第三章 效用函数(数学、微观经济学)1

①取
O＝（o1, o2 , …, on） o* ≽max{o1, o2 , …, on }
o0 ≼min{o1, o2 , …, on } 并令 u(o*)=1，u(o0)= 0；
② 构造简单事态体（0.5, o*； 0.5, o0），用确
定当量法找到该事态体的确定当量oξ，使
得：
oξ～（0.5, o*； 0.5, o0）
§3.1 理性行为公理
在随机决策中，决策系统（Ω，A，F）中的 决策方案均是在状态空间背景中加以比较， 并按照某种规则，选出决策者最满意的行动 方案。
在本章中，我们用事态体表示在随机性状态 空间中的行动方案，方案的比较表示为事态 体的比较，并引入效用的概念，用以衡量事 态体（行动方案）的优劣。
§3.1 理性行为公理
且：p

n

pjqj
这里，qj(j=1, 2, …, n)为oj关
j1
于o*与o0的无差异概率。
3.1.3 事态体的基本性质
根据性质3. 3
比较一般事态体之间的优劣关系，可以转化 为比较简单事态体之间的优劣关系（将问题 简化）
得到事态体之间两两的优劣或无差异关系后， 再根据公理3.2（传递性）即可得到所讨论 事态体的排序。
表示任意事态体都不是无限优，也不是无限 劣。
§3.1 理性行为公理
3.1.3 事态体的基本性质
性质3.1
设事态体 T1＝（p, o1；1－p, o0 ） T2＝（x, o2；1－x, o0 ）
且 o1 o0 ， o2 o0 ，若o2 o1
则存在
x=p’＜p
使得
T1～T2
称x为可调概率值。
§3.1 理性行为公理
3.1.3 事态体的基本性质
性质3. 3
任一事态体无差异于一个简单事态体。
设有事态体T ＝（p1, o1；p2, o2 ；…；pn, on） 则必存在一个简单事态体
T’＝（p’, o*；1－p’, o0 ）～ T
其中： o* ≽max{o1, o2 , …, on }
o0 ≼min{o1, o2 , …, on }
T＝（p1, o1；p2, o2 ；…；pn, on） 特别当n＝ 2时，称 T为简单事态体，此时
T＝（p, o1；1－p, o2 ）
1．事态体的概念
事态体可以用树形图表示如下：
T 当n＝ 2时： T
p1 p
o1 o
2
︰
2
︰
︰
︰pn
︰
︰on
p
o1
1-p o
2
事态体集合Ŧ的性质
①在凸线性组合下，Ŧ是闭集。即： 若T1∈Ŧ，T2∈Ŧ，则当0≤λ≤1时，有 λT1 ＋(1－λ)T2∈Ŧ 两个事态体的凸线性组合仍是一个事态体。
矩阵O的第i行表示第i个可行方案的n个可能 结果值，即事态体
Ti＝（p1, oi1；p2, oi2 ；…；pn, oin） (i=1, 2, …, m)
决策就是要对这 m个事态体进行排序。 由第一节中的性质3.3知，存在简单事态体 T’，使得
Ti’＝（pi’, o*；1－pi’, o0 ）～ Ti 问题又化为对这m个简单事态体Ti’进行排序。
§3.2 效用函数的定义和构造
设有决策系统（Ω，A，F），在离散情况 下，结果值可以表示为决策矩阵：
o11 o12 ... o1n
O

(o )ij mn


o21
...
o22 ...
...
o2
n

... ...
om1
o m2
...
o mn

§3.2 效用函数的定义和构造
o0 o0

x x
0.5
0
x* x0
得到经归一化变换后的效用曲线上的三个点：
（0, 0）,（ ε, 0.5）,（1, 1）
u 1
0.5
0
ε
1
x
3.2.2 效用函数的构造
方法
⑤ 在新区间[0, ε] 和[ε, 1]按同样方法插入点
（ x0.25, 0.25）和（x0.75, 0.75），保持比例
§3.2 效用函数的定义和构造
3.2.1 效用和效用函数的概念 2. 效用函数的概念 定义3.6
若在事态体集合Ŧ上存在实值函数u，有： (1)对任意的T1、T2∈Ŧ，T1 T2 当且仅当
u(T1)> u(T2) (2)对任意的T1、T2∈Ŧ，且0≤λ≤1，有 u[λT1 ＋(1－λ)T2]=λu(T1)＋(1－λ)u(T2)
关系
x 0.25

