七年级因式分解专题复习
(完整版)七年级因式分解
【因式分解】讲义 知识点1：分解因式的定义1、分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。
例如：判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式：①8)3)(3(892+-+=+-x x x x （ ） ② )49)(49(4922y x y x y x -+=- （ ）③ 9)3)(3(2-=-+x x x （ ） ④ )2(222y x xy xy xy y x -=+- （ ） 知识点2：公因式公因式： 定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式的确定：（1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号） （2）系数：取系数的最大公约数； （3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的； （4）所有这些因式的乘积即为公因式；例如：1、的公因式是多项式 963ab - aby abx -+_________2、多项式3223281624a b c a b ab c -+-分解因式时，应提取的公因式是3、342)()()(n m m n y n m x +++-+的公因式是__________知识点3：用提公因式法分解因式提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例如：1、可以直接提公因式的类型：（1）3442231269b a b a b a +-=_______________ （2）11n n n aa a +--+=____________（3）542)()()(b a b a y b a x -+---=_____________（4）不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值 2、式子的第一项为负号的类型：（1）①33222864y x y x y x -+- =_____________②243)(12)(8)(4n m n m n m +++-+-=（2）若被分解的因式只有两项且第一项为负，则直接交换他们的位置再分解（特别是用到平方差公式时）如：22188y x +-=1、多项式:aby abx ab 24186++-的一个因式是ab 6-,那么另一个因式是2、分解因式－5(y －x)3－10y(y －x)33、公因式只相差符号的类型：公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式。
浙教版七年级下册《因式分解》期末复习试卷及答案(19新版)
期末复习四因式分解复习目标必备知识与防范点一、必备知识：1．把一个多项式化成几个，叫做因式分解．因式分解和整式乘法具有的关系．2．一个多项式中每一项都含有的，叫做这个多项式各项的公因式．把该公因式提取出来进行因式分解的方法，叫做．3．公式法分解因式：a2-b2= ；a2±2ab+b2= .4．括号前面是“+”号，括到括号里的各项都；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都．二、防范点：1．提取公因式法分解因式时提取的公因式要彻底，并且注意不要漏项．2．因式分解要注意分解到底．例题精析考点一因式分解的概念例1 （1）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．（a+1）（a-1）=a2-1 B． 2a-2b=2（a-b）C． a2-2a+1=a（a-2）+1 D． a+2b=（a+b）+b（2）下列因式分解正确的是（）A． ab+ac+ad+1=a（b+c+d）+1B．（x+1）（x+2）=x2+3x+2C． a3+3a2b+a=a（a2+3ab+1）D． x2-y2=（x+y）（y-x）反思：因式分解是把多项式变成乘积形式，判断因式分解先要看是否符合形式，再判断运算的正确性．考点二添括号例2 下列添括号错误的是（）A． 3-4x=-（4x-3）B．（a+b）-2a-b=（a+b）-（2a+b）C． -x2+5x-4=-（x2-5x+4）D． -a2+4a+a3-5=-（a2-4a）-（a3+5）反思：添括号和去括号类似，注意括号前为“-”号，括号里各项都要变号．考点三用提取公因式法、公式法分解因式例3 （1）在下面的多项式中，能因式分解的是（）A． m2+n B． m2-m-1C． m2-m+1 D． m2-2m+1（2）加上下列单项式后，仍不能使4x2+1成为一个整式的完全平方式的是（）A. 2xB. 4xC. -4xD. 4x4（3）已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x-3）（x+1），则b，c的值为（）A． b=3，c=-1 B． b=-6，c=2C． b=-6，c=-4 D． b=-4，c=-6（4）因式分解：①7x2-63；②x3-6x2+9x；③4（a-b）2-8a+8b；④a4-8a2b2+16b4.反思：分解因式时常先看有无公因式，再考虑能否使用公式法分解，并注意分解一定要进行到底．考点四因式分解的应用例4 （1）对于任何整数，多项式（n+5）2-n2一定是（）A． 2的倍数B． 5的倍数C． 8的倍数 D． n的倍数（2）已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为．（3）已知正方形的面积是9a2+6a+1（a>0），则该正方形的边长是．（4）用简便方法计算：①20192-2018×2019；②0.932+2×0.93×0.07+0.072.反思：因式分解的应用往往是利用因式分解进行求值，注意把各代数式进行因式分解即可．校对练习1．若a+b+1=0，则3a2+3b2+6ab的值是（）A． 1 B． -1 C． 3 D． -32． 9x3y2+12x2y2-6xy3的公因式为．3．若关于x的多项式x2-ax-6含有因式x-1，则实数a= ．4. 因式分解：16-8（x-y）+（x-y）2= .5. 简便计算：101×99= .6. 如图，大正方形ABCD和小正方形AEFG的周长和为20，且阴影部分的面积是10，则BE= .7. 已知x2+y2+2x-4y+5=0，则x+y= .8. 分解因式：（1）2a3－8a；（2）－3x2－12＋12x；（3）（a ＋2b ）2＋6（a ＋2b ）＋9；（4）2（x-y ）2-x+y ；（5）（a 2＋4b 2）2－16a 2b 2.9. 已知x 2＋5x －991＝0，求x 3＋6x 2－986x ＋1027的值．10. 先阅读下面例题的解法，然后解答问题：例：若多项式2x 3-x 2+m 分解因式的结果中有因式2x+1，求实数m 的值.解：设2x 3-x 2+m=（2x+1）·A （A 为整式）.若2x 3-x 2+m=（2x+1）·A=0，则2x+1=0或A=0.由2x+1=0，解得x=-21. ∴x=-21是方程2x 3-x 2+m=0的解. ∴2×（-21）3-（-21）2+m=0，即-41-41+m=0. ∴m=21. 请你模仿上面的方法尝试解决下面的问题：若多项式x 4+mx 3+nx-16分解因式的结果中有因式（x-1）和（x-2），求实数m ，n 的值.参考答案【必备知识与防范点】一、1. 整式的积的形式互逆2. 相同的因式提取公因式法3. （a+b）（a-b）（a±b）24. 不变号变号【例题精析】例1 （1）B （2）C例2 D例3 （1）D （2）A （3）D（4）①7x2-63=7（x2-9）=7（x+3）（x-3）；②x3-6x2+9x=x（x2-6x+9）=x（x-3）2；③4（a-b）2-8a+8b=4（a-b）2-8（a-b）=4（a-b）（a-b-2）；④a4-8a2b2+16b4=（a2-4b2）2=（a-2b）2（a+2b）2.例4 （1）B （2）24 （3）3a+1（4）①20192-2018×2019=2019×（2019-2018）=2019；②0.932+2×0.93×0.07+0.072=（0.93+0.07）2=1.【校内练习】1. C2. 3xy23. -54. （4-x+y）25. 99996. 27. 18. （1）原式＝2a（a2－4）＝2a（a＋2）（a－2）．（2）原式＝－3（x2－4x＋4）＝－3（x－2）2.（3）原式＝[（a＋2b）＋3]2＝（a＋2b＋3）2.（4）原式＝2（x-y）2-（x-y）=（x-y）（2x-2y-1）.（5）原式＝（a2＋4b2）2－（4ab）2＝（a2＋4b2＋4ab）（a2＋4b2－4ab）＝（a＋2b）2（a－2b）2.9. 原式＝x3＋5x2－991x＋x2＋5x－991＋991＋1027＝x（x2＋5x－991）＋（x2＋5x－991）＋2018＝2018.10. 设x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）·C（C为整式）.若x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）·C=0，则x-1=0或x-2=0或C=0，由x-1=0或x-2=0，解得x=1或x=2.∴x=1，x=2都是方程x4+mx3+nx-16=0的解.∴14+m·13+n·1-16=0或24+m·23+n·2-16=0，即m+n=15①，4m+n=0②，①②联立解得m=-5，n=20.。
七年级因式分解刷题练习92题-答案版
第X 讲因式分解刷题练习（92题）-7上复习用【例题1】()()()()23222336x y x y y x y x x y -++---+【分析】 原式()()3221x y x =--【例题2】222944a b bc c -+-【分析】 原式()()()()22222944923232a b bc c a b c a b c a b c =--+=--=+--+【例题3】3223x x xy y y ----【分析】 原式()()221x xy y x y =++--【例题4】54323331x x x x x -+-+-【分析】 原式()()()223111x x x x x =-++-+【例题5】222595121824x y z xy yz zx --+-+【分析】 原式()()3553x y z x y z =++--【例题6】22121115x xy y --【分析】 原式()()4335x y x y =+-【例题7】2408124848x x --【分析】 原式()()204612x x =+-【例题8】633619216x x y y --【分析】 原式()()()()2222232439x y x y x xy y x xy y =+--+++【例题9】2222x yz axyz yz xy xz az ++---【分析】 原式()()xy z az xz y =-+-【例题10】222222444222a b b c c a a b c ++---原式()()()()b c a b c a c a b a b c =+++-+-+-【例题11】22015201420162015x x -⨯-【分析】 原式()()201512015x x =+-【例题12】()()()22592791a