一轮复习：静态平衡中的临界极值问题
高考物理一轮复习导学：动态平衡、平衡中的临界和极值问题
§2．6 动态平衡、平衡中的临界和极值问平衡物体的临界问题的求解方法一般是采用假设推理法，即先假设怎样，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解。
解决这类问题关键是要注意“恰好出现”或“恰好不出现”。
2、极值问题：极值是指平衡问题中某些物理量变化时出现最大值或最小值。
平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
【重点精析】一、动态分析问题【例1】如图所示，轻绳的两端分别系在圆环A和小球B上，圆环A套在粗糙的水平直杆MN上。
现用水平力F拉着绳子上的一点O，使小球B从图中实线位置缓慢上升到虚线位置，但圆环A始终保持在原位置不动。
则在这一过程中，环对杆的摩擦力Ff和环对杆的压力FN的变化情况是( )A、Ff不变，FN不变B、Ff增大，FN不变C、Ff增大，FN减小D、Ff不变，FN减小【解析】以结点O为研究对象进行受力分析如图(a)。
由题可知，O点处于动态平衡，则可作出三力的平衡关系图如图(a)。
由图可知水平拉力增大。
以环、绳和小球构成的整体作为研究对象，作受力分析图如图(b)。
由整个系统平衡可知：FN=(mA+mB)g；Ff=F。
即Ff增大，FN不变，故B正确。
【答案】B【方法提炼】动态平衡问题的处理方法所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态中。
(1)图解分析法对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化，在同一图中作出物体在若干状态下力的平衡图(力的平行四边形)，再由动态力的平行四边形各边长度变化及角度变化确定力的大小及方向的变化情况。
动态平衡中各力的变化情况是一种常见题型。
总结其特点有：合力大小和方向都不变；一个分力的方向不变，分析另一个分力方向变化时两个分力大小的变化情况。
用图解法具有简单、直观的优点。
(2)相似三角形法对受三力作用而平衡的物体，先正确分析物体的受力，画出受力分析图，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。
专题八 静、动态平衡 平衡中的临界与极值问题 (课件) 人教版2023-2024学年高三一轮复习
【答案】D 【详解】AB．对小球受力分析，如图所示,根据受力平衡可得 F mg tan , T mg ,移动过程中，θ逐渐增大，tanθ逐渐增大，
cos
cosθ逐渐减小，则水平拉力F逐渐增大，细线的拉力逐渐增大，故 AB错误；CD．以铁架台、小球整体为研究对象，根据受力平衡可得 FN (M m)g ，f F,可知桌面对铁架台的支持力不变，即铁架台对桌面的压力不变； 铁架台所受地面的摩擦力变大，故C错误，D正确。 故选D。
经典例题
[典例1]（2024·全国·高三专题练习）如图所示，壁虎在竖直玻璃面上斜 向上匀速爬行，关于它在此平面内的受力分析，下列示意图中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【详解】壁虎在竖直玻璃面上匀速爬行，属于匀速直线运动，对壁虎进行受力分析 由图可知，F与mg大小相等，方向相反。 故选A。
当物理情景中涉及物体较多时,就要考虑采用整体法和隔离法。
(1)整体法
研究外力对系统的作用 各物体运动状态相同
同时满足上述两个条件即可采用整体法。
(2)隔离法
分析系统内各物体各部分间相互作用 各物体运动状态可不相同
物体必须从系统中隔离出来,独立地进行受力分析,列出方程。
变式训练
变式3（2023秋·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）一 铁架台放在水平桌面上，其上用轻质细线悬挂一小置运动到虚线位置，铁架台始 终保持静止。则在这一过程中（ ） A．水平拉力F不变 B．细线的拉力变小 C．铁架台对桌面的压力变大 D．铁架台所受地面的摩擦力变大
A．5N
B．6N C．7.5N D．8N
【答案】B
【详解】设F与水平方向夹角为θ，根据平衡知识可知：F cos (mg F sin ) ，解得
平衡中的临界和极值问题探讨
图4 解析：以球为研究对象，球所受重力mg产生的效果有两个：对斜面产生 了压力
，对挡板产生了压力
，根据重力产生的效果将重力分解，如图4所示，当挡板与斜面的夹角 α由图示位置变化时，
大小改变，但方向不变，始终与斜面垂直；
的大小、方向均改变（图4中画出的一系列虚线表示变化的
）。由图可看出，当
与
垂直即
时，挡板AO所受压力最小，最小压力
图3 解析：由于物体在水平面上做匀速直线运动，随着α角的不同，物体与 水平面的弹力不同，因而滑动的摩擦力也不一样，而拉力在水平方向的 分力与摩擦力相等，因而α角不同，拉力F也不一样。以物体为研究对 象，受力分析如图3所示，因为物体处于平衡状态，根据
