
i 1,2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J 12 2 J 1 x J 2 x J 1 y J 2 y J 1 z J 2 z , ˆ ˆ ˆ J 12 2 J 1 y J 2 y ,
ˆ J 22 0
ˆ J 12
Jˆ
1z ,
ˆ ˆ J 12 J 2 z ,
ˆ J 12
0
亦成立。 [证毕]
（二）耦合表象和无耦合表象
（1）本征函数
综合上述对易关系可 知：四个角动量算符
ˆ ˆ ˆ ˆ J 2 , J z , J 12 , J 2 2
两两 对易
ˆ ˆ ˆ ˆ J 12 , J 1z , J 2 2 , J 2 z
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13
2、自旋平方算符
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±/2 两个值 所以
ˆ ,S ˆ ,S ˆ 的本征值都是±/2，其平方为2/4 S x y z
2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ S x S y S z 4
2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ S x S y Sz 4 I
量子力学 第七章 自旋与全同粒子
1
问题
自旋是电子的一个重要特性，
由何而来？如何描述？
实际体系一般由大量粒子组成
，多粒子体系的运动规律？
2
§1 电子的自旋 1943/1955诺贝尔奖
§2 电子自旋的描述
§3 简单Zeeman效应 1902诺贝尔奖
§6 全同粒子体系 1945/2001诺贝尔奖
§7 全同粒子体系的波函数
3
§1 电子的自旋
一、自旋的实验依据
1、Stern-Gerlach实验
基态（ S 态）氢原子束，经过非均匀磁场发生偏转， 在感光板上呈现两条分立线。
4
n, l, m = -l ... 0 ... +l
设原子磁矩为M，外磁场为B， 原子在Z向外磁场B中的势能为：
U M B MBz cos
电子自旋的回转磁比率是轨道运动回转磁比率的二倍。
10
三、自旋的特点
（1）自旋运动是量子特性，不能用经典运动方式来理解，也不 能用经典运动方式来描述。
（2）自旋角动量是电子的内禀特性，是电子内部状态的表征。 它与电子的坐标和动量无关，是描写电子状态的第四个自由度 （第四个变量）。
自旋运动通过自旋角动量来反映，自旋角动量与其他力学 量一样，也可用一个算符描写，通过本征值和本征态反映其特 点。
* * ˆ d G G 1 2
G11 G12 1 d G 21 G22 2
* * *
[ 1 G11 1 1 G12 2 2 G21 1 2 G22 2 ]d
*
27
一、磁场作用下的Schrö dinger方程
1、附加势能
单电子系，取外磁场沿 Z 方向，则磁场引起的附加势能为：
e ˆ ˆ ˆ ˆ U ( M L M S ) B ( L 2S ) B 2 e ˆ )B ˆ 2S (L z z 2
（1）Pauli算符的对易关系
ˆ ˆ ˆ S S iS
ˆ ˆ 2i ˆ
ˆ x ˆ y ˆ y ˆ x 2i ˆz ˆ y ˆz ˆ z ˆ y 2i ˆx ˆ ˆ ˆ x ˆ z 2i ˆy z x
ˆ ˆ ˆ L L i L ˆ ,L ˆ ]i [ L x y ˆ ˆ ]i [ L y , L z ˆ ˆ [ L z , L x ] i ˆ L z ˆ L x ˆ L y
ˆ S ˆ i S ˆ S ˆ ,S ˆ ]i S ˆ [S x y z ˆ ˆ ˆ [ S , S ] i S y z x ˆ ˆ ˆ [ S , S ] i S x y z
15
3、自旋算符的形式及其本征态
ˆ S ˆ i S ˆ Sx ,Sy ,Sz 不对易，不能同时有确 S 定值。所以，只能用某一方向的分量 ˆ ,S ˆ ]i S ˆ 来反映自旋的特点。一般用Sz ，即建 [S x y z 立 Sz 表象（或称 S 2和Sz 的共同表象）， ˆ ,S ˆ ]i S ˆ [ S y z x 在Sz 表象研究电子的运动状态。
11
§2 电子自旋的描述
一、自旋算符和自旋函数
1、自旋角动量的表示形式
一般力学量可以表示 为坐标和动量的函数 轨道角动量
ˆ ˆ) F F (r , p
ˆ ˆ Lr p
ˆ 与坐标、动量无关，这一公式不适用。 自旋角动量 S
12
自旋角动量与轨道角动量同是角动量，都满足 同样的角动量对易关系
16
利用对易关系，计算S x, S y
ˆ S ˆ S ˆ S ˆ S ˆ iS x y z z y
2 2 2 ˆ ˆ ˆ S x S y Sz 2 4
ˆ I