a a +---【分析】 原式()()()242728a a a a =-+--【例题13】()()()()26121311x x x x x ----+【分析】 原式()22661x x =-+【例题14】()()()()461413119x x x x x ----+【分析】 原式()22971x x =-+【例题15】343115x x -+【分析】 原式()()()21253x x x =--+【例题16】322772x x x -+-【分析】 原式()()()1221x x x =---【例题17】3331x y xy ++-【分析】 原式()()2211x y x y xy x y =+-++-++【例题18】432655x x x x ++++【分析】 原式()()2251x x x =+++【例题19】()()()()222222261561121x x x x x x ++++++++ 【分析】 原式()()229141x x x =+++【例题20】()()()322223a b c a a c b a b c abc +-+-++-【分析】 原式()()()a b a c a b c =+-+-【例题21】322222422x x z x y xyz xy y z --++-【分析】 原式()()22x z x y =--【例题22】()()()2122xy x y x y xy -++-+-【分析】 原式()()2211x y =--【例题23】32542071227x y x xy --【分析】 原式()()22223293293x x xy y x xy y =-++-+【例题24】43241x x x x +-++【分析】 原式()()22131x x x =-++【例题25】()()22222a a b b ab a -+--【分析】 原式()222a b b =-【例题26】43214599448x x x x -+-+【分析】 原式()()()()1238x x x x =----【例题27】432673676x x x x +--+【分析】 原式=()()()()221331x x x x -++-【例题28】()22223122331x x x x -+-+- 【分析】 原式()()()23323x x x x =--+【例题29】2244661124864x y x y x y -+-【分析】 原式()()331212xy xy =+-【例题30】()()()333222222x y z x y z ++--+ 【分析】 原式()()()()22223x y y z z x z x =-+++-【例题31】32221x ax ax a --+-【分析】 原式()()211x a x x a =--+-+【例题32】42201520142015x x x +++【分析】 原式()()2212015x x x x =++-+【例题33】22()()1ab a b a b +-++【分析】 原式22(1)(1)a ab b ab =+-+-【例题34】()()66x x y z y z y x +-+--【分析】 原式()()()()()2222x y z x y x y x xy y x xy y =+--+++-+【例题35】432227447x x x x ---+【例题36】()()()2222223241x x x x x x -+++-++ 【分析】 原式()()()2112x x x x =--++【例题37】323233332a a a b b b ++++++【分析】 原式()()222a b a b ab a b =+++-++【例题38】()322312b a a b a a -++--++【分析】 ()()212a b ab a b b =-+-+++【例题39】()()211ab ab ab a b a b +-+--+【分析】 原式()()()2111ab ab a b ab =+-+++（以1ab +为主元） ()()()()22111111a ab b ab a b a ab b =+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+-+-【例题40】()()()333222x y z y z x z x y -+-+-【分析】 原式()()()()x y y z z x xy yz zx =---++【例题41】()()()()3311x a xy x y a b y b +---++【分析】 原式()()22x xy y ax x y by =-++++【例题42】22()()()()ax by ay bx ay ax by ay bx ay +++-+++-原式2222()()a ab b x xy y =++++【例题43】22222612523171319322312520a b c d ab ac ad bc bd cd a b c d ---+--+-+-+-+-【分析】 原式()()23423455a b c d a b c d =+-+--+-+【例题44】()()()()()()2222326232x y a b m n xy a b m n xy a b m n ++-+++++【分析】 原式()()()32421xy a b m n ax bx my ny =+++--+【例题45】22223273x xy y xz yz z ---+-【分析】 原式()()232x y z x y z =+--+【例题46】2299x x +-【分析】 原式()()119x x =+-【例题49】632827x x -+【分析】 原式()()()()2211339x x x x x x =-++-++【例题50】32374a a +-【分析】 原式()()()1322a a a =+-+【例题51】4464a b +【分析】 原式()()22224848a ab b a ab b =++-+【例题52】()()3211x y xy x y ++---【分析】 原式()()2211x y x y x y =+-++++【例题53】()()()2113212xy xy xy x y x y ⎛⎫+++-++-+- ⎪⎝⎭ 【分析】 原式()()()()1111x y x y =++--【例题54】22243x y x y ----【分析】 原式()()13x y x y =++--【例题55】2231032x xy y x y ---++【分析】 原式()()5221x y x y =--+-【例题56】32256x x x +--【分析】 原式()()()123x x x =+-+【例题57】4322111236x x x x --++【分析】 原式()()2223x x =+-【例题58】432262x x x x ---+【分析】 原式()()()22121x x x =--+【例题59】()()22213260x x x x -+-+ 【分析】 原式()()()()2165x x x x =-+-+【例题60】()()222248415x x x x x x ++++++ 【分析】 原式()()22264x x x =+++【例题62】()()()()11359x x x x -+++-【分析】 原式()()22246x x x =++-【例题63】()()()()245610123x x x x x ++++-【分析】 原式()()()22158235120x x x x =++++【例题64】()()42424413110x x x x x 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=-+-+6421449n n n =-+()2227n n =-()227n n ⎡⎤=-⎣⎦ ()22201620167⎡⎤=⨯-⎣⎦，得证．【例题73】证明：22222016201620172017+⨯+是一个完全平方数【分析】 令2016n =，则2222(1)(1)a n n n n =++++()2432223211n n n n n n =++++=++， 故()22201620161a =++【例题74】证明：3320162016201620182016201720162015⨯-⨯是一个完全立方数【分析】 令20162016m =，则原数()()()()333323211812612140324033m m m m m m m m =+-+-=+++=+=【例题75】333333()()()a b b c c a a b c ++++++++【解析】 原式333333222[()][()][()]3()()a b c b c a c a b a b c a b c =++++++++=++++；【例题76】42222222()()x a b x a b -++-．【解析】 ()()()()()222242222222222222x a b x a b x a b a b a b ⎡⎤-++-=-+-++-⎣⎦ ()222224x a b a b =---()()22222222x a b ab x a b ab =--+---()()2222x a b x a b ⎡⎤⎡⎤=---+⎣⎦⎣⎦()()()()x a b x a b x a b x a b =+--+--++【例题77】()()()()()2222221ab x y a b xy a b x y ---+-++【解析】 原式2222[(1)()]()[()(1)]b xy x y ab x y a x y xy =+-++--+++2222(1)(1)()(1)(1)b x y ab x y a x y =--+--++[(1)(1)][(1)(1)]x b y a y b x a =--+-++【解析】 2227()()ab a b a ab b +++【例题79】33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++ 【解析】33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++33(1)()[(1)(1)](1)x a xy x y a b y b =+--+-+++ 322322(1)()(1)()a x x y xy b y x y xy =+-++++-2222(1)()(1)()x a x xy y b x xy y =+-+++-+ 22()()x xy y ax by x y =-++++【例题80】32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+【解析】 如果多项式的系数的和等于0，那么1一定是它的根；如果多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于0，那么1-一定是它的根．