n维欧氏空间中的点集
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维欧氏空间中的点集
3
在 n 维向量空间 Rn 中，按照以下定义内积：
设 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2,
n
x, y xi yi i 1
构成一个 n 维 Euclid 空间.
, yn ) Rn
对于 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2, , yn ) Rn
(5) 界点要么是聚点，要么是孤立点。
15
聚点
关于聚点，下面三条是等价的：
(1) a是A的聚点；
(2) a的任意邻域内，至少含有一个属于A而 异于a点；
(3) 存在A中互异的点所成的点列 xn,
lim
n
xn
a
See P.4定义1.2
16
内部、边界、外部、导集、闭包 定义：(1) A的全体内点所成的集合，称为A的内部， 记作 A ,或 int A
Rn 中的向量的长度（或范数）定义为： x ( x, x) x12 x22 xn2
定义距离
( x, y) x - y ( x1 - y1)2 ( x2 - y2 )2 ( xn - yn )2
4
2. Rn中点列的极限
定义1.3(邻域)：设a Rn ,d 0,称点集
U(a,d )= x Rn | ( x,a) d 为点a的d邻域,简记为
U (a);
显然，在R1, R2, R3 中, U(a,d分别是以a为中心以d为
半径的开区间、开圆和开球.
o
U (a,d )=：x Rn | 0 ( x,a) d ---点a的去心d邻域。
d
d
M0
d
d
M0
ad
a
ad x
5
点列的极限
在 n 维向量空间 Rn 中，按照以下定义内积：
设 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2,
n
x, y xi yi i 1
构成一个 n 维 Euclid 空间.
, yn ) Rn
对于 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2, , yn ) Rn
(5) 界点要么是聚点，要么是孤立点。
15
聚点
关于聚点，下面三条是等价的：
(1) a是A的聚点；
(2) a的任意邻域内，至少含有一个属于A而 异于a点；
(3) 存在A中互异的点所成的点列 xn,
lim
n
xn
a
See P.4定义1.2
16
内部、边界、外部、导集、闭包 定义：(1) A的全体内点所成的集合，称为A的内部， 记作 A ,或 int A
Rn 中的向量的长度（或范数）定义为： x ( x, x) x12 x22 xn2
定义距离
( x, y) x - y ( x1 - y1)2 ( x2 - y2 )2 ( xn - yn )2
4
2. Rn中点列的极限
定义1.3(邻域)：设a Rn ,d 0,称点集
U(a,d )= x Rn | ( x,a) d 为点a的d邻域,简记为
U (a);
显然，在R1, R2, R3 中, U(a,d分别是以a为中心以d为
半径的开区间、开圆和开球.
o
U (a,d )=：x Rn | 0 ( x,a) d ---点a的去心d邻域。
d
d
M0
d
d
M0
ad
a
ad x
5
点列的极限
n维欧氏空间中的点集——【多元函数微分学】
y
y
闭区域
y
o
x
y
o 1 2x
o
x
o 1 2x
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整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域
；点集 (x, y) x 1是开集，
但非区域 .
y
1o 1 x
• 有界集: 对于平面点集E, 如果存在某一正数r, 使得
E U(O,r), 其中O为坐标原点.
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3
三、 平面点集R2的基本知识
平面点集:
xoy平面上满足某一条件的一切点的集合
1. 邻域 点集
例如,在平面上,
U ( P0 ,δ ) (x, y)
在空间中,
U ( P0 , ) (x, y, z )
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则称 D 是连通的 ; • 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; • 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
D
。 。
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8
例如，在平面上
(x, y) x y 0
开区域
(x, y) 1 x2 y2 4
(x, y) x y 0
(x, y) 1 x2 y2 4
O.
