10.1 平面点集与n维空间
高等数学B教案第九章
第九章多元函数微分法及其应用教学目的：1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。
2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。
3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
5、掌握多元复合函数偏导数的求法。
6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
8、了解二元函数的二阶泰勒公式。
9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
教学重点：1、二元函数的极限与连续性；2、函数的偏导数和全微分；3、方向导数与梯度的概念及其计算；4、多元复合函数偏导数；5、隐函数的偏导数6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；7、多元函数极值和条件极值的求法。
教学难点：1、二元函数的极限与连续性的概念；2、全微分形式的不变性；3、复合函数偏导数的求法；4、二元函数的二阶泰勒公式；5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；6、拉格郎日乘数法；7、多元函数的最大值和最小值。
§9 1 多元函数的基本概念一、教学目的与要求：1．理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。
2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。
二、重点（难点）：二元函数极限的定义与连续性三、教学方式：讲授式教学结合多媒体讲授内容：一、平面点集n 维空间1．平面点集由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点P 与有序二元实数组(x , y )之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组(x , y )与平面上的点P 视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元的序实数组(x , y )的全体, 即R 2=R ⨯R ={(x , y )|x , y ∈R }就表示坐标平面.坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集, 记作E ={(x , y )| (x , y )具有性质P }.例如, 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C ={(x , y )| x 2+y 2<r 2}.如果我们以点P 表示(x , y ), 以|OP |表示点P 到原点O 的距离, 那么集合C 可表成C ={P | |OP |<r }.邻域:设P 0(x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点, δ是某一正数. 与点P 0(x 0, y 0)距离小于δ的点P (x , y )的全体, 称为点P 0的δ邻域, 记为U (P 0, δ), 即}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x PU . 邻域的几何意义: U (P 0, δ)表示xOy 平面上以点P 0(x 0, y 0)为中心、δ >0为半径的圆的内部的点P (x , y )的全体.点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U , 即}||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U .注: 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U. 点与点集之间的关系:任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ⊂R 2之间必有以下三种关系中的一种:(1)内点: 如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )⊂E , 则称P 为E 的内点;(2)外点: 如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )⋂E =∅, 则称P 为E 的外点;(3)边界点: 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点. E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作∂E .E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E . 聚点:如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点. 由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E .例如, 设平面点集E ={(x , y )|1<x 2+y 2≤2}.满足1<x 2+y 2<2的一切点(x , y )都是E 的内点; 满足x 2+y 2=1的一切点(x , y )都是E 的边界点, 它们都不属于E ; 满足x 2+y 2=2的一切点(x , y )也是E 的边界点, 它们都属于E ; 点集E 以及它的界边∂E 上的一切点都是E 的聚点.开集: 如果点集E 的点都是内点, 则称E 为开集.闭集: 如果点集的余集E c 为开集, 则称E 为闭集.开集的例子: E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}.闭集的例子: E ={(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}.集合{(x , y )|1<x 2+y 2≤2}既非开集, 也非闭集.连通性: 如果点集E 内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E , 则称E 为连通集.区域(或开区域): 连通的开集称为区域或开区域. 例如E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}.闭区域: 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域. 例如E = {(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}. 有界集: 对于平面点集E , 如果存在某一正数r , 使得 E ⊂U (O , r ),其中O 是坐标原点, 则称E 为有界点集.无界集: 一个集合如果不是有界集, 就称这集合为无界集.例如, 集合{(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是有界闭区域; 集合{(x , y )| x +y >1}是无界开区域;集合{(x , y )| x +y ≥1}是无界闭区域.2. n 维空间设n 为取定的一个自然数, 我们用R n 表示n 元有序数组(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )的全体所构成的集合, 即 R n =R ⨯R ⨯⋅ ⋅ ⋅⨯R ={(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )| x i ∈R , i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n }.R n 中的元素(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )有时也用单个字母x 来表示, 即x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ). 当所有的x i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )都为零时, 称这样的元素为R n 中的零元, 记为0或O . 