现在正是这样：()(32)(23)2()0l n l m n l m n m n -+++-----+=所以1x +是原式的因式，并且32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+322[()()][(2)(2)][2()2()]l m x l m x l m n x l m n x m n x m n =+++++-++--+++ 2(1)[()(2)2()]x l m x l m n x m n =++++--+(1)(2)()x x lx mx m n =+++--【例题81】21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+- 【解析】 设xy u =，x y v +=,原式(1)(1)(1)(1)(1)(1)u v u v y x x y =+--+=++--【例题82】()()()()22222222ab cd a b c d ac bd a b c d +-+-+++--【分析】 原式()()()()()()()()22222222ab cd a d ab cd b c ac bd a d ac bd b c =+--+-++-++-()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222222ab cd ac bd a d ac bd ab cd b c a d b c a d a d b c d a b c b c a d b c a d b c a d b c a d b c a d b c =+++-++---=+++-+---+⎡⎤=-++--⎣⎦=-++-+++-【例题83】432234a b a b a b ab +--【分析】 ⑴原式432234332()()()()()()a b a b a b ab a b a b ab a b ab a b a b =+-+=+-+=-+【例题84】22(2)9x x -- 【分析】 原式222(23)(23)(23)(1)(3)x x x x x x x x =-+--=-++-【例题85】3139k +()1【分析】 原式2221(44)1(2)(12)(12)x xy y x y x y x y =--+=--=+--+【例题87】()()()333ax by by cz ax cz -+---【分析】 原式()()()333ax by bx cz cz ax =-+-+- ()()()3ax by bx cz cz ax =---【例题88】333()()()a b c bc b c ca c a ab a b ++++++++【分析】 原式222()()a b c a b c =++++【例题89】326116x x x +++【分析】 原式326126x x x x =-+++()()()21161x x x x =+-++()()()()22166156x x x x x x x =+-++=+++()()()()()21236123x x x x x x x =++++=+++【例题90】32254x x x +--【分析】 ()()()()232225515115x x x x x x x x x x =++--=+-+=++-【例题91】521171x x x +-+【分析】 设522321171(1)(1)x x x x ax x bx cx +-+=+-++-展开得5254321171()(1)(1)()1x x x x a b x ab c x ac b x a c x +-+=++++-+---++比较对应系数得0101117a b ab c ac b a c +=⎧⎪+-=⎪⎨--=⎪⎪+=⎩，解得225a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴原式232(21)(251)x x x x x =+--+-【例题92】54321x x x +-+【分析】 设()()5423232111x x x x ax x bx cx +-+=+++++展开得()()()()545432321111x x x x a b x ab c x b ac x a c x +-+=+++++++++++比较对应系数得31010a b ab c b ac +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪，解得12a b =⎧⎪=⎨⎪，∴原式()()2321231x x x x x =+++-+。
七年级数学因式分解练习题及答案
七年级数学因式分解练习题及答案一、选择1.下列各式由左到右变形中，是因式分解的是A.a=ax+ayB. x-4x+4=x+4C. 10x-5x=5xD. x-16+3x=+3x2.下列各式中，能用提公因式分解因式的是A. x-yB. x+2xC. x+yD. x-xy+13.多项式6xy-3xy-18xy分解因式时，应提取的公因式是A.xyB.3xyC.xyD.3xy4.多项式x+x提取公因式后剩下的因式是A. x+1B.xC. xD. x+15.下列变形错误的是A.-x-y=-B.= -C. –x-y+z=-D.=6.下列各式中能用平方差公式因式分解的是A. –xyB.x+yC.-x+yD.x-y7.下列分解因式错误的是A. 1-16a=B. x-x=xC.a-bc=D.m-0.01=8.下列多项式中，能用公式法分解因式的是A.x－xy二、填空9.ab+ab-ab=ab.10.-7ab+14a-49ab=-7a.11.3+2=___________12.x-y=____________.13.-a+b=14.1-a=___________15.99-101=________22222B. x＋xyC. x－y D. x＋y222216.x+x+____=17.若a+b=1,x-y=2,则a+2ab+b-x+y=____。
222三、解答18.因式分解：①?4x3?16x2?24x②8a2?123③2am?1?4am?2am?1④2a2b2-4ab+2⑤2-4x2y2⑥2-419.已知a+b-c=3,求2a+2b-2c的值。
220、已知，2x-Ax+B=2,请问A、B的值是多少？221、若2x2+mx-1能分解为,求m的值。
22.已知a+b=5,ab=7,求a2b+ab2-a-b的值。
23. 已知a2b2-8ab+4a2+b2+4=0,求ab的值。
24.请问9910-99能被99整除吗？说明理由。
初中数学因式分解知识点复习
初中数学因式分解知识点复习一、选择题1．下列因式分解中：①32(2)x xy x x x y ++=+；②2244(2)x x x ++=+；③22()()x y x y y x -+=+-；④329(3)x x x x -=-，正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】【分析】将各项分解得到结果，即可作出判断．【详解】①322(2+1)x xy x x x y ++=+，故①错误；②2244(2)x x x ++=+，故②正确；③2222()()x y y x x y y x -+=-=+-，故③正确；④39(+3)(3)x x x x x -=-故④错误.则正确的有2个.故选：B.【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．多项式x 2y （a -b ）-xy （b -a ）+y （a -b ）提公因式后，另一个因式为（ ） A ．21x x -+B ．21x x ++C ．21x x --D ．21x x +-【答案】B【解析】解：x 2y (a －b )－xy (b －a )＋y (a －b )= y (a －b )（x 2+x +1）．故选B ．3．已知4821-可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）A ．61、63B ．61、65C ．61、67D ．63、65 【答案】D【解析】【分析】由()()()()()()24242412686421212121221121=+-=+++--，多次利用平方差公式化简，可解得.【详解】解：原式()()24242121=+-，()()()()()()()()()24121224126624122121212121212163652121=++-=+++-=⨯⨯++ ∴这两个数是63,65.选D.【点睛】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键.4．已知a ﹣b =2，则a 2﹣b 2﹣4b 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】B【解析】【分析】原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】∵a ﹣b =2，∴原式=(a +b )(a ﹣b )﹣4b =2(a +b )﹣4b =2a +2b ﹣4b =2(a ﹣b )=4．故选：B ．【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．5．下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是( )A ．2ab(a-b)=2a 2b-2ab 2B ．x 2+1=x(x+1x )C ．x 2-4x+3=(x-2)2-1D ．a 2-b 2=(a+b)(a-b)【答案】D【解析】【分析】把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式).分解因式与整式乘法为相反变形.【详解】解：A.不是因式分解，而是整式的运算B.不是因式分解，等式左边的x 是取任意实数，而等式右边的x ≠0C.不是因式分解，原式＝(x －3)(x －1)D.是因式分解.故选D.故答案为：D.【点睛】因式分解没有普遍适用的法则，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、配方法、待定系数法、拆项法等方法.6．下列各式分解因式正确的是（ ）A ．2112(12)(12)22a a a -=+-B ．2224(2)x y x y +=+C ．2239(3)x x x -+=-D ．222()x y x y -=- 【答案】A【解析】【分析】根据因式分解的定义以及平方差公式，完全平方公式的结构就可以求解．【详解】 A. 2112(12)(12)22a a a -=+-，故本选项正确； B. 2222224(2)(2)=+44x y x y x y x xy y +≠+++，，故本选项错误；C. 222239(3)(3)=69x x x x x x -+≠---+，，故本选项错误；D. ()22()x y x y x y -=-+，故本选项错误. 故选A.【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握平方差公式，完全平方公式.7．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．m （a +b ）＝ma +mbB ．a 2+4a ﹣21＝a （a +4）﹣21C ．x 2﹣1＝（x +1）（x ﹣1）D ．x 2+16﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）+16【答案】C【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】A 、是整式的乘法，故A 不符合题意；B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 不符合题意；C 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 符合题意；D 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，判断因式分解的标准是把一个多项式转化成几个整式积的形式．