多项式响应面模型
6.3-第六章-多项式回归-响应面
在响应面分析中，首先要得到回归方：
y ˆf(x1， x2， ， xl)
然后通过对自变量 x1，x2， ，xl 的合理取值，求
得使 y ˆf(x1， x2， ， xl)最优的值，这就是响应 面分析的目的。
[例13.15] 有一个大麦氮磷肥配比试验，施氮肥量为 每亩尿素0，3，6，9，12，15，18kg 7个水平，施 磷肥量为每亩过磷酸钙0，7，14，21，28，35， 42kg 7个水平，共49个处理组合，试验结果列于表 13.66，试作产量对于氮、磷施肥量的响应面分析。
理配置直线回归方程，并作显著性测验。 3．将直线回归方程转换成相应的曲线回归方程，并
对有关统计参数作出推断。
表11.1 常用曲线回归方程的直线化方法
应用上述程序配置曲线方程时，应注意以下3点： (1) 若同一资料有多种不同类型的曲线方程配置，
需通过判断来选择。统计标准是离回归平方和 最小(的y当 yˆ选)2。 (2) 若转换无法找出显著的直线化方程，可采用多 项式逼近， (3) 当一些方程无法进行直线化转换，可采用最小 二乘法拟合。
a bx
y
1y
b
a＞， 0b＜0
a＞ 0，b＞ 0
x
a x
图11.4 方程 yˆ 的x图象
b
a bx
五、S型曲线
S型曲线主要用于描述动、植物的自然生长过程，故
又称生长曲线。
y
Logistic曲线方程为：
ln a
b
yˆ
1
k aebx
k
k 2
k 1 a
x
第二节 曲线方程的配置
一、曲线回归分析的一般程序 二、指数曲线方程 yˆ aebx的配置 三、幂函数曲线方程的配置 四、Logistic曲线方程的配置
3 Design of Experiment
DOE Techniques
全析因试验设计（Full Factorial Design）
因素：在试验设计中，系统的输入变量； 水平：输入变量在样本点处的值； 全析因试验设计：指一次完全试验中，系统的所有因素的所有水平可能的 组合都要被研究到的一种试验设计。 优点：能够分析因素对系统影响的大小和分析因素间的交互作用。 缺点：试验的次数较多。
Factors
选择 sfc
Main Effect Plots
随着sfc的增加 Aircraft of Range 减小
Main Effect Plots
Pareto Plots
红色：随着该参数 的值增加，目标值 降低； 蓝色：随着该参数 值的增加，目标值 增加；
Interaction
1）对于航程而言 机翼面积和巡航速 度有交互作用 2）机翼面积大、 巡航速度小 机翼面积小、巡航 速度大时 航程大
因素： A、B、C 水平： 1、2 共计： 32＝9
DOE Techniques
参数研究试验设计（Parameter Study）
一个因素的不同水平在一次试验设计被研究，而其它因素保持基准值。
Base value
DOE Techniques
数据文件试验设计（Data File）
由用户自己安排试验设计的一种方式。
No Interaction
1）对于失速速度 而言 机翼面积和载荷重 量没有交互作用 2）机翼面积增加 失速速度减小 3）载荷重量增加 失速速度增加
Factors
1）横坐标代表试 验的次数
2）纵坐标代表每 次试验的水平
代理模型(Surrogate Models)回顾
代理模型:是指计算量小、但其计算结果与高精度模型的计 算结果相近的分析模型。 代理模型的构造方法： 用某种方法产生设计变量的样本点； 用高精度分析模型对这些样本点进行分析，获得一组输入/ 输出的数据； 用某种拟合方法来拟合这些输入/输出的样本数据，构造出 近似模型，并对该近似模型的可信度进行评估。
6.3-第六章-多项式回归-响应面
1 X
x12
x22
xk21
x12
x122
x1k2
1 x1n x2n xkn 1 x1n x12n x1kn
和
y 1
Y
y2
y n
求得 XX、XY和( XX)-1，并由
b=( XX)-1( XY)获得相应的多项式回归统计数。
(四) 多项式回归方程的估计标准误
y 的总平方和 SSy 可分解为回归和离回归两部分：