在解析几何中, 通过直角坐标, R 2(或R 3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应, 因而R n 中的元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )也称为R n 中的一个点或一个n 维向量, x i 称为点x 的第i 个坐标或n 维向量x 的第i 个分量. 特别地, R n 中的零元0称为R n 中的坐标原点或n 维零向量.为了在集合R n 中的元素之间建立联系, 在R n 中定义线性运算如下:设x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )为R n 中任意两个元素, λ∈R , 规定x +y =(x 1+ y 1, x 2+ y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n + y n ), λx =(λx 1, λx 2, ⋅ ⋅ ⋅ , λx n ).这样定义了线性运算的集合R n 称为n 维空间.R n 中点x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )和点 y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )间的距离, 记作ρ(x , y ), 规定2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ.显然, n =1, 2, 3时, 上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至.R n 中元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与零元0之间的距离ρ(x , 0)记作||x ||(在R 1、R 2、R 3中, 通常将||x ||记作|x |), 即22221 ||||nx x x ⋅⋅⋅++=x . 采用这一记号, 结合向量的线性运算, 便得),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x .在n 维空间R n 中定义了距离以后, 就可以定义R n 中变元的极限:设x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), a =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n )∈R n .如果||x -a ||→0,则称变元x 在R n 中趋于固定元a , 记作x →a .显然,x →a ⇔ x 1→a 1, x 2→a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n →a n .在R n 中线性运算和距离的引入, 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念, 可以方便地引入到n (n ≥3)维空间中来, 例如,设a =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n )∈R n , δ是某一正数, 则n 维空间内的点集U (a , δ)={x | x ∈ R n , ρ(x , a )<δ}就定义为R n 中点a 的δ邻域. 以邻域为基础, 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点, 以及开集、闭集、区域等一系列概念.二. 多元函数概念例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系V =πr 2h .这里, 当r 、h 在集合{(r , h ) | r >0, h >0}内取定一对值(r , h )时, V 对应的值就随之确定.例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系VRT p =, 其中R 为常数. 这里, 当V 、T 在集合{(V ,T ) | V >0, T >0}内取定一对值(V , T )时, p 的对应值就随之确定. 例3 设R 是电阻R 1、R 2并联后的总电阻, 由电学知道, 它们之间具有关系2121R R R R R +=. 这里, 当R 1、R 2在集合{( R 1, R 2) | R 1>0, R 2>0}内取定一对值( R 1 , R 2)时, R 的对应值就随之确定. 定义1 设D 是R 2的一个非空子集, 称映射f : D →R 为定义在D 上的二元函数, 通常记为z =f (x , y ), (x , y )∈D (或z =f (P ), P ∈D )其中点集D 称为该函数的定义域, x , y 称为自变量, z 称为因变量.上述定义中, 与自变量x 、y 的一对值(x , y )相对应的因变量z 的值, 也称为f 在点(x , y )处的函数值, 记作f (x , y ), 即z =f (x , y ).值域: f (D )={z | z =f (x , y ), (x , y )∈D }.函数的其它符号: z =z (x , y ), z =g (x , y )等.类似地可定义三元函数u =f (x , y , z ), (x , y , z )∈D 以及三元以上的函数.一般地, 把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D , 映射f : D →R 就称为定义在D 上的n 元函数, 通常记为u =f (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D ,或简记为u =f (x ), x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D ,也可记为u =f (P ), P (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D .关于函数定义域的约定: 在一般地讨论用算式表达的多元函数u =f (x )时, 就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域. 因而, 对这类函数, 它的定义域不再特别标出. 例如,函数z =ln(x +y )的定义域为{(x , y )|x +y >0}(无界开区域);函数z =arcsin(x 2+y 2)的定义域为{(x , y )|x 2+y 2≤1}(有界闭区域).二元函数的图形: 点集{(x , y , z )|z =f (x , y ), (x , y )∈D }称为二元函数z =f (x , y )的图形, 二元函数的图形是一张曲面.例如 z =ax +by +c 是一张平面, 而函数z =x 2+y 2的图形是旋转抛物面.三. 多元函数的极限与一元函数的极限概念类似, 如果在P (x , y )→P 0(x 0, y 0)的过程中, 对应的函数值f (x , y )无限接近于一个确定的常数A , 则称A 是函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限.定义2设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε总存在正数δ, 使得当),(),(0δP U D y x P ⋂∈时, 都有|f (P )-A |=|f (x , y )-A |<ε成立, 则称常数A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限, 记为A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00, 或f (x , y )→A ((x , y )→(x 0, y 0)),也记作A P f P P =→)(lim 0或f (P )→A (P →P 0). 上述定义的极限也称为二重极限.例4. 设22221sin)(),(y x y x y x f ++=, 求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x . 