得：
。 联立可解得：
可见当
，即
，F有最小值：
说明：此例给出了求解极值问题的一种方法：函数法。此例中，F的大 小随α的变化而变化，要求F的极小值，就要根据题意求出F随α而变的 函数关系式，再利用函数的单调性，讨论F的极值。此例中三角函数的 变换是一种常用的方法，应牢记。 三. 物体处于动态平衡状态 例4. 如图4所示，质量为m的球放在倾角为 的光滑斜面上，试分析挡板AO与斜面间的倾角α多大时，AO所受压力最 小？
极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值 的情况。临界问题往往是和极值问题联系在界条件或达到极 值的条件。要特别注意可能出现的多种情况。 一. 物体处于静止状态 例1. 如图1所示，重20N的物体静止在倾角为
。 说明：本题考查分析推理能力及运用数学知识处理物理问题的能力。部 分考生不进行推理凭主观臆断，得出挡板处于竖直状态所受压力最小的 错误结论。还有部分考生思维不灵活，不采用“图解法”而采用“正交 分解法”，陷入繁琐的计算和推理，往往由于计算过程出错，导致错误 结果。 例5. 一质量为m的物体，置于水平长木板上，物体与木板间的动摩擦因 数为
第三章专题七：平衡中的临界极值问题 课件-2024-2025学年物理人教版(2019)
F≥16N
所以：F≥30N四、求临界 Nhomakorabea和极值的方法：
1．解析法：利用物体受力平衡列出未知量与已知量
的关系表达式，用数学方法求极值．
2．假设法：假设可发生的临界现象，列出满足所发
生的临界现象的平衡方程求解．
3．图解法：根据已知量的变化情况，画出平行四边
形的边角变化，确定未知量的大小．
针对练习1
为r的半球体均匀物块A.现在A上放一密度和半径与A相同的球体B，调整A
的位置使得A、B保持静止状态，已知A与地面间的动摩擦因数为0.5.则A球
球心距墙角的最远距离是(
√
)
【解析】 根据题意可知，B的质
量为2m，A、B处于静止状态，受力
平衡，则地面对A的支持力为：N＝
3mg，当地面对A的摩擦力达到最大静
整体法
滑动临界
F
（2）以木块和小球为研究对象，由平
衡条件得
N
f
刚开始滑动”临界
条件是：静摩擦力
达到最大值
联立解得
G
（3）若在小球上施加一个外力F，让小球脱离劈形木块，
这个外力的最小值为多少？
分离临界极值问题
脱离临界：小球与斜面仍接触
但弹力为零
最小值：弹力为零变为三力平
衡问题，动态三角形
F垂直绳拉力时，取得最小值
最大值．
2．“两物体恰好分离”临界条件是；两物体间
的压力为0.
3．“刚好断开”临界条件是：绳的张力最大．
三、经典例析：
例1、如图，在粗糙的水平地面放置一重为50N的劈形木块，在劈形木块上
有一个重力为100N的光滑小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，已知绳子与竖直
高考物理一轮复习 第二章 专题强化四 动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题
个状态均可视为平衡状态.
2.做题流程 受力分析 —化—“—动—”—为—静→画不同状态平衡图构造矢量三角形 —“—静—”—中—求—动→
—定—性—分—析→ 根据矢量三角形边长关系确定矢量的大小变化
三角函数关系
—定—量—计—算→ 正弦定理
找关系求极值
相似三角形
3.三力平衡、合力与分力关系 如图，F1、F2、F3共点平衡，三力的合 力 为 零 ， 则 F1 、 F2 的 合 力 F3′ 与 F3 等 大 反 向 ， F1 、 F2 、 F3′ 构 成 矢 量 三 角 形 ， 即F3′为F1、F2的合力，也可以将F1、F2、 F3直接构成封闭三角形.
√A.MN上的张力逐渐增大
B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大
√D.OM上的张力先增大后减小
以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上 拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示， F1、F2的夹角为π－α不变，在F2转至水平的过程中， 矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的 张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小， 所以A、D正确，B、C错误.
以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平 衡条件知，F、FN的合力F合与G大小相等、方向相反. 根据三角形相似得AFC合 ＝AFB＝BFCN 又 F 合＝G 得 F＝AACB G，FN＝BACC G ∠BCA缓慢变小的过程中，AB变小，而AC、BC 不变，则F变小，FN不变，故杆BC所产生的弹 力大小不变，故选A.
