上海市交大附中高一(上)10月月考数学试卷(1)
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8．（5 分）设α：﹣1≤x≤3，β：x∈[m﹣1，2m+5]，α是β的充分条件，则 m∈ [﹣
1，0] ．
【分析】根据充分必要条件的定义可得关于 m 的不等式组，解出即可．
【解答】解：∵α：﹣1≤x≤3，β：m﹣1≤x≤2m+5，m∈R，
若α是β的充分条件，
令α：{x|﹣1≤x≤3}，β：{x|m﹣1≤x≤2m+5，m∈R，}
2017-2018 学年上海市交大附中高一（上）10 月月考数学试卷
一、填空题（1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分）
1．（4 分）用列举法表示方程 2x2﹣3x﹣2=0，x∈R 的解集是
．
2．（4 分）已知集合 A={1，﹣m}，B={1，m2}，且 A=B，则 m 的值为
．
3．（4 分）设集合 A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）
【点评】本题考查集合的交集并集中的元素个数问题，是中档题．解题时要认真 审题，注意韦恩图在解题中的灵活运用．
11．（5 分）设[x]表示不超过 x 的最大整数，则不等式[x]2﹣5[x]+6≤0 解集为 {x|2≤x＜4} ． 【分析】利用不等式[x]2﹣5[x]+6≤0 求出[x]的范围，然后根据新定义[x]表示 不超过 x 的最大整数，得到 x 的范围． 【解答】解：不等式[x]2﹣5[x]+6≤0 化为（[x]﹣2）（[x]﹣3）≤0 即 或 解得：2≤[x]≤3 或无解，所以解集为 2≤[x]≤3，根据[x]表示不超过 x 的最大 整数得不等式的解集为：2≤x＜4 故答案为：{x|2≤x＜4} 【点评】考查学生理解新定义的能力，会求一元二次不等式的解集．
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围
400） 500） 700） 900）
获得奖券的金额（元） 30
60
100
130 …
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为
400 元的商品，则消费金额为 320 元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110（元），
设购买商品得到的优惠率=
，试问：
7．（5 分）已知 x∈R，命题“若 2＜x＜5，则 x2﹣7x+10＜0”的否命题是 若 x≤2 或 x≥5，则 x2﹣7x+10≥0 ． 【分析】根据原命题，同时否定条件和结论写出否命题，从而可得答案． 【解答】解：原命题为：“若 2＜x＜5，则 x2﹣7x+10＜0”， 否定它的条件和结论，得： 否命题为：“若 x≤2 或 x≥5，则 x2﹣7x+10≥0”， 故答案为：若 x≤2 或 x≥5，则 x2﹣7x+10≥0． 【点评】本题以命题为载体，考查命题的几种形式，解题的关键是正确写出命题 的各种形式．注意区分否命题与命题的否定．
∴用列举法表示方程 2x2﹣3x﹣2=0，x∈R 的解集是{﹣ ，2}．
故答案为：{﹣ ，2}． 【点评】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二次方 程、集合的列举法的合理运用．
2．（4 分）已知集合 A={1，﹣m}，B={1，m2}，且 A=B，则 m 的值为 0 ． 【分析】由 A={1，﹣m}，B={1，m2}，且 A=B，知 m2=﹣m，由此能求出实数 m 的值，m=﹣1 不满足集合中元素的互异性，舍去． 【解答】解：∵A={1，﹣m}，B={1，m2}，且 A=B， ∴m2=﹣m， 解得 m=﹣1，或 m=0． m=﹣1 不满足集合中元素的互异性，舍去． ∴m=0 符合题意． 故答案是：0． 【点评】本题考查实数 m 的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意集合相 等的概念的灵活运用．
③若 a＞b＞c＞0，则
；
④若 a＞0，b＞0，a+b＞4，ab＞4，则 a＞2，b＞2．
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（5 分）若实数 a，b 满足 a≥0，b≥0，且 ab=0，则称 a 与 b 互补，记φ（a，
b）=
﹣a﹣b 那么φ（a，b）=0 是 a 与 b 互补的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
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【分析】赞成 A 的人数 30，赞成 B 的人数为 33，设对 A、B 都赞成的学生数为 x， 则对 A、B 都不赞成的学生数 x+1，结合韦恩图求解即可． 【解答】解：由题意：赞成 A 的人数 30，赞成 B 的人数为 33， 设对 A、B 都赞成的学生数为 x，则对 A、B 都不赞成的学生数 x+1， 如图可得 x+30﹣x+33﹣x+ x+1=50 所以 x=21． 故答案为：21．
13．（5 分）若集合 P 不是集合 Q 的子集，则下列结论中正确的是（ ）
A．Q⊆P B．P∩Q=∅ C．P∩Q≠∅ D．P∩Q≠P 14．（5 分）集合 A={x|4﹣|2x﹣1|∈N*}，则 A 的非空真子集的个数是（ ）
A．62 B．126 C．254 D．510
15．（5 分）已知 a，b，c∈R，则下列三个命题正确的个数是（ ） ①若 ac2＞bc2，则 a＞b； ②若|a﹣2|＞|b﹣2|，则（a﹣2）2＞（b﹣2）2
当
，时⇔a∈（﹣ ，1）．
综上：实数 a 值范围是
．
给答案为：
．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质的应用，考查分类讨论思想的应用，转 化思想的应用．
10．（5 分）向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度，有如下结果：赞成 A 的人 数是全体的五分之三；赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人；另外，对 A、B 都不赞成的 学生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人．则对 A、B 都赞成的学生 有 21 人．
三、解答题 17．（14 分）已知关于 x 的不等式
的解集为 M
（1）a=4 时，求集合 M； （2）若 3∈M 且 5∉M，求实数 a 的取值范围． 18．（14 分）解关于 x 的不等式（a﹣2）x2+（2a﹣1）x+6＞0． 19．（16 分）已知函数 f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （1）求不等式 f（x）≥1 的解集； （2）若不等式 f（x）≥x2﹣x+m 的解集非空，求 m 的取值范围． 20．（14 分）某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的 80%出售，同时， 当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券： 消费金额（元）的范 [200， [400， [500， [700， …
4．（4 分）已知关于 x 的一元二次不等式 ax2+x+b＞0 的解集为（﹣∞，﹣2）∪ （1，+∞），则 a﹣b= 3 ． 【分析】根据题意知﹣2 和 1 是对应方程 ax2+x+b=0 的实数根，由根与系数的关 系求出 a、b 的值，再计算 a﹣b． 【解答】解：关于 x 的一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二次不等式 ax2+x+b＞0 的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1， +∞）， ∴﹣2 和 1 是对应方程 ax2+x+b=0 的实数根， 由根与系数的关系知，
∩C= 4．（4 分）已知关于 x 的一元二次不等式 ax2+x+b＞0 的解集为（﹣∞，﹣2）∪
（1，+∞），则 a﹣b=
．
5．（4 分）设全集 U={（x，y）|y=x+1，x，y∈R}，M={（x，y）| =1}，则∁UM=
．
6．（4 分）不等式
的解集是
．
7．（5 分）已知 x∈R，命题“若 2＜x＜5，则 x2﹣7x+10＜0”的否命题是
，
解得 a=1，b=﹣2； ∴a﹣b=1﹣（﹣2）=3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系和应用问题，是基础题．
5．（4 分）设全集 U={（x，y）|y=x+1，x，y∈R}，M={（x，y）| {（2，3）} ．
=1}，则∁UM=
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【分析】化简集合 M，求出它的补集即可． 【解答】解：全集 U={（x，y）|y=x+1，x，y∈R}， M={（x，y）| =1}={（x，y）|y=x+1 且 x≠2}，
．
8．（5 分）设α：﹣1≤x≤3，β：x∈[m﹣1，2m+5]，α是β的充分条件，则 m∈
．
9．（5 分）若对任意 x∈R，不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0 恒成立，则实
数 a 值范围是
．
10．（5 分）向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度，有如下结果：赞成 A 的人
数是全体的五分之三；赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人；另外，对 A、B 都不赞成的
学生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人．则对 A、B 都赞成的学生
有
人．
11．（5 分）设[x]表示不超过 x 的最大整数，则不等式[x]2﹣5[x]+6≤0 解集
为
．
12．（5 分）已知有限集 A={a1，a2，a3…，an}（n≥2）．如果 A 中元素 ai（i=1，2， 3，…，n）满足 a1a2…an=a1+a2+…+an，就称 A 为“复活集”，给出下列结论：
之间的大小关系； （3）设正整数 n 满足条件：对集合{t|0＜t＜2017}内的每个 m∈N*，总存在 k∈ N*，使得（m，2017）是（k，n）的“下位序对”，且（k，n）是（m+1，2018） 的“下位序对”，求正整数 n 的最小值．
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2017-2018 学年上海市交大附中高一（上）10 月月考数 学试卷
参考答案与试题解析
上海市交大附中2017-2018学年高一上学期第一次月考数
上海交通大学附属中学2017-2018学年度第一学期高一数学月考一 试卷一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 用列举法表示方程22320,x x x R --=∈的解集是____________.2. 已知集合2{1,},{1,}A m B m =-=，且A B =，则m 的值为____________.3. 设集合{1,2,6},{2,4},{|15,}A B C x x x R ===-≤≤∈，则()A B C =____________.4. 已知关于x 的一元二次不等式20ax x b ++>的解集为(,2)(1,)-∞-+∞，则a b -=____________.5. 设集合{}3(,)|1,(,)12y U x y y x A x y x ⎧-⎫==+==⎨⎬-⎩⎭，则U A =ð____________.6. 不等式21x≥+____________. 7. 已知x R ∈，命题“若25x <<，则27100x x -+<”的否命题是____________.8. 设[]:13,:1,25x x m m αβ-≤≤∈-+，α是β的充分条件，则m ∈____________.9. 若对任意x R ∈，不等式22(1)(1)10a x a x ----<恒成立，则实数a 值范围是____________.10. 向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人. 问对A 、B 都赞成的学生有____________人11. 设[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[5.5]5,[ 5.5]6=-=-），则2[]5[]60x x -+≤的解集为____________.12. 已知有限集123{,,,,}(2)n A a a a a n =≥. 如果A 中元素(1,2,3,,)i a i n =满足1212n n a a a a a a =+++，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎪⎪⎩⎭是“复活集”； ②若12,a a R ∈，且12{,}a a 是“复活集”，则124a a >； ③若*12,a a N ∈，则12{,}a a 不可能是“复活集”； ④若*i a N ∈，则“复活集”A 有且只有一个，且3n =.其中正确的结论是____________.（填上你认为所有正确的结论序号） 二、选择题（每题5分）13. 若集合P 不是集合Q 的子集，则下列结论中正确的是（ ）A. Q P ⊆B. PQ =∅ C. P Q ≠∅ D. P Q P ≠14. 集合{}*|4|21|A x x N =--∈，则A 的非空真子集的个数是（ ）A. 62B. 126C. 254D. 51015. 已知,,a b c R ∈，则下列三个命题正确的个数是（ ） ①若22ac bc >，则a b >；②若|2||2|a b ->-，则22(2)(2)a b ->-③若0a b c >>>，则a a cb b c+>+； ④若0,0,4,4a b a b ab >>+>>，则2,2a b >>A. 1B. 2C. 3D. 416. 若实数,a b 满足0,0a b ≥≥且0ab =，则称a 与b 互补，记(,)a b a b ϕ=-，那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ） A. 必要而不充分的条件 B. 充分而不必要的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件三、解答题17. （本题满分14分）已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M （1）4a =时，求集合M ；（2）若3M ∈且5M ∉，求实数a 的取值范围18. （本题满分14分）解关于x 的不等式2(2)(21)60a x a x -+-+>19. （本题满分16分）已知函数()|1||2|f x x x =+-- （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）若不等式2()f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围20. （本题满分14分）某商场在促销期间规定：商场内所有商品标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：4000.230110⨯+=（元），设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价。
2023-2024学年上海市高一上册10月月考数学试题 (2)(含解析)