曲线回归分析方法的主要内容有：
① 确定两个变数间数量变化的某种特定的规则或规 律；
② 估计表示该种曲线关系特点的一些重要参数，如 回归参数、极大值、极小值和渐近值等；
③ 为生产预测或试验控制进行内插，或在论据充足 时作出理论上的外推。
第一节 曲线的类型与特点
一、指数函数曲线 二、对数函数曲线 三、幂函数曲线 四、双曲函数曲线 五、S型曲线
F
Qk
Uk /k /[n(k 1
)]
(11·24)
可测验多项式回归关系的真实性。
相关指数：Ry·x，x2， ，，kxk次多项式的回归平方
和占Y总平方和的比率的平方根值，可用来表示Y与X
的多项式的相关密切程度。
Ry· x，x2， ，xk Uk /SSy
(11·25)
决定系数：在Y 的总变异中，可由X 的k 次多项式
3 162.5 204.4 238.9 275.1 237.9 204.5 192.5
6 216.4 276.7 295.9 325.3 320.5 286.9 219.9
氮肥 9
274.7 342.8 363.3 336.3 353.7 322.5 278.0
12 274.3 343.4 361.7 381.0 369.5 345.9 319.1
一种新的非高斯随机振动疲劳寿命估计方法
一种新的非高斯随机振动疲劳寿命估计方法袁毅;程军圣【摘要】构造了非高斯修正系数的多项式响应面模型，提出了一种基于高斯近似的非高斯随机振动疲劳寿命估计方法。
采用Winterstein传递函数法将非高斯随机应力转化成高斯随机应力，并联合雨流计数和Miner损伤准则分别估算两种随机应力下的累计损伤和谱矩，对多个样本进行最小二乘拟合之后构建一个关于应力谱矩和非高斯修正系数的多项式响应面模型。
利用高斯近似法估算非高斯随机振动疲劳损伤量，并与经过雨流计数和Miner损伤准则估算的非高斯随机过程下疲劳损伤对比，结果表明：高斯近似法具有较好的精度。
%Here,a non-Gaussian correction coefficient’s polynomial response surface model was constructed,and a new method for fatigue life estimation under non-Gaussian random vibration was proposed.Non-Gaussian random stress was transformed into Gaussian random stress using Winterstein transfer function method.The cumulative damages and spectral moments for the two types of stresses were estimated using the rain-flow counting and Miner damage criterion.A polynomial response surface model for stress spectral moments and non-Gaussian correction coefficient was constructed by applying the least square method to manysamples.Contrasting non-Gaussian random vibration damages estimated with Gaussian approximation method and those estimated with the rain-flow counting and Miner damage criterion,the results showed that Gaussian approximation method has a better accuracy.