2.一力恒定(如重力)，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状 态下的矢量三角形，确定力大小的变化，恒力之外的两力垂直时，有极 值出现. 基本矢量图，如图所示
新高考备战2024年高考物理抢分秘籍02共点力的静态平衡动态平衡临界和极值问题整体法和隔离法教师届
秘籍02共点力的静态平衡、动态平衡、临界和极值问题、整体法和隔离法一、共点力的平衡1.平衡状态：物体受到几个力作用时，如果保持静止或匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态。
【注意】“静止”和“v=0”的区别和联系当v=0时：①a=0时，静止，处于平衡状态②a≠0时，不静止，处于非平衡状态，如自由落体初始时刻2.共点力平衡的条件(1)条件：在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0。
(2)公式：F合＝03.三个结论：①二力平衡：二力等大、反向，是一对平衡力；②三力平衡：任两个力的合力与第三个力等大、反向；③多力平衡：任一力与其他所有力的合力等大、反向。
二、静态平衡与动态平衡的处理方法1.静态平衡与动态平衡态而加速度也为零才能认为平衡状态。
物理学中的“缓慢移动”一般可理解为动态平衡。
2.静态平衡的分析思路和解决方法方法内容合成法物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反。
分解法物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件。
正交分解法物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件。
力的三角形法对受三个力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三个力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力。
3.动态平衡的分析思路和解决方法方法内容解析法对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出已知力与未知力的函数式，进而判断各个力的变化情况图解法①分析物体的受力及特点；②利用平行四边形定则，作出矢量四边形；③根据矢量四边形边长大小作出定性分析；相似三角形法①分析物体的受力及特点；②利用平行四边形定则，作三力矢量三角形；③根据矢量三角形和几何三角形相似作定性分析；拉密定理法①分析物体的受力及特点；②利用平行四边形定则，作三力矢量三角形；③利用正弦或拉密定理作定性分析；三、共点力平衡中的临界极值问题1.临界或极值条件的标志有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点。
2025版高考物理一轮总复习第2章相互作用专题强化2动态平衡问题平衡中的临界和极值问题课件
[解析] (1)如图甲所示，未施加力F时，对物体受力分析，由平衡 条件得mgsin 30°＝μmgcos 30°
解得 μ＝tan 30°＝ 33。
(2)设斜面倾角为 α，受力情况如图乙所示，由平衡条件得 Fcos α＝
mgsin α＋Ff′， FN′＝mgcos α＋Fsin α
Ff′＝μFN′
3. 突破共点力平衡中的临界、极值问题的步骤
►考向1 极值问题
(2022·浙江1月选考)如图所示，学校门口水平地面上有一质量
为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图
示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列
说法正确的是( B ) A．轻绳的合拉力大小为cμoms gθ
类型二 “一力恒定，另外两力方向变化但夹角一定”的动态平衡 问题
作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正弦定理列 式求解，也可以作出动态圆。
(2024·河北沧州联考)如图所示，两根相同的轻质弹簧一端分 别固定于M、N两点，另一端分别与轻绳OP、OQ连接于O点。现用手拉 住OP、OQ的末端，使OM、ON两弹簧长度相同(均处于拉伸状态)，且 分别保持水平、竖直。最初OP竖直向下，OQ与OP成120°夹角。现使 OP、OQ的夹角不变，在保持O点不动的情况下，将OP、OQ沿顺时针方 向缓慢旋转70°。已知弹簧、轻绳始终在同一竖直平面内，则在两轻绳 旋转的过程中( A )
[速解指导] 晾衣绳模型：近小远大恒不变→绳长不变，绳子端点 水平间距d变小→绳子拉力变小。
[解析] 设绳子两端点所悬点的水平距离为 d，绳长为 l，绳子拉力
为 T，绳子与竖直方向之间的夹角为 θ，物体的质量为 m。根据共点力平
衡有 2Tcos θ＝mg，sin θ＝dl ，T＝ 2
2021高考物理鲁科版新课程一轮复习：核心素养微专题系列 2平衡中的临界和极值问题
2
中，A和B始终保持静止。对此过程下列说法正确的是 世纪金榜导学号
()
A.地面对B的支持力大于(M+m)g
B.A对B的压力的最小值为 3 mg，最大值为 3 3 mg
2
C.A所受摩擦力的最小值为0，最大值为
mg
4
4
D.A所受摩擦力的最小值为 1 mg，最大值为 3 mg
极限 法
数学 分析 法
物理 分析 法
正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界 条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物 理量推向极大或极小
通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数 图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极 值)
1.临界、极值问题特征： (1)临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物 体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用 “刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。 (2)极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值 问题。