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2
R n 中的点 x (x1, x2 ,, xn ) 与点 y ( y1, y2 ,, yn )
的距离记作
规定为
R n 中的点 x (x1, x2 ,, xn )与零元 O 的距离为 x x12 x22 xn2
二、Rn中点列的极限
2.5 点集 --5
2.5 点集本节主要讨论直线上和n 维欧氏空间R n 中的点集。
对于R n 中任意的两点：x=(x 1 , x 2 , …, x n ), y = (y 1, y 2, …, y n )规定距离d(x, y) = 2222211)()()(n n x y x y x y -+⋯+-+-= (∑=-n i ii y x 12)()1/2 其中d 称为欧几里得距离。
♦ 距离的有关概念 定义1 两个非空点集A 、B 的距离定义为：d( A , B ) = inf d( a , b)这里a ∈A , b ∈B 。
注意：这里是取下确界。
定义2 点x 到集合A 的距离，定义为d( x , A) = d ( {x} , A)即 d( x , A) = inf d( x , a ) （ a ∈A ）定义3 把集合A 的直径记为diam(A)，定义为：diam(A) = sup d( p, q ) ( p ∈A , q ∈A )注意：集合A 的直径，是A 中两点之间距离的上确界sup 。
定义4 有界集。
对集合E ，若 diam(E) < ∞，则称E 为有界集。
定义5 点x 0的邻域。
设x 0是R n 中的一定点，ε为一给定的正数 ε＞0, 定义集合{ x | d(x , x 0) < ε，x ∈R n }它称为点x 0的一个邻域，或称为点x 0的 ε 邻域;记为U( x 0 , ε )，x 0为邻域中心，ε 为邻域的半径。
注意：（1）点x 0 的 ε 邻域 U( x 0 , ε )，是指R n 中所有和给定点 x 0 的距离小于定数 ε > 0的点的全体。
（2） 对于R n 的任意子集E ， x 0∈E ，求E 中 x 0的邻域，是由U( x 0 , ε )E 来获得。
定义6 设 { x n } 是R n 中一点列; 如果当n→ ∞时，有d( x 0, x n ) → 0 , 则称点列 { x n } 收敛于x 0，记为∞→n lim x n = x 0 或 x n → x 0 ( n → ∞) 注意： 点列 x n → x 0，可以用邻域表述为：对于x 0的任一邻域U(x 0), N ∃, 使得n>N 时，x n ∈ U(x 0) 。
n维Euclid空间中的点集的初步知识
则
即 为 的聚点
当且仅当 ar 的任意去心邻域包含 中的点.
证：
存在 中的点列
且
即 于是由
使得
取 于是
且
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定理1.5 设 是 中的一个点集，
则
即 为 的聚点
当且仅当 ar 的任意去心邻域包含 中的点.
注： 若 则 为闭集。
单点集和有限集都是闭集。
定义1.4 设
(1) 若存在 使
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定理1.7 在n维Euclid空间 中,开集有下列性质： (1) 空集φ与空间 是开集；
(2) 任意多个开集的并是开集； (3) 有限多个开集的交是开集.
利用对偶原理：
(1) 空集φ与空间 是闭集；
(2) 任意多个闭集的交是闭集； (3) 有限多个闭集的并是闭集.
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则称 是集
的内点. 由 的所有内点构成的集合称为 的内部， 记作
(2) 若存在 使
则称 是集
的外点.由 的所有外点构成的集合称为 的外部，
记作
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(3) 若对任何
中既含有 中的点，
也含有不是 中的点， 则称 是集 的边界点. 由 的 所有边界点构成的集合称为 的边界， 记作
设 是 中的点列，若 使得
则称 是 中的基本点列或Cauchy点列.
定理
中点列 收敛于 中的点
是1.4中的Cauchy点列.
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1.3 Rn中的开集与闭集
定义1.2 设 是 中的一个点集，
中的点列
使得
若存在 则称 为
的聚点. 的所有聚点构成的集合称为 的导集. 记作
1n维欧氏空间中点集
内点 聚点 对某点集E来说，n中的点边界点 或孤立点
外点 外点
(1) 内点一定是聚点，外点一定不是聚点； (2) 聚点可以是内点，也可以是界点，但不能是外点； (3) 孤立点一定不是聚点、内点或外点，一定是界点； (4) E中的点要么是聚点，要么是孤立点； (5) 界点要么是聚点，要么是孤立点。
(6) 对于任意两个互不相交的闭集，一定存在两个互不相交的开集 分别包含这两个闭集。
2007年8月
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13
有界闭集和紧集
有限覆盖定理：设F为n维欧氏空间有界闭集，则对任意的覆盖F的开集族：
Ui
iI ,
F
Ui
iI
存在有限个开集同样覆盖F。
F
n
Ui
i 1
定义：设M为度量空间X的子集，若对于X的任意一族覆盖M的开集， 一定存在其中有限个开集仍然覆盖M，则称M为X的紧集。
有许多便于应用的性质 )．
(ii) 闭集与开集具有对偶性质——闭集的余集为开
集; 开集的余集为闭集. 利用此性质, 有时可以通 过讨论 Ec 来认识 E.