2023-2024学年上海市高一上册10月月考数学试题一、填空题1．下面六个关系式：①{}a ∅⊆；②{}a a ⊆；③{}{}a a ⊆；④{}{,}a a b ∈；⑤{,,}a a b c ∈；⑥{,}a b ∅∈，其中正确的是__．【正确答案】①③⑤【分析】根据集合与集合，元素与集合的关系判断即可.【详解】空集是任何集合的子集，故①正确；由元素与集合的关系可知，{},{,,}a a a a b c ∈∈，故②错误，⑤正确；由集合与集合的关系可知，{}{},{}{,},{,}a a a a b a b ⊆⊆∅⊆，故③正确，④⑥错误；故①③⑤2．集合{}22,{M y y x N x y ==-+=∣∣，则M N ⋂=__．【正确答案】1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由函数的性质化简集合，再求交集.【详解】{}(]{21|2,2,|,3M y y x N x y ⎡⎫==-+=-∞===+∞⎪⎢⎣⎭，所以1,23M N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ．故1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．满足条件M ∪{1}＝{1,2,3}的集合M 的个数为________．【正确答案】2【详解】∵M ∪{1}={1,2,3}∴2∈M ，且3∈M∴集合M 可能为{2,3}或{1,2,3}故答案为24．写出2a >的一个必要非充分条件___________.【正确答案】1a >根据必要非充分条件的定义，知：21a a >⇒>，而1a >不一定有2a >，即1a >是2a >的一个必要非充分条件.【详解】∵21a a >⇒>，而2a >⇏1a >，∴1a >是2a >的一个必要非充分条件.故1a >本题考查了必要非充分条件，根据定义法写出一个必要非充分条件，属于简单题.5．设实数集上不等式2103x x+<-的解集为A ，则A =R ð___________.【正确答案】1[,3]2-【分析】本题先求出1(,)(3,)2A =-∞-+∞ ，再求R A ð即可.【详解】解：因为2103x x+<-⇔2103x x +>-⇔(3)(21)0x x -+>⇔12x <-或3x >因为实数集上不等式2103x x +<-的解集为A ，所以1(,)(3,)2A =-∞-+∞ ，所以1[,3]2R A -=ð故1[,3]2-本题考查求解分式不等式、集合的补集运算，是基础题.6．若关于x 的一元二次不等式2(1)40x k x +-+≤的解集为{2}，则实数k =________【正确答案】3-由题意利用判别式0∆=求出k 的值，再判断是否满足题意即可.【详解】关于x 的一元二次不等式2(1)40x k x +-+≤的解集为{2}，所以()214140k ∆=--⨯⨯=，解得3k =-或5k =；当3k =-时，不等式为2440x x -+≤，解集为{}2；当5k =时，不等式为2440x x ++≤，解集为{}2-，不合题意；综上知，实数3k =-，故答案为.3-7．命题“存在x ∈R ，使得x 2+2x+5=0”的否定是【正确答案】对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0．【详解】因为命题“存在x ∈R ，使得x 2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0．故答案为对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0．8．若实数,a b 满足1ab =,则222a b +的最小值为___________.【正确答案】【分析】直接利用均值不等式计算得到答案.【详解】222a b +≥==当222a b =时，即141422a b -⎧=⎪⎨⎪=⎩或141422a b -⎧=-⎪⎨⎪=-⎩时，等号成立.故答案为.本题考查了利用均值不等式求最值，意在考查学生对于均值不等式的灵活运用.9．已知,,a b c ∈R 则下列命题正确的个数是___________.①若22ac bc >，则a b >；②若22a b ->-，则()()2222a b ->-；③若0a b c >>>，则111a b c <<；④若0a >，0b >，4a b +>，4ab >，则2a >，2b >.【正确答案】3【分析】根据不等式的性质判断，错误的命题可举反例说明．【详解】①若22ac bc >，显然20c >，则a b >，正确；②若22a b ->-，显然20b -≥，根据不等式的乘方的性质有，则()()2222a b ->-，正确；③若0a b c >>>，由0a b >>，则a b ab ab >，即11b a >，同理由0b c >>得11b c <，所以111a b c <<，正确；④若0a >，0b >，4a b +>，4ab >，例如10,1a b ==，满足4,4a b ab +>>，但12b =<，错误．正确个数为3．故3．10．若不等式ax 2-bx +c ＜0的解集是{|23}x x -<<，则不等式bx 2+ax +c ＜0的解集是______【正确答案】（-3，2）【分析】由题分析得b ＞0，且a b =1，c b=-6，再解一元二次不等式得解.【详解】∵不等式ax 2-bx +c ＜0的解集是（-2，3），∴a ＞0，且对应方程ax 2-bx +c =0的实数根是-2和3，由根与系数的关系，得2323c a b a⎧=-⨯⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，即c a =-6，b a=1,∴b ＞0，且a b =1，c b =-6，∴不等式bx 2+ax +c ＜0可化为x 2+x -6＜0，解得-3＜x ＜2；∴该不等式的解集为（-3，2）．故答案为（-3，2）.本题主要考查一元二次不等式的解的求法和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．已知一元二次方程20x px p ++=的两个实根分别为α，β，且223αβ+=，则实数p =_________【正确答案】1-【分析】利用根的判定式求出参数的取值范围，再利用韦达定理计算可得；【详解】解：因为一元二次方程20x px p ++=的两个实根分别为α，β，所以240p p ∆=-≥，解得4p ≥或0p ≤所以p pαβαβ+=-⎧⎨=⎩又因为223αβ+=，所以()22223αβαβαβ+=+-=，即()223p p --=，解得1p =-或3p =（舍去）故1-本题考查根与系数的关系的应用，属于基础题.12．若关于x 的不等式224ax ax -≥的解集为∅，则实数a 的取值范围是__．【正确答案】(]4,0-【分析】讨论0a =，0a ≠两种情况，由一元二次不等式的解法得出实数a 的取值范围.【详解】由题意得2240ax ax --≥的解集为∅，当0a =时，40-≥的解集为∅，当0a ≠时，20Δ4160a a a <⎧⎨=+<⎩，解得40a -<<，综上，实数a 的取值范围是(]4,0-．故(]4,0-二、单选题13．设U 为全集，A 、B 为非空集合，下面四个命题：（1）A B A = ；（2）A B B ⋃=；（3）A B ⋂=∅；（4）A B U ⋃=.其中与命题A B ⊆等价的命题个数有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】D【分析】利用集合的运算性质、集合之间的关系即可判断出结论．【详解】解：U 为全集，A 、B 为非空集合，下面四个命题：（1）A B A A B ⋂=⇔⊆；（2）A B B A B ⋃=⇔⊆；（3）,A B x A =∅∀∈ ，则,,x B x B A B A B ∉∴∈∴=∅⇔⊆ ；（4）,A B U x A =∀∈ ，则,,x A x B A B U A B ∉∴∈∴=⇔⊆ ．其中与命题A B ⊆等价的命题个数有4．故选：D ．14．如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()M P SB ．()M P SC ．()⋂⋂M P SD ．()⋂⋃M P S【正确答案】C 【分析】由Venn 图可得，集合表示,M P 的交集与S 的补集的交集，从而得到答案.【详解】由Venn 图可得，集合表示,M P 的交集与S 的补集的交集，即()⋂⋂M P S .故选：C15．直角坐标平面中除去两点(1,1)A ､(2,2)B -可用集合表示为（）A ．{(,)|1,1,2,2}x y x y x y ≠≠≠≠-B ．1{(,)|1x x y y ≠⎧⎨≠⎩或2}2x y ≠⎧⎨≠-⎩C ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+--++≠D ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+-+-++≠【正确答案】C直角坐标平面中除去两点(1,1)A ､(2,2)B -，其余的点全部在集合中，逐一排除法．【详解】直角坐标平面中除去两点(1,1)A 、(2,2)B -，其余的点全部在集合中，A 选项中除去的是四条线1,1,2,2x y x y ====-；B 选项中除去的是(1,1)A 或除去(2,2)B -或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；C 选项2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+--++≠，则22(1)(1)0x y -+-≠且22(2)(2)0x y -++≠，即除去两点(1,1)A ､(2,2)B -，符合题意；D 选项2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+-+-++≠，则任意点(),x y 都不能2222[(1)(1)][(2)(2)]0x y x y -+-+-++=，即不能同时排除A ，B 两点．故选：C本题考查了集合的基本概念，考查学生对集合的识别，属于中档题．16．一元二次方程20ax bx c ++=有解是一元二次不等式20ax bx c ++>有解的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【正确答案】D【分析】根据充要条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对于方程20ax bx c ++=，当2400b ac a ⎧∆=-=⎨<⎩，方程有解，此时20ax bx c ++>的解集为空集，故充分性不成立；若对于20ax bx c ++>当2400b ac a ⎧∆=-<⎨>⎩时不等式的解集为R ，此时方程20ax bx c ++=无解，故必要性也不成立，故一元二次方程20ax bx c ++=有解是一元二次不等式20ax bx c ++>有解的既非充分又非必要条件故选：D本题考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题.三、解答题17．已知集合{}31,A x x x x =-≤∈R ，集合1,12x B x x x ⎧⎫=≥∈⎨⎬-⎩⎭R .（1）用区间表示集合A 与集合B ；（2）若定义集合A 为全集，求集合B 在集合A 中的补集B .【正确答案】（1）11,42A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，11,32B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭；（2）111,432B ⎡⎫⎧⎫=⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭.【分析】（1）根据绝对值不等式、分式不等式的解法分别求出集合A 和B ，再用区间表示即可；（2）直接利用补集的定义即可求解集合B 在集合A 中的补集B ．【详解】（1）由不等式|31|x x -，可得0x ≥，平方可得28610x x -+，解得1142x ，∴集合{||31|A x x x =-，11}{|}42x R x x ∈=，用区间表示为1[4A =，12．解不等式112x x -，即31012x x --，即31021x x --，解得1132x <，∴集合{|112x B x x =-，11}{|}32x R x x ∈=<．用区间表示为1[3B =，12．（2）集合1[4A =，1]2为全集，则集合1[3B =，1)2在集合A 中的补集1[4B =，11)32⎧⎫⋃⎨⎩⎭．本题主要考查绝对值不等式、分式不等式的解法，考查集合的表示法和补集及其运算，属于中档题．18．已知命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ，且2A ∈；命题:q 关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的正实数根.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的范围；（2）若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题，求实数m 的范围.【正确答案】（1）12m ≥（2）12m <或m 1≥【分析】（1）根据不等式的解集且2A ∈,代入即可根据命题p 为真命题求得数m 的范围.（2）先求得命题p 和命题q 都为真命题时m 的范围,根据补集思想即可求得命题p 和命题q 中至少有一个是假命题时m 的范围.【详解】（1）命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ,且2A∈因为命题p 为真命题所以210m -≥解得12m ≥（2）命题:q 关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的正实数根当命题q 为真命题时,1212440020m x x m x x ∆=->⎧⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩解得01m <<当命题p 和命题q 都为真命题1201m m ⎧≥⎪⎨⎪<<⎩所以112m ≤<所以若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题则12m <或m 1≥所以实数m 的范围为12m <或m 1≥本题考查了不等式的解法,一元二次方程根的分布特征,复合命题真假的关系,属于中档题.19．为提高销量，某厂家拟投入适当的费用，对网上所售产品进行促销.经调查测算，该促销产品的销售量p 万件与促销费用x (0x a ≤≤，a 为正常数)万元满足231p x =-+.已知生产该批产品p 万件需投入成本()102p +万元（不含促销费用），产品的销售价格定为20(4)p +元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求.(1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；(2)投入促销费用多少万元时，厂家获得的利润最大？【正确答案】(1)4161y x x =--+(0x a ≤≤)；(2)答案见解析.【分析】(1)根据利润等于销售量与产品单价之积减去生产产品的成本和促销费用，利用已知条件表示出利润y 即可；(2)由(1)中结论，利用导数求最大值并讨论参数a 的范围即可求解.【详解】(1)由题意知，()204102210y p x p p x p ⎛⎫ ⎪=+--+=-+⎝⎭，将231p x =-+代入化简，得4161y x x =--+(0x a ≤≤)；(2)由(1)中知，4161y x x =--+(0x a ≤≤)，所以()()()()()()()222222143142311111x x x x x y x x x x -+++--+-'=--==-=-++++，若1a >，当[0,1]x ∈时，0y '≥；当[1,]x a ∈时，0y '≤，所以函数4161y x x =--+在[0,1]上单调递增，在[1,]a 上单调递减.所以当1x =时，y 取极大值，也是最大值，所以投入促销费用1万元时，厂家获得的利润最大.若01a <≤，因为函数4161y x x =--+在[0,1]上单调递增，所以函数4161y x x =--+在[]0,a 上单调递增，所以当x a =时，函数有最大值，即投入促销费用a 万元时，厂家获得的利润最大，综上，当1a >时，投入促销费用1万元时，厂家获得的利润最大；当01a <≤时，投入促销费用a 万元时，厂家获得的利润最大.20．（1）已知a b >，用比较法证明：33a b >；（2）已知,,0a b c >，用基本不等式证明：6b c c a a b a b c+++++≥，并注明等号成立条件；（3）已知332p q +=，用反证法证明：2p q +≤．【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）计算23233()()204a b a b b b a ⎡⎤-=-++⎥⎣⎦>⎢，得到证明；（2）b c c a a b b a c a c b a b c a b a c b c +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用均值不等式计算得到证明.（3）假设2p q +>，则2p q >-，得33(2)p q >-，计算得到2(1)0q -<，不成立，得到证明.【详解】（1）a b >，2322323()()()(240b a b a ab b a b a b a b ⎡⎤-=-++=-++⎢⎥⎦>⎣，故33a b >；（2）b c c a a b b a c a c b a b c a b a c b c +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++≥++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6=，当且仅当a b c ==时取等号；（3）假设2p q +>，则2p q >-，得33(2)p q >-，3328126p q q q +>-+，又332p q +=，所以228126q q >-+，即2210q q +<-，2(1)0q -<，矛盾，故2p q +≤．。
