最小值原理
极小值原理及其应用
假设同定理5-1。
若 u* (t) 和 t f * 是使性能指标取最小值的最优解，x* (t)
为相应的最优轨线，则必存在n 维向量函数
，
使得 (t )
x*(t)和, u*(t), t f满* 足如(下t)必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
(t) H
x
式中哈密顿函数
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
H[x* (t), (t), u* (t), t]
min
u (t )
H[x* (t
x(t f
)
（5-4）
③ 哈密顿函数相对最优控制为极小值
H (x*, u*, ) min H (x*, u, ) （5-5） u (t )
④ 哈密顿函数沿最优轨线保持为常数
当 t f 固定时
H[x* (t), u* (t), (t)]
（5-6）
H[x* (t f ), u* (t f ), (t f )] const
x为* (为t) 为相应的最优轨线，则必存在非零常向量 及 n 维向量函数 (t) ，使得 x*(t), u*(t), t f * 和 (t) 满足如下必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
式中哈密顿函数
(t) H
x
H (x, ,u) T (t) f (x,u)
H (x, ,u) L(x,u) T (t) f (x,u)
② x(t) 及 (t)满足边界条件：
x(t0 ) x0
(t f ) 0
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
H[x*(t), (t), u*(t)] min H[x*(t), (t), u(t)] u (t )
pontryagin最小值原理
pontryagin最小值原理Pontryagin最小值原理是由苏联数学家L.S.Pontryagin于1956年提出的，是探讨最优控制问题的基本理论之一。
这个原理可以帮助人们解决一类非线性控制问题，它是在处理一般情况下的非线性最优控制问题时得出的。
这个理论的主要思想是通过寻找一条最优解曲线，使得在该曲线下行动的代价最小化。
下面我们来详细介绍Pontryagin最小值原理。
Pontryagin最小值原理是非线性最优控制领域中的重要理论，它是解决非线性最优控制问题的基本思想。
该原理的核心思想是最小化系统代价函数，获得最优解曲线。
系统的代价函数是指如果出现一定的行动，带来的代价或收益。
例如，在经济领域，代价函数可以是生产货物的成本；在机械控制技术，代价函数可以是能耗；在航天和飞行控制方面，代价函数可以是安全性和可靠性。
- “状态”是指操作过程中受控系统目前的状态，通常用$x(t)=\begin{bmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\\.\\.\\x_n(t)\end{bmatrix}$ 表示；- “控制”是指要做的决策或行动，通常用$ u(t)=\begin{bmatrix}u_1(t)\\u_2(t)\\.\\.\\u_m(t)\end{bmatrix}$ 表示；- “状态方程”用于描述系统的演化过程，它可以用一个常微分方程来表示。
常微分方程的形式如下：$$\dot{x}=f(x,u,t)$$ 其中$x$表示系统的状态，$u$表示控制，$\dot{x}$ 表示$x$对时间$t$的导数，$f(x,u,t)$表示系统状态的演化。
- 状态方程可以使用初始条件和末端条件来确定最优解。
使用这些术语，我们现在可以将Pontryagin最小值原理表述如下：假设我们有一个动态系统，它的状态是$x(t)$，控制是$u(t)$。
设$c(x(t),u(t),t)$是状态和控制在$t$时刻产生的代价函数，$f(x(t),u(t),t)$是状态的演化方程，则满足以下两个条件的控制$u^*(t)$在$t\in[0,T]$区间内为系统的最优控制：1. 给定了末端条件 $x(T)$，并且满足常微分方程 $\dot{x}=f(x,u,t)$;2. 在所给定的时间区间 $[0,T]$ 内所有可能的状态和控制组合 ($x(t)$ 和 $u(t)$)中，使得代价最小化的状态之和为$J=\int_0^T c(x(t),u(t),t)dt $。
Lecture 07 最小值原理
H (xf , λf ,u f ) = 0
若能知道λ (0)的值，就能根据协态方程解得最优控制
λ (t ) = exp(− AT t )λ0 , u * = − sgn( BT exp(− AT t )λ0 )
如果λ T b j ≠ 0, 可以确定最优控制 u * = − sgn(λ T b j ); j 如果λ T b j = 0, 则不能确定u *。 j 如果λ T b j = 0只在t的离散点上成立，则在这些点上u *作边界 j 值的切换； 如果λ T b j = 0在某一段时间间隔成立，这时无法确定u *j的值