8．把代数式2x 2﹣18分解因式，结果正确的是（ ）A ．2（x 2﹣9）B ．2（x ﹣3）2C ．2（x +3）（x ﹣3）D ．2（x +9）（x ﹣9）【答案】C【解析】 试题分析：首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．解：2x 2﹣18=2（x 2﹣9）=2（x+3）（x ﹣3）．故选C ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．9．下列分解因式，正确的是（ ）A ．()()2x 1x 1x 1+-=+B ．()()29y 3y y 3-+=+- C ．()2x 2x l x x 21++=++ D ．()()22x 4y x 4y x 4y -=+- 【答案】B【解析】【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答．【详解】A. 和因式分解正好相反，故不是分解因式；B. 是分解因式；C. 结果中含有和的形式，故不是分解因式；D. x 2−4y 2=(x+2y)(x−2y)，解答错误.故选B.【点睛】本题考查的知识点是因式分解定义和十字相乘法分解因式，解题关键是注意：（1）因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式．（2）因式分解一定要彻底，直到不能再分解为止．10．若△ABC 三边分别是a 、b 、c ，且满足（b ﹣c ）（a 2＋b 2）＝bc 2﹣c 3 ， 则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D【解析】试题解析：∵（b ﹣c ）（a 2+b 2）=bc 2﹣c 3，∴（b ﹣c ）（a 2+b 2）﹣c 2（b ﹣c ）=0，∴（b ﹣c ）（a 2+b 2﹣c 2）=0，∴b ﹣c=0，a 2+b 2﹣c 2=0，∴b=c或a2+b2=c2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．故选D．11．下列因式分解结果正确的是( )．A．10a3+5a2=5a(2a2+a)B．4x2-9=(4x+3)(4x-3)C．a2-2a-1=(a-1)2D．x2-5x-6=(x-6)(x+1)【答案】D【解析】【分析】A可以利用提公因式法分解因式(必须分解到不能再分解为止)，可对A作出判断；而B符合平方差公式的结构特点，因此可对B作出判断；C不符合完全平方公式的结构特点，因此不能分解，而D可以利用十字相乘法分解因式，综上所述，即可得出答案.【详解】A、原式=5a2(2a+1)，故A不符合题意；B、原式=(2x+3)(2x-3)，故B不符合题意；C、a2-2a-1不能利用完全平方公式分解因式，故C不符合题意；D、原式=(x-6)(x+1)，故D符合题意；故答案为D【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法和十字相乘法分解因式，正确掌握公式法分解因式是解题关键．12．某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：-12xy2+6x2y+3xy=-3xy•（4y-______）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（）A．2x B．-2x C．2x-1 D．-2x-l【答案】C【解析】【分析】根据题意，提取公因式-3xy，进行因式分解即可．【详解】解：原式=-3xy×（4y-2x-1），空格中填2x-1．故选：C．【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，同时要注意提取公因式后各项符号的变化．13．下列各因式分解的结果正确的是（ ）A ．()321a a a a -=-B ．2()b ab b b b a ++=+C ．2212(1)x x x -+=-D ．22()()x y x y x y +=+-【答案】C【解析】【分析】将多项式写成整式乘积的形式即是因式分解，且分解到不能再分解为止，根据定义依次判断即可．【详解】 ()321a a a a -=-=a （a+1）（a-1），故A 错误； 2(1)b ab b b b a ++=++，故B 错误；2212(1)x x x -+=-，故C 正确；22x y +不能分解因式，故D 错误，故选：C ．【点睛】此题考查因式分解的定义，熟记定义并掌握因式分解的方法及分解的要求是解题的关键．14．已知a b >，a c >，若2M a ac =-，N ab bc =-，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M N <B ．M N =C ．M N >D ．不能确定 【答案】C【解析】【分析】计算M-N 的值，与0比较即可得答案．【详解】∵2M a ac =-，N ab bc =-，∴M-N=a(a-c)-b(a-c)=(a-b)(a-c)，∵a b >，a c >，∴a-b ＞0，a-c ＞0，∴(a-b)(a-c)＞0，∴M ＞N ，故选：C ．【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握运算法则并灵活运用“作差法”比较两式大小是解题关键．15．将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )A ．a 2-1B ．a 2+aC ．a 2+a-2D ．(a+2)2-2(a+2)+1【答案】C【解析】试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a 2﹣1=（a+1）（a ﹣1），a 2+a=a （a+1），a 2+a ﹣2=（a+2）（a ﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C ；故答案选C ．考点：因式分解.16．已知三个实数a ，b ，c 满足a ﹣2b +c ＜0，a +2b +c ＝0，则（ ）A ．b ＞0，b 2﹣ac ≤0B ．b ＜0，b 2﹣ac ≤0C ．b ＞0，b 2﹣ac ≥0D ．b ＜0，b 2﹣ac ≥0【答案】C【解析】【分析】根据a ﹣2b +c ＜0，a +2b +c ＝0，可以得到b 与a 、c 的关系，从而可以判断b 的正负和b 2﹣ac 的正负情况．【详解】∵a ﹣2b +c ＜0，a +2b +c ＝0，∴a +c ＝﹣2b ，∴a ﹣2b +c ＝（a +c ）﹣2b ＝﹣4b ＜0，∴b ＞0，∴b 2﹣ac ＝222222a c a ac c ac +++⎛⎫-= ⎪⎝⎭＝2222042a ac c a c -+-⎛⎫= ⎪⎝⎭…， 即b ＞0，b 2﹣ac ≥0，故选：C ．【点睛】 此题考查不等式的性质以及因式分解的应用，解题的关键是明确题意，判断出b 和b 2-ac 的正负情况．17．已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且满足222244a c b c a b -=-，则ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】移项并分解因式，然后解方程求出a、b、c的关系，再确定出△ABC的形状即可得解．【详解】移项得，a2c2−b2c2−a4＋b4＝0，c2（a2−b2）−（a2＋b2）（a2−b2）＝0，（a2−b2）（c2−a2−b2）＝0，所以，a2−b2＝0或c2−a2−b2＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2，因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．故选B．【点睛】本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a、b、c的关系式是解题的关键．18．把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（）．A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1)C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1)【答案】A【解析】【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．【详解】解：原式=x2-（y2+2y+1），=x2-（y+1）2，=（x+y+1）（x-y-1）．故选A．19．下列从左到右的变形属于因式分解的是()A．(x＋1)(x－1)＝x2－1 B．m2－2m－3＝m(m－2)－3C．2x2＋1＝x(2x＋1x) D．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)【答案】D 【解析】【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写出几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、（x+1）（x-1）=x 2-1不是因式分解，是多项式的乘法，故本选项错误； B 、右边不全是整式积的形式，还有减法，故本选项错误；C 、右边不是整式积的形式，分母中含有字母，故本选项错误；D 、x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)符合因式分解的定义，故本选项正确.故选：D ．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．20．多项式2mx m -与多项式221x x -+的公因式是（ ）A ．1x -B ．1x +C ．21x -D ．()21x - 【答案】A【解析】试题分析：把多项式分别进行因式分解，多项式2mx m -=m （x+1）（x-1），多项式221x x -+=()21x -，因此可以求得它们的公因式为（x-1）．故选A考点：因式分解。
2020最新浙教版七年级下册《因式分解》期末复习试卷及答案