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3
度量空间中点集的一些基本概念——邻域
定义(邻域)： 距离空间(X,d)中所有和定点P0的距离小于定数 的点的
全体，即集合P | d (P, P0 ) 称为点 P0的 邻域，记作U (P0, )或U (P0 )
显然，在1, 2 , 3, U (P0 , )分别是以P0 为中心以为 半径的开区间、
称d(x,y)是x,y之间的距离，称(X,d)为度量空间或距离空间。 由性质(2)立刻可以得到度量的对称性，即d(x,y)=d(y,x).
若(X,d)为度量空间，Y是X的一个非空子集，则(Y,d)也是一个度量空间， 称为(X,d)的子空间。
外点 外点
(1) 内点一定是聚点，外点一定不是聚点； (2) 聚点可以是内点，也可以是界点，但不能是外点； (3) 孤立点一定不是聚点、内点或外点，一定是界点； (4) E中的点要么是聚点，要么是孤立点； (5) 界点要么是聚点，要么是孤立点。
(6) 对于任意两个互不相交的闭集，一定存在两个互不相交的开集 分别包含这两个闭集。
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13
有界闭集和紧集
有限覆盖定理：设F为n维欧氏空间有界闭集，则对任意的覆盖F的开集族：
Ui
iI ,
F
Ui
iI
存在有限个开集同样覆盖F。
F
n
Ui
i 1
定义：设M为度量空间X的子集，若对于X的任意一族覆盖M的开集， 一定存在其中有限个开集仍然覆盖M，则称M为X的紧集。
有许多便于应用的性质 )．
(ii) 闭集与开集具有对偶性质——闭集的余集为开
集; 开集的余集为闭集. 利用此性质, 有时可以通 过讨论 Ec 来认识 E.
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3
度量空间中点集的一些基本概念——邻域
定义(邻域)： 距离空间(X,d)中所有和定点P0的距离小于定数 的点的
全体，即集合P | d (P, P0 ) 称为点 P0的 邻域，记作U (P0, )或U (P0 )
显然，在1, 2 , 3, U (P0 , )分别是以P0 为中心以为 半径的开区间、
称d(x,y)是x,y之间的距离，称(X,d)为度量空间或距离空间。 由性质(2)立刻可以得到度量的对称性，即d(x,y)=d(y,x).
若(X,d)为度量空间，Y是X的一个非空子集，则(Y,d)也是一个度量空间， 称为(X,d)的子空间。
2.1 n维欧氏空间
-n
. ( n 0 ).
M 0 ( n ), 2
-n 0
M
2
于是 R n 所以 R n
0
1
的对角线的长小于 N ( P , ).
，而 P R n
0
1
，
0
1
从而 E R n
0
1
N ( P ， )，这说明在
N ( P ， )中 .
确有无穷多个点属于
（2）令E={1,1/2,1/3,…，1/k,…},则 E { 0} 对一切1/k (k=1,2,3, …)均为E的孤立点。
接触点、聚点表示它与集合紧挨 内点表示它周围的点都在集合内
例1 设p0是E的聚点, 证明p0的任意邻域内至少含有无穷多 属于E而异于p0的点.
证明：由条件知
假如 O ( p
0
, d ( p 1 , p 0 )}时 , 取 p 2 O ( p
, 2 )
( E { p 0 })
当 n min{
1 n
, d ( p n 1 , p 0 )}时 , 取 p n O ( p
0
, n )
( E { p 0 })
保证收敛
Hale Waihona Puke 保证点列互异lim p n p
x
下证 x , y A , x y , 必有 O ( x , 1
2
x
)
O( y,1
2
y
)
否则 , 若 z O ( x , 1
2
x
)
O( y,1
2
y
)
则 d ( x, y ) d ( x, z ) d ( z, y )
. ( n 0 ).