证 因为2222222222 |1sin ||| |01sin)(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-, 可见∀ε >0, 取εδ=, 则当δ<-+-<22)0()0(0y x ,即),(),(δO U D y x P ⋂∈时, 总有|f (x , y )-0|<ε,因此0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .必须注意:(1)二重极限存在, 是指P 以任何方式趋于P 0时, 函数都无限接近于A .(2)如果当P 以两种不同方式趋于P 0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在.讨论:函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)有无极限？提示: 当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时,00lim )0 ,(lim ),(lim 00)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ; 当点P (x , y )沿y 轴趋于点(0, 0)时,00lim ) ,0(lim ),(lim 00)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f . 当点P (x , y )沿直线y =kx 有22222022 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→. 因此, 函数f (x , y )在(0, 0)处无极限.极限概念的推广: 多元函数的极限.多元函数的极限运算法则: 与一元函数的情况类似.例5 求x xy y x )sin(lim)2,0(),(→. 解: y xy xy x xy y x y x ⋅=→→)sin(lim )sin(lim)2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x )2,0(),()2,0(),(lim )sin(lim →→⋅==1⨯2=2. 四. 多元函数的连续性定义3 设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)为D 的聚点, 且P 0∈D . 如果),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→,则称函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)连续.如果函数f (x , y )在D 的每一点都连续, 那么就称函数f (x , y )在D 上连续, 或者称f (x , y )是D 上的连续函数.二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数f (P )上去.例6设f (x ,y )=sin x , 证明f (x , y )是R 2上的连续函数.证 设P 0(x 0, y 0)∈ R 2. ∀ε>0, 由于sin x 在x 0处连续, 故∃δ>0, 当|x -x 0|<δ时, 有|sin x -sin x 0|<ε.以上述δ作P 0的δ邻域U (P 0, δ), 则当P (x , y )∈U (P 0, δ)时, 显然|f (x , y )-f (x 0, y 0)|=|sin x -sin x 0|<ε,即f (x , y )=sin x 在点P 0(x 0, y 0) 连续. 由P 0的任意性知, sin x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续. 证 对于任意的P 0(x 0, y 0)∈R 2. 因为),(sin sin lim ),(lim 000),(),(),(),(0000y x f x x y x f y x y x y x y x ===→→,所以函数f (x ,y )=sin x 在点P 0(x 0, y 0)连续. 由P 0的任意性知, sin x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续. 类似的讨论可知, 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时, 它们在各自的定义域内都是连续的.定义4设函数f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)不连续, 则称P 0(x 0, y 0)为函数f (x , y )的间断点.例如函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f ,其定义域D =R 2, O (0, 0)是D 的聚点. f (x , y )当(x , y )→(0, 0)时的极限不存在, 所以点O (0, 0)是该函数的一个间断点.又如, 函数11sin 22-+=y x z , 其定义域为D ={(x , y )|x 2+y 2≠1}, 圆周C ={(x , y )|x 2+y 2=1}上的点都是D 的聚点, 而f (x , y )在C 上没有定义, 当然f (x , y )在C 上各点都不连续, 所以圆周C 上各点都是该函数的间断点.注: 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.可以证明, 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数; 连续函数的商在分母不为零处仍连续; 多元连续函数的复合函数也是连续函数.多元初等函数: 与一元初等函数类似, 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数, 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.例如2221y y x x +-+, sin(x +y ), 222z y x e ++都是多元初等函数. 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 由多元连续函数的连续性, 如果要求多元连续函数f (P )在点P 0处的极限, 而该点又在此函数的定义区域内, 则)()(lim 00P f P f p p =→. 例7 求xy y x y x +→)2,1(),(lim. 解: 函数xyy x y x f +=),(是初等函数, 它的定义域为 D ={(x , y )|x ≠0, y ≠0}.P 0(1, 2)为D 的内点, 故存在P 0的某一邻域U (P 0)⊂D , 而任何邻域都是区域, 所以U (P 0)是f (x , y )的一个定义区域, 因此23)2,1(),(lim)2,1(),(==→f y x f y x . 一般地, 求)(lim 0P f P P →时, 如果f (P )是初等函数, 且P 0是f (P )的定义域的内点, 则f (P )在点P 0处连续, 于是)()(lim 00P f P f P P =→. 例8 求xyxy y x 11lim )0 ,0(),(-+→.解: )11()11)(11(lim 11lim )0 ,0(),()0 ,0(),(++++-+=-+→→xy xy xy xy xy xy y x y x 21111lim )0 ,0(),(=++=→xy y x . 多元连续函数的性质:性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数, 必定在D 上有界, 且能取得它的最大值和最小值.性质1就是说, 若f (P )在有界闭区域D 上连续, 则必定存在常数M >0, 使得对一切P ∈D , 有|f (P )|≤M ; 且存在P 1、P 2∈D , 使得f (P 1)=max{f (P )|P ∈D }, f (P 2)=min{f (P )|P ∈D },性质2 (介值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.§9. 2 偏导数一、教学目的与要求：1．理解多元函数偏导数概念，偏导数的计算。
第一章-平面点集概念(1)
8
(8) 单连通域与多连通域的定义
复平面上的一个区域G, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于G, 就称 为单连通区域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通区域.