上海高一上学期10月月考数学试题(解析版) (2)
一、填空题1．已知集合，则_________.{}{}21,1A x x B x x =-<<=>-A B ⋃=【答案】(2,)-+∞【分析】利用数轴法根据并集运算法则即可得出结果.【详解】根据并集运算法则，画数轴表示出集合如下图所示,A B易知.{}|2A B x x =>- 故答案为：(2,)-+∞2．不等式的解集是_________. 102x x -≥+【答案】()[),21,-∞-+∞ 【分析】分式不等式等价为整数不等式，即可求解.【详解】. ()()()[)12010,21,220x x x x x x ∞∞⎧-+≥-≥⇔⇒∈--⋃+⎨++≠⎩故答案为：()[),21,-∞-+∞ 3．已知集合，，则_________.{}{}22,1,3,3,21,1M a a P a a a =+-=--+{}3M P ⋂=-=a 【答案】1-【分析】根据集合元素的互异性以及交集性质进行分类讨论即可得出符合题意.1a =-【详解】因为，所以，易知，{}3M P ⋂=-3P -∈213a +≠-当时，，此时，，不合题意舍去；33a -=-0a ={}0,1,3M =-{}3,1,1P =--当时，，此时，，满足题意，213a -=-1a =-{}1,0,3M =-{}4,3,2P =--所以.1a =-故答案为：1-4．不等式的解集为_________.21216x x -++≤【答案】 33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】分类讨论解绝对值不等式.【详解】当时，，解得，此时； 12x ≥21216x x -++≤32x ≤1322x ≤≤当时，，即恒成立，此时； 1122x -≤<12216x x -++≤26≤1122x -≤<当时，，解得，此时； 12x <-12126x x ---≤32x ≥-3122x -≤<-故解集为. 33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为： 33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．若，，则的取值范围是_________.14a b <+<24a b -<-<3a b +【答案】()2,10-【分析】令，求出，再由不等式的性质求解.()()3a b m a b n a b +=++-,m n 【详解】令，则，解得， ()()3a b m a b n a b +=++-13m n m n +=⎧⎨-=⎩21m n =⎧⎨=-⎩因为，，故.22()8a b <+<()42a b -<--<()32,10a b +∈-故答案为：()2,10-6．若，则的最小值为_________. 0x >161x x ++【答案】7【分析】配凑法，由均值不等式求和的最小值.【详解】， ()1616111711x x x x +=++-≥=++当且仅当即()时取等号，所以的最小值为7. 1611x x +=+3x =0x >161x x ++故答案为：7.7．若集合，，则使得成立的所有的值组成的2{|560}A x x x =-+={|20}B y my =+=A B A ⋃=m 集合是___________.【答案】 20,1,3⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【分析】依题意可得，首先求出集合，再分类讨论分别计算可得；B A ⊆A 【详解】解：因为，，，所以；{}{}2|5602,3A x x x =-+=={}|20B y my =+=A B A ⋃=B A ⊆①当时，符合题意；0m =B =∅②当，即解得，即；2B ∈220m +=1m =-{}2B =③当，即解得，即； 3B ∈320m +=23m =-{}3B =综上可得 20,1,3m ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭故答案为： 20,1,3⎧⎫--⎨⎩⎭8．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是___________.2(1)(1)10a x a x -+--<x R ∈a 【答案】(]3,1-【分析】先对二次项的系数分类讨论，利用二次函数的性质，即可求出结果．1a -【详解】①当时，不等式化为对一切x ∈R 恒成立，因此满足题意；1a =10-<1a =②当时，要使不等式对一切恒成立，1a ≠()()21110a x a x -+--<x R ∈则必有 ． 210314(1)(1)(1)04(1)a a a a a -<⎧⎪∴-<<-⋅---⎨<⎪-⎩综上①②可知：实数取值的集合是．a (3,1]-故答案为：．(]3,1-9．命题是命题的________条件.:p a b >22:q a b >【答案】必要不充分【分析】解不等式，根据充分必要条件的定义，即可作出判断.22a b >【详解】由，可得，即，22a b >||||a b >||a b >但当时，满足，不满足，1,2a b ==-||a b >22a b >所以命题是命题的必要不充分条件.p q 故答案为：必要不充分10．设集合，，若，则实数的取值范围是(){}2210,A x x p x x R =+++=∈(),0B =-∞A B ⋂=∅p ___________.【答案】(),0∞-【分析】分析可知，方程在上无实根、有唯一正根或两个正根，进行分()2210x p x +++=(),0∞-类讨论，列出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.p p 【详解】分以下几种情况讨论：（1）若方程无实根，则，解得； ()2210x p x +++=()222440p p p ∆=+-=+<40p -<<（2）若方程有实根，则，解得或， ()2210x p x +++=()222440p p p ∆=+-=+≥4p ≤-0p ≥，则不是方程的解，()2020110p ++⨯+=≠ 0x =()2210x p x +++=若方程有唯一的正根，则，解得； ()2210x p x +++=240202p p p ⎧∆=+=⎪⎨+->⎪⎩4p =-若方程有两根不等的实根，设这两个实根分别为、，因为，()2210x p x +++=1x 2x 121=x x 故方程有两个不等的正根，所以，，解得. ()2210x p x +++=240202p p p ⎧∆=+>⎪⎨+->⎪⎩4p <-综上所述，实数的取值范围是.p (),0∞-故答案为：.(),0∞-11．设集合，在S 上定义运算为：，其中k 为被4除的余数，{}0123,,,S A A A A =⊕j i k A A A ⊕=i j +i ，，1，2，3，则满足关系式的x （）的个数为________.0j =20()x x A A ⊕⊕=x S ∈【答案】2【解析】由已知中集合，，，，在上定义运算为：，其中为0{S A =1A 2A 3}A S ⊕j i k A A A ⊕=k i j +被4除的余数，，，1，2，3，分别分析取，，，时，式子的值，并与进行比i 0j =x 0A 1A 2A 3A 0A 照，即可得到答案．【详解】当时，0x A =20020220()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠当时，1x A =21122240()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕==当时，2x A =22220220()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠当时，3x A =23322200()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕==则满足关系式的的个数为：2个．20()x x A A ⊕⊕=()x x S ∈故答案为：2．【点睛】本题考查的知识点是集合中元素个数，其中利用穷举法对取值进行分类讨论是解答本题x 的关键.属于中档题.12．已知数集A =()具有性质P ：对任意的，{}12,,n a a a ⋯121,2n a a a n ≤<<<≥(1)i j i j n ≤≤≤、i j a a 与两数中至少有一个属于A ，当时，若，则集合A =___________.ji a a 5n =22a =【答案】{}1,2,4,8,16【分析】推导出，．当时，有，，推导出1n n a A a =∈121111121.n n n a a a a a a a a ---++⋯+==++⋯+5n =524a a a =533a a a =，，，，是首项为1，公比为等比数列．由此能求出集合．1a 2a 3a 4a 5a 2a A 【详解】解：，，，具有性质，1{A a =2a ⋯}n a P 与中至少有一个属于， n n a a ∴n na a A 由于，121n a a a <<⋯<…n n n a a a ∴>故．n n a a A ∉从而，． 1n na A a =∈11a =，，，3，4，，，121n a a a =<<⋯ 2n …(2k n n a a a k ∴>=⋯)n 故，3，4，，．(2k n a a A k ∉=⋯)n 由具有性质可知，3，4，，． A P (2n k a A k a ∈=⋯)n 又，121n n n n n n a a a a a a a a -<<⋯<<，，，， ∴1n n a a =21n n a a a -=⋯12n n a a a -=从而， 12121n n n n n n n a a a a a a a a a a a -++⋯++=++⋯+． ∴1211112n n n a a a a a a a ---++⋯+=++⋯+当时，5n =有，，即， 524a a a =533a a a =25243a a a a == ，，， 1251a a a =<<⋯< 34245a a a a a ∴>=34a a A ∴∉由具有性质可知． A P 43a A a ∈由，得， 2243a a a = 3423a a A a a =∈且，， 3221a a a <=∴34223a a a a a ==， ∴534224321a a a a a a a a a ====即，，，，是首项为1，公比为等比数列．1a 2a 3a 4a 5a 2a 集合，2，4，8，．∴{1A =16}故答案为：．{}1,2,4,8,16二、单选题13．已知为非零实数，且，则下列命题成立的是,a b a b <A ．B ．C ．D ． 22a b <22ab a b <2211ab a b <b a a b<【答案】C 【详解】若a <b <0,则a2>b2，A 不成立；若B 不成立；若a =1，b=2，则220{,ab a b ab a b>⇒<<,所以D 不成立 ,故选C. 12,2b a b a a b a b==⇒>14．设全集U 是实数集，，，则图中阴影部分所表示的集合是R {}2|4M x x =<{|13}N x x =<<（ ）A ．B ．C ．D ．{|21}x x -<<{|22}x x -<<{|23}x x ≤<{|12}x x <<【答案】C 【解析】求解集合M ，以及集合，即可.M N ⋂()N C M N ⋂【详解】对集合M ：，故{|22}M x x =-<<{|12}M N x x ⋂=<<由图可知阴影部分表示：，(){|23}N C M N x x ⋂=≤<故选：C.【点睛】本题考查集合的运算，以及用韦恩图表示集合，属综合基础题.15．设表示不超过的最大整数,则关于的不等式的解集是[]x x x 2[]3[]100x x --≤A ．[-2，5]B ．（-3,6）C ．[-2,6）D ．[-1,6） 【答案】B【详解】由题意可得：关于x 的不等式x 2−3x −10⩽0的解集是{x |−2⩽x ⩽5}， 又因为[x ]表示不超过x 的最大整数，所以关于x 的不等式[x ]2−3[x ]−10⩽0的解集是{x |−3<x <6}.本题选择B 选项.16．用|S |表示集合S 中元素的个数，设A ，B ，C 为集合，称(A ，B ，C )为有序三元组，如果集合A ，B ，C 满足，且，则称有序三元组(A ，B ，C )为最小相1A B B C C A === A B C =∅交，由集合{1，2，3}的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为（ ） A ．4B ．6C ．3D ．5【答案】B【分析】根据定义，确定满足条件的集合，，的元素情况即可求出结果．A B C 【详解】解：， ||||||1A B B C C A === 设，，，∴{}A B x = {}B C y = {}C A z = ，且，，，2，，A B C =∅ x y {1z ∈3}集合，，，，，，∴{A x =}z {B x =}y {C z =}y 若，，，则，，，，，，1x =2y =3z ={1A =3}{1B =3}{2C =3}将1，2，3进行全排列，由个．33326A =⨯=故选：B ．三、解答题17．用反证法证明：“已知，若，则.”a b R ∈、22220a ab b a b ++++-≠1a b +≠【答案】证明见解析【分析】根据反证法定义提出合理假设，得出假设与命题矛盾即可.【详解】假设，1a b +=则，22222()()2(2)(1)0a ab b a b a b a b a b a b ++++-=+++-=+++-=与矛盾，22220a ab b a b ++++-≠故假设不成立，所以原命题成立.18．设集合，， {}240A x x =-=()(){}222150B x x a x a =+++-=(1)若，求实数的值；{}2A B ⋂=a(2)若，求实数的取值范围.A B A ⋃=a 【答案】(1)3a =-(2)]{}(,31a ∞∈--⋃-【分析】（1）由可知，代入集合分类讨论的取值即可得； {}2A B ⋂=2B ∈B a 3a =-（2）根据并集结果可得，再对集合是否为空集进行分类讨论即可得出实数的取值范围.B A ⊆B a 【详解】（1）由集合可得， {}240A x x =-={}2,2A =-由可得，{}2A B ⋂=2B ∈故，解得或，244(1)50a a +++-=1a =-3a =-当时，，此时不满足题意，舍去，1a =-{}2,2B =-{}2,2A B =- 当时，，满足题意，3a =-{}2B =故；3a =-（2）由得，A B A ⋃=B A ⊆当时，即时，满足题意；224(1)4(5)0a a ∆=+--<3a <-B =∅当时，即时，满足题意；Δ0=3a =-{}2B =当时，即时，，解得， 0∆>3a >-()221054a a ⎧+=⎨-=-⎩1a =-综上可得，或；3a ≤-1a =-即实数的取值范围为.a ]{}(,31a ∞∈--⋃-19．（1）解关于的不等式；x 2(21)20ax a x -++>（2）若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.x 20ax bx c ++>(4,7)-x 20cx bx a -+≥【答案】（1）答案见解析；（2） 11,,74⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）原不等式化为，对分类讨论求解即可；(1)(2)0ax x -->a （2）根据不等式解集及根与系数的关系，可得，代入所求不等式化简求解即可. 