n维欧氏空间中的点集
维欧氏空间中的点集
在 n 维向量空间 Rn 中，按照以下定义内积：
设 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2,
n
x, y xi yi i 1
构成一个 n 维 Euclid 空间.
, yn ) Rn
对于 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2, , yn ) Rn
(5) 界点要么是聚点，要么是孤立点。
15
聚点
关于聚点，下面三条是等价的：
(1) a是A的聚点；
(2) a的任意邻域内，至少含有一个属于A而 异于a点；
(3) 存在A中互异的点所成的点列 xn,
lim
n
xn
a
See P.4定义1.2
16
内部、边界、外部、导集、闭包 定义：(1) A的全体内点所成的集合，称为A的内部， 记作 A ,或 int A
Rn 中的向量的长度（或范数）定义为： x ( x, x) x12 x22 xn2
定义距离
( x, y) x - y ( x1 - y1)2 ( x2 - y2 )2 ( xn - yn )2
4
2. Rn中点列的极限
定义1.3(邻域)：设a Rn ,d 0,称点集
U(a,d )= x Rn | ( x,a) d 为点a的d邻域,简记为
U (a);
显然，在R1, R2, R3 中, U(a,d分别是以a为中心以d为
半径的开区间、开圆和开球.
o
U (a,d )=：x Rn | 0 ( x,a) d ---点a的去心d邻域。
d
d
M0
d
d
M0
ad
a
ad x
5
点列的极限
5聚点内点边界点
2 ( x y ) i i i 1 n
则d ( x, y)是X 上的一个距离，称为欧氏距离， （X ,d )称为欧氏空间，记为Rn
若令d1 max | xi yi |,
1i n
d 2 | xi yi |
i 1
n
则d1,d2也是X 上一个距离，(X , d1 ),(X , d2 )也是距离空间
对x A 取有理数rx ( x
故 Aa
小结：
1、距离，距离空间 2、点集E的内点、外点、孤立点、界点、聚点 3、点集E的内部、边界、导集、闭包 4、点集E的内部、边界、导集、闭包的性质
作业：P29
4
注1 同一集合可以定义不同的距离，对应着不同的度 量空间。
2)
X {{x1 , x2 ,..., xn ,...}| xi 2 } E
i 1
x, y X , 令d ( x, y)
2 ( x y ) i i i 1
( X , d )是距离空间，记为l 2
实变函数论
第5讲
第二章 n维空间中的点集
§1聚点、内点、边界点、Bolzano-Weierstrass定理
一、度量空间及其特例---n维欧氏空间 1. 度量空间---距离空间
(1)距离定义： 设X 为一集合, 若对x, y X , 唯一的实数d ( x, y ) R, 使得 (a)非负性 : d ( x, y ) 0, 且d ( x, y ) 0 x y; (b)对称性 : d ( x, y ) d ( y, x); (c)三角不等式 : d ( x, y ) d ( x, z ) d ( z , y ) 对 z X 成立, 则称d ( x, y )是x与y间的距离.
n维欧氏空间中的点集——【多元函数微分学】
y
y
闭区域
y
o
x
y
o 1 2x
o
x
o 1 2x
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整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域
；点集 (x, y) x 1是开集，
但非区域 .
y
1o 1 x
• 有界集: 对于平面点集E, 如果存在某一正数r, 使得
E U(O,r), 其中O为坐标原点.
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三、 平面点集R2的基本知识
平面点集:
xoy平面上满足某一条件的一切点的集合
1. 邻域 点集
例如,在平面上,
U ( P0 ,δ ) (x, y)
在空间中,
U ( P0 , ) (x, y, z )
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则称 D 是连通的 ; • 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; • 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
D
。 。
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例如，在平面上
(x, y) x y 0
开区域
(x, y) 1 x2 y2 4
(x, y) x y 0
(x, y) 1 x2 y2 4
O.
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2
R n 中的点 x (x1, x2 ,, xn ) 与点 y ( y1, y2 ,, yn )
的距离记作
规定为
R n 中的点 x (x1, x2 ,, xn )与零元 O 的距离为 x x12 x22 xn2
二、Rn中点列的极限
2.5 点集 --5
2.5 点集本节主要讨论直线上和n 维欧氏空间R n 中的点集。
对于R n 中任意的两点：x=(x 1 , x 2 , …, x n ), y = (y 1, y 2, …, y n )规定距离d(x, y) = 2222211)()()(n n x y x y x y -+⋯+-+-= (∑=-n i ii y x 12)()1/2 其中d 称为欧几里得距离。
♦ 距离的有关概念 定义1 两个非空点集A 、B 的距离定义为：d( A , B ) = inf d( a , b)这里a ∈A , b ∈B 。
注意：这里是取下确界。
定义2 点x 到集合A 的距离，定义为d( x , A) = d ( {x} , A)即 d( x , A) = inf d( x , a ) （ a ∈A ）定义3 把集合A 的直径记为diam(A)，定义为：diam(A) = sup d( p, q ) ( p ∈A , q ∈A )注意：集合A 的直径，是A 中两点之间距离的上确界sup 。
定义4 有界集。
对集合E ，若 diam(E) < ∞，则称E 为有界集。
定义5 点x 0的邻域。
设x 0是R n 中的一定点，ε为一给定的正数 ε＞0, 定义集合{ x | d(x , x 0) < ε，x ∈R n }它称为点x 0的一个邻域，或称为点x 0的 ε 邻域;记为U( x 0 , ε )，x 0为邻域中心，ε 为邻域的半径。
注意：（1）点x 0 的 ε 邻域 U( x 0 , ε )，是指R n 中所有和给定点 x 0 的距离小于定数 ε > 0的点的全体。
（2） 对于R n 的任意子集E ， x 0∈E ，求E 中 x 0的邻域，是由U( x 0 , ε )E 来获得。
定义6 设 { x n } 是R n 中一点列; 如果当n→ ∞时，有d( x 0, x n ) → 0 , 则称点列 { x n } 收敛于x 0，记为∞→n lim x n = x 0 或 x n → x 0 ( n → ∞) 注意： 点列 x n → x 0，可以用邻域表述为：对于x 0的任一邻域U(x 0), N ∃, 使得n>N 时，x n ∈ U(x 0) 。
14 欧氏空间中的点集
x0 R n , r > 0 , 则 x0 的 r -邻域 U ( x0 , r ) 是 R n 中的开集. 因此 U ( x0 , r ) 又称为以 x0
(1) 空集 和全空间 R n 是开集.