x 0

x 0.5

x 0

x0.5 x0 x* x0
x0.75 x0.5 x0.5 x0
x* x0.5
x* x0
计算得： x0.25 2， x0.75 2 2
效用曲线上新增两个点： （ ε2, 0.25）,（2ε－ε2, 0.75）
则称u(T)为定义在Ŧ上的效用函数。
3.2.1 效用和效用函数的概念
3. 估计效用函数的方法
（1）标准效用测定法(概率当量法，V－M法)
思路：对于给定的结果值，测定其效用值。
设有决策系统（Ω，A，F），其结果值集
合为：
O＝（o1, o2 , …, on）
记：
o* ≽max{o1, o2 , …, on }
即若 T1、T2 、T3∈Ŧ，且T1 T2 ，T2 T3 ， 则必有 T1 T3 。 表示任意多个事态体的优劣是可以排序的 （若有些事态体无差异，可排在同一位置。）
满足公理3.1和公理3.2的事态体集合称为全序集。
§3.1 理性行为公理
3.1.2 理性行为公理 公理3.3（复合保序性，替代性）
若 T1，T2 ，Q∈Ŧ，且0＜p＜1，则T1 T2 当且仅当 pT1 ＋(1－p)Q pT2 ＋(1－p)Q 。
2．事态体的比较
定义 3.4
设两个简单事态体 T1，T2仅具有一个相同结 果值，另一个结果值不相同，即 ：
T1＝（p1, o1；1－p1, o0 ） T2＝（p2, o2；1－p2, o0 ） 且o2 o1 o0，
①若p1≤p2，则事态体T2优于T1，记作T2 ②若T1～T2 ，则必有p1＞p2 。
表示任意事态体的优劣关系是可以复合的， 复合后的事态体保持原有的优劣关系不变。
§3.1 理性行为公理
3.1.2 理性行为公理 公理3.4（相对有序性，连续性，偏好的有界
性） 若 T1，T2 ，T3∈Ŧ，且T1 T2 T3 则存在数 p，q，0＜p＜l，0＜q＜1，使得：
pT1 ＋(1－p)T3 T2 qT1 ＋(1－q)T3
3.1.3 事态体的基本性质 性质3. 2（确定当量和无差异概率）
设事态体T＝（x, o1；1－x, o2 ）且o1 o2 。 则对于满足优劣关系o1 oξ o2的任意结果 值oξ，必存在x＝p（0＜p＜l），使得
T＝（p, o1；1－p, o2 ）～ oξ
称结果值oξ为事态体T的确定当量，称p为oξ 关于o1与o2的无差异概率。
其中：
o*
≽max i,j
{oij
}，
o0
≼min i,j
{oij
}
§3.2 效用函数的定义和构造
3.2.1 效用和效用函数的概念 1. 效用的概念 定义3.5
设决策问题的各可行方案有多种可能的结 果值o，依据决策者的主观愿望和价值倾 向，每个结果值对决策者均有不同的价值 和作用。反映结果值o对决策者的价值和 作用大小的量值称为效用。
2．事态体的比较
定义 3.3
设两个简单事态体 T1，T2具有相同的结果值 o1，o2，即 ：T1＝（p1, o1；1－p1, o2 ）
T2＝（p2, o1；1－p2, o2 ） 并假定o1 o2，则： ①若p1＝p2，称事态体T1无差异于T2，记作 T1～T2 。 ②若p1＞p2，称事态体T1优于T2，记作T1 T2； 反之，称事态体T1劣于T2，记作T1 T2。
第三章 效用函数
赵新泉 彭勇行主编
§3.1 理性行为公理
问题：
某公司拟推出一种新产品，经预测该产品在 市场看好的情况下，可以获利10万；在市场 前景较差时，将亏损1万元。市场看好和较 差的概率分别为0.6和0.4，是否推出该新产 品？
若另有一产品可稳获利2万元，推出哪种产 品更好？
这是一个随机决策问题。
3.1.1 事态体及其关系 1．事态体的概念 定义3.1
具有两种或两种以上有限个可能结果的方案 （或事情），称为事态体。 事态体中各可能结果出现的概率是已知的。
事态体即随机性状态空间中的行动方案。
1．事态体的概念
设某事态体的n个可能结果为：
o1, o2, …, on 各结果出现的概率是相应为：
p1, p2, …, pn 则该事态体记为：
称为可调概率； ③通过反复提问，不断改变可调概率值x，让
决策者权衡比较，直至当x= pj时 oj～（pj , o*；1－pj , o0）
④测得结果值oj的效用 u(oj)= pj = pj u(o*)＋(1－pj )u(o0)
3.2.1 效用和效用函数的概念
3. 估计效用函数的方法 （2）确定当量法(修正的V－M法) 思路：对于给定的效用值，测定其结果值。 步骤 ①设 u(o*)=1，u(o0)= 0； ②③对 通策于 过者给反权定复（衡o的提j～p比j效问,（较o用 ，*p，；j值 不,直1o断p－*至j；，改p当1j构,变－oo造0ξ结p=）j简,果ooj单时0值）事oξ态，体让决 ④得效用值pj对应的结果值为oj，即u(oj)= pj 。
②T＝(0, o1；0, o2 ；…；1, oj ；…；0, on)∈Ŧ 称T为退化事态体。 退化事态体仍属于事态体集合。