5.1 最小值原理
系统运动方程 & x = f ( x, u, t ) 式中：x ∈ Rn − 状态变量；u ∈ Rm − 控制变量；t ∈[t0 , t f ] − 时间变量。 给定系统的初始时刻和初始状态 x(t0 ) = x0 系统的终端时刻和状态满足r个约束方程 n( x(t f ), t f ) = 0 控制变量满足若干不等式约束 g (u, t ) ≤ 0 最优控制问题的性能指标为 J = θ ( x(t f ), t f ) + ∫ φ ( x, u, t )dt
关于判别线性定常系统最优控制问题的正规性和奇异性， 有以下定理。 & 定理7-1 对于线性定常系统x=Ax+Bu 快速最优控制奇异的充要条件是，m个矩阵 Uj = [b j Ab j A2b j K An −1b j ], j = 1, 2,K , m 中，至少有一个是奇异的。 定理7-2 定理7-3ห้องสมุดไป่ตู้对于线性定常系统，快速最优控制正规的充要条件是： 对于正规快速最优控制问题，其最优控制律u*的每一个 m个矩阵Uj全部是非奇异的。
（1）快速最优控制的正规与奇异问题 定义7-1 若所有函数λ T b j 在时间间隔[0,tf ]上只存在有限个零点，则 对应的快速最优控制问题成为正规的。 定义7-2 如果对所有j=1,2, ,m，至少存在一个λ T b j函数在某一段时间 K 间隔[t1 ,t2 ]∈[0,tf ]上的取值为零，则对应的快速最优控制问题是奇异 的，并称时间间隔[t1 ,t2 ]为奇异段。 对于正规快速最优控制问题，完全能确定最优控制律u* ,即每个控制分量 u*均在边界值之间切换，且切换点就是λ T b j =0的时刻。这种控制方式成为 j “乒乒控制”。 对于奇异快速最优控制问题，在奇异段[t1 ,t2 ]上不能确定最优控制律，但 不表明最优控制u*不存在。因为在奇异段u*上，H函数与对应的u*无关，u* j j 可以取任意容许值，仍能满足最小值原理。此时快速最优控制不再具有 “乒乒控制”形式
基于最小值原理的壁面攀爬机器人时间最优控制
地面电机 Ａ 地 面电机 Ｂ 地 面电机
救援等作业的特殊要求 ， 我们提出一种特殊的机器 人组合系统 ， 使机器人本体能携带较大负载且能快 速到达着火点实施侦察 、 消防及救援工作。
图 １ 机 器 人 组 合 系统 原 理 示 意 图
维普资讯
２０ 年 ｌ 月 中国制造业信息化 ０６ １ 这样一来 ， 该系统简化模型（ 如图 ２ 所示 ） 的时
间最优 控制 问题 就 可 以看 成 是 一 个 非 对称 双 线 摆
第３卷 ５
第 ２ 期 １
优 控制 问题 的研 究 主要基 于两种 理论 ： 一种 是基 于
１２ 非对称 双线摆的数学模型 ．
本系统在两绳牵引力 Ｆ 和 Ｆ 的作用下有确 ｌ
定 的运 动速度 和轨 迹 ， 系统 自由度 为 ２ 如 图 ２ 示 。 所
摩擦力作用将该扭矩转化为其攀升的动力 ， 从而实
现 了通 过地 面 电机对 机器 人本 体壁 面 运动 的驱 动 。
响机 器人本 体 运动 的机 械 阻 力 ；９ 简 化 运 程 传 输 （）
系统 ， 将系统 模型简化成两 电机位 于两牵 引绳悬 点， 电机转绕牵引绳直接驱动机器人本体攀爬的非
中图分类 号 ： Ｐ ４ ． Ｔ ２ ２３ 文献标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：６ ２ ６ ６ ２ ０ ）１—０ ３ —０ １ ７ —１ １ （０ ６ ２ ０７ ５
随着城市规模的不断扩大 ， 越来越多的高层建
筑如 雨后 春笋般 涌 现 出来 ， 们 在惊 叹现 代建 筑艺 人
的负载能力 ； 通过调节地面电机的转速就可 以有效
沿摆线运动的时间最优控制问题 了。
最大最小值定理
最大最小值定理最大最小值定理又称最小-最大定理，是指在约束条件下，某一约束优化问题的最优解是所有解的最大值或最小值。
其主要分为三种情况：1. 最小值原理：某一约束条件下的最优解是目标函数的最小值；2. 最大值原理：某一约束条件下的最优解是目标函数的最大值；3. 最小化最大值原理：存在某一约束条件下的最优解，它是满足某一约束条件下剩余约束函数的最大值最小化。
最大最小值定理是非常常用的一种优化算法，用于优化问题的最优解。
它包括构造约束条件、确定目标函数，以及实施算法求解等步骤，可以帮助我们快速求解给定优化问题的最优解。
有时候，由于约束条件的存在，我们无法直接求解优化问题的最优解。
此时，可以通过最大最小值定理来求解，即在约束条件下求解最优解，那么最优解就可以由于最大最小值定理而得出。
同时也可以将最大最小值定理和其他优化算法结合起来使用，从而加快求解速度，提高求解精度。
此外，最大最小值定理还可用于多维优化问题的求解。