单连通域
多连通域
9
例设
，
由定义得知， 是单连通区域
D 是多连通区域．
12
(4) z 1 z 1 4 因 z1 z1 4 表示到1, –1的距离之和 为定值 4 的点的轨迹, 是椭圆, z 1 z 1 4表示该椭圆内部, 有界的单连通域.
13
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(5) z 1 z 1 1
令 z r cos ir sin ,
z1 z1 1
[(r cos 1)2 r2 sin2 ][(r cos 1)2 r2 sin2 ] 1 (r2 2r cos 1)(r2 2r cos 1) 1 (r2 1)2 4(r cos )2 1 r 2 2cos 2 ,
办公室：主楼1001
1
§1-2 复平面上曲线和区域
一、平面点集与区域 二、复平面上曲线方程的各种表示
2
一、平面点集的相关概念
邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集， 闭集，区域
(1) 邻域 平面上以 z0 为中心, (任意的正数)为半径
的圆内部点的集合
(2) 去心邻域
z
z0
称为 z0 的
邻域 .
15
(3) 0 z 1 i 2, 以 (1 i) 为圆心, 2为半径 的去心圆盘, 是多连通域.
(4) arg( z i) ,
4 以 i 为端点, 斜率为 1 的半射线 (不包括端点i ),
合肥工业大学-高等数学-下-9.1
解
设 p( x, y) 沿直线 y kx 趋于点 (0,0), 则有
k x2 k lim f ( x , y ) lim 2 2 x 0 x 0 x k 2 x 2 1 k y kx
k 值不同极限不同 !
n 维空间中的每一个元素 一个点, 当所有坐标
R n 中点 a 的 邻域为
称为空间中的
称为该点的第 k 个坐标 . 称该元素为 R n 中的零元,记作 O .
二、多元函数的概念
引例:
圆柱体的体积
定量理想气体的压强
r
h
三角形面积的海伦公式
b
a c
定义1. 设非空点集
的 n 元函数 ,记作
sin(xy) sin(xy) sin(xy) lim lim [ y] lim lim y ( x , y )( 0 , 2 ) ( x , y ) ( 0 , 2 ) xy 0 y2 x xy xy
例5 求 解
2 2 2 2 2 2 因 x2 y2 1 ( x y ) , 令 r x y , 则 4
P P0
则称 A 为函数
lim f ( P ) A (也称为 n 重极限)
当 n =2 时, 记 PP0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 二元函数的极限可写作：
lim f ( x , y ) A lim f ( x , y ) A
0
x x0 y y0
故
lim f ( x , y ) 0
x 0 y 0
例2
1 y sin xy 0 x sin 1 y x, 设 f ( x, y ) 0 , xy 0
9-1基本概念汇总
一元函数微分学 推广 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同
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第一节
第九章
多元函数的基本概念
一、平面点集 n维空间 二、多元函数概念
三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
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一、平面点集 n维空间
1.平面点集
坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集 记作 E{(x y)| (x y)具有性质P}
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•两点间的距离
Rn中点x(x1 x2 xn)和点y(y1 y2 yn)间的距离 记作(x y) 规定
||x|| 即
( x, y) (x1 y1)2 (x2 y2 )2 (xn yn )2 Rn中元素x(x1 x2 xn)与零元0之间的距离(x 0)记作
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多元函数的定义域
在一般地讨论用算式表达的多元函数uf(x)时 以使这个 算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自 然定义域 对这类函数 它的定义域不再特别标出
举例 函数zln(xy)的定义域为 {(x y)|xy>0} 函数zarcsin(x2y2)的定义域为 {(x y)|x2y21}
分别表示上半球面和下半球面 其定义域 均为D{(x y)|x2y2a2}
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三、多元函数的极限
二重极限的定义 设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果存在常数A 对于任意给定的正数e总存在正数 使得当
P( x, y) D U (P0, ) 时 都有 |f(P)A||f(x y)A|e 成立 则称常数A为函数f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 记为
n维欧氏空间中的点集
xk M 。
收敛点列必为有界点集
3. 点列的收敛满足线性性；
4. 若 xk 收敛于 a, 则它的任意子列也收敛于 a.