期末复习四因式分解复习目标必备知识与防范点一、必备知识：1．把一个多项式化成几个，叫做因式分解．因式分解和整式乘法具有的关系．2．一个多项式中每一项都含有的，叫做这个多项式各项的公因式．把该公因式提取出来进行因式分解的方法，叫做．3．公式法分解因式：a2-b2= ；a2±2ab+b2= .4．括号前面是“+”号，括到括号里的各项都；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都．二、防范点：1．提取公因式法分解因式时提取的公因式要彻底，并且注意不要漏项．2．因式分解要注意分解到底．例题精析考点一因式分解的概念例1 （1）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．（a+1）（a-1）=a2-1 B． 2a-2b=2（a-b）C． a2-2a+1=a（a-2）+1 D． a+2b=（a+b）+b（2）下列因式分解正确的是（）A． ab+ac+ad+1=a（b+c+d）+1B．（x+1）（x+2）=x2+3x+2C． a3+3a2b+a=a（a2+3ab+1）D． x2-y2=（x+y）（y-x）反思：因式分解是把多项式变成乘积形式，判断因式分解先要看是否符合形式，再判断运算的正确性．考点二添括号例2 下列添括号错误的是（）A． 3-4x=-（4x-3）B．（a+b）-2a-b=（a+b）-（2a+b）C． -x2+5x-4=-（x2-5x+4）D． -a2+4a+a3-5=-（a2-4a）-（a3+5）反思：添括号和去括号类似，注意括号前为“-”号，括号里各项都要变号．考点三用提取公因式法、公式法分解因式例3 （1）在下面的多项式中，能因式分解的是（）A． m2+n B． m2-m-1C． m2-m+1 D． m2-2m+1（2）加上下列单项式后，仍不能使4x2+1成为一个整式的完全平方式的是（）A. 2xB. 4xC. -4xD. 4x4（3）已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x-3）（x+1），则b，c的值为（）A． b=3，c=-1 B． b=-6，c=2C． b=-6，c=-4 D． b=-4，c=-6（4）因式分解：①7x2-63；②x3-6x2+9x；③4（a-b）2-8a+8b；④a4-8a2b2+16b4.反思：分解因式时常先看有无公因式，再考虑能否使用公式法分解，并注意分解一定要进行到底．考点四因式分解的应用例4 （1）对于任何整数，多项式（n+5）2-n2一定是（）A． 2的倍数B． 5的倍数C． 8的倍数 D． n的倍数（2）已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为．（3）已知正方形的面积是9a2+6a+1（a>0），则该正方形的边长是．（4）用简便方法计算：①20192-2018×2019；②0.932+2×0.93×0.07+0.072.反思：因式分解的应用往往是利用因式分解进行求值，注意把各代数式进行因式分解即可．校对练习1．若a+b+1=0，则3a2+3b2+6ab的值是（）A． 1 B． -1 C． 3 D． -32． 9x3y2+12x2y2-6xy3的公因式为．3．若关于x的多项式x2-ax-6含有因式x-1，则实数a= ．4. 因式分解：16-8（x-y）+（x-y）2= .5. 简便计算：101×99= .6. 如图，大正方形ABCD和小正方形AEFG的周长和为20，且阴影部分的面积是10，则BE= .7. 已知x2+y2+2x-4y+5=0，则x+y= .8. 分解因式：（1）2a3－8a；（2）－3x2－12＋12x；（3）（a ＋2b ）2＋6（a ＋2b ）＋9；（4）2（x-y ）2-x+y ；（5）（a 2＋4b 2）2－16a 2b 2.9. 已知x 2＋5x －991＝0，求x 3＋6x 2－986x ＋1027的值．10. 先阅读下面例题的解法，然后解答问题：例：若多项式2x 3-x 2+m 分解因式的结果中有因式2x+1，求实数m 的值.解：设2x 3-x 2+m=（2x+1）·A （A 为整式）.若2x 3-x 2+m=（2x+1）·A=0，则2x+1=0或A=0.由2x+1=0，解得x=-21. ∴x=-21是方程2x 3-x 2+m=0的解. ∴2×（-21）3-（-21）2+m=0，即-41-41+m=0. ∴m=21. 请你模仿上面的方法尝试解决下面的问题：若多项式x 4+mx 3+nx-16分解因式的结果中有因式（x-1）和（x-2），求实数m ，n 的值.参考答案【必备知识与防范点】一、1. 整式的积的形式互逆2. 相同的因式提取公因式法3. （a+b）（a-b）（a±b）24. 不变号变号【例题精析】例1 （1）B （2）C例2 D例3 （1）D （2）A （3）D（4）①7x2-63=7（x2-9）=7（x+3）（x-3）；②x3-6x2+9x=x（x2-6x+9）=x（x-3）2；③4（a-b）2-8a+8b=4（a-b）2-8（a-b）=4（a-b）（a-b-2）；④a4-8a2b2+16b4=（a2-4b2）2=（a-2b）2（a+2b）2.例4 （1）B （2）24 （3）3a+1（4）①20192-2018×2019=2019×（2019-2018）=2019；②0.932+2×0.93×0.07+0.072=（0.93+0.07）2=1.【校内练习】1. C2. 3xy23. -54. （4-x+y）25. 99996. 27. 18. （1）原式＝2a（a2－4）＝2a（a＋2）（a－2）．（2）原式＝－3（x2－4x＋4）＝－3（x－2）2.（3）原式＝[（a＋2b）＋3]2＝（a＋2b＋3）2.（4）原式＝2（x-y）2-（x-y）=（x-y）（2x-2y-1）.（5）原式＝（a2＋4b2）2－（4ab）2＝（a2＋4b2＋4ab）（a2＋4b2－4ab）＝（a＋2b）2（a－2b）2.9. 原式＝x3＋5x2－991x＋x2＋5x－991＋991＋1027＝x（x2＋5x－991）＋（x2＋5x－991）＋2018＝2018.10. 设x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）·C（C为整式）.若x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）·C=0，则x-1=0或x-2=0或C=0，由x-1=0或x-2=0，解得x=1或x=2.∴x=1，x=2都是方程x4+mx3+nx-16=0的解.∴14+m·13+n·1-16=0或24+m·23+n·2-16=0，即m+n=15①，4m+n=0②，①②联立解得m=-5，n=20.。
上海初中七上因式分解260题(学生版)
【因式分解方法总览】版块一 基本方法因式分解的四种基本方法：一提二代三组四叉1. 【提】提公因式法：一次提净，注意符号确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂. 2. 【代】公式法因式分解中常用的公式：⑴平方差公式：22()()a b a b a b −=+− ⑵完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±⑶三元平方公式：2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++ ⑷三次方公式：①3322()()a b a b a ab b +=+−+；3322()()a b a b a ab b −=−++ ②3223333()a a b ab b a b +++=+；3223333()a a b ab b a b −+−=− ③()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++−=++++−−− ⑸n 次方公式：①()()12321n n n n n n n a b a b a a b a b ab b −−−−−−=−+++++（n 为正整数） ②()()12321n n n n n n n a b a b a a b a b ab b −−−−−−=+−+−+−（n 为正偶数） ③()()12321n n n n n n n a b a b a a b a b ab b −−−−−+=+−+−−+（n 为正奇数）3. 【组】分组分解法分组分解法：通过分组，各组内可以用提公因式法或者公式法进行因式分解. 4. 【叉】十字相乘法与双十字相乘法⑴十字相乘法：适用范围：形如2ax bx c ++的二次三项式设()()21122ax bx c a x c a x c ++=++，则：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=； 写成十字交叉的形式，即：12a x a x 12c c ； 口诀：降幂排列，首尾分解，交叉相乘，求和凑中.【注】若24b ac −不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解.⑵双十字相乘法适用范围：形如22Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++的二次多项式 条件：①12A a a =，12C c c =，12F f f =②1221a c a c B +=，1221c f c f E +=，1221a f a f D += 即： 1a x 1c y 1f2a x 2c y 2f则()()22111222Ax Bxy Cy Dx Ey F a x c y f a x c f +++++=++++步骤：①用十字相乘法分解二次三项式()()221122Ax Bxy Cy a x c y a x c y ++=++，用十字交叉线表示（共两列）；②用十字相乘法分解二次三项式()()21122Cy Ey F c y f c y f ++=++，继续用十字交叉线表示，即把常数项F 分解成两个因式填在第三列上；③用十字相乘法分解二次三项式2Ax Dx F ++，检验是否等于()()1122a x f a x f ++，若相等，则双十字相乘法分解因式成功.应用情况：⑴二元二次式（22Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++）；⑵三元二次齐次式（222Ax Bxy Cy Dxz Eyz Fz +++++）； ⑶四次五项式（43243210a x a x a x a x a ++++）.版块二 拓展方法因式分解的六种拓展方法：拆添项与配方、主元、换元、试根、待定系数、轮换对称式 1. 拆添项与配方法⑴拆、添项⇒分组⇒提、代； ⑵配方法⇒配完全平方式⇒平方差公式 2. 主元法步骤：选（二次三项式）→排（降幂排列）→叉（十字相乘法） 3. 换元法整体思想：化繁为简，本质不变4. 因式定理与试根法⑴余数定理：x c −除()f x ，余数为()f c ；⑵因式定理：若()0f c =，则x c −为()f x 的因式；若x c −为()f x 的因式，则()0f c =；⑶试根法：设()1110n n n n f x a x a x a x a −−=++++为整系数多项式若存在有理数c 满足()0f c =，则pc q=；其中：p 为0a 的因数，q 为n a 的因数；()f x 含有因式()qx p −；特别地，当1n a =时，c p =为整数.【注】常见技巧：若多项式各项系数和为0，则1一定为根. 5. 待定系数法步骤：设（待定系数）→（展）→等（对应项系数相等） 【注】待定系数法往往会有多种情况，需逐一验证. 6. 轮换对称式⑴判定多项式是否为轮换对称式；⑵试根：选定一个字母为主元，利用因式定理确定因式，并写出相关同型式 对于关于x ，y ，z 的轮换对称式，最常见的试根情况有：常见的齐次轮换对称式：【基础篇】1. 分解因式：22462x xy y +−2. 分解因式：242ab a b a bm an −++3. 分解因式：26312m mn mn −−4. 分解因式：()()32226a b c a c b −−−5. 