(2) 任意个开集的并集是开集.
(3) 有限个开集的交集是开集.
证明
(1). 显然. (2). 设 { A , Î I } 是 R n 中的一族开集Î I 使得 x Î A . 因为 A 是开集, 存在 x 的一个邻域 U ( x, ) 使得 U ( x, ) Ì A .
为中心, 以 r 为半径的开球. 例 1 设 f ( x ) 是 定 义 在 R n 上 的 连 续 函 数 . 则 对 任 意 实 数 a, 记 E = {x Î R n : f ( x) > a}. 设 x0 Î E , 则 f ( x0 ) > a. 由于 f ( x) 在 x0 连
{x Î R n : f ( x) > a} 和 {x Î R n : f ( x) < a} 都是开集.
( x1 ,, xn ) + ( y1 ,, yn ) = ( x1 + y1 ,, xn + yn ),
λ( x1 ,, xn ) = ( λx1 ,, λxn ). x = ( x1 , , xn ) 称为是 R n 中的点或向量 , 称 xi (i = 1, , n) 为 x 的第 i 个坐标 . 对
点集拓扑21n维欧氏空间度量空间拓扑空间的概念定义
第二章 点 集 拓 扑§2.1. n 维欧氏空间、度量空间、拓扑空间的概念定义2.1.1．) , ,(n 1ξξ =x ，nR y ∈=) , ,(n 1ηη ，定义 R R R d nn →⨯: 为 ∑=-=n12)()y ,(i i i x d ηξ． 称d 为nR 上的Euclid 距离． 易证距离d 满足：01．y x 0)y ,( ,0)y ,(=⇔=≥x d x d ； 02．) x ,()y ,(y d x d =；03．)z ,()y ,()z ,(y d x d x d +≤， )R z y, ,(n∈x ．定义2.1.2．( 距离空间，Metrical Space ) X 为非空集合，二元函数 R X X d →⨯: 满足：01．非负性：y x 0)y ,( ,0)y ,(=⇔=≥x d x d ； 02．对称性：) x ,()y ,(y d x d =；03．三角不等式：)z ,()y ,()z ,(y d x d x d +≤ )R z y, ,(∈x ．称d 为X 上的一个距离，)d ,(X 为距离空间或度量空间．如 X A ⊂，称)d ,(A 为距离子空间．0r ,>∈X x ，开球：} ) ,({)r ;(r x y d X y x B <∈=； 闭球：} ) ,({)r ;(r x y d X y x S ≤∈=．开集：X A ⊂．A x ∈，∃球 A x B ⊂)r ;(，称x 为A 的一个内点．如A 中每个点都是内点，则称A 为开集．开球是开集；2R 中第一象限区域（不含坐标轴）是开集． 记)d ,(A 中开集全体为τ，则有如下结论． 定理2.1.1．(1)τφ∈X ,； (2) ττ∈⇒∈)( ,2121G G G G ； (3) τλτλλλ∈⇒Λ∈∈Λ∈ )( G G ．例：(1) 离散空间．φ≠X ，定义 ) X y x,( yx ,1yx ,0)y ,(∈⎩⎨⎧≠==x d ． 称X 为离散距离空间．(2) ] ,[b a C 空间．} b] [a, )( )({] ,[上连续函数为t x t x b a C =．] ,[y(t)y ),(b a C t x x ∈==， 定义y(t)x(t) max )y ,( -=≤≤bt a x d ，d 是距离．(3) 有界函数空间)(X B ．φ≠X ，} X )( )({)(上有界函数为t x t x X B =． 定义 y(t)x (t) sup )y ,( -=∈Xt x d ，()(y ,X B x ∈)，d 是距离．称)(X B 为有界函数空间． 取+=N X ，记} )( )( {)(有界 n n x l X B ξξ===∞．)(y ),(n ηξ==n x ，n n sup )y ,(ηξ-=∈Nn x d ．定义2.1.3．设φ≠X ，)(X P ⊂τ 满足：(1) τφ∈X ,； (2) τ对于有限交运算封闭：ττ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒∈= n 1 i i n 1G G , ,G ；(3) τ对于任意并运算封闭：τλτλλλ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒Λ∈∈Λ∈ G )( G ． 称τ为X 上的一个拓扑( Topology )，X 上安装了拓扑τ，) ,(τX 是拓扑空间( Topological Space )． 每个τ∈G 称为开集． 如 X A ⊂， 令} {ττ∈=G A G A ， 称) ,(A τA 为（拓扑）子空间．例：(1) 度量空间)d ,(X 是拓扑空间，称为由距离d 诱导的拓扑τ． (2) 设 φ≠X ，}{X ，φτ=，称) ,(τX 是平凡拓扑空间． (3) 设φ≠X ，)(X P =τ，称) ,(τX 是离散拓扑空间．(4) } n, , 2, 1, ,0{ ==N X ，令}{} )\( {φτ为有限集 A X X A ⊂=，则) ,(τX 成为拓扑空间．§2.2. 拓扑空间中的基本概念设),(τX 是拓扑空间，X A ⊂．定义：(1) 若 c A 是开集，称A 为闭集． (2) A 的闭包闭F F,A F⊂∆=A (包含A 的最小闭集)．(3) 若G x ∈，G 是开集，称G 为x 的一个邻域．∃∈ ,A x 邻域G ，使A G x ⊂∈，称x 为A 的内点．