328b a c a=-⎧⎨=-⎩【详解】（1）原不等式化为，(1)(2)0ax x -->当时，可得，解得，0a =20x -<2x <当时，的根为且，解得或， 102a <<(1)(2)0ax x --=1,2a 12a >2x <1x a >当时，可得，解得； 12a =2(2)0x ->2x ≠当时，的根为且，解得或； 12a >(1)(2)0ax x --=1,2a 12a <1x a<2x >当时，由解得，故不等式解集为. a<0(1)(2)0ax x -->12x a <<1(,2)a 综上，当时，解集为；0a =(,2)-∞当时，解集为； 102a <<1(,2)(,)a -∞⋃+∞当时，解集为； 12a ={}2x x ≠当时，解集为； 12a >1(,)(2,)a-∞⋃+∞当时，解集为.a<01(,2)a （2）由题意得，且，解得， a<04747b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩328b a c a =-⎧⎨=-⎩不等式可化为，20cx bx a -+≥22830ax ax a -++≥即，解得或， 228310x x --≥17x ≤-14x ≥故不等式解集为. 11,,74⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭20．已知.2{|13},N {680}M x x x x x =<=-+≤（1）设全集，定义集合元素△，使M △N =M ∩，求M △N 和N △M ；U =R N （2）若，按（1）的运算定义求(M △N )△H .2{|()4}H x x a =-≤【答案】（1）△，△；（2）答案见解析；M {}|12N x x =<<N {}|34M x x =……【分析】（1）解不等式求出，，结合题意计算即可；M N （2）解不等式求出集合，结合（1）中△，分类讨论，可得△△．H M N (M )N H 【详解】解：（1），；13{|}M x x =<<2{|680}{|24}N x x x x x =-+=………根据题意，，或，U =R {|2N x x =<4}x >△，M ∴{}|12N M N x x ==<< 又或，{|1M x x =…3}x …△；N ∴{}|34M N M x x == ……（2），{}{}2|()4|22H x x a x a x a =-≤=-≤≤+ 所以，又，()(),22,H a a =-∞-++∞ {}()|121,2M N x x =<<= 所以()()M N H M N H = 当，或，即，或时，；22a -≥21a +≤4a ≥1a ≤-()()1,2M N H = 当，即时，；122a <-<34a <<()()1,2M N H a =- 当，即时，；122a <+<10a -<<()()2,2M N H a =+ 当，且，即时，．21a -≤22a +≥03a ≤≤()M N H =∅ 21．对于四个正数，如果，那么称是的“下位序对”，,,,x y z w xw yz <(,)x y (,)z w （1）对于2,3,7,11，试求的“下位序对”；(2,7)（2）设均为正数，且是的“下位序对”，试判断之间的大小关系； a b c d ,,,(,)a b (,)c d ,,c a a c d b b d++（3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在，使得n {|02017}t t <<*m N ∈*k ∈N (,2017)m 是的“下位序对”，且是的“下位序对”，求正整数的最小值.(,)k n (,)k n (1,2018)m +n 【答案】（1）；（2）；（3）4035 ()3,11b a c c a b d d+<<+【分析】（1）根据新定义，代入计算判断即可；（2）根据新定义得到，再利用不等式的性质，即可判断；ad bc <（3）由题意得到，从而求出， ()201712018mn k m n k <⎧⎨+>⎩4035n ≥再验证该式对集合内的每个的每个正整数都成立，继而求出最小值.{|02017}t t <<m +∈N m 【详解】（1），37112⨯<⨯ 的“下位序对”是∴(2,7)()3,11（2）是的“下位序对”，(,)a b (,)c d ，ad bc ∴<均为正数，a b c d ,,,故，即 ， ()0a c a bc ad b d b b d b +--=>++a c b b d a+>+同理， a c c b d d+<+综上所述，. b a c c a b d d +<<+第 11 页 共 11 页（3）依题意得， ()201712018mn k m n k <⎧⎨+>⎩注意到整数，故 ,,m n l 1201712018mn k mn n k+≤⎧⎨+-≥⎩于是()()201712017201820181mn n k mn +-≥⨯≥+ 40352017n m∴≥-该式对集合内的每个的每个正整数都成立，{|02017}t t <<m +∈N m ， 4035403520172016n ∴≥=-， 120172018m k m n +<< ， 112017201720182018m m m m +++∴<<+， 211201740352018m m m ++∴<<对集合内的每个，∴{|02017}t t <<m +∈N 总存在，使得是的“下位序对”，k N +∈(,2017)m (,)k n 且是的“下位序对”，(,)k n (1,2018)m +正整数的最小值为4035.n 【点睛】本题主要考查了集合新定义，需理解题干中的定义，考查了学生的知识迁移能力以及分析问题的能力，属于中档题.。
上海市高一上学期10月月考数学试题(解析版)
一、填空题1．已知集合A ＝{x |﹣3≤x ＜3}和B ＝{x |x ＝2k ，k ∈N }关系的文氏图如图所示，则阴影部分表示的集合的元素的个数为___个．【答案】3【分析】根据文氏图可知，阴影部分表示的集合为A ∩B ，然后求出元素个数即可．【详解】∵集合A ＝{x |﹣3≤x ＜3}和B ＝{x |x ＝2k ，k ∈N }，∴阴影部分表示的集合A ∩B ＝{﹣2，0，2}．∴阴影部分表示的集合的元素共有3个．故答案为：3．2．已知，全集，则___（用区间表示） {}2|560,{||11}A x x x B x x =-+>=-<∣U =R A B ⋂=【答案】(](),03,-∞+∞ 【分析】解不等式化简集合，进行集合运算即可.【详解】，{}()(){}()()22|50,,6|2303A x x x x x x -∞+∞=-+>=-->=，()2{||11}{10,|11}B x x x x B ∣-=-<-<==<=所以，.(][),02,B ∞∞=-⋃+(](),03,A B =-∞+∞ 故答案为：.(](),03,-∞+∞3．设A ＝，B ＝{x |x ≤10，x ∈Q }，则A ∩B ＝_____．{}|N x x k =∈【答案】{}1,4,6,9【分析】的的取值范围，从而可求得.10,N k ∈k A B ⋂【详解】因为{}|10,Q B x x x =≤∈得10,N k ≤∈019,N k k ≤≤∈由题：{}|19,N x x k k =≤≤∈{4=所以{}1,4,6,9A B = 故答案为：{}1,4,6,94．已知全集中有个元素，中有个元素．若非空，则的元素个数U A B =⋃m A B ⋃n A B ⋂A B ⋂为___个． 【答案】m n -【分析】法一：由韦恩图判断；法二：由及补集概念即可求.A B A B = 【详解】法一：因为中有个元素，如图所示阴影部分，A B ⋃n又中有个元素，故中有个元素；U A B =⋃m A B ⋂m n -法二：因为有个元素，又全集中有个元素，A B A B = n U A B =⋃m 故的元素个数个．A B ⋂m n -故答案为：.m n -5．“若，则”的否定形式为____．220x x --≤12x -≤≤【答案】若，则或220x x --≤1x <-2x >【分析】根据命题的否定形式直接得出答案.【详解】“若，则”的否定形式：220x x --≤12x -≤≤若，则或.220x x --≤1x <-2x >故答案为：若，则或.220x x --≤1x <-2x >6．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，假设不考虑其它费用，为使宾馆利润最大，每天的房价定为 _____元．【答案】340【分析】设空闲的房间为x ，则房价为元，定价增加了10x 元，表示出利润的函数关()18010x +系，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．【详解】解：设空闲的房间为x ，则房价为元，定价增加了10x 元，()18010x +由题意可得，利润，当且仅当()()()()21850180105010185010115602x x x x x x ++-⎛⎫+-+-≤= ⎪⎝⎭==，即时取等号，此时房价为元，所以为使宾馆利润最大，每天1850x x +-＝16x =1801610340+⨯=的房价定为340元．故答案为：340．7．二次函数的图像如图所示，则下列结论中正确的个数是____．2(0)y ax bx c a =++≠（1）异号；（2）当和时，函数值相等；（3）；（4）当时，的取,a b 1x =3x =40a b +=4y =x 值只能为0.【答案】3【分析】根据二次函数的图象得到对称轴即可结合二次函数的性质求解.【详解】根据图象可知：是二次函数与的两个交点，所以可得对称轴方程为 ()2,0,(6,0)-x ，故对称轴为，故异号且，（1）（3）正确； 2x =22b x a=-=,a b 40a b +=因为对称轴为，故当和时，函数值相等， 22b x a=-=1x =3x =当时，的取值为0和4，故（2）正确，（4）错误；故正确的个数是3.4y =x 故答案为：3.8．若的图像x =1对称，则c =_______．()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈【答案】2【详解】本题考查函数的对称性又的对称轴为 ()()2222223322b b f x x b x x ++⎛⎫⎛⎫=-+++=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22b x +=则，得； 212b +=0b =由的图象对称知其定义域关于直线对称，则有()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈1x =[],b c 1x =；2b c +=所以2c =9．不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣2，1），则不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0的解集为 ______．【答案】（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．【详解】根据不等式ax 2+bx +c ＞0的解集得出a 与b 、c 的关系，再代入不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0中化简求解集即可．【解答】解：不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣2，1），所以﹣2和1是ax 2+bx +c ＝0的实数根，且a ＜0；所以，可得b ＝a ，c ＝﹣2a ， 2121b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩所以不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0可化为ax 2+2ax ﹣3a ＜0，即x 2+2x ﹣3＞0，整理可得()()310x x +->，解得x ＜﹣3或x ＞1，所以不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．10．已知命题“若，，则集合”是假命题，()22f x m x =()22g x mx m =-1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭则实数的取值范围是 ______．m 【答案】 ()7,0-【分析】由“”是假命题可知区间上有解，构1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭()2220m m x m -+<1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦造函数，结合二次函数的图象可求的范围.()()222h x m m x m =-+m 【详解】∵，，()22f x m x =()22g x mx m =-又∵“”是假命题， 1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭∴，即在区间上有解 2222m x mx m <-()2220m m x m -+<1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦令，()()222h x m m x m =-+①当，即或时，或，20m m -=0m =1m =()0h x =()2h x =在区间上无解，不合题意； ()0h x <1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦②当，即且时，20m m -≠0m ≠1m ≠是二次函数，其图象是对称轴为轴的抛物线，()h x y 若要使在区间上有解，则需满足： ()0h x <1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦或 22017024m m m m h ⎧->⎪⎨+⎛⎫=< ⎪⎪⎝⎭⎩()22010m m h m m ⎧-<⎪⎨=+<⎪⎩解得，即的取值范围是.70m -<<m ()7,0-故答案为：.()7,0-【点睛】本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，解题的关键是二次函数的性质的应用. 11．对于任意两个数x ，y （x ，y ∈N *），定义某种运算“◎”如下：①当或时，x ◎y ＝x +y ； **2,N 2,N x m m y n n ⎧=∈⎨=∈⎩**21,N 21,N x m m y n n ⎧=-∈⎨=-∈⎩②当时，x ◎y ＝xy ． **2,N 21,N x m m y n n ⎧=∈⎨=-∈⎩则集合A ＝{（x ，y ）|x ◎y ＝10}的子集个数是 _____．【答案】2048【分析】由新定义化简集合，从而确定子集的个数．A 【详解】由新定义知，A ＝{（x ，y ）|x ◎y ＝10}()()()()()()()()()()(){}=19283746556473829125101，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共11个元素，故其子集的个数为，112=2048故答案为：2048．12．若关于的不等式的解集为，且存在实数，使得，x 3|1||1|2x ax +++≥R 0x 003|1||1|2x ax +++=则实数的所有取值是____．a 【答案】或. 12-2-【分析】的图像是一条折线，所以的最小值在折点处，故分类讨论，在折点处建立等式求()f x ()f x 解即可.【详解】令，当时，，不合题意，故.()|1||1|f x x ax =+++0a =()|1|11f x x =++≥0a ≠由的解析式易得，的图像是一条折线，且折点满足或，即或()f x ()f x 10x +=10ax +==1x -， 1x a=-又的最小值为，∴的最小值只能在折点处取得. ()|1||1|f x x ax =+++32()f x 当时，则，解得或， =1x -3|1|2a -+=12a =-52所以或， 13()|1||1|22f x x x =++-+≥53()|1||1|25x f x x =+++≥因为的最小值为，所以； ()f x 3212a =-当时，则，解得或， 1x a =-13|1|2a -+=2a =-25所以或，所以. 3()|1||21|2f x x x =++-+≥23()|1||1|55f x x x =+++≥2a =-综上所述，或． 12a =-2a =-故答案为：或. 12-2-二、单选题13．设不等式的解集为，不等式的解集为，则不等式的解集为()0f x ≥[1,2]()0g x ≥∅()0()0f xg x <⎧⎨<⎩（ ）A ．B ．C ．D ．∅(,1)(2,)-∞⋃+∞(1,2)R 【答案】B【分析】根据集合的补集的含义求解即可.