2009年4月
南京航空航天大学 理学院 数学系
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5.n维欧氏空间的有界点列必有收敛的子（点）列.
See P.3 定理1.3, Bolzano-Weierstrass定理 定义 如果对n维欧氏空间中的点列 { xk }，若
2009年4月
南京航空航天大学 理学院 数学系
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Rn中的有界集和紧集
定义 设 A 是 R n 中 的 一 个 点 集 ， 若 M 0 ， x M , x A， 则称 A是有界集， 否则称为无界集。
定义 设 A是 R n 中的一个点集， 若 A是有界闭集， 则A 称为紧集。
See P.9定义1.6
2009年4月 南京航空航天大学 理学院 数学系 5
点列的极限 (I) e-N式定义：
若 xk k 1 为 n 维向量空间 Rn 中一个点列， 点 a R n ,若e 0, N N ， k N，有 ( xk , a ) e , 则称该点列收敛于 a，记作 lim xk a . k
定义(连通集)— 如果对于点集A 内任何两点， 都可用折线连结起来，且该 折线上的点都属于 A , 称之．
2009年4月 南京航空航天大学 理学院 数学系 21
开域、闭域、区域
See P.9定义1.7
开域——若非空开集 A 具有连通性, 即 A中任意两 点之间都可用一条完全含于A的有限折线相连接,
南京航空航天大学 理学院 数学系
2
1. n维Euclid欧氏空间
See P.2
所有 n 元有序实数组( x1 , x2 , , xn ) 的全体所构成的 集合 Rn 按照以下定义的加法和数乘运算：
平面点集
点 P 是 E 的外点； (iii) 界点—— 若r 0, 邻域U( P , r )内既有属于E的点，
又有不属于E的点. 则称点 P 是 E 的界点；
E的全体界点所构成的集合称为 E 的边界; 记作 E . (iv) 若存在以原点为心的某个邻域U(O)，使得
E U(O)，则称E是 有界集. 反之为无界集.
§10.3 多元函数微分法
§10.4 二元函数的泰勒公式
§10.1 多元函数
一、平面点集
1、平面点集的相关概念 在平面上确立了直角坐标系之后, 所有有序实数 对 ( x , y ) 与平面上所有点之间建立起了一一对应. 坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合, 称为平 面点集, 记作
E ( x , y ) ( x , y ) 满足条件 P .
注 E 的内点必定属于 E; E 的外点必定不属于 E; E 的界点可能属于 E, 也可能不属于 E.
平面点集
§10.1 多元函数
例1 设平面点集（见图 16 – 3）
D ( x, y) 1 x 2 y 2 4 .
y
满足 1 x 2 y 2 4 的一切点都 是 D 的内点; 满足x y 1
P R 2 与任意一个点集 E R 2 之间必有 任意一点
以下三种关系之一 : (i) 内点——若 r 0, 使 U ( P , r ) E , 则称点 P 是 E 的内点;
平面点集
§10.1 多元函数
(ii) 外点——若 r 0, 使 U ( P , r ) E , 则称
并 用记号 U ( P , r ) 或 U ( P ) 来表示.