A 的内点全体称为A 的核（内部），记0A 为． （书15P (3)错） (4) x X, x ,∀∈⊂X A 的邻域G ，有φ≠A G ，φ≠cA G ，称x 为A 的边界点．A 的边界点全体称为A的边界，记为 A ∂．显然，0A ，A ∂，0)(c A 互不相交，o c o A A A X)( ∂=．(5) x X,A ,∀⊂∈X x 的邻域G ，有 φ≠A x G }){\(，称x 为A 的聚点．A 的聚点全体称为A 的导集，记A '． (6))A \A ('∈x ，称x 为A 的孤立点．(7) 若 A A '=，称A 为完全集（完备集）． (8) 若 ()φ=oA ，称A 为疏朗集（无处稠密集）． A 不在任何开集中稠密．(9)X B ,⊂A ，若B A ⊃，称A 在B 中稠密．它等价于： Ay y B ∈⊂>∀);(B 0, εε．(10)-σF 型集A ： +∞==1nF n A ，n F (闭集)；-δG 型集B ： +∞==1n G n B ，n G (开集)．(11) 设B 在A 中稠密，0ℵ≤B ，称A 为可分集．若X 可分，称X 为可分空间． (12) 若 +∞==1nEn A ，n E (疏朗)，称A 为第一纲集；否则称A 为第二纲集．(13) 设)d ,(X 为度量空间，X A ⊂．若存在球 )r ;(0x B ，使)r ;(0x B A ⊂，称A 为有界集．设 0 , ,>⊂εX B A ．若 Bx x B A ∈⊂)(ε；，称B 为A 的一个网-ε．若0 >∀ε，A 具有有限的网-ε B ，称A 为完全有界集．注：可取有限的网-ε A B ⊂． 如：球n R x B ⊂)r ;(0 是完全有界集．(14) 设X x n ⊂}{， 若∃X x ⊂， 使 0 x),d(x lim n =+∞→n ． 称}{n x 收敛于x ， 记 x x lim n =+∞→n 或)(n x x n +∞→→．极限是唯一的； 收敛点列是有界集． (15) 设 )d ,(X 为度量空间，X A ⊂．若A 中任一点列都存在收敛于X 中点的子列，称A 为列紧集．如：欧氏空间n R 中的有界集是列紧集． (16) 设X A ⊂，Λ∈λλ}{G 是开集族．若 Λ∈⊂G λλA ，称Λ∈λλ}{G 为A 的一个开覆盖．若A 的任一开覆盖Λ∈λλ}{G ，存在有限子覆盖： n1iG =⊂i A λ，称A 为紧集． 若空间X 紧，称X 为紧空间．(17) 设)d ,(X 为度量空间，εε<>>∃>∀⊂) x ,d(x N n m , 0,N 0, }{n m 时，有当，X x n ，则称}{n x 为Cauchy 序列（基本列）． 若X 中每个基本列均收敛，称X 是完备的度量空间． 如：收敛点列必是基本列． nR 是完备的度量空间．以下假设),(τX 是拓扑空间． 定理2.2.1．（闭集的性质）(1) X ,φ是闭集； (2) 有限个闭集之并是闭集； (3) 任意多个闭集之交是闭集． 定理2.2.2．(1) o A 是A 的最大开子集； A 为开集 o A A =⇔．(2)A 是包含A 的最小闭集； A 为闭集A A =⇔．(3) A 为闭集A A ⊂'⇔． (4) A A A '= ． (5) A A A o∂= ． (6) )d ,(X 为度量空间，则X A ⊂为闭集A ⇔中取极限运算封闭．(7) A 为度量空间X 中闭集 ⇔若 A x 0)y ,(inf )A ,( ∈==∈∆则，x d x d Ay ．选证：(1) 记} {Λ∈λλG 为A 的全体开子集所成之集族．则⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈⇔∈Λ∈∃⇔∈Λ∈ G x G x , λλλλ使oA x ，于是 Λ∈=λλG A o是开集，且是A 的最大开子集． 故A 为开集A A o =⇔． (3) 若A 为闭集，则c A 为开集，且φ=cA A ．由聚点定义，c c A x A x )( '∈⇒∈，即c c A A )('⊂，A A ⊂'．反之， 设A A ⊂'，则cc A x A x )( '∈⇒∈， 故存在x 的某个邻域G ， 满足 c A x .)}{\(∈=而φA x G ，∴ φ=A G ，即cAG x ⊂∈，说明x 是c A 的内点，c A 是开集，A 是闭集．(6) 设点列A x n ⊂}{，X x x n ∈→．若}{n x 有无穷多项互异，则A x '∈；否则A x ∈．从而总有A x ∈．由(2) 得证．例1. 0.5] [0,E );5.0 ,0(E ,)5.0 ,0[0='==则Z E ； Z E E E ]5.0 ,0[='=．由于E E ⊂'不成立，E 不是闭集．例2. 2R X =， } 0 R,x ) ,{(≥∈=y y x A ． 则 A A ='； } R x,0 ) ,{(∈>=y y x A o． A A A A ='= ； } )0 ,{(R x x A ∈=∂．例3. 证明R A ⊂的导集A '是闭集． 证：需要证c) A ('是开集．x,)A ( x c '∈∀不是A 的聚点，存在x 的邻域 ) ,(δx U ，) ,(δx U 中不存在异于x 的A 中的点，故),(δx U 中的每个点均不是A 的聚点．于是 cA x U ) () ,('⊂δ，c) A (' 是开集．定理2.2.3．X A = ∀⇔ 非空开集 X G ⊂，有 φ≠G A ． 证：设X A =． 若开集G 满足φ=G A ． 则 c G ( ,c G A ⊂为闭)．由Th2.2.2.