分解因式：22223a b abc ab c −+−6. 分解因式：44332232722436x y z x y z x y z +−7. 分解因式：()()23262x a b xy a b +−+8. 分解因式：()()221n n x a b y b a +−+−9. 解方程：()()()()45303315453033160x x x x ++−++=11. 分解因式：()()()()22x y x y x y x y +−++−12. 分解因式：23361412abc a b a b −−+13. 分解因式：32461512a a a −+−14. 分解因式：4325286x y z x y −15. 分解因式：322618m m m −+−16. 分解因式：22224()x a x a x +−−17. 分解因式：2316()56()m m n n m −+−18. 分解因式：3223224612x y x y x y −+−20. 分解因式：(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +−−+−21. 分解因式：()()()213223x x x −−+− 22. 分解因式：2121()()m m p q q p +−−+−23. 分解因式：429ax ay −24. 分解因式：322x x x ++25. 分解因式：()2m p q p q −−+26. 分解因式：()()229m n m n +−−27. 分解因式：2229166824a b c ab ac bc ++−+−28. 分解因式：322333x x y xy y +++29. 分解因式：()222224a b a b +−30. 计算：2221999100033⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31. 计算：()22221052100595−⨯−+32. 计算：22221111111123410⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−− ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭33. 分解因式：()()()33x y x y xy y x −−−−−34. 已知5a b +=，3ab =，求代数式32232a b a b ab −+的值.35. 分解因式：()()22924a b a b +−−36. 分解因式：53182a a −+37. 分解因式：()()22229a a b x y +−+38. 分解因式：8881a b −39. 分解因式：322206045x x y xy −+−40. 分解因式：()2222224x y z x y +−−41. 分解因式：338a b +42. 分解因式：75()()a b b a −+−43. 分解因式：2243()27()x x y y x −−−44. 分解因式：22(5)2(5)(3)(3)m n n m n m n m +−+−+−45. 分解因式：44244()4p q p q +−46. 分解因式：222()4()4x x x x +−++47. 分解因式：22(23)9(1)x x +−−48. 分解因式：22223(2)27a a b a b +−49. 分解因式：222222(35)(53)a b a b −−+−50. 分解因式：22222(91)36a b a b +−−51. 分解因式：1xy x y −+−52. 分解因式：2ma mb m mn na nb −+++−53. 分解因式：434164a a a +−−54. 分解因式：26432xy yz x xz −+−55. 分解因式：322288a a b b a −+−56. 分解因式：3223636x x y x z xyz +−−57. 分解因式：ax by bx ay −−+58. 分解因式：32acx bcx adx bd +++59. 分解因式：42244a x ax a −+−60. 分解因式：()()22ax by bx ay ++−61. 分解因式：()()2221ab x x a b +++62.分解因式：()()()211y y m m −−−+63.分解因式：32232x x xy y y −+−−64.分解因式：3254222x x x x x −−++−65. 分解因式：()()2222ab x y xy a b −+−66. 已知3210x x x +++=，求20082000199625x x x ++的值.67. 分解因式：()()22114m n mn −−+68. 分解因式：()()()222222a b b c c a a b c +++++−−−69. 分解因式：22(1)12a b b b −−+−70. 分解因式：(1)(2)6x x x −−−72. 分解因式：241194n n m x x y +−+73. 分解因式：5544()x y x y xy +−+74. 分解因式：2222()()()()a b a c c d b d +++−+−+75. 分解因式：325153x x x −−+76. 分解因式：2226923ax a xy xy ay −+−77. 分解因式：222221x y z x z y z −−+78. 分解因式：22221a b a b −−+79. 分解因式：251539a m am abm bm −+−81. 分解因式：2910x x −−82. 分解因式：()238x x −−83. 分解因式：2367928x x −+84. 分解因式：21166x x −−+85. 分解因式：()()222211224x x x x −−−+86. 分解因式：2222360x y xyz z −+87. 分解因式：222536x y xyz z −−89. 分解因式：22310x xy y +−90. 分解因式：2672x x −+91. 分解因式：2121115x x −−92. 分解因式：256x x −++93. 分解因式：26136x x −+94. 分解因式：2273x x ++95. 分解因式：2253x x −+96. 分解因式：222064xy y x −++98. 分解因式：2273320x x −−99. 分解因式：2612x x −+−100. 分解因式：2214425x y xy +−101. 分解因式：22672x xy y −+102. 分解因式：22121115x xy y −−103. 分解因式：2358x x +−104. 分解因式：2212197x xy y −+105. 分解因式：2212()11()()2()x y x y x y x y +++−+−107. 分解因式：2(2)8(2)12a b a b −−−+108. 分解因式：222()14()24x x x x +−++109. 分解因式：()233x m n x mn +++110. 分解因式：2()()x a b c x a b c +++++【提高篇】1. 分解因式：321246n n n y y y +++−+−2. 分解因式：222232284163915a b x a x a b −−3. 分解因式：()()()()2223326a b x y b c a b x y b c ++−++4.分解因式：()()()()56m x y a b c n y x b a c −−++−−−5.分解因式：()()()()()()22322132212123x x x x x x x −+−−+++−6.计算：20.1737 2.017530201.7⨯+⨯+7.分解因式：()()()()()21222n n n x y x z x y y x y z +−−−−+−−8. 分解因式：8684279a a −9. 分解因式：32233111248x y x y x y −+−10. 分解因式：()()2232p p q p p q +−+11. 分解因式：()()()()322522322n n x y x y −−−−−12. 分解因式：()()()1232n n n a x y b y x c y x ++−−−+−13. 分解因式：()()13122n n n x x x x +−−−14. 分解因式：23229632x y x y xy ++15.分解因式：3222524261352xy z xy z x y z −++16.分解因式：212146n m n m a b a b ++−−(m 、n 为大于1的自然数)17.分解因式：23423232545224()20()8()x y z a b x y z a b x y z a b −−−+−18.分解因式：()()2121510n n a a b ab b a +−−−（n 为正整数）19.分解因式：2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +−−−−+−−（n 为正整数）20. 分解因式：322()()()()()x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +−+−+−−+−−−−21. 分解因式：229312554a ab b −+22. 分解因式：2222()4()4()m n m n m n +−−+−23. 分解因式：()()()24c a b c a b −−−−24. 分解因式：()()24422a a b c b c −+++25. 分解因式：()()222122x x x x −++−26. 分解因式：()()24222222x a b x a b −++−27. 分解因式：77x y xy −28. 分解因式：5131214242n n n n n n x y x y x y −−+−+−+−29. 分解因式：3333a b c abc ++−30. 分解因式：3223332x x y xy y +++31. 分解因式：()()()()333333ax by ay bx a b x y +++−++32. 分解因式：()()2222224c b d a ab cd −+−−−33. 已知2471−可被40到50之间的两个整数整除，求这两个数.34. 求证：22823x xy y −−是两个整系数多项式的平方差.35. 分解因式：222139x xy y −+−36. 分解因式：444222222222a b c a b b c c a ++−−−37. 分解因式：81644x −38. 计算：()12351721n −⨯⨯⨯+39.分解因式：44()()a x a x +−−40.分解因式：2224244a b c ab ac bc +++−−41.分解因式：()()()()ab c d c d cd a b a b +−++−42.分解因式：()()3211x y xy x y ++−−−43.分解因式：2222x yz axyz yz xy xz az ++−−−44. 分解因式：()()222x b c d y d b c c d b +−−−−−+−45. 分解因式：322222422x x z x y xyz xy y z −−++−46. 分解因式：()()3322332a b a b a b ++++++47. 分解因式：432234a a a b ab b b ++++−48. 