因此，最大最小值定理是解决优化问题的重要方法，为优化问题的求解提供了有效的理论支持。
使用最大最小值定理来求解优化问题时，在确定约束条件、目标函数等步骤完成后，需要考虑算法复杂度、收敛速率等问题，以便选择合适的方法。
例如，可以考虑使用梯度下降法、遗传算法、变分法等方法来求解最优解。
此外，还可以对最大最小值定理的约束条件和目标函数进行有效的优化，以便提高求解精度。
为此，可以利用不同的方法，如凸优化技术、多约束技术、约束优化技术等，来优化约束条件和目标函数。
总之，最大最小值定理是一个非常有用的解决优化问题的算法，它能够帮助我们快速求解复杂优化问题，可以有效提高求解精度。
5 最优控制-极小值原理
正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡） 正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡）情况
Bang-Bang控制原理 控制原理 是问题3 的时间最优控制, 设 u * ( t ) 是问题3-1的时间最优控制,
λ x* ( t )， ( t )
是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的, 是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的,则几乎所有 ),有下式成立 t ∈ t0 , t f (除去有限个开关时间),有下式成立 除去有限个开关时间),
在最优轨线末端哈密尔顿函数应满足的条件 (5)极值条件 极值条件
1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x * ( t ) , t u * ( t ) =
{1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x* ( t ) , t u * ( t )} min
u∈U
（50） ） （51） ） （52） ）
或者
H ( x * , u* , λ* , t ) ≤ H [ x * , u, λ* , t ]
哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律： 哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律：
* * 在末值时刻 t f 是固定的情况 H (t ) = H (t f ) = const * *
3 极小值原理及其在快速控制中的应用
1 问题的提出 用变分法求解最优控制时， 用变分法求解最优控制时，认 不受限制。 为控制向量 u(t )不受限制。但是 实际的系统， 实际的系统，控制信号都是受到
u(t ) ∈ U ⊂ R r 某种限制的。 某种限制的。
因此， 因此，应用控制方程 ∂H = 0
un模型求最大最小数原理
UN模型求最大最小数原理是一种基于数据挖掘的经典算法，主要用于聚类和分类问题中。
该方法的主要思想是建立一棵树，选择每个属性的最大和最小值作为分割点，递归地将数据集分成子集，直到无法再分割为止。
在这个过程中，最大最小的含义是指选取每个属性的最大值和最小值作为分割点，进行分组。
这种方法可以有效地识别出数据集中不同的属性值，并将它们分成更小的子集，从而提高聚类和分类的准确性和效率。
UN模型求最大最小数的原理可以应用于许多领域，例如可以作为数据预处理的一种方法，去除掉离群数据或噪声数据，提高聚类和分类的准确性；可以应用于多类别的分类问题中，将数据按照最大最小的特征划分到不同的分类中；还可以结合其他方法如PCA、SVM等算法进行多特征数据的分类分析。
证明最小数原理
证明最小数原理
最小数原理是数学中的常用原理，其证明如下：
假设存在一个集合A，其中包含若干个正整数。
我们要证明的是，在A中一定存在一个最小的数。
首先，我们选择A中的任意一个元素作为一个初选的最小值，假设这个最小值为x。
然后，我们遍历集合A中的每一个元素，与初选的最小值x
进行比较。
如果某个元素y小于x，则我们更新最小值为y。
这样一直持续下去，直到A中的所有元素都被遍历完。
最后，我们得到的最小值x一定满足以下两个条件：1）x是
集合A中的一个元素；2）对于集合A中的每一个元素y，y ≥ x。
因此，我们可以得出结论：在集合A中一定存在一个最小的数。
以上就是最小数原理的证明过程，其中没有包含任何标题相同的文字。
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第2章 最小值原理
2.2 最小值原理的应用示例
例2-1 系统状态方程为 其始端状态和终端状态分别为
x = x + u
(1)
x(0) = 1, x(1)自由，且 u (t ) ≤ 1 求最优控制u*(t)，使如下性能指标最小。 J = 1 ( x 1u )dt (2) ∫0 2
