效用函数

令a 1 得u(x) -b c b x c 2
整理得 x u(x)

2c b

1 b2
u(x)
令Z

x u(x)
,
A

2c b
,B

1 b2
得到：Z

A
B u( x)
设 0.4,查效用函数表，得到效用曲线上的64个点的坐标，由最小二乘法，分别计算得：
u(x)

1 64
得到归一化决策矩阵：
X
(xij ) 1.000
0.500
0.000
0.760 0.440 0.100
• 查效用函数表，将归一化矩阵的xij转化为相应的效用值u(xij)， 不能直接查到的取其邻近值，得到相应效用值，用线性内插法得 出结果：
0.7338 0.6094 0.4306
个值x1，x2，用线性内插法计算,如下：������
效用函数是单调增加函数，有u(x1)<u(xj)< u(x2)
u(x2 ) u(x j ) u(x2 ) u(x1 _

x2 x j x2 x1
u(xj )

u(
x2
)

u(
x2
)

u(
x1
)
x2 x2

xj x1
• 例：某企业欲投产一种新产品，有三种方案可供选择。假设市场 划分为三种状态，即市场畅销、一般、滞销，三种方案在不同的 市场状态下所获利润额，根据预测分析可以表示决策矩阵
1-p1,o2）T2=(p2,o1；1-p2,o2)，并假定o1 o2
• 1，若p1=p2 ，则称事态体T1无差异与T2，记作T1∼T2
• 2，若p1> p2 ，则称事态体T1优于T2，记作T1 T2反之，称事态体
T1劣于T2，记作T1 ≺ T2。
1.2基本概念与符号
• （4）设有两个简单事态体T1,T2，仅具有一个相同结果值，另一个
• 效用函数主要用于解决随机决策问题，在进行决策分析时，主 要步骤分别是：
得到确定 当量
效用测定
查效用函数 表或效用曲
线
效用函数 值
决策效用 矩阵
画出决策 树
1.2基本概念与符号
• （1）事态体的概念
• 具有两种或两种以上的有限个可能结果的方案（或事情），称为事态体 。 p1，设p事2，态…体，的pnn，个并可且能结jn1 p果j 1值为o1，，o则2，事o态3，体…记，作on，相应出现的概率为
x0.25 x0 x0.5 x0

x0.5 x0 x x0
x0.75 x0.5 x x0.5

x0.5 x0 x x0
于是可以得到:
x0.25 xo (x0.5 x0 ) 2 x0.75 x0.5 (x x0.5 ) 2 2
• 求出幂函数型效用函数的拟合表达式，
由A

2c b
,
B

1 b2
, 解得b

1 1.3279，c ( Ab )2 0.0796
B
2
得到 0.4的效用函数的拟合表达式为：
u(x) -0.3749 1.3279 x 0.0796
• （3）对数函数型效用曲线
• y=lnt
(0<t<+∞)
i 1
i 1
64
u(xi ) u X i X
b i1 64
1.2323; a u b X 0.3073
(Xi X )2
i 1
u(x) 0.30731.2323ln(x 0.8)
• 三、进行决策树分析
• 根据各种状态与相应的效用值画出决策树图，计算各方案的期 望效用值，然后进行修枝选方案。


U u(xij ) 1.000 0.6715 0.0000
0.8750 0.6010 0.2070
• （2）幂函数型效用曲线 • 幂函数y=ta (0<a<1)
t

y
T Y
c ca
Y

ca

(T

c)a
令Y 1 u(x)(b 0),且T x,则u(x) -bca b(x c)a (0 a 1) b
• 在实际应用中，为了使用方便，将对应于不同权衡指标值的效用函数 值编制成表格，便于使用查找，这种表格称之为效用函数表。
• 实际构造效用函数时，取n=6定出效用曲线上的26（64）个点，效用 函数的精度已经足够。书后附表6给出了n=6对于不同的权衡指标值 ε(ε<0.5)的效用函数值。
• 查表方法 • 将条件结果值oj归一化处理 • 利用标准效用测定法，确定决策者的确定当量，归一化得 • 到权衡指标值ε，并在效用函数表中找到相应的(ε<0.5)列 • 若能够直接查到xj值，则该x值所在同一行位于u(xj)列的数值， • 即为所需查找的效用函数值u(xj)；否则找出同一列中相邻近值两
t T c y Y ln
c
Y