M 0 ( n ), 2
-n 0
M
2
于是 R n 所以 R n
0
1
的对角线的长小于 N ( P , ).
，而 P R n
0
1
，
0
1
从而 E R n
0
1
N ( P ， )，这说明在
N ( P ， )中 .
确有无穷多个点属于
（2）令E={1,1/2,1/3,…，1/k,…},则 E { 0} 对一切1/k (k=1,2,3, …)均为E的孤立点。
接触点、聚点表示它与集合紧挨 内点表示它周围的点都在集合内
例1 设p0是E的聚点, 证明p0的任意邻域内至少含有无穷多 属于E而异于p0的点.
证明：由条件知
假如 O ( p
0
, d ( p 1 , p 0 )}时 , 取 p 2 O ( p
, 2 )
( E { p 0 })
当 n min{
1 n
, d ( p n 1 , p 0 )}时 , 取 p n O ( p
0
, n )
( E { p 0 })
保证收敛
Hale Waihona Puke 保证点列互异lim p n p
x
下证 x , y A , x y , 必有 O ( x , 1
2
x
)
O( y,1
2
y
)
否则 , 若 z O ( x , 1
2
x
)
O( y,1
2
y
)
则 d ( x, y ) d ( x, z ) d ( z, y )
实变函数论课件4n维空间中的点集、聚点、内点、界点
同处
两者都是用来研究原拓扑 空间的子集。
关系
限制拓扑可以导出子空间 的拓扑结构。
4n维空间中的子空间的性质
1 性质一
2 性质二
一个子空间可以具有独特的拓扑结构。
子空间的性质可以由原拓扑空间推导得 出。
紧致性的定义及性质
定义
一个点集是紧致的，如果它的每个开覆盖都 有有限子覆盖。
性质
紧致性是一种重要的拓扑性质，可以应用于 各种数学问题的研究中。
闭区间
平面
区间的两个端点都属于闭集。 平面可以同时是开集和闭集。
限制拓扑与子空间的概念
1 限制拓扑
2 子空间
顾名思义，限制拓扑是将拓扑空间限制 在某个子集上的方法。
子空间是原拓扑空间的一个子集，其中 的拓扑结构是通过限制拓扑而得到的。
限制拓扑与子空间的异同
异处
限制拓扑是一种方法，而 子空间是一个具体的拓扑 结构。
4n维空间中的紧致点集的例子
闭球
闭球是紧致的点集。
紧致集合
一些特定的集合，如有界闭 集，也是紧致的。
拓扑正弦曲线
用于展示紧致性概念的一个 经典曲线。
连通性的概念及性质
1 概念
一个点集是连通的，如果它不能被分割成两个非空的、开不交的集合。
2 性质
连通性在对点集进行分类和描述时非常有用。
4n维空间中的连通点集的例子
4n维空间中的点集表示方法
坐标表示法
通过坐标系中的坐标来表示 点集。
图形表示法
通过绘制图形来表示点集。
集合表示法
通过集合符号来表示点集。
开集与闭集的定义及关系
开集
一个集合中的每个点都是 该集合的内点。
闭集
5.1n 维Euclid空间中的点集初步
区域
连通的开集称为区域。
区域与它的边界的并称 为闭区域。
有时也把开区域和闭区域统称为区域.
例如， 平面上,开圆盘是开区域，闭圆盘是闭区域. y 整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域； 点集 ( x, y ) x 1 是开集， 但非区域 .
凸集 : 若 A R n , 若联结 A 中 任意两点的线段都属于 A, 即若 x1 , x 2 A , 则 t [0,1] , tx1 (1 t ) x 2 A , 则称 A 是 R n 中的凸集 .
例2 设 A {( x , y ) R 2 | x 2 y 2 0,1 x 2 y 2 4} .