【详解】因为不等式的解集为，不等式的解集为，()0f x ≥[1,2]()0g x ≥∅所以不等式的解集为，不等式的解集为 ()0f x <(,1)(2,)-∞⋃+∞()0g x <R 所以不等式的解集为. ()0()0f x g x <⎧⎨<⎩(,1)(2,)-∞⋃+∞故选：B ．三、多选题14．已知为正常数，则不等式（ ） ,,a b m a m a b m b +>+A ．当时成立 B ．当时成立a b <a b >C ．是否成立与无关D ．一定成立 m 【答案】AC【分析】化简不等式即可判断.【详解】因为为正常数，则，且不等式是否成立与,,a b m ()()a m a a m b a b m b a b m b+>⇔+>+⇔>+无关.m 故选：AC.四、单选题15．俗话说“不到长城非好汉”，这句话的意思是“到长城”是“好汉”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】利用命题与逆否命题的关系判断.【详解】设为不到长城，推出为非好汉，即，p ⌝q ⌝p q ⌝⇒⌝则，即好汉到长城，故“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.q p ⇒⇒故选：B ．16．已知，为方程的两根，，为方程的两根，则常数1x 2x 20x px q ++=11x +21x +20x qx p ++=p ，q 分别等于（ ）A ．，B ．3，C ．1，3D ．，1 1-3-1-3-【答案】A【分析】根据已知条件由韦达定理得出，关于p ，q 的式子，消去，求解即可得出答案.1x 2x 1x 2x 【详解】，为方程的两根， 1x 2x 20x px q ++=①， 1212x x p x x q +=-⎧∴⎨⋅=⎩ ，为方程的两根，11x + 21x +20x qx p ++=②， ()()12121111x x q x x p +++=-⎧∴⎨+⋅+=⎩ 由①②式消去，可得：，解得， 1x 2x 21p q q p p -+=-⎧⎨-+=⎩13p q =-⎧⎨=-⎩17．已知条件实数满足，条件实数满足，若是的:p x 28200x x --≤:q x 22210(0)x x m m -+->≤p q 必要而不充分条件，则实数的取值范围是（ ）m A ．B ．C ．D ．3m ≥03m <≤3m >03m <<【答案】B【分析】解不等式，必要而不充分条件等价为集合的包含关系，即可列不等式组求解.【详解】，因为是的必要而不充分条件， [][]:2,10,:1,1p x q x m m ∈-∈-+p q 所以，所以且等号不同时成立，所以， [][]1,12,10m m -+⊂-12110m m -≥-⎧⎨+≤⎩03m <≤故选：B.五、解答题18．解下列不等式： (1)； 25123x x x -<---(2).2(1)(2)0x x -+≥【答案】(1)(1,1)(2,3)-U (2){2}[1,)-+∞【分析】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可.【详解】（1），由数轴标根法得，解集22253210(1)(1)(2)(3)02323x x x x x x x x x x x --+<-⇔<⇔+---<----为；(1,1)(2,3)-U （2）或， 210(1)(2)020x x x x -≥⎧-+≥⇔⎨+≠⎩20x +=易得解集为.{2}[1,)-+∞ 19．解下列不等式： (1)； 132x-<<(2).(0x -≥【答案】(1) 11(,(,)32-∞-⋃+∞【分析】（1）分类讨论解分式不等式；（2）结合因式分解解不等式.【详解】（1）时，解得；时，解得. 0x >12x >0x <13x <-故解集为； 11(,(,)32-∞-⋃+∞（2），故解集为. (2)0(0(00x x x -≥⎧-≥⇔-≥⇔≥[3,)+∞20．已知集合，求：{}2|20A x x x m =-+=(1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围；A m (2)若，求实数的取值范围.(,0)A ⊆-∞m 【答案】(1)m 1≥(2)1m >【分析】（1）由集合元素的个数转化为方程根的个数列不等式即可求得实数的取值范围； m （2）根据集合关系，讨论或只有负根，列不等式即可求得实数的取值范围.A =∅220x x m -+=m 【详解】（1）若集合至多有1个元素，则至多一个实根{}2|20A x x x m =-+=220x x m -+=所以，故；440m ∆=-≤m 1≥（2）由题意得或只有负根，A =∅220x x m -+=当时，，故，A =∅Δ440m =-<1m >当只有负根时，，无解，220x x m -+=1212Δ440200m x x x x m =-≥⎧⎪+=<⎨⎪=>⎩综上，实数的取值范围为.m 1m >21．关于的不等式，其中. x 2282002(1)94x x mx m x m -+<++++R m ∈(1)解集为空集时，求实数的取值范围； m (2)解集为时，求实数的取值范围.R m 【答案】(1)； 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2). 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】(1)由题意可得恒成立，结合一元二次不等式的解法求解即可；22(1)940mx m x m ++++≥(2) 由题意可得恒成立，结合一元二次不等式的解法求解即可；22(1)94mx m x m ++++0<【详解】（1）解：因为恒为正，22820(4)4x x x -+=-+所以解集为空集时，恒成立，22(1)940mx m x m ++++≥当时，不恒成立，舍去；0m =240x +≥当时，，解得， 0m ≠()()20Δ414940m m m m >⎧⎪⎨=+-+≤⎪⎩14m ≥所以实数的取值范围是； m 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）解：因为恒正，所以解集为时，恒成立， 22820(4)4x x x -+=-+R 22(1)94mx m x m ++++0<当时，不恒成立，舍去；0m =240x +<当时，，解得， 0m ≠()()20Δ414940m m m m <⎧⎪⎨=+-+≤⎪⎩12m ≤-所以实数的取值范围是. m 1,2⎛⎤-∞- ⎝⎦22．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：天）变化的函数关系式近似为.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时217,0415,4102x x y x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷2个单位的净化剂，6天后再喷洒个单位的药剂，要使接下来的4天中能(14)a a ≤≤够持续有效净化，试求a 的最小值．【答案】(1)8天(2)4【分析】（1）对进行分类讨论，由求得净化的天数.x 44y ≥（2）根据空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）列不等式，分离常数，结合函数的单调a 性求得的取值范围，进而求得的最小值.a a【详解】（1）一次喷洒4个单位的净化剂，故浓度， ()2684,044202,410x x f x y x x ⎧-≤≤==⎨-<≤⎩则当时，由，得；04x ≤≤26844x -≥04x ≤≤当时，由，解得，所以．410x <≤2024x -≥8x ≤48x <≤综上所述，，08x ≤≤故若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达8天．（2）设从第一次喷洒起，经过天，(610)x x ≤≤浓度， 21()2517(6)42g x x a x ⎛⎫⎡⎤=⨯-+--≥ ⎪⎣⎦⎝⎭当时，， 610x <≤2611717(6)(6)6x a x x x -≥=-----因为在上单调递减， 17()(6)6h x x x =---(6,10]所以当时，取得最小值， 10x =()h x 1(10)4h =则的最大值为4，所以； 117(6)6x x ---4a ≥当时，恒成立．6x =()4174g x a =+≥综上所述，a 的最小值为4．23．已知函数，设关于的方程的两实根为，方程()24(0,,)f x ax x b a a b =++<∈R x ()0f x =12,x x 的两实根为．()f x x =,αβ(1)若，求与的关系式；||1αβ-=a b (2)若均为负整数，且，求的解析式；,a b ||1αβ-=()f x (3)若，求证：．12αβ<<<12(1)(1)7x x ++<【答案】(1)；249(0,,)a ab a a b +=<∈R (2)；()242f x x x =-+-(3)证明见解析.【分析】（1）由题意得有两个不等实根为，，根据韦达定理及230(0,,)ax x b a a b ++=<∈R αβ可求解；||1αβ-=（2）由（1）得，结合均为负整数可求解；249a ab +=,a b （3）由韦达定理可得，结合即可证明. 12124,b x x x x a a+=-=12αβ<<<【详解】（1）由题意得有两个不等实根为，，230(0,,)ax x b a a b ++=<∈R αβ所以． 3940,,b ab a aαβαβ∆=->+=-=由得，即， ||1αβ-=()21αβ-=2294()41b a aαβαβ+-=-=所以，即．294ab a -=249(0,,)a ab a a b +=<∈R （2）由（1）得，因为均为负整数，249a ab +=,a b 所以或或， 149a a b =-⎧⎨+=-⎩941a a b =-⎧⎨+=-⎩343a a b =-⎧⎨+=-⎩显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有，解得，． 149a a b =-⎧⎨+=-⎩1a =-2b =-故所求函数解析式为．()242f x x x =-+-（3）由题意得， 12124,b x x x x a a+=-=又由，得，故， 12αβ<<<30,2b a a αβαβ+=-<=<11a-<所以． ()()121212*********b x x x x x x a a++=+++=-+<++=。
上海市高一上学期数学10月月考试卷
上海市高一上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）给出如下四个命题：①若“”为假命题，则p,q均为假命题；②命题“若a>b,则”的否命题为“若,则”；③命题“任意”的否定是“存在”；④在中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件.其中不正确命题的个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 12. （2分） (2015高三上·荣昌期中) 若集合M={x|x﹣2＞0}，N={x|log2（x﹣1）＜1}，则M∩N=（）A . {x|2＜x＜3}B . {x|x＜1}C . {x|x＞3}D . {x|1＜x＜2}3. （2分） (2018高二下·永春期末) 若命题：，则为（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高三上·集宁期中) 下列各组集合中，表示同一集合的是（）A . ，B . ，C . ，D . ，5. （2分）已知集合，则集合M与P的关系是（）A .B .C .D .6. （2分）若，则下列说法正确的是（）A . 若a>b,则a-c>b-cB . 若a>b，则C . 若ac<bc，则a<bD . 若a>b，则7. （2分）已知a，b∈R，且a2＞b2（）A . 若b＜0，则a＞bB . 若b＞0，则a＜bC . 若a＞b，则a＞0D . 若b＞a，则b＞08. （2分）设集合，则（）A .B .C .D .9. （2分）下列有关命题的说法正确的是（）A . 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B . “m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C . 命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D . 命题“已知x，y为一个三角形的两内角，若x=y，则sinx=siny”的逆命题为真命题10. （2分） (2019高一上·台州月考) 二次函数在上的最小值为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高一上·北京月考) 《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在上取一点，使得，，过点作交圆周于，连接 .作交于 .则下列不等式可以表示的是（）A .B .C .D .12. （2分）已知集合A={x|3x+x2＞0}，B={x|﹣4＜x＜﹣1}，则（）A . A∩B={x|﹣4＜x＜﹣3}B . A∪B=RC . B⊆AD . A⊆B二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分）已知集合U={1,2,3}，A={1,3},B={1,3,4},则=________ .14. （1分） (2020高二上·无锡期末) 不等式的解集是________．15. （1分）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2 ， a+b，0}，则a2017+b2016=________．16. （1分）已知集合A={2，3}，B={2，2a﹣1}，若A=B，则a=________17. （1分） (2019高三上·浙江月考) 已知非零平面向量不共线，且满足，记，当的夹角取得最大值时，的值为________．18. （1分） (2019高二上·四川期中) 在下列四个命题中，正确的命题的有________.①已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则的最小值是10;②若圆上有且只有两个点到直线的距离为1，则；③若实数满足的取值范围为；④点M在圆上运动，点为定点，则|MN|的最大值是7.三、解答题 (共4题；共30分)19. （10分） (2019高一上·四川期中) 已知全集为，集合， .（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.20. （5分）已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}（1）若a=，求A∩B．（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．21. （5分） (2017高三上·唐山期末) 选修4-5：不等式选讲已知函数 .（1）当时，解不等式；（2）若，求的取值范围．22. （10分） (2019高一上·新丰期中) 已知函数 .（1）若，求不等式的解集；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共4题；共30分) 19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
上海市上海交通大学附属中学等四校联考2024-2025学年高一上学期10月数学试卷