(2) 得 c G A ⊂， 于是，φ==⊂c c X A G )(．反之，由于c cA A A )( )(且φ= 为开集，由条件，φ=c A )(，得 X A =．定理2.2.4．( 疏朗集的三种等价描述)(1) φ=oA )(； (2) ∀非空开集φ≠⇒c )A (G G ；(3) ∀非空开集G ，必含有非空开子集 G G ⊂0，满足φ=0G A ．证：(1)⇒(2)．若开集G 满足φ=c)A (G ，则A G ⊂， 于是φφ==⊂G ,)A (G o． (2)成立．(2)⇒(3)．∀非空开集G ，令0c0G ,)A (G G = 为G 的非空开子集， 且φ=⊂cA A 0G A ．(3)⇒(1)．反证法．假设 φ≠oA )(，由(3)，存在非空开集oA G )(0⊂，满足φ=0G A ，即c )(G A 0⊂ (闭集)，c G A0⊂，c 0)A (G ⊂ (开集)， 从而 φ==00)(G G A c( A ⊂0G )．矛盾． （18P 错）定理2.2.5．在度量空间中，完全有界集是有界的可分集．证：设X A ⊂为完全有界集，存在X 中有限多个球 n k x B 1)}1 ;({，使 n1)1 ;(=⊂k kx B A ． 固定 X x ∈0，记 ∑=+=n10k) x ,d(x1r k ． 1) x d(x , 1), ;B(x x k, A, x k k <∈∃∈∀即使， 故r ) x ,d(x ) x d(x ,) x d(x ,0k k 0<+≤ ，即 )r ;(0x B A ⊂， A 有界．对于kk 1=ε，存在有限多个以A 中点)(k j x 为中心的球⎪⎭⎫⎝⎛k 1;)(k j x B ) n , 2, ,1(k =j ，使 kn 1 )(k 1 ;=⎪⎭⎫ ⎝⎛⊂j k j x B A ．记{}3, 2, 1,k ;n , 2, ,1 k)( ===j x D k j ，则 D 是A 的至多可数子集．εε<∃>∀k1 ,0．于是，()Dx j k j j k j x B x B A n 1 )(n 1 )() B(x; ;k 1 ;kk∈==⊂⊂⎪⎭⎫⎝⎛⊂εε， D 在A 中稠密，A 为可分集．定理2.2.6．在度量空间中，列紧集是完全有界集．证：反证法．假设X A ⊂是列紧集，但A 不是完全有界集，A ,0 0>∃ε没有有限的0ε－网．A A ∈∃∈∀21 x , x ，使021) ,(ε≥x x d ．同理，} x ,{21x 不是A 的0ε－网，A ∈∃3 x ，使) 2 1,i ( ,) ,(03=≥εx x d i ．继续下去，得到A x n ⊂}{，满足：) j i ( ,) ,(0≠≥εj i x x d ．显然，点列}{n x 无收敛子列，A 非列紧．定理2.2.7．在度量空间中，A 为紧集A ⇔为列紧的闭集．证：只需证明：A 为紧集 A ⇔中每个点列均有收敛于A 中点的子列．“⇒”． 反证法．假设存在点列A x n ⊂}{无收敛于A 中点的子列．则y y y N n ,0N 0 A,y >>>∃∈∀当及δ时，有 ) ;(y δy B x n ∉．现A y y B y )} ;({∈δ为紧集A 的一个开覆盖， 存在 m1 y )} ;({k =k k y B δ 满足m1y ) ;(k =⊂k k y B A δ．令k y mk N N max 1≤≤=，则当 时，N n > m1y ) ;(k=∉k k n y B x δ． 从而 A x n ∉． 矛盾．“⇐”． 设 A 为列紧闭集，则A 为完全有界集．要证A 是紧集，只要证明，对于A 的任一开覆盖Λ∈ }{λλG ，λδλδG ) B(x ; , , x 0, ⊂Λ∈∃∈∀>∃使A ． ( 因为 A 具有有限的δ－网 )．采用反证法．假设不然，存在A 的一个开覆盖Λ∈ }{λλG ， 满足Λ∈∀∈∃∈∀λ , x N,n n A ， 有φλ≠c n G )1;B(x n．对A x n ⊂}{， 因A 为列紧闭集，存在子列 Λ∈⊂∈→ 0λλG A x x k n ． 0r , 00>∃Λ∈∃λ，使0 G )r ;B(x 00λ⊂(开集)． 而当k 充分大时，有 0 G )r ;B(x )n 1;B(x 00kn λ⊂⊂． 矛盾． 定理2.2.8．设) ,(d X 是度量空间，则以下三条等价： (1) X 是完备的度量空间； (2) 非空闭集列X F n ⊂满足0y) d(x , sup lim )(lim ), 3, 2, 1,(n ,nF y x,n 1===⊂∈+∞→+∞→+n n n n F d F F ，则∃唯一的 +∞=∈1n0Fn x ．(3) X 中的完全有界集是列紧集．证：(1)⇒(2)． 取) 3, 2, 1,n ( =∈n n F x ．当 N p ∈ 时，n p n pn F F x ⊂∈++，0)d(F ) x ,d(x n n p n →≤+，)(n +∞→． }{n x 为完备空间X 中的基本列．记 ) (n ,0+∞→→x x n ，n F 闭， +∞=∈1n 0F n x ． 0x 的唯一性显然． (2)⇒(3)．设X A ⊂为完全有界集，点列A x n ⊂}{．由完全有界集的定义，∃∈∀ N,k 有限个以 k 21为半径的闭球所成之集族kn m k m k S F 1}{== 覆盖A ．于是，存在1)1(F S∈ 含有}{n x 中的无限多项；又存在2)2(F S ∈ ，使得)2()1(S S 含有}{n x 中的无限多项 ； ． 一般地， , N k ∈∀k k F S ∈∃)( ，使得kj j k S F 1)( =∆=含有}{n x 中的无限多项． 