则A {( x, y ) R 2 | 1 x 2 y 2 4}, ext A {( x , y ) R 2 | 0 x 2 y 2 1, x 2 y 2 4}, A {( x, y ) R 2 | x 2 y 2 1, x 2 y 2 4} {(0,0)},
1 o 1 x
显然任何凸集都是连通 的，因此任何凸集都是 区域。
小结
n维Euclid空间 n维Euclid空间中点列的极限的定义及性质 （性质见定理1.2） 理解开集、闭集、连通集和区域的概念
作业：
习题5.1( A) 1, 2, 5( 2)( 3)( 4)
n
都有A中的点 .
集合 A A A 称为 A 的闭包.
若 A A , 则称 A 为闭集.
由此知，闭集关于极限 运算是封闭的。
和有 【注】 若 A , 则 A 为闭集。因此，单点集 限点集都是闭集。
若 a A , 但 a A , 则称 a 为 A 的孤立点 .
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k N 及p N , xk p - ak e
则称 xn 是Cauchy点列（基本点列）
6. n维欧氏空间中的收敛点列等价于Rn中Cauchy 点列
See P.3 定理1.4
2009年4月 南京航空航天大学 理学院 数学系 10
点集的距离
A的
19
2009年4月
(4) 若A为开集，则A的余集为闭集，若A为闭集， 则A的余集为开集； See P.7定理1.6
(5) 任意多个开集的并集以及有限多个开集的交集 仍为开集；任意多个闭集的交集以及有限多个闭集 的并集仍为闭集； See P.8定理1.7
(6) 对于任意两个互不相交的闭集，一定存在两 个互不相交的开集分别包含这两个闭集。
开集和闭集是最重要的两类点集，它们具有以下的性质： (1) 对任意的点集A， A 是开集, A ' 和 A是闭集 ; (2) 点集A是开集当且仅当 A A ;
A是闭集当且仅当 A' A或A A;
0 A (3) 是包含
A 的最大开子集， 最小闭子集.
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A是包含
( P , Q ). 两个非空点集A, B的距离定义为 ( A, B ) inf P A
QB
注：若A={P*}，即A为单点集，则可记 ( A, B ) ( P*, B )
直径及有界点集
点集的直径：
一个非空点集A的直径定义为 d ( A) sup ( P , Q ).
定义(连通集)— 如果对于点集A 内任何两点， 都可用折线连结起来，且该 折线上的点都属于 A , 称之．
2009年4月 南京航空航天大学 理学院 数学系 21
开域、闭域、区域
See P.9定义1.7
开域——若非空开集 A 具有连通性, 即 A中任意两 点之间都可用一条完全含于A的有限折线相连接,
See P.3定理1.1
设 xk k 1 为 n 维向量空间 Rn 中一个点列， 点 a R n ,则 lim xk a lim xk ,i ai , i 1,2,..., n k k
其中，xk ( xk ,1 , xk ,2 , , xk ,n ), a (a1 , a2 , , an )
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16
内部、边界、外部、导集、闭包
定义：(1) A的全体内点所成的集合，称为A的内部， 记作 A , 或 int A (2) A的全体边界点所成的集合，称为A的边界，记 作 A (3) A的全体外点所成的集合，称为A的外部，记作 ext A
2009年4月
xk M 。
收敛点列必为有界点集
3. 点列的收敛满足线性性；
4. 若 xk 收敛于 a, 则它的任意子列也收敛于 a.
2009年4月
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9
5.n维欧氏空间的有界点列必有收敛的子（点）列.
See P.3 定理1.3, Bolzano-Weierstrass定理 定义 如果对n维欧氏空间中的点列 { xk }，若
构成一个 n 维向量空间，简称 n 维空间,即
Rn
x , x ,
1 2
xn xi R,i 1, 2
,n
其中每个有序实数组 ( x1 , x2 , , xn ) 称为称为 Rn 中的一 个向量 （或点） ; n 个实数 x1 , x2 , , xn 是这个向量 （或点） 的坐标.