点 P 的去心邻域是指:
1_1n维空间、点集、实数系
第一章函数与极限1.1 n维空间点集实数系1.2 映射与函数1.3 极限1.4 极限的运算1.5 极限存在准则1.6 无穷小阶的比较1.7 函数的连续性1.8 闭区间上连续函数的性质1初等数学–研究对象为常量，以静止观点研究问题。
高等数学–研究对象为变量，运动和辩证法进入了数学。
分析基础：函数–研究对象极限–研究方法连续–研究桥梁231.1n 维空间点集实数系1.1.1n 维空间序偶：具有固定次序的两个元素组成的集合。
例如A与B的Descartes （笛卡尔）乘积：当B = A时，记为。
(,),,a b a A b B∈∈(,)(,),a b c d a c b d=⇔=={(,)|,}A B a b a A b B ×=∈∈A B ×2A4类似地，可以定义有限个非空集合的Descartes （笛卡尔）乘积：当时，称为中的一个点，为x 的第i 个坐标。
1,,n A A …1111(){(,,)|,1,,}n n nn i i A A A A A a a a A i n −××=×××=∈= ……,1,...,i A R i n ==11{(,,)|,1,,}nn n i A A R x x x R i n ××==∈= ……1(,,)n x x =x …nR i x5在中定义线性运算n 维线性空间线性运算：距离：nR ⇒11(,,)n n x y x y x y +=++…1(,,)n kx kx kx =…,,nx y R k R ∀∈∈2211(,)()()n n d x y x y x y =−++−61.1.2n 维空间中的点集1.邻域设为点a 的邻域。
称a 为邻域的中心，为邻域的半径。
为点a 的去心邻域。
如不需要强调邻域的半径，可以用表示，用表示。
,,0n a R R δδ∈∈>且(,){|||}U a x x a δδ=−<δ(,){|0||}o U a x x a δδ=<−<δδoaδy x o a δy x(,)U a δ()U a ()o U a (,)o U a δ数轴上的左δ邻域右δ邻域,),(a a δ−.),(δ+a a72.区域设E 为一点集，P 为E 中的一个点，如果存在点P 的某一邻域，则称P 为E 的内点。
平面点集的基本概念定义将有序实数对
称为点 P1 与点 P2的距离，表示为| P1 − P2|或 ρ (P1, P2 ) . 不难证明，对 ℜ2的任意三点 P1, P2 , P3, 它们之间的距离满足三角不等式，即 | P1 − P2 |≤| P1 − P3 | + | P3 − P2 | .
区域列{Rn }, 它满足下列条件：
1）R1 ⊃ R2 ⊃ ⋯ ⊃ Rn ⊃ ⋯ ；
() 2
2) lim d n →∞
Rn
= lim l = 0. 2 n→∞ n−1
每个Rn中所包含D的（非空）子集Dn−1没有有限覆盖.根据定理（1 闭矩形套定理），存在唯一
一点Ρ ∈ Rn (n = 1,2,3,⋯).
{(x, y) | | x − a |< r,| y − b |< r}，
称为点 P(a,b)的 r （方形）邻域，也表为 U (P, r).
注：这两种邻域只是形式不同，无本质区别 .
在 点 P(a,b) 的 r 邻 域 U (P, r) 中 去 掉 点 P ， 即 点 集
{ } (x, y)| 0 < (x − a2 )+ (y − b)2 < r
上任一点都是 M K 的聚点.
{ } 例 2.设 E = (x, y ) | x2 + y2 < 1 则E的所有点 都是内点 ，满足 x 2 + y 2 > 1的点都
是 E 的外点，圆周 x 2 + y 2 = 1的点都是 E 的界点.所有的内点都是 E 的聚点.所有的
界点都是 E 的聚点. 注：一般地，界点不一定都是聚点 .
n1 < n2 < ⋯ < nk < ⋯
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一、教学目标：
通过本节内容的学习，达到以下教学目标与要求： 一级目标：熟练掌握多元函数概念
二级目标：掌握平面点集与n
维空间的概念
二、教学内容和重、难点：
1. 平面点集与n
维空间 2. 多元函数概念
重点：多元函数概念
难点：平面点集与n
维空间
三、教学方法和教具使用：
讲授法。
四、教学过程：
10.1 平面点集和多元函数 一、平面点集与n 维空间
1.平面点集
(){}2,|,x y x y =∈R R
2R 中邻域的概念：称下2R 的如下子集为点()000,P x y 的
δ邻域
()(){
}
0,,|.U P x y δδ=
称下2
R 的如下子集为点()000,P x y 的去心
δ邻域
()(){
}
0,,.U P x y δδ=
<
设E 是平面上的一点，P 是平面上的一个点. 如果存在点P 的某一邻域()U P 使得
()U P E ⊆，则称P 为E 的内点（如图1）.显然，E 的内点属于.E
如果点集E 的点都是内点，则称E 为开集. 如，点集(){}2
21,|14E x y x
y =
<+<是开集.