由此知，存在}{n x 的子列}{k n x 满足k n F x k ∈，) 3, 2, ,1 ( =k ．非空集列}{k F 满足k k F F ⊂+1，且 0 1)(→=k F d k ．由(2)，存在 +∞=∈1k 0F k x ，且)d(F ) x ,d(x k 0n k ≤0k1→=，即0n x x k →，A 为列紧集．(3)⇒(1)．设}{n x 为X 中基本列，记} {N n x A n ∈=．εε<≥>∃>∀) x ,d(x N n 0,N 0, N n 时，当．从而， N1k) ;B(x=⊂k A ε， A 为完全有界集⇒ A 为列紧集． 故}{n x 有收敛子列 0n x x k → ) (+∞→k ． 显然0n x x → ) (+∞→n ． X 为完备空间．定理2.2.9．设) ,(d X 是完备的度量空间，则子空间X M ⊂是完备的 M ⇔是闭集． 定理2.2.10．(Baire 纲定理) 完备的度量空间X 必是第二纲集． 证：采用反证法．假设X 是第一纲集，则 n 1nE ,E+∞==n X 为疏朗集． 由Th2.2.4.(3) 知：对于∃ ,1E 直径小于1的非空闭球φ=111E S , 使S ； 对于∃ ,2E 直径小于21的非空闭球1012S S S ⊂⊂，使φ=22E S ； ； 对于∃+ ,1n E 直径小于11+n 的非空闭球φ=⊂⊂+++1n 1n 01E S , 使n n n S S S ．得非空闭球套+∞1}{n S ． X 完备， +∞=∈∃1n 0S n x ． 这样，X N n E x n ∉∈∉00 x ),( ． 矛盾．定理 2.2.11．(完备化定理) 对于度量空间) ,(d X ，必存在一个完备的度量空间)~,~(d X ，使得) ,(d X 等距于)~ ,~(d X 的一个稠密子空间．在等距意义下，空间)~,~(d X 是唯一的． 称空间)~ ,~(d X 为) ,(d X 的完备化空间．（证明的思想方法与Cantor 实数理论中，把无理数加到有理数域中的方法相同）． 等距映射：) ,(1d X ，) ,(2d Y 是距离空间， 存在一一映射Y X →:ϕ 满足 ))( ),(() ,(21y x d y x d ϕϕ=)X y x,(∈∀，称ϕ为等距映射，空间X 与Y 等距．例：取nR X =，d 为欧氏距离． )r ;(0x B A = (开球，0>r )．则A 为完全有界集；X 完备，A 也是列紧集．作为距离子空间，A 不完备，其完备化距离空间为 )r ;(~0x S A = (闭球)．§2.3. 连 续 映 射定义2.3.1.(连续映射)(A) ) ,(1d X 与) ,(2d Y 是距离空间，映射 . x ,:0X Y X f ∈→) ;( x 0, 0, 0δδεx B ∈>∃>∀当时，) );(((x )0εx f B f ∈，称f 在0x 处连续． 若f 在X 的每一点连续，称f 是X 到Y (B) ) ,(1τX 与) ,(2τY 是拓扑空间，映射. x ,:0X Y X f ∈→ 020 x , )( ∃∈∀τV x f 的邻域 的邻域1τ∈U ，使(V ))f U ( ,(U)1-⊂⊂即V f ，称f 为在0x 处连续． 若f 在X 的每一点连续，称f 是X 到Y 的连续映射．例1. (1) 距离空间 21d ,d R,Y ),1 ,0(==X 为欧氏距离． 则 x y sin =是)d ,()d ,(21Y X → 的连续映射(函数)．(2) 取 }X ,{ ),1 ,0(1φτ==X 为X 中离散拓扑； 2 ,τR Y = 为Y 中欧氏拓扑．则 x y sin =不是Y X →的连续映射．因为，X ∈∀0 x ，对于Y 中)(0x f 的邻域 Y ) ),(21(0⊂∞+=x f V ，不存在0x 的邻域X U ⊂，使V U f ⊂)(． 定理2.3.1. 设X ，Y 是拓扑空间，Y X f →:． (A) f 连续 ⇔ f 反射开集：X (V )f 1⊂⇒⊂∀-Y V 开集 是开集；(B) f 连续 ⇔ f 反射闭集：X (F)f 1⊂⇒⊂∀-Y F 闭集 是闭集．证：(A) “⇒”．V f(x ) (V ),fx 1∈∈∀-即 ．由f 在x 处连续，存在x 的邻域 X U ⊂， 使(V )f U (U)1-⊂⊂．即V f ． x 是内点，(V )f 1-是开集．“⇐”． 若f 反射开集，Y V f(x ) X x ⊂∈∀的邻域及， 则 X (V)f 1⊂=-∆U 为x 的邻域，且V (V )][f f f(U)1⊂=-，故)(x f 在x 处连续．(B) 注意到 c c F f F f)]([)(11--=，证(B)．定理2.3.2. 设X ，Y 是度量空间，映射Y X f →:．则f 在0x 处连续0n n X,}{ x x x →⊂∀⇔)()f( 0n x f x →⇒， )(n +∞→． (证明同数学分析)定理2.3.3. (连续函数的延拓)设E 是度量空间X 中的闭集，R E g →: 是连续函数，则存在连续函数R X f →: 满足： (1) E ),()(∈=x x g x f ； (2) )( sup )(sup ),( inf )(inf x g x f x g x f Ex Xx Ex Xx ∈∈∈∈==．(证略)定理2.3.4. (压缩映射原理，Banach 不动点定理)设)d ,(X 是完备的距离空间，映射X X T ：是压缩映射， 即 y) d(x , Ty) d(Tx , 1,0 θθ≤<≤∃使 ， X y x,∈∀． 则 T 有唯一的不动点X x ∈：x x T = ．