骣 0 1 鼢 珑 ˆ Sx = 珑 鼢 ?, 1 0鼢 2珑 桫
ˆ S y
骣 0 -i i 0 2桫
0 1 0 2 Sz 0 － 2 2 0 － 1
在全空间找到 Sz=/2 的电子的几率 在全空间找到 Sz= - /2 的电子的几率
w1 ( r , t )d w 2 ( r , t )d
23
3、归一化条件
波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分，即
1 d
* 1 2
1 2
s ms , S z ms
1 2 1 2
1 2
14
2、自旋平方算符
2 2 2 2 3 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S S x S y Sz 4 I
仿照
L l (l 1)
2
2 3 4
2
S s( s 1) s 1 2
2 2
自旋量子数 s 只有一个数值1/2
ˆ 对应本征值 的本征态为 1 和 1 S z 2 －
2
2
和－ 常称为电子的自旋函数
1 2 1 2
18
4、Pauli算符的引入
ˆ ˆ S 2
S x 2 x S y y 2 Sz 2 z
ˆ 称为Pauli算符 算符
28
2、定态波函数和能级
2 2 eB ˆ 2 U ( r ) 2 ( Lz ) nlm E nlm
21
二、电子运动状态的描述
1、状态波函数的形式
S 1 z 1 2 2 2 S 1 1 z 2 2 2
考虑自旋之后，体系的状态波函数应和坐标 (x, y, z)、时间t 及自旋Sz 都有关，即态函数Ψ =Ψ(x, y, z;t ;Sz ) 。Ψ 可向自旋的 本征态展开，则有
2 2 x 2 y 2 z
20
Pauli矩阵
骣 0 1 鼢 sx= 珑 ? 珑 鼢 珑 1 0鼢 桫 骣 1 0 鼢 sz = 珑 ? 珑 鼢 珑 0 - 1鼢 桫 sy I 骣 0 -i i 0 桫 骣 1 0 0 1 桫
ˆ x ˆ y ˆ y ˆx 0 ˆ y ˆz ˆ z ˆy 0 ˆ ˆ ˆ ˆ z x x z 0
算符 Ĝ 在任意态中对自旋求平均的平均值
G11 G12 1 ˆ * * G G 1 2 G 21 G22 2
1 G11 1 1 G122 2 G211 2 G222
* * * *
算符 Ĝ 在任意态中对坐标和自旋同时求平均的平均值是：
2、体系的Hamilton量与Schrö dinger方程
如为强磁场，自旋和轨道的相互作用势能远小于磁场的附加势 能，则对于有心力场，体系的Schrö dinger方程为：
2 2 eB ˆ ˆ E 2 U ( r ) 2 ( Lz 2 S z )
1 0 (x , y , z ; S z ;t ) C 1 (r , t ) 1 C 2 (r , t ) 1 1 (r , t ) 2 (r , t ) 2 2 0 1
1 (r , t ) (x , y , z ; S z ; t ) 2 (r , t ) Nhomakorabea
1 ( r , t ) 2 d 2 (r , t )
* 2
d
24
4、自旋函数算符的表示
引进自旋后，任一算符Ĝ应是自旋的函数，在Sz表象表示为矩阵
G ( r , t ) G ( r , t ) 11 12 G G (r , t ) G ( r , t ) 22 21
（1）自旋算符Sx ,Sy , Sz 的矩阵形式
ˆ ˆ ˆ [ S , S ] i S x y z
ˆ ,S ˆ ,S ˆ 的本征值都是 S x y z 2
算符在自身表象为对角阵
0 1 0 2 Sz 0 － 2 2 0 － 1
25
作
业
• 周世勋：《量子力学教程》 P240 7.3、7.4
26
§3 简单Zeeman效应
Zeeman效应，在外磁场中，原子的光谱线发生分裂的现象。 分为简单塞曼效应和复杂塞曼效应。
（1）简单塞曼效应：在强磁场作用下，光谱线的分裂现象可由 经典理论解释，又称为正常塞曼效应。
（2）复杂塞曼效应：当外磁场较弱，轨道和自旋的相互作用不 能忽略，只能由量子理论解释，产生复杂（反常）塞曼效应。
17
（2）Sz 的本征态
Sz
2
1 0 a a 1 1 1 S z 1 2 2 2 0 1 b b 2 2 2 0 S 1 0 a a 0 1 1 z 1 2 2 2 2 2 0 1 b 2 b 1
Bz U Fz M cos z z
磁矩与磁场的夹角
5
Stern-Gerlach实验的分析
（1）若原子磁矩可任意取向，则 cos 可在 （-1，+1）之间连续变化，感光板 将呈现连续带。实验结果是出现两条分 立线，说明 只有两个取值，即原子的 磁矩只有两个取向。
（2）处于S 态的氢原子 l =0，轨道磁矩ML=0，所以原子的磁矩 只能来自于电子自身，这说明电子自身具有一固有磁矩，且该 磁矩的空间取向只有两个。