如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点，也有不属于E 的点（点P 本身可以属于E ，也可以不属于E ），则称P 为E 的边界点（如图2）.E 的边界点的全体，称为E 的边界. 例如，上面的点集1E 的边界是圆周2
2
1x y +=和2
2
4.x y +=
设D 为开集. 如果对于D 内任何两点，都可以用折线连结起来，且该折线上的点都属于D ，则称开集D 是连通的.
连通的开集称为区域或开区域. 如，
(){},|0x y x y +>及(){}2
2,|14x y x
y <+<都是
开区域.
开区域连通它边界一起，称为闭区域，例如
(){},|0x y x y +≥及(){}2
2,|14x y x
y ≤+≤
都是闭区域.
对于点集E ，如果存在正数K ，使一切点P E ∈与某一定点A 间的距离不超过K ，即
AB K ≤对一切P E ∈成立
则称E 为有界点集，否则称为无界点集. 例如
(){}2
2,|14x y x
y ≤+≤是、
是有界闭区域，
(){},|0x y x y +>是无界开区域.
设E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点. 如果点P 的任一邻域内总有无限多个点属于点集E ，则称P 为E 的聚点. 显然，E 的内点一定是E 的聚点. 此外，E 的边界点也可能是E 的聚点. 例如，设
(){}222,|01E x y x y =<+≤，
那么点()0,0既是2E 边界点又是2E 的聚点，2E 的这个聚点不属于2.E 又如，圆周
图2
图1
221x y +=上的每个点既是既是2E 的边界点，也是2E 的聚点，而这些聚点都属于2.E 由此
可见，点集E 的聚点可以属于E ，也可以不属于.E
2. n 维空间
设n 为取定的一个正整数，我们称n 元数组()12,,,n x x x 的全体为n 维空间，而每个n
元数组()12,,
,n x x x 称为n 维空间中的一个点，
数i x 称为该点的第i 个坐标. n 维空间记为.n R
n 维空间中两点()12,,
,n P x x x 及()12,,
,n Q y y y 规定为
PQ =
前面就平面点集来陈述的一系列概念，可推广到n 维空间中去. 例如，设0n
P R ∈，δ是
某一正数，则n 维空间内的点集
(){}
00,,n U P P PP P R δδ=<∈
就定义为点0P 的
δ邻域. 以邻域为基础，可以定义内点、边界点、区域、聚点等一系列概念. 二、多元函数概念
例1 设R 是电阻12,R R 并联后的总电阻，则
12
12
.R R R R R =
+
这里，当12,R R 在集合
(){}1
2
1
2
,|0,0R R R R
>>内取定一对值()12,R R 时，R 的对应值也
随之确定.
例2 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系
2.V r h π=
这里，当,r h 在集合
(){},|0,0r h r h >>内取定一对值(),x y 时，V 的对应值就随之确定.
定义 1 设D 的一个平面点集. 如果按照某一确定对应法则,f D 内的每一个点
(),P x y D ∈，都有唯一确定一个实数z 与之对应，则称f 是定义在D 上的二元函数，记
作
()()(),z f x y z f P ==或
点集D 程为该函数的定义域，,x y 称为自变量，z 也称为因变量. 数集
()(){}|,,,z z f x y x y D =∈称为该函数的值域.
更一般地，可有n 元函数定义. 参见课本. 当2n ≥时，n 元函数通称多元函数. 与一元函数类似，在一般地讨论用算式表达的多元函数()u f P =时，就以使这个算式有确定值u 的自变量所确定的点集为这个函数的定义域. 例如，函数()ln z x y =+的定义域为
(){},|0x y x y +>
例3 函数z =(){}2
2,|1x y x
y +≤.
设函数(),z f x y =的定义域为D . 对于任意取定的点(),P x y D ∈，对应的函数值为
(),.z f x y =这样，就在空间中确定了一个点(),,.x y z 所有这样的点作成的集合
()()(){},,|,,,x y z z f x y x y D =∈，
称为二元函数(),z f x y =的图形.
上面所述的二元函数z =.
一般，二元函数(),z f x y =的图形是一个空间曲面. 作业 P181：3.（5） 5.（1）。