证：取初值 ,0X x ∈ 迭代格式：,01Tx x = ,12Tx x =, ,1 n n Tx x =+．下证}{n x 是Cauchy 序列：)Tx ,d(Tx ) x ,d(x ) ,() ,(2n 1n 1n n 11----+=≤=θθn n n n Tx Tx d x x d ) x ,d(x ) x ,d(x 02n 1n 2１n θθ≤≤≤-- ．) x ,d(x ) x ,d(x ) ,() ,(n n 2p n 1p n 1１+-+-+-++++++≤ p n p n n p n x x d x x d()) ,( 0121x x d np n p n θθθ+++≤-+-+ ),(1),(1)1(0101x x d x x d np n θθθθθ-≤--=，∴0),(lim =++∞→n p n n x x d ． 而X 完备， x x ,x n →∈∃使 X ． T 连续， 故 x x T = ．唯一性：若 y T y =． 由于 y 0)y ,( )y ,( )y T , ()y ,(=⇒=⇒≤=x x d x d x T d x d θ．误差估计：) x ,(1)x ,(00Tx d x d nn θθ-≤． 推论．设),(d X 是完备的距离空间，映射X X T ：． 若 0n T 是X 上的压缩映射，则T 有唯一的不动点．证：0n T有唯一的不动点x ：x x Tn =0．由, )() (00x T x T T x T T n n == 故x T 也是 0nT 的不动点． x x T =⇒ ． 由于 T 的不动点也是0n T的不动点，故T 的不动点唯一． 压缩映射原理的应用例1．常微分方程解的存在唯一性．考虑初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(x t x t x f dt dx，其中) ,(t x f 连续， 关于x 满足Lipschite 条件：0)(k,) ,() ,(2121>-≤-x x k t x f t x f ． 则方程存在唯一解 )(t x x =．证：方程等价于[]⎰+=tt d x t x 00),x(f )(τττ．取 1k ,0<>δδ使．定义 ] t ,[] t ,[0000δδδδ+-+-t C t C T ：为 []⎰+=tt d x t Tx 00),x(f ))((τττ，] t ,[00δδ+-∈t t ．验证 T 是压缩映射：⎰-≤≤- t212100 ]),([]),([max ),(t t t d x f x f Tx Tx d τττττδ⎰-≤≤- t2100)()(max t t t d x x k τττδ021t t m ax )()( m ax 0-⋅-⋅≤≤-≤-δδτττt t t x x k ),( 21x x d k δ≤． )1(<δkT 在 ] t ,[00δδ+-t C 内具有唯一的不动点 )(t x x =：x Tx =． 重复利用定理将解延拓到实数域R 上．例2．线性方程组解的存在唯一性．线性方程组：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-∑∑∑===nj n j j n n n j j j nj j j b x a x b x a x b x a x 1 12221111,,,满足 ∑=≤≤<=nj ji n i a111max α， 则它具有唯一解 ) x , ,(n 1 x x =．证：在nR 中定义距离：ini y y x d -=≤≤i 11x max ),(，) x , ,(n 1 x x=，n R y y ∈=)y , ,(n 1 ，则 ) ,(1d R n 完备． 作映射 n n R R T ： 为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∑∑==n j n j j n j j b x a b x a x x 1 n 1 j 11n 1 , ,) x , ,( ． 则∑=≤≤-=nj j j j i n i y x a Ty Tx d 1 11)( max ) ,(∑=≤≤-≤nj j j j i ni y x a 1 1 max ),(max 11 1y x d a n j j i n i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤∑=≤≤) ,( 1y x d α=．T 是压缩的，有唯一不动点 ) x , ,(n 1 x x =．§2.4. R 中的开集及完全集的构造开区间) ,(b a 是R 中开集 (+∞≤<≤∞-b a )． 任意多个开区间之并是开集．另一方面，设开集R G ⊂．则G r) x r,(x 0,r G , x ⊂+->∃∈∀使．记 }G x),( , inf{⊂<=ααα且x a ， }G ) ,( , sup{⊂>=βββx x b 且．开区间) ,(b a 具有性质：G b G,a ,) ,(∉∉⊂G b a ．称) ,(b a 为开集G 的一个构成区间．于是，G 中每一点必在G 的一个构成区间．此外，G 的任何两个不同的构成区间必不相交．而R 中两两不交的开区间至多可列个． 定理2.4.1. (开集构造定理) 每个非空开集R G ⊂可表示为至多可列个两两不交的开区间之并： +∞==1 n n )b ,(a n G ．根据完全集的定义 (15P )及Th2.2.3(3) 可知，完全集（A A '=）即为无孤立点的闭集．故有如下定理． 