解： 控制函数受闭集性约束，应用最小值 原理求解。 为使H达到最小，控制函数应为：
第2章 最小值原理
2.1 连续系统的最小值原理
考虑条件极值定理中，控制函数u受约束的情况 。为了便于分析，控制 方程（2-1），可写成另一种形式（2-2）：
H = 0 (2 1) u * H [ x (t ), λ (t ), u * (t ), t ]最优控制中的变分法 (t ), u (t ), t ] (2 2) = min H [ x* (t ), λ 第1章
H = x + u + λ ( x u ) = x(1 + λ ) + (1 λ )u
J
固定， 固定，x
自由， (t ) 自由，u
x
*
受约束
1 * u (t ) = 0.5
λ >1
λ <1
第2章 最小值原理
由协态方程
(t ) = H = (1 + λ ) λ x
t
λ (t ) = ce 1 λ (1) = ce 1 1 = 0
第2章 最小值原理
第2章 最小值原理
本章主要内容：
2.1 连续系统的最小值原理 2.2 最小值原理的应用示例 原苏联著名数学家庞特里亚金，总结经典变分法和早期简单最优控 制的成果，在1956-1958年间逐步创立了“最大值原理”。 通常称为“最小值原理”—当控制作用的大小限制在一定范围内时 ，由最优控制规律所确定的最优轨线在整个作用范围内必取最小值 。
u在边界值上使指标最优时， 控制方程不一定是必要条件 H在 u ( t ) ∈ U 的闭集内可能 不存在极点。 而（2-2）总是成立的。
H
U
u
第2章 最小值原理
庞特里亚金最小值原理 与古典变分法中条件极值定理的主要区别在于： 容许控制u(t)受有界闭集限制
u (t ) ∈ U ∈ R m
控制方程变为极值条件（证明略）
(2 3)
H [ x* (t ), λ (t ), u * (t ), t ] = min H [ x* (t ), λ (t ), u (t ), t ] (2 4)
u ( t )∈U
说明： （1）最小值原理是对古典变分法的发展 放宽了应用条件（L的可微性、控制约束） 使性能指标获得全局最小(H为全局最小） 使古典变分法中条件极值定理成为最小值原理的一个特例。
c=e
切换点： 切换点：
λ ( t ) = e1t 1
λ (t s ) = e1t 1 = 1
sλ Βιβλιοθήκη ts ) 1 = 0ts = 0.307
∴
1 * u (t ) = 0.5
0 ≤ t < 0.307 0.307 ≤ t ≤ 1
第2章 最小值原理
x (t ) 1 x (t ) = x (t ) 0 . 5
第1章 最优控制中的变分法
u ( t )∈U
分析：
本章主要内容：
1.1 变分的基本概念
1.2 无约束条件的最优化问题 （1）在控制函数 u不受约束的情况，（2-1）与（2-2)等价 1.4 应用变分法求解最优控制问题 （2） 在u受闭集性约束的情况下，（2-1）未必是求解最优控制的必要 条件之一，例如： 1.3 具有等式约束条件的最优化问题
H = L + λf (3) u = x + λ ( x + u ) 2 1 = (1 λ ) x + (λ )u 2
λ (t f ) =
1 u * (t ) = sgn(λ (t ) ) (4) 2 由协态方程求解 λ (t ) H λ= = λ 1 (5) x T
φ ξ + v λ (1) = 0 x(t f ) x(t f ) (6)
第2章 最小值原理
（2）最小值原理只给出最优控制的必要条件，并非充分条件。符 合最小值原理的控制能否使性能指标取最小值，还需进一步判断： 数学证明 根据问题的物理性质来判断 （3）若讨论的是性能指标极大的问题，只要将指标函数前加负号 ，即可应用最小值原理来求解。 （4）为了适合于计算机运算的需要，最小值原理还有离散的表达 形式。
作业2-1：继续推导，完成本题
第2章 最小值原理
x 0 例2-2： x t = x t u t ： 1 试求： 试求： J = [x (t ) + u (t )] = min dt
(
)
()
( ) ( )= 5
时的 ，t
f
0.5 ≤ u (t ) ≤ 1
∫
0
u*
f
，
解：定常系统、积分型 定常系统、
第2章 最小值原理
λ (t )
u*
1.72
1
1
0 0.307 1
0.5
t
12.3
0
0.307
1
t
x* (t )
6.44
5
0
0.307
1
t
第2章 最小值原理
第2章 要点
庞特里亚金最小值原理的表述和简单应用
0 ≤ t < 0.307 0.307 ≤ t ≤ 1 0 ≤ t < 0.307 0.307 ≤ t ≤ 1
c1e t + 1 x(t ) = t c2 e + 0.5
根据边界条件继续求出：
4e + 1 x = t 4.37e + 0.5
t *
0 ≤ t < 0.307 0.307 ≤ t ≤ 1