分解因式：()()()bc b c ca c a ab a b ++−++49. 分解因式：()222231b a x ab x +−−50. 分解因式：224632x xy ax a x y +−+−−51. 分解因式：222221x y z xy z +−−−−52. 分解因式：()222223691x y x y −+−53.分解因式：2222224x y x z y z z −−+54.分解因式：232232a b abc d ab cd c d −+−55.分解因式：22224946a b c d ac bd −+−++56.分解因式：221x ax x ax a +++−−57.分解因式：222332154810ac cx ax c +−−58.分解因式：22abx bxy axy y +−−59.分解因式：()()x x z y y z +−+60. 分解因式：333333()()()a b b c c a a b c ++++++++61.分解因式：3322()()ax y b by bx a y +++62.分解因式：2231()b a x abx +−−63.分解因式：22(3)(43)x ab x a b −+−64.分解因式：2222()()ab c d a b cd −−−65.分解因式：3254222x x x x x −−++−66.分解因式：222(1)()ab x x a b +++67.分解因式：222222()()ax by ay bx c x c y ++−++68.分解因式：()()()bc b c ca c a ab a b ++−−+69. 分解因式：()222124m x mx m −−−+70.分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++71.分解因式：2222()abcx a b c x abc +++72.分解因式：2222(4)8(4)15x x x x x x ++++++73.分解因式：2222222(61)5(61)(1)2(1)x x x x x x ++++++++74.分解因式：2()2a b x ax a b −+++75.分解因式：2222()3103x a b x a ab b ++−+−76.分解因式：()221999199911999x x −−−77.分解因式：22276212x xy y x y −++−−78.分解因式：22121021152x xy y x y −++−+79.分解因式：22534x y x y −+++80.分解因式：226731385x xy y x y −−++−81.分解因式：224434103x xy y x y −−−+−82.分解因式：22344883x xy y x y +−+−−83.分解因式：2265622320x xy y x y −−++−84.分解因式：226136222320x xy y x y −++−+85.分解因式：22223345a b c ab ac bc +++++86.分解因式：222311642x xy y xz yz z −+−−−87.分解因式：222695156x xy y xz yz z −+−++88.分解因式：2222372x y z xy yz xz −−+++89.分解因式：22265622320x xy y xz yz z −−−−−90.分解因式：222695156x xy y xz yz z −+−++91.分解因式：332x x ++92.分解因式：3234x x +−93.分解因式：9633x x x ++−94.分解因式：432433x x x x ++++95. 分解因式：432234232a a b a b ab b ++++96. 分解因式：444a b +97. 分解因式：44x +98. 分解因式：12631x x −+99. 分解因式：841x x ++100. 分解因式：422411x x y y −+101. 分解因式：4224(1)(1)(1)x x x ++−+−102. 分解因式：22(1)(1)4m n mn −−+103. 分解因式：412323x x −+104. 分解因式：42511x x −+105. 分解因式：444m n +106. 分解因式：422241x x ax a −++−107. 分解因式：2284025a ax xy y −−−108. 分解因式：22a ax xy y ++−109. 分解因式：2232x mx mx x −+−+110. 分解因式：()2232x a x a b b −−+−111. 分解因式：()()()2212121a a b a a b −−+−−112. 分解因式：22226x ax bx a ab b +−−−+113. 分解因式：4222x ax x a a −++−114. 分解因式：()32322x x a x a −++−115. 分解因式：222232x y x y xy xy x y ++++++116. 分解因式：22222a b ab ab a b ++−−−117. 分解因式：3222222x x y x z xz xyz y z yz −+−−++118. 分解因式：()()()2222abc a b c b c a c a b ++++++119. 分解因式：32539x x x ++−120. 分解因式：32256x x x +−−121. 分解因式：32694x x x −+−122. 分解因式：3210x x x +−−123. 分解因式：3487x x −−124. 分解因式：432262x x x x −−−+125. 分解因式：343115x x −+126. 分解因式：3292624x x x +++127. 分解因式：32252x x x −−−128. 分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++−129. 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++130. 分解因式：222(231)22331x x x x −+−+−131. 分解因式：2(2)(3)(4)(6)42x x x x x ++++−132. 分解因式：4(1)(21)(31)(41)6x x x x x ++−−+133. 分解因式：()()22216112a a a a a ++−++134. 分解因式：()()2254272x x x x −+−−−135. 分解因式：2244661124864x y x y x y −+−136. 分解因式：168243528x x y y −−137. 分解因式：()()222224x xy y xy x y ++−+138. 求证：(2016)(2017)(2018)(2019)1n n n n +++++是一个完全平方数.139. 计算：(472)(692)(8112)...(199419972)(362)(582)(7102) (199319962)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+140. 计算：44444444(1064)(1864)(2664)(3464)(664)(1464)(2264)(3064)++++++++141. 分解因式：432227447x x x x −−−+142. 分解因式：435159x x x ++−143. 多项式32226x x x k +−+有一个因式是21x +，求k 的值.144. 若()()x a x b k −−−中含有因式x b +，求用a 、b 表示k 的式子.145. 21y x −+是2244xy x y k −−−的一个因式，求k 的值.146. 设多项式324715ax bx x +−−含有因式31x +、23x −，试试将此多项式因式分解.147. 已知关于x 、y 的二次式22754324x xy my x y ++−+−可分解为两个一次因式的乘积，求m 的值.148. 多项式2256x axy by x y ++−++的一个因式是2x y +−，试确定a b +的值.149. 已知225x x ++是42x ax b ++的一个因式，求a b +的值.150. 若多项式432511x x x mx n −+++能被2(1)x −整除，求m n +的值.。
初一因式分解试题及答案
初一因式分解试题及答案一、选择题1. 将多项式 \(2x^2 + 4x + 2\) 因式分解后，正确的结果是：A. \(2x(x + 2) + 2\)B. \(2(x^2 + 2x + 1)\)C. \(2(x + 1)^2\)D. \(2x^2 + 4x + 2\)答案：C2. 多项式 \(x^2 - 4\) 因式分解后为：A. \((x - 2)(x + 2)\)B. \((x + 2)^2\)C. \(x(x - 4)\)D. \((x - 2)^2\)答案：A3. 将 \(3x^2 - 12\) 因式分解，正确的选项是：A. \(3x(x - 4)\)B. \(3x(x + 4)\)C. \(3(x^2 - 4)\)D. \(3(x - 2)(x + 2)\)答案：D4. 多项式 \(x^2 + 5x + 6\) 因式分解后为：A. \((x + 2)(x + 3)\)B. \((x - 2)(x - 3)\)C. \((x + 2)(x - 3)\)D. \((x - 2)(x + 3)\)答案：A二、填空题1. 将 \(4x^2 - 12x + 9\) 因式分解，结果为 \(\boxed{(2x - 3)^2}\)。
2. 将 \(x^2 - 6x + 9\) 因式分解，结果为 \(\boxed{(x - 3)^2}\)。
3. 将 \(2x^2 + 8x + 8\) 因式分解，结果为 \(\boxed{2(x + 2)^2}\)。
4. 将 \(x^2 - 10x + 25\) 因式分解，结果为 \(\boxed{(x - 5)^2}\)。
三、解答题1. 因式分解 \(x^2 - 7x + 12\)。
答案：\((x - 3)(x - 4)\)2. 因式分解 \(4x^2 - 20x + 25\)。
答案：\((2x - 5)^2\)3. 因式分解 \(3x^2 - 12x + 12\)。
答案：\(3(x - 2)^2\)4. 因式分解 \(a^2 - 4b^2\)。
因式分解专题复习及讲解(很详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6) a 3±3a 2b+3ab 2±b 3=(a±b)3．例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
串讲03 因式分解(9个常考点 5种重难点题型 2个易错)七年级数学上学期期中考点(沪教版2024)
请你选择一种方法因式分解：
mx － my ＋ nx － ny ；
【解】 mx － my ＋ nx － ny ＝( mx － my )＋( nx － ny )
＝ m ( x － y )＋ n ( x － y )＝( x － y )( m ＋ n ).
(1)3.2×202.4＋4.7×202.4＋2.1×202.4；
【解】 原式＝202.4×(3.2＋4.7＋2.1)
＝202.4×10＝2 024.
(2)36.8×
＋20.2×
【解】 原式＝
＝
×55＝13.