ln
c

ln(T

c)
令Y u(x) (b 0),T x则有u(x) b ln c b ln(x c) b
再令a b ln c,上式即为：u(x) a b ln(x c)
根据效用函数的性质，有u(1)
骤如下：
• ①设u(o*)=1,u(o。)=0；
• ②建立简单事态体（x， o* ，1-x， o。 ），其中x称为可调概率
• ③通过反复提问，不断改变可调概率值x，让决策者权衡比较，当
x=pj 时，得到无差异关系oj ∼（pj， o* ，1- pj， o。）
• ④ 测得结果值oj的效用u(oj)= pj u(o*)+（ 1- pj ）u(o。)= pj
结果值不相同，即T1=（p1,o1；1-p1,o2）T2=(p2,o1；1-p2,o2)，其中o2
o1 o0 • 若p1=p2 ，则称事态体T1优于T2，记作T1 T2 • 若T1∼T2 ，则一定有p1> p2 • 另外还具有连通性、传递性、复合性、相对有序性。
1.2基本概念与符号
1.2基本概念与符号

1,
u
(
)

0.5
:
得方程组b
b ln ln c
c b
b ln(1 c) 1 ln( c) 0.5

c

1

2
2
u(x) a b ln(x 2 ) 1 2
令X ln(x 2 )得线性函数：u a bX 1 2
由最小二乘估计，分别计算得
1.2基本概念与符号
• (2) 事态体的比较（严格序“ ”）
•设o1，o2是事态体T的任意两个结果值，根据决策目标和决策者的偏好，
o1和o2有如下关系：
•1、o1 o2
2、 o1 ≺ o2
3、 o1∼o2
4、o1 ≼ o2
5、o1 ≽ o2
• （3）设两个简单事态体T1,T2具有相同的结果值o1 o2，即T1=（p1,o1；
效用函数
刘孔柏
目录
• 第一节效用及效用函数概述 • 第二节效用函数决策模式 • 第三节效用函数类型 • 第四节决策方案的敏感性分析
假如你打算买台笔记本电脑，你会选择哪 个牌子的？
1.1效用及效用函数概述
• 在经济学中效用（utility）：商品或劳务满足人的欲望或需 要的能力。
• 效用完全是消费者的一种主观心理感受。
• 例：某公司试制某种新产品，根据市场预测，畅销时可获利10 万元，滞销时将亏损1万元，该公司另有一个无风险方案，即如 果生产某种老产品，可以获利5万元。
不妨设o* =10， o。 =-1，这个风险方案可表示为事态体（p， o* ，1- p， o。 ）
设o=5，于是有o* o o。 需要测定效用值u(o)，经过反复提问，让
o o
o0 o0

归一化变换后，效用曲线上的三个已知点对应于变换后的三个已知点 (0,0),(ε,0.5),(1,1)，在坐标平面上用横轴表示归一化值x，用纵轴表 示效用函数值u(x)，就可以粗略地画出相应的效用函数曲线。
• 为了较精确地绘出效用函数曲线，仅有上述三个点还远远不够， 还需要补充足够的点，为此将纵轴效用函数值区间[0,1]，划分 为4等份，相应地得到4个效用值0.25,0.5,0.75,1相应的横坐标 值依此记为x0.25,x0.5,x0.75,x*,按照效用函数的构造假设，根据统 一标准用线性内插方法计算其他效用函数值，即按下列比例关系 式计算x0.25和x0.75
2效用函数决策模式
• 一、效用测定
• 标准效用测定方法（简称V—M方法）——冯·诺依曼与莫根斯坦
• 设有决策系统,其结果值集合为O={o1，o2，…，on}，
• 记o* ≽max {o1，o2，…，on }
o。≼min {o1，o2，…，on }
• 用标准效用测定法测定结果值oj(j=1,2, …,n)的效用值u(oj)，其步
（单位：万元）
9.5 6.2 2.0 O (oij )33 20.0 7.5 5.0
14.0 6.0 2.5
根据标准效用法测定，该企业的决策者认为，某风险方案盈利20万 元和亏损5万元的机会各占一半，等价于稳获利4.5万元的无风险方 案。求该企业决策者效用矩阵。
64 i 1
u(xi )

0.5078Z

1 64
64 i 1
xi u(xi )