2009年4月 南京航空航天大学 理学院 数学系 5
点列的极限 (I) e-N式定义：
若 xk k 1 为 n 维向量空间 Rn 中一个点列， 点 a R n ,若e 0, N N ， k N，有 ( xk , a ) e , 则称该点列收敛于 a，记作 lim xk a . k
对于 x ( x1 , x2 ,
, xn ) Rn , y ( y1 , y2 ,
x12 x22
, yn ) R n
xn2
R n 中的向量的长度（或范数）定义为：
x ( x, x )
定义距离
( x, y ) x - y ( x1 - y1 ) ( x2 - y2 )
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在 n 维向量空间 Rn 中，按照以下定义内积： 设 x ( x1 , x2 , , xn ) Rn , y ( y1 , y2 , , yn ) R n
x , y xi yi
i 1 n
构成一个 n 维 Euclid 空间.
(II) 邻域式定义：
See P.2,定义1.1
若对于 a 的任意邻域 U(a), N N ， k N， 有 xk U (a ) . 则 称 该 点 列 收 敛 于 a, 记 作
lim xk a .
k
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定理1.1 n维欧氏空间点列的收敛是按坐标收敛.
(5) a附近除a外没有A的点，即存在a的邻域U(a),
U (a ) A a 此时称a为A的孤立点。
2009年4月
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14
点与点集间的关系 显然，空间中任意的点a是且只能是上述(1)(2)(3) 中的一个，或者是且只能是上述(2)(4)(5)中的一 个，即 内点 聚点 n 对某点集A来说，R 中的点 边界点 或 孤立点 外点 外点 (1) 内点一定是聚点，外点一定不是聚点； (2) 聚点可以是内点，也可以是界点，但不能是外点； (3) 孤立点一定不是聚点、内点或外点，一定是界点； (4) A中的点要么是聚点，要么是孤立点；
P ,Q A
有界点集：
一个非空点集A称为有界集合，若 d ( A) .
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欧氏空间中点集的一些基本概念——区间
定义：R n 中的点集
x , x ,
1 2
, xn | ai xi bi , i 1,
, n
称为一个开区间； 若将其中的不等式全部换成
第1节 n维欧氏空间Rn中的点集的初步知识
n维欧氏空间 n维欧氏空间中点列的极限与完备性 n维欧氏空间的各类点集：开集、闭集、区域
2009年4月
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1
本节将研究一种特殊的集合——n维欧氏空间 中的点集。 向量空间往往成为数学研究的载体和对象。 分析学科所关心的空间的结构包括度量、范 数、开集、闭集等。 本节的主要内容为n维欧氏空间中的各类点集， 这将为我们研究新的积分奠定基础。
邻域具有如下的基本性质：
(1)
M0
P U ( P)
(2) 对于P的两个邻域 U1 ( P),U 2 ( P), 存在邻域 U3 ( P) U1 ( P) U 2 ( P) (3) 对于Q U ( P), 存在Q的邻域 U (Q) U ( P)
(4) 对于 P Q, 存在P和Q的邻域 U ( P),U (Q), 使得 U ( P) U (Q)
n
3. 欧氏空间中的各类点集
考虑向量空间Rn中的点与给定点集之间的关系。 设A为Rn中的一个点集，a为Rn中的点，则a和A的关系 具有如下几种： (1) a附近全是A的点，即存在a的某邻域 U (a ) A, 此时,称a为A的内点； A (2) a附近全不是A的点，即存在a的某邻域 U (a ) A , 此时称a为A的外点；
1 1 k si nk k l i m(1 ) , l i m , , l i mk ( e - 1) k k k k k
T
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性质：
See P.3定理1.2
1. 点列的极限是唯一的；
2.设{ xk }是有界点列， 即 M 0, M R, k N ,
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(4) A的全体聚点所成的集合，称为A的导集，记作 A ' (5) A与A的导集的并集，称为A的闭包，记作 A A A ' 闭包是一个非常重要的概念，我们有如下结论：
A x R | x的邻域U ( x ), 有U ( x )
n
A
这样可知：
See P.4定义1.2
a0
a2
a1
(3) a附近既有A的点，又有不属于A的点，即对a 的任意邻域U(a), U (a ) A且U (a ) A , 此时称a为A的边界点，简称界点；
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(4) a附近有A的无穷多个点，即对a的任意邻域U(a),
U (a ) A 为无限集合，此时称a为A的聚点；
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Rn中的有界集和紧集
定义 设 A 是 R n 中 的 一 个 点 集 ， 若 M 0 ， x M , x A， 则称 A是有界集， 否则称为无界集。
定义 设 A是 R n 中的一个点集， 若 A是有界闭集， 则A 称为紧集。
See P.9定义1.6
A A A A A A' 1 1 例如，A {( , ), k N } k k
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A的全体孤立点
See P.6例1.1-1.2
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开集和闭集
See P.6定义1.5
定义：若集合A的每一点都是A的内点，则称A为开集； 若集合A的每一个聚点都属于A，则称A为闭集.