－2×来自.×(36.8＋20.2－2)
题型二：变形后利用提公因式法分解因式计算
B. 都是乘法运算
C. ①是因式分解，②是乘法运算
D. ①是乘法运算，②是因式分解
考点2 公因式的定义
4. [2023·永州]2 a2与4 ab 的公因式为
2a
5. 8 xmyn－1－12 x3 myn 各项的公因式是( D
A. xmyn
B. xmyn－1
C. 4 xmyn
D. 4 xmyn－1
2x3–2x2y+8y–8x
解
6k2+9km – 6mn–4kn
=2(x3–x2y+4y–4x)
=(6k2+9km) – (6mn+4kn)
=2[(x3–x2y) +(4y–4x)]
=3k(2k+3m) –2n (3m+2k)
=2[x2(x-y)-4(x-y)]
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《因式分解综合训练》例题精讲与同步练习
因式分解综合训练
一、 本节的重点是因式分解的综合训练，重点和难点均在于四种因式分解方法的灵活运用。
四种方法分别是：提公因式法、运用公式法、分组分解法、形如x 2+（p +q ）x +pq 的二次三项式的因式分解（也就是十字相乘法）。
1. 因式分解时要注意四种方法的使用次序：①先提公因式②再运用公式③再用十字相
乘法④最后考虑分组分解法
2. 三项式通常用公式法或十字相乘法分解因式；
四项或四项以上的式子通常用分组分解法。
3. 因式分解一定要彻底，不可半途而废。
4. 因式分解最终结果一定要进行整理：
如果有同类项，应当合并； 如果在相同因式，如：（x +y ）（x +y ）（x －y ）应当写成（x +y ）2（x －y ）； 如果有中括号应当去掉中括号…… 总之应当满足最简原则！
二、例题分析（例题较难，练习题会相对容易些） 例2 分解因式：－2x 3+4x 2－10x
解：原式=－2x （x 2－2x +5） 此题中公因式为－2x ，因此括号中所有项均要变号 例3 分解因式：－7（m －n ）3+21（n －m ）2－28（n －m ）3
解：原式=7（n －m ）3+21（n －m ）2－28（n －m ）3
=7（n －m ）2[])(43)(m n m n --+- 这里易误把公因式当成（n －m ）2
=7（n －m ）2（－3n +3m +3） 这里产生了新的公因式：－3 =－21（n －m ）2（n －m －1）
例4 分解因式：－x 2－4y 2+4xy
解：原式=－（x 2－4xy +4y 2） 注意因式分解的思维顺序：先提公因式
=－（x －2y ）2
例5 分解因式：－3x 7+24x 5－48x 3
解：原式= －3x 3（x 4－8x 2+16） 先提公因式
= －3x 3（x 2－4）2 x 4－8x 2+16可用完全平方公式分解
= －3x 3[]2
)2)(2(-+x x x 2－4还可以用平方差继续分解
= －3x 3（x +2）2（x －2）2
例6 分解因式：9m 2－6m +1－n 2
解：原式=（9m 2－6m +1）－n 2
=（3m －1）2－n 2 =（3m +n －1）（3m －n －1）
例7 ax 2+ay 2－2axy －az 2
解：原式=a （x 2+y 2－2xy －z 2） 先提公因式
= a [（x 2+y 2－2xy ）－z 2] 四项式用分组分解法进行分解 =a [（x －y ）2－z 2] = a （x －y +z ）（x －y －z ）
例8 若x 2+y 2－4x －6y +13=0，求x +y 的值。
此题要用到拆项的思想
解：x 2+y 2－4x －6y +13 没学过的同学可以不看 =（x 2－4x +4）+（y 2－6y +9） 将13拆成两项4、9 =（x －2）2+（y －3）2 分别形成两个完全平方式 ∵（x －2）2+（y －3）2=0
∴⎩⎨⎧=-=-0302y x
解得⎩
⎨⎧==32
y x
∴x +y =2+3=5
例9 分解因式：x 2+xy －12y 2
解：原式=（x －3y ）（x +4y ） 此题易错把结果写成（x －3）（x +4），所以建议你在每一例的顶部写上此列所代表的项中的字母
例10 分解因式：x 2－
61x －6
1
解：原式=（x －2
1
）（x +31）
此题的系数是分数，如果你不习惯分数形式的十字相乘，也可先提出此分数，解题过程如下：
解：原式=
61（6x 2－x －1）=6
1
（2x －1）（3x +1） 例11 分解因式：（x 2－4x ）2－2（x 2－4x ）－15
解：原式=[（x 2－4x ）+3 ] [（x 2－4x ）－5 ]
把（x 2－4x ）看成一个整体，整个式子看成一个二次三项式
=（x 2－4x +3）（x 2－4x －5）
因式分解一定要彻底，这两个式子可分别用十字相乘法分解
=（x －1）（x －3）（x +1）（x －5）
例12 已知：a 3+a 2b +ab 2+b 3=20，a 2+b 2=10，求a +b
解：∵a 3+a 2b +ab 2+b 3
=a 2（a +b ）+b 2（a +b ） =（a +b ）（a 2+b 2）
∴a +b =2
23223b a b ab b a a ++++=10
20=2 例13 已知x 4+4x 2+3x +4有一个因式是x 2+ax +1，求a 的值及另一个因式。
解：设另一个因式为x 2+bx +4 想一想：为什么可以这样假设？ 则：x 4+4x 2+3x +4=（x 2+ax +1）（x 2+bx +4） =x 4+（a +b ）x 3+（ab +5）x 2+（4a +b ）x +4
∴⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+=+34450b a ab b a
解得：⎩
⎨⎧-==11b a
∴a =1，另一个因式是x 2－x +4
1
1-3
4x y 1
3
-
1
21
1
x 2-4x
11
3-5
三、练习题
1、把下列各式分解因式： （1） x 2－2x －63 （2） a 3－ab 2－a +b （3） （x 2+6）2－25x 2 （4） –x 3y 3+2x 2 y 2 –xy （5） a 2+a +
4
1 （6） x 4 – 2x 2+1 （7） a 2–3a –ab +3b （8） y
2 – x 2 + 6x – 9
（9） （x 2+x ）2 –14（x 2+x ）+24
2、若mx 2+19x －14有一个因式是x +7，求m 的值和另一个因式。
四、练习题解答 1、
（1） 原式=（x +7）（x －9）
（2） 原式=（a 3－ab 2）－（a －b ）
=a （a 2－b 2）－（a －b ） =a （a +b ）（a －b ）－（a －b ）
=（a －b ）[a （a +b ）－1] 因式分解最后一定要整理 =（a －b ）（a 2+ab －1）
（3） （x 2+6）2－25x 2
=[（x 2+6）+5x ][ （x 2+6）－5x ] 先用平方差公式进行分解 =（x 2+5x +6）（x 2－5x +6） 显然这两个式子都可以用十字相乘进行分解 =（x +2）（x +3）（x －2）（x －3） （4） –x 3y 3+2x 2 y 2 –xy
=－xy （x 2y 2－2xy +1） 先提公因式，然后才可看到一个完全平方式 =－xy （xy －1）2 （5） a 2+a +
41
=（a +2
1）2 这是一个完全平方式，类似的式子还有：a 2－a +4
1
；a 2±4a +4；4a 2±4a +1
（6） x 4 – 2x 2+1
=（x 2－1）2 因式分解要彻底，x 2－1可用平方差公式分解 =[（x +1）（x －1）]2 =（x +1）2（x －1）2 （7） a 2–3a –ab +3b
=（a 2–3a ）－（ab －3b ） =a （a －3）－b （a －3） =（a －3）（a －b ） （8） y 2 – x 2 + 6x – 9
= y2－（x 2 －6x +9）
= y2－（x－3）2
=（y+x－3）（y－x+3）
第7、8题均为分组分解法但类型不同。
第7题是分组后可提公因式，第8题是分组后可运用公式。
分组分解通常是这两种类型，中考题也常有出现考分组分解的选择、填空题。
（9）（x 2+x）2 –14（x2+x）+24 此题类似于例10
=[（x 2+x）－2 ] [（x 2+x）－12 ]
=（x 2+x－2）（x 2+x－12）
=（x－1）（x+2）（x+4）（x－3）
２、
设另一个因式为mx－2，则：
mx2+19x－14=（x+7）（mx－2）=mx2+（7m－2）x－14
∴7m－2=19，解得：m＝３
∴m的值为３，另一个因式为３x－2。