上海市上海交通大学附属中学等四校联考2024-2025学年高一上学期10月数学试卷一、填空题1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=.2．不等式3102x x +≤-的解集是．3．已知,R b c ∈，关于x 的不等式20x bx c -+<的解集为()3,2-，则b c +=．4．已知方程22430x x +-=的两实根为12,x x ，则12x x -的值为．5．若:||1x m α-<是:04x β<<的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是．6．化简：211133221566425a b a b a ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=.（其中0a >，0b >）7．已知,0x y >且31x y +=，则11x y+的最小值为8x 的分式方程3211m x x +=--有正数解，则符合条件的整数m 的和是．9．已知实数a b c >>，且0a b c ++=，则c a 的取值范围是．10．若关于x 的不等式()2220x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为.11．已知a ，b ，c 不全为无理数，则关于三个数a b +，b c +，c a +，下列说法正确的是（把所有正确选项都填上）①可能均为有理数②可能均为无理数③可能恰有一个为有理数④可能恰有两个为有理数12．已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，若集合{()0,13}A xf x x ==≤≤∣中恰有两个元素，则(2)f a 的取值范围为．二、单选题13．下列结论中错误的有（）A ．若a ，b 为正实数，a b >，则3322a b a b ab +>+B ．若a ，b ，m 为正实数，a b <，则a m ab m b+<+C ．若22a b c c >，则a b >；D ．当0x >时，2xx+的最小值为14．下列问题中，a ，b 是不相等的正数，比较x ，y ，z 的表达式．下列选项正确的是（）问题甲：一个直径a 寸的披萨和一个直径b 寸的披萨，面积和等于两个直径都是x 寸的披萨；问题乙：某人散步，第一圈的速度是a ，第二圈的速度是b ，这两圈的平均速度为y ；问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为a （天平平衡），放右边时左边砝码质量为b （天平平衡），物体的实际质量为z ．A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x>>15．设1237 A A A A 、、、、是均含有2个元素的集合，且171(1,2,3,,6)i i A A A A i +=∅==∅ 、，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．716．已知集合S 是由某些正整数组成的集合，且满足：若a S ∈，则当且仅当(a m n =+其中,m n S ∈且)m n ≠，或(a p q =+其中*,,,Z p q S p q ∉∈且)p q ≠.现有如下两个命题:①4S ∈；②集合{}35,N x x n n S =+∈⊆.则下列选项中正确的是（）A ．①是真命题，②是真命题；B ．①是真命题，②是假命题C ．①是假命题，②是真命题；D ．①是假命题，②是假命题.三、解答题17．设集合{}260P x x x =--<，{}23Q x a x a =≤≤+.(1)若Q P Q P ≠∅= 且，求实数a 的取值范围；(2)若P Q =∅ ，求实数a 的取值范围.18．已知函数()y f x =满足2()21f x x a x a =-+-+(1)当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；(2)若()4f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．19．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到x 元，公司拟投入()216006x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量a 至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时每件商品的定价．20．已知a b c d ,,,为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解决（3）中的实际问题.（1）请根据基本不等式2a b +≥（,a b R +∈），证明：4a b c d +++≥；（2）请利用（1）的结论，证明：3a b c ++≥（3）如图，将边长为1米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，在这层一个无盖纸盒.如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米？21．对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.。
上海市杨浦区交通大学附属中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试卷(解析版)
【分析】对 分 、 、 、 和 五种情况讨论得解.
【详解】当 时，不等式 的解为 ；
当 时，不等式对应方程的根为 或2，
①当 时，不等式 即 的解集为 ；
②当 时，不等式 的解集为 ；
③当 时，不等式 的解集为 ；
④当 时，不等式 的解集为 .
综上所述，当 时，不等式解集 ；
当 时，不等式的解集为 ；
，解不等式即得解
【详解】由题意，
故 且 ，可得
由 可得， 或 ；
由 可得，
因此：
故答案为：
8.设 ，且 ， ，则 最大值为___________;
【答案】10；
【分析】首先由条件可知 ， ，再表示 ，再根据不等式的性质求 的最大值即可.
【详解】 ， ，
， ， ，
设 ，
得 ，解得： ，
即 ，
，
，即 ，
（2）假设 ，试确定当 为何值时， 取得最小值，并求出 的最小值.
【答案】（1） ， ；（2） ， .
【分析】（1）由时间 路程/速度，代入具体数值，即得解；
（2）转化 ，利用均值不等式即得解
【详解】（1）由题意，时间 路程/速度
因此
（2）当 时，
当且仅当 ，即 时，等号成立
故当 时，
12.解关于x的不等式 .
交大附中高一数学10月月考试
一填空题
1.若 ，则 _______ （填入等号或者不等式）
【答案】≥
【分析】直接套用三角不等式 即可得出答案.
【详解】∵ ，
∴ .
故答案为：≥
2.二次不等式 的解集是 ，则 =_______；
【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解集求得 ，由此求得 .
上海市交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题
上海市交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、填空题1．已知集合{}230A x ax x =-+=至多有一个元素，则a 的取值范围是.2．用列举法表示集合15,1M m m m ⎧⎫=∈∈=⎨⎬+⎩⎭Z Z . 3．已知集合{2,0,2,4},A =-7|||2B x x m ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭，若A B A =I ，则m 的最小值为.4．不等式(20x -的解集是.5．已知14a b -≤+≤，23a b ≤-≤，则32a b -的取值范围为6．设a 为实数，若关于x 的一元一次不等式组20360x a x a +>⎧⎨-<⎩的解集中有且仅有4个整数，则a 的取值范围是.7．已知集合{}2271,32103A x B x x mx m m x ⎧⎫=≥=-++-<⎨⎬+⎩⎭∣，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要非充分条件，则实数m 的取值范围为.8．已知集合()(){}10A xax a x =-->∣，且3,4A A ∈∉，则实数a 的取值范围是. 9．若集合{}1,2,3,4,5,6,7,8M ⊂，且M 中至少含有两个奇数，则满足条件的集合M 的个数是.10．已知()22420x a x a +-+-≥对任意()2,x ∞∈-+恒成立，则实数a 的取值范围为.11．设1,0x y >->且31x y +=，则111x y ++的最小值为. 12．设,,,x y z w 是正实数，则222223xy yz zw x y z w +++++的最大值为.二、单选题13．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a 、b 、c 中至多有一个是偶数”的正确假设为（ ）A ．自然数a 、b 、c 中至少有一个是偶数B ．自然数a 、b 、c 中至少有两个是偶数C ．自然数a 、b 、c 都是奇数D ．自然数a 、b 、c 都是偶数14．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如][3.54,3.13⎡⎤-=-=⎣⎦，则关于x 的方程112x ⎡⎤--=⎣⎦的解集为（ ）A ．{}45x x ≤≤∣B ．{32xx -≤≤-∣，或45}x ≤≤ C ．{45}x x ≤<∣ D ．{32xx -<≤-∣，或45}x ≤<15．设,R a b ∈32ax +的解集是()4,b ，则ab 的值为（ ） A ．9 B ．92 C ．3D ．9416．设正实数x y z ､､满足22340x xy y z -+-=，则当xy z 取得最大值时，232x y z +-的最大值为（ ）A ．9B ．1C ．94D ．4三、解答题17．集合{|25}A x x =-≤≤，集合{|121}B x m x m =+≤≤-，(1)若B A ⊆，求实数m 的取值范围.(2)若A B ≠∅I ，求实数m 的取值范围.18．求下列关于x 的不等式的解集（a 为实数）. (1)3241x x +≤--；(2)220x x a ++<； (3)102ax x ->- 19．已知集合{}123,,,,n A a a a a =L 中的元素均为正整数，其中n ∈N 且3n ≥.若对任意x ，()y A x y ∈≠，都有xy x y k-≥，则称集合A 具有性质k M . (1)集合{}1,2,A a =具有性质3M ，求a 的最小值；(2)若集合A 具有性质24M ，且A 中最小元素和最大元素分别为a b ､，求证：11124n a b --≥； (3)已知集合A 具有性质24M ，求A 中元素个数的最大值，并说明理由.。
上海交通大学附属中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题(解析版)
2023届上海交通大学附属中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题 1．“2()2x k k ππ=+∈Z ”是“sin 1x =”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】A【分析】由sin 1x =，可得()2x k k ππ=+∈Z ，分析即得解【详解】由题意，若2()2x k k ππ=+∈Z ，则sin 1x =，即sin 1x =，故充分性成立；反之，若sin 1x =，则sin 1x =±，即()2x k k ππ=+∈Z ，故必要性不成立；故“2()2x k k ππ=+∈Z ”是“sin 1x =”的充分不必要条件.故选：A2．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,)22ωϕππ>-<<的部分图象如图，则,ωϕ的值分别是（ ）A ．1,6πωϕ==- B ．1,3πωϕ==-C ．2,6πωϕ==-D ．2,3πωϕ==-【答案】D【分析】由函数的部分图像求出函数的周期和向左平移量，进而求得,ωϕ的值. 【详解】解：由53()1234πππ--=得：函数()2sin()f x x ωϕ=+的周期T π=， 又0ω>，2ω∴=，又由第一点坐标为(,0)6π，故第一点向左平移量6L π=-，故2()63L ππϕω==⨯-=-，故选：D.【点睛】本题考查由sin()y A x ωϕ=+的部分图像确定其解析式，求ϕ是难点，属于中档题.3．碳70()70C 是一种碳原子族，可高效杀灭癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其六元环的个数为（ ）．A ．12B ．25C ．30D ．36【答案】B【分析】根据题意可知顶点数为70，可求得棱长数为105，结合欧拉公式得到面数为37，列出方程组即可求解.【详解】根据题意，顶点数就是碳原子数即为70，每个碳原子被3条棱长共用， 故棱长数7032105=⨯÷=，由欧拉公式可得面数=2+棱长数-顶点数21057037=+-=， 设正五边形x 个，正六边形y 个，则37x y +=，561052x y +=⨯，解得12x =，25y =， 故正六边形个数为25个，即六元环的个数为25个， 故选：B.4．若对于函数()f x 定义域内的任意一个自变量1x ，都存在唯一一个自变量2x ，使得12()()1f x f x =成立，则称这样的函数为“F 函数”，则下列四个函数：①()ln(1)f x x =-；②1()e x f x +=；③2()1f x x =+；④()tan f x x =，π(0,)2x ∈.其中“F 函数”的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】根据“F 函数”的定义一一验证每个选项中的函数，符合该定义的即为“F 函数”，由此可得答案.【详解】对于①()=ln(1)f x x -，当12x =时，1()=0f x ，此时不存在2x ，使得12()()1f x f x =，故①不是“F 函数”；对于②+1()=e x f x ，对于定义域内的任意一个自变量1x ，都存在唯一一个自变量21=2x x --，使得11+11012()()=e ?e =e =1x x f x f x --， 故②1()e x f x +=是“F 函数”；对于③2()1f x x =+，对于定义域内的任意一个自变量x ，都有2()=+11f x x ≥， 取12x = ，则1()=5f x ，定义域内不存在2x ，使得21()5f x =，即不能使得12()()1f x f x =，故③不是“F 函数”；对于④()tan f x x =，π(0,)2x ∈定义域内的任意一个自变量1x ,都存在唯一一个自变量212ππ=,(0,)22x x x -∈,使得12111πsin()π12()=tan()==π2tan cos()2x f x x x x ---，从而使得12111()()=tan ?=1tan f x f x x x ， 故④为“F 函数”； 故选：C二、填空题5．设i 是虚数单位，若()i i 1b +是纯虚数，则实数=b _________. 【答案】0【分析】根据复数的乘法运算，结合纯虚数的概念，即可求得答案.【详解】由题意得()i i 1i b b +=-+，因为()i i 1b +是纯虚数，则0b -= ，即=0b ，故答案为：06．满足条件{}{}1,21,2,3,4M ⊆⊆的集合M 共有___________个． 【答案】4【详解】符合题意的集合M 有{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,44个7．若1tan 2θ=-，那么221sin cos sin cos θθθθ+=-______. 【答案】-1.【分析】原式变形为关于sin ,cos θθ的齐次分式，代入求值.【详解】2222221sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθ+++=-- 22tan 1tan tan 1θθθ++=- 111421114+-==--. 故答案为：1-【点睛】本题考查根据tan θ的值化简sin ,cos θθ的齐次分式，并求值，意在考查变形化简计算的能力，属于基础运算题型.8．已知抛物线24y x =上一点0(M x ，则点M 到抛物线焦点的距离等于______________． 【答案】4.【详解】分析：把点(0M x 代入抛物线方程，解得0x ．利用抛物线的定义可得：点M 到抛物线焦点的距离01x +．详解：把点(0M x代入抛物线方程可得：204x =，解得03x = ． ∴点M 到抛物线焦点的距离014x =+= ． 故答案为4．点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．不等式3112x x-≥-的解集为___________. 【答案】3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭324x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【分析】根据题意，将分式不等式转化为一元二次不等式，即可求解.【详解】根据题意，由3112x x -≥-，得4302x x -≥-，即()()432020x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得324x ≤<，因此不等式3112x x -≥-的解集为3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭.10．