2 2
则称 xn 是Cauchy点列（基本点列）
6. n维欧氏空间中的收敛点列等价于Rn中Cauchy 点列
See P.3 定理1.4
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点集的距离
A的
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(4) 若A为开集，则A的余集为闭集，若A为闭集， 则A的余集为开集； See P.7定理1.6
(5) 任意多个开集的并集以及有限多个开集的交集 仍为开集；任意多个闭集的交集以及有限多个闭集 的并集仍为闭集； See P.8定理1.7
(6) 对于任意两个互不相交的闭集，一定存在两 个互不相交的开集分别包含这两个闭集。
开集和闭集是最重要的两类点集，它们具有以下的性质： (1) 对任意的点集A， A 是开集, A ' 和 A是闭集 ; (2) 点集A是开集当且仅当 A A ;
A是闭集当且仅当 A' A或A A;
0 A (3) 是包含
A 的最大开子集， 最小闭子集.
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A是包含
( P , Q ). 两个非空点集A, B的距离定义为 ( A, B ) inf P A
QB
注：若A={P*}，即A为单点集，则可记 ( A, B ) ( P*, B )
直径及有界点集
点集的直径：
一个非空点集A的直径定义为 d ( A) sup ( P , Q ).
定义(连通集)— 如果对于点集A 内任何两点， 都可用折线连结起来，且该 折线上的点都属于 A , 称之．
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开域、闭域、区域
See P.9定义1.7
开域——若非空开集 A 具有连通性, 即 A中任意两 点之间都可用一条完全含于A的有限折线相连接,
See P.3定理1.1
设 xk k 1 为 n 维向量空间 Rn 中一个点列， 点 a R n ,则 lim xk a lim xk ,i ai , i 1,2,..., n k k
其中，xk ( xk ,1 , xk ,2 , , xk ,n ), a (a1 , a2 , , an )
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内部、边界、外部、导集、闭包
定义：(1) A的全体内点所成的集合，称为A的内部， 记作 A , 或 int A (2) A的全体边界点所成的集合，称为A的边界，记 作 A (3) A的全体外点所成的集合，称为A的外部，记作 ext A
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xk M 。
收敛点列必为有界点集
3. 点列的收敛满足线性性；
4. 若 xk 收敛于 a, 则它的任意子列也收敛于 a.
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5.n维欧氏空间的有界点列必有收敛的子（点）列.
See P.3 定理1.3, Bolzano-Weierstrass定理 定义 如果对n维欧氏空间中的点列 { xk }，若
构成一个 n 维向量空间，简称 n 维空间,即
Rn
x , x ,
1 2
xn xi R,i 1, 2
,n
其中每个有序实数组 ( x1 , x2 , , xn ) 称为称为 Rn 中的一 个向量 （或点） ; n 个实数 x1 , x2 , , xn 是这个向量 （或点） 的坐标.
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点列的极限 (I) e-N式定义：
若 xk k 1 为 n 维向量空间 Rn 中一个点列， 点 a R n ,若e 0, N N ， k N，有 ( xk , a ) e , 则称该点列收敛于 a，记作 lim xk a . k
对于 x ( x1 , x2 ,
, xn ) Rn , y ( y1 , y2 ,
x12 x22
, yn ) R n
xn2
R n 中的向量的长度（或范数）定义为：
x ( x, x )
定义距离
( x, y ) x - y ( x1 - y1 ) ( x2 - y2 )
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在 n 维向量空间 Rn 中，按照以下定义内积： 设 x ( x1 , x2 , , xn ) Rn , y ( y1 , y2 , , yn ) R n
x , y xi yi
i 1 n
构成一个 n 维 Euclid 空间.