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2014(000)018【总页数】5页(P209-213)【关键词】响应面;非高斯;振动疲劳;非高斯修正系数;疲劳寿命估计【作者】袁毅;程军圣【作者单位】湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙 410082;湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙 410082【正文语种】中文【中图分类】V215.5结构振动疲劳是指结构所受动态交变载荷（振动、冲击、噪声载荷等）的频率分布与结构固有频率分布具有交集或相接近时，结构共振所导致的疲劳破坏现象［1－2］。
三因素三水平响应面法
三因素三水平响应面法一、因素与水平的设定。
1. 因素。
- 设三个因素分别为A、B、C。
这些因素可以是在某个实验或过程中的变量，例如在化学实验中，A可能是反应温度，B可能是反应物浓度，C可能是反应时间等。
2. 水平。
- 对于因素A，设三个水平为A1、A2、A3。
例如，如果A是反应温度，A1 = 30°C，A2 = 40°C，A3 = 50°C。
- 对于因素B，设其三个水平为B1、B2、B3。
如B是反应物浓度，B1 = 1mol/L，B2 = 2mol/L，B3 = 3mol/L。
- 对于因素C，设三个水平为C1、C2、C3。
若C是反应时间，C1 = 1h，C2 =2h，C3 = 3h。
二、实验设计。
1. 全因子实验设计。
- 全因子实验设计需要进行3×3×3 = 27次实验。
这种设计可以全面地考察三个因素及其交互作用对响应变量的影响。
例如，在上述化学实验中，响应变量可能是产物的产率。
- 实验组合如下（以(A, B, C)形式表示）：(A1, B1, C1)、(A1, B1, C2)、(A1, B1, C3)、(A1, B2, C1)、(A1, B2, C2)、(A1, B2, C3)、(A1, B3, C1)、(A1, B3, C2)、(A1, B3, C3)、(A2, B1, C1)、(A2, B1, C2)、(A2, B1, C3)、(A2, B2, C1)、(A2, B2, C2)、(A2, B2, C3)、(A2, B3, C1)、(A2, B3, C2)、(A2, B3, C3)、(A3, B1, C1)、(A3, B1, C2)、(A3, B1, C3)、(A3, B2, C1)、(A3, B2, C2)、(A3, B2, C3)、(A3, B3, C1)、(A3, B3, C2)、(A3, B3, C3)。
2. 部分因子实验设计（当交互作用可忽略时）- 如果根据先验知识或预实验判断某些因素之间的交互作用可以忽略不计，可以采用部分因子实验设计来减少实验次数。
响应面回归设计
4
5 6 7 8 9 10 11 12
1
-1 -1 -1 -1 -1.2872 1.2872 0 0
-1
1 1 -1 -1 0 0 -1.2872 1.2872
-1
1 -1 1 -1 0 0 0 0
85.54
54.46 54.46 54.46 54.46 50 90 70 70
4.45
7.55 7.55 4.45 4.45 6 6 4 8
70 54.46 90
50
6 4.45 8
4
2 1.22 3
1
+γ -γ
二次回归正交设计
实验设计与结果表
No 1 2 3 X1 1 1 1 X2 1 1 -1 X3 1 -1 1 Temp 85.54 85.54 85.54 Pres 7.55 7.55 4.45 Hour 2.78 1.22 2.78 Y 0.0947 0.0903 0.0987
Y —响应变量；x —第j个自变量； ε —正态随机误差；β 0 —回归截距； β —回归系数；
回归模型
二次响应面模型的矩阵描述：
Y X 2 ~ N 0 , I n n
Y —响应变量；X —结构矩阵； ε —正态随机误差；n —数据组数； 0 —nx1的元素全是0的向量；
xj
z j z0 j j
j ( z 2 j z1 j ) / 2
z 0 j ( z1 j z 2 j ) / 2
因素水平编码
(-1,-1,1)
(-1,1,1)