定理2.4.2. (R 中完全集的构造) 集R A ⊂是完全集 cA ⇔ 是两两不交并且无公共端点的开区间之并．Cantor 集P ． [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]构造过程： 0 231 23231 32 97 98 1第一步：将 ]1 ,0[三等分，挖去⎪⎭⎫ ⎝⎛=32 ,311J ，留下闭区间 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=31 ,00I ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1 ,322I ． 记 11J G =．第二步：对0I ，2I 分别三等分，挖去中间的开区间⎪⎭⎫ ⎝⎛=92 ,9101J 与 ⎪⎭⎫⎝⎛=98 ,9721J ． 记 21012J J G =，留下4个闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡91 ,0，⎥⎦⎤⎢⎣⎡31 ,92，⎥⎦⎤⎢⎣⎡97 ,32，⎥⎦⎤⎢⎣⎡1 ,98．第三步：对留下的4个闭区间施行同样过程．将挖去的4个开区间之并记为3G ．如此继续下去．记 c1 n G P ), ,1()0 ,(G ∆+∞==∞+-∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= n G ． (书25P 错) 据Th2.2.4 及Th2.4.2，Cantor 集P 是疏朗集、完全集．若采用三进制无穷小数表示]1 ,0[中数，则 xG 1n ⇔∈+∞= n x 中至少有一位是1，亦即：x ⇔∈P x 可表示为由0或2作为位数过构成的无穷小数．由Th1.3.4，ℵ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∏∞+= 2} {0,1 n P ； ]1 ,0[～P ．第二章习题26P ．16．设}{n K 是度量空间X 中非空单调减紧集序列，证明：φ≠+∞= 1nKn ．特别地，若 0)(→n K d ，则+∞=1nKn 为单点集．证：反证法．假设φ=+∞= 1 n K n ， 即 ∞+=∞+==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⊂11 n 1K n c n cn K X K ． 321 ⊃⊃⊃K K K ， 321 ⊂⊂⊂cc c K K K ． 1K 紧 φ=⊂=⇒=⊂⇒=cn c n ki c n kkiK K K K K kkkn 1n n 11K K K ．矛盾．若 0)( lim =+∞→n n K d ，)(n 0)d(K y) d(x , K ,n 1n +∞→→≤⇒∈+∞= n y x ． y x =∴．33．证明： x sup }{n⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∞<==∈∞N n n x x l 是不可分的距离空间． 证明：距离：}{n x x =，}{n y y =，n n Nn y x y x d -=∈ sup ) ,( ． 假设 ∞l 可分，据15P (11), (9)，它有至多可列的稠密子集．对于 41=ε，存在可列多个球+∞1)} ;({εn x B ， 使+∞=∞⊂1) ;(n n x B l ε．记{} }1 ,0{ }{ n ∈==x x x A n ， 则 ∏+∞=1 1} {0,n A ～，ℵ=A ． 但+∞=⊂1 ) ;(n n x B A ε， 存在球) ;(0εn x B ， 至少包含A 中不同的两点 A y x ∈ ,． 这样，()212) ;(1) ,(0 =≤≤=εεn x B d y x d ， 矛盾． 空间 ∞l 不可分．。
n维Euclid空间中的点集的初步知识
则
即 为 的聚点
当且仅当 ar 的任意去心邻域包含 中的点.
证：
存在 中的点列
且
即 于是由
使得
取 于是
且
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定理1.5 设 是 中的一个点集，
则
即 为 的聚点
当且仅当 ar 的任意去心邻域包含 中的点.
注： 若 则 为闭集。
单点集和有限集都是闭集。
定义1.4 设
(1) 若存在 使
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定理1.7 在n维Euclid空间 中,开集有下列性质： (1) 空集φ与空间 是开集；
(2) 任意多个开集的并是开集； (3) 有限多个开集的交是开集.
利用对偶原理：
(1) 空集φ与空间 是闭集；
(2) 任意多个闭集的交是闭集； (3) 有限多个闭集的并是闭集.
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则称 是集
的内点. 由 的所有内点构成的集合称为 的内部， 记作
(2) 若存在 使
则称 是集
的外点.由 的所有外点构成的集合称为 的外部，
记作
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(3) 若对任何
中既含有 中的点，
也含有不是 中的点， 则称 是集 的边界点. 由 的 所有边界点构成的集合称为 的边界， 记作
设 是 中的点列，若 使得
则称 是 中的基本点列或Cauchy点列.
定理
中点列 收敛于 中的点
是1.4中的Cauchy点列.