在△ABC 中，2AB =，3AC =，0AB AC ⋅<，且△ABC 的面积为32，则BAC ∠=_______【答案】150 【详解】试题分析：113sin 23sin 222S AB AC BAC BAC =∠=⨯⨯⨯∠=，，∵0AB AC ⋅<，∴90BAC ∠>︒，∴150BAC ∠=︒． 【解析】三角形的面积，向量的夹角． 11．2341001111log 100!log 100!log 100!log 100!++++=_________ .【答案】1【分析】根据换底公式，以及对数的运算法则，求解即可 【详解】根据换底公式：2341001111log 100!log 100!log 100!log 100!++++lg 2lg3lg !lg100!lg100!lg14lg1000!lg1000=++++lg 2lg3lg 4..!g .lg 100100l =++++lg100!lg100!lg1lg 2lg3lg 4...lg100lg(123...100)=+++⨯=++⨯⨯⨯1lg lg 01001!0!== 故答案为：112．在621x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中常数项是_______．（用数值回答）【答案】581【分析】求得621x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式通项为()16206,rr r T C x r r N x +⎛⎫=+≤≤∈ ⎪⎝⎭，并求得2rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式通项212k k r kk r T C x -+'=，令20r k -=，对k 、r 分类讨论即可得出答案.【详解】621x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式通项为()16206,rr r T C x r r N x +⎛⎫=+≤≤∈ ⎪⎝⎭，2r x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式通项()212206,,kk r k k k r k k r r T C x C x k r k r N x --+⎛⎫'=⋅=≤≤≤∈ ⎪⎝⎭， 令20r k -=，0k =，0r =时，可得11T =；1k =，2r =时，可得22362T C x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1222T C '=，2162260C C ∴⨯=；2k =，4r =时，可得44562T C x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2234224T C '==，4624360C ∴⨯=； 3k =，6r =时，可得66762T C x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，33462160T C '==，66160160C ∴⨯=. 因此，621x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中常数项为160360160581+++=.故答案为：581.【点睛】本题考查了三项展开式中常数项的计算，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．13．若不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是_________.【答案】11,,24⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】首先若满足不等式恒成立，即()min 12a x a x a -+≤-++，利用绝对值三角不等式求最小值，最后解不等式求a 的取值范围.【详解】()()2223x a x a x a x a x a x a a -++=-++≥--+=， 当()(2)0x a x a -+≤时等号成立，即()min 23x a x a a -++=， 若满足不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立， 即13a a -+≤ ，即31a a ≥-或31a a ≤- ， 解得：14a ≥或12a ≤-. 故答案为：11,,24⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭14．设P 是ABC 内的一点，且=2BC ，3CA =，=4AB ，则222234PA PB PC ++的最小值为_________. 【答案】24【分析】通过建立平面直角坐标系，利用坐标法、点点到直线的距离公式进行求解.【详解】如图，以AB 中点为原点建立平面直角坐标系，由题可知，164911cos 24216B +-==⨯⨯，所以5(8C ，(20)A -，，(20)B ，，设(,)P x y ，则()2222PA x y =++，()2222PB x y =-+，22258PC x y ⎛⎛⎫=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以2222222210999309334x y x x y x PA PB PC ++⎛⎫=+--+=+- ⎪ ⎪⎝⎭221889924233x y ⎡⎤⎛⎛⎫⎢⎥=-++≥⨯= ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当1,2x y ==时，取到等号. 故答案为：24.15．如果函数()=y g x 满足：对任意实数m 、n 均有()()()()12g mn g m g n g n m +-=--成立，那么称()=y g x 是“次线性”函数，若“次线性”函数()=y f x 满足()01f =，且两正数x 、y 使得点()21,32x xy --在函数()=y f x 的图像上，则142log ()log x y x +-的最大值为_________. 【答案】1-【分析】根据定义，利用赋值法可求出()1f x x =+，再利用导数求最值可得解. 【详解】令0m n ==，则(1)(0)(0)=2(0)0f f f f ---成立， 因为函数()=y f x 满足()01f =，所以(1)=2f ， 令=,0m x n =，则有()()()()10=20f f x f f x ---， 从而有()1f x x =+，因为1422log (+)log =log (+x y x x y --所以142log (+)log x y x -的最大值，即(x y +又因为正数,x y 使得点()21,32x xy --在函数()=y f x 的图像上，所以有2231+1=32=>00<2x x xy y x x-⇒⇒--所以223(++2x x y x x -14(0,3)t ∈24+32t t =， 令4+3()2t h t t =，则42223(1)3(+1)(+1)(1)()==22t t t t h t t t --'， 当14()>01<<3h t t ⇒'，()<00<<1h t t ⇒'，所以函数()h t 在(0,1)上单调递减，在14(1,3)上单调递增， 所以min 13()(1)22h t h +===，所以min [(2x y +=所以14222log (+)log =log (+log 2=1x y x x y ----.所以142log (+)log x y x -的最大值为1-.故答案为：1-三、解答题16．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(),(1,2,,20)i i x y i =，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：头），并计算得20160i i x ==∑，2011200i i y ==∑，()202180i i x x=-=∑，()20219000i i y y=-=∑，()()201800iii x x y y =--=∑.(1)估计该地区这种野生动物的数量； (2)求样本(),(1,2,,20)i i x y i =的相关系数.（精确到0.01）【答案】(1)12000 (2)0.94【分析】（1）计算出样区野生动物的数量的平均值，乘以地块数，即得答案； （2）根据相关系数公式进行计算，可得答案.【详解】(1)由已知得样本平均数20111=12006002020i i y y ==⨯=∑ ， 从而该地区这种野生动物数量的估计值为2060012000⨯=.(2)由()202180i i x x=-=∑，()20219000i i y y=-=∑，()()201800i i i x x y y =--=∑，可得样本(,)()1220i i x y i =，，， 的相关系数为20()()0.94iix x y y r -===≈-∑.17．已知数列{}n a 的前n 项和31n S n =-，数列{}n b 满足11b =-，()121n n b b n +=+-. (1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式. (2)若n nn a b c n⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】(1)2,13,2n n a n =⎧=⎨≥⎩，22n b n n =-(2)22,1392,22n n T n n n -=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩【分析】（1）先利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a ，再利用累加法求出n b ；（2）先利用（1）结果求出n c ，再利用等差数列求和公式进行求和即可． 【详解】(1)∵31n S n =-，∴134,2-=-≥n S n n ， ∴()1313432n n n a S S n n n -=-=--+=≥， 当1n =时，1123S a ==≠，∴2,13,2n n a n =⎧=⎨≥⎩，∵()121n n b b n +=+-，∴211b b -=，32433,5,-=-=b b b b …，123,2n n b b n n --=-≥， 以上各式相加得：21(1)(123)135(23)(1)2,2n n n b b n n n -+--=++++-==-≥，22n b n n =-，又11b =-符合上式，∴22n b n n =-；(2)由题意得2,136,2n n c n n -=⎧=⎨-≥⎩，1n =时，12T =-,当2n ≥时，()20363921222n n n n T n +--+=⨯--=， ∴22,1392,22n n T n n n -=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩.18．某科技公司新研制生产一种特殊疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验．某次检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根据测量结果得到如下频率分布直方图：（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）技术分析人员认为，本次测量的该产品的质量指标值X 服从正态分布()2,12.2N μ，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算μ，并计算测量数据落在(187.8,212.2)内的概率；（3）设生产成本为y 元，质量指标值为x ，生产成本与质量指标值之间满足函数关系0.4,2050.8100,205x x y x x ≤⎧=⎨->⎩假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产疫苗的平均成本． 参考数据：()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<<+≈．【答案】（1）0.002a =；（2）200；0.6827；（3）75.04元． 【分析】（1）由频率之和等于1求出a 的值；（2）先由频率分布直方图求平均数的方法得出μ，再由参考数据得出数据落在(187.8,212.2)内的概率；（3）先由频率分布直方图得出每组的质量指标值，再根据生产成本与质量指标值之间的函数关系得出生产疫苗的平均成本．【详解】解：（1）由10(0.0090.0220.0330.0240.008)1a a ⨯++++++= 解得0.002a =．（2）依题意，1700.021800.091900.222000.332100.24μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+ 2200.082300.02200⨯+⨯=故()2200,12.2X N ~所以(187.8212.2)(20012.220012.2)0.6827P X P X <<=-<<+≈ 故测量数据落在(187.8,212.2)内的概率约为0.6827（3）根据题意得0.41700.020.41800.090.41900.220.4200y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.33(0.8210100)0.24(0.8220100)0.08(0.8230100)0.02+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯75.04=故生产该疫苗的平均成本为75.04．【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于由频率分布直方图计算平均数的方法得出μ，进而由正态分布的性质得出概率.19．三棱锥P ABC -中，PA PB PC BC a ====，且PB 与底面ABC 成60︒角.(1)设点P 在底面ABC 的投影为H ，求BH 的长； (2)求证：ABC 是直角三角形； (3)求该三棱锥体积的最大值. 【答案】(1)12a ； (2)证明见解析；3.【分析】（1）根据题意找到PBH ∠为PB 与底面ABC 所成角，即可求得答案； （2）确定点H 为ABC 的外心，且落在BC 的中点处，即可证明结论; （3）求出底面三角形面积的最大值，根据三棱锥体积公式即可求得答案. 【详解】(1)如图，点P 在底面ABC 的投影为H ，则PH ⊥底面ABC ,则PBH ∠为PB 与底面ABC 所成角.，即60PBH ∠=︒， 故1122BH PB a ==； (2)因为==PA PB PC ，则HA HB HC ==,即H 为ABC 的外心， 设BC 的中点为D ，连接HD ，则HD BC ⊥，所以PD PH =,即PD PH =,故,D H 重合，则12AD a == ， 则12AD BC =,则90BAC ∠=,故ABC 是直角三角形； (3)设,,0,0AB m AC n m n ==>>，则222m n a += ，故22222m n a mn +≤=，当且仅当m n ==时取等号，故21124ABC S mn a =≤，故三棱锥P ABC -体积的最大值为231134a ⨯= .20．已知()()ln 1f x x ax =++.(1)当=1a 时，求曲线()=y f x 在点()()0,0P f 处的切线方程； (2)当10a -<<时，研究函数()=y f x 在区间()0,∞+上的单调性；(3)是否存在实数a 使得函数()=y f x 在区间()1,0-和()0,∞+上各恰有一个零点？