x3
(1,1)
(-1,-1,-1)
o x1
x2
响应面方法
• 许多试验设计与优化方法，特别是在做回归分析过程中，都未能给出直 观的图形，因而也不能凭直觉观察其最优化点，虽然能找出最优值，但 难以直观地判别优化区域。
• 响应面分析是将体系的响应（如萃取化学中的萃取率）作为一个或多个 因素（如萃取剂浓度、酸度等）的函数，运用图形技术将这种函数关系 显示出来，以供我们凭借直觉的响观应面察方来法 选择试验设计中的最优化条件。
响应面设计模型种类
中心组合设计（Central Composite，包括通用旋转组合设计、二次组合设 计等）
响应面方法
• 对于表1的数据可以采用二元二次多项式拟合，那么产量可表 示为：yij=b0+b1Ni+b2Pj+b3NiPj+b4Ni2+b5Pj2+ εij
其中Ni、Pj、εij 分别表示N、P施用量和误差，按此模型的方差 分析见表2。
表 2 二元二次多项式回归分析的方差分析(全模型)
变异来源
回归
• 囊括了试验设计、建模、检验模型适合性、寻求最佳组合条 件等众多实验和统计技术；通过对过程的回归拟合和响应曲 面与等高线的绘制、可方便地求出响应于各因素水平的响应 值。在各因素水平的响应值的基础上，找出预测的响应最优 值以及相应的实验条件。
• 前提：设计的实验点应包括最佳的实验条件，如果实验点的 选取不当，使用响应面优化法是不能得到很好的优化结果的。 因而，在使用响应面优化法之前，应当确立合理的实验的各 因素与水平。
• 建模最常用和最有效的方法之一就是多元线性回归方法。对于非线性体系 可作适当处理化为线性形式。
响应面方法
二因素响应面分析
• 在化学量测实践中，一般不考虑三因素及三因素以 上间的交互作用。因此假设二因素响应（曲）面的 数学模型为二次多项式模型。
• 通过ｎ次测量试验（试验次数应大于参数个数，一 般认为至少应是它的３倍），以最小二乘法估计模 型各参数，从而建立模型；
• 求出模型后，以两因素水平为Ｘ坐标和ｙ坐标，以 相应的响应为Ｚ坐标作出三维空间的曲面（这就是 ２因素响应曲面）。
磷肥
0 7 14 21 28 35 42
0 86.9 110.4 134.3 162.5 158.2 144.3 88.7
表1
3 162.5 204.4 238.9 275.1 237.9 204.5 192.5
大麦氮磷肥配比试验结果
氮肥
6
9
12
216.4 274.7 274.3
276.7 342.8 343.4
误差
总变异
DF
SS
MS
F
5
332061.25 66412.25 352.08** F F = 0.05(5,43) 2.44; =3.49 0.01(5,43)
• 前提：设计的实验点应包括最佳的实验条件，如果实验点的
选取不当，使用响应面优化法是不能得到很好的优化结果的。
因而，在使用响应面优化法之前，应当确立合理的实验的各
因素与水平。
a
2
• 响应面即回归的正交试验设计，考虑了实验随机误差；可以在因素的试 验范围内选择适当的试验点，用较少的试验建立一个精度高，统计性质 好的回归方程，并能解决试验优化问题。
• 例如农作物产量与N、P、K的施肥量有关，可以 通过回归分析建立产量与施肥要素间的回归关系， 从而求得最佳施肥配方。
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抽样方法
全因子采样 正交采样 均匀采样 随机采样 拉丁超立方（LHS）
拉丁超立方（LHS）
由于LHS可兼顾样本点在参数空间的均匀性和随机性，一般在相同 样本数量下基于LHS方法抽取样本更具空间代表性，基于LHS获取样 本点建立的代理模型预测精度往往精度更高;此外LHS采样对参数维度 和样本数量没有直接要求，操作更为简单可控，故而系目前最为常用 的高维空间采样方案。