(II) 邻域式定义：
See P.2,定义1.1
若对于 a 的任意邻域 U(a), N N ， k N， 有 xk U (a ) . 则 称 该 点 列 收 敛 于 a, 记 作
lim xk a .
k
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定理1.1 n维欧氏空间点列的收敛是按坐标收敛.
(5) a附近除a外没有A的点，即存在a的邻域U(a),
U (a ) A a 此时称a为A的孤立点。
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点与点集间的关系 显然，空间中任意的点a是且只能是上述(1)(2)(3) 中的一个，或者是且只能是上述(2)(4)(5)中的一 个，即 内点 聚点 n 对某点集A来说，R 中的点 边界点 或 孤立点 外点 外点 (1) 内点一定是聚点，外点一定不是聚点； (2) 聚点可以是内点，也可以是界点，但不能是外点； (3) 孤立点一定不是聚点、内点或外点，一定是界点； (4) A中的点要么是聚点，要么是孤立点；
P ,Q A
有界点集：
一个非空点集A称为有界集合，若 d ( A) .
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欧氏空间中点集的一些基本概念——区间
定义：R n 中的点集
x , x ,
1 2
, xn | ai xi bi , i 1,
, n
称为一个开区间； 若将其中的不等式全部换成
第1节 n维欧氏空间Rn中的点集的初步知识
n维欧氏空间 n维欧氏空间中点列的极限与完备性 n维欧氏空间的各类点集：开集、闭集、区域
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本节将研究一种特殊的集合——n维欧氏空间 中的点集。 向量空间往往成为数学研究的载体和对象。 分析学科所关心的空间的结构包括度量、范 数、开集、闭集等。 本节的主要内容为n维欧氏空间中的各类点集， 这将为我们研究新的积分奠定基础。
邻域具有如下的基本性质：
(1)
M0
P U ( P)
(2) 对于P的两个邻域 U1 ( P),U 2 ( P), 存在邻域 U3 ( P) U1 ( P) U 2 ( P) (3) 对于Q U ( P), 存在Q的邻域 U (Q) U ( P)
(4) 对于 P Q, 存在P和Q的邻域 U ( P),U (Q), 使得 U ( P) U (Q)
n
3. 欧氏空间中的各类点集
考虑向量空间Rn中的点与给定点集之间的关系。 设A为Rn中的一个点集，a为Rn中的点，则a和A的关系 具有如下几种： (1) a附近全是A的点，即存在a的某邻域 U (a ) A, 此时,称a为A的内点； A (2) a附近全不是A的点，即存在a的某邻域 U (a ) A , 此时称a为A的外点；
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性质：
See P.3定理1.2
1. 点列的极限是唯一的；
2.设{ xk }是有界点列， 即 M 0, M R, k N ,
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(4) A的全体聚点所成的集合，称为A的导集，记作 A ' (5) A与A的导集的并集，称为A的闭包，记作 A A A ' 闭包是一个非常重要的概念，我们有如下结论：
A x R | x的邻域U ( x ), 有U ( x )
n
A
这样可知：
See P.4定义1.2
a0
a2
a1
(3) a附近既有A的点，又有不属于A的点，即对a 的任意邻域U(a), U (a ) A且U (a ) A , 此时称a为A的边界点，简称界点；
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(4) a附近有A的无穷多个点，即对a的任意邻域U(a),
U (a ) A 为无限集合，此时称a为A的聚点；
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20
Rn中的有界集和紧集
定义 设 A 是 R n 中 的 一 个 点 集 ， 若 M 0 ， x M , x A， 则称 A是有界集， 否则称为无界集。
定义 设 A是 R n 中的一个点集， 若 A是有界闭集， 则A 称为紧集。
See P.9定义1.6
A A A A A A' 1 1 例如，A {( , ), k N } k k
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A的全体孤立点
See P.6例1.1-1.2
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开集和闭集
See P.6定义1.5
定义：若集合A的每一点都是A的内点，则称A为开集； 若集合A的每一个聚点都属于A，则称A为闭集.
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