2.解决极值和临界问题的三种方法：
学号( ) A.mg
C. 1 mg
2
B. 3 mg
3
D. 1 mg
4
【解析】选C。由图可知,要想CD水平,各绳均应绷紧,则AC与水平方向的夹角
为60°;结点C受力平衡,则受力分析如图所示,则CD绳的拉力T=mgtan30°=
3mg;D点受绳子拉力大小等于T,方向向左;要使CD水平,D点两绳的拉力与外
核心素养微专题系列 平衡中的临界和极值问题
内容索引
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一轮复习：静态平衡中的临界极值问题
一轮复习：静态平衡中的临界极值问题
原创2022-05-24 15:56·小牛物理
1.临界问题
某物理量发生变化，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。
如：两物体刚要分离的临界条件是物体间的弹力为零；
物体间刚要发生相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。
2.极值问题
平衡中的极值问题一般是指在力的变化过程中出现的“最大值”和“最小值”问题，分析的关键是找出出现极值时的情景和条件，如：利用极限法将某个变量推向极端（“极大”“极小”等），从而把隐蔽的临界情景暴露出来；利用数学函数思想寻找极值条件，并确定相应极值等。
解决平衡中的临界极值问题通常有以下三种方法
方法一：数学分析法
根据物体的平衡条件列方程，在解方程时利用数学知识求极值.通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论公式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。
求解物理量极值常用的数学方法：
（1）利用二次函数求极值.若物理量y与x的函数形如y＝ax²＋bx＋c，则当x＝-b/2a时，y有极值为y=(4ac-b²)/4a，若a＞0，y有极小值；若a＜0，y有极大值。
（2）利用不等式的性质求极值.若物理量a与b满足a＞0，b＞0，则a＋b≥2√ab，且a＝b时取等号，即a、b的和一定时，积有最大值；a、b的积一定时，和有最小值。
（3）利用三角函数求极值.若物理量y与角度θ满足y＝asinθ＋bcosθ，则y≤√a²＋b²，令tanф＝2，则当θ＋ф＝π/2时，y有极大
值。
（4）利用导数求极值.若物理量y与x的函数为y＝f(x)，则根据f′(x)＝0可确定y取极值时的x值，然后代入函数y＝f(x)可确定y的极值。
例题：如图所示，
质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。
如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块，木块能匀速上升，已知木楔在整个过程中始终静止。
（1）当α为多大时，F有最小值，求此时α的大小及F的最小值；
（2）当α＝θ时，木楔对水平面的摩擦力是多大？
例题：如图所示，
用轻绳AB和CB悬挂一重物绳与天花板夹角分别为60°和30°；
（1）若物重50N，求绳AB和CB所受拉力的大小。
（2）若AB绳最大能承受18N的拉力，CB绳最大能承受12N的拉力，若保持两绳均不断，则物体最重不能超过多少？
【解析】以结点B为研究对象，B受AB、CB两根绳子拉力以及系着重物绳子的拉力(不是重力)共三个力作用而处于平衡状态。
（1）正交分解或封闭三角形法
（2）
方法一：按比例
三力构成一个首尾相连的封闭三角形，
18N/12N=3:2，
FA/FC=tan60°=√3:1=3:√3
相当AB绳3份力，CB绳需√3份力，CB绳能提供2份力，CB绳供大于需，当物体重力一直增加的话，AB绳子先断，所以要以AB绳为准。
mg=FA/cos30°=12√3N
方法二：任取一根绳子为标准，若AB绳子拉力为18N，则CB绳子拉力为18N×tan30°=6√3N>12N，CB绳未断；若CB绳子拉力为12N，则AB绳子拉力为18N/tan30°=18√3N>18N，AB绳断。
例题：如图，
用一根轻质细绳将一幅重力为10N的画框对称悬挂在墙壁上，画框上两个挂钉间的距离为0.5m。
已知绳能承受的最大拉力为10N，要使绳不会被拉断，绳子最短要多长？
【解析】根据三力汇交原理
方法二：图解法
根据平衡条件作出力的矢量图，若只受三个力，则这三个力能构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。
例题：如图所示，
重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳连接后悬挂在O点上，O、B间的绳子长度是2l，A、B间的绳子长度是l。
将一个拉力F作用到小球B上，使三段轻绳都伸直，同时O、A间和A、B间的两段轻绳
分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为
例题：如图所示，
三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L.现在C点上悬挂一个质量为m的重物，重力加速度大小为g，为使CD绳保持水平，在D点上可施加力的最小值为
方法三：极限法
首先正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极限，即极大或极小。
例题：筷子是中国人常用的饮食工具，也是中华饮食文化的标志之一.筷子在先秦时称为“挾”，汉代时称“箸”，明代开始称“筷”.如图所示，
用筷子夹质量为m的小球，筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为，为使小球静止，求每根筷子对小球的压力的取值范围？已知小球与筷子之间的动摩擦因数为μ（μ＜tanθ）最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取g.
例题：课堂上，老师准备了“L”形光滑木板和三个完全相同、外表面光滑的匀质圆柱形积木，要将三个积木按图所示（截面图）方式堆放在木板上，则木板与水平面夹角θ的最大值为（）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°。