在一些结构设计开发阶段中，通过有限元仿真技术对产品的工程结构进行 性能分析和优化设计，在一定程度上缩短了分析和设计的循环周期。然而， 在计算机运算速度不断提高的同时，工程师对有限元仿真分析的精度要求也 会相应提高，尤其对于大量复杂且精细的工程结构而言，完成一次具有高保 真度的工程有限元仿真分析的计算代价就会大大提高。同时，伴随着多学科 优化设计的提出和研究，工程结构的优化设计往往需要大量的仿真分析来得 到不同设计变量组合的系统响应值，可见仅仅依靠有限元仿真技术来进行优 化设计会显得不切实际，也就是说，计算机能力的发展进步并没有明显缩短 实际复杂工程结构的优化设计周期，反而增加了有限元建模的复杂程度。
R
2
y i y i 1 N i 1 y i y i
N i 1
2
2
RSME
1
N
y i y i i
2
多项式响应面模型的优缺点
优点：能够有效过滤计算中的数值噪声，剔除由于模型迭代残差和收敛 不稳定带来的计算结果数值抖动，保证代理模型拟合结果的光顺平滑， 从而提高整个代理模型拟合过程的自动化程度、可靠性和适用性，有利 于后续的性能计算和优化。 缺点：由于多项式函数拟合高度非线性函数的能力不足，对于高度非线 性的系统响应，虽然通过增加多项式阶次降低拟合误差，但过拟合现象 导致模型的预测不稳定性也随之增加，且待定系数的增加使得模型对样 本数量的需求也大幅增加，导致建模效率降低。
模型对比
在模型拟合精度上，二次多项式适用于低阶非线性问题，而人工神经 网络、Kriging函数和径向基函数则适用广泛这是由于二次多项式限 于函数形式，只能对一阶或二阶函数进行拟合，而对高阶函数的拟合 则会产生较大的误差；在模型拟合效率上，人工神经网络和Kriging 函数的模型拟合过程耗时较长，而二次多项式和径向基函数则拟合效 率较高，这主要是由于人工神经网络的样本学习和Kriging 函数的极 大值获得通过多维多峰函数优化求解来完成，计算耗时。
多项式响应面模型
研究背景和意义
以福特汽车公司为例，该公司的一次汽车碰撞如果采用普 通仿真的方法进行计算，需要36160个小时。对于一个双 变量的优化问题，假设需要50次迭代，而每次迭代需要一 次碰撞仿真，那么总共要花费75天一11个月。显然，如 此长的仿真时间，在实际应用中不可能被接受。随着计算 机科学的快速发展，虽然计算机的计算性能己得到了极大 的提升，但是工程中的分析计算模型的复杂度也在不断增 加。
为了在一定程度上科学减少复杂耗时的仿真计算数量，代理模型技 术得到发展和完善，并作为研究热点逐渐应用到各个领域实际的复杂工 程优化设计中。 代理模型，也称为近似模型，是主要根据试验设计所选择的有限少量 样本点和基于有限元仿真或物理实验所得到的相应响应值，所构造的计 算复杂度低、计算速度快，但计算结果接近于实际结果的数学模型。因 此在满足一定精度的情况下可用来替代表征实际优化问题的数值模型， 进而减少耗时的有限元计算数量，满足在复杂工程结构优化设计中有效 缩短设计周期和计算机成本的要求。
0
ix i i
n
1
f x
0
+ x i x j + ix i ij i i j i
n n n
1 1
通常在进行计算的过程中，通常先采用一阶模型，其目的是引导实验 者沿着改善系统的路径快速而有效地最优的附近区域前进，一旦找到最 优区域，就可以用更精细的模型（例如二阶模型）进行分析以遍确定最 优点的位置。 通过利用最小二乘法估算回归方程的回归系数。构建多项式响应面模型。
全因子采样
随机抽样
Байду номын сангаас
拉丁超立方
代理模型的分类
多项式响应面模型（PRS） 径向基函数模型（RBF） Kriging模型（KRG） 多元自适应样条回归模型（MARS） 支持向量回归模型（SVR） 加权平均模型（WAM） 人工神经网络（ANN）
多项式响应面模型的数学模型
f x
代理模型法的主要步骤
1.选取抽样方法，根据所选取的抽样方法，选取抽样点和响应值，遵循 的原则是样本点的随机性和代表性，能够反映整个样本的发展情况。 2.根据样本点的线性和非线性，是否采用高阶和非高阶，具体实现什么 功能，比如需要有些预测性，需要高精度拟合等。选择合适的模型，也 可以选取多种模型进行对比，同时也可以用多个模型来处理同一个问题 （时间允许的范围内）。 3.在选取模型之后，对模型的精度和准确度进行判断，看看是否符合精 度要求，通过方差或者相对均方根误差来判断模型的准确性，和选取合 适的模型