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1.3 Rn中的开集与闭集
定义1.2 设 是 中的一个点集，
中的点列
使得
若存在 则称 为
的聚点. 的所有聚点构成的集合称为 的导集. 记作
第2章 欧式空间中的点集
N ( x0 , r ) 是 R n 中的开集，因此，我们也称 N ( x0 , r ) 为以 x0 为中心，以 r 为半径的开球。
定理 2.5（开集的基本性质）开集具有如下性质： （1） （2） （3） 空集 及全空间 R n 是开集； 任意多个开集的并是开集； 有限个开集的交是开集。
证明 （1） 显然。 （2） 设 A
2.2
开集、闭集与完备集
开集与闭集是本章的重点，特别是开集与闭集的构造，必须熟炼地掌握，实际上，在下 一章我们将看到开集、闭集与测度理论密切相关，是构成测度理论的一个重要环节。 定义 2.3 设 E R n ，若 E 中每个点都是 E 的内点，则称 E 为开集。 由开集的定义易知 E 是开集当且仅当 E E 0 ，任何非空有限集都不是开集，每个开区 间 ( a, b), ( a, ), ( , b) 都是 R1 上的开集（在 R 2 中就不是） 。若 x0 R ， r 0 ，则邻域
A ， I 是 R n 中的一族开集， 任取 x 则存在 I I
- 41 -
使 x A ，因 A 是开集，存在 x 的邻域 N ( x, ) 使得 N ( x, ) A ，于是更有
N ( x, ) A ， I A 的内点，这表明 A 是开集。 因此 x 是 I I
■ 利用距离可考虑有界集 设 M R n ，若有正数 K 0 ，使对任意 x ( x1 , x2 , xn ) M ，都有
xi K (i 1, 2, , n) ，
则称 M 为有界集。
- 38 -
显然 M 有界的充要条件是：存在正数 K ' 0 ，使对一切 x M 都有 d( x, o) K ' 。
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x 3( k
)
e,0,1T
lim(1
1
)k
, lim
sink
1
,, lim k(e k
-
1)
T
k
k k k
k
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性质： See P.3定理1.2 1. 点列的极限是唯一的；
2.设{ xk }是有界点列， 即 M 0, M R, k N , xk M 。
(3) 对于Q U (P), 存在Q的邻域 U (Q) U (P)
(4) 对于P Q, 存在P和Q的邻域 U (P),U (Q), 使得U (P) U (Q)
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点列的极限
(I) e-N式定义：
若
为 x k k1
n
维向量空间
Rn
中一个点列，点
xk
(1
1 )k , sin k kk
1
, k(e k
-
1)
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例子
x(k)
x1(k ) x2(k ) x3(k )
(1
1 )k k
,
sink k
1
, k(e k
-
1)
T
lim
k
x1(
k
)
lim
k
x(k)
lim
k
x2(k )
lim
本节的主要内容为n维欧氏空间中的各类点集， 这将为我们研究新的积分奠定基础。
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1. n维Euclid欧氏空间 See P.2
所有 n 元有序实数组( x1, x2 , , xn )的全体所构成的 集合 Rn 按照以下定义的加法和数乘运算：
对于 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2, , yn ) Rn 定义加法： x y ( x1 y1, x2 y2 , , xn yn )
定义：Rn 中的点集
x1, x2, , xn | ai xi bi ,i 1, ,n
称为一个开区间； 若将其中的不等式全部换成
ai xi bi , ai xi bi , ai xi bi , 则上述点集分别称为闭区间、左开右闭区间、
第1节 n维欧氏空间Rn中的点集的初步知识
n维欧氏空间 n维欧氏空间中点列的极限与完备性 n维欧氏空间的各类点集：开集、闭集、区域
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本节将研究一种特殊的集合——n维欧氏空间 中的点集。
向量空间往往成为数学研究的载体和对象。
分析学科所关心的空间的结构包括度量、范 数、开集、闭集等。
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在 n 维向量空间 Rn 中，按照以下定义内积：
设 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2,
n
x, y xi yi i 1
构成一个 n 维 Euclid 空间.
, yn ) Rn
对于 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2, , yn ) Rn
QB
注：若A={P*}，即A为单点集，则可记
直径及有界点集
( A, B) (P*, B)
点集的直径：
一个非空点集A的直径定义为 d ( A) sup (P,Q).
P ,QA
有界点集：
一个非空点集A称为有界集合，若 d ( A) .
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欧氏空间中点集的一些基本概念——区间
收敛点列必为有界点集 3. 点列的收敛满足线性性；
4. 若xk 收敛于 a, 则它的任意子列也收敛于 a.
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5.n维欧氏空间的有界点列必有收敛的子（点）列. See P.3 定理1.3, Bolzano-Weierstrass定理
定义 如果对n维欧氏空间中的点列 { xk }，若
定义数乘： x ( x1, x2 , , xn ) R.
构成一个 n 维向量空间，简称 n 维空间,即
Rn x1 ,x2 , xn xi R,i 1,2 ,n
其中每个有序实数组 ( x1, x2 , , xn )称为称为 Rn 中的一 个向量（或点）; n 个实数 x1, x2 , , xn是这个向量（或点） 的坐标.
a Rn,若e 0,N N ， k N，有( xk ,a) e ,
则称该点列收敛于
a，记作lim k
xk
a.
(II) 邻域式定义：
See P.2,定义1.1
若对于 a 的任意邻域 U(a), N N ， k N，
有 xk U(a) . 则 称 该 点 列 收 敛 于 a, 记 作
lim
e 0, N N , 使得k N及p N , xk p - ak e
则称xn是Cauchy点列（基本点列）
6. n维欧氏空间中的收敛点列等价于Rn中Cauchy 点列
See P.3 定理1.4
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点集的距离
两个非空点集A, B的距离定义为
( A, B) inf (P,Q). PA
k
xk
a.
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定理1.1 n维欧氏空间点列的收敛是按坐标收敛. See P.3定理1.1
设 为 x k k1
n
维向量空间
Rn
中一个点列，点
a
Rn,则lim k
xk
a
lim
k xk ,i源自ai ,i1, 2, ..., n
其中，xk ( xk,1, xk,2 , , xk,n ),a (a1, a2 , , an )
于定数d的点的全体,即集合 x Rn | ( x,a) d
称为点a的d邻域, 记作 U (a,d )或U (a)
显然，在R1, R2, R3 , U(a,d分别是以a为中心以d为半
径的开区间、开圆和开球.
d
邻域具有如下的基本性质：
M0
(1) P U (P)
(2) 对于P的两个邻域 U1(P),U2 (P), 存在邻域 U3(P) U1(P) U2 (P)
Rn 中的向量的长度（或范数）定义为： x ( x, x) x12 x22 xn2
定义距离
( x, y) x - y ( x1 - y1)2 ( x2 - y2 )2 ( xn - yn )2
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2. Rn中点列的极限
定义(邻域)：向量空间Rn中所有和定点a的距离小