若存在，请求出实数a 的取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2y x =；(2)()f x 的单调递增区间是10,1a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间是11,a ⎛⎫⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)不存在，理由见解析；【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线的斜率，利用点斜式求切线方程；（2）求()f x 的导数，讨论导数的正负，从而得到()f x 的单调区间； （3）分0a ≥，1<0a -≤和<1a -进行讨论，通过导数求其单调性即可 【详解】(1)若=1a ，则()()=ln 1++1f x x x x >-，，()111f x x'=++， 则函数在()()0,0P f 处的切线的斜率()0=2k f '=，又()0=0f ， 所以曲线()=y f x 在点()()0,0P f 处的切线方程是2y x =； (2)由()(),0ln 1f x x ax x =+>+可得()1111ax a f x a x x++'=+=++， 当1<<0a -时，令()=0f x '，解得1=1+>0x a -⎛⎫⎪⎝⎭当10<<1+x a -⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1>1+x a -⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递增区间是10,1+a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间是11+,+a -∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)当0a ≥时，()1=+01+f x a x≥'，所以()f x 在()1,+-∞单调递增，故不可能有两个零点，故舍去；当1<0a -≤时，令()=0f x '，解得1=1+0x a -≥⎛⎫⎪⎝⎭当11<1+x a -≤-⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x ≥'，()f x 单调递增；因为()0=0f ，且101,1+a ∈--⎛⎤⎛⎫ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故当()1,0x ∈-，()()00f x f <=，故此时()f x 在区间()1,0-无零点；当<1a -时，令()=0f x '，解得()1=1+1,0x a -∈-⎛⎫⎪⎝⎭，当1>1+x a -⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；因为()0=0f ，且101+,+a ∈-∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当()0,+x ∈∞，()()00f x f <=，故此时()f x 在区间()0,+∞无零点；综上所述，并不存在实数a 使得函数()=y f x 在区间()1,0-和()0,+∞上各恰有一个零点 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()=0f x 分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线=y a 与函数()=y g x 的图象的交点问题.21．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点为()2,0F ，渐近线方程为y =，过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点. (1)求C 的方程；(2)若直线AB 的斜率为1，求线段AB 的中点坐标；(3)点()11,P x y 、()22,Q x y 在C 上，且120x x >>，10y >.过P 且斜率为QM .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)2213y x -=(2)(1,3)-- (3)答案见解析.【分析】（1）根据双曲线渐近线方程和右焦点列出方程，即可求出答案； （2）首先求出点M 的轨迹方程即为3,M M y x k=其中k 为直线PQ 的斜率； 若选择①②∶设直线AB 的方程为=(2)y k x - ，求出点M 的坐标，可得M 为AB 的中点，即可推出||=||MA MB ；若选择①③︰当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为=(2)y m x -，求出点M 的坐标，即可PQ AB ∥；若选择②③∶设直线AB 的方程为=(2)y k x -，设AB 的中点C ，求出点C 的坐标，可得点M 恰为AB 中点，故点M 在直线AB 上．【详解】(1)由题意可得2,b c a = 2ba=，解得1,a b ==，因此C 的方程为 22=13y x -；(2)由直线AB 的斜率为1，得直线AB 的方程为=2y x -，联立=2y x y -⎧⎪⎨⎪⎩，得：=1=3x y ---⎧⎪⎨⎪⎩，不妨设(1,3A ---,联立=2=y x y --⎧⎪⎨⎪⎩，得：1=x y -⎧⎪⎨⎪⎩，不妨设1,B -, 故线段AB 的中点的横坐标为1-，纵坐标为3-， 故线段AB 的中点的坐标为(1,3)--；(3)由题意设直线PQ 的方程为=+(0y kx m k ≠，） ，将直线PQ 的方程代入22=13y x -得 222(3)23=0k x kmx m ----,22Δ=12(+3)>0m k -,因为12>>0x x ，21212222+3+=>0,=>033km m x x x x k k ∴---，23<0k ∴-，12x x ∴- 设点M 的坐标为(,)M M x y ,则1122=))M M M M y y x x y y x x -----⎧⎪⎨⎪⎩，整理得1212+)M y y x x --，1212=()y y k x x --，1212+)+()M x x k x x ∴-，解得M x又因为12122(+)M y y y x x --，12121212+=(+)+2, 2)+(+)+2M y y k x x m y x x k x x m ∴-，M y ∴3=M M y xk ∴；若选择①②作条件：设直线AB 的方程为=(2)y k x -，并设A 的坐标为33(,)x y ，B 的坐标为44(,)x y ，则3333=(2)y k x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得33x y同理求得44=x y - 2343422412+=,+=33k kx x y y k k ∴--，此时点M 的坐标满足=(2)3=M M M M y k x y x k -⎧⎪⎨⎪⎩， 解得23434222161==(+),==(+)3232M M k k x x x y y y k k --，故M 为AB 的中点，即MA MB =，即③成立 ； 若选择①③作条件：当直线AB 的斜率不存在时，点M 即为点(20)F ，，此时不在直线3y x k= ，矛盾， 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为=(2),(0)y m x m -≠ ，并设A 的坐标为55(,)x y ，B 的坐标为66(,)x y ，则5555=(2)y m x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得55x y同理解得66=x y -此时256212=(+)=23M m x x x m -，56216=(+)=23M m y y y m ∴-，由于点M 同时在直线 3y x k =上，故222632=33m m m k m ⋅-- 解得k m = ， 因此PQ AB ∥ ，即②成立． 若选择②③作条件：设直线AB 的方程为=(2)y k x - ，并设A 的坐标为78(,)x y ，B 的坐标为88(,)x y ，则7777=(2)y k x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得77x y同理可得88=x y - 设AB 的中点为(,)C C C x y ,则27878221216=(+)=,=(+)=2323C C k kx x x y y y k k --， 由于MA MB =，故M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线1=()C C y y x x k---上， 将该直线与3y x k =联立，解得22226==,==33M C M C k kx x y y k k --，即点M 恰为AB 中点，即点M 在直线AB 上, ①成立；【点睛】本题考查了双曲线方程的求法以及双曲线几何性质的应用，以及直线和双曲线的位置关系，综合性强，计算量大，解答时要明确解题思路，关键是联立方程进行计算十分繁杂，要特别注意准确性.四、双空题22．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A ，B ，M 是该多面体的三个顶点，点N 是该多面体外接球表面上的动点，且总满足MN AB ⊥，若4AB =，则该多面体的表面积为______；点N 轨迹的长度为______．【答案】【分析】分别算出每一部分的面积，即可求出该多面体的表面积；首先根据题干中找出点N 的轨迹，然后代入公式即可求出长度.【详解】根据题意该正四面体的棱长为3=12AB ，点A ，B ，M 分别是正四面体的棱三等分点.该正四面体的表面积为141212sin602︒⨯⨯⨯⨯=该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体，每个角上小正四面体的侧面积为1344sin602︒⨯⨯⨯⨯=每个角上小正四面体的底面积为144sin 602︒⨯⨯⨯=所以该多面体的表面积为44⨯⨯=如图，设点H 为该多面体的一个顶点， 则8HF MF ==，4BF =.在HBF 中，22212cos606416248482HB HF BF HF BF ︒=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=则HB =222HB BF HF +=，HB BF ∴⊥，即HB AB ⊥，同理MB AB ⊥，又MB HB B =，AB ∴⊥平面MHB .点N 是该多面体外接球表面上的动点，由题可知，正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，且总满足MN AB ⊥，∴点N 的轨迹是HBM △的外接圆.BH BM ==21283MH =⨯=，在HBM △中，由余弦定理得2221cos 23HB MB HM HBM HB MB +-∠===⋅，sin HBM ∴∠== 设HBM △的外接圆的半径为r ，由正弦定理得2sin MH r HBM ===∠r ∴=∴点N的轨迹长度为2πr =.故答案为：.【点睛】本题的第一小空利用表面积公式即可求解，第二小空分析出正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，才可以找出点N 的轨迹.。
上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、填空题1．函数2sin y x =的最小正周期是．2．已知复数32i z =-是方程22260x px ++=的一个根，则p =．3．若幂函数()()25mf x m m x =--在()0,∞+单调递减，则m =.4．已知集合{}2,1,4A m =+，{}2,1=B m ，若B A ⊆，则实数m =．5．已知函数()21f x ax x a =+++为偶函数，则a =．6．要考查某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001、002、L 、850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，则抽到的第4颗种子的编号是.（下面抽取了随机数表第1行至第3行）0347437386369647366146986371623326168045601114109597749467744281145720425332373227073607512451798973167662276656502671073290797853135538585988975414107．ABC 中，::1sinA sinB sinC =cosA cosB cosC ++=.8．设()22sin cos 0y a x b x a b =++≠图像的一条对称轴是直线3x π=，则直线0ax by c ++=的倾斜角为.9．二项式nx ⎛⎝的展开式中仅有第5项系数最大，则它的展开式中常数项为（用数字作答）10．正实数a 、b 满足：222a b -=，则ba的取值范围为.11．已知双曲线的两条渐近线的夹角为60 ，则双曲线的离心率为．12．若函数()()()sin 0,0,02πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则ϕ的值是.13．直线l 与椭圆22132x y +=交于A 、B 两点，F 为椭圆左焦点.则ABF △周长最大值是.14．定义在[]0,2024上的函数()f x 满足()()02024f f =且对于任意[],0,2024x y ∈，均有()()f x f y x y -≤-，若对于所有满足上述条件的函数()f x ，均存在实数m ，使得对于任意[],0,2024x y ∈，总有()()f x f y m -≤，则实数m 的最小值为.15．已知点,G O 在ABC V 所在平面内，满足0,||||||GA GB GC OA OB OC ++=== ，且3AG AO ⋅=，||AG = ，则边BC 的长为．16．设一个几何体的表面积为S ，体积为V ，定义其体积系数32S K V=.将两个完全相同的正n棱锥底面完全贴合在一起构成一个新的多面体，其体积系数与原正n 棱锥体积系数相同，则该正n 棱锥侧面与底面所成的角为.（弧度数，精确到0.1弧度)17．对于平面中的点集()()(){}1122Ω,,,,,,n n n x y x y x y = ，定义直线()f x kx b =+相对n Ω的"拟合误差"为()121i i nQ y f x =⎡⎤=-⎣⎦∑.已知点集()()(){}3Ω0,0,1,1,1,2=，直线()f x kx b =+相对3Ω的"拟合误差"的最小值为.18．已知一个正方形ABCD 的四个顶点都在函数39()12f x x x =-+的图象上，则此正方形的面积为．二、单选题19．设,a b R ∈,则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件20．在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多于文科生，女生多于男生，则关于本次学生样本的数据中，结论一定成立的是（）A ．理科男生多于文科女生B ．文科女生多于文科男生C ．理科女生多于文科男生D ．理科女生多于理科男生21．已知()111,P a b 与()222,P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y的方程组11221,1a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（）A ．无论k 、1p 、2p 如何，总是无解B ．无论k 、1p 、2p 如何，总有唯一解；C ．存在k 、1p 、2p ，使之恰有两解D ．存在k 、1p 、2p ，使之有无穷多解22．某班同学身高的平均数为z ，方差为2S ，其中女生身高12,,,m x x x 的平均数为x ，方差为21S ，男生身高12,,,n y y y 的平均数为y ，方差为22S ，下列说法错误的是（）A ．若x y <，则x z y <<B ．若2212S S <，则22212S S S <<C ．若m n =，则1()2z x y =+D ．若x y =，则22212mS nS S m n+=+三、解答题23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为()3,0A ，过点()32P ,的直线l 与C 交于,M N 两点.(1)求椭圆的方程;(2)若C 的上顶点为B ，直线,BM BN 的斜率分别为12,k k ，求证:1211k k +为定值.24．已知函数=是定义在R 上的增函数.(1)若()31f x ax =+，求a 的取值范围；(2)若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；(3)设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值.函数()()()h x f x g x =.证明：“ℎ是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.。